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2022年職高數(shù)學(xué)（文科）公式大全
及重要基礎(chǔ)知識(shí)記憶檢查
目錄！
第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)…………………………………………2
第二章 函數(shù)……………………………………………………………3
第三章 倒數(shù)及其應(yīng)用…………………………………………………7
第四章 三角函數(shù)………………………………………………………8
第五章 平面向量………………………………………………………12
第六章 數(shù)列……………………………………………………………13
第七章 不等式…………………………………………………………15
第八章 立體幾何………………………………………………………17
第九章 平面解析幾何…………………………………………………19
第十章 概率、統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例………………………………24
第十一章 算法初步及框圖……………………………………………25
第十二章 推理與證明…………………………………………………26
第十三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入…………………………………26
第十四章 幾何證明選講………………………………………………26
第十五章 坐標(biāo)系和參數(shù)方程…………………………………………27
第十六章 不等式選講…………………………………………………27
第一章 集 合 與 常 用 邏 輯 用 語(yǔ)
1. 集合的基本運(yùn)算
；；
2. .集合的包含關(guān)系:；；
3. 識(shí)記重要結(jié)論： ;;
;
4．對(duì)常用集合的元素的認(rèn)識(shí)
①中的元素是方程的解，即方程的解集；
②中的元素是不等式的解，即不等式的解集；
③中的元素是函數(shù)的函數(shù)值，即函數(shù)的值域；
④中的元素是函數(shù)的定義域，即函數(shù)的定義域；
⑤中的元素可看成是關(guān)于的方程的解集，也可看成以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，為點(diǎn)的集合，是一條直線。
5. 集合的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有–1個(gè)；非空子集有–1個(gè)；非空的真子集有–2個(gè).
6. 方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.
特別地, 方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于,或且,或且.
7. 閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問(wèn)題：
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：
當(dāng)a>0時(shí)，
①若，則有
；
②若，則有
，.
當(dāng)a<0時(shí)，
①若，則有，
②若，則有，.
8. ；
9. 由不等導(dǎo)相等的有效方法：若且，則.
10. 真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
11. 常見(jiàn)結(jié)論的否定形式
原結(jié)論 反設(shè)詞 原結(jié)論 反設(shè)詞
是 不是 至少有一個(gè) 一個(gè)也沒(méi)有
都是 不都是 至多有一個(gè) 至少有兩個(gè)
大于 不大于 至少有個(gè) 至多有（）個(gè)
小于 不小于 至多有個(gè) 至少有（）個(gè)
對(duì)所有，成立 存在某，不成立 或 且
對(duì)任何，不成立 存在某，成立 且 或
12. 四種命題的相互關(guān)系
如右圖所示
13. 充要條件
（1）若，則說(shuō)是的充分條件，同時(shí)是的必要條件
（2）充要條件：若，且，則是的充要條件.
另外：如果條件最終都可化為數(shù)字范圍，則可轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來(lái)刻畫(huà)，二者邏輯關(guān)系一目了然。設(shè)，，①若，則是的充分不必要條件；②若,則是的必要不充分條件；③若，則是的充要條件。
第二章 函 數(shù)
14. 函數(shù)的單調(diào)性
(1)設(shè)那么
上是增函數(shù)；
上是減函數(shù).
(2)設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).
⑶單調(diào)性性質(zhì)：
①增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；②減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；③增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；④減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；
注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號(hào)左邊兩個(gè)函數(shù)定義域的交集。
15. 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：
⑴如果函數(shù)和都是減函數(shù)（增函數(shù)）,則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù)（增函數(shù)）;
⑵
16．函數(shù)的奇偶性（注：奇偶函數(shù)大前提：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）
⑴若是偶函數(shù)，則；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；偶函數(shù)在x>0和x<0上具有相反的單調(diào)區(qū)間。
⑵定義域含零的奇函數(shù)必過(guò)原點(diǎn)（可用于求參數(shù)）；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；奇函數(shù)在x>0和x<0上具有相同的單調(diào)區(qū)間。
⑶判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：或者
⑷奇偶函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．
⑸多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性
多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.
