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第三章 不等式
§ 3.1　不等關系與不等式
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．若a，b，c ∈R，a>b，則下列不等式成立的是 (　　)
A．< B．a2>b2
C．> D．a |c|>b |c|
2．如果a、b、c滿足cA．a b>ac B．b c>ac
C．cb23．已知a、b為非零實數，且aA．a2C．< D．<
4．已知－1為 (　　)
A．AC．A5．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，則 (　　)
A．aC．b6．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，則M，N的大小關系
為 (　　)
A．MN D．M≥N
7．若a>b>c且a＋b＋c＝0，則下列不等式中正確的是 (　　)
A．a b>ac B．ac>b c
C．a |b|>c |b| D．a2>b2>c2
8．若d>0，d≠1，m，n∈N*，則1＋dm＋n與dm＋dn的大小關系是 (　　)
A．1＋dm＋n>dm＋dn B．1＋dm+nC．1＋dm+n≥dm＋dn D．不能確定
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．若1≤a≤5，－1≤b≤2，則a－b的取值范圍是____ ____．
10．若x ∈R，則與的大小關系為____ ____．
11．設n>1，n ∈N，A＝－，B＝－，則A與B的大小關系
為_____ ___．
12．設a＞b＞0，m＞0，n＞0，則p＝，q＝，r＝，s＝的大小順序是___ _____．
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）比較x6＋1與x4＋x2的大小，其中x ∈R.
14．（本小題滿分8分）設a>b>0，試比較與的大小．
15．（本小題滿分8分）已知1216．（本小題滿分10分）老丁同時收到甲、乙兩家公司的聘用通知，甲公司給出的年薪為24 000元，且以后每年都比上一年增加年薪800元，乙公司給出的年薪為18 000元，且以后每年都比上一年增加年薪1 550元．如果老丁對甲、乙兩公司的滿意度相同，請你給老丁出出主意，他該去哪家公司應聘？
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．設f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，試比較f(x)與g(x)的大小．
答案
1．C　 2．C 3．C 4．B　 5．C　 6．C　 7．A　 8．A
9．[－1,6]　 10．≤　 11．A>B 12． p＜r＜s＜q
13．解：x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)
＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.
∴當x＝±1時，x6＋1＝x4＋x2；
當x≠±1時，x6＋1>x4＋x2.
綜上所述，x6＋1≥x4＋x2，當且僅當x＝±1時取等號．
14．解：方法一　作差法
∵－＝
＝＝.
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，∴>.
方法二　作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1 ∴>.
15．解：∵15∴12－36∴－24又<<，∴<<，
∴<<4.
∴－2416．解：設第n年甲、乙兩公司給出的年薪分別為an，bn，則數列{an}、{bn}均為等差數列，其中a1＝24000，d＝800，則其前n項和為
An＝24000n＋×800＝400n2＋23600n，
b1＝18000，d′＝1550，則其前n項和為
Bn＝18000n＋×1550＝775n2＋17225n，
令Bn－An≥0得375n2－6375n≥0，∴n≥17.
答：老丁若應聘17年以下應去甲公司；應聘17年，兩公司均可，若應聘17年以上，則應去乙公司．
17．解：f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①當或即1＜x＜時，logx＜0，
∴f(x)＜g(x)；
②當＝1，即x＝時，logx＝0，
即f(x)＝g(x)；
③當或
即0＜x＜1，或x＞時，logx＞0，
即f(x)＞g(x)．
綜上所述，當1＜x＜時，f(x)＜g(x)；
當x＝時，f(x)＝g(x)；
當0＜x＜1，或x＞時，f(x)＞g(x)．
§ 3.2　一元二次不等式及其解法 （第一課時）
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是 　　 (　　)
A．　　　　　　　　　　　 B．
C．　　　　　　　　　　　　　 D．
2．不等式<2的解集為 　　 (　　)
A．{x| x≠－2} 　　B．R
C．? 　　D．{x |x<－2或x>2}
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根為2，－1，則當a<0時，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為 　　(　　)
A．{x |x<－1或x>2}　　　　　　　　 B．{x| x≤－1或x≥2}
C．{x|－14．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的兩個實根一個小于－1，另一個大于1，
那么實數m的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　)
A．(－，) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
5．函數y＝lg(x2－4)＋的定義域是 (　　)
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
6．在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實數x的取值范圍為 (　　)
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
7．設函數f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解是 (　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
8．對于任意實數x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，則實數a的取值范圍 (　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．若不等式x2＋mx＋1>0的解集為R，則m的取值范圍是__________．
10．已知關于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{x| x<－2，或x>－}，則不等式ax2－bx＋c>0的解集為___ ____．
11．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，則k的取值范圍是______________．
12．二次函數y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__ ______．
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）解下列不等式：
(1)x4＋3x2－10<0； (2)x2－3|x|＋2≤0.
