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人教版九年級下冊第二十八章“銳角三角函數”簡介
課程教材研究所
本章在前面已經研究了直角三角形中三邊之間的關系、兩個銳角之間的關系的基礎上，進一步研究其邊角之間的關系．主要內容包括正弦、余弦和正切等銳角三角函數的概念，以及運用銳角三角函數等知識解直角三角形等．本章內容與“相似三角形”“全等三角形”“勾股定理”等內容聯系緊密，相似三角形的性質是建立銳角三角函數概念的基礎和關鍵，三角形全等的判定定理是解直角三角形的理論依據，解直角三角形時需要綜合運用銳角三角函數、勾股定理等知識．通過本章的學習，使學生全面掌握直角三角形的組成要素（邊、角）之間的關系，并綜合運用已學知識解決與直角三角形有關的度量問題，進一步培養學生的推理能力，運算能力，數學建模能力，也為高中數學中任意角三角函數等知識的學習作準備．
本章安排了兩節，第一節的內容是第二節的基礎，第二節的內容是第一節的應用，并對第一節的學習有鞏固和提高的作用；此外還安排了三個選學內容．全章教學時間約需1２課時，具體分配如下（僅供參考）：
28.1 銳角三角函數 6課時
28.2 解直角三角形及應用 4課時
數學活動 2課時
小結
一、教科書內容和本章學習目標
1.本章知識結構
本章知識結構如下圖所示：
2.教科書內容
第28.1節 “銳角三角函數”中，教科書先研究銳角正弦的概念，然后在正弦概念的基礎上給出銳角余弦、正切的概念．教科書安排了從特殊到一般給出銳角正弦概念的過程，聚焦銳角正弦概念的核心，即發現對于形狀相同、大小不同的直角三角形，一個銳角的對邊與斜邊之比為定值的規律．具體地，先引導學生認識：無論直角三角形的大小如何，角所對的邊與斜邊的比總是常數（）．接著，引導學生利用等腰三角形的性質和勾股定理，探究出無論直角三角形的大小如何，銳角所對的邊與斜邊的比也總是常數（）．

有了上述兩個特例的鋪墊，教科書自然地進入對一般情況的討論：在直角三角形中，一個銳角取其他確定的度數時，它的對邊與斜邊的比是否也是常數．利用相似三角形對應邊成比例的性質，得到一般結論：在直角三角形中，當銳角的度數一定時，不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比是一個定值．并由此引出正弦的概念．這樣引出正弦的概念，能夠使學生體會到當銳角的大小確定后相應邊的比也隨之確定，而且不同的角度對應不同的比值，即在直角三角形中，一個銳角的每一個確定的值，都有唯一確定的值與它對應，這樣既解決了正弦定義的“合理性”問題（專業術語為“好定義的──welldefined”），也滲透了函數的思想．在引出正弦的概念之后，教科書引導學生類比正弦的定義過程，自主探究直角三角形中，當一個銳角確定時，其他邊之間的比的規律，并給出余弦、正切的概念．教科書還在旁白中分析了銳角三角函數的角與數值之間的對應關系，點出了函數的思想．一些特殊角的三角函數值是經常用到的，教科書借助于學生熟悉的兩種三角尺研究了，，角的正弦、余弦和正切值，并以例題的形式介紹了由特殊銳角三角函數值求特殊銳角的問題．本節最后，教科書介紹了如何使用計算器求非特殊角的三角函數值以及如何根據三角函數值求對應的銳角等內容．
第28.2節“解直角三角形及應用”是在第一節“銳角三角函數”的基礎上研究與直角三角形有關的度量問題．教科書首先解決章引言中的確定必比薩斜塔傾斜程度的問題，即已知直角三角形的斜邊和一個銳角的對邊，求出這個銳角；進而將其一般化并加以推廣，給出解直角三角形的內涵，即它是由直角三角形中的已知元素（邊、角），求出其余未知元素（邊、角）的過程．接著，教科書引導學生全面梳理直角三角形中邊角之間的關系，即反映三邊關系的勾股定理，反映銳角之間關系的互余關系，以及反映邊角之間關系的銳角三角函數，進而直接指出利用這些關系，根據兩個已知條件（其中至少有一個是邊）就可以解直角三角形了，并以例題的形式進行對如何解直角三角形進行示范；而將解直角三角形的理論依據的討論、解直角三角形的各類方法的梳理安排在本章小結中進行．最后，教科書安排了三個實際問題介紹解直角三角形的理論在實際中的應用，其解決過程均為先將實際問題抽象為數學問題──直角三角形中的度量問題，再通過解直角三角形得出實際問題的答案；在此基礎上，教科書歸納出利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程．
