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【2013·北京·24題】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），將線段 BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD。
（1）如圖 1，直接寫出∠ABD的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；
（2）如圖 2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；
（3）在（2）的條件下，連接DE，若∠DEC=45°，求α的值。
解：（1）∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC=α
∴∠ABC=90°-α
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，且∠DBC=60°
∴∠ABD=30°-α
（2）△ABE是等邊三角形。證明如下：
連接AD、CD、ED。
∵BC=BD，∠DBC=60°
∴△BCD是等邊三角形
∴BD=CD
∵AB=AC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α
∠ACD=∠ABD=30°-α
∵∠ABE=∠DBC=60°
∴∠DBE+∠ABD=∠DBE+∠CBE
∴∠CBE=∠ABD=30°-α
∵∠BCE=150°
∴∠BEC=180°-∠BCE-∠CBE=α
∴∠BEC=∠BAD=α
∵BC=BD
∴△ABD≌△EBC（AAS）
∴AB=EB
∴△ABE是等腰三角形
∵∠ABE=60°
∴△ABE是等邊三角形
（3）∵∠BCE=150°，∠BCD=60°
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°
∵∠DEC=45°
∴△DCE是等腰直角三角形
∴CE=CD
∵BC=CD
∴BC=CE
∴∠CBE=∠BEC
∵由(2)知，∠CBE=30°-α，∠BEC=α
∴30°-α=α
∴α=30°
【2013·北京·25題】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點(diǎn)A、B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。已知點(diǎn)D（，），E（0，-2），F(xiàn)（2，0）
（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時，
① 在點(diǎn)D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是
② 過點(diǎn)F作直線l交y軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO=30°，若直線l上的點(diǎn)P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個圓的半徑r的取值范圍。
解：（1）① 點(diǎn)D、E是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)
② 在①的計算中發(fā)現(xiàn)，對于點(diǎn)D，在⊙O上有無數(shù)對滿足條件的點(diǎn)A、B；而對于點(diǎn)E，在⊙O上有且只有一對點(diǎn)A、B滿足條件。
由此可知，當(dāng)直線l上的點(diǎn)P位于以點(diǎn)O為圓心，半徑長為2的圓內(nèi)或圓上（令該圓為⊙O’）時，點(diǎn)P是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)
∵∠GFO=30° ∴tan∠GFO=
∵OF=2 ∴OG=2，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，2），且點(diǎn)G在⊙O’上
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，則
解得k=-，b=2
∴直線l的解析式為y=-x+2
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，-m+2）
設(shè)直線l于⊙O’的另一個交點(diǎn)為H，過點(diǎn)H作HK⊥x軸于K，連接OH，則HK=-m+2，OK=m
∵HK2+OK2=OH2
∴(-m+2)2+m2=4，即m2-m=0
解得m=0(此為點(diǎn)G)或
∴點(diǎn)H坐標(biāo)為（，1）
∵當(dāng)P在線段GH上時，點(diǎn)P是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)
∴m的取值范圍為0≤m≤
（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，要使該圓的半徑最小，則該圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點(diǎn)M處。
可知，當(dāng)E、F都剛好是⊙M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)時，線段EF上的其它點(diǎn)也一定是⊙M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，且此時⊙M的半徑也最小。
過點(diǎn)F作⊙M的切線，切點(diǎn)為N，連接MN。
則∠MNF=30°
∵OE=2，OF=2
∴EF=
∴MN=FM=EF=1
此時，r=1
∴這個圓的半徑r的取值范圍為r≥1
【2013·上?！?4題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx(a＞0)經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=OB=2，∠AOB=120°。
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)OM，求∠AOM的大?。?br/>（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥x軸于H。
∵∠AOB=120° ∴∠AOH=60°
∵AO=2
∴OH=AO·cos∠AOH=2×=1
AH=AO·sin∠AOH=2×=
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，）
∵OB=2 ∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，0）
將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式得：
解得a=，b=-