14．（本小題滿分8分）解下列關于x的不等式：56x2－ax－a2<0.
15．（本小題滿分8分）若關于x的不等式mx2－mx＋1＜0的解集不是空集，求m的取值范圍．
16．（本小題滿分10分）已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x| α0的解集．
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．若不等式組的整數解只有－2，求k的取值范圍．
答案
1．B　　2．A　　3．D　　４．Ｄ　　５．B　　６．B　　７．A　　８．Ｄ
９．－213．(1)原不等式的解集為{x|－(2)原不等式的解集為{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}
14．解　56x2－ax－a2<0?(7x－a)(8x＋a)<0?<0
當a>0時，>－.
∴原不等式的解集為 ；
當a＝0時，＝－，x2<0.
∴原不等式的解集為?；
當a<0時，<－.
∴原不等式的解集為.
15．解：當m＝0時，1<0不成立，∴m≠0；
當m<0時，拋物線y＝mx2－mx＋1開口向下，∴不等式mx2－mx＋1<0的解集一定不是空集；
當m>0時，要使解集非空，應有Δ＝m2－4m>0，∴m>4，綜上知不等式mx2－mx＋1<0的解集不是空集時m＜0或m＞4.
16．不等式cx2＋bx＋a>0的解集為
17．解：∵x2－x－2>0，∴x>2或x<－1.
又2x2＋(2k＋5)x＋5k<0，∴(2x＋5)(x＋k)<0.①
(1)當k>時，－k<－，
由①有－k(2)當k＝時，①的解集為空集；
(3)當k<時，－<－k，由①得－∴或
∵原不等式只有整數解－2，
∴　∴－3≤k<2.
§ 3.2　一元二次不等式及其解法 （第二課時）
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2－5ax＋4a2≤0}，A∩B＝{x|3A．1 B．4 C．1或4 D．3
2．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩個正實根，則m的取值范圍是 (　　)
A．0≤m<1 B．0C．03．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，則A∩B等于 (　　)
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
4．函數y＝ 對一切x ∈R恒成立，則實數m的取值范圍是 (　　)
A．m>2 B．m<2
C．m<0或m>2 D．0≤m≤2
5．已知關于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，則實數a的取值范圍是 (　　)
A．－2≤a< B．－2≤a≤
C．－2≤a<1 D．－2≤a≤1
6．已知a1>a2>a3>0，則使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范圍是 (　　)
A． B．
C． D．
7．對任意a∈[－1,1]，函數f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，則x的取值范圍是 (　　)
A．13
C．12
8．若方程7x2－(k＋13)x＋k2－k－2＝0有兩個不等實根x1，x2，且0A．－2＜k＜－1 B．3＜k＜4
C．－2＜k＜4 D．－2＜k＜－1或3＜k＜4
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．若不等式|3x－b|<4的解集中的整數有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為____．
10．若關于x的不等式>0的解集為(－∞，－1)∪(4，＋∞)，則實數a＝_____
11．不等式≤3的解集為_____________________________．
12．設集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x ∈R}，則集合A∩Z中元素的個數是________．
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）若關于x的不等式x2－3kx－x＋2k2＋k<0的解集中只有一個整數1，求k的取值范圍．
14．（本小題滿分8分）已知關于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有兩根，其中一根在(－1,0)內，另一根在區間(1,2)內，求m的取值范圍．
15．（本小題滿分8分）某工廠生產商品M，若每件定價80元，則每年可銷售
80萬件，稅務部門對市場銷售的商品要征收附加稅．為了既增加國家收入，又有利于市場活躍，必須合理確定征收的稅率．據市場調查，若政府對商品M征收的稅率為P%(即每百元征收P元)時，每年的銷售量減少10P萬件，據此，問：
(1)若稅務部門對商品M每年所收稅金不少于96萬元，求P的范圍；
(2)在所收稅金不少于96萬元的前提下，要讓廠家獲得最大的銷售金額，應如何確定P值；
(3)若僅考慮每年稅收金額最高，又應如何確定P值．
16．（本小題滿分10分）解關于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0.
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式當|p|≤2時恒成立，求x的取值范圍；
(2)如果不等式當2≤x≤4時恒成立，求p的取值范圍．
答案
1．A 2．C　 3．B　 4．D 　5．A　 6．B 　7．B　 8．D
9．(5,7) 10．4 11． 　12．6
13．解：不等式化為x2－(3k＋1)x＋k(2k＋1)<0，
由(2k＋1)－k>0得k>－1.
