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四邊形
（2013?郴州）已知一個多邊形的內角和是1080°，這個多邊形的邊數是　8　．
考點：
多邊形內角與外角．3718684
分析：
根據多邊形內角和定理：（n﹣2）?180 （n≥3）且n為整數）可得方程180（x﹣2）=1080，再解方程即可．
解答：
解：設多邊形邊數有x條，由題意得：
180（x﹣2）=1080，
解得：x=8，
故答案為：8．
點評：
此題主要考查了多邊形內角和定理，關鍵是熟練掌握計算公式：（n﹣2）?180 （n≥3）且n為整數）．
　（2013?郴州）如圖，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求證：四邊形DEBF是平行四邊形．
考點：
平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質．3718684
專題：
證明題．
分析：
首先根據平行線的性質可得∠BEC=∠DFA，再加上條件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可證明△ADF≌△CBE，再根據全等三角形的性質可得BE=DF，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判定即可．
解答：
證明：∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE=DF，
又∵BE∥DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
點評：
此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
（2013?衡陽）如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F，已知AD=4．
（1）試說明AE2+CF2的值是一個常數；
（2）過點P作PM∥FC交CD于點M，點P在何位置時線段DM最長，并求出此時DM的值．
考點：
正方形的性質；二次函數的最值；全等三角形的判定與性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質．
分析：
（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數；
（2）設AP=x，則PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關于x的一元二次函數，求出DM的最大值．
解答：
解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數；
（2）設AP=x，則PD=4﹣x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴=，
即=，
∴DM==x﹣x2，
當x=2時，DM有最大值為1．
點評：
本題主要考查正方形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識，此題有一定的難度，是一道不錯的中考試題．
（2013，婁底）下列命題中，正確的是（　　）A.平行四邊形的對角線相等　　　　　　　　　　　　　B.矩形的對角線互相垂直C.菱形的對角線互相垂直且平分　　　　　　　　　　　D.梯形的對角線相等
（2013，婁底）一個多邊形的內角和是它的外角和的2倍，則這個多邊形的邊數為______________.
（2013?湘西州）下列說法中，正確的是（　　）
　
A．
同位角相等
B．
對角線相等的四邊形是平行四邊形
　
C．
四條邊相等的四邊形是菱形
D．
矩形的對角線一定互相垂直
考點：
菱形的判定；同位角、內錯角、同旁內角；平行四邊形的判定；矩形的性質．
分析：
根據平行線的性質判斷A即可；根據平行四邊形的判定判斷B即可；根據菱形的判定判斷C即可；根據矩形的性質判斷D即可．
解答：
解：A、如果兩直線平行，同位角才相等，故本選項錯誤；
B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤；
C、四邊相等的四邊形是菱形，故本選項正確；
D、矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項錯誤；
故選C．
點評：
本題考查了平行線的性質，平行四邊形、菱形的判定、矩形的性質的應用，主要考查學生的理解能力和辨析能力．
（2013?湘西州）如圖，在?ABCD中，E是AD邊上的中點，連接BE，并延長BE交CD延長線于點F，則△EDF與△BCF的周長之比是（　　）
　
A．
1：2
B．
1：3
C．
1：4
D．
1：5
考點：
平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質
分析：
根據平行四邊形性質得出AD=BC，AD∥BC，推出△EDF∽△BCF，得出△EDF與△BCF的周長之比為，根據BC=AD=2DE代入求出即可．
解答：
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△EDF∽△BCF，
∴△EDF與△BCF的周長之比為，
∵E是AD邊上的中點，
∴AD=2DE，
∵AD=BC，
∴BC=2DE，
∴△EDF與△BCF的周長之比1：2，
故選A．
點評：
本題考查了平行四邊形性質，相似三角形的性質和判定的應用，注意：平行四邊形的對邊平行且相等，相似三角形的周長之比等于相似比．
（2013?湘西州）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點，連接AF，CE．
（1）求證：△BEC≌△DFA；
（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
考點：
矩形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定
專題：
證明題．
分析：
（1）根據E、F分別是邊AB、CD的中點，可得出BE=DF，繼而利用SAS可判斷△BEC≌△DFA；
（2）由（1）的結論，可得CE=AF，繼而可判斷四邊形AECF是平行四邊形．
解答：
證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
又∵E、F分別是邊AB、CD的中點，
∴BE=DF，
∵在△BEC和△DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA（SAS）．
（2）由（1）得，CE=AF，AD=BC，
故可得四邊形AECF是平行四邊形．
點評：
本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質及平行四邊形的判定，解答本題的關鍵是熟練掌握矩形的對邊相等，四角都為90°，及平行四邊形的判定定理．
（2013?益陽）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（　　）
　
A．
∠1=∠2
B．
∠BAD=∠BCD
C．
AB=CD
D．
AC⊥BD
考點：
平行四邊形的性質．
分析：
根據平行四邊形的性質，平行四邊形對邊平行以及對邊相等和對角相等分別判斷得出即可．
