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解直角三角形
一．選擇題
1．（2013·聊城，9，3分）河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比為1：，則AB的長為（　　）
A．12 B．4米 C．5米 D．6米
考點：解直角三角形的應用－坡度坡角問題．
分析：根據迎水坡AB的坡比為1：，可得＝1：，即可求得AC的長度，然后根據勾股定理求得AB的長度．
解答：解：Rt△ABC中，BC＝6米，＝1：，
∴則AC＝BC×＝6，∴AB＝＝＝12．
點評：此題主要考查解直角三角形的應用，構造直角三角形解直角三角形并且熟練運用勾股定理是解答本題的關鍵．　
2（2013山西，10，2分）如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），為了測量B，C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發，垂直上升100m到達A處，在A處觀察B地的俯角為30°，則BC兩地之間的距離為（ ）
A．100m B．50m C．50m D．m
【答案】A
【解析】依題得：AC＝100，∠ABC＝30°，tan30°＝，BC＝，選A。
3.如圖，在直角坐標系中，P是第一象限內的點，其坐標是（3，m），且OP與x軸正半軸的夾角的正切值是，則的值是【 】
A．　 　B．　　 C．　 　D．
4.（2013四川綿陽，9，3分）如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60o，又從A點測得D點的俯角β為30o，若旗桿底點G為BC的中點，則矮建筑物的高CD為（ A ）
A．20米 B．米 C．米 D．米
［解析］GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB?cot∠ACB=30×cot60o=10米，DF=AF?tan30o=10×=10米，
CD=AB-DF=30-10=20米。
5．（2013湖北省鄂州市，7，3分）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于點D，若BD：CD=3：2，則tanB=（　　）
　
A．
B．
C．
D．
考點：
相似三角形的判定與性質；銳角三角函數的定義．
分析：
首先證明△ABD∽△ACD，然后根據BD：CD=3：2，設BD=3x，CD=2x，利用對應邊成比例表示出AD的值，繼而可得出tanB的值．
解答：
解：在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC于點D，
∴∠ADB=∠CDA，
∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴△ABD∽△ACD，
∴=，
∵BD：CD=3：2，
設BD=3x，CD=2x，
∴AD==x，
則tanB===．
故選D．
點評：
本題考查了相似三角形的判定與性質及銳角三角函數的定義，難度一般，解答本題的關鍵是根據垂直證明三角形的相似，根據對應變成比例求邊長．
6．（2013湖北省十堰市，1，3分）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，則下底BC的長為（　　）
　
A．
8
B．
9
C．
10
D．
11
考點：
等腰梯形的性質；等邊三角形的判定與性質．
分析：
首先構造直角三角形，進而根據等腰梯形的性質得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．
解答：
解：過點A作AF⊥BC于點F，過點D作DE⊥BC于點E，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，
∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，
∴cos60°===，
解得：BF=1.5，
故EC=1.5，
∴BC=1.5+1.5+5=8．
故選：A．
點評：
此題主要考查了等腰梯形的性質以及解直角三角形等知識，根據已知得出BF=EC的長是解題關鍵．
　
7．（2013山東德州，13，4分）cos300的值是 。
【答案】
【解析】cos300=×=.
【方法指導】本題考查了實數運算.記憶特殊角30°、45°、60°的三角函數正弦、余弦、正切值時，平時可以借助圖形簡單計算取得，也可以把這些函數值列圖表找規律取得.
【易錯警示】對識記30°、45°、60°的三角函數正弦、余弦、正切值張冠李戴，從而產生計算經過錯誤.
8. (湖南株洲,5,3分)如圖是株洲市的行政區域平面地圖，下列關于方位的說法明顯錯誤的是（ ）
A.炎陵位于株洲市區南偏東約35°的方向上
B.醴陵位于攸縣的北偏東約16°的方向上
C.株洲縣位于茶陵的南偏東約40°的方向上
D.株洲市區位于攸縣的北偏西約21°的方向上
【答案】：C
【解析】：觀察圖像，通過度量即可得出答案.
