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壓軸題訓(xùn)練1
（根據(jù)09年清華大學(xué)自主招生試題改編）已知橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與平行的直線與橢圓交于點(diǎn)，求證：為定值．
（原創(chuàng)）已知函數(shù).（）
（Ⅰ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．
（21）本題主要考橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。
解：（1），設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦為，將代入橢圓方程，解得， …………2分
故，可得． …………4分
所以，橢圓方程為． …………6分
（2）由題意知，直線斜率存在，故設(shè)為，則直線的方程為，直線的方程為．可得，則． …………8分
設(shè)，，聯(lián)立方程組，
消去得：，
，，
則． …………11分
設(shè)與橢圓交另一點(diǎn)為，，聯(lián)立方程組，
消去得，，
所以． …………13分
故．
所以等于定值． …………15分
（22）本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查邏輯推理能力和創(chuàng)新意識(shí)。滿分15分。
解：（Ⅰ）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上恒成立． …………3分
即，而當(dāng)時(shí)，，故． …………5分
所以． …………6分
（Ⅱ）令，定義域?yàn)?
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立. …………8分
∵ …………9分
① 若，令，得極值點(diǎn)，，
當(dāng)，即時(shí)，在（，+∞)上有，此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；
當(dāng)，即時(shí)，同理可知，在區(qū)間上，
有，也不合題意； …………12分
② 若，則有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，
由此求得的范圍是． …………14分
綜合①②可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線下方. …………15分
壓軸題訓(xùn)練2
（全品改編）定長(zhǎng)等于的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在直線和上滑動(dòng)，線段中點(diǎn)的軌跡為；
（Ⅰ）求軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)，
使得不論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，為定值．
（原創(chuàng)并將發(fā)表在數(shù)學(xué)通訊“我為高考設(shè)計(jì)題目”欄目）
設(shè)函數(shù)，，（其中為自然底數(shù)）；
（Ⅰ）求（）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函數(shù)使得且對(duì)一切恒成立；若存在，求出一次函數(shù)的表達(dá)式，若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）數(shù)列中，，，求證：．
（21）解：（Ⅰ）設(shè)，
則、；--------------------------------2分
代入得軌跡的方程為
，即；-----------------------------5分
（Ⅱ）（1）若不與軸重合，設(shè)直線方程為，代入橢圓的方程得
，設(shè)，
則，；---------------------7分
設(shè)點(diǎn)，則


------10分
使為定值，則 ，解得
即對(duì)于點(diǎn)總有；----------------------12分
（2）當(dāng)與軸重合時(shí)，，對(duì)于點(diǎn)也有，
故在軸上存在定點(diǎn)使得為定值．---------------14分
（22）解：（Ⅰ）時(shí)，易知時(shí)、時(shí)；所以時(shí)求取最小值等于0；-------------4分
（Ⅱ）由題Ⅰ易知，，所以；----------------6分
所以可設(shè)，代入得
恒成立，所以，所以，；--------------8分
此時(shí)設(shè)，則，
易知，即對(duì)一切恒成立；
綜上，存在符合題目要求，它恰好是圖象的公切線．
（如圖8所示）---------------------------------------------10分
（Ⅲ）先證遞減且；
由題（Ⅱ）知，所以
，即為遞減數(shù)列；
又，，所以
，…
因?yàn)楫?dāng)時(shí)總有，
所以；------------------------------13分
所以
．-------------------------------------16分
壓軸題訓(xùn)練3
1、（改編）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成
等腰直角三角形。
（1）求橢圓的方程；
（2）動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T。若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
（原題）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形。
（1）求橢圓的方程；
（2）動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的動(dòng)圓恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，1）。
（命題意圖：考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的定值定點(diǎn)，及解析幾何的基本思想方法，屬中等偏難題）
2、（改編）已知函數(shù)
（I）當(dāng)a=0,求的最小值；
（II）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（III）當(dāng)，求證。
（原題）已知函數(shù)
（I）求的單調(diào)區(qū)間；
（II）討論關(guān)于x的方程的解的個(gè)數(shù)；
（命題意圖：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識(shí)，屬較難題）
1、解：（1）∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
∴∴
又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得，
∴,故所求橢圓方程為 …………3分
（2）首先求出動(dòng)直線過(guò)（0，）點(diǎn)． …………5分
當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程： …………6分
當(dāng)L與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程： …………7分
由
即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）,因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）。事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)。 …………9分
證明如下:
當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1）
若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：
由
記點(diǎn)、 …………12分



所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1）
所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件． …………15分
（注：其他解法相應(yīng)給分）
2、解：（I）
………………1分
的變化的情況如下：
—
0
+
極小值
………………3分
所以， ………………4分
（II） 由題意得： ………………5分
函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，即在上恒成立，
， ………………7分
又當(dāng)時(shí)，，
,
………………9分
（III）原不等式可化為：
令 ………………11分
上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
………………13分
令 …………15分

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