∴當k>－1時， k當k＝－1時，不等式無解．
當k<－1時，2k＋1∵不等式的解集中含有整數1，
∴不等式的解為k∵不等式的解集中的整數只有1，
∴，∴0又k>－1，∴k的取值范圍是(0，]．
14．－15．(1)2≤P≤6　(2)P＝2　(3)P＝4
16．解：(1)a＝0時，原不等式化為x－2＜0，∴x＜2.∴原不等式解集為{x| x＜2}．
(2)當a＜0時，原不等式化為(x－2)·(x－)＜0.方程(x－2)(x－)＝0的兩根為2，，
又2＞，∴原不等式解集為{x|＜x＜2}．
(3)當a＞0時，原不等式化為(x－2)·(x－)＞0.方程(x－2)(x－)＝0的兩根為2，.
當0＜a＜1時＞2，原不等式的解集為{x |x＞或x＜2}．
當a＝1時，原不等式化為(x－2)2＞0，解集為{x∈R|x≠2}．
當a＞1時，2＞＞0，原不等式解集為{x |x＞2或x＜}．
綜上所述，不等式解集為：a＝0時，{x∈R |x＜2}；a＝1時，{x∈R|x≠2}；a＜0時，{x|＜x＜2}；0＜a＜1時，{x| x＞或x＜2}；a＞1時，{x |x＞2或x＜}．
17．(1)x>3或x<－1　(2)p>－1
§ 3.3.1　二元一次不等式（組）與平面區域 （第一課時）
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．如圖所示，表示滿足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的點(x，y)所在的區域為 (　　)

2．已知點P(x0，y0)和點A(1,2)在直線l：3x＋2y－8＝0的異側，則 (　　)
A．3x0＋2y0>0 B．3x0＋2y0<0
C．3x0＋2y0<8 D．3x0＋2y0>8
3．不等式組表示的平面區域內整點的個數是 (　　)
A．2個 B．4個 C．6個 D．8個
4．在平面直角坐標系中，不等式組 (a為常數)表示的平面區域的面積是9，那么實數a的值為 (　　)
A．3＋2 B．－3＋2
C．－5 D．1
5．若平面區域D的點(x，y)滿足不等式組，則平面區域D的面積是 (　　)
A．＋ B．1＋
C．＋ D．1＋
6．設x2＋y2≤1表示的平面區域對應點集為M，|x|＋|y|≤1表示的平面區域對應點集為N，則M與N的關系是 (　　)
A．MN B．MN
C．M＝N D．M與N無包含關系
7．若不等式組所表示的平面區域被直線y＝k x＋分為面積相等的兩部分，則k的值是 (　　)
A． B． C． D．
8．設不等式組表示的平面區域為D.若指數函數y＝ax的圖像上存在區域D上的點，則a的取值范圍是 (　　)
A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞)
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．點P(1，a)到直線x－2y＋2＝0的距離為，且P在3x＋y－3＞0表示的區
域內，則a＝________．
10．不等式組表示的平面區域的形狀為____________．
11．若A為不等式組表示的平面區域，則當a從－2連續變化到1時，動直線x＋y＝a掃過A中的那部分區域的面積為________．
12．若不等式組表示的平面區域是一個三角形，則a的取值范圍是______________．
三、解答題(本大題共3個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分10分）作出不等式組所表示的平面區域．
14．（本小題滿分12分）利用平面區域求不等式組的整數解．
15．（本小題滿分12分）若直線y＝k x＋1與圓x2＋y2＋k x＋my－4＝0相交于P、Q兩點，且P、Q關于直線x＋y＝0對稱，則不等式組表示的平面區域的面積是多少？
四、探究與拓展（本題滿分14分）
16．求不等式|x－2|＋|y－2|≤2所表示的平面區域的面積．
答案
1．B　 2．D 3．C　 4．D　 5．B　 6．B 7．A　 8．A　
9．3 10．正方形　 11．　 12．013．解　如下圖所示．

14．整數解共有7個為(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)
15．　 16．8
§ 3.3.1　二元一次不等式（組）與平面區域 （第二課時）
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．不等式組，表示的區域為D，點P1(0，－2)，點P2(0,0)，則(　　)
A．P1?D，P2?D B.P1?D，P2∈D
C．P1∈D，P2?D D．P1∈D，P2∈D
2．不等式組表示的平面區域是 (　　)
A．兩個三角形 B．一個三角形
C．梯形 D．等腰梯形
3．點(1,2)和點(－1,3)在直線2x＋ay－1＝0的同一側，則實數a的取值范圍
是 (　　)
A．a<－ B．a>1
C．a<－或a>1 D．－4．不等式組表示的平面區域是 (　　)
A．兩個三角形 B．一個三角形
C．梯形 D．等腰梯形
5. 已知點和在直線的兩側，則的取值范圍是（　 ）
A．或 B．或
C． D．
6．已知點M，N是所圍成的平面區域內的兩點，則|MN|的最大值是 ( )
