資源簡介

(共82張PPT)
2023屆高考數學復習專題 ★★數學學習與智慧發展
當前課堂教學的一些現象
課堂教學目標的定位不準確，把 “三維目標”當成課堂教學目標。
內容所蘊含的價值觀資源挖掘得不夠。
缺乏內容為載體，過程中滲透思想方法、培養思維能力的教學措施。
不用教材，濫用教輔，誤導教學。
教學的投機性，走捷徑的企圖明顯，試圖通過大量練習的高分。
需要商榷的一些問題
導學案泛濫：擾亂了“預設”和“生成”的關系。
采用課前導學案已經成為常態，造成預設的環節過于充分，生成的環節過于順暢，教學的重心過于前移，在某種程度上掩蓋了學生獨立思考和當堂訓練落實的情況，造成課堂練習的進程太快，擠壓了學生思考、交流的空間．
導學案加重了學生的負擔．
小組合作學習該怎么做？——數學學習首先需要獨立思考！
翻轉課堂該怎么看？什么地方用？什么時候用？怎么用？——數學是思維的科學，數學教學是思維的教學，翻轉課堂能用于“教思維”嗎？
三、我國數學教育的問題與思考
1.課程內容與結構
課程內容，一是比較龐雜、臃腫，基礎性不突出；二是開放性不夠，對學生建立完整的數學思維方式不利；三是不能反映信息化社會的需求以及技術環境下數學學習特點。
課程結構，模塊化破壞了知識的系統性，削弱了知識的邏輯聯系性，降低了知識的自我生長能力。
2.教學素材的選擇和組織
理想：反映知識的背景和應用（數學知識的內在邏輯，與現實的聯系性），關注真實性問題，以開放的形式，解決的途徑多樣化，答案也可以不唯一。
現實：形式化的學習材料，標準化的答案。雖有一題多解，但往往只是技巧上的變化。唯一的目的是應對高考的功利訴求。
3．學與教的過程
理想：注重調動所有感官，動手觸摸、動眼觀察、動腦思考，通過豐富多彩的學習活動、長時間的“悟”，然后是有所發現。
現實：學習過程單一，學習活動缺乏靈活性，“悟”的過程太短，甚至沒有。直接告訴知識后，進行大運動量操練——可能成為“熟練工”，但肯定成不了“領導者”、科學家、思想家等等。
4．學習態度
理想：對數學的強烈興趣，主動學習，培養一種專注于數學問題的習慣。
現實：因為高考要考所以只能硬著頭皮學——許多學生憎恨數學。
“其實大多數人恨的不是數學，而是中學老師教給你的那門叫做數學的科目”。
丘成桐說，學生不喜歡數學是“老師講得不好！”他認為數學教學的關鍵是教師，這是世界性的共識。
5．學習結果
理想：養成自主學習的習慣和能力；知識成為獨立面對問題時的智慧，成為認識問題、解決問題的利器。
現實：習慣于依賴，解老師給的、各種教輔中的題目，缺乏獨立面對問題的勇氣和能力，“知識”量大，但缺乏靈活性、變通性，雜亂的知識堆砌成為解決問題包袱。
如何通過改革，改變現狀？
我們應該從哪些方面做出努力？
教師專業發展的三大基石
理解數學，理解學生，理解教學。
“三個理解”的內涵：掌握豐富的數學學科知識；中小學數學課程結構體系、教學重點的知識；學生數學學習難點的知識；關于重點知識的教學解釋的知識；關于評估學生的知識理解水平的知識；等。
特別是，“內容所反映的數學思想方法”的理解水平決定了教學所能達到的水平和效果。
四、理解數學知識的意蘊
包括知識目標、知識價值、知識樂趣、知識熱情等，它是人們在知識生產過程中的目標追求與價值取向。
知識意蘊是啟動、維持與強化認識活動，推動知識產生的內在力量與根本動力。
不了解知識意蘊，就不可能了解學科，對這個學科的認識就不會達到一定的高度，很難在教學中提出一些本原性的問題。
理解數學知識的意蘊是培養數學核心素養的前提。
從培養創新人才出發,應緊緊圍繞“數量關系”、“空間形式”、“數形結合”和“公理化思想”這四條主線,讓學生有機會體會和認識一些數學本源性問題，例如引發某個數學分支創立的基本問題,創立過程中出現的瓶頸和突破的關鍵思想,以及從定性到精確定量的基本過程等。