銳角三角函數是初中數學中的重要概念，它反映了直角三角形中銳角與兩邊比之間的關系，也是解直角三角形的基礎；銳角三角函數定義的合理性，以及用含有幾個字母的符號sin A，cos A，tan A表示函數等，學生過去沒有接觸過；其定義過程既體現了從特殊到一般的方法，同時又以理性思考為主，對學生來說也有一定難度．因此，銳角三角函數的概念既是本章的重點也是難點．解直角三角形徹底解決了直角三角形的有關度量問題，是初中數學中重要內容；同時解直角三角形具有較強的綜合性，三角形全等的判定定理是解直角三角形的理論依據，解直角三角形時需要綜合運用銳角三角函數、勾股定理等知識．解直角三角形也是本章的重點和難點．
3．本章學習目標
（1）利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數（sin A，cos A，tan A），能夠正確應用sinA，cos A，tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶，，的正弦、余弦和正切的函數值，并會由一個特殊角的三角函數值說出這個角．
（2）會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角．
（3）理解直角三角形中邊與邊的關系，角與角的關系和邊與角的關系，能運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、以及銳角三角函數解直角三角形，并能用解直角三角形等有關知識解決簡單的實際問題，體會數學在解決實際問題中的作用．
二、編寫時考慮的幾個問題
1.創設適當情境，引入核心內容
“數學是自然的”，數學的發展來源于實際需要或數學內部的需要．為了體現本章核心知識的自然性以及學習它們必要性，本章注意從實際問題或數學問題出發，通過創設適當情境加以引入．例如，章引言從比薩斜塔糾偏的實際問題出發，研究用塔身中心線與垂直中心線所成的角來描述比薩斜塔的傾斜程度的問題，從數學角度看，這個問題就是：已知直角三角形的某些邊長，求其銳角的度數，本質上就是要研究直角三角形中的邊角之間的關系．進一步地，從數學的角度對于直角三角形的組成要素——邊、角的關系加以梳理，我們已知道三邊之間的關系──勾股定理，兩個銳角之間的關系——它們互余，邊角之間的關系──大邊對大角、大角對大邊，為了解決上述問題，需要進一步研究邊角之間的關系，從而引出本章所要研究的主要內容，即通過引進銳角三角函數，建立直角三角形中邊角之間的關系，并利用銳角三角函數等知識，解決包括上述問題在內的與直角三角形有關的度量問題．上述問題實際上是已知兩邊求銳角，這就是解直角三角形的內容，由此引出界直角三角形的內容．從什么角度研究直角三角形中邊角之間的關系，以及建立邊與角之間的何種關系，是引入銳角三角函數時的首要問題，也是關鍵環節．為此，教科書設置了修建揚水站時需要準備多長水管的實際問題，在解決這個實際問題的過程中，需要用到結論“在直角三角形中，角所對的邊是斜邊的一半”，其等價形式為“在直角三角形中，角所對的邊與斜邊的比總是常數”，后者反映了直角三角形中銳角和該角的對邊與斜邊的比之間的對應關系；由此獲得啟示，建立直角三角形中邊角之間的關系，可以通過研究銳角和它的對邊與斜邊的比之間的關系進行，從而引出研究直角三角形中邊角關系的具體內容和方式．
通過從實際問題或數學問題出發，并運用數學的思維方式進行思考，引入本章的核心內容，使學生從中感悟研究數學、學習數學的重要方法，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，也積累了數學活動經驗．
2. 注意加強知識間的聯系
銳角三角函數與相似三角形是密切聯系的，相似三角形的性質是銳角三角函數概念的基礎，只有利用“相似三角形的對應邊成比例”才能得到銳角三角函數定義的合理性，教科書在給出銳角三角函數定義的過程中充分利用了這種聯系性．例如，教科書在研究正弦函數的概念時，雖然由特殊直角三角形的性質得出結論：在一個直角三角形中，如果一個銳角等于（或），那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于（或），但由相似三角形的知識可以得到一般性的方法．事實上，在直角三角形中，如果一個角等于（或），那么這樣的直角三角形都相似，因此，不管這樣的三角形的大小如何，它們的對應邊成比例，從而（或）角的對邊與斜邊的比值分別都是定值．對于一般的直角三角形，當一個銳角的度數一定時，那么這樣的直角三角形都相似，因此，不管這樣的三角形的大小如何，它們的對應邊成比例，從而這個銳角的對邊與斜邊的比是一個固定值，并把該銳角的對邊與斜邊的比定義為這個銳角的正弦，它只與銳角的大小有關，而與直角三角形的大小無關，因此銳角的正弦是 “好定義的”（well-defined）．類似地，由相似三角形的知識可以得到其他銳角三角函數也是“好定義的”．
