資源簡介

2022全國新高考1卷數學評析
——立意新穎，界定明確，有效區(qū)分
“立意新穎，不為題海戰(zhàn)術開方便之門。界定明確，對一線教師的教學有導向功能。有效區(qū)分，讓不同水平的學生高低立顯。[1]”這是命題研究組對2022全國新高考1卷數學的總體感知。落實到2022全國新高考1卷數學的試題教學，這種感觸逐步加深。
2022全國數學高考落下帷幕，命題研究組通過研題、試講、回顧、反思，對2022年全國新高考1卷數學題，深受啟發(fā)，特撰寫此文。
立意新穎，不為題海戰(zhàn)術開方便之門
2022全國高考數學試題頗具江蘇特色。譬如：選擇題壓軸題第8題，解答題壓軸題第21題等。
選擇題第8題及其出題背景研究
該題為2016年江蘇高考試題第17題的改編。選項具有迷惑性，做到了“有效區(qū)分”。命題研究組研究員在給高一學生講解第8題時，發(fā)現：有高一學生，采用“極端思想”，求得答案為B。實則答案為C。
參考答案：；注意到
，故，答案選C，而非B。
本題題源是教材習題，改編自2016年江蘇高考第17題。
教材習題 求函數的最大值。
試題修改 對教材習題進行處理，將符號語言轉換成圖像語言。可以有兩種處理方向：處理成側棱長為1，高線長未知的正四棱錐的體積；處理成母線長為1，高線長未知的圓錐的體積。為使得處理的情況具有一般性，將“側棱長為1”、“母線長為1”均改為“長為”.
（1）按處理方向處理，形成1稿.
1稿 已知一正四棱錐的高為,側棱長為，記，求其體積的最大值及此時的長。
提示：，
2稿 現要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀為正四棱錐，其側棱長為，其底面正方形的中心為,下部分形狀為正四棱柱，其底面正方形的中心為,要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的倍，求倉庫容積最大時的長.
2稿分析：記，則；注意到，當且僅當，即時，等號成立；
，. 2016年江蘇高考第17題為2稿的特例（高考題為的情況，,）
按處理方向處理，形成問題變式.
變式 現要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀是頂點為,底面圓圓心為的圓錐，其母線長為，下部分形狀是底面圓面積與上部分圓錐的底面圓面積相等的圓柱，其下底面圓圓心為，要求圓柱的高是圓錐的高的倍，求倉庫容積最大時的長.
注：該例為筆者文章“[2]例談高中數學教材試題的衍生——以江蘇高考數學試題命制為例[J]. 文理導航(中旬),2017,(02)”節(jié)選。也是《江蘇高考數學復習指南》（劉蔣巍著）、《中學學科學法指導》（劉蔣巍著）一書內容。以此為背景命制的題有很多，譬如：《拓展閱讀1：2019江蘇19題第3問及其新解法》
解答題第21題及其出題背景研究
筆者長期從事競賽數學教學工作。當筆者看到2022年全國卷第21題時，頗感熟悉。
其出題背景為：“當點在曲線上時，過點A作兩條斜率互為相反數的直線，與曲線的另外兩個交點分別為P，Q，則直線PQ的斜率為定值。”
這讓筆者聯(lián)想到2009年、2018年江蘇高中聯(lián)賽復賽解答題第3題。（解答見《拓展閱讀2》）
原題如下：
（2009年江蘇高中聯(lián)賽復賽解答題第3題）如圖，拋物線及點，過點的不重合的直線、與此拋物線分別交于點，，，．證明：，，，四點共圓的充要條件是直線與的傾斜角互補．
（2018年江蘇高中聯(lián)賽復賽解答題第3題） 在平面直角坐標系中，已知橢圓，過點作直線與橢圓分別交于和，且直線的斜率互為相反數.
（1）證明：；
（2）記直線的斜率分別為，求證：為定值.
引理　過不在曲線上的點作兩條直線分別與橢圓交于和兩點，且直線的傾斜角互補，則．
證明：設過點傾斜角為的直線參數方程為(t為參數)，