數學對象是怎么抽象出來的；面對一個數學對象，如何展開研究；如何用已有知識去解決問題，發展新知識；等等。
例 幾個“簡單”概念的理解
空間中的“位置”差異用什么表示？
空間中的“方向”差異用什么表示？
如何刻畫直線的“直”？
如何刻畫平面的“平”？
“位置”是宇宙空間的最基本要素，位置用“點”表示；
線段是連接兩點的最短通路，兩個點的位置差異用線段的“長度”表示；
兩個“方向”的差異用“角度”表示；
直線的“直”用點與點的位置關系刻畫；
平面的“平”用點、直線、平面的位置關系來刻畫。
理解數學的三重境界
知其然
知其所以然
何以知其所以然
五、對數學思維方法的認識
思維是指理性認識，或指理性認識的過程，它是人腦對客觀事物能動的、間接的和概括的反映，包括邏輯思維和形象思維，但通常是指邏輯思維。
思維的工具是語言；
思維的形式是概念、判斷、推理等；
思維的方法是抽象、歸納、演繹、分析和綜合等。
一個結構
數學地認識事物的基本結構：定義概念——推導性質——建立聯系——實踐應用。
先從數、形的角度抽象事物的本質屬性，定義概念從而明確數學對象；探索對象的要素與要素、要素與環境等之間的關系和相互作用而獲得性質；建立相關知識的聯系而形成知識體系；應用所得知識解決數學內外的問題，并深化認識、拓展新知。這是一個螺旋上升、逐漸深入的過程。
兩個方向（方面）
數學思維有兩個相輔相成的方向或方面——歸納和演繹。在對某一數學領域或對象的探索認知過程中，一方面要從具體事例的實驗、分析中歸納其本質，獲得數學猜想、命題等；另一方面又要用邏輯推理、數理分析去研討業已認知的本質，證明猜想，發現新的性質，認知相關概念的聯系性和一致性，直至形成不同學科統一性的認知。數學思維中，歸納和演繹的配合，往往能相互為用、相得益彰，產生意想不到的效果。
三種語言
數學思維的工具：符號語言、圖形語言和普通文字語言。
數學有自己的符號體系和表達方式，它使人們能方便、簡捷地呈現數學思想和成果。數學符號是內涵豐富的“信息塊”，因而成為數學思維活動的理想載體。另外，數學符號語言能縮短數學思維過程，使之變得簡約、精練。
四種形式
數學思維的基本形式：
邏輯推理
代數運算
幾何直觀
數形結合
邏輯推理是數學思維的主要形式，是從一些數學事實、概念、定理出發，依據邏輯規則推出結論的思維過程。
認識問題的要點在于把好本質，發現問題；而解決問題的任務則是運用“已知”之性質去推論“待知”之性質。概括言之，乃是在性質層面的一種以簡馭繁。而邏輯推理就是這種以簡馭繁的實踐與步驟。
“代數學的根源在于代數運算”，有效有系統地運用運算律去解決問題是代數學的基本思想；數及其運算是一切運算系統的模范，與它類比而發現需研究的問題和方法，是基本而重要的數學思維方式；代數運算的過程和方法可以容易地發展成高層次函數觀點。
幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖形描述事物的結構特征，用點線面體的關系探索事物的關系，乃至用圖形及其關系認知、表達事物的本質和關系，幾何直觀是展開邏輯推理的思維基礎。
用幾何圖形表示數量關系，把幾何中的定性結果轉化為可運算的定量結果，這是數學思維的變通、靈活性的表現，坐標法、函數與圖像（曲線）、三角函數與圓、向量法與幾何等都是數形結合的思維產物。
N種因地制宜的具體方法
針對具體數學問題的思維方法：觀察、假說、實驗法、確證等科學思維方法在數學研究中有用武之地；
觀察引領思考，事物現象的因果關系、事物的特征和構成要素、以及如何介入其中創造出我們想要的變化等，都能從觀察中獲得啟示；
綜合法與分析法、順證法與反證法，以及數學歸納法等等是常用的思維方法。
