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2013年高考廣東省理科數(shù)學(xué)模擬題
一．選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 設(shè)全集，，，則圖中陰
影部分表示的集合為
. . . .
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i, -2+3i 對應(yīng)的點分別為A,B.若C為線段AB的
中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是
（A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i
3.設(shè)數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首
項，2為公比的等比數(shù)列，則（ ）
A．1033 B．1034 C．2057 D．2058
４.一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是（）
Ａ．８０Ｂ．６４Ｃ．Ｄ．１０２
５.在中,分別為角的對邊，如果,,
那么角等于（ ） A. B. C. D.
６．對任意非零實數(shù)，，若的運算原理如右圖程序框圖所示，
則的值是( )
A．0 B． C． D．9
７．在拋物線y=x2+ax-5(a??≠?0)上取橫坐標為x1=4,x2=2的兩點，經(jīng)過兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓5x2+5y2=36相切，則
（A） (-2,-9) （B）(0,-5) (C) (2,-9) （D）(1,6)
８．一電子玩具可以向左、右、上、下四個方向運動，第次只能運動一個長度單位，向左、右、上、下四個方向運動一次分別閃紅、黃、藍、紫色燈一次，電子玩具從原點（０，０）到（８，６）按最短路徑運動，上述彩燈閃爍的結(jié)果有（ ） A．3003種 B.14種 C.2162160種 D.28種
二、填空題
9．如果隨機變量ξ～N (),且P（）=0.4，則P（）= .
10.某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車，某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需載滿且只能送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡需配1名工人；沒送一次可得利潤350元，該公司合理計劃當(dāng)天派用甲乙卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤是
11.已知雙曲線的右焦點恰好是拋物線的焦點，則 .
12.不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是
13.若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a1+a2+a3+a4+a5=______.(用數(shù)字作答)
14．。如圖，是圓的切線，為切點，是圓的割線．
若，則______．
15．已知直線與圓，則上各點到的距離的最小值為____________
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.（本小題共13分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，求證：
17．（本小題滿分13分）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準
（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：
5
6
7
8
P
0．4
a
b
0．1
且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：3 、5、3、3、8、5、5、6、3、4、6 、3、4、7、5、3、4、8、5、3、8、3、 4、3、4、4、7、5、6、7 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望．
（III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由．
注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=；（2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性．
18.(本小題滿分14分) 如圖, 在四面體ABOC中，OC⊥OA, OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.
(Ⅰ) 設(shè)P為AC的中點.證明：在AB上存在一點Q,使PQ⊥OA,并計算=的值；
(Ⅱ) 求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
19．）已知橢圓（常數(shù)），點是上的動點，是右頂點，定點的坐標為。⑴ 若與重合，求的焦點坐標；⑵ 若，求的最大值與最小值；⑶ 若的最小值為，求的取值范圍。
20. （本小題滿分14分）設(shè)是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列．（1）證明：為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
21.（本小題滿分14分）已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）.（I） 求實數(shù)b的值；（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（III）當(dāng)a=1時，是否同時存在實數(shù)m和M（m一．選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 設(shè)全集，，，
則圖中陰影部分表示的集合為
. . . .
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i, -2+3i 對應(yīng)的點分別為A,B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是
（A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i
3.設(shè)數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則（ ） A．1033 B．1034
４.一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是（　　） .
