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第三章 相互作用
第四節 力的合成
【課標解讀】：
知道力的合成與分解、合力與分力、平行四邊形定則；
會用作圖法求共點力的合力；
理解合力的大小與分力夾角的關系；
會用作圖法求分力，并且能用直角三角形及正交分解法求分力。
【考點聚焦】：
理解物體受力分析分力與合力的關系；運用平行四邊形定則求解合力；會判斷共點力的合力隨夾角的變化而變化的情況。
掌握力的分解方法，能應用正交分解來分解力；掌握動態平衡的分析方法。
【知識要點】：
一、合力與分力
當一個物體受到幾個力的共同作用時,我們常常可以求出這樣一個力,這個力產生的效果跟原來幾個力的共同效果相同,這個力就叫做那幾個力的合力,原來的幾個力叫做分力.
要點詮釋：
①合力與分力是針對同一受力物體而言.
②一個力之所以是其他幾個力的合力,或者其他幾個力是這個力的分力,是因為這一個力的作用效果與其他幾個力共同作用的效果相當,合力與分力之間的關系是一種等效替代的關系.
二、共點力
1.定義：一個物體受到的力作用于物體上的同一點或者它們的作用線交于一點,這樣的一組力叫做共點力.(我們這里討論的共點力,僅限于同一平面的共點力)
要點詮釋：
一個具體的物體,其各力的作用點并非完全在同一個點上,若這個物體的形狀 大小對所研究的問題沒有影響的話,我們就認為物體所受到的力就是共點力.如圖甲所示,我們可以認為拉力F、摩擦力F1及支持力F2都與重力G作用于同一點O.如圖乙所示,棒受到的力也是共點力.
2.共點力的合成:遵循平行四邊形定則.
3.兩個共點力的合力范圍
合力大小的取值范圍為:F1+F2≥F≥|F1-F2|.
在共點的兩個力F1與F2大小一定的情況下,改變F1與F2方向之間的夾角θ,當θ角減小時,其合力F逐漸增大;當θ=0°時,合力最大F=F1+F2,方向與F1與F2方向相同;當θ角增大時,其合力逐漸減小;當θ=180°時,合力最小F=|F1-F2|,方向與較大的力方向相同.
4.三個共點力的合力范圍
①最大值:當三個分力同向共線時,合力最大,即Fmax=F1+F2+F3.
②最小值:a.當任意兩個分力之和大于第三個分力時,其合力最小值為零.
b.當最大的一個分力大于另外兩個分力的算術和時,其最小合力等于最大的一個力減去另外兩個力的算術和的絕對值.
【例題精講】：
類型一、求合力的取值范圍
例1、物體同時受到同一平面內的三個共點力的作用,下列幾組力的合力不可能為零的是( )
A.5 N,7 N,8 N B.5 N,2 N,3 N
C.1 N,5 N,10 N D.10 N,10 N,10 N
【變式1】一個物體受三個共點力的作用，它們的大小分別為F1＝7 N、F2＝8 N、F3＝9 N．求它們的合力的取值范圍？
類型二、求合力的大小與方向
例2、一個大人拉著載有兩個小孩的小車(其拉桿可自由轉動)沿水平地面勻速前進，則對小孩和車下列說法正確的是(　　)
A. 拉力的水平分力等于小孩和車所受的合力
B. 拉力與摩擦力的合力大小等于重力大小
C. 拉力與摩擦力的合力方向豎直向上
D. 小孩和車所受的合力為零
例3、如左圖在正六邊形頂點A分別施以F1～F5 5個共點力，其中F3=10N，A點所受合力為 ；如圖，在A點依次施以1N～6N，共6個共點力．且相鄰兩力之間夾角為600，則A點所合力為 。
類型三、按力的實際作用效果分解力
例4、關于兩個力的合力與這兩個力的關系說法中正確的是(　　)
A. 合力比這兩個力都大
B. 合力至少比這兩力中較小的力要大
C. 合力可能比這兩個力都小
D. 合力可能比這兩個力都大
題型四、正交分解法的應用
例5、質量為m的木塊，在與水平夾角為θ的推力F作用下，沿水平地面做勻速運動，如圖所示．已知木塊與地面間的動摩擦因數為μ，那么木塊受到的滑動摩擦力應為 (　　)
A．μmg
B．μ(mg＋Fsinθ)
C．μ(mg－Fsinθ)
D．Fcosθ
【變式1】如圖所示，質量為m的等邊三棱柱靜止在水平放置的斜面上．已知三棱柱與斜面之間的動摩擦因數為μ，斜面的傾角為30°，則斜面對三棱柱的支持力與摩擦力的大小分別為 (　　)
【變式2】如圖所示，有一個表面光滑、質量很小的截面是等腰三角形的尖劈，其傾角為θ，插在縫A、B之間，在尖劈上加一個力F，則尖劈對縫的左側壓力大小為多少？
類型五、力的合成與分解的實際應用