與橢圓E聯(lián)立方程組，整理得：
所以．同理可得，
故成立．
反之，若，也有，即傾斜角互補．
由于非平行的等長線段在同一伸縮變換作用下所得線段長度是不一定相等的，需要增加條件“兩條直線傾斜角互補”，橢圓中的“割線定理”才能成立．
當點在橢圓的內部時，即為相交弦定理；
當點在橢圓的外部時，即為割線定理；
當點在曲線上時，過點作兩條斜率互為相反數的直線，與曲線的另外兩個交點分別為，則直線的斜率為定值．（2022年全國1卷第21題出題背景）
若曲線為橢圓時，；
若曲線為橢圓時，；
若曲線為拋物線時，；
推論1：過點作兩條直線分別與橢圓交于和兩點，且直線的斜率互為相反數，則．
推論2：過點作兩條直線分別與雙曲線交于A,B與C,D兩點，且直線的斜率互為相反數，則．
推論3：過點作兩條直線分別與拋物線交于A,B與C,D兩點，且直線的斜率互為相反數，則．
界定明確，對一線教師的教學有導向功能
“基礎題送分到位，中檔題多題把關，難題有效區(qū)分。”
選擇題第6題為中檔題，此類問題在往年全國卷及2021~2022年模考卷中常有涉及。方法較多，譬如：構造函數法。此類問題，需要考生熟悉常見的函數模型。
參考答案：C
類似考題：
另外，多選題第12題、填空題第16題均屬于把關題，能夠有效區(qū)分不同水平的學生。
有效區(qū)分，讓不同水平的學生高低立顯
2022年全國1卷第22題，第1問是期望大部分學生能夠得到分數的。時間來不及的學生，也可以通過猜想：a=1并驗證，得到一點分數。但第1問，要拿滿分，需要分類討論。第2問，則需要嚴謹證明。在全卷多題把關的情況下，第22題取得滿分，實屬鳳毛麟角了。
參考文獻
劉蔣巍.一道高中數學聯(lián)賽模擬題的命制與解析[J].中學數學教學參考,2018(07):60-61.
例談高中數學教材試題的衍生——以江蘇高考數學試題命制為例[J]. 文理導航(中旬),2017,(02)
拓展閱讀1：《2019江蘇19題第3問及其新解法》
設函數、為f（x）的導函數．
若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．
（3）因為，所以，
．
因為，所以，
則有2個不同的零點，設為．
由，得．
列表如下：
+ 0 – 0 +
極大值 極小值
所以的極大值．
解法三：
注意到：當時，
，
當且僅當，即時，等號成立；
令，則；
因為，所以．
．
《拓展閱讀2：2009年、2018年江蘇高中聯(lián)賽復賽解答題第3題》
（2009年江蘇高中聯(lián)賽復賽解答題第3題）如圖，拋物線及點，過點的不重合的直線、與此拋物線分別交于點，，，．證明：，，，四點共圓的充要條件是直線與的傾斜角互補．
解 設、的傾斜角分別為、，由題設知
、. 易知直線的參數方程為
，
代入拋物線方程可化得 .
設上述方程的兩根為、，則 . 由參數的幾何意義，得 .
同理.
若、、、四點共圓，則 ，即 .
因為、，所以 .
又由、不重合，則. 所以.
反過來，若，則因、，故，且，.
所以 ，即.
故、、、四點共圓.
（2018年江蘇高中聯(lián)賽復賽解答題第3題） 在平面直角坐標系中，已知橢圓，過點作直線與橢圓分別交于和，且直線的斜率互為相反數.
（1）證明：；
（2）記直線的斜率分別為，求證：為定值.
（常規(guī)方法）由題意知，過點的直線的斜率存在，記直線的斜率為，則的斜率為，設．
故直線的方程為：，即，與橢圓聯(lián)立方程組，整理得：
，
則有
同理，可得：，故．
（參數方程法）由題意知，可設直線的傾斜角為，則的傾斜角為，且，故直線的參數方程為．與橢圓聯(lián)立方程組，整理得：
由參數t的幾何意義可得
同理，可得：，故．
（2）證明略。
x
y
O
P
A
C
B
D
x
y
O
P
A
C
B
D

展開更多......

收起↑