直角三角形全等的判定定理是解直角三角形的理論依據，它對全面、深入地理解解直角三角形有著極其重要的作用．由直角三角形全等的判定定理可知，對于兩個直角三角形，如果已知除直角外的兩個元素對應相等（其中至少有一個是邊），那么這兩個直角三角形全等，從而一個直角三角形的大小由三邊和兩個銳角中的兩個元素（其中至少有一個是邊）唯一確定．因此從理論上說，就可以利用這兩個元素求出其余的元素．有了銳角三角函數知識，并結合直角三角形的兩個銳角互余及勾股定理，就可進一步地由這兩個元素的大小求出其他元素的大小，這就是解直角三角形．可見，解直角三角形與直角三角形全等的判定定理、勾股定理等已學知識有著密切的聯系．從聯系的角度看待數學知識，對我們更深入地理解相關知識，提高綜合應用能力等都很有幫助．
加強數學知識之間的聯系，對于養成良好的學習習慣，感悟數學學習、研究方法，培養分析和解決問題的能力，積累數學活動經驗有著重要作用．教學中要注意加強知識間的相互聯系，使學生的學習形成正遷移．
3.加強探究性，發展學生的思維能力
本章編寫時，對一些在重要知識點或關鍵點，繼續保持原有的通過設置“思考”“討論”“探究”“歸納”等欄目，提供學生探索交流的空間，發展學生的思維能力，并結合本章內容的特點，同時考慮到學生的年齡特征（學習本章內容的學生已經是九年級），對于本章的一些結論，教科書采用了先設置一些探究性活動欄目，然后直接給出結論的做法，而將數學結論的探索過程完全留給學生，以加大學生思維、探索的空間，不像前兩個年級那樣，將這些探究過程通過填空或留白等方式展示探索過程來引導學生進行探究．例如，教科書在詳細研究了正弦函數，給出正弦函數的概念之后，通過一個“探究”欄目提出問題：在直角三角形中，當一個銳角確定時，它的對邊與斜邊的比隨之確定．那么，此時其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？接著，教科書直接給出了余弦函數和正切函數的概念，而將“鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比都是確定的”這個結論的探究過程完全留給學生自己完成．再如，對于，，這幾個特殊角的三角函數值，教科書也是首先設置一個“探究”欄目，在欄目中提出問題：兩塊三角尺中有幾個不同的銳角？這幾個銳角的正弦值、余弦值和正切值分別是多少？”然后教科書用一個表格直接給出了這幾個特殊角的三角函數值，而將求這些角的三角函數值的過程留給學生完成．再如，對于解直角三角形，教科書通過一個“探究”欄目提出問題：在直角三角形中，除直角以外的五個元素之間有哪些關系？知道五個元素中的幾個，就可以求其他元素了？將這個欄目中真正需要探究的第二問的思考過程完全留給學生，而直接給出結論：利用邊、角之間的相互關系，知道三邊和兩個銳角中的兩個元素（其中至少有一個是邊），就可以求出其余的元素（俗稱“知二求三”）；進而給出“知二求三”解直角三角形的例題示范；并安排相當數量的“知二求三”解直角三角形的練習題和習題，使學生對“知二求三”的可行性以及具體求解方法有充分體驗，獲得較多的感性認識；最后在章小結中提出問題：“兩個直角三角形全等，要具備什么條件？為什么已知一條邊和一個銳角，或兩條邊，就能解這個直角三角形？你能根據不同的已知條件（例如，已知斜邊和一個銳角），歸納相應的解直角三角形的方法嗎”讓學生進一步思考直角三角形中能“知二求三”的理論依據，并對“知二求三”的具體方法進行分類梳理，從而對解直角三角形的認識全面升華為理性的程度．
這樣的一種編寫方式為學生提供了更加廣闊的探索空間，能讓學生獨立思考，學會思考，有效改變學生的學習方式，進而發展學生的思維能力和創新意識．
4. 加強與實際的聯系，體現建模思想