【方法指導】：本題考查了方向角：方向角是從正北或正南方向到目標方向所形成的小于九十度的角．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成北（南）偏東（西）××度，若正好為45度，則表示為正西（東）南（北）．
二．填空題
1．（2013湖北孝感，15，3分）如圖，兩建筑物的水平距離BC為18m，從A點測得D點的俯角α為30°，測得C點的俯角β為60°．則建筑物CD的高度為　12　m（結果不作近似計算）．
考點：
解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析：
首先過點D作DE⊥AB于點E，可得四邊形BCDE是矩形，然后分別在Rt△ABC與Rt△ADE中，利用正切函數的知識，求得AB與AE的長，繼而可求得答案．
解答：
解：過點D作DE⊥AB于點E，
則四邊形BCDE是矩形，
根據題意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，
∴DE=BC=18m，CD=BE，
在Rt△ABC中，AB=BC?tan∠ACB=18×tan60°=18（m），
在Rt△ADE中，AE=DE?tan∠ADE=18×tan30°=6（m），
∴DE=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．
故答案為：12．
點評：
本題考查俯角的知識．此題難度不大，注意能借助俯角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵，注意掌握數形結合思想的應用．
2．（2013?東營，15，4分）某校研究性學習小組測量學校旗桿AB的高度，如圖在教學樓一樓C處測得旗桿頂部的仰角為60(，在教學樓三樓D處測得旗桿頂部的仰角為30(，旗桿底部與教學樓一樓在同一水平線上，已知每層樓的高度為3米，則旗桿AB的高度為 米．
答案： 9
解析：過B作BE⊥CD于點E，設旗桿AB的高度為x，在中，，所以，在中，，，，所以，因為CE=AB=x，所以，所以x=9，故旗桿的高度為9米．
3．（2013·泰安，24，3分）如圖，某海監船向正西方向航行，在A處望見一艘正在作業漁船D在南偏西45°方向，海監船航行到B處時望見漁船D在南偏東45°方向，又航行了半小時到達C處，望見漁船D在南偏東60°方向，若海監船的速度為50海里/小時，則A，B之間的距離為 （取，結果精確到0.1海里）．
考點：解直角三角形的應用－方向角問題．
專題：應用題．
分析：過點D作DE⊥AB于點E，設DE＝x，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB＝25海里，可得出關于x的方程，解出后即可計算AB的長度．
解答：解：∵∠DBA＝∠DAB＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，
過點D作DE⊥AB于點E，則DE＝AB，
設DE＝x，則AB＝2x，
在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，則CE＝DE＝x，
在Rt△BDE中，∠DAE＝45°，
則DE＝BE＝x，由題意得，CB＝CE－BE＝x－x＝25，
解得：x＝，
故AB＝25（＋1）＝67.5海里．
點評：本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數的知識求解相關線段的長度，難度一般．　
4．（2013貴州省黔東南州，13，4分）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是　　．
考點：
相似三角形的判定與性質．
分析：
由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可證得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得：，然后利用三角函數，用AC表示出AB與CD，即可求得答案．
解答：
解：∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵在Rt△ACB中∠B=45°，
∴AB=AC，
∵在RtACD中，∠D=30°，
∴CD==AC，
∴==．
故答案為：．
點評：
此題考查了相似三角形的判定與性質與三角函數的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．
5．（2013湖北省十堰市，1，3分）如圖，在小山的東側A點有一個熱氣球，由于受西風的影響，以30米/分的速度沿與地面成75°角的方向飛行，25分鐘后到達C處，此時熱氣球上的人測得小山西側B點的俯角為30°，則小山東西兩側A、B兩點間的距離為　750　米．
考點：
解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析：
作AD⊥BC于D，根據速度和時間先求得AC的長，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度數，再求得AD的長度，然后根據∠B=30°求出AB的長．
解答：
解：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，
在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°，
AC=30×25=750（米），
∴AD=AC?sin45°=375（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=750（米）．
故答案為：750．
點評：
本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據仰角和俯角構造直角三角形并解直角三角形，難度適中．
　
6 （2013江蘇揚州，13，3分）在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，則BC= ．
【答案】6．
【解析】根據題意做出圖形，過點A作AD⊥BC于D，根據AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，可求出AD的長度，然后根據勾股定理求出BD的長度，繼而可求出BC的長度．
解：過點A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，∴BD=CD．
在Rt△ABD中，∵sin∠ABC==0.8，
∴AD=5×0.8=4．則BD===3．
∴BC=BD＋CD=3＋3=6．
所以應填6．
【方法指導】本題考查了解直角三角形的知識，難度一般，解答此類題的關鍵是構造直角三角形并解直角三角形以及勾股定理的應用．
【易錯警示】本題綜合了等腰三角形、直角三角形、銳角三角函數等知識，在解決問題時，不能綜合運用知識，或掌握知識不全面都會出現錯誤．
7.（2013貴州安順，14，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=,BC=8,則△ABC的面積為 .
【答案】：24．
【解析】∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面積為×6×8=24．
【方法指導】本題考查解直角三角形的知識，
【易錯警示】
考點：解直角三角形．根據tanA的值及BC的長度可求出AC的長度，然后利用三角形的面積公式進行計算即可．
8．(2013四川成都，14，4分)如圖，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，則該山坡的高BC的長為______米．