多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.
17. 函數(shù)的圖象的對(duì)稱性：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
18. 兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性
(1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對(duì)稱.
(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對(duì)稱.
(3)指數(shù)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
19. 若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線的圖象.
20． 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系（指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)
）：.
21. 幾個(gè)常見(jiàn)抽象函數(shù)模型所對(duì)應(yīng)的具體函數(shù)模型
(1)正比例函數(shù),.
(2)指數(shù)函數(shù),.
(3)對(duì)數(shù)函數(shù),
.
(4)冪函數(shù),.
(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，，.
22. 對(duì)于，，，，的圖象，了解它們的變化情況．
如圖：
23. 幾個(gè)函數(shù)方程的周期
⑴對(duì)時(shí)，，則的周期為的周期函數(shù)
⑵或恒成立，則是周期為的周期函數(shù)
⑶若是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期為的周期函數(shù)
⑷若是奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期為的周期函數(shù)
⑸對(duì)時(shí)，，或,則的周期的周期函數(shù)
24. 函數(shù)圖像變換
25. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(1)（，且）;(2)（，且）.
26． 根式的性質(zhì)
（1）;（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.
27． 有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1);(2);
(3).
28. 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式
.
29. 對(duì)數(shù)的換底公式
(,且,,且, ).
推論 (,且,,且,, ).
30． 對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1);(2) ;
(3)；
31. 對(duì)數(shù)有關(guān)性質(zhì)：
⑴的符號(hào)有口訣“同正異負(fù)”記憶；⑵；⑶；
⑷對(duì)數(shù)恒等式：
⑸；
⑹設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對(duì)于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).；
32. 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析：
的符號(hào)
圖像
定義域
值域
單調(diào)性 在(0,+∞)上是增函數(shù) 在(0,+∞)上是減函數(shù)
過(guò)定點(diǎn)
函數(shù)值的分布情況 時(shí)，；時(shí)， 時(shí)，；時(shí) ，
⑹指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析：
的符號(hào)
圖像
定義域
值域
單調(diào)性 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù)
過(guò)定點(diǎn)
函數(shù)值的分布情況 時(shí)，； 時(shí)， 時(shí)，；時(shí)，
33. 平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題
如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，有.
第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
34．導(dǎo)數(shù)的定義：在處的導(dǎo)數(shù)記作
.
35. ⑴在的導(dǎo)數(shù)概念：.
⑵能根據(jù)導(dǎo)數(shù)概念求函數(shù) (為常數(shù))，，，，的導(dǎo)數(shù).
36. 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：
函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是.
37. 幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1) （C為常數(shù)）；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；；
(6) .
38. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
法則1 ：；
法則2 ：；
法則3 ：
39. 判別是極大（?。┲档姆椒?br/>當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，
（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；
（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.
第四章 三角函數(shù)
40． ⑴終邊相同的角的集合：;
⑵角度與弧度的換算：；
⑶弧長(zhǎng)與扇形的面積公式：弧長(zhǎng)，扇形面積.
⑷常見(jiàn)恒成立的三角不等式（給定范圍條件下）
①若，則；②若，則；
③ .
41. 常用三角函數(shù)不等式及相關(guān)等式的解集：
⑴不含絕對(duì)值情況： ①的集合是
；
②的集合是
；
③的集合是。
⑵含絕對(duì)值情況：①的集合是
；
②的集合是
；
③的集合是。
42. ⑴對(duì)于“”這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，可以求出其余二式的值。
⑵三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
“奇變偶不變，符號(hào)看象限，看左邊，寫右邊”
形似角中的角不論多大，都看作銳角；形似角在原名稱、原象限中的符號(hào)；
43. ⑴同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，=
推論：；
（正負(fù)號(hào)取決于所在的象限）
⑵和角與差角公式
;;
；
(正弦平方差公式);
(余弦平方差公式)；
=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定,其中 ).