∴拋物線的表達(dá)式為y=x2-x
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)N，則N（1，0）
∵當(dāng)x=1時，y=-=-
∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，-）
∴ON=1，MN=
∴tan∠MON=
∴∠MON=30°
∴∠AOM=∠AOB+∠MON=150°
（3）∵OA=OB，∠AOB=120°
∴∠ABO=30°
∴當(dāng)點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似時，點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，且∠ABC=150°
∵∠ABC=∠AOM=150°
∴當(dāng)△ABC∽△AOM時，存在如下兩種情況：
① 當(dāng)，即BC=時
∵AB=
OM=
OA=2
∴BC==2
∴OC=OB+BC=2
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0）
② 當(dāng)，即BC=時
則BC==6
∴OC=OB+BC=8
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0）
故，當(dāng)△ABC∽△AOM時，點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0）或（8，0）
【2013·上海·25題】在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上的動點(diǎn)，連接BP，線段BP的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)M。已知AD=13，AB=5，設(shè)AP=x，BQ=y。
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)以AP長為半徑的⊙P和以QC長為半徑的⊙Q外切時，求x的值；
（3）點(diǎn)E在邊CD上，過點(diǎn)E作直線QP的垂線，垂足為F，如果EF=EC=4，求x的值。
解：（1）∵AD∥BC ∴∠APB=∠MBQ
∵QM⊥BP ∴∠A=∠BMQ=90°
∴△ABP∽△MQB
∴
∵M(jìn)是PB的中點(diǎn) ∴MB=PB
∴BQ=
∵AB=5，AP=x
∴PB2=AP2+AB2=x2+25
∴y=
∵Q在BC邊上
∴≤13，即x2-26x+25≤0
∴1≤x≤25
∵P在AD邊上 ∴0≤x≤13
∴1≤x≤13
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=(1≤x≤13)
（2）當(dāng)⊙P與⊙Q外切時，AP+QC=PQ
∵BQ=PQ=y ∴QC=13-y
∴x+13-y=y，即2y=x+13
∴= x+13
解得x=
經(jīng)檢驗，x=是分式方程的根
故，當(dāng)⊙P與⊙Q外切時，x=
（3）連接PE、QE。
∵EF⊥PQ
∴∠EFQ=∠C=90°
∵EF=EC=4，EQ=EQ
∴Rt△EFQ≌Rt△ECQ
∴FQ=QC=13-y
∴PF=PQ-FQ=BQ-FQ=y-13+y=2y-13
∴PE2=PF2+EF2=(2y-13)2+16
∵DE=CD-EC=1，PD=AD-AP=13-x
∴PE2=PD2+DE2=(13-x)2+1
∴(2y-13)2+16=(13-x)2+1
∴(-13)2+16=(13-x)2+1
整理得13x2-130x+125=0
解得x=或
【2013·天津·25題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)E在OB上，且∠OAE=∠OBA
（1）如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）如圖②，將△AEO沿x軸向右平移得到△A’E’O’，連接A’B、BE’。
① 設(shè)AA’=m，其中0＜m＜2，試用含m的式子表示A’B2+BE’2，并求出使A’B2+BE’2取得最小值時點(diǎn)E’的坐標(biāo)；
② 當(dāng)A’B+BE’取得最小值時，求點(diǎn)E’的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)。
解：（1）∵∠OAE=∠OBA，∠AOE=∠AOB=90°
∴△AOE∽△BOA
∴
∵點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，4）
∴OA=2，OB=4
∴OE=
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）
（2）① 連接EE’。
∵AO=2，AA’=m
∴OA’=AO-AA’=2-m
∵OB=4
∴A’B2=OA’2+OB2=(2-m)2+16=m2-4m+20
由題意可知，四邊形AA’E’E是平行四邊形
∴AA’=EE’=m
∵BE=OB-OE=4-1=3
∴BE’2=EE’2+BE2=m2+9
∴A’B2+BE’2=m2-4m+20+m2+9
=2m2-4m+29（0＜m＜2）
∵A’B2+BE’2=2(m-1)2+27
∴當(dāng)m=1時，A’B2+BE’2有最小值，最小值為27
∴點(diǎn)E’的坐標(biāo)為（1，1）
② 作點(diǎn)E’關(guān)于直線y=4的對稱點(diǎn)D，連接BD，直線y=4與DE’交于點(diǎn)C。
∴A’B+BE’= A’B+BD
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，當(dāng)點(diǎn)A’、B、D在同一直線上時，A’B+BE’就取得最小值。
∵BC∥x軸
∴△BCD∽△A’O’D
∴
∵BC=EE’=m，DC=CE’=BE=3
A’O’=A’O+OO’=A’O+EE’=2-m+m=2
DO’=DC+CE’+E’O’=3+3+1=7
∴，得m=
∴點(diǎn)E’的坐標(biāo)為（，1）
【2013·天津·26題】已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線l，頂點(diǎn)為點(diǎn)M。若自變量x和函數(shù)值y1的部分對應(yīng)值如下表所示：
x
…
-1
0
3
…
y1=ax2+bx+c
…
0
0
…
（1）求y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若經(jīng)過點(diǎn)T（0，t）作垂直于y軸的直線l’，A為直線l’上的動點(diǎn)，線段AM的垂直平分線交直線l于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對稱點(diǎn)為P，記P（x，y2）。
① 求y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式
