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第六章 《圓周運動》
一、圓周運動的概念：
運動軌跡為圓周或 的機械運動稱為圓周運動。
二、線速度v
(1)定義：物體做圓周運動通過的 與所用 的比值，v＝ 。
(2)意義：描述做圓周運動的物體 的快慢。
(3)方向：物體做圓周運動時該點的 方向。
圓周運動線速度的方向與前面講到的曲線運動速度的方向與軌跡相切是一致的。
三、勻速圓周運動
(1)定義：物體沿著圓周運動，并且線速度的大小 。
(2)性質：線速度的方向是時刻 的，所以是一種 運動。
四、角速度、周期和轉速
1、角度ω
(1)定義：做圓周運動的物體，半徑轉過的 與所用 的比值．
(2)定義式：ω＝ 。
(3)單位： ，符號為 或 。
(4)物理意義：描述圓周運動的物體與圓心連線掃過 快慢的物理量．
2、周期T和頻率f
① 周期：做勻速圓周運動的物體 叫做周期，
符號： ，單位：
② 頻率：做勻速圓周運動的物體在1s內繞圓心轉過的 叫做頻率，符號： ，單位：
③ 周期T和頻率f的關系：
④ 轉速n：單位時間內轉動的 。單位：轉每秒（r/s）或轉每分(r/min)
注意：線速度、角速度、周期、轉速都是用來描述質點做圓周運動快慢的，但它們描述的角度不同．
(1)線速度v描述質點運動的快慢．
(2)角速度ω、周期T、轉速n描述質點轉動的快慢．
3、線速度（v）、角速度（ω）、周期（T）、轉速（n）的關系
1.線速度和角速度的關系式是
2.線速度和周期的關系式是
3.角速度和周期的關系式是
4.頻率和周期的關系式是
5.線速度和轉速
6.各個物理量之間的關系
(1)v＝ωr＝，即r一定時，v與ω成正比；ω一定時，v與r成正比．
(2)ω＝＝＝2πn，即r一定時，ω與v成正比；v一定時，ω與r成反比．
[特別提醒]　線速度大的物體，其角速度不一定大，據ω＝，若v大，r也很大，角速度ω可能很小．
(1)v、ω、r的關系是瞬時對應的．
(2)v、ω、r三個量中，只有先確定其中一個量不變，才能進一步明確另外兩個量是正比還是反比關系．
(3)若比較物體沿圓周運動的快慢看線速度，若比較物體繞圓心轉動的快慢看角速度或周期．
Ⅴ ω Τ n f
Ⅴ
ω
Τ
n
f
五、常見傳動裝置及其特點
（1）皮帶傳動（摩擦傳動、齒輪傳動）
已知：A、B兩點分別為輪子邊緣的點，皮帶不打滑。
① A、B兩點做圓周運動的線速度關系：
②A、B兩點做圓周運動的角速度關系：
結論：
（2）共軸轉動
①A、B兩點做圓周運動的角速度關系：
②A、B兩點做圓周運動的線速度關系：
結論：
特點：
（1）同軸的各點角速度、轉速、周期________，線速度與半徑成________。
（2）在不考慮皮帶打滑的情況下，皮帶上各點與傳動輪上各點線速度大小________，而角速度與半徑成________。
裝置 特點
同軸轉動 (1)角速度相同，即ωA＝ωB (2)周期相同，即TA＝TB (3)線速度與半徑成正比，即 ＝
皮帶傳動 (1)線速度大小相等，即vA＝vB (2)周期與半徑成正比，即 ＝ (3)角速度與半徑成反比，即 ＝
齒輪傳動 (1)線速度大小相等，即vA＝vB (2)周期與半徑成正比，即 ＝ (3)角速度與半徑成反比，即＝
綜合訓練
一、單選題
1．質點作勻速圓周運動，在相等的時間內（　　）
A．加速度相同 B．位移相同
C．通過的弧長相等 D．合外力相同
2．關于曲線運動，下列說法正確的是（　　）
A．曲線運動的速度大小一定變化
B．一段時間內，做曲線運動的物體的位移可能為零
C．曲線運動的加速度一定變化
D．在平衡力作用下，物體可能做曲線運動
3．關于做勻速圓周運動的物體下列說法正確的是（　　）
A．其速度、 角速度不變 B．其加速度的方向始終不變
C．向心力的作用是改變物體速度、產生向心加速度 D．向心力是恒力
4．關于勻速圓周運動，下列說法正確的是（　　）
A．勻速圓周運動是勻變速曲線運動 B．勻速圓周運動是速度不變的運動
C．勻速圓周運動的加速度恒定不變 D．勻速圓周運動的角速度恒定不變
5．下列關于運動和力的敘述中，不正確的是（　　）
A．物體做圓周運動時，所受的合力不一定指向圓心
B．勻速圓周運動在相等的時間內通過的圓弧長度相等，所以線速度恒定
C．勻速圓周運動是周期、轉速、頻率、角速度都不變的運動
D．圓周運動的向心加速度方向總與速度方向垂直
6．質點在某段時間內做曲線運動，則在這段時間內該質點（　　）
A．加速度可能是恒定的 B．物體受到的合外力一定在不斷改變
C．速度的方向和大小一定都在不斷改變 D．加速度與速度的方向可能相同
7．下列說法正確的是（　　）
A．兩個初速度不為零的勻變速直線運動的合運動一定為曲線運動
B．做圓周運動的物體所受合外力突然消失時，物體將沿圓周的半徑方向飛出
C．平拋運動是勻變速曲線運動
D．做圓周運動的物體所受合力一定指向圓心
8．下列各種運動中，屬于勻變速曲線運動的有（　　）
A．勻速直線運動 B．勻速圓周運動 C．平拋運動 D．豎直上拋運動
9．下列的哪個量越大表示圓周運動越慢（　　）
A．線速度 B．角速度 C．周期 D．轉速
10．以下關于曲線運動的說法中正確的是（　　）
A．曲線運動一定是變速運動 B．曲線運動加速度一定變化
C．勻速圓周運動的線速度不變 D．勻速圓周運動的加速度不變
11．關于描述勻速圓周運動快慢的物理量，下列說法中正確的是（　　）
A．角速度、周期、向心加速度 B．線速度、弧長、向心力
C．周期、位移、角速度 D．轉速、頻率、線速度
12．對于做勻速圓周運動的物體，下列說法中正確的是（　　）
A．線速度不變 B．周期變化
C．角速度大小不變 D．運動狀態不變
13．如圖所示，讓撐開的帶有水的傘繞著傘柄旋轉，當水滴從傘的邊緣飛出時，可以看到水滴是沿著傘邊緣的切線方向飛出，不計空氣阻力，水滴脫離傘后做（　　）
A．勻速直線運動 B．自由落體運動
C．圓周運動 D．平拋運動
14．A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運動（如圖），在相同的時間內，它們通過的路程之比是，運動方向改變的角度之比是，則它們（　　）
A．線速度大小之比為 B．角速度大小之比為
C．圓周運動的半徑之比為 D．向心加速度大小之比為
15．小紅坐在水平轉盤上，與轉盤一起做勻速圓周運動。有關小紅的運動狀態及受力情況，下列說法正確的是（ ）
A．合力為零 B．線速度不變
C．向心加速度不變 D．角速度不變
16．一物體做勻速圓周運動，其線速度大小為2m/s，則物體在0.5s內通過的弧長為（　　）
A．4m B．3m C．2m D．1m
17．如圖，關于鐘表上的時針、分針和秒針的周期大小關系，以下說法正確的是（　　）
A．時針的周期最大
B．分針的周期最大
C．秒針的周期最大
D．三根針的周期一樣大
18．一輛電動玩具小車，可以在水平桌面上做勻速直線運動。現將小車用輕繩系在水平桌面上O點，如圖所示的輕繩的長為L，小車轉一圈的時間為t。小車角速度大小可表示為（　　）
A． B． C． D．
19．一個電子鐘的秒針角速度為（　　）
A．60s B．1s C． D．
20．某教室內墻壁上掛有一只走時準確的石英鐘，盤有時針、分針和秒針，如圖所示。關于它們的轉動情況描述正確的是（　　）
A．時針與分針轉動的角速度之比為1∶60 B．時針與秒針轉動的角速度之比為1∶3600
C．分針與秒針轉動的角速度之比為1∶60 D．分針與秒針轉動的周期之比為1∶12
21．一質點經歷的時間沿圓形軌道從一點逆時針勻速率運動到另一點，該質點在圓上轉過的角度為，則質點的角速度為（　　）
A． B． C． D．
22．物體做勻速圓周運動，速度的大小為2m/s，1s內速度變化的大小為2m/s，則勻速圓周運動的半徑和角速度分別可以為（　　）
A．3m和1rad/s B．1m和3rad/s C．和 D．和
23．風能是一種綠色能源。如圖所示，葉片在風力推動下轉動，帶動發電機發電，M、N為同一個葉片上的兩點，下列判斷正確的是（　　）
A．M點的線速度小于N點的線速度
B．M點的角速度小于N點的角速度
C．M點的轉速大于N點的轉速
D．M點的周期大于N點的周期
24．圖為某種品牌的共享單車的鏈輪、鏈條、飛輪、踏板、后輪示意圖，在騎行過程中，踏板和鏈輪同軸轉動、飛輪和后輪同軸轉動，已知鏈輪與飛輪的半徑之比為，后輪直徑為，當踩踏板做勻速圓周運動的角速度為時，后輪邊緣處A點的線速度大小為（　　）
A． B． C． D．
25．如圖所示，摩天輪上有A、B兩點，在摩天輪轉動時，A、B兩點的角速度大小分別為ωA、ωB，線速度大小分別為vA、vB，則（　　）
A．ωA>ωB，vA＝vB B．ωA<ωB，vA＝vB
C．ωA＝ωB，vAvB
26．如圖所示，汽車雨刮器在轉動時，桿上A、B兩點繞O點轉動的角速度大小為ωA、ωB，線速度大小為vA、vB，則（　　）