⑶二倍角公式：
；；
萬(wàn)能公式：；；
⑷半角公式（降冪公式）：
①；；
②
44. 三角函數(shù)的周期公式
函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；
函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期.
45. ①類正弦函數(shù)的圖像的變換（兩種辦法殊途同歸）
②類正弦函數(shù)的參數(shù)計(jì)算：振幅，,
,求時(shí)，一般代入最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)的坐標(biāo)后，利用已知三角函數(shù)值求角，再根據(jù)給定的范圍進(jìn)而分析得到值。
46. 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)
函數(shù)
圖像
定義域 R
值域
最值 時(shí)，時(shí)， 時(shí)，時(shí)，
單調(diào)性 時(shí)，減函數(shù)時(shí)，增函數(shù)
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù)
周期性 最小正周期為
對(duì)稱性 對(duì)稱軸：對(duì)稱中心： 對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：
47. 正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)
函數(shù)
圖像
定義域
值域 R
單調(diào)性
奇偶性 奇函數(shù)
周期性 最小正周期為
對(duì)稱性 對(duì)稱中心：
48. ⑴正弦定理：
.（R為外接圓的半徑，也是外接圓半徑的一種算法。）.
①，，等；
②，，
等；
⑵余弦定理：
;
;
.
⑶正弦定理和余弦定理的應(yīng)用解題常與三角形內(nèi)角和定理相伴；解題時(shí)注意一種重要關(guān)系：在中，給定角的正弦或余弦值，則角的正弦或余弦有解（即存在）
49. 三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，有
50. 面積定理
⑴（分別表示a、b、c邊上的高）.
⑵
⑶ (其中為的外接圓的半徑)
⑷（R為外接圓的半徑，也是外接圓半徑的一種算法。）
⑸(其中為的內(nèi)切圓的半徑，也能導(dǎo)出內(nèi)切圓半徑的一種算法。順便說(shuō)下，直角三角形中內(nèi)切圓的半徑，其中為兩條直角邊，為斜邊。)
⑹(其中，海倫公式)
⑺（注意：此時(shí)以坐標(biāo)原點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)的三角形的面積公式）；設(shè)，則
第五章 平面向量
51. 向量的加減法的代數(shù)結(jié)構(gòu)：
⑴ ⑵
52. 平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．（不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．）
53． 向量平行與垂直的坐標(biāo)表示：設(shè)=,=，且，
則∥ ()；.
54. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)：a·b=|a||b|cosθ．其幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
55. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)設(shè)a=,b=，則a+b=；
(2)設(shè)a=,b=，則a-b=；
(3)設(shè)A，B,則；
(4)設(shè)a=，則a=；
(5)設(shè)a=,b=，則a·b=.
56. 兩向量的夾角公式：(a=,b=).
57. 平面兩點(diǎn)間的距離公式：=(A，B).
58. ①線段的定比分公式：
設(shè)，，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則
（）.
②中點(diǎn)的向量形式：平面內(nèi)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，為直線外任意一點(diǎn)，則有;
設(shè)此時(shí)，則中點(diǎn)的坐標(biāo)公式：
59. 三角形的重心坐標(biāo)公式：△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是.
60. 三角形四“心”向量形式的充要條件
設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則
（1）為的外心.
（2）為的重心.
（3）為的垂心.
（4）為的內(nèi)心.
第六章 數(shù) 列
61. ⑴自然數(shù)和公式：
①；
②；
③
⑵常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式：
①；
②；
③；
④；⑤.
⑶數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系
①
② （注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）
③ （注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）
62. ⑴ 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：
①一般式：；
②推廣形式： ；
③前項(xiàng)和形式（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）其前n項(xiàng)和公式為：
.