【答案】100．
【解析】在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠A＝200×＝100．故填“100”．
【方法指導】有關斜坡的概念如下：(1)坡面與水平面的夾角叫坡角；(2)坡比也叫坡度，通常用字母i表示，i＝＝坡角的正切值．
三．解答題
1．（2013白銀，22，6分）某市在地鐵施工期間，交管部門在施工路段設立了矩形路況警示牌BCEF（如圖所示），已知立桿AB的高度是3米，從側面D點測到路況警示牌頂端C點和底端B點的仰角分別是60°和45°，求路況警示牌寬BC的值．
考點：
解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
專題：
應用題．
分析：
在Rt△ABD中，知道了已知角的對邊，可用正切函數求出鄰邊AD的長；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的鄰邊，用正切值即可求出對邊AC的長；進而由BC=AC﹣AB得解．
解答：
解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3米，
∴DA=3米，
在Rt△ADC中，∠CDA=60°，
∴tan60°=，
∴CA=3．
∴BC=CA﹣BA=（3﹣3）米．
答：路況顯示牌BC是（3﹣3）米．
點評：
此題主要考查了解直角三角形的應用，當兩個直角三角形有公共邊時，先求出這條公共邊的長是解答此類題的一般思路．
2．（2013蘭州，24，8分）如圖，在活動課上，小明和小紅合作用一副三角板來測量學校旗桿高度．已知小明的眼睛與地面的距離（AB）是1.7m，他調整自己的位置，設法使得三角板的一條直角邊保持水平，且斜邊與旗桿頂端M在同一條直線上，測得旗桿頂端M仰角為45°；小紅眼睛與地面的距離（CD）是1.5m，用同樣的方法測得旗桿頂端M的仰角為30°．兩人相距28米且位于旗桿兩側（點B、N、D在同一條直線上）．求出旗桿MN的高度．（參考數據：，，結果保留整數．）
考點：解直角三角形的應用－仰角俯角問題．
分析：過點A作AE⊥MN于E，過點C作CF⊥MN于F，則EF=0.2m．由△AEM是等腰直角三角形得出AE=ME，設AE=ME=xm，則MF=（x+0.2）m，FC=（28﹣x）m．在Rt△MFC中，由tan∠MCF=，得出=，解方程求出x的值，則MN=ME+EN．
解答：解：過點A作AE⊥MN于E，過點C作CF⊥MN于F，
則EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2（m），
在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°，
∴AE=ME．
設AE=ME=xm，則MF=（x+0.2）m，FC=（28﹣x）m．
在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°，
∴MF=CF?tan∠MCF，
∴x+0.2=（28﹣x），
解得x≈10.0，
∴MN=ME+EN≈10+1.7≈12米．
答：旗桿MN的高度約為12米．
點評：本題考查了解直角三角形的問題．該題是一個比較常規的解直角三角形問題，建立模型比較簡單，但求解過程中涉及到根式和小數，算起來麻煩一些．　
3．（2013廣東珠海，16，7分）一測量愛好者，在海邊測量位于正東方向的小島高度AC，如圖所示，他先在點B測得山頂點A的仰角為30°，然后向正東方向前行62米，到達D點，在測得山頂點A的仰角為60°（B、C、D三點在同一水平面上，且測量儀的高度忽略不計）．求小島高度AC（結果精確的1米，參考數值：）
考點：
解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析：
首先利用三角形的外角的性質求得∠BAD的度數，得到AD的長度，然后在直角△ADC中，利用三角函數即可求解．
解答：
解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=60°﹣30°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD=62（米）．
在直角△ACD中，AC=AD?sin∠ADC=62×=31≈31×1.7=52.7≈53（米）．
答：小島的高度是53米．
點評：
本題考查仰角的定義，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．
　
考點：
解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
專題：
應用題．
分析：
設EC=x，則在Rt△BCE中，BC=EC=x；在Rt△BCD中，CD=BC=3x；
在Rt△ACD中，AC=AB+BC=73.2+x，CD=3x，利用關系式AC=CD列方程求出x；
塔高DE=CD﹣EC=2x可以求出．
解答：
解：設EC=x（米），
在Rt△BCE中，∠EBC=30°，∴BC==x；
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，∴CD=BC?tan60°=x?=3x；
在Rt△ACD中，∠DBC=45°，
∴AC=CD，
即：73.2+x=3x，
解得：x=12.2（3+）．
塔高DE=CD﹣EC=3x﹣x=2x=2×12.2（3+）=24.4（3+）≈115.5（米）．
答：塔高DE約為115.5米．
點評：
本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數的知識表示出相關線段的長度，難度一般．
　6 ．（2013湖南郴州，22，6分）我國為了維護隊釣魚島P的主權，決定對釣魚島進行常態化的立體巡航．在一次巡航中，輪船和飛機的航向相同（AP∥BD），當輪船航行到距釣魚島20km的A處時，飛機在B處測得輪船的俯角是45°；當輪船航行到C處時，飛機在輪船正上方的E處，此時EC=5km．輪船到達釣魚島P時，測得D處的飛機的仰角為30°．試求飛機的飛行距離BD（結果保留根號）．
考點：
解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析：
作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分別求出BF、GD的值，繼而可求得BD=BF+FG+DC的值．
解答：
解：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分別為F、G，
由題意得：AF=PG=CE=5km，FG=AP=20km，
在Rt△AFB中，∠B=45°，
則∠BAF=45°，
∴BF=AF=5，
∵AP∥BD，
∴∠D=∠DPH=30°，
在Rt△PGD中，tan∠D=，即tan30°=，
∴GD=5，
則BD=BF+FG+DC=5+20+5=25+5（km）．
答：飛機的飛行距離BD為25+5km．
點評：
本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據仰角和俯角構造直角三角形，然后解直角三角形，難度一般．
7 ．（2013湖南婁底，20，7分）2013年3月，某煤礦發生瓦斯爆炸，該地救援隊立即趕赴現場進行救援，救援隊利用生命探測儀在地面A、B兩個探測點探測到C處有生命跡象．已知A、B兩點相距4米，探測線與地面的夾角分別是30°和45°，試確定生命所在點C的深度．（精確到0.1米，參考數據：）
考點：
解直角三角形的應用．
分析：