A. B. C. D.
7．不等式組表示的平面區域內的整點個數為 (　 )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．設不等式組表示的平面區域為D.若指數函數y＝ax的圖像上存在區域D上的點，則a的取值范圍是 (　　)
A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞)
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．不等式|2x－y＋m|＜3表示的平面區域內包含點(0,0)和點(－1,1)，則m的取值范圍是____ ____．
10．用三條直線x＋2y＝2,2x＋y＝2，x－y＝3圍成一個三角形，則三角形內部區域(不包括邊界)可用不等式表示為 ．
11. 點到直線的距離等于，且在不等式表示的平面區域內，則點坐標是 ．
12．設a＞0.點集S內的點(x、y)滿足下列所有條件：①≤x≤2a，②≤y≤2a，
③x＋y ≥a，④x＋a ≥y，⑤y＋a ≥x.那么S的邊界是一個_______邊形(填邊數)．
三、解答題(本大題共3個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分10分）求不等式組表示的平面區域的面積．
14．（本小題滿分12分）經過點P(0，－1)作直線l，若直線l與連結A(1，－2)、B(2,1)的線段總有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍．
15．（本小題滿分12分）某運輸公司接受了向抗震救災地區每天至少送180噸支援物資的任務．已知該公司有8輛載重6噸的A型卡車和4輛載重為10 噸的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數為：A型卡車4次，B型卡車3次．列出調配車輛的數學關系式，畫出平面區域．
四、探究與拓展（本題滿分14分）
16. 預算用元購買單價為元的桌子和元的椅子，并希望桌椅的總數盡可能多，但椅子數不能少于桌子數，且不多于桌子數的倍．問：桌、椅各買多少才合適？
答案
1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.C 7.B 8.A
9. 0＜m＜3 10.  11. 12.6
13.解：不等式x＜3表示直線x＝3左側點的集合．
不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直線x－2y＝0上及左上方點的集合．
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直線3x＋2y－6＝0上及右上方點的集合．
不等式3y＜x＋9即x－3y＋9＞0表示直線x－3y＋9＝0右下方點的集合．
綜上可得，不等式組表示的平面區域為為四邊形形狀，設頂點分別為A、B、C、D，
可知A(0,3)、B(，)、C(3，)、D(3,4)
S四邊形ABCD＝S梯形AOED－S△COE－S△AOB
＝(OA＋DE)·OE－OE·CE－OA·xB
＝(3＋4)×3－×3×－×3×＝6.
14. 解：（法一）由題意知直線l斜率存在，設為k.則可設直線l的方程為kx－y－1＝0，
由題知：A、B兩點在直線l上或在直線l的兩側，所以有：(k＋1)(2k－2)≤0
∴－1≤k≤1.
（法二）①kPA ≤k≤ kPB.數形結合法．
②直線l：y＝k x－1，與線段AB：y＝3x－5(1≤x≤2)有公共點
∴方程組在1≤x≤2上有解．
消去y得，x＝，
∴1≤≤2，∴－1≤k≤1.
15.解：設每天派出A型車x輛、B型車y輛
則即畫出平面區域為圖中陰影部分：
16. 答案：解：設桌椅分別買，張，由題意得
由解得
點的坐標為．
由解得
點的坐標為
以上不等式所表示的區域如圖所示，
即以，，為
頂點的△及其內部．
對△內的點，設，
即為斜率為，軸上截距為的平行直線系．
只有點與重合，即取，時，取最大值．
，．買桌子張，椅子張時，是最優選擇．
§ 3.3.2　簡單的線性規劃問題 （第一課時）
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．若實數x，y滿足不等式組則x＋y的最大值為 (　　)
A．9 B． C．1 D．
2．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，則z＝x－y的最大值為 (　　)
A．－1 B．1 C．2 D．－2
3．已知點P(x，y)的坐標滿足條件則x2＋y2的最大值為 (　　)
A． B．8 C．16 D．10
4．在如圖所示的坐標平面的可行域內(陰影部分且包括邊界)，目標函數z=x+a y
取得最小值的最優解有無數個，則a的一個可能值為 (　　)
A．－3　 B．3
C．－1 D．1
5．已知，若z＝x＋2y的最大值是3，則a的值是 (　　)
A．1 B．－1 C．0 D．2
6．設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝3x－4y的最大值和最小值分別為 (　　)
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
7．已知平面直角坐標系xOy上的區域D由不等式組給定．若
M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則z＝·的最大值
為 (　　)
A．3 B．4 C．3 D．4
8．如圖，目標函數z＝ax－y的可行域為四邊形OACB(含邊界)，若C(，)是該目標函數z＝ax－y的最優解，則a的取值范圍是 (　　)
A．(－ ，－) B．(－，－)
C．(，) D．(－，)
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．已知x、y滿足條件則z＝2x＋5y的最大值為_______．
10．已知實數x，y滿足則的最大值為__ __．
11．已知－112．在△ABC中，三個頂點分別為A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，點P(x，y)在△ABC的內部及其邊界上運動，則y－x的取值范圍為________．
三、解答題(本大題共3個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分10分）畫出不等式組表示的平面區域，并回答下列問題：
(1)指出x、y的取值范圍；
(2)平面區域內有多少個整點？
14．（本小題滿分12分）求的最大值和最小值，使式中的，滿足約束條件．
15．（本小題滿分12分）已知f(x)＝ax2－c，且－4≤ f(1)≤－1，－1≤ f(2)≤5，求f(3)的取值范圍．
四、探究與拓展（本題滿分14分）
16．已知實數x，y滿足.