數學思維方法
一個結構
兩個方向
三種語言
四種形式
演化出千變萬化、賞心悅目、震撼心靈的思維方法。
數學思維是人類智慧的最精彩綻放。
六、關于數學的整體性
整體是事物的一種真實存在形式。
數學是一個整體。
數學的整體性體現在代數、幾何、三角等各部分內容之間的相互聯系上，同時也體現在同一部分內容中知識的前后邏輯關系上——縱向聯系、橫向聯系。
學生的學習是循序漸進、逐步深入的，概念要逐個學，知識要逐步教。如何處理好這種矛盾，是教學中的核心問題。
例 從數及其運算看數學的整體性
在數系的發展過程中，正整數與人的直覺一致，天經地義；0、負整數、分數、無理數、復數取得“合法”地位，都經歷了漫長、曲折而相似的過程。
讓學生返璞歸真地擇要經歷這個過程，對他們理解數學的整體性、感受數學研究的“味道”很有好處，自然地，這也是培養學生的數學素養，提高他們發現和提出問題、分析和解決問題的能力的極好途徑。
數系擴充的基本思想是什么
數學推廣過程的一個重要特性是：使得在原來范圍內成立的規律在更大的范圍內仍然成立。
數系擴充：引入一種新數（如何引入）；定義其運算（如何定義）；滿足怎樣的運算律。
擴充的基本原則是：使算術運算的運算律保持不變。
“有理數”的整體結構
背景（現實需要、數學發展的需要）——定義、表示、分類——性質——運算——聯系和應用。
研究一個數學新對象的基本套路。
“數系擴充與復數的引入”的教學設計
例 解析幾何中如何體現坐標法思想
解析幾何是方法論；
其整體性就在于用坐標法處理幾何問題。
形式上：“三步曲”；
經歷用坐標法解決問題的完整過程：先用平面幾何眼光觀察，再用坐標法解決。
平面直角坐標系的要素是什么？
平面直角坐標系中的點，可以討論哪些問題——一個點？兩個點？三個點？
直線與方程的結構
在平面直角坐標系中，確定直線位置的幾何要素——平面幾何是”兩點確定一條直線”；這里要發揮直角坐標系的力量，因此引入傾斜角和斜率的概念。
斜率：概念、公式（不同條件下的不同形式）、性質（特例、關系）
直線的方程：“一點和一個方向，或兩點，唯一確定一條直線”的代數化。求解的過程是“同一事物的兩種表示等價”。
從哪些角度討論直線方程？
不同的條件下的不同形式——可以問學生：你認為可以從哪些角度確定一條直線？
與直線相關的幾何問題有哪些？如何利用直線方程進行討論？——平面幾何的經驗，討論“相交線與平行線”，“相交線”中有交點坐標、交角、點到直線的距離等，特例是垂直；“平行線”中，平行的條件，平行線間的距離。
還可以討論哪些問題？
二元一次不等式表示平面區域
如何提出問題？如何獲得猜想？
從具體到抽象、從特殊到一般——強調歸納的過程。
直角坐標系中，方程x－y－6=0的解為坐標的點在直線l上；同時，直線l上的點的坐標都是方程x－y－6=0的解——由此你能提出什么新問題？
(x0 ,y0)不在直線l上，則x0－y0－6≠0——
x0－y0－6＞0或x0－y0－6＜0。
坐標平面被直線x－y－6=0分成三個部分，它們與x－y－6＞0， x－y－6=0 ，x－y－6＜0有什么關系呢？
任意取點，代入，找規律——發現“同側同號”。
如何證明“同側同號”
點P0 (x0 ,y0 )在直線Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”如何用數量關系表達？
y
P0(x0 ,y0 )·
O x
獲得證明思路的關鍵
對解析幾何的基本思想（坐標法）的理解深度；
對“先用平面幾何眼光觀察，再用代數方法解決”的認識；
在直角坐標系中，幾何方位的代數化——以坐標軸為基準，用不等式表示“上下左右”的關系。所以，歸根到底是對直角坐標系、點的坐標等概念的認識和應用。