解答：
解：∵在平行四邊形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠2，故此選項正確，不合題意；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，故B，C選項正確，不合題意；
無法得出AC⊥BD，故此選項錯誤，符合題意．
故選D．
點評：
此題主要考查了平行四邊形的性質，熟練掌握相關的性質是解題關鍵．
（2013?巴中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F分別是AB、CD的中點且EF=6，則AD+BC的值是（　　）
　
A．
9
B．
10.5
C．
12
D．
15
考點：
梯形中位線定理．
分析：
根據梯形的中位線等于兩底和的一半解答．
解答：
解：∵E和F分別是AB和CD的中點，
∴EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF=（AD+BC），
∵EF=6，
∴AD+BC=6×2=12．
故選C．
點評：
本題主要考查了梯形的中位線定理，熟記梯形的中位線平行于兩底邊并且等于兩底邊和的一半是解題的關鍵．
（2012?瀘州）如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于O，若AC=6，BD=4，則菱形ABCD的周長是（　　）
　
A．
24
B．
16
C．
4
D．
2
考點：
菱形的性質；勾股定理．
分析：
由菱形ABCD的兩條對角線相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA與OB的長，然后利用勾股定理，求得AB的長，繼而求得答案．
解答：
解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=2，AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，AB==，
∴菱形的周長是：4AB=4．
故選C．
點評：
此題考查了菱形的性質與勾股定理．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．
（2013?巴中）若一個多邊形外角和與內角和相等，則這個多邊形是　四　邊形．
考點：
多邊形內角與外角．
分析：
利用多邊形的內角和公式與多邊形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多邊形的邊數．
解答：
解：設這個多邊形的邊數是n，則
（n﹣2）?180°=360°，
解得n=4．
故答案為：四．
點評：
本題考查了多邊形的內角和公式與多邊形的外角和定理，需要注意，多邊形的外角和與邊數無關，任何多邊形的外角和都是360°．
（2013?巴中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長．
考點：
相似三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質．
分析：
（1）利用對應兩角相等，證明兩個三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度．
解答：
（1）證明：∵?ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF與△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵?ABCD，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE===12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．
點評：
本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質和勾股定理三個知識點．題目難度不大，注意仔細分析題意，認真計算，避免出錯．
（2013，成都）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C和點重合，若AB=2，則D的長為（ ）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
　
（2013?德州）如圖，在正方形中，邊長為2的等邊三角形的頂點、分別在和上．下列結論：① CE=CF；
②∠AEB=75°；③BE＋DF=EF；④S正方形ABCD=．
其中正確的序號是______________．（把你認為正確的都填上）
2013?德州）（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外做等邊△ABD和等邊△ACE．連接BE，CD．請你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）
（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外做正方形ABFD和正方形ACGE．連接BE，CD．BE與CD有什么數量關系？簡單說明理由．
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（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：
如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經測得∠ABC=45°，
∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE．求BE的長．
（2013?廣安）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE∥CF，求證：△ABE≌△CDF．
考點：
平行四邊形的性質；全等三角形的判定．
專題：
證明題．
分析：
首先證明四邊形AECF是平行四邊形，即可得到AE=CF，AF=CF，再根據由三對邊相等的兩個三角形全等即可證明：△ABE≌△CDF．
解答：
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD，
∵AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AE=CF，AF=CF，
∴BE=DE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
點評：
此題主要考查學生對平行四邊形的判定與性質和全等三角形的判定的理解和掌握，難度不大，屬于基礎題．
　（2013?樂山）如圖2，點E是平行四邊形ABCD的邊CD的中點，
AD、BE的延長線相交于點F，DF=3,DE=2,則平行四邊
形ABCD的周長為
A. 5 B. 7 C.10 D. 14
（2013?樂山）如圖14.1，在梯形ABCD中，AD//BC,點M、N分別在邊AB、DC上，且MN//AD，記AD=a ,BC=b.
若 = ,則有結論：MN = .
請根據以上結論，解答下列問題：
如圖14.2、14.3，BE、CF是△ABC的兩條角平分線，過EF上一點P分別作△ABC三邊的垂線段PP1、PP2、PP3，交BC于點P1，交AB于點P2，交AC于點P3 .