A．ωA=ωB，vAωB，vA=vB
C．ωA=ωB，vA>vB D．ωA<ωB，vA=vB
27．如圖所示的皮帶傳動裝置，A與B通過皮帶連接傳動，B與C通過中間軸固定傳動，則A與C的線速度之比是（　　）
A．r2：r1 B．r1：r2 C．r2：r3 D．r3：r2
28．如圖所示，皮帶傳動裝置中小輪半徑ra是大輪半徑rb的一半，大輪上c點到輪心O的距離恰等于ra，若皮帶不打滑，則圖中a、b、c三點（　　）
A．a點與c點的線速度大小相等 B．a點與b點的角速度大小相等
C．a點與c點的周期相等 D．b點與c點周期相等
29．如圖所示，皮帶傳動裝置的A、B、C三點，則它們線速度、角速度關系正確的是（　　）
A．A、B的角速度大小相等 B．A、B的線速度大小相等
C．A、C的線速度大小相等 D．B、C的角速度大小相等
30．如圖為一皮帶傳動裝置，a、b、c三點做圓周運動的半徑之比ra︰rb︰rc=1︰2︰4。若a、b、c三點的線速度分別用υa、υb、υc表示，角速度分別用ωa、ωb、ωc表示，在傳動過程中皮帶不打滑，則下列關系式正確的是（　　）
A．υa︰υb︰υc=1︰2︰4
B．υa︰υb︰υc=4︰2︰1
C．ωa︰ωb︰ωc=2︰1︰1
D．ωa︰ωb︰ωc=1︰2︰2
二、多選題
31．甲、乙兩物體都做勻速圓周運動，轉動半徑之比為1∶2，在相等時間里都轉過60°圓心角。則下列說法中錯誤的是（　　）
A．線速度之比為1∶2 B．線速度之比為1∶1
C．角速度之比為2∶1 D．角速度之比為1∶1
32．A、B兩個質點分別做勻速圓周運動。若在相等時間內，兩質點轉過的圓心角之比=3∶2，通過的弧長之比sA∶sB=2∶3，則（　　）
A．A、B的角速度之比ωA∶ωB=3∶2
B．A、B的線速度之比vA∶vB=3∶2
C．A、B的周期之比TA∶TB=2∶3
D．A、B的向心加速度之比aA∶aB=2∶3
33．如圖所示的傳動裝置中，A輪順時針轉動，并通過皮帶帶動B輪轉動（皮帶不打滑）。a、b分別是兩輪邊緣上的點，它們的線速度大小分別為va、vb下列判斷正確的是（　　）
A． B輪順時針轉動 B． B輪逆時針轉動
D．
三、填空題
34．如圖所示，一個圓環的環心在O處，與直徑夾角為60°，與直徑夾角為30°.若以其直徑為軸做勻速轉動，則環上的P和Q兩點的線速度之比為________；若環的半徑為，繞轉動的周期是，則環上Q點的線速度為_______.
35．A、B二質點分別做勻速圓周運動，若在相等時間內，它們通過的弧長之比sA：sB = 2：3，轉過的圓心角之比A：B = 3：2，則它們的周期之比為TA：TB = ________，角速度之比ωA：ωB = ________，線速度之比vA：vB = ________。
36．A、B兩質點分別做勻速圓周運動，若它們在相等的時間內通過的弧長之比為1：2，而轉過的圓心角之比為2：1，則它們的線速度之比________，角速度之比_________，它們做圓周運動的半徑之比為_______
37．AB兩質點分別做勻速圓周運動，若在相同時間內，它們通過的弧長之比SA:SB=2:3，而轉過的角度之比φA:φB=3:2，則它們的線速度之比vA:vB=______；角速度之比ωA:ωB=______，半徑之比RA:RB=______．
38．做勻速圓周運動的物體，8s內沿半徑是16m的圓周運動了64m，則其線速度大小是____m/s，周期是 ___s，角速度是 ___ rad/s。
39．如圖所示皮帶轉動輪，大輪直徑是小輪直徑的2倍，A是大輪邊緣上一點，B是小輪邊緣上一點，C是大輪上一點，C到圓心O1的距離等于小輪半徑．轉動時皮帶不打滑，則A、B兩點的角速度之比ωA：ωB= ，B、C兩點向心加速度大小之比aB：aC= ．
40．如圖為某種混凝土攪拌機的傳動機構，A輪的齒數為N1，B輪的齒數為N2。當A輪順時針轉動，將帶動B輪沿______方向轉動，A輪和B輪的角速度之比為________。
41．觀察自行車的主要傳動部件，了解自行車是怎樣用鏈條傳動來驅動后輪前進的。如圖所示，大齒輪、小齒輪、后輪三者的半徑分別為，它們的邊緣上有三個點A、B、C。則A、B、C三者的線速度大小之比為_______，角速度之比為________。
四、解答題
42．某物體做勻速圓周運動的周期為，半徑為，計算結果保留3位有效數字，求：
(1)角速度的大小；
(2)線速度的大小；
(3)向心加速度的大小
43．一物體在水平面內沿半徑r=20cm的圓形軌道做勻速圓周運動，線速度v=0.2m/s，求：
(1)它的向心加速度為多少
(2)它的角速度為多少
(3)它的周期為多少？
44．如圖為簡易水輪機截面示意圖，水管水平放置，水從管口A流出后在D處沖擊輪子邊緣的擋水板，可使輪子連續轉動，穩定時輪子邊緣線速度與水流沖擊速度大小近似相等。已知AD豎直高度差h=0.8m，輪子邊緣的線速度v=5m/s，輪子半徑R=0.5m。不計擋水板的大小，忽略空氣阻力，取重力加速度g=10m/s2，求：
（1）輪子轉動角速度；
（2）AD水平距離。
45．如圖所示，半徑為R的水平圓板中心軸的正上方高h處水平拋出一小球，圓板做勻速轉動，當圓板半徑OB轉到與小球初速度方向平行時（圖示位置），開始拋出小球，要使小球與圓板只碰一次，且碰撞點為B，求
（1）小球的初速度v0；
（2）圓盤轉動的最小角速度ω。
46．2010年溫哥華冬奧會雙人滑比賽中，申雪、趙宏博拿到中國花樣滑冰史上首枚冬奧會金牌，如圖所示，趙宏博（男）以自己為轉軸拉著申雪（女）做勻速圓周運動，轉速為30r/min。申雪的腳到轉軸的距離為1.6m。求：
(1)申雪做勻速圓周運動的角速度；
(2)申雪的腳運動速度的大小。
47．如圖所示，圓環以直徑AB為軸勻速轉動，已知其半徑，轉動周期，求環上P點和Q點的角速度和線速度．
48．“飛車走壁”是一種傳統的雜技藝術，雜技演員駕駛摩托車在傾角很大的“桶壁”內側做圓周運動而不掉下來，如圖所示，一雜技演員駕駛摩托車沿半徑為5m的圓周做勻速圓周運動，在10s內運動的弧長為200m，求：
（1）摩托車線速度的大小；
（2）摩托車運動的周期。
49．某同學以自行車的齒輪傳動作為探究學習的課題，該同學通過觀察發現，自行車的大齒輪與小齒輪通過鏈條相連，后輪與小齒輪繞共同的軸轉動，如圖所示，測得大齒輪的半徑為r1、小齒輪的半徑為r2、自行車后輪的半徑為R，若測得在時間t內大齒輪轉動的圈數為N，求：
（1）大齒輪轉動角速度的大小ω；
（2）自行車后輪線速度的大小v。
50．皮帶傳動是常見的傳動方式之一，可以建構如圖所示的物理模型來分析其傳動原理，該模型中A、B兩輪同軸轉動，A、B、C三輪半徑大小的關系是==2若皮帶不打滑，求：
（1）三個輪角速度的大小之比；
（2）三個輪邊緣線速度的大小之比。
51．圖是皮帶傳動機構的示意圖（A、B輪共軸）。
（1）請分析：三個輪子邊緣上哪些點可能具有相同大小的線速度？哪些點可能具有相等的角速度？三個輪子轉速的關系又如何？
（2）假設輪A與輪B的半徑分別為和，輪C的半徑為。已知輪B每分鐘轉600轉，計算每個輪子邊緣上點的線速度和角速度。
52．如圖是自行車傳動結構的示意圖。假設腳踏板每2s轉1圈，其中I是半徑為r1=15cm的大齒輪，Ⅱ是半徑為r2=5cm的小齒輪，Ⅲ是半徑為r3=35cm的后輪，若π≈3.14。
（1）求后輪轉動的周期？
（2）求自行車前進的速度？
53．如圖所示，某同學想制作一個簡易水輪機，讓水從水平放置的水管流出，水流軌跡與下邊放置的輪子邊緣相切，水沖擊輪子邊緣上安裝的擋水板，可使輪子連續轉動。當該裝置工作穩定時，可近似認為水到達輪子邊緣時的速度與輪子邊緣的線速度相同。調整輪軸的位置，使水流與輪邊緣切點對應的半徑與水平方向成角。測得水從管口流出速度，輪子半徑，已知，，。求：
（1）輪子轉動的角速度大小；
（2）水管的出水口到輪軸的水平距離。
54．如圖所示，圓環以直徑為軸勻速轉動，P、Q是圓環上的兩點。已知圓環的半徑，，，轉動周期。計算結果中可以含有π。試計算：
（1）環上Q點轉動的角速度；
（2）環上P點轉動的線速度。
55．做勻速圓周運動的物體，20 s內沿半徑為10 m的圓周運動了100 m，試求物體做勻速圓周運動時：
(1)線速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小。
砂輪的直徑是20cm，轉速為2400r/min，在砂輪邊緣上某一質點做圓周運動的周期多大；線速度多大；在離砂輪圓心3cm處某一質點的角速度多大
《向心力》
一、向心力
1、定義：做 運動的物體，會受到指向 的合力，這個合力叫做向心力。符號：F向
2、方向：向心力總是指向圓心，始終與 垂直，
3．作用效果：向心力只改變速度的 而不改變速度的 。向心力的方向時刻在變，向心力是 力。
