資源簡介

2022年中職數學基礎知識匯總
預備知識：
1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
2.平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
3.立方和（差）公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
集合
構成集合的元素必須滿足三要素：確定性、互異性、無序性。
集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖像法（文氏圖）。
常用數集：N（自然數集）、Z（整數集）、Q（有理數集）、R（實數集）、N+（正整數集）
元素與集合、集合與集合之間的關系：
元素與集合是“”與“”的關系。
集合與集合是“” “”“”“”的關系。
注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做題時多考慮Ф是否滿足題意）
（2）一個集合含有n個元素，則它的子集有2n個，真子集有2n-1個，非空真子集有2n-2個。
集合的基本運算（用描述法表示的集合的運算盡量用畫數軸的方法）
（1）：與的公共元素組成的集合
（2）：與的所有元素組成的集合（相同元素只寫一次）。
（3）：中元素去掉中元素剩下的元素組成的集合。
注：
會用文氏圖表示相應的集合，會將相應的集合畫在文氏圖上。
充分必要條件:是的……條件 是條件，是結論
如果pq，那么p是q的充分條件;q是p的必要條件.
如果pq，那么p是q的充要條件
不等式
不等式的基本性質：（略）
注：（1）比較兩個實數的大小一般用比較差的方法；另外還可以用平方法、倒數法。
（2）不等式兩邊同時乘以負數要變號！！
（3）同向的不等式可以相加（不能相減），同正的同向不等式可以相乘。
重要的不等式：
（1），當且僅當時，等號成立。
（2），當且僅當時，等號成立。（3）
注：（算術平均數）（幾何平均數）
一元一次不等式的解法（略）
一元二次不等式的解法
保證二次項系數為正
分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：
定解：（口訣）大于取兩邊，小于取中間。
絕對值不等式的解法
若，則
分式不等式的解法：與二次不等式的解法相同。注：分母不能為0.
函數
函數
（1）定義：設A、B是兩個非空數集,如果按照某種對應法則,對A內任一個元素x,在B中總有一個且只有一個值y與它對應,則稱是集合A到B的函數,可記為::A→B,或:x→y.其中A叫做函數的定義域.函數在的函數值,記作,函數值的全體構成的集合C(C B),叫做函數的值域.
（2）函數的表示方法：列表法、圖像法、解析法。
注：在解函數題時可以畫出圖像，運用數形結合的方法可以使大部分題目變得更簡單。
函數的三要素：定義域、值域、對應法則
定義域的求法：使函數（的解析式）有意義的的取值范圍
主要依據：分母不能為0，偶次根式的被開方式0，
特殊函數定義域：
值域的求法：的取值范圍
正比例函數： 和 一次函數：的值域為
二次函數：的值域求法：配方法。如果的取值范圍不是則還需畫圖像
反比例函數：的值域為
另求值域的方法：換元法、不等式法、數形結合法、函數的單調性等等。
解析式求法：在求函數解析式時可用換元法、構造法、待定系數法等。
函數圖像的變換
平移
翻折
函數的奇偶性
定義域關于原點對稱
若奇 若偶
注：①若奇函數在處有意義，則
②常值函數（）為偶函數
③既是奇函數又是偶函數
函數的單調性
對于且，若
增函數：值越大，函數值越大；值越小，函數值越小。
減函數：值越大，函數值反而越小；值越小，函數值反而越大。
二次函數
（1）二次函數的三種解析式
①一般式：（）
②頂點式： （），其中為頂點
③兩根式： （），其中是的兩根
（2）圖像與性質
二次函數的圖像是一條拋物線，有如下特征與性質：
開口 開口向上 開口向下
對稱軸： 頂點坐標：
與軸的交點： ④ 根與系數的關系：（韋達定理）
⑤為偶函數的充要條件為
⑥二次函數（二次函數恒大（小）于0）
⑦若二次函數對任意都有，則其對稱軸是。
指數函數與對數函數
指數冪的性質與運算
（1）根式的性質：
①為任意正整數， ②當為奇數時，；當為偶數時，
③零的任何正整數次方根為零；負數沒有偶次方根。
（2） 零次冪：
負數指數冪：
分數指數冪：
實數指數冪的運算法則：
① ② ③
冪運算時，注意將小數指數、根式都統一化為分數指數；一般將每個數都化為最小的一個數的次方。
冪函數
指數與對數的互化： 、
對數基本性質： ① ② ③ ④
⑤
⑥
對數的基本運算：
換底公式：
指數函數、對數函數的圖像和性質
指數函數 對數函數
定義
圖像
性質 (1) (2) 圖像經過點（3） (1) (2) 圖像經過點（3）
利用冪函數、指數函數、對數函數的單調性比較兩個數的大小，將其變為同底、同冪（次）或用換底公式或是利用中間值0，1來過渡。
