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第二章 數列
§ 2.1　數列的概念與簡單表示法 (第一課時)
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．列說法中，正確的是 (　　)
A．數列1，3，5，7可表示為｛1，3，5，7｝
B．數列1，0，－1，－2與數列－2，－1，0，1是相同的數列
C．數列｛｝的第K項為1+
D．數列0，2，4，6，8，…可記為｛2n｝
2．數列，，，，…的第10項是 (　　)
A． B． C． D．
3．數列2，5，22，11，…，則25是這個數列的 (　　)
A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項
4．數列{n2＋n}中的項不能是 (　　)
A．380 B．342 C．321 D．306
5．數列1,3,6,10，…的一個通項公式是 (　　)
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
6．已知數列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中屬于該數列中某一項值的應當有 (　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．數列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一個通項公式an等于 (　　)
A．(10n－1) B．(10n－1)
C．(1－) D．(10n－1)
8．設an＝＋＋＋…＋ (n ∈N*)，那么an＋1－an等于 (　　)
A． B．
C．＋ D．－
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．在數列，2，x,2，，2，…中，x＝____________.
10．用火柴棒按下圖的方法搭三角形：
按圖示的規律搭下去，則所用火柴棒數an與所搭三角形的個數n之間的關系式可以是___________________________________．
11．由花盆擺成以下圖案，根據擺放規律，可得第5個圖形中的花盆數為_______．
12．數列，，，，，…的一個通項公式為_________.
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）寫出下列數列的一個通項公式．(可以不寫過程)
(1)3,5,9,17,33，…； (2)，，，，…；
(3)，2，，8，，…； (4)1,0，－，0，，0，－，0，….
14．（本小題滿分8分）已知數列{n(n＋2)}．
(1)寫出這個數列的第8項和第20項；
(2)323是不是這個數列中的項？如果是，是第幾項？
15．（本小題滿分8分）已知數列{an}滿足a1=1，an-an-1=（n≥2），求數列{an}的通項公式.
16．（本小題滿分10分）在數列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項公式an是n的一次函數．
(1)求{an}的通項公式；
(2)88是否是數列{an}中的項？

四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．已知數列；
(1)求這個數列的第10項；
(2)是不是該數列中的項，為什么？
(3)求證：數列中的各項都在區間(0,1)內；
(4)在區間內有無數列中的項？若有，有幾項？若沒有，說明理由．
答案
1．C 2．C　 3．B 4．C　 5．C　 6．C　 7．C　 8．D　
9．　 10．an＝2n＋1　 11．61 12． an=
13．解：(1)an＝2n＋1 (2)an＝
(3)an＝　 (4)an＝
14．解：(1)a8＝80，a20＝440
(2)323是數列{n(n＋2)}中的項，是第17項
15. 解：a2-a1==1-，
a3-a2==-，
…
an-an-1==-，
∴(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =(1-)+( -)+…+(-) =1-，
即an-a1=1-.
∴an=2-=.
16．解：(1)an＝4n－2
(2)88不是數列{an}中的項
17．(1)解　設f(n)＝＝＝.
令n＝10，得第10項a10＝f(10)＝.
(2)解　令＝，得9n＝300.
此方程無正整數解，所以不是該數列中的項．
(3)證明　∵an＝＝＝1－，
又n N*，∴0<<1，
∴0∴數列中的各項都在區間(0,1)內．
(4)解　令∴，∴.
∴∴當且僅當n＝2時，上式成立，故區間上有數列中的項，且只有一項為
a2＝.
§ 2.1　數列的概念與簡單表示法 (第二課時)
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知數列{an}的首項為a1＝1，且滿足an＋1＝an＋，則此數列的第4項
是 (　　)
A．1 B． C． D．
2．已知數列滿足且，則 (　　)
A. B. C. D.
3．數列{an}中，a1＝1，對所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，則a3＋a5等
于 (　　)
A． B． C． D．
4．若a1＝1，an＋1＝，則給出的數列{an}的第7項是 (　　)
A． B． C． D．
5．由1,3,5，…，2n－1，…構成數列{an}，數列{bn}滿足b1＝2，當n≥2時，
bn＝abn－1，則b6的值是 (　　)
A．9 B．17 C．33 D．65
6．已知數列{an}滿足an＋1＝若a1＝，則a2 012的值
為 (　　)
A． B． C． D．
7．已知an＝，則這個數列的前30項中最大項和最小項分別是 (　　)
A．a1，a30 B．a1，a9
C．a10，a9 D．a10，a30
8．已知，則 (　　)
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．已知數列{an}的通項公式an=（n ∈N*），那么是這個數列的第____項.
10．已知數列{an}滿足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，n ∈N*，則使an>100的n
的最小值是________．
11．已知數列{an}滿足：an≤ an＋1，an＝n2＋λ n，n ∈N*，則實數λ的最小值是
________．
12．已知數列{an}滿足a1＝－1，an＋1＝an＋，n ∈N*，則通項公式
an＝________.