例6、（2016 全國新課標Ⅰ卷）如圖，一光滑的輕滑輪用細繩懸掛于點；另一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊。外力向右上方拉，整個系統處于靜止狀態。若方向不變，大小在一定范圍內變化，物塊仍始終保持靜止，則（ ）
A. 繩的張力也在一定范圍內變化
B. 物塊b所受到的支持力也在一定范圍內變化
C. 連接a和b的繩的張力也在一定范圍內變化
D. 物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內變化
【變式】求圖中兩種情況下，輕繩的拉力T和輕桿中的彈力N。
【高考鏈接】
1．【2017·天津卷】（多選）如圖所示，輕質不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點，懸掛衣服的衣架鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止狀態。如果只人為改變一個條件，當衣架靜止時，下列說法正確的是： （ ）
A．繩的右端上移到，繩子拉力不變
B．將桿N向右移一些，繩子拉力變大
C．繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小
D．若換掛質量更大的衣服，則衣架懸掛點右移
2．【2016·全國新課標Ⅲ卷】如圖，兩個輕環a和b套在位于豎直面內的一段固定圓弧上；一細線穿過兩輕環，其兩端各系一質量為m的小球。在a和b之間的細線上懸掛一小物塊。平衡時，a、b間的距離恰好等于圓弧的半徑。不計所有摩擦。小物塊的質量為： （ ）
A． B． C．m D．2m
3．【2015·廣東·19】（多選）如圖7所示，三條繩子的一端都系在細直桿頂端，另一端都固定在水平面上，將桿豎直緊壓在地面上，若三條繩長度不同，下列說法正確的有： （ ）
A．三條繩中的張力都相等 B．桿對地面的壓力大于自身重力
C．繩子對桿的拉力在水平方向的合力為零 D．繩子拉力的合力與桿的重力是一對平衡力.
【課堂練習】
1、滑梯是小孩子很喜歡的娛樂活動．如圖所示，一個小孩正在滑梯上勻速下滑，則 (　　)
A．小孩所受的重力與小孩所受的彈力大小相等
B．小孩所受的重力與小孩所受的摩擦力大小相等
C．小孩所受的彈力和摩擦力的合力與小孩所受的重力大小相等
D．小孩所受的重力和彈力的合力與小孩所受的摩擦力大小相等
2、一物體受到三個共面共點力F1，F2，F3的作用，三力的矢量關系如圖所示(小方格邊長相等)，則下列說法正確的是(　　)
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不確定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向與F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向與F3同向
D．由題給條件無法求出合力大小
3、如圖所示，在粗糙水平面上放一斜面體a，有一物b在斜面上剛好勻速下滑，現在b上施加沿斜面向下的力F，使b沿斜面加速下滑，則 (　　)
A．a保持靜止，且沒有相對水平面運動的趨勢
B．a保持靜止，但有相對水平面向右運動的趨勢
C．a保持靜止，但有相對水平面向左運動的趨勢
D．因未給出所需數據，無法對a是否運動或有無運動趨勢作出判斷
4、F1、F2是力F的兩個分力．若F＝10 N，則下列不可能是F的兩個分力的是(　　)
A．F1＝10 N，F2＝10 N B．F1＝20 N，F2＝20 N
C．F1＝2 N，F2＝6 N D．F1＝20 N，F2＝30 N
5、如圖所示，滑輪本身的質量可忽略不計，滑輪軸O安在一根輕木桿B上，一根輕繩AC繞過滑輪，A端固定在墻上，且繩保持水平，C端下面掛一個重物，BO與豎直方向的夾角為θ＝45°，系統保持平衡，若保持滑輪的位置不變，改變θ的大小，則滑輪受到木桿的彈力大小的變化情況是(　　)
A．只有θ變小，彈力才變大
B．只有θ變大，彈力才變大
C．無論θ變大還是變小，彈力都變大
D．無論θ變大還是變小，彈力都不變
6、如圖所示，質量為m的木塊在推力F作用下，在水平地面上做勻速運動。已知木塊與地面間的動摩擦因數為μ，那么木塊受到的滑動摩擦力為(　　)
A．μmg B．μ(mg＋Fsin θ)
C．μ(mg－Fsin θ) D．Fcos θ