指數方程和對數方程：指數式和對數式互化 同底法 換元法 ④取對數法
注：解完方程要記得驗證根是否是增根，是否失根。
數列
等差數列 等比數列
定義 每一項與前一項之差為同一個常數 每一項與前一項之比為同一個常數
注：當公差時，數列為常數列 注：等比數列各項及公比均不能為0；當公比為1時，數列為常數列
通項公式
推論 （1）（2）（3）若，則 （1）（2）（3）若，則
中項公式 三個數成等差數列，則有 三個數成等比數列，則有
前項和公式 （）
已知前項和的解析式，求通項
弄懂等差、等比數通項公式和前項和公式的證明方法。（見教材）
三角函數
弧度和角度的互換
弧度 弧度弧度 弧度
扇形弧長公式和面積公式
（記憶法：與類似）
任意三角函數的定義：
= = =
特殊三角函數值
不存在
三角函數的符號判定
口訣：一全二正弦，三切四余弦。（三角函數中為正的，其余的為負）
圖像記憶法
三角函數基本公式
（可用于化簡、證明等）
（可用于已知求；或者反過來運用）
7. 誘導公式：口訣：奇變偶不變，符號看象限。
解釋：指，若為奇數，則函數名要改變，若為偶數函數名不變。
已知三角函數值求角:
(1) 確定角所在的象限; (2) 求出函數值的絕對值對應的銳角; (3) 寫出滿足條件的的角; (4) 加上周期（同終邊的角的集合）
和角、倍角公式
⑴ 和角公式： 注意正負號相同
注意正負號相反
⑵ 二倍角公式：
⑶ 半角公式：
9. 三角函數的圖像與性質
函數 圖像 性 質
定義域 值域 同期 奇偶性 單調性
奇
偶
正弦型函數
(1)定義域，值域
（2）周期：
（3）注意平移的問題：一要注意函數名稱是否相同，二要注意將的系數提出來，再看是怎樣平移的。
（4）
正弦定理
（為的外接圓半徑）
其他形式：（1） （注意理解記憶，可只記一個）
（2）
余弦定理
（注意理解記憶，可只記一個）
三角形面積公式
（注意理解記憶，可只記一個）
海倫公式：（其中為的半周長，）
平面向量
向量的概念
定義：既有大小又有方向的量。
向量的表示：書寫時一定要加箭頭！另起點為A，終點為B的向量表示為。
向量的模（長度）：
零向量：長度為0，方向任意。
單位向量：長度為1的向量。
向量相等：大小相等，方向相同的兩個向量。
反（負）向量：大小相等，方向相反的兩個向量。
向量的運算
圖形法則
三角形法則 平形四邊形法則
（2）計算法則
加法： 減法：
（3）運算律：加法交換律、結合律 注：乘法（內積）不具有結合律
數乘向量： （1）模為： （2）方向：為正與相同；為負與相反。
的坐標：終點B的坐標減去起點A的坐標。
向量共線（平行）：唯一實數，使得。 （可證平行、三點共線問題等）
平面向量分解定理：如果是同一平面上的兩個不共線的向量，那么對該平面上的任一向量，都存在唯一的一對實數，使得。
注意中，重心(三條中線交點)、外心（外接圓圓心：三邊垂直平分線交點）、內心（內切圓圓心：三角平分線交點）、垂心（三高線的交點）
向量的內積（數量積）
向量之間的夾角：圖像上起點在同一位置；范圍。
內積公式：
向量內積的性質：
（夾角公式） （2）⊥
（3） （長度公式）
向量的直角坐標運算： （1）
設，則
中點坐標公式：若A,B,點M(x,y)是線段AB的中點,則
向量平行、垂直的充要條件：設，則
∥ （相對應坐標比值相等）
⊥ （兩個向量垂直則它們的內積為0）
長度公式
向量長度公式：設，則
兩點間距離公式：設點，則
向量平移
平移公式：點平移向量，則 記憶法：“新=舊+向量”
（2）圖像平移：的圖像平移向量后得到的函數解析式為：
平面解析幾何
曲線上的點與方程之間的關系：
曲線上點的坐標都是方程的解；
以方程的解為坐標的點都在曲線上。
則曲線叫做方程的曲線，方程叫做曲線的方程。
求曲線方程的方法及步驟： (1) 設動點的坐標為（x，y）；(2) 寫出動點在曲線上的充要條件；(3) 用的關系式表示這個條件列出的方程；（4） 化簡方程（不需要的全部約掉）；（5）證明化簡后的方程是所求曲線的方程。如果方程化簡過程是同解變形的話第五步可省略。
兩曲線的交點：聯立方程組求解即可。
直線：
(1) 傾斜角：一條直線向上的方向與軸的正方向所成的最小正角叫這條直線的傾斜角。其范圍是
(2) 斜率：①傾斜角為的直線沒有斜率；②（傾斜角的正切）
③經過兩點的直線的斜率
(3) 直線的方程
兩點式： ② 斜截式：
③ 點斜式： ④ 一般式：
注：1.若直線 方程為3x+4y+5=0，則與平行的直線可設為3x+4y+C=0；與垂直的直線可設為4X-3Y+C=0
2.求直線的方程最后要化成一般式。
(4) 兩條直線的位置關系
與平行
與重合
與相交
⊥
注：系數為0的情況可畫圖像來判定。
(5)點到直線的距離
①點到直線的距離：
圓的方程
標準方程：（）其中圓心，半徑。
一般方程：（）
圓心（） 半徑：
（4）直線和圓的位置關系：主要用幾何法，利用圓心到直線的距離和半徑比較。
； ；