七、關于系統思維的培養
數學是一個系統，理解和掌握數學知識需要系統思維。系統思維就是把認識對象作為系統，從系統和要素、要素和要素、系統和環境的相互聯系及相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法。系統思維能極大地簡化人們對事物的認知。系統思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統思維是邏輯抽象能力強的集中表現。
例 研究“三角形”的系統思維
定義“三角形”，明確它的構成要素；用符號表示三角形及其構成要素；以要素為標準對三角形進行分類；——明確研究對象
基本性質，即研究要素之間的關系，得到 “三角形內角和等于180°” 等；
研究“相關要素及其關系”，如“三角形的外角等于不相鄰兩內角之和”等；
三角形的全等（反映空間的對稱性，“相等”是重要的數學關系，也可以看成“確定一個三角形的條件”）；
特殊三角形的性質與判定（等腰三角形、直角三角形）；
三角形的變換（如相似三角形等）；
直角三角形的邊角關系（銳角三角函數），解直角三角形；
解三角形（正弦定理、余弦定理）。
把三角形作為一個系統進行研究
明確研究對象（定義、表示、劃分）
——性質（要素、相關要素的相互關系）——特例（性質和判定）——聯系；
定性研究（相等、不等、對稱性等）——定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。
培養系統思維，是為了使學生養成全面思考問題的習慣，避免“見木不見林”，進而使他們在面對數學問題時，能把解決問題的目標、實現目標的過程、解決過程的優化以及對問題的拓展、深化等作為一個整體進行研究。這樣，“使學生學會思考，成為善于認識和解決問題的人才”就能落在實處。
什么叫性質？
性質是指事物所具有的本質，即事物內部穩定的聯系。
問題：這里的“事物內部”指什么？“穩定的聯系”是怎么表現的？到底怎樣才能發現這種“聯系”？
從三角形的“內角和為180°”、“兩邊之和大于第三邊”、“大邊對大角”、“等邊對等角”等你想到了什么？
“內部”可以是“三角形的組成要素”，“穩定的聯系”是指“三角形要素之間確定的關系”。
幾何對象組成要素之間確定的關系就是性質。
從“外角等于不相鄰兩內角的和”、“三條高交于一點”、“等腰三角形三線合一”等又想到了什么？
把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關要素，這些“相關要素”也可以看成是“三角形的內部”。
要素、相關要素之間確定的關系也是性質。
兩個幾何事物所形成的某種位置關系所體現的性質，例如兩條直線平行，從“同位角相等”、“內錯角相等”以及“同旁內角互補”可以想到，這時的“性質”是借助“第三條直線”構成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關系所決定的這些角之間有什么確定的關系。
研究兩個幾何事物的某種位置關系下具有什么性質，可以從探索這種位置關系下的兩個幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關系入手。
圓的幾何性質
要素、相關要素：圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角……
你認為可以怎樣引導學生發現和提出值得研究的命題？
同（等）圓的直徑大于不經過圓心的任何一條弦；
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧；