過點C作CD⊥AB于點D，設CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出關于x的方程，解出即可．
解答：
解：過點C作CD⊥AB于點D，
設CD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
則AD=CD=x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
則BD=CD=x，
由題意得，x﹣x=4，
解得：x==2（+1）≈5.5．
答：生命所在點C的深度為5.5米．
點評：
本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數知識表示出相關線段的長度，注意方程思想的運用．
8．（2013湖南張家界，22，8分）國家海洋局將中國釣魚島最高峰命名為“高華峰”，并對釣魚島進行常態化立體巡航．如圖1，在一次巡航過程中，巡航飛機飛行高度為2001米，在點A測得高華峰頂F點的俯角為30°，保持方向不變前進1200米到達B點后測得F點俯角為45°，如圖2．請據此計算釣魚島的最高海拔高度多少米．（結果保留整數，參考數值：=1.732，=1.414）
考點：
解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析：
設CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分別用CF表示AC、BC的長度，然后根據AC﹣BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．
解答：
解：設CF=x，
在Rt△ACF和Rt△BCF中，
∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，
∴BC=CF=x，
=tan30°，
即AC=x，
∵AC﹣BC=1200，
∴x﹣x=1200，
解得：x=600（+1），
則DF=h﹣x=2001﹣600（+1）≈362（米）．
答：釣魚島的最高海拔高度362米．
點評：
本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據俯角構造直角三角形求出AC、BC的長度，難度一般．
9 （2013江蘇南京，22，8分）已知不等臂蹺蹺板AB長4m。如圖(，當AB的一端碰到地面時，AB與地面的夾
角為(；如圖(，當AB的另一端B碰到地面時，AB與地面的夾角為(。求蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH。(用含(、(的式子表示)
解析：解：在Rt△AHO中，sin(= ，∴OA= 。 在Rt△BHO中，sin(= ，∴OB= 。
∵AB=4，∴OA(OB=4，即 (  =4。∴OH=  (m)。 (8分) 22．（2013·聊城，22，3分）如圖，一只貓頭鷹蹲在一棵樹AC的B（點B在AC上）處，發現一只老鼠躲進短墻DF的另一側，貓頭鷹的視線被短墻遮住，為了尋找這只老鼠，它又飛至樹頂C處，已知短墻高DF＝4米，短墻底部D與樹的底部A的距離為2.7米，貓頭鷹從C點觀測F點的俯角為53°，老鼠躲藏處M（點M在DE上）距D點3米．
（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）貓頭鷹飛至C處后，能否看到這只老鼠？為什么？
（2）要捕捉到這只老鼠，貓頭鷹至少要飛多少米（精確到0.1米）？
考點：解直角三角形的應用－仰角俯角問題．
專題：應用題．
分析：（1）根據貓頭鷹從C點觀測F點的俯角為53°，可知∠DFG＝90°－53°＝37°，在△DFG中，已知DF的長度，求出DG的長度，若DG＞3，則看不見老鼠，若DG＜3，則可以看見老鼠；
（2）根據（1）求出的DG長度，求出AG的長度，然后在Rt△CAG中，根據＝sin∠C＝sin37°，即可求出CG的長度．
解答：解：（1）能看到；
由題意得，∠DFG＝90°－53°＝37°，則＝tan∠DFG，
∵DF＝4米，∴DG＝4×tan37°＝4×0.75＝3（米），故能看到這只老鼠；
（2）由（1）得，AG＝AD＋DG＝2.7＋3＝5.7（米），
又＝sin∠C＝sin37°，則CG＝＝＝9.5（米）．
答：要捕捉到這只老鼠，貓頭鷹至少要飛9.5米．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形并解直角三角形，利用三角函數求解相關線段，難度一般．　
10．（2013?徐州，25，8分）如圖，為了測量某風景區內一座塔AB的高度，小明分別在塔的對面一樓房CD的樓底C，樓頂D處，測得塔頂A的仰角為45°和30°，已知樓高CD為10m，求塔的高度（結果精確到0．1m）．（參考數據：≈1．41，≈1．73）
考點：解直角三角形的應用－仰角俯角問題．
專題：應用題．
分析：過點D作DE⊥AB于點E，設塔高AB＝x，則AE＝（x－10）m，在Rt△ADE中表示出DE，在Rt△ABC中表示出BC，再由DE＝BC可建立方程，解出即可得出答案．
解答： 解：過點D作DE⊥AB于點E，得矩形DEBC，
設塔高AB＝xm，則AE＝（x－10）m，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，則DE＝（x－10）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，則BC＝AB＝x，
由題意得，（x－10）＝x，解得：x＝15＋5≈23．7．即AB≈23．7米．
答：塔的高度為23．7米．
點評： 本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數的知識表示出相關線段，注意方程思想的運用．
11．（2013·鞍山，20，6分）如圖，某幼兒園為了加強安全管理，決定將園內的滑滑板的傾斜度由45°降為
30°，已知原滑滑板AB的長為5米，點D、B、C在同一水平地面上．
求：改善后滑滑板會加長多少？（精確到0.01）（參考數據：＝1.414，＝1.732，＝2.449）
考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題．
分析：在Rt△ABC中，根據AB＝5米，∠ABC＝45°，求出AC的長度，然后在Rt△ADC中，解直角三角形求AD的長度，用AD－AB即可求出滑板加長的長度．
解答：解：在Rt△ABC中，
∵AB＝5，∠ABC＝45°，∴AC＝ABsin45°＝5×＝，
在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，∴AD＝＝5＝5×1.414＝7.07，
AD－AB＝7.07－5＝2.07（米）．
答：改善后滑滑板會加長2.07米．
點評：本題主要考查了解直角三角形的應用，利用這兩個直角三角形公共的直角邊解直角三角形是解答本題的關鍵．　
12．（2013·濟寧，18，?分）釣魚島及其附屬島嶼是中國固有領土（如圖1），A、B、C分別是釣魚島、南小島、黃尾嶼上的點（如圖2），點C在點A的北偏東47°方向，點B在點A的南偏東79°方向，且A、B兩點的距離約為5.5km；同時，點B在點C的南偏西36°方向．若一艘中國漁船以30km/h的速度從點A駛向點C捕魚，需要多長時間到達（結果保留小數點后兩位）？（參考數據：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）
考點：解直角三角形的應用－方向角問題．
分析：過點B作BD⊥AC交AC于點D，根據方向角分別求出∠DAB和∠DCB的度數，然后在Rt△ABD和Rt△BCD中，分別解直角三角形求出AD、CD的長度，然后根據時間=路程÷速度即可求出需要的時間．