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）根據下列5個圖形及相應點的個數的變化規律，試猜測第n個圖中有多少個點．
14．（本小題滿分8分）已知函數f(x)＝2x－2－x，數列{an}滿足f(log2an)＝－2n.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)證明：數列{an}是遞減數列．
15．（本小題滿分8分）已知數列滿足，且，求的值。
16．（本小題滿分10分）已知數列{an}滿足a1＝，anan+1＝an+1－an，求數列{an}的通項公式．
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．設{an}是首項為1的正項數列，且(n＋1)a－n a＋an+1an＝0(n＝1,2,3，…)，則它的通項公式是________．
答案
1．B　 2．B 3．C　 4．C　 5．C　 6．B　 7．C　 8．C
9．10 10．12　 11．－3　 12．－
13．解：圖(1)只有1個點，無分支；圖(2)除中間1個點外，有兩個分支，每個分支有1個點；圖(3)除中間1個點外，有三個分支，每個分支有2個點；圖(4)除中間1個點外，有四個分支，每個分支有3個點；…；猜測第n個圖中除中間一個點外，有n個分支，每個分支有(n－1)個點，故第n個圖中點的個數為1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
14．解：(1)an＝－n
(2)證明　＝＝<1.
又因為an>0，所以an＋1所以數列{an}是遞減數列．
15．解：由已知可得，即
即
聯立方程組 解得或
16．（提示：等式兩邊同時除以anan+1，利用疊加法求出的an倒數） an＝　
17．an＝
§ 2.2　等差數列 (第一課時)
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．在等差數列1,4,7,…中,5995是它的 (　　)
A.第2 005項 B.第2 003項
C.第2 001項 D.第1 999項
2．已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，則數列的通項an等于 (　　)
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
3．等差數列20,17,14,11，…中第一個負數項是 (　　)
A．第7項 B．第8項
C．第9項 D．第10項
4．若5，x，y，z,21成等差數列，則x＋y＋z的值為 (　　)
A．26 B．29 C．39 D．52
5．{an}是首項a1＝1，公差d＝3的等差數列，如果an＝2 011，則n等于 (　　)
A．671 B．670 C．669 D．668
6．已知等差數列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12的值是 (　　)
A．15 B．30 C．31 D．64
7．一個首項為23，公差為整數的等差數列，第7項開始為負數，則它的公差
是 (　　)
A．－2 B．－3 C．－4 D．－6
8．如果△ABC的三邊長a,b,c的倒數成等差數列,則b所對的角為 ( )
A.銳角 B.直角 C.鈍角 D.不能確定
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．已知a＝，b＝，則a、b的等差中項是________．
10.公差不為零的等差數列{ an }中,a1和a2為方程x2-a3x+ a1=0的兩根,則通項公式an =________.
11．一個等差數列{an}中，a1＝1，末項an＝100(n≥3)，若公差為正整數，那么項數n的取值有________種可能．
12．若m ≠n，兩個等差數列m、a1、a2、n與m、b1、b2、b3、n的公差為d1和d2，則的值為________．
三、解答題(本大題共3個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分10分）等差數列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值．
14．（本小題滿分12分）若，，是等差數列，求證：a2，b2，c2成等差數列．
15．（本小題滿分12分）甲蟲是行動較快的昆蟲之一，下表記錄了某種類型的甲蟲的爬行速度：
時間t(s)
1
2
3
…
？
…
60
距離s(cm)
9.8
19.6
29.4
…
49
…
？
(1)你能建立一個等差數列的模型，表示甲蟲的爬行距離和時間之間的關系嗎？
(2)利用建立的模型計算，甲蟲1 min能爬多遠？它爬行49 cm需要多長時間？
四、探究與拓展（本題滿分14分）
16．已知等差數列{an}：3,7,11,15，….
(1)135,4m＋19(m ∈N*)是{an}中的項嗎？試說明理由．
(2)若ap，aq(p，q ∈N*)是數列{an}中的項，則2ap＋3aq是數列{an}中的項嗎？并說明你的理由．
答案
1．D 2．D　 3．B　 4．C　 5．A 6．A　 7．C 8．A
9．　 10．2n 11．5　 12．　
13．50
14．證明　∵，，是等差數列，
∴＋＝.
∴(a＋b)(c＋a)＋(b＋c)(c＋a)＝2(a＋b)(b＋c)，
∴(c＋a)(a＋c＋2b)＝2(a＋b)(b＋c)，
∴2ac＋2ab＋2bc＋a2＋c2＝2ab＋2ac＋2bc＋2b2，
∴a2＋c2＝2b2，
∴a2，b2，c2成等差數列．
15．解　(1)由題目表中數據可知，該數列從第2項起，每一項與前一項的差都是常數9.8，所以是一個等差數列模型．因為a1＝9.8，d＝9.8，所以甲蟲的爬行距離s與時間t的關系是s＝9.8t.
(2)當t＝1(min)＝60(s)時，
s＝9.8t＝9.8×60＝588(cm)．
當s＝49(cm)時，t＝＝＝5(s)．
16．解　a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，
∴135是數列{an}中的第34項．
令an＝4n－1＝4m＋19，則n＝m＋5∈N*.
∴4m＋19是{an}中的第m＋5項．
(2)∵ap，aq是{an}中的項，
∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.
∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1∈N*，
∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1項．
§ 2.2　等差數列 (第二課時)
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．下列各命題中,真命題是 (　　)
A.若{ an }成等差數列,則{| an |}也成等差數列
B.若{| an |}成等差數列,則{ an }也成等差數列
C.若存在自然數n,使2an+1 =an + an+2 ,則{ an }是等差數列
D.若{ an }是等差數列,則對任意正整數n都有2an+1 =an + an+22
2．在等差數列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8的值等于 (　　)
A．45 B．75 C．180 D．300
3．一個等差數列的前4項是a，x，b,2x，則等于 (　　)
A． B． C． D．
4．設{an}是遞增等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項
是 (　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
5．等差數列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，則數列{an}的通項公式是 (　　)
A．an＝2n－2 (n ∈N*) B．an＝2n＋4 (n ∈N*)
C．an＝－2n＋12 (n ∈N*) D．an＝－2n＋10 (n ∈N*)
6．在等差數列{an}中, a1＋3a8＋a15 =120,則2a9 - a10的值為 ( )
A．24 B．22 C．20 D．-8
7．若a，b，c成等差數列，則二次函數y＝ax2－2bx＋c的圖像與x軸的交點的個數為 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．1或2
8．一個等差數列的首項為a1＝1，末項an＝41 (n≥3)且公差為整數，那么項數n的取值個數是 (　　)
A．6 B．7 C．8 D．不確定
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．在等差數列{an}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，那么a3＝________.
10．已知數列{an}，a1＝1，＝＋，則a10＝________.
11．等差數列{an}中，公差為，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，則a2＋a4＋a6＋…＋a100＝________.
12.已知等差數列{an}中,a3和a15是方程x2-6x-1=0的兩個根,則a7＋a8＋a9＋a10＋a11 =_________.
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）在等差數列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．
14．（本小題滿分8分）成等差數列的四個數之和為26，第二個數與第三個數之積為40，求這四個數．
15.（本小題滿分8分）已知{ an }是等差數列, a1=2, a2=3,若在每相鄰兩項之間插入3個數,使它和原數列的數構成一個新的等差數列,
(1)原數列的第12項是新數列的第幾項?
(2)新數列的第29項是原數列的第幾項?
16.（本小題滿分10分）已知數列{an}滿足a1＝4，an＝4－ (n≥2)，令
bn＝.
(1)求證：數列{bn}是等差數列；
(2)求數列{an}的通項公式．
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．已知數列{an}滿足a1＝，且當n>1，n ∈N*時，有＝，設bn＝，n ∈N*.
(1)求證：數列{bn}為等差數列．
(2)試問a1a2是否是數列{an}中的項？如果是，是第幾項； 如果不是，請說明理由．
答案
1．A 2．C　 3．C　 4．B　 5．D　 6．A 7．D　 8．B　
9．4　 10．　 11．85 12．15
13．0
14．這四個數為2,5,8,11或11,8,5,2
15.解:數列的通項公式是研究數列問題的重要工具.能否由條件找到兩個數列的通項公式是解決此題的關鍵.
∵數列{an}中a1=2,d=a2-a1=3-2=1,
∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1.
設新數列為{bn},公差為d′,據題意知b1=2,b5=3,
則d′===,
∴bn=2+(n-1)×=+.
(1)a12=12+1=13,令+=13,得n=45,故原數列的第12項是新數列的第45項.
(2)b29=+=9,令n+1=9,得n=8,故新數列的第29項是原數列的第8項.
16．(1)證明　∵an＝4－ (n≥2)，
∴an＋1＝4－ (n ∈N*)．
∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.
∴bn＋1－bn＝，n ∈N*.
∴{bn}是等差數列，首項為，公差為.
(2)an＝2＋
17．(1)證明　當n>1，n ∈N*時，＝?＝
?－2＝2＋?－＝4?bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.
∴{bn}是等差數列，且公差為4，首項為5.
(2)解：由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
∴an＝＝，n ∈N*.
∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.
令an＝＝，∴n＝11.
即a1a2＝a11，∴a1a2是數列{an}中的項，是第11項．
§ 2.3　等差數列前n項和 (第一課時)
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．設Sn為等差數列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk+2－Sk＝24，則k
等于 (　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
2．已知等差數列滿足，則 (　　)
A. B.
C. D.
3．設Sn是等差數列{an}的前n項和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于 (　　)
A．13 B．35 C．49 D．63
4．等差數列{an}中，S10＝4S5，則等于 (　　)
A． B．2 C． D．4
5．已知等差數列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，則S10為 (　　)
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15
6．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36.則a7＋a8＋a9等于 (　　)
A．63 B．45 C．36 D．27
7．一個等差數列的項數為2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，則該數列的公差是 (　　)
A．3 B．－3 C．－2 D．－1
8．在等差數列中，，則等于 (　　)
A. 5或7 B. 3或5 C. 7或 D. 3或
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．設Sn為等差數列{an}的前n項和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________.
10．已知等差數列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，則使得前n項和Sn取得最小值時的正整數n的值是________．
11．在項數為2n＋1的等差數列中，所有奇數項的和為165，所有偶數項的和為150，則n的值為________．
12.已知一個等差數列共有2 005項,那么它的偶數項之和與奇數項之和的比值
是__________.
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）已知等差數列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若數列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值．
14．（本小題滿分8分）已知等差數列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n項和Sn.