在同（等）圓中：弧相等則所對的弦相等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對的弦較大（弦心距較小）；逆定理也成立。
切線垂直于過切點的半徑。
過圓外一點所作圓的兩條切線長相等。
你能發現一些與圓心角相關的定理嗎？
幾何體結構特征的研究
棱柱
要素、相關要素：面、棱、頂點、面對角線、體對角線、高……
要素、相關要素之間的關系：面與面、棱與棱、面與棱……
特例：長方體——正方體，平行六面體
……
直線與平面平行的性質
位置關系：直線l ∥平面α；
其他事物：直線、平面；
命題：
（1）如果 a∥l，那么a ∥α ；
（2）如果 a ∥α ，那么a ∥l；
（3）如果a ⊥l，那么a⊥α；
（4）如果a⊥α，那么a⊥ l；
（5）如果β∥l，那么β∥α；
（6）如果β∥α，那么β∥l；
（7）如果β⊥l，那么β⊥α ；
（8）如果 β ⊥ α ，那么β ⊥l。
（9）與“公理”相聯系，直線l與平面α 內任意一點A確定一個平面β ，α ∩ β=m ，那么 m∥l；
（10）l∥α ，所以l∩α =Φ。如果m在α 內，則或者m∥l，或者m與l是異面直線。
（11）直線m與直線l異面，則過直線m有且只有一個平面與直線l平行。
（12）l∥α ， β∩γ=l， α∩ β=l1， α∩γ=l2，那么l1∥l2。
從培養系統思維的要求出發設計教學
以數學知識的發生發展過程為載體，按學生的認知規律設計教學，使學生經歷研究一個數學對象的基本過程，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力，培養認識和解決問題的能力。——數學化的過程
關于“解三角形”
教學設計中，加強思想方法、解決問題的策略等方面的思考：
如何發現問題；
從定性到定量地研究問題；
將新問題化歸為舊問題；
從知識的相互聯系性思考問題；等等。
如何研究一個數學對象（問題）
數學中，往往是在定性研究問題后，希望得到定量的結果。一個三角形有六個要素，由全等三角形的“基本事實”——SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的問題？
六個要素中，只要知道三個（其中至少有一個是邊），三角形就唯一確定。也就是說，其余三個要素可以由這三個要素唯一確定。從定量角度，由這三個要素可以求出其余三個要素。
解直角三角形問題的引出
關于解一般三角形
對于“解三角形”，你會哪些知識？——會解直角三角形，對于一般三角形，只有“內角和定理”。
給定兩邊一夾角，求其他邊、角——化歸為直角三角形。
還有沒有其他方法？——從知識的聯系性出發，與解三角形相關的知識還有哪些？怎么用？
你還能提出哪些問題？
對于一個確定的三角形，其外接圓是唯一確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形的邊、角來表示。怎樣用三角形的邊、角來表示它的外接圓半徑？
對于一個確定的三角形，它的高、中線、角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣用三角形的邊、角來表示它們的度量？
一個三角形包含的各種幾何量，如三邊的邊長、三個內角的度數、面積、外徑、內徑、高、中線長、角平分線長等，這是三角形這個整體中的各種要素。對它們之間存在的各種函數關系的研究中，可以體現出系統思維的力量，在培養學生的系統思維、掌握“認識、解決問題的方法”、提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力等方面都能發揮很好的作用。
八、發揮核心概念及其反映的數學思想方法的引領作用