解答：解：過點B作BD⊥AC交AC于點D，
由題意得，∠DAB=180°－47°－79°=54°，∠DCB=47°－36°=11°，
在Rt△ABD中，
∵AB=5.5，∠DAB=54°，
=cos54°，=sin54°，
∴AD=5.5×0.59=3.245，BD=4.445，
在Rt△BCD中，
∵BD=4.445，∠DCB=11°，∴=tan11°，
∴CD==23.394，∴AC=AD＋CD=3.245＋23.394≈26.64（km），
則時間t=26.64÷30≈0.90（h）．
答：需要0.90h到達．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關鍵是構造直角三角形并解直角三角形．
13．（2013·濰坊，23，13分）為了改善市民的生活環境，我是在某河濱空地處修建一個如圖所示的休閑文化廣場．在Rt△內修建矩形水池，使頂點在斜邊上，分別在直角邊上；又分別以為直徑作半圓，它們交出兩彎新月（圖中陰影部分），兩彎新月部分栽植花草；其余空地鋪設地磚．其中，．設米，米．
（1）求與之間的函數解析式；
（2）當為何值時，矩形的面積最大？最大面積是多少？
（3）求兩彎新月（圖中陰影部分）的面積，并求當為何值時，矩形的面積等于兩彎新月面積的？
答案：（1）在Rt△ABC中，由題意得AC＝米，BC＝36米，∠ABC＝30°，
所以
又AD＋DE＋BE＝AB，
所以（0＜x＜8）．
(2)矩形DEFG的面積
所以當x＝9時，矩形DEFG的面積最大，最大面積為平方米．
（3）記AC為直徑的半圓、BC為直徑的半圓、AB為直徑的半圓面積分別為S1、S2、S3，兩彎新月面積為S，則
由AC2＋BC2＝AB2可知S1＋S2＝S3，∴S1＋S2－S＝S3－S△ABC ，故S＝S△ABC
所以兩彎新月的面積S＝(平方米)
由， 即，解得，符合題意，
所以當米時，矩形DEFG的面積等于兩彎新月面積的．
考點：考查了解直角三角形，二次函數最值求法以及一元二次方程的解法。
點評：本題是二次函數的實際問題。解題的關鍵是對于實際問題能夠靈活地構建恰當的數學模型，并綜合應用其相關性質加以解答．
14. （2013?紹興10分）如圖，傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘架所成的角∠BAC，當傘收緊時，結點D與點M重合，且點A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的長度如下：單位：cm
傘架
DE
DF
AE
AF
AB
AC
長度
36
36
36
36
86
86
（1）求AM的長．
（2）當∠BAC=104°時，求AD的長（精確到1cm）．
備用數據：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．
【思路分析】（1）根據AM=AE+DE求解即可；
（2）先根據角平分線的定義得出∠EAD=∠BAC=52°，再過點E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性質得出AD=2AG，然后在△AEG中，利用余弦函數的定義求出AG的長，進而得到AD的長度．
【解析】1）由題意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）．
故AM的長為72cm；
（2）∵AP平分∠BAC，∠BAC=104°，
∴∠EAD=∠BAC=52°．
過點E作EG⊥AD于G，
∵AE=DE=36，
∴AG=DG，AD=2AG．
在△AEG中，∵∠AGE=90°，
∴AG=AE?cos∠EAG=36?cos52°=36×0.6157=22.1652，
∴AD=2AG=2×22.1652≈44（cm）．
故AD的長約為44cm．
【方法指導】本題考查了解直角三角形在實際生活中的應用，其中涉及到角平分線的定義，等腰三角形的性質，三角函數的定義，難度適中．
15．（2013上海市，22，10分）某地下車庫出口處“兩段式欄桿”如圖7-1所示，點是欄桿轉動的支點，點是欄桿兩段的連接點．當車輛經過時，欄桿升起后的位置如圖7-2所示，其示意圖如圖7-3所示，其中⊥，
∥，，米，求當車輛經過時，欄桿EF段距離地面的高度（即直線EF上任意一點到直線BC的距離）．
（結果精確到0.1米，欄桿寬度忽略不計參考數據：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75．）
16.（2013上海市，24，12分）如圖9，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線經過點和軸正半軸上的點，= 2，．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）聯結，求的大小；
（3）如果點在軸上，且△與△相似，求點的坐標．
17.（2013四川內江，20，10分）如圖，某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內一棵樹DE的高度，他們在這棵樹的正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60°．已知A點的高度AB為3米，臺階AC的坡度為1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三點在同一條直線上．請根據以上條件求出樹DE的高度（側傾器的高度忽略不計）．
考點：
解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析：
過點A作AF⊥DE于F，可得四邊形ABEF為矩形，設DE=x，在Rt△DCE和Rt△ABC中分別表示出CE，BC的長度，求出DF的長度，然后在Rt△ADF中表示出AF的長度，根據AF=BE，代入解方程求出x的值即可．
解答：
解：如圖，過點A作AF⊥DE于F，
則四邊形ABEF為矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3，
設DE=x，
在Rt△CDE中，CE==x，
在Rt△ABC中，
∵=，AB=3，
∴BC=3，
在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3，
∴AF==（x﹣3），
∵AF=BE=BC+CE，
∴（x﹣3）=3+x，
解得x=9．
答：樹高為9米．
點評：
本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是正確的構造直角三角形并選擇正確的邊角關系解直角三角形，難度一般．
18.（2013四川巴中，28，10分）2013年4月20日，四川雅安發生里氏7.0級地震，救援隊救援時，利用生命探測儀在某建筑物廢墟下方探測到點C處有生命跡象，已知廢墟一側地面上兩探測點A、B相距4米，探測線與地面的夾角分別為30°和60°，如圖所示，試確定生命所在點C的深度（結果精確到0.1米，參考數據≈1.41，≈1.73）
考點：
解直角三角形的應用．
分析：
過點C作CD⊥AB交AB于點D，則∠CAD=30°，∠CBD=60°，在Rt△BDC中，CD=BD，在Rt△ADC中，AD=CD，然后根據AB=AD﹣BD=4，即可得到CD的方程，解方程即可．
解答：
解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB于點D．
∵探測線與地面的夾角為30°和60°，
∴∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在Rt△BDC中，tan60°=，
∴BD==，
在Rt△ADC中，tan30°=，