② 當(dāng)x取任意實數(shù)時，若對于同一個x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范圍。
解：（1）由表知，拋物線過點(diǎn)（-1，0）和（3，0）
設(shè)拋物線解析式為y1=a(x+1)(x-3)
∵拋物線過點(diǎn)（0，）
∴=-3a，得a=-
∴y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1=-x2+x+
（2）由y1=-x2+x+得，y1=-(x-1)2+3
∴對稱軸直線l為x=1，頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，3）
① 由題意知，AM、BP互相垂直平分
∴四邊形ABMP是菱形
∴PA∥l，即PA⊥x軸 ∴PA=PM=|y2-t|
過點(diǎn)P作PQ⊥l于Q，則PQ=|x-1|，QM=|y2-3|
∵PM2=PQ2+QM2
∴(y2-t)2=(x-1) 2+(y2-3) 2
化簡得：(6-2t)y2=x2-2x+10-t2
由題知，當(dāng)t=3時，點(diǎn)C、M重合，BP與l平行，不滿足題意，故t≠3
∴y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：
y2=x2-x+(t≠3)
② 當(dāng)6-2t＞0，即t＜3時，拋物線y2開口向上
由y2=(x-1)2+知，
其頂點(diǎn)M’的坐標(biāo)為（1，）
∵3＞ ∴M’在點(diǎn)M的下方
∴結(jié)合圖像可知，不滿足y1＜y2恒成立
當(dāng)6-2t＜0，即t＞3時，拋物線y2開口向下
則y1-y2=-(x-1)2+3-(x-1)2-
=(x-1)2+
若3t-11=0，即t=，y1-y2=＜0，y1＜y2成立
若3t-11≠0，要使y1＜y2恒成立，則對于任一x應(yīng)有y=(x-1)2+＜0恒成立
∵＜0 ∴＜0
∵3-t＜0 ∴3t-11＞0，即t＞
故，t的取值范圍為t≥
【2013·重慶·25題】如圖，對稱軸為直線x=-1的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）。
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)。
① 若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
② 設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值。
解：（1）由題意知，點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=-1對稱
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）
（2）∵拋物線過點(diǎn)A、B，且a=1
∴拋物線的解析式為y=(x+3)(x-1)= x2+2x-3
∵當(dāng)x=0時，y=-3
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）
① 過點(diǎn)P作PH⊥OC于點(diǎn)H。
∵S△POC=OC·PH，S△BOC=OC·OB
又S△POC=4S△BOC
∴PH=4OB=4
∴xP=4或-4
∵當(dāng)x=4時，y=(4+3)(4-1)=21
當(dāng)x=-4時，y=(-4+3)(-4-1)=5
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（-4，5）
② 設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則
解得
∴直線AC的解析式為y=-x-3
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，-m-3）
∵點(diǎn)Q在線段AC上
∴-3＜m＜0
∵QD⊥x軸，即QD∥y軸
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m2+2m-3）
∴QD=-m-3-（m2+2m-3）
=-m2-3m
=-(m+)2+
∴當(dāng)m=-時，QD長度最大，最大值為
【2013·重慶·26題】已知，如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD，以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內(nèi)部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°。
（1）求△AED的周長；
（2）若△AED以每秒2個單位長度的速度沿DC向右平行移動，得到△A0E0D0，當(dāng)A0D0與BC重合時停止運(yùn)動。設(shè)移動時間為t秒，則△A0E0D0與△BDC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，請寫出t的取值范圍；
（3）如圖②，當(dāng)△AED停止運(yùn)動后得到△BEC，將△BEC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜180°)，在旋轉(zhuǎn)過程中，B的對應(yīng)點(diǎn)為B1，E的對應(yīng)點(diǎn)為E1，設(shè)直線B1E1與直線BE交于點(diǎn)P、與直線CB交于點(diǎn)Q。是否存在這樣的α，使△BPQ為等腰三角形？若存在，求出α的度數(shù)；若不存在，請說明理由。
解：（1）∵AD=BC=6，∠EAD=30°，∠AED=90°
∴DE=AD=×6=3
AE=AD·cos30°=6×=3
∴△AED的周長=AD+DE+AE=9+3
（2）① 當(dāng)0＜t≤時，D0H=t，HK=t
∴S=D0H·HK =
② 當(dāng)＜t≤時，A0H=6-t，HK=(6-t)
則S△A0HK=A0H·HK=(6-t)2
∵S△A0D0E0=
∴S=
③ 當(dāng)＜t≤6時，過點(diǎn)D0作D0F⊥BC于F。
易得D0H=BF=t，HB=D0F=(6-t)，BM=12-2t，BK=(6-t)，F(xiàn)N=6-t，則
S矩形BFD0H=BF·HB=t(6-t)
S△KBM=BM·BK=(6-t)2
S△D0FN=FN·D0F=(6-t)2
∴S=t(6-t)-(6-t)2-(6-t)2
=
（3）∵在四邊形CE1PE中，∠E=∠CE1P=90°
∴α+∠E1PE=180°
∵∠E1PE+∠BPQ=180° ∴α=∠BPQ
當(dāng)BQ=PQ時，α=∠BPQ=∠PBQ=30°
當(dāng)BQ=BP時，α=∠BPQ=∠PBQ=75°
當(dāng)BP=PQ時，α=∠BPQ=120°
故，當(dāng)α=30°、75°、120°時，△BPQ為等腰三角形

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