4、性質：向心力是根據力的 命名，可是各種性質的力，也可以是它們的 ，還可以是某個力的 。
5、來源：可能是彈力、重力、摩擦力或是它們的合力。做勻速圓周運動的物體，向心力就是物體受到的合外力，做非勻速圓周運動的物體向心力不是物體所受到的合外力。
向心力來源 實例分析
重力提供向心力 如圖所示，用細繩拴住小球，使小球在豎直面內轉動，當它經過最高點時，若細繩的拉力恰好為零，則此時向心力由小球所受的重力提供
彈力提供向心力 如圖所示，繩子的一端系在光滑水平桌面上的O點，另一端系一小球，使小球在桌面上做勻速圓周運動，則小球做勻速圓周運動的向心力由繩子的拉力(彈力)提供
摩擦力提供向心力 如圖所示，木塊隨圓盤一起做勻速圓周運動，其所需的向心力由靜摩擦力提供。木塊相對圓盤的運動趨勢的方向沿半徑背離圓心，靜摩擦力的方向與相對運動趨勢的方向相反。但是，當圓盤光滑(無摩擦力)時，木塊將沿切線方向飛出，說明木塊相對于地面的運動趨勢的方向沿切線方向，而相對于圓盤的運動趨勢的方向沿半徑向外
合力提供向心力 如圖所示，細線拉住小球在豎直面內做勻速圓周運動，當小球經過最低點時，向心力由細線的拉力和小球重力的合力提供
分力提供向心力 如圖所示，小球在細線作用下，在水平面內做圓周運動時，向心力由細線的拉力在水平方向的分力提供
二、【實驗】探究向心力大小的表達式 （控制變量）
向心力的大小與物體的 質量 有關，與物體轉動的 角速度 和 半徑 有關。
1、向心力演示器原理及實驗操作簡介
①如圖所示，轉動手柄，可使變速塔輪、長槽和短槽隨之勻速轉動，槽內的小球就做勻速圓周運動。
②小球做圓周運動的向心力由橫臂擋板對小球的壓力提供，球對擋板的反作用力通過橫臂的杠桿使彈簧測力筒下降，露出的標尺上的紅白相間的等分格可顯示出兩個球所受向心力的比值。
③傳動皮帶分別套在塔輪上的不同圓盤上，可改變兩個塔輪的轉速比，即改變角速度；球放在長槽上的不同位置，可改變半徑；使用不同質量的球可改變質量。
2、實驗步驟
(1)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉動半徑和轉動角速度相同時，探究向心力與小球質量的關系．
(2)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉動角速度和質量相同時，探究向心力與轉動半徑的關系．
(3)皮帶套在塔輪2、3半徑不同的圓盤上，小球質量和轉動半徑相同時，探究向心力與角速度的關系．
實驗結論：
A、在半徑和角速度一定的情況下，向心力大小與質量成正比．
B、在質量和角速度一定的情況下，向心力大小與半徑成正比．
C、在質量和半徑一定的情況下，向心力大小與角速度的平方成正比．
精確的實驗證明，做勻速圓周運動的物體所受的向心力與物體質量成正比、與半徑成正比、與角速度的平方成正比。向心力公式是：F向 = mω2r = m。
三、對向心力公式的理解：
向心力公式F向=，其意義是：質量為m的物體在半徑為r的圓周上以速率v做勻速圓周運動所需要的合外力（向心力）大小是。
同樣的道理，F向=mω2r，其意義是：質量為m的物體在半徑為r的圓周上以角速度ω做勻速圓周運動需要的合外力是mω2r。
如果物體所受的合力大小不滿足或mω2r等，方向不總是垂直于線速度的方向，物體就會偏離圓軌道做一般的曲線運動。
四、變速圓周運動和一般曲線運動的受力特點
1．變速圓周運動的合力
變速圓周運動所受合外力并不嚴格指向運動軌跡的圓心。合外力一般產生兩個方面的效果：
(1)合外力F跟圓周相切的分力Ft（簡稱為切向加速度），此分力與物體運動的速度在一條直線上，改變線速度的大小。
(2)合外力F指向圓心的分力Fn（簡稱向心加速度），此分力提供物體做圓周運動所需的向心力，改變物體速度的方向。
2．一般曲線運動
(1)曲線運動：運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動，稱為一般的曲線運動，如圖所示。
(2)處理方法：將曲線分割成為許多很短的小段，這樣，質點在每一小段的運動都可以看作圓周運動的一部分，就可以采用圓周運動的分析方法進行處理。
五、勻速圓周運動與變速圓周運動的比較
勻速圓周運動 變速圓周運動
線速度特點 線速度的方向不斷改變、大小不變 線速度的大小、方向都不斷改變
受力 特點 合力方向一定指向圓心，充當向心力 合力可分解為與圓周相切的分力和指向圓心的分力，指向圓心的分力充當向心力
周期性 有 不一定有
性質 均是非勻變速曲線運動
公式 Fn＝m＝mω2r，an＝＝ω2r都適用
綜合演練
一、單選題
1．如圖所示，長度為的輕質細桿OA，A端有一質量為的小球，以O點為圓心，在豎直平面內做圓周運動，小球通過最高點時的速度為，取，則此時輕桿OA將（　　）
A．受到的拉力 B．受到的壓力
C．受到的拉力 D．受到的壓力
2．如圖所示，為一在水平面內做勻速圓周運動的圓錐擺，關于擺球A的受力情況，下列說法中正確的是（　　）
A．擺球A受重力、拉力和向心力的作用 B．擺球A受拉力和向心力的作用
C．擺球A受拉力和重力的作用 D．擺球A受重力和向心力的作用
3．做勻速圓周運動的物體，下列物理量變化的是（ ）
A．動能 B．速率 C．向心力 D．周期
4．如圖所示，輕繩的一端系一個重為G的小球，另一端系在天花板上的O點，小球在豎直平面內從A點沿圓弧運動到C點，經過最低點B時所受繩子拉力大小為F。則小球經過B點時的向心力（　　）
A．方向豎直向上 B．方向豎直向下
C．大小為G+F D．大小為G－F
5．一長為l的輕桿一端固定在水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球，輕桿隨轉軸在豎直平面內做勻速圓周運動，小球在最高點A時，桿對小球的作用力恰好為零，重力加速度為g，則小球經過最低點B時，桿對小球的作用力為（　　）
A．0 B．2mg
C．3mg D．6mg
6．關于速度、加速度、合力三者的關系，表述正確的是（　　）
A．物體的速度越大，則物體的加速度越大，所受合力也越大
B．物體的速度為零，則物體的加速度一定為零，所受合力也為零
C．物體的速度為零，加速度可能很大，所受的合力也可能很大
D．物體的速率不變，加速度一定為零，所受的合力也一定為零
7．如圖所示，長為L的細繩一端固定于O點，另一端系一個小球，在O點的正下方釘一個光滑的小釘子A，小球從一定高度擺下，當細繩與釘子相碰時，釘子的位置距小球，則細繩碰到釘子前、后瞬間（　　）
A．繩對小球的拉力大小之比為1∶4
B．小球所受合外力大小之比為1∶4
C．小球做圓周運動的線速度大小之比為1∶4
D．小球做圓周運動的角速度之比為4∶1
8．某質點做勻速圓周運動，下列說法正確的是（　　）
A．線速度保持不變 B．加速度保持不變
C．向心力保持不變 D．所受外力的合力方向始終與線速度方向垂直
9．如圖所示，小物塊隨水平轉盤一起做勻速圓周運動，小物塊向心力來源于它受到的（ ）
A．重力 B．支持力
C．重力和支持力的合力 D．靜摩擦力
10．如圖所示，洗衣機脫水桶正以每分鐘1200轉的轉速勻速轉動，關于貼在脫水桶內壁的一塊毛巾，下列說法正確的是（　　）
A．毛巾轉動的線速度不變 B．毛巾轉動的速率不變
C．毛巾轉動的加速度不變 D．毛巾受到的桶壁的彈力不變
11．如圖所示，某同學為感受繩子拉力大小與轉速、繩長的關系，讓繩的一端拴一重物，手牽著繩子另一端在空中甩動，使重物在水平面內做圓周運動。則下列分析正確的是（　　）
A.若增大轉速，保持繩長不變，則拉力不變
B．若增大轉速，保持繩長不變，則拉力變小
C．若增大繩長，保持轉速不變，則拉力變小
D．若增大繩長，保持轉速不變，則拉力變大
12．關于勻速圓周運動的向心力，下列說法正確的是（　　）
A．向心力是指向圓心方向的合力，是根據力的性質命名的
B．向心力可以是多個力的合力，也可以是其中一個力，但不可能是一個力的分力
C．向心力整個過程中始終不變
D．向心力的效果不能改變質點的線速度大小，只能改變質點的線速度方向
13．一物體做勻速圓周運動，其它條件不變，線速度大小變為原來的2倍，則所需向心力大小變為原來的倍數是（　　）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
14．下列說法中正確的有（　　）
A．做直線運動的物體，所受合力一定為恒力
B．做曲線運動的物體，所受合力一定不是恒力
C．做圓周運動的物體，所受合力一定時刻指向圓心
D．做變速圓周運動的物體，指向圓心方向的合力大小在不斷變化
15．如圖所示，一小球套在光滑輕桿上，并隨輕桿一起繞著豎直軸勻速轉動，關于小球的受力情況，以下說法中正確的是（　　）
A．小球受到重力和彈力作用
B．小球受到重力、彈力和向心力作用
C．小球受到重力、彈力和離心力作用
D．小球受到重力和彈力的合力是恒力
16．關于運動，下列說法正確的是（　　）
A．加速度越大，速度變化越大