(1)求x2＋y2－2的取值范圍；
(2)求的取值范圍．
答案
1．A　 2．B 3．D　 4．A　 5．A 6．A 　7．B 8．B
9．19　 10． 2 11．(3,8) 12．[－1,3]
13．(1)x∈，y∈[－3,8]　(2)42個
14．解：已知不等式組為
在同一直角坐標系中，
作直線，和，
再根據不等式組確定可行域△ （如圖）．
由解得點．
所以；
因為原點到直線的距離為，所以．
15. 解：由已知得即
目標函數f(3)＝9a－c.令z＝9a－c作出可行域，如圖
由圖可知，目標函數z＝9a－c分別在點A、B處取得最值．
由得A(0,1)．
由得B(3,7)．
將兩組解分別代入z＝9a－c中得z的兩個最值分別為－1和20.∴－1≤z≤20，
∴f(3)的取值范圍為[－1,20]．
16．(1)[16,114]
(2)∪[2，＋∞)
§ 3.3.2　簡單的線性規劃問題 （第二課時）
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知x、y滿足，則  的最值是 (　　)
A．最大值是2，最小值是1 B．最大值是1，最小值是0
C．最大值是2，最小值是0 D．有最大值無最小值
2．某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤．根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有 (　　)
A．5種　　 B．6種　　 C．7種　　 D．8種
3．若x、y滿足約束條件目標函數z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是 (　　)
A．(－1,2) B．(－4,2)
C．(－4,0] D．(－2,4)
4．某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規劃投資后，在這兩個項目上共可獲得的最大利潤
為 (　　)
A．36萬元 B．31.2萬元 C．30.4萬元 D．24萬元
5. 給出平面區域如圖所示，若使目標
函數取得最大值
的最優解有無窮多個，則的值
為 （　　）
A． B．
C． D．
6．某加工廠用某原料由甲車間加工出A產品，由乙車間加工出B產品，甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時，可加工出7千克A產品，每千克A產品獲利40元，乙車間加工一箱原料耗費工時6小時，可加工出4千克B產品，每千克B產品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產計劃為 (　　)
A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱
B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱
C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱
D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱
7．某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運送一次可得利潤350元．該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數，可得最大利潤z等于(　　)
A．4 650元 B．4 700元
C．4 900元 D．5 000元
8．若A為不等式組表示的平面區域，則a從－2連續變化到1時，動直線x＋y＝a掃過A中的那部分區域的面積為 (　　)