(1)若點P為線段EF的中點，求證： PP1 = PP2 + PP3 ；
(2)若點P為線段EF上的任意點，試探究PP1、PP2、PP3的數量關系，并給出證明。
（2013涼山州）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為（　　）
　 A．14 B．15 C．16 D．17
考點：菱形的性質；等邊三角形的判定與性質；正方形的性質．
分析：根據菱形得出AB=BC，得出等邊三角形ABC，求出AC，長，根據正方形的性質得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．
解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=4，
∴正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4×4=16，
故選C．
點評：本題考查了菱形性質，正方形性質，等邊三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出AC的長．　
（2013涼山州）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0），（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為 ．
考點：矩形的性質；坐標與圖形性質；等腰三角形的性質；勾股定理．
專題：動點型．
分析：當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論．
解答：解：由題意，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，有三種情況：（1）如答圖①所示，PD=OD=5，點P在點D的左側．
過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，
∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，
∴此時點P坐標為（2，4）；
（2）如答圖②所示，OP=OD=5．
過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，
∴此時點P坐標為（3，4）；
（3）如答圖①所示，PD=OD=5，點P在點D的右側．
過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此時點P坐標為（8，4）．
綜上所述，點P的坐標為：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
點評：本題考查了分類討論思想在幾何圖形中的應用，符合題意的等腰三角形有三種情形，注意不要遺漏．　
（2013?瀘州）四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是
A.AB//DC,AD//BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB//DC,AD=BC
（2013?瀘州）如圖，已知□ABCD中，F是BC邊的中點，連接DF并延長，交AB的延長線于點E.求證：AB=BE.
（2013?眉山）一個正多邊形的每個外角都是36°，這個正多邊形的邊數是
A．9 B．10 C．11 D．12
（2013?綿陽）下列說法正確的是（ ）
A．對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形
B．對角線互相垂直的梯形是等腰梯形
C．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形
D．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形
（2013?綿陽）如圖，要擰開一個邊長為a=6cm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為（ ）
A． B．12mm C． D．
（2013?綿陽）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于點H，且DH與AC交于G，則GH=（ ）
A． B． C． D．
（2013?綿陽）對正方形ABCD進行分割，如圖1，其中E、F分別是BC、CD的中點，M、N、G分別是OB、OD、EF的中點，沿分化線可以剪出一副“七巧板”，用這些部件可以拼出很多圖案，圖2就是用其中6塊拼出的“飛機”。若△GOM的面積為1，則“飛機”的面積為 。
（2013?內江）已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值=　5　．
考點：
軸對稱-最短路線問題；菱形的性質．
分析：
作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，求出OC、OB，根據勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
解答：
解：
作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M為BC中點，
∴Q為AB中點，
∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四邊形BQNC是平行四邊形，
∴NQ=BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案為：5．
點評：
本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，平行四邊形的性質和判定，菱形的性質，勾股定理的應用，解此題的關鍵是能根據軸對稱找出P的位置．
（2007?黃石）若一個多邊形內角和等于1260°，則該多邊形邊數是　9　．
考點：
多邊形內角與外角．
專題：
計算題．
分析：
根據多邊形內角和定理及其公式，即可解答；
解答：
解：∵一個多邊形內角和等于1260°，
∴（n﹣2）×180°=1260°，
解得，n=9．
故答案為9．
點評：
本題考查了多邊形的內角定理及其公式，關鍵是記住多邊形內角和的計算公式．
）（2013?遂寧）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E、F，并且DE=DF．求證：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四邊形ABCD是菱形．
考點：
菱形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．
專題：
證明題．
分析：
（1）首先根據平行四邊形的性質得出∠A=∠C，進而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）根據菱形的判定得出即可．
解答：
解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴∠A=∠C，
∵在△AED和△CFD中
∴△AED≌△CFD（AAS）；
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AD=CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．
點評：
此題主要考查了菱形的性質和全等三角形的判定等知識，根據已知得出∠A=∠C是解題關鍵．
　（2013?雅安）五邊形的內角和為（　　）
　
A．
720°
B．
540°
C．
360°
D．
180°
考點：
多邊形內角與外角．
分析：
利用多邊形的內角和定理即可求解．
解答：
解：五邊形的內角和為：（5﹣2）×180=540°．
故選B．
點評：
本題考查了多邊形的內角和定理的計算公式，理解公式是關鍵．
　
（2013?雅安）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正確結論有（　　）個．
　
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考點：
正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．
分析：