15．（本小題滿分8分）設等差數列的第10項為23，第25項為，求：
（1）數列的通項公式； （2）數列前50項的絕對值之和。
16.（本小題滿分10分）設為等差數列,Sn為數列{的前n項和,已知S7=7,S15=75,Tn為數列{}的前n項和,求Tn.
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．已知公差大于零的等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a3a4＝117，
a2＋a5＝22.
(1)求數列{an}的通項公式an；
(2)若數列{bn}是等差數列，且bn＝，求非零常數c.
答案
1．D　 2．C 3．C 　4．A　 5．D 　6．B　 7．B　 8．D
9．15　 10． 6或7　 11．10 12．
13．(1)an＝3－2n　(2)7
14．Sn＝n(n－9)，或Sn＝－n(n－9)
15．解：由已知可知，
，解得。
。所以此數列的前17項均為正數，從第18項開始均為負數。
前50項的絕對值之和
16．解:設等差數列{ an }的公差為d,則=n a1 +n(n-1)d,
∵S7=7,S15=75,
∴
∴a1=-2,d=1.
∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1).
∵-=,
∴數列{}是等差數列,其首項為-2,公差為.
∴Tn=n2-n.
17．(1)an＝4n－3　(2)－
§ 2.3　等差數列前n項和 (第二課時)
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．若數列{an}的前n項和Sn＝n2－1，則a4等于 (　　)
A．7 B．8 C．9 D．17
2．已知數列{an}的前n項和Sn＝n3，則a5＋a6的值為 (　　)
A．91 B．152 C．218 D．279
3．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若＝，則等于 (　　)
A．1 B．－1 C． 2 D．
4．設等差數列的前項和為，若，，則(　　)
A．63 B．45 C．36 D．27
5．設S n是等差數列{an}的前n項和，若＝，則等于 (　　)
A． B． C． D．
6．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5A．9 B．8 C．7 D．6
7．設{an}是等差數列，Sn是其前n項和，且S5S8，則下列結論錯誤的是 (　　)
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6與S7均為Sn的最大值
8.已知數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，．設（），則數列的前10項和等
于 (　　)
A．55 B．70 C．85 D．100
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9.已知等差數列的項數n為奇數,則其奇數項之和與偶數項之和的比是 .
10．數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2－n(n ∈N*)，則通項an＝________.
11．若數列{an}是等差數列，首項a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，則使前n項和Sn＞0成立的最大自然數n是________．
12．在等差數列{an}中，已知前三項和為15，最后三項和為78，所有項和為155，則項數n＝________.
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）設等差數列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值．
14.（本小題滿分8分） 已知數列為等差數列，前30項的和為50，前50項的和為30，求前80項的和．
15．（本小題滿分8分）數列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0
(n ∈N*)．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
16.（本小題滿分10分）已知數列{an}的首項a1=3,通項an與前n項和Sn之間滿足2an=Sn·Sn-1(n≥2).
(1)證明{}是等差數列,并求公差;
(2)求數列{an}的通項公式.
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7.
(1)設f(x)的圖像的頂點的縱坐標構成數列{an}，求證：{an}為等差數列；
(2)設f(x)的圖像的頂點到x軸的距離構成{bn}，求{bn}的前n項和Sn.
答案
1．A　 2．B　 3．A　 4．B 5．A 　6．B　 7．C　 8．C
9． 10．2n－2　 11．4 006　 12．10
13．(1)an＝11－2n　(2)Sn＝－(n－5)2＋25　當n＝5時，Sn取得最大值
14.解：設
解得

注：等差數列有如下性質：若則。
15．(1)an＝10－2n
(2)Sn＝
16.解:(1)當n≥2時,an=Sn-Sn-1,又2an=Sn·Sn-1,
∴2(Sn-Sn-1)=Sn·Sn-1.
兩邊同除以Sn·Sn-1得2(-)=1,
即-=-.
∴{}是等差數列,且首項==,公差為-.
(2)由(1)知=+(n-1)×(-)=,
即Sn=.
∴an=Sn-Sn-1=(n≥2).
故an=
17．(1)證明　f(x)＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，∴an＝3n－8，
∵an＋1－an＝3，∴{an}為等差數列．
(2)Sn＝
§ 2.4　等比數列 (第一課時)
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．在等比數列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則m等于 (　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
2．若正數組成等比數列，則一定是 (　　)
A. 等差數列 B.既是等差數列有是等比數列
C. 等比數列 D. 既不是等差數列也不是等比數列
3．已知a，b，c，d成等比數列，且曲線y＝x2－2x＋3的頂點是(b，c)，則ad等于 (　　)
A．3 B．2 C．1 D．－2
4．如果－1，a，b，c，－9成等比數列，那么 (　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
5．在正項等比數列中，是方程的兩個根，則 的值為 (　　)
A. 32 B. 256 C. D. 64
6．一個數分別加上20,50,100后得到的三個數成等比數列，其公比為 (　　)
A. B. C. D.
7．若a，b，c成等比數列，m是a，b的等差中項，n是b，c的等差中項，則
＋等于 (　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
8．若正項等比數列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差數列，則等
于 (　　)
A. B.
C. D．不確定
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．設{an}是首項為1的正項數列，且（n+1）an+12－nan2+an+1an=0（n∈N*），則它的通項公式an=___________________.