B．恒力作用下，物體一定做直線運動
C．物體的加速度減小時，其速度一定也減小
D．做圓周運動的物體，其所受合力方向不一定指向圓心
17．如圖所示為“感受向心力”的實驗，細繩的一端拴著一個小球，手握細繩的另一端使小球在光滑水平桌面上做勻速圓周運動，通過細繩的拉力來感受向心力。下列說法正確的是（　　）
A．只增大小球運動的角速度，細繩的拉力不變
B．只增大小球運動的角速度，細繩的拉力減小
C．只更換一個質量較大的小球，細繩的拉力不變
D．只更換一個質量較大的小球，細繩的拉力增大
18．一質量為1kg的物體在水平面內做勻速圓周運動，圓周運動的半徑為0.5m，物體旋轉6周用時1min，則下列說法正確的是（　　）
A．物體做圓周運動的角速度大小為
B．物體做圓周運動的線速度大小為
C．物體做圓周運動的向心力大小為
D．物體做圓周運動的向心加速度大小為
19．如圖所示，質量為m的物塊隨水平轉盤繞豎直固定軸做勻速圓周運動，角速度為ω，物塊到軸心的距離為r。則物塊受到的向心力大小為（　　）
A． B．
C． D．
20．鏈球運動是田徑比賽中的一個項目，運動員拉住連著鐵球的鏈條使鐵球在空中做圓周運動，最終放手拋出。如果忽略空氣阻力，則鐵球在做圓周運動的過程中（　　）
A．只受重力 B．受重力和向心力
C．受重力和拉力 D．受重力、拉力和向心力
21．如圖所示，汽車在一水平公路上轉彎時，汽車的運動可視為勻速圓周運動。下列關于汽車轉彎時的說法正確的是（　　）
A．汽車處于平衡狀態
B．汽車的向心力由重力和支持力提供
C．汽車的向心力由摩擦力提供
D．汽車的向心力由支持力提供
22．一質量為m的汽車繞彎道做半徑為R的圓周運動，當汽車的角速度為時，其所受的向心力大小為（ ）
A． B． C． D．
23．如圖所示，水平轉臺上放著一個紙箱A，當轉臺勻速轉動時，紙箱相對轉臺靜止。關于這種情況下紙箱A的受力情況，下列說法正確的是（　　）
A．受重力、臺面的支持力、向心力和靜摩擦力
B．受重力、臺面的支持力和靜摩擦力
C．受重力和臺面的支持力
D．受重力、臺面的支持力和向心力
24．關于做勻速圓周運動的物體下列說法正確的是（　　）
A．其速度、 角速度不變 B．其加速度的方向始終不變
C．向心力的作用是改變物體速度、產生向心加速度 D．向心力是恒力
二、多選題
25．下列關于運動和力的敘述中，正確的是（　　）
A．做曲線運動的物體，其加速度方向一定是變化的
B．做勻速圓周運動的物體，所受的合力一定指向圓心
C．物體所受合力恒定，其速度隨時間一定均勻變化
D．加速度變化的運動，一定是曲線運動
26．如圖所示，小球從M點無初速釋放，當小球運動到最低點最低點N時（忽略空氣阻力）（　　）
A．只受重力作用
B．只受拉力作用
C．受重力和拉力的作用
D．重力和拉力的合力提供向心力
27．如圖所示，摩天輪懸掛的座艙在豎直平面內做勻速圓周運動。座艙的質量為m，運動半徑為R，角速度大小為ω，重力加速度為g，則座艙（　　）
A．線速度的大小為ωR
B．運動周期為
C．所受合力的大小始終為mω2R
D．受摩天輪作用力的大小始終為mg
三、填空題
28．一輛質量為1 000 kg的汽車，為測試其性能，在水平地面上沿半徑r=50 m的圓，以10 m/s的速度做勻速圓周運動，汽車沒有發生側滑，___________對汽車提供向心力，此力大小為___________ N。
29．如圖，一水平圓盤以恒定的角速度ω繞豎直轉軸勻速轉動，在離轉軸距離為r的位置上，有一質量為m的小物塊隨圓盤一起轉動且相對圓盤靜止。則小物塊做勻速圓周運動時所需的向心力由_______力提供，此力的大小為_______。
30．某物體做勻速圓周運動，角速度，半徑為，則其線速度_______，向心加速度_______。
四、解答題
31．長L=0.5 m的輕桿，其一端連接著一個零件A，A的質量m=2 kg。現讓A在豎直平面內繞O點做勻速圓周運動，如圖所示。在A通過最高點時，（g=10 m/s2）求下列兩種情況下A對桿的作用力：
（1）A的速率為1 m/s；
（2）A的速率為m/s。
32．如圖所示，在光滑水平面上，質量m=1kg的小球，以半徑繞O點做勻速圓周運動，小球做勻速圓周運動的線速度=2m/s，求：
（1）小球做勻速圓周運動的角速度ω；
（2）小球的向心力F。
33．一質量為10kg物體在做勻速圓周運動，10s內沿半徑為20m的圓周運動了100m，求：
（1）該物體運動的線速度、角速度和周期；
（2）該物體在運動過程中所受的向心力．
34．如圖所示是一個半徑R=6cm的半球形的碗．碗內有一個質量m=0.9kg的小球正在沿著虛線做勻速圓周運動，此時小球與半球面球心的連線與豎直方向的夾角θ=53°．小球可視為質點，且不計任何阻力．（g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）小球受到碗的支持力為多大？
（2）小球做勻速圓周運動的線速度大小為多少？
35．質量為m=3000kg的汽車在水平公路上行駛，輪胎與路面間的最大靜摩擦力為15000N，汽車經過半徑為r=100m的彎路時，試問：
（1）如果汽車以速度v=10m/s沿彎路行駛，汽車的向心力為多大？
（2）如果汽車以速度v=20m/s沿彎路行駛，汽車是否發生側滑？
36．如圖所示，用長為2m的輕質細線拴一質量為2kg的小球，讓小球在水平面內做勻速圓周運動，擺線與豎直方向的夾角θ是37°，不計空氣阻力。（g＝10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求:
（1）小球的軌道半徑；
（2）細線的拉力大小；
（3）小球的線速度大小。
37．如圖所示的光滑水平面上，質量為m的小球在輕繩的拉力作用下做勻速圓周運動，小球運動n圈所用時間為t，圓周的半徑為r。求：
(1)小球做圓周運動的周期T；
(2)小球線速度的大小；
(3)小球所受拉力的大小。
38．如圖所示，一個圓盤在水平面內勻速轉動，角速度是。盤面上距圓盤中心的位置有一個質量為的小物體在隨圓盤一起做勻速圓周運動，求：
(1)小物體運動的線速度大小；
(2)小物體所受向心力的大小；
(3)若圓盤勻速轉動的角速度增大為，小物體仍相對圓盤靜止，則小物體所受的摩擦力增大為原來的多少倍？
39．質量為的游客坐過山車，在圓弧軌道最低點處獲得的向心加速度達到20m/s2，g=10m/s2，那么，此位置座椅對游客的支持力為多大？
40．如圖，在以角速度勻速轉動的水平圓盤上，放一個質量m=5kg的滑塊，滑塊離轉軸的距離r=0.2m，滑塊跟隨圓盤一起做勻速圓周運動（二者未發生相對滑動）求。
(1)滑塊運動的線速度大小；
(2)滑塊受到靜摩擦力的大小。
41．一個質量為M=1.0kg的物體，做半徑為R=2.0m的勻速圓周運動。在1min內一共轉過30周。試求；
(1)物體運動的角速度；
(2)物體運動線速度的大小；
(3)物體運動所需向心力的大小。
42．如圖所示，一輕繩上端固定，下端拴著一個質量為的小球（可視為質點），小球在水平面內做勻速圓周運動，已知繩長為，繩子與豎直方向的夾角為，重力加速度為.求：
（1）繩子對小球拉力的大小；
（2）小球做圓周運動角速度的大小。
43．要保持一個質量為的物體在半徑為的圓周上以的線速度做勻速圓周運動，需要提供多大的向心力？
44．質量為50kg的一名同學坐在繩長為4.0m的秋千上，當他經過最低點時速率為2m/s。不計各種阻力，g=10。求當他經過最低點時，對秋千板的壓力大小。
45．如圖所示，長為L=0.5 m的輕桿OA繞O點在豎直平面內做勻速圓周運動，A端連著一個質量m=2 kg的小球，g取10 m/s2。
（1）如果小球的速度為3 m/s，求在最低點時桿對小球的拉力為多大。
（2）如果在最高點桿對小球的支持力為4 N，求桿旋轉的角速度為多大。
《向心加速度》
一、勻速圓周運動的加速度方向
1、定義：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向 ，這個加速度叫作向心加速度．
2、向心加速度的方向：根據牛頓第二定律，物體運動的加速度方向與它所受合力的方向_______。
3、向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與 方向垂直，故向心加速度只改變速度的 ，不改變速度的 ．
4、物體做勻速圓周運動時，向心加速度始終指向圓心，方向在時刻變化，所以勻速圓周運動是 曲線運動．
5、變速圓周運動的向心加速度
做變速圓周運動的物體，加速度一般情況下不指向圓心，該加速度有兩個分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向變化的快慢，切向加速度表示速度大小變化的快慢．所以變速圓周運動中，向心加速度的方向也總是指向圓心．
二、勻速圓周運動的加速度大小
1、向心加速度公式：an＝或an＝ .