⑵ 數(shù)列為等差數(shù)列（為常數(shù)）
⑶ 常用性質(zhì)：
①若m+n=p+q ，則有 ；特別地：若的等差中項(xiàng)，則有2n、m、p成等差數(shù)列；
②等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”（如，）仍是等差數(shù)列；
③為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則，，．．．也成等差數(shù)列；
④；
⑤1+2+3+…+n=
63. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：
⑴ ①一般形式：；
②推廣形式：，
③其前n項(xiàng)的和公式為：，或.
⑵數(shù)列為等比數(shù)列
⑶ 常用性質(zhì)：
若m+n=p+q ，則有 ；特別地：若的等比中項(xiàng)，則有 n、m、p成等比數(shù)列;
等比數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”（如，）仍是等比數(shù)列；
③為等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則，，．．．也成等比數(shù)列（僅當(dāng)當(dāng)或者且不是偶數(shù)時(shí)候成立）；
④設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，，成等比數(shù)列．
第七章 不 等 式
64. 常用不等式：
⑴(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))；
⑵(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))；⑶.
65. 極值定理
已知都是正數(shù)，則有
（1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值；
（2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值.
推廣形式：已知，則有
（1）若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大；當(dāng)最小時(shí),最小.
（2）若和是定值,則當(dāng)最大時(shí), 最??；當(dāng)最小時(shí), 最大.
66. ①一元二次不等式，如果與同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果與異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.
；
.
②簡(jiǎn)單的高次不等式的解法：數(shù)軸標(biāo)根法（穿針引線法）。注意重因式的處理，奇次重根一次穿過(guò)，偶次重根穿而不過(guò)。
例如：，如圖
從圖中易知解集為
③一元二次方程的根的分布情況：設(shè)是實(shí)系數(shù)二次方程的兩個(gè)實(shí)根，則的分布范圍與二次方程系數(shù)之間的關(guān)系，如下表所示：
根的分布 圖像 充要條件
有且只有一個(gè)在內(nèi) 或或
67. 含有絕對(duì)值的不等式，當(dāng)a> 0時(shí)，有
.
或
68. （1）理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：
，；
，.
（2）會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：
；；.
69. 無(wú)理不等式
（1） ；
（2）；
（3）
70. 指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式
(1)當(dāng)時(shí),
; .
(2)當(dāng)時(shí),
;
第八章 立體幾何
71. 常用公理和定理
公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．
公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．
定理：①空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
②平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．
③一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．
④一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直．
⑤一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直．
⑥一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行．
⑦兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行．
⑧垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．
⑨兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．
72. 三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）
設(shè)AB與平面α所成的角為,AC是α內(nèi)的任一
條直線，且AC與AB的射影AB/所成的角
為，AB/與AC所成的角為．則
.如右圖⑴。
73. 空間兩點(diǎn)間的距離公式 若A，B，
則=.
74. 面積射影定理：.(平面多邊形及其射影的面積
分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).如圖⑵。
75． 已知：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為
，因此有；若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為，則有。（線線面12）
76． 棱錐的平行截面的性質(zhì)：
如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則：.
77. 球
①球的半徑是R，則其體積,其表面積；
②球的半徑（R），截面圓半徑（），球心到截面的距離為（）構(gòu)成直角三角形，因而有關(guān)系：，它們是計(jì)算球的關(guān)鍵所在。
78. 球的組合體
(1)球與長(zhǎng)方體的組合體: 長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).
(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).
(3) 球與正四面體的組合體: 棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.
79． 柱體、錐體的體積
（是柱體的底面積、是柱體的高）;（是錐體的底面積、是錐體的高）.
80. 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則
；；；∥,或；
⊥
81. 二面角的平面角計(jì)算（夾角）公式：設(shè)為平面，的法向量。通常情況下，若已知，則
82. 空間兩點(diǎn)的距離公式：設(shè)，則.