10．已知等比數列{an}的前三項依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________.
11．已知數列－1，a1，a2，－4成等差數列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數列，則的值是________．
12．設{an}是公比為q的等比數列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數列{bn}有連續四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）已知等比數列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
14．（本小題滿分8分） 等比數列中，已知.
(Ⅰ）求數列的通項公式；
(Ⅱ）若分別為等差數列的第3項和第5項，試求數列的通項公式及前項和.
15．（本小題滿分8分）在四個正數中，前三個成等差數列，和為48，后三個成等比數列，積為8 000，求此四個數．
16．(本小題滿分10分）已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝0.
(1)若a，b，c依次成等差數列且公差不為0，求證：x，y，z成等比數列；
(2)若正數x，y，z依次成等比數列且公比不為1，求證：a，b，c成等差數列．
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．互不相等的三個數之積為－8，這三個數適當排列后可成為等比數列，也可排成等差數列，求這三個數排成的等差數列．
答案
1．C 　2．A 3．B　 4．B　 5．D 6．A　 7．C　 8．A　
9． 10．4·()n-1　 11．　 12．－9
13．解：設{an}的公比為q，由題意知
解得或∴an=2n-1或an=23-n.
an=2n-1或an=23-n.
14.解：（Ⅰ）設的公比為
由已知得，即，解得.
所以數列的通項公式為
(Ⅱ）由（I）得，，則，.
設的公差為，則有解得.
從而.
15．四個數分別為12,16,20,25
16．證明：　(1)∵a，b，c成等差數列且d≠0，
∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，d≠0.
∴(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)·logmz＝2dlogmy－dlogmx－dlogmz
＝d(2logmy－logmx－logmz)＝dlogm()＝0.
∵d≠0，∴logm＝0，∴＝1.
∴y2＝x z，即x，y，z成等比數列．
(2)∵x，y，z成等比數列，且公比q≠1，
∴y＝x q，z＝xq2，
∴(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)·logmz
＝(b－c)logmx＋(c－a)logm(x q)＋(a－b)logm(xq2)
＝(b－c)logmx＋(c－a)logmx＋(c－a)·log mq＋(a－b)logmx＋2(a－b)logmq
＝(c－a)logmq＋2(a－b)logmq＝(a＋c－2b)logmq＝0，
∵q≠1，∴logmq≠0，
∴a＋c－2b＝0，即a，b，c成等差數列．
17．三個數排成的等差數列為4,1，－2或－2，1,4
§ 2.4　等比數列 (第二課時)
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知公比為的等比數列，若，則數列是(　　)
A. 公比為的等比數列 B. 公比為的等比數列
C. 公差為的等差數列 D. 公差為的等差數列
2．在等比數列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，則a4＋a5的值為(　　)
A．16 B．27 C．36 D．81
3．已知等比數列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于 (　　)
A．64 B．81 C．128 D．243
4．已知各項為正數的等比數列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6等
于 (　　)
A．5 B．7 C．6 D．4
5．在由正數組成的等比數列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值為 (　　)
A． B． C．2 D．3
6．在正項等比數列{an}中，an＋1A． B． C． D．
7．已知等比數列{an}中，各項都是正數，且a1，a3,2a2成等差數列，則等于 (　　)
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
8．已知是等比數列，，則 (　　)
A． B．
C． D．
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．設數列{an}為公比q>1的等比數列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.
10．首項為3的等比數列的第n項是48，第2n－3項是192，則n＝________.
11．已知等差數列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數列，則a2＝________.
12. 已知三角形的三邊構成等比數列,它們的公比為,則的取值范圍是
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）已知數列{an}成等比數列．
(1)若a2＝4，a5＝－，求數列{an}的通項公式；
(2)若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
14．（本小題滿分8分）已知等差數列的前4項和為10，且成等比數列，求數列的通項公式。
15．（本小題滿分8分）已知正項等比數列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36.求數列{an}的通項公式．
16．（本小題滿分10分）設是各項均為正數的等比數列，
，求．
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．從盛滿a(a>1)升純酒精的容器里倒出1升然后添滿水搖勻，再倒出1升混合溶液后又用水添滿搖勻，如此繼續下去，問：第n次操作后溶液的濃度是多少？若a＝2時，至少應倒幾次后才能使酒精的濃度低于10%?
答案
1．A 2．B　 3．A　 4．A　 5．A　 6．D　 7．C　 8．C
9．18　 10．5　 11． －6 12．
13．(1)an＝4n-2　(2)32
14．解：設數列的首項為，公差為，則，則，
由于成等比數列，所以， 化簡得
所以解得或
所以數列的通項公式為或。
15．an＝2n-2或an＝26-n
16．解：設數列的首項為，公比為
，
，，。
，

即
即，解得
當時，，所以。
當時，，，所以
17．解：設開始的濃度為1，操作一次后溶液濃度a1＝1－，
設操作n次后溶液的濃度為an.
則操作n＋1次后溶液的濃度為an＋1＝an(1－)，從而建立了遞推關系．
∴{an}是以a1＝1－為首項，公比為q＝1－的等比數列．
∴an＝a1qn－1＝(1－)n，
即第n次操作后酒精的濃度是(1－)n.