橢圓
幾何定義 動點與兩定點（焦點）的距離之和等于常數
標準方程 （焦點在軸上） （焦點在軸上）
圖像
的關系 注意：通常題目會隱藏這個條件
對稱軸與對稱中心 軸：長軸長；軸：短軸長；
頂點坐標
焦點坐標 焦距 注：要特別注意焦點在哪個軸上
離心率
雙曲線
幾何定義 動點與兩定點（焦點）的距離之差的絕對值等于常數
標準方程 （焦點在軸上） （焦點在軸上）
圖像
的關系 注意：通常題目會隱藏這個條件
對稱軸與對稱中心 軸：實軸長；軸：虛軸長；
頂點坐標
焦點坐標 焦距 注：要特別注意焦點在哪個軸上
離心率
漸近線 （焦點在軸上） （焦點在軸上）
注：等軸雙曲線：（1）實軸長和虛軸長相等（2）離心率（3）漸近線
拋物線
幾何定義 到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡
（為拋物線上一點到準線的距離）
焦點位置 軸正半軸 軸負半軸 軸正半軸 軸負半軸
圖像
標準方程
焦點坐標
準線方程
頂點
對稱軸 軸 軸
離心率
注：（1）的幾何意義表示焦點到準線的距離。
（2） 掌握焦點在哪個軸上的判斷方法
（3）圓錐曲線中凡涉及到弦長，都可用聯立直線和曲線的方程求解再用弦長公式：
（4）圓錐曲線中最重要的是它本身的定義！！做題時應注意圓錐曲線上的點是滿足圓錐曲線的定義的！
立體幾何
空間的基本要素：點、線、面
注：用集合符號表示空間中點（元素）、線（集合）、面（集合）的關系
平面的基本性質
三個公理：
如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內。
如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們的所有公共點組成的集合是過該點的一條直線。
經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。
三個推論：
經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。
經過兩條相交直線，有且只有一個平面。
經過兩條平行直線，有且只有一個平面。
兩條直線的位置關系：
相交：有且只有一個公共點，記作“”
平行：過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行。
平行于同一條直線的兩條直線平行
異面：
定義：不同在任何一個平面內的兩條直線
異面直線的夾角：對于兩條異面直線，平移一條與另一條相交所成的不大于的角。注意在找異面直線之間的夾角時可作其中一條的平行線，讓它們相交。
直線和平面的位置關系：
直線在平面內：
直線與平面相交：
直線與平面平行
定義：沒有公共點，記作：∥
判定：如果平面外一條直線與平面內一條直線平行，則該直線與平面平行。
性質：如果一條直線與一平面平行，且過直線的另一平面與該平面相交，則該直線與交線平行。
兩個平面的位置關系
相交：
平行：
定義：沒有公共點，記作：“∥”
判定：如果一個平面內有兩條相交直線與另一個平面都平行，則兩平面平行
性質： 兩個平行平面與第三個平面都相交，則交線互相平行
平行于同一平面的兩個平面平行
夾在兩平行平面間的平行線段相等
兩條直線被三個平行平面所截得的對應線段成比例
直線與平面所成的角：
定義：直線與它在平面內的射影所成的角
范圍：
直線與平面垂直
判定：如果一條直線垂直于平面內的兩條相交直線，則該直線與平面垂直
性質：
如果一條直線垂直于一平面，則它垂直于該平面內任何直線；
垂直于同一平面的兩直線平行；
垂直于同一直線的兩平面平行。
兩個平面垂直
判定定理：如果一個平面經過另一個平面的垂線，則兩個平面互相垂直。
性質定理：如果兩個平面垂直，則一個平面內垂直于它們的交線的直線與另一個平面垂直。
二面角
定義：過二面角的棱上一點，分別在兩半平面內引棱的垂線，則為二面角的平面角
范圍：
二面角的平面角構造：
按定義，在棱上取一點，分別在兩半平面內引棱的垂線，則即是
作一平面與二面角的棱垂直，與兩半平面分別交于，即是
排列、組合與二項式定理
1.分類用加法： 分步用乘法：
2.有序為排列：
無序為組合：
階乘：
規定：
注：（1）做排列組合題的原則：先特殊，后一般！
（2）在一起，用捆綁法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：一般法、排除法、分類討論法、機會均等法等等。
3.組合數的兩個性質：（1） （2）
4.二項式定理：
通項：，其中叫做第項的二項式系數。
注：（1）二項展開式中第項的系數與第項的二項式系數是兩個不同的概念。
（2）楊輝三角
二項式系數的性質
除每行兩端的1以外，每個數字都等于它肩上兩數之和，即
與首末兩端等距離的兩項的二項式系數相等，即
為偶數，展開式有奇數項，中間項的二項式系數最大；（第項）
為奇數，展開式有偶數項，中間兩項的二項式系數最大。（第項和后一項）
7.