∴AD==，
∵AB=AD﹣BD=4，
∴﹣=4，
∴CD=2≈3.5（米）．
答：生命所在點C的深度大約為3.5米．
點評：
本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關鍵是構造直角三角形，解直角三角形，也考查了把實際問題轉化為數學問題的能力．
19.（2013陜西，20，8分）
一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子來測量一路燈D的高度，如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立身高AM與其影子長AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.25m。已知李明直立時的身高為1.75m，求路燈的高CD的長.（結果精確到0.1m）

考點：此題考查穩定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的應用測量高度，寬度等線段的長度的具體計算，將問題轉換成方程（組）來求解，經常設置的具體的實際情景得到與測量相關的計算；
解析：本題考查的是典型的測量問題之中心投影下的測量，而此問題設置基本上就是應用相似的性質來將實際問題轉化成數學問題來解決，
解：如圖，設CD長為m ∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA
∴MA∥CD，BN∥CD，∴EC=CD=，∴△ABN∽△ACD ∴
即 解得
所以路燈高CD約為6.1米
20.（2013四川樂山，21，10分）如圖，山頂有一鐵塔AB的高度為20米，為測量山的高度BC，在山腳D處測得塔頂A和塔基B的仰角分別為600和450。求山的高度BC（結果保留根號）。
21.（2013四川遂寧，21，9分）釣魚島自古以來就是我國的神圣領土，為維護國家主權和海洋權利，我國海監和漁政部門對釣魚島 海域實現了常態化巡航管理．如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執法船C，求此時船C與船B的距離是多少．（結果保留根號）
考點：
解直角三角形的應用-方向角問題．
分析：
首先過點B作BD⊥AC于D，由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，則可求得∠ACD的度數，然后利用三角函數的知識求解即可求得答案．
解答：
解：過點B作BD⊥AC于D．
由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，
在Rt△ABD中，BD=AB?sin∠BAD=20×=10（海里），
在Rt△BCD中，BC===20（海里）．
答：此時船C與船B的距離是20海里．
點評：
此題考查了方向角問題．此題難度適中，注意能借助于方向角構造直角三角形，并利用解直角三角形的知識求解是解此題的關鍵．
　
22．（2013河南省，19，9分）我國南水北調中線工程的起點是丹江口水庫，按照工程計劃，需對原水庫大壩進行混凝土培厚加高，使壩高由原來的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖，其中原壩體的高為，背水坡坡角，新壩體的高為，背水坡坡角。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度.
(結果精確到0.1米，參考數據：）
【解答】
在Rt△BAE中，，BE=162米
∴（米）
在Rt△DEC中，，DE=176.6米
∴（米）
∴（米）
即工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度約為37.3米
23．（2013湖北省鄂州市，21，9分）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說：“這樓起碼20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數數就知道了！”小明說：“有本事，你不用數也能明白！”小華想了想說：“沒問題！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側各選A、B兩點，測量數據如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四點在同一直線上）問：
（1）樓高多少米？
（2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請說明理由．（參考數據：≈1.73，≈1.41，≈2.24）
考點：
勾股定理的應用．
專題：
應用題．
分析：
（1）設樓高為x，則CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分別用x表示AC、BD的值，然后根據AC+CD+BD=150，求出x的值即可；
（2）根據（1）求出的樓高x，然后求出20層樓的高度，比較x和20層樓高的大小即可判斷誰的觀點正確．
解答：
解：（1）設樓高為x米，則CF=DE=x米，
∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，
∴AC=x米，BD=x米，
∴x+x=150﹣10，
解得x==70（﹣1）（米），
∴樓高70（﹣1）米．
（2）x=70（﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，
∴我支持小華的觀點，這樓不到20層．
點評：
本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用方程思想求解，難度一般．
　
24.（2013湖北黃岡，22，8分）如圖，小山頂上有一信號塔AB，山坡BC的傾角為30°，現為了測量塔高AB，測量人員選擇山腳C處為一測量點，測得塔頂仰角為45°，然后順山坡向上行走100米到達E處，再測得塔頂仰角為60°，求塔高AB．（結果保留整數，1.73，1.41）
【答案】解：依題意可知：∠AEB＝30°，∠ACE＝15°，又∠AEB＝∠ACE＋∠CAE，
∴∠CAE＝15°．
∴∠ACE＝∠CAE．
∴AE＝CE＝100(m)．
又在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，
∴EF＝AE·cos60°＝50（m），
AF＝AE·sin60°＝(m)．
又在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，
∴BF＝EF·tan30°＝50×＝(m)．
∴AB＝AF－BF＝－＝≈58（米）．
答：塔高AB大約為58米．
【解析】先根據三個已知角度發現∠ACE＝∠CAE，得AE＝CE＝100m．然后，在Rt△AEF中，運用解直角三角形知識求出EF、AF的長，再在Rt△BEF中解直角三角形，求出BF長即可獲解．
【方法指導】本題考查解直角三角形的應用．解決這類問題的關鍵是結合圖形，將文字語言轉化為數學符號語言后，理解已知元素和未知元素的聯系，將問題轉化為在某個Rt△中，已知某角、某邊，求某邊這樣的解直角三角形問題．
25．（2013江蘇蘇州，25，7分）如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）．有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．

（1）求點P到海岸線l的距離；
（2）小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向．求點C與點B之間的距離．（上述兩小題的結果都保留根號）