當a＝2時，由an＝()n＜，
解得n≥4.
故至少應操作4次后才能使酒精濃度低于10%.
§ 2.5　等比數列前n項和 (第一課時)
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝－1，a4＝64，則S4等于 (　　)
A．48 B．49 C．50 D．51
2．在等比數列{an}中，公比q是整數，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，則此數列的前8項和為 (　　)
A．513 B．512 C．511 D．510
3．已知公比為的等比數列的前項和為，則數列的前項和為 (　　)
A. B. C. D.
4．設Sn為等比數列{an}的前n項和，8a2＋a5＝0，則等于 (　　)
A．11 B．5 C．－8 D．－11
5．設等比數列{an}的公比q＝2，前n項和為Sn，則等于 (　　)
A．2 B．4 C． D．
6．等比數列前項和為54，前項和為60，則前項和為 (　　)
A. 54 B. 64 C. D.
7．已知{an}是等比數列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan+1等于 (　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C．(1－4－n) D．(1－2－n)
8．設{an}是由正數組成的等比數列，Sn為其前n項和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5等于 (　　)
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．在等比數列{an}中，若a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，則a13＋a14＋a15＝ ，該數列的前15項的和S15＝ .
10．等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數列，則{an}的公比
為________．
11．設等比數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝________.
12．若等比數列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n項和為Sn＝－341，則n的值
是________．
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a2＝6,
6a1＋a3＝30，求an和Sn．
14．（本小題滿分8分）在等比數列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n．
15.（本小題滿分8分）已知等比數列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中項．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)記bn＝anlog2an，求數列{bn}的前n項和Sn．
16.（本小題滿分10分） 已知等比數列中，.若，數列前項的和為.
（Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）求不等式的解集.
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．已知單調遞增的等比數列滿足：，且 是和
的等差中項．
(1）求數列的通項公式；
(2）令，，求使成立的最
小的正整數．
答案
1．D 　2．D　 3．D 　4．D 5．C　 6．D 7．C　 8．B　
9．， 10．　 11．3　 12．10
13．解：設{an}的公比為q，由題設得
解得或
當a1＝3，q＝2時，an＝3×2n－1，
Sn＝＝＝3(2n－1)；
當a1＝2，q＝3時，an＝2×3n－1，
Sn＝＝＝3n－1.
14．63
15．(1)an＝2n
(2)Sn＝2＋(n－1)·2n＋1
16. 解：（Ⅰ）得　
是以為首項，２為公差的等差數列.

（Ⅱ）
　　　
即，所求不等式的解集為
17．解：（1） 設的公比為，由已知，得
，
∴　；
(2） ，
設　　………………………　 ①
則　　……　 ②
①－②　得　
∴　
故　
∴　，即，
∴　滿足不等式的最小的正整數為5．
§ 2.5　等比數列前n項和 (第二課時)
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．在各項都為正數的等比數列{an}中，首項a1＝3，前3項和為21，則
a3＋a4＋a5等于 (　　)
A．33 B．72 C．84 D．189
2．已知等差數列的前項和為,則數列的前100項
和為 (　　)
A． B． C． D．
3．某廠去年產值為a，計劃在5年內每年比上一年產值增長10%，從今年起5年內，該廠的總產值為 (　　)
A．1.14a B．1.15a
C．10a(1.15－1) D．11a(1.15－1)
4．已知{an}是首項為1的等比數列，Sn是{an}的前n項和，且9S3＝S6，則數列{}的前5項和為 (　　)
A．和5 B．和5 C． D．
5．一彈性球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，則第10次著地時所經過的路程和是(結果保留到個位) (　　)
A．300米 B．299米
C．199米 D．166米
6．數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6等于 (　　)
A．3×44 B．3×44＋1
C．45 D．45＋1
7．在等比數列{an}中，a1＝3，前n項和為Sn，若數列{an＋1}也是等比數列，則Sn等于 (　　)
A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1
8．某企業在今年年初貸款a萬元，年利率為γ，從今年年末開始每年償還一定金額，預計五年內還清，則每年應償還 (　　)
A．萬元 B．萬元
C．萬元 D．萬元
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．等比數列{an}共2n項，其和為－240，且奇數項的和比偶數項的和大80，則公比q＝________.
10．等比數列{an}中，前n項和為Sn，S3＝2，S6＝6，則a10＋a11＋a12＝________.
11．某工廠月生產總值的平均增長率為q，則該工廠的年平均增長率為________．
12．等比數列的前項和為,公比不為1。若,且對任意的都有,則_________________.
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）在等比數列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．
14．（本小題滿分8分）利用等比數列前n項和公式證明
an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝，(其中n ∈N*a，b是不為0的常數，且a ≠b).
15．（本小題滿分8分）已知{an}是以a為首項，q為公比的等比數列，Sn為它的前n項和．
(1)當S1，S3，S4成等差數列時，求q的值；
(2)當Sm，Sn，Sl成等差數列時，求證：對任意自然數k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差數列．
16.（本小題滿分10分）已知數列中，，前n項和為
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列的前n項和為，求滿足不等式的n值。
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．某林場原有森林木材存有量為a m3,木材以每年25%的增長率增長,而每年冬天計劃要砍伐的木材量為x m3,為了實現經過20年達到木材存有量至少翻兩番的目標,求x的最大值(計算時取lg2≈0.3,lg5≈0.7).