2、向心加速度的公式既適用于勻速圓周運動，也適用于非勻速圓周運動．
3、向心加速度的幾種表達式
4、向心加速度的大小與半徑的關系
(1)當半徑一定時，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的平方成正比．隨頻率的增大或周期的減小而增大．
(2)當角速度一定時，向心加速度與運動半徑成正比．
(3)當線速度一定時，向心加速度與運動半徑成反比．
(4)a與r的關系圖象：如圖所示，由a r圖象可以看出，a與r成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定．
5、向心加速度的注意要點
(1)向心加速度是矢量，方向總是指向圓心，始終與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小．向心加速度的大小表示速度方向改變的快慢．
(2)向心加速度的公式適用于所有圓周運動的向心加速度的計算．包括非勻速圓周運動．但a與v具有瞬時對應性．
三、向心力公式的應用
1、向心力大小：F＝m＝mω2r＝mr＝mωv，在勻速圓周運動中，向心力大小不變．
2、幾種常見的實例如下
實例 向心力 示意圖
用細線拴住的小球在豎直面內轉動至最高點時 繩子的拉力和重力的合力提供向心力，F＝F＋G
用細線拴住小球在光滑水平面內做勻速圓周運動 線的拉力提供向心力，F＝FT
物體隨轉盤做勻速圓周運動，且相對轉盤靜止 轉盤對物體的靜摩擦力提供向心力，F＝Ff
小球在細線作用下，在水平面內做圓周運動 重力和細線的拉力的合力提供向心力，F＝F合
綜合演練
一、多選題
1．一小球被細繩拴著，在水平面內做半徑為R的勻速圓周運動，向心加速度為a，那么下列說法正確的是（　　）
A．小球運動的線速度
B．小球做勻速圓周運動的周期
C．小球在時間t內通過的路程為
D．小球在時間t內可能發生的最大位移為2R
2．如圖所示，甲、乙為兩輛完全一樣的電動玩具汽車，以相同且不變的角速度在水平地面上做勻速圓周運動，甲運動的半徑小于乙運動的半徑。下列說法正確的是（　　）
A．甲的線速度大于乙的線速度
B．甲、乙兩輛車所受的摩擦力大小相同
C．若角速度增大，則乙先發生側滑
D．甲的加速度小于乙的加速度
3．一個小孩坐在游樂場的旋轉木馬上，繞中心軸在水平面內做勻速圓周運動，圓周的半徑為4.0m，線速度為2.0m/s，則小孩做圓周運動的（　　）
A．角速度 B．周期
C．轉速 D．向心加速度
4．如圖所示為一皮帶傳動裝置，右輪半徑為r，a為它邊緣上一點；左側是一輪軸，大輪半徑為4r，小輪半徑為2r，b點在小輪上，到小輪中心的距離為r；c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上。若傳動過程中皮帶不打滑，則（　　）
A．a、b、c、d四點的角速度之比為2:2:1:1
B．a、b、c、d四點的角速度之比為2:1:1:1
C．a、b、c、d四點的向心加速度之比為4:1:2:4
D．a、b、c、d四點的向心加速度之比為4:1:2:2
5．做勻速圓周運動的物體（視為質點），其線速度大小為1m/s，角速度為2rad/s，下列說法正確的是（　　）
A．物體運動的周期為 B．物體運動的半徑為0.5m
C．物體運動的向心加速度大小為2m/s2 D．在0.1s內物體通過的弧長為0.3m
二、單選題
6．如圖所示，操場跑道的彎道部分是半圓形，最內圈的半徑大約是36m。一位同學沿最內圈勻速率跑過一側彎道的時間約為12s，則這位同學在沿彎道跑步時（　　）
A．角速度約為 B．線速度約為3m/s
C．轉速約為 D．向心加速度約為
7．如圖所示，A、B兩點分別位于大、小輪的邊緣上，C點位于大輪半徑的中點，大輪的半徑是小輪的2倍，它們之間靠摩擦傳動，接觸面上沒有滑動。則（　　）
A．Ａ、Ｂ兩點角速度大小之比為2：1
B．A、B兩點向心加速度大小之比為2：1
C．B、C兩點角速度大小之比為2：1
D．B、C兩點向心加速度大小之比為2：1
8．如圖所示，拖拉機后輪的半徑是前輪半徑的兩倍，A和B是前輪和后輪邊緣上的點，若拖拉機行進時車輪沒有打滑，則（　　）
A．兩輪轉動的周期相等
B．兩輪轉動的轉速相等
C．A點和B點的線速度大小之比為1：2
D．A點和B點的向心加速度大小之比為2：1
9．如圖所示為皮帶傳動裝置的示意圖，A、B為輪邊緣上的兩點，R>r。皮帶傳動時（皮帶沒有打滑），下列說法正確的是（　　）
A．角速度 B．線速度
C．向心加速度 D．周期
10．如圖所示，a、b是傘面上的兩顆相同的雨滴。當以傘柄為軸旋轉雨傘時，下列說法正確的是（　　）
A．a更容易移動，因為a所需的向心加速度更小
B．a更容易移動，因為a所需的向心加速度更大
C．b更容易移動，因為b所需的向心加速度更小
D．b更容易移動，因為b所需的向心加速度更大
11．關于平拋運動和勻速圓周運動的描述，以下說法正確的是（　　）
A．平拋運動是一種勻變速曲線運動
B．勻速圓周運動是一種勻變速曲線運動
C．平拋運動的加速度時刻改變
D．勻速圓周運動的加速度保持不變
12．如圖所示是起吊重物的吊車，當液壓桿長度收縮，吊臂繞固定轉軸順時針轉動，吊臂上的M、N兩點繞O點做圓周運動，M為ON的中點，則下列說法正確的是（　　）
A．N和M兩點的周期之比為2∶1
B．N和M兩點的角速度之比為2∶1
C．N和M兩點的線速度之比為1∶1
D．N和M兩點的向心加速度之比為2∶1
13．2021年11月8日，中國載人航天工程空間站順利完成第三次航天員出艙活動，本次出艙先后完成了機械臂懸掛裝置與轉接件安裝測試工作。機械臂繞圖中O點旋轉時，旋轉臂上A、B兩點的線速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a的關系正確的是（　　）
A．、 B．、
C．、 D．、
14．如圖所示，游樂場中旋轉飛椅帶著游客在勻速旋轉，則（　　）
A．所有游客的線速度相等
B．離轉軸越遠的游客角速度一定越大
C．離轉軸越遠的游客向心加速度一定越大
D．離轉軸越遠的游客需要的向心力一定越大
15．如圖所示為A、B兩物體做勻速圓周運動的向心加速度隨半徑變化的圖像，其中A為雙曲線的一個分支，由圖可知（　　）
A．A物體運動的線速度大小與半徑成正比
B．A物體運動的角速度大小不變
C．B物體運動的角速度大小不變
D．B物體運動的角速度與半徑成正比
16．陀螺是中國民間的一種玩具，為了美觀，繞陀螺中心軸對稱鑲嵌有相同質量、不同顏色的裝飾物。如圖所示，小朋友抽打陀螺使其轉動時，這些裝飾物繞中心軸轉動的物理量相同的是（　　）
A．線速度 B．向心加速度
C．向心力 D．周期
17．夏天，電風扇是解暑的電器之一，如圖所示，電風扇葉片上的b點到中間轉軸的距離是a點的2倍，電風扇正常勻速轉動時（　　）
A．a點的角速度比b點的角速度小
B．a點的線速度比b點的線速度大
C．a、b兩點的周期之比為1∶2
D．a、b兩點的向心加速度之比為1∶2
18．如圖所示，轉筆是大部分同學都會一個小游戲，在轉筆時，重的一端到支撐點的距離要近一點，這樣才能使筆在手指上更穩定地繞該點轉動， 假設重的一端的尾部是A點，輕的一端的尾部是B點，支撐點為O，OA ：OB=2 ：3，筆繞支撐點勻速轉動，下列說法正確的是（　　）
A．相同時間內A點和B點轉過的角度之比為3 ：2
B．相同時間內A點和B點走過的弧長之比為3 ：2
C．A、B兩點向心加速度之比為2 ：3
D．相同時間內OA和OB掃過的面積相等
19．物理課上，老師做了一個實驗，如圖所示，用長為L的懸線一端固定于O點，另一端系著一質量為m的小球，在O點正下方處釘一個釘子，把懸線拉直與豎直方向成一定角度，小球處于A點，現以一定的初速度推小球，從小球離開A點再回到A點的過程中，不計空氣阻力，以下說法正確的是 （　　）
A．當懸線碰到釘子時，小球的線速度v突然變大
B．當懸線碰到釘子時，小球的向心加速度a突然變小