【思路分析】（1）過點P作PD⊥AB于點D，設PD=x km，先解Rt△PBD，用含x的代數式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代數式表示AD，然后根據BD+AD=AB，列出關于x的方程，解方程即可；
（2）過點B作BF⊥AC于點F，先解Rt△ABF，得出BF=AB=1 km，再解Rt△BCF，得出BC=BF=km．
【解】（1）如圖，過點P作PD⊥AB于點D．設PD=x km．

在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°－45°=45°，
∴BD=PD=x km．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°－60°=30°，
∴AD=PD=x km．
∵BD+AD=AB，
∴x+x=2，
x=－1，
∴點P到海岸線l的距離為（－1）km；
（2）如圖，過點B作BF⊥AC于點F．
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=AB=1km．
在△ABC中，∠C=180°－∠BAC－∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC=BF=km，
∴點C與點B之間的距離為km．
【方法指導】本題考查了解直角三角形的應用——方位角問題，難度適中．通過作輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．
【易錯警示】不會作輔助線，構造直角三角形，無法解決問題．
26．（2013湖南益陽，18，8分）如圖7，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道,現決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋,小張在小道上測得如下數據：米，,．請幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置．（以A，B為參照點，結果精確到0.1米）
(參考數據：，，，，，)

【思路分析】因為PD是兩個直角三角形公共邊，所以可以設PD的長為x米，然后利用銳角三角函數把AD和BD分別用x表示出來，最后利用AB的長列出方程求出x的解。
【答案】：解：設米，
∵，
∴．
在Rt△PAD中，，
∴．
在Rt△PBD中，，
∴．
又AB=80.0，
∴．
∴，即．
∴．
答：小橋PD的長度約為24.6米，位于AB之間距B點約49.2米．
【方法指導】“雙直角三角形”是銳角三角函數部分最常見的類型，一般分兩種情況：一是兩個直角三形在公共邊的同側；二是兩個直角三角形在公共邊的異側。解題的一般方法就是設公共邊為x，然后利用銳角三角函數把表示一些邊的長度，最后根據題意列出方程，即可求解。
27．（2013廣東廣州，22，12分）如圖10，在東西方向的海岸線MN上有A、B兩艘船，均收到已觸礁擱淺的船P的求救信號，已知船P在船A的北偏東58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距離為30海里.
（1） 求船P 到海岸線MN 的距離（精確到0.1 海里）；
（2） 若船A、船B 分別以20 海里/小時、15 海里/小時的速度同時出發，勻速直線前往救援， 試通過計算判斷哪艘船先到達船P 處.
（1）15. （2）B船先到達
【思路分析】△ABP不是直角三角形，可過點P作PD⊥BC于點D，構造Rt△APD和Rt△PBD.然后分別解Rt△APD和Rt△PBD，即可求得答案.
【解】（1）如圖，過點P作PD⊥BC于點D，
由題意，得∠PAB=90°-58°=32°，∠PBD=90°-35°=55°，AP=30，
在Rt△ADP中，，得PD=AP·sin∠PAD，即PD=30·sin32°≈15.9，
答：船P 到海岸線MN 的距離約為15.9海里。
（2）在Rt△BDP中，，PD=BP·sin∠PBD，即15.9≈PD·sin55°≈17.9，
因為，所以B船先到過P處。
答：B船先到達船P 處.
【方法指導】解決解直角三角形的實際問題，有圖的要先將題干中的已知量在圖中表示出來，再根據以下方法和步驟解決：(根據題目中的已知條件，將實際問題抽象為解直角三角形的數學問題，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關系；(若三角形是直角三角形，根據邊角關系進行計算，若三角形不是直角三角形，可通過添加輔助線構造直角三角形來解決.解直角三角形的實際應用問題關鍵是要根據實際情況建立數學模型，正確畫出圖形找準三角形.
28．（2013山東菏澤，17，10分） 如圖，BC是⊙O的直徑， A是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線于點D，取CD的中點E,AE的延長線與BC的延長線交于點P.
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若OC=CP，AB=6，求CD的長.
【思路分析】（1）連接OA，證OA⊥PA即可；
轉化為直角三角形中，根據銳角三角函數
邊角關系求解.
【解】（1）證明：連接AO，AC.
∵BC是⊙O的直徑
∴∠BAC=90°∴∠CAD=90°
∵點E是CD的中點
∴CE= CE= AE……………………2分
在等腰△EAC中，∠ECA= ∠EAC
∵OA=OC ∴∠OAC= ∠OCA
∵CD是⊙O的切線
∴CD⊥OC
∴∠ECA + ∠OAC = 90°
∴∠EAC + ∠OAC = 90°
∴OA⊥AP
∴AP是⊙O的切線……………………5分
（2）由（1）知OA⊥AP
在Rt△OAP中，∵∠OAP = 90°, OC= CP= OA即OP= 2OA，
∴
∴,∴……………………7分
∴
又∵在Rt△DAC中，∠CAD = 90°, ∠ACD = 90°-∠ACO= 30°
∴……………………10分
【方法指導】本題考查了圓的切線性質、判定，與圓有關的基本性質，直角三角形相關知識等.在運用切線的性質時，若已知切點，連接切點和圓心，得垂直；若不知切點，則過圓心向切線作垂直，即“知切點連半徑，無切點作垂直”．
29．（2013廣東湛江，21，8分）如圖，我國漁政船在釣魚島海域C處測得釣魚島A在漁政船的北偏西30°的方向上，隨后漁政船以80海里/小時的速度向北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得釣魚島A在漁政船的北偏西60°的方向上，求此時漁政船距釣魚島A的距離AB．
(結果保留小數點后一位，其中≈1．732)
【思路分析】由方位角，可算得∠ABC=90°,然后解直角三角形就可求理AB長
【解】由于CD∥BE
所以∠EBC+∠DCB=180°
因為∠AEB=60°，∠DCB=30°，
所以∠ABC=90°
在直角△ABC中
BC=80=40
由直角三角形三邊關系得：AB=BC＝40≈69.3（海里）
答：AB的長約為69.3海里
【方法指導】解決解直角三角形的實際問題，有圖的要先將題干中的已知量在圖中表示出來，再根據以下方法和步驟解決：(根據題目中的已知條件，將實際問題抽象為解直角三角形的數學問題，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關系；(若三角形是直角三角形，根據邊角關系進行計算，若三角形不是直角三角形，可通過添加輔助線構造直角三角形來解決.解直角三角形的實際應用問題關鍵是要根據實際情況建立數學模型，正確畫出圖形找準三角形.