銳角三角函數和解直角三角形是緊密聯系的，銳角三角函數是解直角三角形的基礎，解直角三角形的理論又為解決一些實際問題提供了強硬有力的工具，它與實際聯系緊密．因此本章編寫時，注意加強與實際的聯系．例如，第28.1節利用確定山坡上所鋪設的水管的長度問題引出正弦函數；第28.2節結合確定薩斜塔傾斜程度問題引出解直角三角形的概念和方法等．再如，教科書通過豐富有趣的具有實際背景的例題和習題，從不同的角度展示了解直角三角形在實際中的廣泛應用．教科書這樣將銳角三角函數和解直角三角形的內容與實際問題緊密聯系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面，可以讓學生體會銳角三角函數和解直角三角形的理論來源于實際，是實際的需要；另一方面，也讓學生看到它們在解決實際問題中所起的作用；再者，通過解決實際問題的過程：先把實際問題抽象出數學問題，再解決數學問題得到數學問題的答案，最后將數學問題的答案回到實際問題，使學生進一步體驗數學模型思想和數學建模過程，培養應用意識，發展他們的數學抽象能力，以及分析問題、解決問題能力；同時，這樣的處理方式也符合學生的認知規律，有利于調動學生學習數學的積極性，豐富有趣的實際問題也能夠激發學生的學習興趣．
三、對教學的幾個建議
1. 加強銳角三角函數概念探究過程，揭示概念的內涵
本章的一個重要教學目標是使學生探究并理解銳角三角函數的概念，教學中應按教科書提供的思路，讓學生充分經歷實際問題引入——研究特殊直角三角形——研究一般直角三角形——給出銳角正弦概念的定義過程，在探究直角三角形中銳角的對邊與斜邊的比值的不變性上下足功夫．這樣的探究過程可以幫助學生理解銳角三角函數的內涵：銳角三角函數建立了直角三角形中邊與角之間的關系，具體地，在直角三角形中，對于一個確定的銳角，它的正弦、余弦、正切分別表示這個銳角的對邊與斜邊之比、鄰邊與斜邊之比、對邊與鄰邊之比，它們分別都是確定的值．特別需要指出的是，在理解銳角三角函數的內涵時，要淡化其“函數味”，只要點出“對于銳角A的每一個確定的值，sin A有唯一確定的值與它對應，所以sin A是A的函數．同樣地，cos A，tan A也是A的函數”即可．
2．加強能力培養與訓練
應用銳角三角函數等有關知識解直角三角形及其相關的實際問題是銳角三角函數教學的核心任務，也是培養學生分析問題、解決問題能力的重要載體．解直角三角形時，需要根據已知條件的特點，選擇恰當的銳角三角函數，并綜合運用勾股定理等直角三角形的有關知識加以解決，具有一定的靈活性和綜合性，初學階段，學生往往不易找到解決問題的思路，特別是選不準具體的銳角三角函數，且易發生計算錯；應用銳角三角函數等有關知識解決實際問題，對數學建模能力、推理能力、運算求解能力都有較高的要求．教學中，應注意讓學生理解解直角三角形的基本原理；在此基礎上，通過例題示范和必要的練習等形式使學生切實提高推理能力、運算能力、數學建模能力；但也要把握好度，控制好難度和廣度，不能把銳角三角函數的教學變成題型教學．
3. 發揮計算器的作用
本章教學中，應認真落實課程標準中“會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角”的要求，使學生掌握用計算器進行計算的技能．這樣，一方面，可以使學生的學習重心更好地集中在理解銳角三角函數的概念、掌握解直角三角形的原理與方法以及建立實際問題的數學模型等核心內容上；另一方面，課程標準中“解直角三角形”“解決一些簡單實際問題”的要求才能真正得到落實．
4．注意數形結合
銳角三角函數的一個突出特點是它的概念的產生和應用都與圖形有著密切的聯系．銳角三角函數具有鮮明的幾何意義，其自變量是銳角，函數值是直角三角形中邊長的比值，因此本章內容是體現數形結合的很理想的材料．例如，對于銳角三角函數的概念，教科書是利用學生對直角三角形的認識（在直角三角形中，所對的邊等于斜邊的一半，的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有關知識引入的，結合幾何圖形來定義銳角三角函數的概念，將數形結合起來，有利于學生理解銳角三角函數的本質．再比如，解直角三角形在實際中有著廣泛的作用，在將這些實際問題抽象成數學問題，并利用銳角三角函數解直角三角形時，離不開幾何圖形，這時往往需要根據題意畫出幾何圖形，通過分析幾何圖形得到邊、角等的關系，再通過計算、推理等使實際問題得到解決．因此在本章教學時，要注意加強數形結合，在引入概念、推理論證、化簡計算、解決實際問題時，都要盡量畫圖幫助分析，通過圖形幫助找到直角三角形的邊、角之間的關系，使畫圖成為教學中關注的目標．

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