C．當懸線碰到釘子時，小球的角速度突然變大
D．小球返回到A點剛好速度為0，不會撞上老師
20．一小球做半徑為0.5m的勻速圓周運動，角速度為4rad/s，其向心加速度大小為（　　）
A． B． C． D．
21．A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運動，在相同的時間內，它們通過的路程之比是 4：3，運動方向改變的角度之比是3：2，它們的向心加速度之比為（　　）
A．16：9 B．2：1 C．9：4 D．4：1
三、解答題
22．如圖所示的傳動裝置中皮帶與兩輪均不打滑動。已知大輪半徑是小輪半徑的3倍。大輪上與輪軸間距為大輪半徑一半的A點向心加速度為0.05m/s2。求：
（1）大輪邊緣上某點的向心加速度大小；
（2）大輪與小輪的角速度之比。
23．一轎車以30m/s的速率沿半徑為60m的圓形跑道行駛，在轎車從A運動到B的過程中，轎車和圓心的連線轉過的角度為90o，求：
（1）此過程中轎車通過的路程；
（2）此過程中轎車的位移大小；
（3）轎車運動的向心加速度大小。
24．一個物體做勻速圓周運動，線速度為3m/s，角速度大小為2rad/s，求它的向心加速度的大小？
25．如圖所示，一半徑為的圓環，以直徑為軸勻速轉動，轉動周期，環上有M、N兩點，與轉軸的夾角分別為60°和30°，求：
（1）M點的線速度；
（2）N點的向心加速度。
26．如圖所示，用內壁光滑的薄壁細圓管彎成的由半圓形AB（圓半徑比細管的內徑大得多）和直線BC組成的軌道固定在水平桌面上，已知AB部分的半徑。彈射裝置將一個質量為的小球（可視為質點）以的水平初速度從A點射入軌道，小球從C點離開軌道隨即水平拋出，桌子的高度，不計空氣阻力，g取。求：
（1）小球在半圓軌道上運動時的角速度ω、向心加速度a的大小；
（2）小球在空中做平拋運動的時間及落到地面D點時的速度大小。
27．如圖所示，一個大輪通過皮帶拉著小輪轉動，皮帶和兩輪之間無滑動，大輪的半徑是20cm，小輪的半徑是10cm，大輪上的一點S與轉動軸的距離是5cm，當大輪邊上P點的向心加速度是20m/s2時，求：
（1）大輪上的S點的線速度大小；
（2）小輪邊緣上的Q點的向心加速度為多大？
28．兒童樂園中，一個質量為10kg的小孩騎在木馬上隨木馬一起在水平面內勻速轉動。已知轉軸距木馬4m遠，每12.56s轉1圈，把小孩的轉動看作勻速圓周運動，求（π=3.14）：
（1）小孩轉動的角速度；
（2）小孩轉動的線速度；
（3）小孩轉動的向心加速度。
29．如圖所示，B和C是一組塔輪，即B和C固定在同一轉動軸上，但半徑不同，其半徑之比為Rb：Rc=5：3；A輪的半徑大小與C 輪的相同，它與B輪緊靠在一起，當A輪繞其中心的豎直軸轉動時，由于摩擦作用，B輪也隨之轉動起來，且A、B兩輪之間不打滑，a、b、c分別為三輪邊緣的三個點，求a、b、c三點在運動過程中：
（1）線速度大小之比；
（2）角速度之比；
（3）向心加速度大小之比。
30．做勻速圓周運動的物體，10 s內沿半徑為20 m的圓周運動100m，試求物體做勻速圓周運動時：
(1)線速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)向心加速度的大小。
31．質量為1.5kg的物體做勻速圓周運動，5S內沿半徑為10m的圓周運動了100m，試求物體做勻速圓周運動時：
（1）線速度的大小，
（2）角速度大小，
（3）周期大小，
（4）向心加速度大小，
（5）向心力大小．
32．一質量為1600 kg的汽車，行駛到一座半徑為40m的圓弧形拱橋頂端時，汽車運動速度為10m/s，g=10m/s2．求：
⑴此時汽車的向心加速度大小；
⑵此時汽車對橋面壓力的大小；
⑶若要安全通過橋面，汽車在最高點的最大速度．
33．如圖所示，長度為L=1.0m的繩，系一小球在豎直面內做圓周運動，小球的質量為M=5kg，小球半徑不計，小球在通過最低點的速度大小為v=10m/s（g =10m/s2）,試求：
（1）小球在最低的向心加速度；
（2）小球在最低點所受繩的拉力
四、填空題
34．如圖所示，輪、固定在同一轉軸上，輪、用皮帶連接且不打滑。在、、三個輪的邊緣各取一點A、B、C，已知三個輪的半徑之比，則：
（1）A、B、C點的線速度大小之比________；
（2）A、B、C點的角速度大小之比________；
（3）A、B、C三點的向心加速度大小之比________。
35．如圖所示的皮帶傳動裝置中，輪A和B同軸，A、B、C分別是三個輪邊緣上的質點，且，則角速度之比=___________，線速度=___________，向心加速度之比=___________。
36．在如圖所示的傳動裝置中，P、Q兩輪通過皮帶連接在一起，a、b、c是兩輪上的三點，已知半徑Ra=2Rb=，Q輪為主動輪，逆時針勻速轉動，皮帶不打滑，則關于a、b、c三點角速度之比________；線速度之比________；向心加速度之比________。
37．一物體在水平面上做勻速圓周運動，質量為1kg，物體做圓周運動的角速度為2.0rad/s，半徑為0.5m，該物體做圓周運動的線速度為______m/s，向心加速度為______m/s2，受到的向心力為______N。
38．如圖所示為一皮帶傳動裝置示意圖，輪A和輪B共軸固定在一起組成一個塔形輪，各輪半徑之比。則在傳動過程中，輪C邊緣上一點和輪D邊緣上一點的線速度大小之比為______，角速度之比為______，向心加速度大小之比為______。
39．長度為L=1.0m的繩，系一小球在豎直面內做圓周運動，小球的質量為m=5kg，小球半徑不計，小球在通過最低點時的速度大小為v=20m/s，則小球在最低點的向心力______N，向心加速度______m/s2，小球在最低點所受繩的拉力______N。
40．一根長為1m的細繩，一端固定于光滑水平面上的O點，另一端系一質量為的小球，使小球在水平面上繞O點做勻速圓周運動，運動速度為，則小球的加速度大小為__________，細繩的拉力大小為_________N．
41．一個質量m=3kg的物體在水平面內沿半徑 R=10 cm的圓形軌道做勻速圓周運動，線速度v=0.2m/s，那么，它的向心力為 _______ N,它的角速度為_______ rad/s，它的周期為______s,轉速是______r/s
《生活中的圓周運動》
一、火車轉彎
1、火車車輪的特點
火車的車輪有凸出的輪緣，火車在鐵軌上運行時，車輪與鐵軌有水平與豎直兩個接觸面，這種結構特點主要是避免火車運行時脫軌
甲　　　　　　　乙
2、內外軌一樣高：火車轉彎時，外側車輪的輪緣擠壓 ，使外軌發生 ，外軌對輪緣的 是火車轉彎所需向心力的主要來源(如圖甲所示)
3、外軌高于內軌：如果在彎道處使外軌略高于內軌(如圖乙所示)，火車轉彎時鐵軌對火車的支持力FN的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的 ，它與重力G的合力指 向 ，為火車轉彎提供了一部分向心力。
4、適當選擇內外軌的高度差，使轉彎時所需的向心力幾乎完全由重力G和支持力FN的
來提供。合力沿水平方向，大小F=
5、規定速度分析
若火車轉彎時只受重力和支持力作用 ,不受軌道壓力，則，可得。 (R為彎道半徑,為軌道所在平面與水平面的夾角,為轉彎處的規定速度)
6、軌道壓力分析
(1)當火車行駛速度v等于規定速度時，所需向心力僅由重力和支持力的合力提供，此時火車對內外軌道無擠壓作用。
(2)當火車行駛速度v與規定速度不相等時，火車所需向心力不再僅由重力和支持力的合力提供，此時內外軌道對火車輪緣有擠壓作用,具體情況如下:
①當火車行駛速度>時,外軌道對輪緣有側壓力;
②當火車行駛速度<時,內軌道對輪緣有側壓力
二、拱形橋與凹形橋
1、汽車過拱形橋時，車對橋的壓力小于其重力
汽車在橋上運動經過最高點時，汽車所受重力G及其支持力提供向心力。G-=，所以=G-.