答案
1．C　 2．B 3．D 4．C　 5．A　 6．A　 7．B 8．B　
9．2　 10．16 　11．(1＋q)12－1 12．11
13．40
14．證明:　∵a≠0，b≠0，a≠b，∴≠1.
∴左端＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝an
＝＝
＝＝右端．
∴an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝.
15．(1)解　由已知，得an＝aqn－1，因此
S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．
當S1，S3，S4成等差數列時，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，
化簡得q2－q－1＝0.
解得q＝.
(2)證明　若q＝1，則{an}的各項均為a，此時am＋k，an＋k，al＋k顯然成等差數列．
若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差數列可得Sm＋Sl＝2Sn，
即＋＝，整理得qm＋ql＝2qn.
因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k.
所以am＋k，an＋k，al＋k成等差數列．
16.解：（I）由，得 當時
∴ ， 即 ，∴
又，得， ∴， ∴
∴數列是首項為1，公比為的等比數列∴
（Ⅱ）∵數列是首項為1，公比為的等比數列，
∴數列是首項為1，公比為的等比數列，∴
又∵，∴不等式＜ 即得：＞，
∴n=1或n=2
17．解:第1年末的木材存有量為a-x,
第2年末的木材存有量為(a-x)-x=()2a-x(1+),
第3年末的木材存有量為()3a-x［1++()2］,
…
第20年末的木材存有量為()20a-x［1++()2+…+()19］=()20a-4x()20+4x.
由題意知()20a-4x()20+4x≥4a.
令y=()20,則lgy=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)≈2,
∴y≈100.
∴100a-400x+4x≥4ax≤a.
故每年砍伐量不能超過a.
第二章 數列 習題課
一、選擇題
1．等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3＋a7＋a11＝6，則S13等于 (　　)
A．24 B．25 C．26 D．27
2．已知數列{an}的通項an＝2n＋1，由bn＝所確定的數列{bn}的前n項之和是 (　　)
A．n(n＋2) B．n(n＋4)
C．n(n＋5) D．n(n＋7)
3．在小于100的自然數中，所有被7除余2的數之和為 (　　)
A．765 B．665 C．763 D．663
4．若{an}為等差數列，Sn為其前n項和，若a1>0，d<0，S4＝S8，則Sn>0成立的最大自然數n為 (　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
5．數列{an}滿足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首項為1，公比為2的等比數列，那么an等于 (　　)
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n＋1 D．4n－1
6．在等差數列{an}中，a10<0，a11>0，且|a10|A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零
B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零
C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零
D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
7．在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，則an等于 (　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
8 等比數列的各項均為正數，且，
則 (　　)
A B C D
二、填空題
9．首項為－24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差d的取值范圍是________．
10．等差數列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，則使前n項和Sn取得最大值的自然數n是______．
11．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個根組成一個首項為的等差數列，則|m－n|＝___________________________________________.
12．數列{an}中，Sn是其前n項和，若a1＝1，an＋1＝Sn (n≥1)，則an＝____________.
三、解答題
13．已知兩個等差數列{an}：5,8,11，…，{bn}：3,7,11，…，都有100項，試問它們有多少個共同的項？
14．設{an}是公比為正數的等比數列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設{bn}是首項為1，公差為2的等差數列，求數列{an＋bn}的前n項和Sn.
15.已知等比數列中，.若，數列前項的和為.
（Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）求不等式的解集.
16.設等差數列{an}的首項a1及公差d都為整數，前n項和為Sn.
(1)若a11＝0，S14＝98，求數列{an}的通項公式；
(2)若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的數列{an}的通項公式．
四、探究與拓展
17．設a0為常數，且an＝3n－1－2an－1 (n ∈N*)，證明：對任意n≥1，
an＝[3n＋(－1)n－1·2n]＋(－1)n·2na0.
答案
1．C　 2．C 3．B　 4．A　　 5．A 6．D　 7．A 8．B
9．13．兩個數列共有25個公共項
14．(1)an＝2n(n ∈N*) (2)Sn＝2n＋1＋n2－2
15．解：（Ⅰ）得　
是以為首項，２為公差的等差數列.

（Ⅱ）
　　　
即，所求不等式的解集為
16．(1)an＝22－2n
(2)所有可能的數列{an}的通項公式是an＝12－n和an＝13－n
17．證明　由an＝3n－1－2an－1 (n ∈N*)
得＝－·.
設bn＝，則bn＝－bn－1＋.
即bn－＝－，
所以是以b1－＝為首項，－為公比的等比數列．
則bn－＝n－1＝(－1)n－1n，
即＝bn＝(－1)n－1n＋，
故an＝[3n＋(－1)n－1·2n]＋(－1)n·2na0.