Ａ．８０　　Ｂ．６４　Ｃ．　Ｄ．１０２
５.在中,分別為角的對邊，如果,,那么角等于（ ）
A. B. C. D.
６．對任意非零實數(shù)，，若的運算原理如右圖程序框圖所示，則的值是( C )
A．0 B． C． D．9
７．在拋物線y=x2+ax-5(a??≠?0)上取橫坐標為x1=4,x2=2的兩點，經(jīng)過兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓5x2+5y2=36相切，則
（A） (-2,-9) （B）(0,-5) (C) (2,-9) （D）(1,6)
11、【命題意圖】本小題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、切線、拋物線與圓的相關(guān)知識，考查代數(shù)基本運算能力，以及綜合運用知識解決問題的能力。屬于較難題。
【解析】由已知，拋物線經(jīng)過(－4,11－4a)和(2,2a－1)兩點，過這兩點的割線斜率為
k＝＝a－2
于是，平行于該割線的直線方程為y＝(a－2)x＋b
該直線與圓相切，所以
該直線又與拋物線相切，于是(a－2)x＋b＝x2＋ax－5有等根
即x2＋2x－5－b＝0的△＝0 ( b＝－6代入，注意到a≠0，得a＝4
所以拋物線方程為y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9
頂點坐標為(－2，－9)
【答案】A
８．一電子玩具可以向左、右、上、下四個方向運動，第次只能運動一個長度單位，向左、右、上、下四個方向運動一次分別閃紅、黃、藍、紫色燈一次，電子玩具從原點（０，０）到（８，６）按最短路徑運動，上述彩燈閃爍的結(jié)果有（ ）
A．3003種 B.14種 C.2162160種 D.28種
二、填空題
9．如果隨機變量ξ～N (),且P（）=0.4，則P（）= .
【答案】0.1
【解析】解析：如果隨機變量ξ～N (),且P（）=0.4，
P（）=，
∴， ∴P（）=。
10.某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車，某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需載滿且只能送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡需配1名工人；沒送一次可得利潤350元，該公司合理計劃當(dāng)天派用甲乙卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤是
【解析】設(shè)派用甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，則
利潤函數(shù)z＝450x＋350y
畫出可行域如圖，當(dāng)目標函數(shù)經(jīng)過A(7,5)時，利潤z最大
為4900元
【答案】C
11.已知雙曲線的右焦點恰好是拋物線的焦點，則 .
答案：3。
12.不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是
解:因為對任意x恒成立，所以
13.若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用數(shù)字作答)31
14．。如圖，是圓的切線，為切點，是圓的割線．若，則______．
答案：。
15．11．已知直線與圓，則上各點到的距離的最小值為____________
【解析】圓方程為，∴，∴距離最小值為。
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.（本小題共13分）已知函數(shù)
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，求證：
解析：
（2）
17．（本小題滿分12分）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準
（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：
5
6
7
8
P
0．4
a
b
0．1
且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：3 、5、3、3、8、5、5、6、3、4、6 、3、4、7、5、3、4、8、5、3、8、3、 4、3、4、4、7、5、6、7
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望．
（III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由．
注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=；
（2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性．
解：（I）因為
又由X1的概率分布列得
由
（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：
3
4
5
6
7
8
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：
3
4
5
6
7
8
P
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
所以
即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.
（III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：
因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6，價格為6元/件，所以其性價比為
因為乙廠產(chǎn)呂的等級系數(shù)的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為
據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。
18.(本小題滿分14分) 如圖, 在四面體ABOC中，OC⊥OA, OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.
(Ⅰ) 設(shè)P為AC的中點.證明：在AB上存在一點Q,使PQ⊥OA,并計算=的值；
(Ⅱ) 求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
19．）已知橢圓（常數(shù)），點是上的動點，是右頂點，定點的坐標為。⑴ 若與重合，求的焦點坐標；⑵ 若，求的最大值與最小值；⑶ 若的最小值為，求的取值范圍。
解：⑴ ，橢圓方程為，
∴ 左、右焦點坐標為。
⑵ ，橢圓方程為，設(shè)，則
∴ 時； 時。
⑶ 設(shè)動點，則
∵ 當(dāng)時，取最小值，且，∴ 且
解得。
20. （本小題滿分14分）設(shè)是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列．（1）證明：為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
20．解：（Ⅰ）將直線y=x的傾斜角記為 ，則有tan = ，sin =．…………．1分
設(shè)Cn的圓心為（，0），則由題意知= sin = ，得 = 2 ； …………．3分
同理，依題意知 ………………5分
將 = 2代入，解得 rn+1=3rn．故{ rn }為公比q=3的等比數(shù)列． ………………7分
（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，從而 =n·，………………9分
記Sn=，則有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+………+n·． ①
=1·3-1+2·3-2+………+（n-1） ·+n·． ② ………………11分
①-②，得 =1+3-1 +3-2+………+-n· ………………………12分
=- n·= –（n+）· ………………………………13分
Sn= – （n+）·． ………………………………14分
21.（本小題滿分14分）已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）.（I） 求實數(shù)b的值；（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（III）當(dāng)a=1時，是否同時存在實數(shù)m和M（m

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