汽車對橋的壓力與橋對汽車的支持力是一對作用力與反作用力，故汽車對橋的壓力小于其重力。
汽車通過凸形路面頂端時,處于失重狀態，汽車行駛的速度v越大,汽車對凸形路面的壓力越小;當汽車的速度等于時，對凸形路面壓力為零,處于完全失重狀態，此時 =是汽車保持在凸形路面頂端運動的最大速度(臨界速度) ,若超過這個速度，這時汽車將“飛”過凸形路面。
2、汽車過凹形橋時，車對橋的壓力大于其重力
如圖所示,汽車經過凹形橋最低點時，受豎直向下的重力和豎直向上的支持力,其合力充當向心力。則-G= ,所以=G+，由牛頓第三定律知，車對橋的壓力'=G+，大于車的重力。而且還可以看出,v越大，車對橋的壓力越大。
3、航天器中的失重現象
地球可以看作一個巨大的拱形橋，橋面的半徑就是地球半徑R(約為6400 km)。地面上有一輛汽車在行駛，質量是m，地面對它的支持力是。
根據前面的分析,汽車速度越大，地面對它的支持力就越小，當速度大到一定速度時,地面對車的支持力為零，此速度應為。這時駕駛員與座椅之間的壓力為零,他有飛起來的感覺,汽車在近地面繞地球做勻速圓周運動，此時汽車如同人造衛星。
人造衛星、宇宙飛船、航天飛機等航天器進人軌道后可近似認為繞地球做勻速圓周運動，此時重力提供了衛星做圓周運動的向心力。航天器中的人和物隨航天器一起做圓周運動，其向心力也是由重力提供的，此時重力全部用來提供向心力，里面的人和物處于完全失重狀態。
4、離心運動
①定義：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向心力的情況下，所做的逐漸遠離圓心的運動
②本質：做圓周運動的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切線方向飛出去的傾向，并非受到離心力作用
③受力特點：
①當F合=m時，物體做勻速圓周運動(供需平衡)
②當F合=0時，物體沿切線方向飛出(向心力消失)
③當F合④當F合>m時,物體逐漸靠近圓心，做近心運動(供大于需)
④作用：離心運動可以給我們的生活、工作帶來方便，如利用離心運動而設計的離心干燥器洗衣服的脫水筒等
⑤防止：有時離心運動也會給人們帶來危害，需要進行限速,如汽車轉彎時若做離心運動則易造成交通事故;砂輪轉動時發生部分砂塊做離心運動會造成人身傷害
綜合演練
一、單選題
1．廣州市內環路上出口處常有限速標志。某出口路面是一段水平圓弧軌道，雨天車輪與路面的動摩擦因數為0.4，汽車通過出口的最大速度為36km/h。晴天車輪與路面的動摩擦因數為0.6，則晴天汽車通過出口的最大速度約為（　　）
A．44km/h B．54km/h C．24km/h D．30km/h
2．如圖所示，質量為1.6kg，半徑為0.5m的光滑細圓管用輕桿固定在豎直平面內，小球A和B的直徑略小于細圓管的內徑。它們的質量分別為mA=1kg、mB=2kg．某時刻，小球A、B分別位于圓管最低點和最高點，且A的速度大小為vA=3m/s，此時桿對圓管的彈力為零。則B球的速度大小vB為（取g=10m/s2）（　　）
A．2m/s B．4m/s
C．6m/s D．8m/s
3．如圖所示是游樂場里的過山車，若過山車經過A、B兩點的速率相同，則過山車（　　）
A．在A點時處于失重狀態
B．在B點時處于超重狀態
C．A點的向心加速度小于B點的向心加速度
D．在B點時乘客對座椅的壓力可能為零
4．某小孩蕩秋千，當秋千擺到最低點時（　　）
A．小孩所受重力和支持力的合力方向向下，小孩處于超重狀態
B．小孩所受重力和支持力的合力方向向下，小孩處于失重狀態
C．小孩所受重力和支持力的合力方向向上，小孩處于超重狀態
D．小孩所受重力和支持力的合力方向向上，小孩處于失重狀態
5．在室內自行車比賽中，運動員以速度在傾角為的賽道上做勻速圓周運動。已知運動員的質量為，做圓周運動的半徑為，重力加速度為，則下列說法正確的是（ ）
A．運動員做圓周運動的角速度為
B．運動員做勻速圓周運動的向心力大小是
C．運動員做勻速圓周運動的向心力大小一定是
D．將運動員和自行車看做一個整體，則整體受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
6．如圖所示，半徑為R的水平圓盤上放置兩個相同的木塊a和b，木塊a放在圓盤的邊緣處，木塊b放在距圓心處，它們都隨圓盤一起繞過圓盤中心的豎直軸轉動，下列說法正確的是（　　）
A．兩木塊的線速度大小相等
B．兩木塊的角速度相等
C．若圓盤轉速逐漸增大，木塊b將先滑動
D．若圓盤轉速逐漸增大，木塊a、b將同時滑動
7．如圖，光滑水平面上，質量為m的小球，在細繩拉力F的作用下，以速度v做半徑為r的勻速圓周運動。（　　）
A．若小球沿順時針運動到圖示位置時，拉力F突然變小，則小球將沿軌跡a運動
B．若小球沿順時針運動到圖示位置時，拉力F突然變大，則小球將沿軌跡b運動
C．若小球沿順時針運動到圖示位置時，繩子突然斷裂，則小球將沿軌跡c運動
D．無論繩子上的力如何變化，小球都將沿圓周運動
8．為了安全，汽車通過凸形橋時的速度不能過大。某汽車通過凸形橋橋頂時的示意圖如圖所示，已知凸形橋為一段半徑為15m的圓弧，要求汽車運動到橋頂時對橋面的壓力大小至少等于其所受重力大小的。取重力加速度大小。則汽車通過橋頂時的最大速度為（　　）
A．36km/h B．54km/h C．60km/h D．72km/h
9．如圖所示，一質量為的小球，用長為0.4 m的輕繩拴著在豎直平面內做圓周運動，，下列說法不正確的是（　　）
A．小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為
B．當小球在最高點的速度為，輕繩拉力為15 N
C．若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的最大速度不能超過
D．若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的最大速度不能超過
10．如圖所示，汽車以大小相等的速率通過凹凸不平的路面時，下列說法正確的是（　　）
A．汽車通過B點時容易爆胎
B．汽車經過A、B兩點均處于超重狀態
C．汽車通過B點對路面壓力值小于汽車的重力
D．汽車經過A、B兩點時對路面壓力值均等于車的重力
11．如圖，某公路急轉彎處是一圓弧，當汽車行駛的速率為時，汽車恰好沒有向公路內外兩側滑動的趨勢。則當汽車在該彎道處（ ）
A．車速低于時，車輛就向內側滑動
B．車速高于時，車輛就向外側滑動
C．路面結冰時，與未結冰時相比，的值變小
D．路面結冰時，與未結冰時相比，的值不變
12．2021年3月24日，江油中學高一同學參加了九皇山游學研活動。同學們乘坐景區的觀光車以恒定的速率經過了許多外高內低的盤山公路，最終到達了西羌酒店外的平壩。下列說法正確的是（　　）
A．觀光車轉彎時受到了重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B．觀光車以較大速度轉彎時，僅由摩擦力提供所需要的向心力
C．觀光車以較大速度轉彎時，由重力和支持力的合力提供所需要的向心力
D．盤山公路修建得外高內低是為了避免觀光車向外側滑
13．如圖所示，復興號列車以速率v通過一段水平彎道，轉彎半徑為r，列車恰好與軌道間沒有側向壓力，不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列判斷正確的是（　　）
A．列車左右兩車燈的線速度大小相等
B．彎道處的外軌略高于內軌
C．內外軌所在斜面的傾角滿足
D．質量為m的乘客在拐彎過程中，受到列車給他的作用力為
14．如圖所示為一在水平面內做勻速圓周運動的圓錐擺，已知擺球的質量為m，擺線與豎直方向的角度為θ，擺線長為L。下列說法中正確的是（　　）
A．擺球受重力、拉力和向心力的作用 B．擺線對擺球的拉力提供向心力
C．向心力大小為mgtanθ D．線速度大小為
15．一汽車通過半徑為R=10m的拱形橋頂點，如果要使汽車在橋頂對橋面有壓力，取g=10m/s2，則汽車的最大速度不能超過（　　）
A．5m/s B．10m/s C．15m/s D．20m/s
16．如圖所示為家用洗衣機的脫水桶，當它高速旋轉時，能把衣物甩干。根據我們所學的知識，下列敘述正確的是（　　）
A．脫水桶高速旋轉時，水受到與運動方向一致的合外力作用而飛離衣物
B．脫水桶高速旋轉時，衣物上的水受到的合外力不足以提供向心力，所以水滴做離心運動，通過小孔飛離脫水桶
C．經過脫水流程后，打開洗衣機，發現衣物集中堆放在桶的中央
D．脫水桶高速運轉時，衣物上的水受到離心力作用
17．一輛質量為的汽車，駛過一半徑為的凹形路面，已知車胎的最大承受力是。取重力加速度大小，為防止爆胎，安全行車的速度不得超過多少（　　）
A． B． C． D．