數學核心知識是數學課程內容結構和功能的基本單位，核心概念是數學核心知識的“控制中心”，在數學知識的發生、發展中起著重要作用，是數學知識的主要生長點。
把握住數學核心概念，就抓住了數學知識的根本，掌握了知識增長的源泉。
核心概念所反映的數學思想方法具有數學方法論的基礎地位，反映了數學的本質和基本思想，是探索大自然中各種各樣問題以及數學規律的指導思想，從中可以生發出解決問題的策略和方法。
發揮數學核心概念及其反映的思想方法的引領作用至關重要。
例 “向量法”的本質
“向量法”的教學，要讓學生對向量法的特點有基本而完整的認識的基礎上與相關知識建立聯系。
向量法的本質，首先是讓幾何量帶上符號，“對比把長度、面積、體積考慮為絕對值的普通初等幾何學，這樣做有極大的好處。初等幾何必須依照圖形呈現的情況而區分許多情況，而現在用幾個簡單的一般定理就可以概括。” （F·克萊因 ）
這幾個“一般定理”就是：
向量加法法則（向量回路）；
向量數乘的意義及其運算律；
向量數量積的意義和運算律（特別是相互垂直的向量數量積為0）；
平面（空間）向量基本定理。
向量的“聯系性”
向量回路與三角形定義一致，三角形是最基本、最重要的幾何圖形，是整個歐氏幾何的基礎；
向量數乘與三角形相似的緊密聯系；
平面向量基本定理與平行四邊形的性質一致；
平面向量數量積與余弦定理等價；等等。
向量法是以基本的幾何圖形及其相互關系為出發點解決問題，由此可以把眾多的知識串聯起來，形成有機聯系的整體。
向量集數與形于一身，向量運算既是數的運算，也是圖形的運算，根據圖形列出向量等式，使計算與圖形融為一體，這是體現向量法解題特點的關鍵。
教學中的問題與改進
沒有反映向量法的本質，披著向量法的外衣，實際上還是綜合幾何的方法。
把向量法中的代數化曲解為“坐標運算”——窄化了向量法的應用范圍。
改進：加深對“方向”的重要性的認識，加強從四個“一般定理”出發思考和解決問題的教學，加強“代數運算”和“圖形運算”的結合。
九、要使學生掌握研究一個數學對象的具體方法
數學觀念和具有一般意義的數學思想方法的指導——保證高立意。
好的教學既需要有好的想法，也需要有能夠落實的具體措施，變成學生面對問題時可以實施的行動。
一般而言，研究一個具體的數學對象（即使是解一個有思維含金量的數學題目），往往需要經歷從定性到定量、從具體到抽象、從宏觀到微觀的過程。
圍繞核心概念發展知識體系
十、數學方法因解決問題的需要而產生
解決一個數學問題，無非是兩種途徑：
（1）調動已有知識解決之——用概念、原理為條件和結論搭橋；
（2）創造一種新的方法解決之——在分析面臨問題的特征的過程中發現、創造，核心是從具體事例中抽象規律，概括出一般方法。
數學歸納法的教學
如何引出問題——明確要解決的問題是“證明一個依賴于自然數n的命題p(x)”，而用現有的邏輯推理方法如分析法、綜合法、反證法等無法證明。
如何獲得方法——在具體推理過程中發現結構，這里就是歸納（為什么這種方法叫做數學歸納法？）：
a1=1；由a1=1和an+1 =f(an)得a2=1/2；由a2=1/2和an+1 =f(an)得a3=1/3；……
歸納出具有一般性的結構：ak=1/k和an+1 =f(an)得到ak+1=1/(k+1)。
利用生活經驗（多米諾骨牌等）增強直觀感受，使學生確信方法的可靠性；
方法的給出，強調第二步到底要做什么。
如何教解題（應用）——亦步亦趨地寫出條件和結論各是什么；用數學歸納法證明時，第一步要證的是什么，特別是第二步本質上是要干什么——證明一個命題：以n=k成立為條件，證明n=k+1也成立。
缺第一步、第二步的辨析放在哪里？
小結如何做？
十一、使學生學會用數學語言思考和表達