A．9 B．3
C. D.
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9. 給出下面的線性規劃問題：求的最大值和最小值，使，滿足約束條件要使題目中目標函數只有最小值而無最大值，請你改造約束條件中一個不等式，那么新的約束條件是 ．
10．實數x，y滿足不等式組則ω＝的取值范圍是__ _____．
11．已知實數x，y滿足，如果目標函數z＝x－y的最小值為－1，則實數m=
12．某公司租賃甲、乙兩種設備生產A，B兩類產品，甲種設備每天能生產A類產品5件和B類產品10件，乙種設備每天能生產A類產品6件和B類產品20件．已知設備甲每天的租賃費為200元，設備乙每天的租賃費為300元，現該公司至少要生產A類產品50件，B類產品140件，所需租賃費最少
為________元．
三、解答題(本大題共3個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分10分）某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？
14．（本小題滿分12分）兩類藥片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小蘇打，28毫克可待因，問兩類藥片最小總數是多少？怎樣搭配價格最低？

阿司匹林
小蘇打
可待因
每片價格(元)
A(毫克/片)
2
5
1
0.1
B(毫克/片)
1
7
6
0.2
15．（本小題滿分12分）某工廠要制造A種電子裝置45臺，B種電子裝置55臺，需用薄鋼板給每臺裝置配一個外殼，已知薄鋼板的面積有兩種規格：甲種薄鋼板每張面積2 m2，可做A、B的外殼分別為3個和5個，乙種薄鋼板每張面積3 m2，可做A、B的外殼分別為6個，求兩種薄鋼板各用多少張，才能使總的面積最小．
四、探究與拓展（本題滿分14分）
16. 有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機兩種方式運輸，每天每艘輪船和每架飛機的運輸效果見表．
輪船運輸量／
飛機運輸量／
糧食
石油
現在要在一天內運輸至少糧食和石油，需至少安排多少艘輪船和多少架飛機？
答案
1．C 2．C　 3．B　 4．B　 5．B 6．B　 7．C　 8．D
9． 10． 　 11． 5 12．2300
13．投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大
14．解：設A，B兩種藥品分別為x片和y片，
則有，
兩類藥片的總數為z=x+y，兩類藥片的價格
和為k=0.1x+0.2y.
如圖所示，作直線l：x+y=0，
將直線l向右上方平移至l1位置時，直線
經過可行域上一點A，且與原點最近．
解方程組，得交點A坐標.
由于A不是整點，因此不是z的最優解，結合圖形可知，經過可行域內整點且與原點距離最近的直線是x+y=11，經過的整點是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值為11.藥片最小總數為11片．同理可得，當x=3，y=8時，k取最小值1.9，
因此當A類藥品3片、B類藥品8片時，藥品價格最低．
15．解：設用甲種薄鋼板x張，乙種薄鋼板y張，則可做A種產品外殼3x＋6y個，B種產品外殼5x＋6y個，由題意可得
所有的薄鋼板的總面積是z＝2x＋3y.
可行性區域如圖所示的陰影部分，其中l1：3x+6y=45；l2：5x+6y=55，l1與l2的交點為A(5,5)，因目標函數z=2x+3y在可行域上的最小值在區域邊界的A(5,5)處取得，此時z的最小值為2×5+3×5=25.即甲、乙兩種板各5張，能保證制造A、B的兩種外殼的用量，同時又能使用料總面積最小．
16. 解：設需安排艘輪船和架飛機，則
　　即
目標函數為．
作出可行域，如圖所示．
作出在一組平行直線（為參
數）中經過可行域內某點且和原點距離
最小的直線，此直線經過直線
和的交點
，直線方程為：．
由于不是整數，而最優解中
必須都是整數，所以，可行域內點不是最優解．
經過可行域內的整點（橫、縱坐標都是整數的點）且與原點距離最近的直線經過的整點是，即為最優解．則至少要安排艘輪船和架飛機．
§ 3.4　基本不等式 （第一課時）
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知a>0，b>0，則＋＋2的最小值是 (　　)
A．2 B．2 C．4 D．5
2．若a，b ∈R，且a b>0，則下列不等式中，恒成立的是 (　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C．＋> D．＋≥2
3．已知x＜，則函數y＝4x－2＋的最大值是 (　　)
A．2 B．3 C．1 D.
4．已知m＝a＋ (a>2)，n＝x2－2 (x<0)，則m、n之間的大小關系
是 (　　)
A．m>n B．m5．設0A．logab＋logba≥2 B．logab＋logba≥－2
C．logab＋logba≤－2 D．logab＋logba>2
6．已知a，b∈(0，＋∞)，則下列不等式中不成立的是 (　　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C．≥2 D．>
7．設x，y ∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，則＋的最大值為 (　　)
A．2 B． C．1 D．
8．已知x>0、y>0，x、a、b、y成等差數列，x、c、d、y成等比數列，則的最小值是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．若a<1，則a＋有最______(填“大”或“小”)值，為________．
10．若lg x＋lg y＝1，則＋的最小值為________．
11．已知a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg()，則P、Q、R的大小關系是________．
12．若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍為________．
三、解答題(本大題共4個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分8分）設a、b、c都是正數，求證：＋＋≥a＋b＋c.
14．（本小題滿分8分）已知x>y>0，xy＝1，求證：≥2.
15．（本小題滿分8分）已知a，b，c為不等正實數，且a b c＝1.
求證：＋＋<＋＋.
16．（本小題滿分10分）設a、b、c都是正數，求證：a＋，b＋，c＋三個數中至少有一個不小于2.
四、探究與拓展（本題滿分14分）
17．已知a>b>0，求證：a2＋≥16.