18．汽車行駛在半徑為50m的圓形水平跑道上，速度為10m/s。已知汽車的質量為100kg汽車與地面的最大靜摩擦力為車重的0.8倍（g=10m/s2），要使汽車不打滑，則其速度最大不能超過（　　）
A．25m/s B．10m/s C．8m/s D．20m/s
二、多選題
19．如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動，小球直徑略小于管道內徑，ab為過圓心的水平線。則小球（　　）
A．過最高點的速度越小，對管壁的彈力可能越大
B．過最高點的速度越小，對管壁的彈力一定越小
C．在ab以下運動時，對內側管壁可能有作用力
D．在ab以下運動時，對內側管壁一定無作用力
20．修筑鐵路時，彎道處的外軌高于內軌，如圖所示。當火車以規定速度轉彎時，內、外軌均不會受到輪緣的擠壓，設此速度大小為，重力加速度為，兩軌所在面的傾角為，則（　　）
A．該彎道的半徑
B．該彎道的半徑
C．火車行駛速度小于時，內軌將受到輪緣的擠壓
D．火車行駛速度大于時，內軌將受到輪緣的擠壓
21．如圖是洗衣機的脫水桶，在甩干衣服時，脫水桶繞豎直軸轉動速度慢慢變快，高速轉動時衣服緊貼脫水桶側壁隨之轉動，則 （　　）
A．脫水桶轉動速度較慢時，衣服上的水會做近心運動
B．脫水桶轉動速度較快時，衣服上的水會做離心運動
C．衣服緊貼側壁做圓周運動的向心力由衣服所受摩擦力提供
D．衣服緊貼側壁做圓周運動的向心力由桶壁對衣服的彈力提供
22．如圖所示，一質量為m的汽車以恒定的速率運動。若通過凸型路面時對路面的壓力F1，通過凹形路面最低點時對路面的壓力為F2，則（　　）
A．F1mg C．F2mg
23．下列有關生活中的圓周運動實例分析，其中說法正確的是（　　）
A．繞地球沿圓軌道飛行的航天器中懸浮的液滴處于平衡狀態
B．汽車通過凹形橋的最低點時，車對橋的壓力大于汽車的重力
C．在鐵路的轉彎處，通常要求外軌比內軌高，目的是減輕輪緣與外軌的擠壓
D．雜技演員表演“水流星”，當“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態，不受重力作用
24．鐵軌在轉彎處外軌略高于內軌，其高度差由彎道半徑與火車速度確定。若在某轉彎處規定安全行駛速度為v，則下列說法中正確的是（ ）
A．當火車速度等于v時，由重力沿內外軌道所在平面的分力提供向心力
B．當火車速度等于v時，由支持力沿水平的分力提供向心力
C．當火車速度大于v時，輪緣擠壓外軌
D．當火車速度小于v時，輪緣擠壓外軌
25．在公路上常會看到凸形和凹形的路面，如圖所示。 一質量為m的汽車，通過凸形路面的最高處時對路面的壓力為N1，通過凹形路面最低處時對路面的壓力為N2，則（　　）
A．N1 > mg B．N1 < mg C．N2 = mg D．N2> mg
三、填空題
26．如圖所示，質量為2.0 × 103kg的汽車在水平公路上行駛，當汽車經過半徑為 80m 的彎路時，車速為20m/s。此時汽車轉彎所需要的向心力大小為___________N。若輪胎與路面間的最大靜摩擦力為1.4 × 104N，請你判斷這輛車在這個彎道處會不會發生側滑___________（填“會”或“不會”）。
27．如圖所示，長度為的輕桿OA，A端固定一個質量為的小球，小球以O點為圓心在豎直平面內做圓周運動；若小球在圓周最高點的速率為，取，則在圓周最高點時，桿對小球的作用力是___________（填“支持力”或“拉力”），力的大小為___________N。
28．一汽車通過拱形橋頂點時速度為10 m/s，車對橋頂的壓力為車重的，如果要使汽車在橋頂對橋面沒有壓力，車速至少為________m/s。
29．有一輛質量為的小汽車駛上圓弧半徑為的拱橋。汽車到達橋頂時速度為，汽車對橋的壓力是________N；汽車速度________m/s時恰好對橋沒有壓力而騰空。（）
30．質量為1.0×103kg的汽車，行駛到一座半徑為40m的圓形凸橋頂時，如果汽車速度為10m/s，則此時汽車向心加速度為_____m/s2，向心力大小為_____N，汽車對橋面的壓力為_____N。
31．如圖所示，汽車以大小相等速度通過凹凸不平的路面時，在A點處于__________（填“超重”或“失重”）狀態，在B點處于______（填“超重”或“失重”）狀態，在______點更容易爆胎。
四、解答題
32．一個人用一根長，只能承受拉力的繩子，拴著一個質量為的小球，在豎直面內作圓周運動，已知轉軸離地面高為，如圖所示。（取）。
（1）小球做圓周運動到最低點的速度達到多少時方能使小球到達最低點時繩子拉斷；
（2）若繩恰好在最低點被小球拉斷，求小球落地點與拋出點的水平距離多大。
33．如圖所示兩根長度不同的細線下分別懸掛甲、乙兩小球，細線上端固定在天花板上同一點M。兩個小球繞共同的豎直軸MN在水平面內做勻速圓周運動且處于同一水平面內，兩球距圓心O距離比為1：3，求：
（1）甲、乙兩小球角速度之比；
（2）甲、乙兩小球向心加速度之比。
34．一輛質量的汽車，經過半徑的水平彎路。則：
（1）當汽車的速度時，所需要的向心力為多大？
（2）若汽車輪胎與路面間的摩擦因數為0.45，為了使這輛車通過此段彎路時不發生側滑，行駛的最大速度為多大？（最大靜摩擦等于滑動摩擦）
35．如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置。兩個質量均為m的小球a、b以不同的速度進入管內，a通過最高點A時，對管壁上部的壓力為3mg，b通過最高點A時，對管壁下部的壓力為0.75mg，求a、b兩球落地點間的距離。
36．如圖，一輛質量的小汽車駛上一座半徑的圓弧形拱橋。（取）
（1）汽車以的速度經過拱橋的頂部時，圓弧形拱橋對汽車的支持力是多大？
（2）汽車以多大速度通過拱橋的頂部時，汽車對圓弧形拱橋的壓力恰好為零？
37．一質量為的小球，用長為細繩拴住，在豎直平面內做圓周運動（取），求：
（1）若過最高點時的速度為，此時小球角速度多大？
（2）若過最高點時繩的拉力剛好為零，此時小球速度大小？
（3）若過最低點時的速度為，此時繩的拉力大小？
38．如圖所示，長為L=0.5 m的輕桿OA繞O點在豎直平面內做勻速圓周運動，A端連著一個質量m=2 kg的小球，g取10 m/s2。
（1）如果小球的速度為3 m/s，求在最低點時桿對小球的拉力為多大。
（2）如果在最高點桿對小球的支持力為4 N，求桿旋轉的角速度為多大。
39．如圖所示，質量為0.1kg的木桶內盛水0.4kg，用40cm的繩子系住桶，并使它在豎直平面內做圓周運動。（桶可視為質點，取g=10m/s2）
（1）要使水不灑出，木桶在最高點的速度至少多大？
（2）如果通過最低點時速度大小10m/s，求最低點時桶底對水的支持力大小。
40．有一個質量為800kg的小汽車駛上圓弧半徑為40m的拱橋，重力加速度g取10 m/s2。
（1）汽車到達橋頂時速度為10m/s，橋對汽車的支持力是多大？
（2）汽車以多大的速度經過橋頂時恰好對橋面沒有壓力？
（3）假如拱橋的半徑增大到與地球半徑R=6400km一樣，當汽車的速度不斷地增大就會在橋上騰空形成繞地球做圓周運動的衛星，求使汽車成為衛星的最小速度。
41．長L=0.5m的輕桿，其一端連接著一個零件A，A的質量m=2kg。現讓A在豎直平面內繞O點做勻速圓周運動，如圖所示。在A通過最高點時，（）求下列兩種情況下A對桿的作用力大小：
（1）當桿對零件無作用力時零件的速度大小；
（2）A的速率為1m/s；
（3）A的速率為4m/s。
42．飛機進行特技表演時常做俯沖拉起運動，如圖所示。此運動在最低點附近可看作是半徑為的圓周運動。若飛行員的質量為，飛機經過最低點時的速度為，則這時候飛行員對坐椅的壓力為多大？g取。
43．如圖所示，質量為的小球從半徑為的圓弧頂端無初速釋放，下滑到最低點P后，做平拋運動，平拋的豎直位移，水平位移，。求：
（1）小球做平拋運動的時間t；
（2）小球運動到P點的瞬時速度；
（3）小球在P點瞬時對圓弧軌道的壓力為多大？
44．小球沿粗糙的水平面沖上一個光滑的半圓形軌道，已知軌道的半徑為R，小球到達軌道的最高點A時對軌道的壓力大小恰好等于小球的重力2倍，不計空氣阻力。請求出：
（1）小球到達軌道最高點A時的速度為多大；
（2）小球落地點到最低點B的距離是多少？
45．一輛質量m=2.0×103kg的小轎車，駛過半徑R=160m的一段圓弧形橋面，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）若橋面為凸形，汽車以20m/s的速度通過橋面最高點時，對橋面壓力是多大？
（2）汽車以多大速度通過凸形橋面頂點時，對橋面剛好沒有壓力？

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