83． 高中數(shù)學(xué)角的范圍：
① 向量夾角:[0°,180°]；
直線的傾斜角:[0°,180°)；
③ 共面直線的夾角:[0°,90°]；
④ 直線和平面夾角:[0°,90°]；
⑤ 異面直線夾角:(0°,90°]；
⑥ 二面角:[0°,180°]。
第九章 平面解析幾何
84. 斜率公式
①（、）.
②曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，切線方程：.
③直線的一個(gè)方向向量為
85. 直線的五種方程﹙一般兩點(diǎn)斜截距﹚
（1）點(diǎn)斜式 (直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為)．
（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).
（3）兩點(diǎn)式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同時(shí)為0).
86. 兩條直線的平行和垂直
(1)若，
①; ②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,
①；②；
（3）直線:中，若,
則垂直于軸；若,則垂直于軸。
87．四種常用直線系（具有共同特征的一族直線）方程
(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．
(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)．
(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．
88. 點(diǎn)到直線的距離
(點(diǎn),直線：).
89. 或(其中A、B不同時(shí)為0).所表示的平面區(qū)域
設(shè)直線，則(或)所表示的平面區(qū)域是：
若,則用原點(diǎn)試，結(jié)果適合不等式，表示原點(diǎn)所在的平面區(qū)域就是。否則，邊界的另一區(qū)域才是；
若，則用點(diǎn)或者試，方法同上。
90. 圓的四種方程
（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ；
（2）圓的一般方程 (＞0).
（3）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是、).
91. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種若，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).
92. 直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有三種:
①;
②;
③.其中.
93. 兩圓位置關(guān)系的判定方法
設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
①;
②
③;
④;
⑤.
94. 圓的切線方程：已知圓．過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為;
95. 橢圓
①橢圓定義：；
②（即，注意）；
③設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，且，則有.
④下表是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)。
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
范圍 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a
對(duì)稱性 關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱
頂點(diǎn)坐標(biāo)
焦點(diǎn)坐標(biāo)
半長(zhǎng)軸 長(zhǎng)半軸橢長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為
焦距 焦距為
關(guān)系
離心率
⑴橢圓焦半徑公式：，；
⑵橢圓的的內(nèi)外部：
①點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部；
②點(diǎn)在橢圓的外部；
⑶橢圓與直線相切的條件是.
96. 雙曲線
①雙曲線定義：；
②（即，注意，其中為同一象限內(nèi)的實(shí)頂點(diǎn)、虛頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
③設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，且，則有.
④下表是其標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何意義。
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
范圍 或者 或者
對(duì)稱性 關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱
頂點(diǎn)坐標(biāo)
焦點(diǎn)坐標(biāo)
半長(zhǎng)軸 實(shí)半軸橢長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為
焦距 焦距為
關(guān)系
離心率
漸近線
⑴ 雙曲線的焦半徑公式：，;
⑵ 雙曲線的內(nèi)外部：
①點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部；
②點(diǎn)在雙曲線的外部;
⑶ 雙曲線與直線相切的條件是.
97. 拋物線
⑴拋物線的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）為，，則有如下結(jié)論：
焦半徑公式：；
焦點(diǎn)弦長(zhǎng)；
③，.
⑵拋物線的內(nèi)外部：
點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部；
②點(diǎn)在拋物線的外部；
⑶拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P，可簡(jiǎn)化計(jì)算。
⑷ 拋物線的切線方程：
拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是；
②拋物線與直線相切的條件是.
98. 拋物線：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)軌跡。下表是其標(biāo)準(zhǔn)方程及圖形
方程 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 圖形
99. ①直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 或
（弦端點(diǎn)A，由方程 消去y得到，,為直線的斜率）;
②中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓，雙曲線方程可設(shè)為；
③處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問(wèn)題常用代點(diǎn)相減法：設(shè)A為橢圓上不同兩點(diǎn)，是中點(diǎn)，則；對(duì)于雙曲線，類似可得：；對(duì)于拋物線有.
100. 圓錐曲線的兩類對(duì)稱問(wèn)題
（1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的曲線是.