7、如下圖所示，a、b兩個質量相同的球用線連接，a球用線掛在天花板
上，b球放在光滑斜面上，系統保持靜止，以下圖示哪個是正確的 (　　)
8、如圖所示，AC是上端帶定滑輪的固定豎直桿，質量不計的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點，另一端B懸掛一重為G的物體，且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪A，用力F拉繩，開始時∠BCA＞90°，現使∠BCA緩慢變小，直到桿BC接近豎直桿AC。此過程中，輕桿B端所受桿的彈力(　　)
A．大小不變 B．逐漸增大
C．逐漸減小 D．先減小后增大
9、如圖所示，質量M＝2 kg的木塊A套在水平桿上，并用輕繩將木塊A與質量m＝ kg的小球B相連。今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝10 N，拉著球帶動木塊一起向右勻速運動，運動中M、m相對位置保持不變，取g＝10 m/s2。求：
(1)運動過程中輕繩與水平方向夾角θ；
(2)木塊與水平桿間的動摩擦因數μ。
【方法點撥】：
1.幾種特殊情況的共點力的合成
類型 作圖 合力的計算
互相垂直 F＝ tan θ＝
兩力等大，夾角θ F＝2F1cos
F與F1夾角為兩力等大且夾角120° 合力與分力等大
2．合力的大小范圍
(1)兩個共點力的合成：|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
即兩個力大小不變時，其合力隨夾角的增大而減小，當兩力反向時，合力最小，為|F1－F2|；當兩力同向時，合力最大，為F1＋F2。
(2)三個共點力的合成：
①三個力共線且同向時，其合力最大，為F1＋F2＋F3。
②任取兩個力，求出其合力的范圍，如果第三個力在這個范圍之內，則三個力的合力的最小值為零，如果第三個力不在這個范圍內，則合力的最小值為最大的一個力減去另外兩個較小的力的和的絕對值。
3.力的效果分解法
(1)根據力的實際作用效果確定兩個實際分力的方向；
(2)再根據兩個實際分力的方向畫出平行四邊形；
(3)最后由平行四邊形和數學知識求出兩分力的大小。
4．正交分解法
(1)定義：將已知力按互相垂直的兩個方向進行分解的方法。
(2)建立坐標軸的原則：一般選共點力的作用點為原點，在靜力學中，以少分解力和容易分解力為原則(即盡量多的力在坐標軸上)；在動力學中，以加速度方向和垂直加速度方向為坐標軸建立坐標系。
(3)方法：物體受到多個力作用F1，F2，F3…求合力F時，可把各力沿相互垂直的x軸、y軸分解。
x軸上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y軸上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝
合力方向：與x軸夾角為θ，
則tan θ＝。
答案
【例題精講】：
例1.【答案】C
【解析】分析A B C D各組力中,前兩力合力范圍分別是:2 N≤F合≤12 N,第三力在其范圍之內:3 N≤F合≤7 N,第三力在其合力范圍之內;4 N≤F合≤6 N,第三力不在其合力范圍之內;0≤F合≤20 N,第三力在其合力范圍之內,故只有C中第三力不在前兩力合力范圍之內,C中的三力合力不可能為零.
變式.【答案】0≤F≤24 N
例2. 【答案】C、D
【解析】小孩和車整體受重力、支持力、拉力和摩擦力，根據共點力平衡條件,拉力的水平分力等于小孩和車所受的摩擦力，故選項A錯誤；小孩和車整體受重力、支持力、拉力和摩擦力，根據共點力平衡條件，拉力、摩擦力的合力與重力、支持力的合力平衡，重力、支持力的合力豎直向下，故拉力與摩擦力的合力方向豎直向上，故選項B錯誤，C正確；小孩和車做勻速直線運動，故所受的合力為零，故選項D正確。
例3. 【答案】30N，方向與F3相同；0N
【解析】對于左圖，依據正六邊形的性質及力的三角形作圖法，不難看出，、、可以組成一個封閉三角形，即可求得和的合力必與相同。同理可求得,的合力也與相同。所求五個力的合力就等效為三個共點同向的的合力，即所求五個力的合力大小為30 N，方向沿的方向（合力與合成順序無關）。
對于右圖，先將同一直線上的三對力進行合成,可得三個合力均為3 N且互成120°角,故總合力為零.