概率與統計
一、概率.
1. 概率：隨機事件A的概率是頻率的穩定值，反之，頻率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率：如果一次試驗中可能出現的結果有年n個，且所有結果出現的可能性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是，如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率.
3. ①互斥事件：不可能同時發生的兩個事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B發生(即A、B中有一個發生)的概率，等于事件A、B分別發生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。
②對立事件：兩個事件必有一個發生的互斥事件叫對立事件.
注意：i.對立事件的概率和等于1：.
ii.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.
③相互獨立事件：事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件. 如果兩個相互獨立事件同時發生的概率，等于每個事件發生的概率的積，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，當兩個事件同時發生的概率P（AB）等于這兩個事件發生概率之積，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.
④獨立重復試驗：若n次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴于其他各次試驗的結果，則稱這n次試驗是獨立的. 如果在一次試驗中某事件發生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率：.
二、隨機變量.
1. 隨機試驗的結果應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：
①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果.
它就被稱為一個隨機試驗.
2. 離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。
設離散型隨機變量ξ可能取的值為：
ξ取每一個值的概率，則表稱為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.
… …
P … …
有性質①； ②.
注意：若隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的變量叫做連續型隨機變量.例如：即可以取0～5之間的一切數，包括整數、小數、無理數.
3. ⑴離散型隨機變量的二項分布：在一次隨機試驗中，某事件可能發生也可能不發生，在n次獨立重復試驗中這個事件發生的次數ξ是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：
0 1 … k … n
P … …
由于恰好是二項展開式
中的各項的值，所以稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數，并記＝b(k；n，p)．
⑵二項分布的判斷與應用.
①二項分布，實際是對n次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.
②當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.
三、數學期望與方差.
1. 期望的含義：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為
… …
P … …
則稱為ξ的數學期望或平均數、均值.數學期望又簡稱期望.數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
2. 二項分布的數學期望： 其分布列為～.（P為發生的概率）
3.方差、標準差的定義：當已知隨機變量ξ的分布列為時，則稱為ξ的方差。 顯然，故為ξ的根方差或標準差。隨機變量ξ的方差與標準差都反映了隨機變量ξ取值的穩定與波動，集中與離散的程度.越小，穩定性越高，波動越小.
4.二項分布的方差：
5. 期望與方差的關系：
四、正態分布.（基本不列入考試范圍）
1.密度曲線與密度函數：對于連續型隨機變量ξ，位于x軸上方，ξ落在任一區間內的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積
（如圖陰影部分）的曲線叫ξ的密度曲線，以其作為
圖像的函數叫做ξ的密度函數，由于“”
是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.
2. ⑴正態分布與正態曲線：如果隨機變量ξ的概率密度為：. （為常數，且），稱ξ服從參數為的正態分布，用～表示.的表達式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態曲線.
⑵正態分布的期望與方差：若～，則ξ的期望與方差分別為：，
⑶正態曲線的性質.
①曲線在x軸上方，與x軸不相交.
②曲線關于直線對稱.
③當時曲線處于最高點，當x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.
④當＜時，曲線上升；當＞時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.
⑤當一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.
3. ⑴標準正態分布：如果隨機變量ξ的概率函數為，則稱ξ服從標準正態分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的計算則是.
注意：當標準正態分布的的X取0時，有，當的X取大于0的數時，有，如圖.
⑵正態分布與標準正態分布間的關系：若～則ξ的分布函數通
常用表示，且有.
4.⑴“3”原則.
假設檢驗是就正態總體而言的，進行假設檢驗可歸結為如下三步：①提出統計假設，統計假設里的變量服從正態分布.②確定一次試驗中的取值是否落入范圍.③做出判斷：如果，接受統計假設. 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統計假設.
⑵“3”原則的應用：若隨機變量ξ服從正態分布則 ξ落在內的概率為99.7％ 亦即落在之外的概率為0.3％，此為小概率事件，如果此事件發生了，就說明此種產品不合格（即ξ不服從正態分布）。
1
第 1 頁 共 17 頁

展開更多......

收起↑