（2）曲線關(guān)于直線成軸對(duì)稱的曲線是
.
第十章 概率、統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例
101. 等可能性事件的概率：=
102. P（A）=.
103. 互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和:P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
104. 個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和:P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
105. 抽樣方法主要有：①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽簽法、隨機(jī)樣數(shù)表法)常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的主要特征是從總體中逐個(gè)抽??；②系統(tǒng)抽樣，常常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一個(gè)；③分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異。它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等。每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與樣本容量與總體容量的比相等或相近。即：
或者
106. 總體分布的估計(jì)：用樣本估計(jì)總體的方法就是把樣本的頻率作為總體的概率。一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確，要求能畫(huà)出頻率分布表和頻率分布直方圖.
107. 樣本平均數(shù)：；
樣本方差：；
樣本標(biāo)準(zhǔn)差：。
第十一章 算 法 初 步 及 框 圖
108. ①畫(huà)出計(jì)算的程序框圖，如圖⑴；②對(duì)圖⑵，若輸入，則執(zhí)行程序后輸出y的值為:____
第十二章 推理與證明
109. ⑴歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。；
⑵類比推理是從特殊到特殊的推理。通常是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠
110. 綜合法是“由因?qū)Ч保环治龇ㄊ恰皥?zhí)果索因”；反證法，往往用于“正難則反”，思路決定出路。
第十三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
110. 復(fù)數(shù)的相等：.（）
111. 復(fù)數(shù)的模：==.
112. 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則
(1);(2);
(3);
(4).
113. (其中和互為共軛復(fù)數(shù))
114. ⑴；
⑵；
⑶虛數(shù)單位的冪的周期性：
，，，，
115. 設(shè),則有: ①；②；③.
第十四章 幾何證明選講
116． ① 圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。
推論：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。
② 弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角；弦切角的度數(shù)等于它所夾弧度數(shù)的一半。
③ 切割線定理：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的一條切線和一條割線，切線長(zhǎng)是割線上從這點(diǎn)到兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。
推論（割線定理）：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條割線，在一條割線上從這點(diǎn)到兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)的積，等于另一條割線上對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)的積。
④ 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。
⑤ 直角三角形的射影定理：中，為斜邊上的高，如圖⑷。則有
⑴;⑵⑶;.
第十五章 坐標(biāo)系和參數(shù)方程
117. 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化
設(shè)為平面上的任一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為，極坐標(biāo)為，如圖⑸，由圖可知下面的關(guān)系式成立：
或者
這就是極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的互化公式。
第十六章 不等式選講
118. ⑴函數(shù)的值域。（答案提示：，圖像如圖⑴所示）。函數(shù)的幾何意義；表示在數(shù)軸上，到定點(diǎn)1和2的距離之和。
⑵函數(shù)值域，（答案提示，其圖像如圖⑵所示）。函數(shù)的幾何意義：表示在數(shù)軸上，到定點(diǎn)1的距離與到定點(diǎn)2的距離的差。
⑶會(huì)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，求不等式、的解集。