用代數、幾何的語言刻畫和表達一種數學現象，是數學學習的基本任務。完成這個任務，實際上也是進行“數學地思考和解決問題”的教學。
函數的單調性
是性質課，核心是要讓學生學習用嚴格的代數語言刻畫“在區間D上，當x增大（減小）時，相應的f(x)也隨著增大（減小）”。
要引導學生借助具體函數，經歷從圖像直觀到定性刻畫，再到用嚴格的數學語言刻畫的過程。
教學設計中，關鍵是要思考如何采取有效措施突破x在區間D上的任意取值這一難點。
通過適當的問題，設法把“任意”兩字從學生的潛意識中“逼”出來，引導他們體會借助代數符號（字母表示數的任意性），用“任意”刻畫“無限”的數學方法的威力：
問題：你是怎樣理解“y隨x的增大而增大”的？你能用自己的語言說說嗎？可以y=x2為例。
意圖：具體化。學生一般會轉述為“x增大了，對應的函數值y也增大。”
追問1：“x增大了”怎么用符號語言表示？“對應的函數值y也增大”又該如何表示？可以y=x2為例。
預設：一般地，學生會從我們提供的表格中看到具體數值的變化規律，如1→2，f(1)=1→4=f(2)；2→3，f(2)=4→9=f(3)；……
追問2：（1）能寫得完嗎？怎么辦？
（2）你能借助字母符號，歸納出上述具體例子的共同點嗎？
預設：只要x1＜x2，就有f(x1) ＜f(x2)。
追問3：這里對x1，x2有什么要求？只取（0，＋∞）上的某些數是否可以嗎？你能舉例說明嗎？
預設：應該是區間（0，＋∞）上的任意兩個數。
追問4：所以，更嚴格的表達應該是……
預設：任取x1，x2∈（0，＋∞），只要x1＜x2，就有f(x1) ＜f(x2)。
總結：這里，我們借助代數符號語言，通過歸納，給出了一個與“無限”相關的變化規律的數學描述，體現了代數的力量。其中，任取x1，x2∈（0，＋∞），把“無窮”的問題轉化成了具體可操作的有限過程。
十二、限制課堂容量，延長知識獲得過程，給學生“悟”的時間
趕進度，三年課程兩年完成，成為高中數學教學常態，目的是追求教育GDP。
直接告訴知識，可讓學生在短時間內得到更多知識，但很難轉化成解決問題的智慧。
教育是“慢”的事業
“慢”就是快！
應加強動手、思考和感悟的實踐，培養學生渴求知識的感覺。
先讓學生思考、感悟，經歷“猜想——驗證”、“發現——論證”的過程，然后上升為理性認識。
越是看上去簡單的知識，越要讓學生親身感悟，從中獲得“如何思考”的體驗，這樣得到的知識才能轉化為認識世界的智慧，創造力的培養也蘊含其中。
真正的學習必須經歷“感知——感悟——知識”的過程。
學生冥思苦想而不得其解，一經提示就恍然大悟，問題到底出在哪里？
“不是做不到，而是想不到”的現象，正是數學素養低、數學能力差的表現。改變這種狀態，要讓學生不僅能做而且會想，唯一的辦法是放手讓學生自己先想、先做。這就需要限制課堂容量，放慢教學節奏，給學生“悟”的時間，給學生說出自己想法的機會。
教之道在于“度”學之道在于“悟”
為了發展學生智慧，需要思考一些基本問題，例如：
如何用有趣的問題引發學生興趣，用恰時恰點、直擊要害反映本質、簡明易懂的問題引發學生思考、討論？
如何不急不躁，給學生充分的時間思考、討論，自然而然地為學生構建數學研究路徑？
如何提高解題的層次，使學生通過解題認識一般的數學原理，并且讓學生體會“如何做研究”，使思維的訓練、創造力的培養蘊涵其中？
教學中應多問“你是怎么想的？”“你是怎么想到的？”“還有別的想法嗎？”少問“是不是？”“對不對？”更不要“我已經給大家準備好了，下面開始算吧！”
結束語
數學育人——使學生在數學學習中
樹立自信，堅定正念，
增強定力，激勵精進，
啟迪智慧，凈化心靈。

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