答案
1．C　 2．D 　3．C 4．A　 5．C　 6．D　 7．C　 8．D
9．大　－1　 10．2 11． P13．證明　∵a、b、c都是正數，∴、、也都是正數．
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.
14．證明　∵xy＝1，
∴＝＝＝(x－y)＋≥2＝2.
當且僅當，
即時取等號．
15．證明　∵＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，
∴2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋.
∵a，b，c為不等正實數，
∴＋＋<＋＋.
16．解：假設a＋，b＋，c＋都小于2，即a＋<2，b＋<2，c＋<2，
則a＋＋b＋＋c＋<6，
當a、b、c都是正數時，
a＋＋b＋＋c＋＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2＋2＝6
與上式矛盾．
∴a＋，b＋，c＋至少有一個不小于2.
17．證明　方法一　∵a>b>0，∴a－b>0.
∴a2＋＝[(a－b)＋b]2＋≥[2]2＋
＝4(a－b)b＋
≥4×2＝16.
取“＝”時當且僅當：a－b＝b>0且(a－b)b＝>0，
即當a＝2且b＝時“＝”號成立．
方法二　∵a>b>0，∴a－b>0，b(a－b)≤2＝，
當且a＝2b時取等號，
∴a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝16.
當a＝2，b＝時，等號成立．
§ 3.4　基本不等式 （第二課時）
(檢測時間：90分鐘)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．設a、b是正實數，給出以下不等式：
①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2，
其中恒成立的序號為 (　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．函數y＝log2 (x>1)的最小值為 (　　)
A．－3 B．3 C．4 D．－4
3．已知點P(x，y)在經過A(3,0)，B(1,1)兩點的直線上，則2x＋4y的最小值
為 (　　)
A．2 B．4 C．16 D．不存在
4．已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，則lg x lg y的最大值是 (　　)
A．4 B．2 C．1 D．
5．若直線ax＋by＋1＝0(a、b>0)過圓x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圓心，則＋的最小值為 (　　)
A．8 B．12 C．16 D．20
6．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是 (　　)
A． B．4 C． D．5
7．設a>1，b>1且a b－(a＋b)＝1，那么 (　　)
A．a＋b有最小值2(＋1) B．a＋b有最大值(＋1)2
C．a b有最大值＋1 D．a b有最小值2(＋1)
8．若x y是正數，則2＋2的最小值是 (　　)
A．3 B． C．4 D．
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
9．設x>－1，則函數y＝的最小值是________．
10．一批救災物資隨17列火車以v千米/小時的速度勻速直達400千米以外的災
區，為了安全起見，兩列火車的間距不得小于()2千米，則這批物資全部運送到災區最少需__________小時．
11．若logmn＝－1，則3n＋m的最小值是________．
12．函數y＝loga(x＋3)－1(a>1，a≠1)的圖像恒過定點A，若點A在直線
m x＋n y＋1＝0上，其中m n>0，則＋的最小值為________．
三、解答題(本大題共3個小題，共34分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
13．（本小題滿分10分）已知正常數a、b和正變數x、y，滿足a＋b＝10，
＋＝1，x＋y的最小值為18，求a、b的值．
14．（本小題滿分12分）設x，y都是正數，且＋＝3，求2x＋y的最小值．

15．（本小題滿分12分）單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元．試求：
(1)倉庫面積S的取值范圍是多少？
(2)為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應設計多長？
四、探究與拓展（本題滿分14分）
16．求函數的值域。
答案
1．D 2．B　 3．B　 4．A 　5．C 6．C 　7．A　 8．C　
9．9　 10．8　 11．2　 12．8
13．解：　x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
等號在＝即＝時成立，
∴x＋y的最小值為(＋)2＝18，
又a＋b＝10，
∴ab＝16.
∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的兩根，
∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
14．　
15．解： (1)設正面鐵柵長xm，側面長為ym，總造價為z元，則
z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，倉庫面積S＝xy.
由條件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.
∵x>0，y>0，
∴4x＋9y≥2＝12.
∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0.
∴0<≤10，∴0故S的取值范圍是(0,100]．
(2)當S＝100m2時，4x＝9y，且xy＝100.
解之得x＝15(m)，y＝(m)．
答：倉庫面積S的取值范圍是(0,100]，當S取到最大允許值100m2時，正面鐵柵長15m.