具體求解不等式的類型及具體的解法，見(jiàn)“第七章 不等式”。
二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法”：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系。
表1
同真為真
同假為假
真假相對(duì)
表2
原命題
“”
逆命題
“”
否命題
“”
逆否命題
“”
互逆
互逆
互
否
互
否
為
互
逆
否
互
為
逆
否
一個(gè)命題
一種形式
兩種方法
增函數(shù)
增函數(shù)
增函數(shù)
增函數(shù)
增函數(shù)
增函數(shù)
減函數(shù)
減函數(shù)
減函數(shù)
減函數(shù)
減函數(shù)
減函數(shù)
小結(jié)：同增異減。研究函數(shù)的單調(diào)性，定義域優(yōu)先考慮，且復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是它的定義域的某個(gè)子區(qū)間。
圖象
圖象
圖象
圖象
向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱單位
點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1/ω倍
縱坐標(biāo)不變
點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍
橫坐標(biāo)不變
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱單位
圖象
1
x
y
o
1
1
y
x
o
1
o
1
x
1
y
左正右負(fù)
極大值
左負(fù)右正
極小值
半個(gè)月亮爬上來(lái)
所謂伊人 在水一方
注意：總共兩套誘導(dǎo)公式（一套是函數(shù)名不變；另一套是函數(shù)名必須改變）；對(duì)于余弦函數(shù)和正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式規(guī)律記憶同正弦函數(shù)。
作y=sinx（長(zhǎng)度為2的某閉區(qū)間）的圖像
得y=sin(x+φ)的圖像
得y=sinωx的圖像
得y=sin(ωx+φ)的圖像
得y=sin(ωx+φ)的圖像
得的圖象，先在一個(gè)周期閉區(qū)間上再擴(kuò)充到R上。
沿x軸平移|φ| 個(gè)單位（左加右減）
橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或 縮短到原來(lái)的 倍
橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮 短到原來(lái)的 倍
沿x軸平移||個(gè)單位（左加右減）
縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮 短到原來(lái)的A倍
縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮 短到原來(lái)的A倍
時(shí)，增函數(shù)
時(shí)，減函數(shù)
時(shí)，增函數(shù)
地位相同
等號(hào)兩邊
首首接 尾尾聯(lián) 指向被減向量
尾首接 首尾聯(lián)
“一定二正三相等”
積定和最小
和定積最大
對(duì)于 EMBED
qu
n.DSMT4 的情形“大射線小線段”
-3
-1
1
5
-
-
-
大射線 小線段
圖⑴
圖⑵
有誰(shuí)垂（吹）誰(shuí)
是0，（0，1）、（1，0）試
非0，（0、0）試
x
y
F1
F2
O
A1
A21
B21
B1
F1
F2
y
x
O
B1
F
y
x
O
F
y
x
O
F
y
x
O
F
y
x
O
四大方程四條規(guī)律：
⑴一次項(xiàng)是誰(shuí)，焦點(diǎn)在誰(shuí)軸上；
⑵一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，代表開(kāi)口方向的上下或右左；
⑶焦點(diǎn)坐標(biāo)一個(gè)是0，另一非0，且剛好是 一次項(xiàng)系數(shù)的；
⑷準(zhǔn)線方程的數(shù)值剛好是焦點(diǎn)的非0坐標(biāo)的相反數(shù)。
開(kāi)始
S1=0,i=1
i<=4
輸出S
結(jié)束
是
否
圖⑶
輸入
S1=S1+xi
i=i+1
③某城市缺水問(wèn)題比較突出，為了制定節(jié)水管理辦法，對(duì)全市居民某年的月均用水量進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中4位居民的月均用水量分別為:(單位：噸)。根據(jù)如圖所示的程序框圖，若分別為1，1.5，1.5，2，則輸出的結(jié)果s為_(kāi)_____________.
④如果執(zhí)行下面的程序框圖，如圖⑷，輸入N=5,則輸出的數(shù)等于__________；⑤閱讀下面的程序框圖⑸，運(yùn)行相應(yīng)的程序后，則輸出S的值為_(kāi)________.
開(kāi)始
y=x2
y=1
x>1
輸出y
結(jié)束
N
輸入y
Y
y=4x
x<1
N
Y
圖⑵
開(kāi)始
s=0
i=2
s=s+i2
i=i+2
i<=100
輸出s
結(jié)束
是
否
圖⑴
開(kāi)始
S=0,k=1
k輸出S
結(jié)束
是
否
圖⑷
輸入N
k=k+1
開(kāi)始
s=0
i=1
s>11
輸出s
結(jié)束
是
否
圖⑸
一、二、三、四
負(fù)一，相反數(shù)
圖⑷
圖⑸
y
y
x
o
3
2
1
2
1
3
1
o
x
2
1
-1
圖⑵
圖⑴

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