通過條件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE再通過比較大小就可以得出結論
解答：
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，①正確．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°②正確，
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
及CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．③正確．
設EC=x，由勾股定理，得
EF=x，CG=x，AG=x，
∴AC=，
∴AB=，
∴BE=﹣x=，
∴BE+DF=x﹣x≠x，④錯誤，
∵S△CEF=，
S△ABE==，
∴2S△ABE==S△CEF，⑤正確．
綜上所述，正確的有4個，故選C．
點評：
本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質解題時關鍵．
（2013?雅安）在?ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，且AE=CF．
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）若DF=BF，求證：四邊形DEBF為菱形．
考點：
菱形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．
專題：
證明題．
分析：
（1）首先根據平行四邊形的性質可得AD=BC，∠A=∠C，再加上條件AE=CF可利用SAS證明△ADE≌△CBF；
（2）首先證明DF=BE，再加上條件AB∥CD可得四邊形DEBF是平行四邊形，又DF=FB，可根據鄰邊相等的平行四邊形為菱形證出結論．
解答：
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
∵在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴DF=EB，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
又∵DF=FB，
∴四邊形DEBF為菱形．
點評：
此題主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四邊形的性質．
（2013宜賓）矩形具有而菱形不具有的性質是（　　）
　 A．兩組對邊分別平行 B．對角線相等
　 C．對角線互相平分 D．兩組對角分別相等
考點：矩形的性質；菱形的性質．
分析：根據矩形與菱形的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．
解答：解：A．矩形與菱形的兩組對邊都分別平行，故本選項錯誤；
B．矩形的對角線相等，菱形的對角線不相等，故本選項正確；
C．矩形與菱形的對角線都互相平分，故本選項錯誤；
D．矩形與菱形的兩組對角都分別相等，故本選項錯誤．
故選B．
點評：本題考查了矩形的性質，菱形的性質，熟記兩圖形的性質是解題的關鍵．
2013宜賓）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD為AC的中線，過點C作CE⊥BD于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取FG=BD，連接BG、DF．若AG=13，CF=6，則四邊形BDFG的周長為　20　．
考點：菱形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．
分析：首先可判斷四邊形BGFD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD=FD，則可判斷四邊形BGFD是菱形，設GF=x，則AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．
解答：解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四邊形BGFD是平行四邊形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵點D是AC中點，
∴BD=DF=AC，
∴四邊形BGFD是菱形，
設GF=x，則AF=13﹣x，AC=2x，
在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，
解得：x=5，
故四邊形BDFG的周長=4GF=20．
故答案為：20．
點評：本題考查了菱形的判定與性質、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質，解答本題的關鍵是判斷出四邊形BGFD是菱形．　
（2013?資陽）一個正多邊形的每個外角都等于36°，那么它是 C
A．正六邊形 B．正八邊形 C．正十邊形 D．正十二邊形
（2013?資陽）在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠AOB=60°，AC=10，則AB=_____.13. 5
（2013鞍山）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D= 度．
考點：多邊形內角與外角．
分析：根據四邊形內角和等于360°即可求解．
解答：解：由四邊形內角和等于360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D=360度．
故答案為：360．
點評：考查了四邊形內角和等于360°的基礎知識．　
（2013鞍山）如圖，E，F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求證：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四邊形ABCD是平行四邊形．
考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定．
專題：證明題．
分析：（1）利用兩邊和它們的夾角對應相等的兩三角形全等（SAS），這一判定定理容易證明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易證明AD=BC且AD∥BC，可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
解答：證明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四邊形的判定，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
（2013鞍山）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF；
（2）若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？
考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質．
專題：證明題；探究型．
分析：（1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因為DF=BE，所以可證出GE=BE+GD成立．
解答：（1）證明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．（3分）
（2）解：GE=BE+GD成立．（4分）
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，（5分）
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，（6分）
又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．（7分）
∴GE=DF+GD=BE+GD．（8分）
點評：本題主要考查證兩條線段相等往往轉化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問中也是考查了通過全等找出和GE相等的線段，從而證出關系是不是成立．　
（2013?大連）如圖，□?ABCD中，點Ｅ、Ｆ分別在ＡＤ、ＢＣ上，且ＡＥ＝ＣＦ。求證：ＢＥ＝ＤＦ。?