第二章 數列單元測試題
本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，
考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若 ＝，則＝ (　　)
A． B． C． D．
2．等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當首項a1和d變化時，a2＋a8＋a11是一個定值，則下列各數也為定值的是 (　　)
A．S7 B．S8 C．S13 D．S15
3．數列{an}是各項均為正數的等比數列，{bn}是等差數列，且a6＝b7，則有(　　)
A．a3＋a9＜b4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10
C．a3＋a9≠b4＋b10 D．a3＋a9與b4＋b10的大小不確定
4．等差數列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數列前20項和等于 (　　)
A．160 B．180 C．200 D．220
5．等比數列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的兩根，則a4等于 (　　)
A．8 B．－8 C．±8 D．以上都不對
6．若{an}是等比數列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差數列，則q等
于 (　　)
A．1或2 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
7．設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5等于(　　)
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
8．已知等差數列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比數列，則等
于 (　　)
A． B． C． D．
9．已知{an}為等差數列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是 (　　)
A．21 B．20 C．19 D．18
10．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，則S17＋S33＋S50等于 (　　)
A．0 B．1 C．－1 D．2
11．過圓x2＋y2＝10x內一點(5，3)有k條弦的長度組成等差數列，且最小弦長為數列的首項a1，最大弦長為數列的末項ak，若公差d∈，則k的取值不可能是 (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
12．設{an}是公比q≠－1的等比數列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和
分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是 (　　)
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題(本大題共6個小題，每小題5分，共30分，把正確答案填在題中橫線上)
13．已知數列{an}中，an＝ 則a9＝ (用數字作答)，設數列{an}的前n項和為Sn，則S9＝ (用數字作答).
14．－1與＋1的等比中項是________．
15．定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和．已知數列{an}是等和數列，且a1＝2，公和為5，那么a18的值為________，且這個數列的前21項的和S21的值為________．
16．在等比數列{an}中，若a1＝，a4＝－4，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝_______.
17．等比數列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an+2＋an+1＝6an，則{an}的前4項和S4＝ ．
18．等比數列{an}的公比為q，其前n項的積為Tn，并且滿足條件a1>1，
a99a100－1>0，<0.給出下列結論：①01成立的最大自然數n等于198.其中正確的結論是____ ____．(填寫所有正確的序號)
三、解答題(本大題共5個小題，每小題12分，共60分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
19．成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求數列{bn}的通項公式；
(2)數列{bn}的前n項和為Sn，求證：數列是等比數列．
20．已知數列{log2(an－1)} (n ∈N*)為等差數列，且a1＝3，a3＝9.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)證明：＋＋…＋<1.
21．在等差數列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比數列．已知數列a1，a3，，，…，，…也成等比數列，求數列{kn}的通項kn．
22．在數列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1．
(1)設bn＝an＋1－2an，求證數列{bn}是等比數列；
(2)設cn＝，求證數列{cn}是等差數列；
(3)求數列{an}的通項公式及前n項和的公式.
23．甲、乙兩大超市同時開業，第一年的全年銷售額為a萬元，由于經營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為(n2－n＋2)萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多an－1萬元．
(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式；
(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，將會出現在第幾年？
答案
1．A　2．C　3．B　4．B　5．A　6．C　7．A　8．C　9．B　10．B　11．A　12．D　
13．256,737 14．±1　 15．3， 52　 16．　 17． 18．①②④
19．(1)bn＝5·2n－3
(2)證明　數列{bn}的前n項和Sn＝＝5·2n－2－，
即Sn＋＝5·2n－2.
所以S1＋＝，
＝＝2.
因此是以為首項，2為公比的等比數列．
20．(1)an＝2n＋1
(2)證明　因為＝＝，
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝1－<1.
21．解；由題意得＝a1a4，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，d(d－a1)＝0，
又d≠0，∴ a1＝d．
又a1，a3，，，…，，…，成等比數列，
∴ 該數列的公比為q＝＝＝3， ∴ ＝a1·3n+1．
又＝a1＋(kn－1)d＝kna1，
∴ kn＝3n+1為數列{kn}的通項公式．
22．解：(1)由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴ b1＝a2－2a1＝3．
由Sn＋1＝4an＋2 ①，則當n≥2時，有Sn＝4an－1＋2． ②
②－①得an+1＝4an－4an-1，∴ an+1－2an＝2(an－2an-1)．
又∵ bn＝an＋1－2an，∴ bn＝2bn－1．∴ {bn}是首項b1＝3，公比為2的等比數列．
∴ bn＝3×2 n－1．
(2)∵ cn＝，∴ cn+1－cn＝－＝＝＝＝，
c1＝＝，∴ {cn}是以為首項，為公差的等差數列．
(3)由(2)可知數列是首項為，公差為的等差數列．
∴ ＝＋(n－1)＝n－，an＝(3n－1)·2n－2是數列{an}的通項公式．
設Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2．
Sn＝2Sn－Sn＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1
＝－1－3×＋(3n－1)·2n－1＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1
＝2＋(3n－4)·2n－1．
∴ 數列{an}的前n項和公式為Sn＝2＋(3n－4)·2n－1．
23．解　(1)設甲、乙兩超市第n年的銷售額分別為an，bn.
則有a1＝a，當n≥2時，
an＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]＝(n－1)a.
∴an＝
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝a＋a＋a2＋…＋an－1
＝a，(n ∈N*)．
(2)易知bn<3a，所以乙將被甲超市收購，
由bn∴n＋4n－1>7，∴n≥7.
即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購．

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