例4. 【答案】C、D
【解析】根據平行四邊形定則知,因為對角線的長度可能比兩鄰邊的長度長,也可能比兩鄰邊的長度短,也可能與兩鄰邊的長度相等,所以合力可能比分力大,可能比分力小,可能與分力相等,故選項C、D正確。
例5．【答案】BD
【解析】木塊勻速運動時受到四個力的作用：重力mg、支持力FN、摩擦力Ff、推力F，建立如圖所示的坐標系，因木塊做勻速運動，所有：
Fcosθ＝Ff
FN＝mg＋Fsinθ
又∵Ff＝μFN
∴Ff＝μ(mg＋Fsinθ)，故BD答案是正確的．
變式1. 【答案】A
變式2. 【答案】
例6. 【答案】BD
【解析】由題意，在F保持方向不變，大小發生變化的過程中，物體a、b均保持靜止，各繩角度保持不變；選a受力分析得，繩的拉力T = mag，所以物體a受到繩的拉力保持不變。由滑輪性質，滑輪兩側繩的拉力相等，所以b受到繩的拉力大小、方向均保持不變，C選項錯誤； a、b受到繩的拉力大小方向均不變，所以的張力不變，A選項錯誤；對b進行受力分析，并將各力沿水平方向和豎直方向分解，
如上圖所示。由受力平衡得：Tx+f=Fx，Fy+N+Ty=mbg。T和mbg始終不變，當F大小在一定范圍內變化時；支持力在一定范圍內變化，B選項正確；摩擦力也在一定范圍內發生變化，D選項正確。
故答案選BD。
變式. 【答案】（1）
（2）
【高考鏈接】
1. 【答案】AB
【解析】
2. 【答案】C
3. 【答案】BC
【解析】因為桿靜止，受力平衡，所以在水平、豎直面內的合力分別為零，故選項C正確；由于三條繩長度不同，因此三條繩與直桿間夾角不同，若三條繩中的張力都相等，在同一水平面內的分量因夾角不同而不同，所以水平面內桿受力不能平衡，故選項A錯誤；又因繩中拉力在豎直方向的分量均豎直向下，所以地面對桿的支持力大于桿的重力，根據牛頓第三定律可知，桿對地面的壓力大于自身重力，故選項B正確；繩子拉力的合力與桿自身重力無關，屬于桿受到的外力，在豎直方向上，它們的總合力與地面對桿的支持力為平衡力，故選項D錯誤。
【課堂練習】
1、解析：小孩在滑梯上受力如圖所示，設滑梯斜面傾角為θ，
則FN＝mgcos θ，Fμ＝mgsin θ，所以A、B錯誤；小孩在重
力、彈力和摩擦力三個力作用下處于平衡狀態，其中任意兩個
力的合力一定與第三個力大小相等，方向相反，故C、D正確．
答案：CD
2、[解析]　用作圖法先求出F1和F2的合力，其大小為2F3，方向與F3同向，然后再用F1和F2的合力與F3合成，可得出三個力的合力大小為3F3，方向沿F3方向，故B正確。
[答案]　B
3、解析：若以b為對象，由平衡條件知b受支持力和摩擦力的合力方向豎直
向上，大小等于b的重力，因此b對a的壓力和摩擦力的合力方向豎直向下，a
沒有相對地面運動的趨勢．當施加沿斜面向下的力F后，斜面體所受各力均
未發生變化，故a仍保持靜止狀態，即選A.
答案：A
4、解析：本題考查合力和分力之間的關系．合力F和兩個分力F1、F2之間的關系為|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，則應選C.
答案：C
5、解析：選D　無論θ變大還是變小，水平繩和豎直繩中的拉力不變，這兩個力的合力與桿的彈力平衡，故彈力都不變。
解析：選BD　木塊勻速運動時受到四個力的作用：重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力f。沿水平方向建立x軸，將F進行正交分解如圖(這樣建立坐標系只需分解F)，由于木塊做勻速直線運動，所以，在x軸上，向左的力等于向右的力(水平方向二力平衡)；在y軸上向上的力等于向下的力。即Fcos θ＝f，FN＝mg＋Fsin θ，又由于f＝μFN，所以f＝μ(mg＋Fsin θ)。故B、D答案是正確的。
7、解析：本題考查物體的平衡．A、D選項中a球所受三個力不能維持a球平衡,
A、D項錯誤；C圖中a球受到的重力豎直向下，連接天花板的繩的拉力豎直
向上，連接b球的繩子的拉力偏向左下，因此三力的合力不為零，C項錯誤；
分析B項中兩個球的受力，合力都可以為零，B項正確．
答案：B
8、解析：選A　以B點為研究對象，受力分析如圖所示。由幾何知識得△ABC與矢量三角形FGFBB相似，則有＝。由共點力的平衡條件知FA、FB的合力FG＝G大小不變，又AC、BC均不變，故FB不變，可知輕桿B端受桿的彈力大小不變。
9、解析：(1)設細繩對B的拉力為FT，由平衡條件可得：
Fcos 30°＝FTcos θ，
Fsin 30°＋FTsin θ＝mg，
解得FT＝10 N，tan θ＝/3，即θ＝30°。
(2)設細繩對A的拉力為FT′，由牛頓第三定律，FT′＝FT。
對A，由平衡條件可得：
FT′sin θ＋Mg＝FN
FT′cos θ＝μFN
解得μ＝/5。
答案：(1)30°　(2)/5

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