40．1．(2013湖北荊門，21，10分)A，B兩市相距150千米，分別從A，B處測得國家級風景區中心C處的方位角如圖所示，風景區區域是以C為圓心，45千米為半徑的圓，tanα＝1.627，tanβ＝1.373．為了開發旅游，有關部分設計修建連接A，B兩市的高速公路．問連接AB高速公路是否穿過風景區，請說明理由．

【思路分析】求出點C到AB的距離，并將這個距離與半徑45千米進行比較，根據兩者之間的大小關系即可判斷高速公路是否穿過風景區．
【解】AB不穿過風景區．
如圖4，過C作CD⊥AB于D，
∴AD＝CD·tanα；BD＝CD·tanβ．
由AD＋BD＝AB，得CD·tanα＋CD·tanβ＝AB．
∴CD＝＝＝＝50(千米)．
∵CD＝50＞45，∴高速公路AB不穿過風景區．
【方法指導】三角函數即是直角三角形中的邊與角之間的一種關系，因此在用三角函數解決實際問題時，關鍵是找出相關的直角三角形．這類問題通常可轉化為兩個直角三角形，這兩個直角三角形中的一條直角邊公共，另一條直角邊在同一直線上．解題時注意方程思想的運用．
31、（2013深圳，21，8分）如圖5所示，一測量小組發現8米高的旗桿的影子落在了包含一圓弧型小橋在內的路上，于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的活動。小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得的長為3米，的長為1實，測得拱高（的中點到弦的距離，即的長）為2米，求小橋所在圓的半徑。
【答案】延長，交線段的垂直平分線于點，則點為小橋所在圓的圓心，連接，則、均為小橋所在圓的半徑
因為太陽光線是平行光線，故同一時刻，旗桿與其影長的比等于小剛身高與其影長的比
即：，由于=8，故，則
設小橋所在圓的半徑為，則
由：，有： 因而

【解析】要求小橋所在圓的半徑，需先求出弦的長，然后利用垂徑定理及勾股定理求半徑。要求，需先求出，根據同一時刻“小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米”，則8米高的旗桿在同一時刻的影子也可求出。
【方法指導】本題主要考查了相似三角形的性質、垂徑定理的應用、勾股定理及方程思想。問題背景公平，與課本聯系緊密，并且很好的體現了數學的應用思想。
32. （2013江蘇泰州，22，10分）如圖，為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27 m高的樓CD底部D測得塔頂A的仰角為45°，在樓頂C測得塔頂A的仰角為36°52'.已知山高BE為56 m,樓的底部D與山腳在同一水平面上，求該鐵塔的的高AE.
(參考數據：sin 36°52'≈0.60，tan36°52'≈0.75)
【思路分析】通過構造直角三角形ADB、Rt△ACF，運用銳角
三角函數邊角關系求出AB、BF.即可.
【解】設該鐵塔的的高AE= x m
作CF⊥AB，垂足為點F,則四邊形BDCF是矩形.
∴CD=BF=27 m CF=BD
在Rt△ADB中∠ADB=45°
∴AB=BD=x+56
在Rt△ACF中∠ACF=36°52',CF=BD=x+56,
AF= x+56-27= x+29
∵
∴
答：鐵塔的的高AE=52m.

【方法指導】本題主要考查了解直角三角形的應用，
分別在兩個直角三角形中，設出未知數，由銳角三
角函數把與已知線段在同一條直線上的兩條未知線
段表示出來，然后構建方程，解方程即可求出未知
線段的長．
33. （2013四川瀘州，22，9分）如圖，為了測出某塔CD的高度，在塔前的平地上選擇一點A，用測角儀測得塔頂D的仰角為，在A、C之間選擇一點B （A、B、C三點在同一直線上），用測角儀測得塔頂D的仰角為，且AB間距離為40．
（1）求點B到AD的距離；
（2）求塔高CD（結果用根號表示）．
【答案】解：（1）過點B作BE⊥AD于點E，BE的長為點B到AD的距離，

由已知∠A＝30°，在Rt△ABE中，BE＝AB×sin30°＝20（m），
∴點B到AD的距離為20m；
（2）由已知∠CBD＝75°， ∠A＝30°， ∴∠ADB＝∠CBD－∠A＝75°－30°＝45°，
∴△BED是等腰直角三角形，DE＝BE＝20（m），
在Rt△ABE中，AE＝AB ×cos30°＝40×＝20，∴AD＝20（1＋）m，
在Rt△ACD中，CD＝20（1＋）×sin30°＝10＋10（m），
塔高CD為（10＋10）m．
【方法指導】本題考點主要是解直角三角形的應用，難度適中．解答本題的關鍵是根據仰角構造直角三角形并解直角三角形．

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