16．解：由已知：，
（i）當即時，，
當且僅當即時，，此時；
（ii）當即時，
，
當且僅當即時，，此時；
綜上所述，所求函數的值域為
第三章 不等式單元測試題
本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，
考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．設a＞0，b＞0 則下列不等式中不成立的是 (　　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)(＋)≥4
C．≥a＋b D．≥
2．若關于x的方程x2＋m x＋1＝0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是 (　　)
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
3．如果a ∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小關系是 (　　)
A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2
4．若不等式ax2＋b x－2>0的解集為，則a＋b等于 (　　)
A．－18 B．8 C．－13 D．1
5．對于任意實數x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，則實數a的取值范圍 (　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
6．不等式≥2的解為 (　　)
A．[－1,0) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
7．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的兩個實根一個小于－1，另一個大于1，那么實數m的取值范圍是 (　　)
A．(－，) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
8．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，則M∩N為(　　)
A．{x|－4≤x<－2或3C．{x| x≤－2或x>3} D．{x| x<－2或x≥3}
9．在R上定義運算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實數x成立，則 (　　)
A．－1C．－10．設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝4x＋2y的最大值
為 (　　)
A．12 B．10 C．8 D．2
11．在平面直角坐標系中，若不等式組 (a為常數)所表示的平面
區域的面積等于2，則a的值為 (　　)
A．－5 B．1 C．2 D．3
12．設x，y滿足約束條件若目標函數z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為12，則＋的最小值為 (　　)
A． B． C． D．4
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題(本大題共6個小題，每小題5分，共30分，把正確答案填在題中橫線上)
13．已知關于x的不等式ax2＋b x＋c＜0的解集是{x| x＜－2，或x＞－}，則不
等式ax2－b x＋c＞0的解集為___ _____．
14．不等式>0的解集是____________________________________．
15．設x，y ∈R，且xy≠0，則的最小值為________．
16．設A＝log2011，B＝log2011，則A與B的大小關系為_____．
17．設正數x，y滿足＋≤a· 恒成立，則a的最小值是______．
18．點P(1，a)到直線x－2y＋2＝0的距離為，且P在3x＋y－3＞0表示的區域內，則a＝_______.
三、解答題(本大題共5個小題，每小題12分，共60分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
19．已知關于x的不等式<0的解集為M.
(1)若3∈M，且5?M，求實數a的取值范圍．
(2)當a＝4時，求集合M．
20．已知a，b，c ∈R＋，且a＋b＋c＝1，求證：≥8．
21．若方程7x2－(k＋13)x＋k2－k－2＝0有兩個不等實根x1，x2，且
0＜x1＜1＜x2＜2，求實數k的取值范圍．
22．已知點M(x1，f(x1))是函數f(x)＝，x∈(0，＋∞)圖像C上的一點，記曲線C在點M處的切線為l.
(1)求切線l的方程；
(2)設l與x軸，y軸的交點分別為A、B，求△AOB周長的最小值．
23．某運輸公司接受了向抗震救災地區每天送至少支援物資的任務．該公司有輛載重的型卡車與輛載重為的型卡車，有名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數為型卡車次，型卡車次；每輛卡車每天往返的成本費型為元，型為元．請為公司安排一下，應如何調配車輛，才能使公司所花的成本費最低？若只安排型或型卡車，所花的成本費分別是多少？
答案
1．D　2．C　3．B　4．C　5．D　6．A　7．D　8．A　9．C　10．B　11．D　12．A
13．{x|＜x＜2} 14．{x|－56} 15．9　 16．A>B 17．　 18．3
19．(1)1≤a<或9(2)M＝{x| x<－2或20．證明：　∵a，b，c ∈R＋，a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝＝＋≥2＝>0；
同理，－1≥>0；－1≥>0.
上述三個不等式相乘得
≥··＝8.
即≥8.
21．解：　結合f(x)＝7x2－(k＋13)x＋k2－k－2的圖像知：
???
?－2＜k＜－1或3＜k＜4.
所以實數k的取值范圍為：－2＜k＜－1或3＜k＜4
22. 解：(1)f′(x)＝－，∴k＝f′(x1)＝－.
∴切線方程為y－＝－(x－x1)，
即y＝－x＋.
(2)在y＝－x＋中，令y＝0得x＝2x1，
∴A(2x1,0)．令x＝0，得y＝，∴B(0，)．
∴△AOB的周長m＝2x1＋＋ .
∴m＝2(x1＋＋ )，x1∈(0，＋∞)．
令t＝x1＋，∵x1∈(0，＋∞)，∴t≥2.
∴當t＝2，即x1＝1時，m最小＝2(2＋)．
故△AOB周長的最小值是4＋2.
23．解：設需型、型卡車分別為輛和輛．列表分析數據．
型車
型車
限量
車輛數
運物噸數
費用
由表可知，滿足的線性條件：
，且．
作出線性區域，如圖所示，可知當直線
過時，最小，但
不是整點，繼續向上平移直線
可知，是最優解．這時
（元），即用輛型車，輛型車，成本費最低．
若只用型車，成本費為（元），只用型車，成本費為
（元）．

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