（2013?鐵嶺）如圖，在平面直角坐標中，直線l經過原點，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，過點A（0，1）作y軸的垂線l于點B，過點B1作作直線l的垂線交y軸于點A1，以A1B．BA為鄰邊作?ABA1C1；過點A1作y軸的垂線交直線l于點B1，過點B1作直線l的垂線交y軸于點A2，以A2B1．B1A1為鄰邊作?A1B1A2C2；…；按此作法繼續下去，則Cn的坐標是　（﹣×4n﹣1，4n）　．
考點：
一次函數綜合題；平行四邊形的性質．
專題：
規律型．
分析：
先求出直線l的解析式為y=x，設B點坐標為（x，1），根據直線l經過點B，求出B點坐標為（，1），解Rt△A1AB，得出AA1=3，OA1=4，由平行四邊形的性質得出A1C1=AB=，則C1點的坐標為（﹣，4），即（﹣×40，41）；根據直線l經過點B1，求出B1點坐標為（4，4），解Rt△A2A1B1，得出A1A2=12，OA2=16，由平行四邊形的性質得出A2C2=A1B1=4，則C2點的坐標為（﹣4，16），即（﹣×41，42）；同理，可得C3點的坐標為（﹣16，64），即（﹣×42，43）；進而得出規律，求得Cn的坐標是（﹣×4n﹣1，4n）．
解答：
解：∵直線l經過原點，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，
∴直線l的解析式為y=x．
∵AB⊥y軸，點A（0，1），
∴可設B點坐標為（x，1），
將B（x，1）代入y=x，
得1=x，解得x=，
∴B點坐標為（，1），AB=．
在Rt△A1AB中，∠AA1B=90°﹣60°=30°，∠A1AB=90°，
∴AA1=AB=3，OA1=OA+AA1=1+3=4，
∵?ABA1C1中，A1C1=AB=，
∴C1點的坐標為（﹣，4），即（﹣×40，41）；
由x=4，解得x=4，
∴B1點坐標為（4，4），A1B1=4．
在Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1=30°，∠A2A1B1=90°，
∴A1A2=A1B1=12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16，
∵?A1B1A2C2中，A2C2=A1B1=4，
∴C2點的坐標為（﹣4，16），即（﹣×41，42）；
同理，可得C3點的坐標為（﹣16，64），即（﹣×42，43）；
以此類推，則Cn的坐標是（﹣×4n﹣1，4n）．
故答案為（﹣×4n﹣1，4n）．
點評：
本題考查了平行四邊形的性質，解直角三角形以及一次函數的綜合應用，先分別求出C1、C2、C3點的坐標，從而發現規律是解題的關鍵．
　（2013?鐵嶺）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由．
考點：
矩形的判定；正方形的判定．
分析：
（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而理由等腰三角形的性質得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性質得出AD=BD=CD，進而利用正方形的判定得出即可．
解答：
（1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四邊形AEBD是矩形；
（2）當∠BAC=90°時，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
點評：
此題主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性質等知識，熟練掌握正方形和矩形的判定是解題關鍵．
　（2013?鄂州）如圖正方形ABCD的邊長為4，E、F分別為DC、BC中點．
（1）求證：△ADE≌△ABF．
（2）求△AEF的面積．
考點：
正方形的性質；全等三角形的判定與性質．3718684
分析：
（1）由四邊形ABCD為正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E、F分別為DC、BC中點，得出DE=BF，進而證明出兩三角形全等；
（2）首先求出DE和CE的長度，再根據S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF得出結果．
解答：
（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠=90°，DC=CB，
∵E、F為DC、BC中點，
∴DE=DC，BF=BC，
∴DE=BF，
∵在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：由題知△ABF、△ADE、△CEF均為直角三角形，
且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2，
∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF
=4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2
=6．
點評：
本題主要考查正方形的性質和全等三角形的證明，解答本題的關鍵是熟練掌握正方形的性質以及全等三角形的判定定理，此題難度不大．
（2013?恩施州）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點，求證：四邊形EFGH為菱形．
考點：
菱形的判定；梯形；中點四邊形．
專題：
證明題．
分析：
連接AC、BD，根據等腰梯形的對角線相等可得AC=BD，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EF=GH=AC，HE=FG=BD，從而得到EF=FG=GH=HE，再根據四條邊都相等的四邊形是菱形判定即可．
解答：
證明：如圖，連接AC、BD，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
∵E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點，
∴在△ABC中，EF=AC，
在△ADC中，GH=AC，
∴EF=GH=AC，
同理可得，HE=FG=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH為菱形．
點評：
本題考查了菱形的判定，等腰梯形的對角線相等，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，作輔助線是利用三角形中位線定理的關鍵，也是本題的難點．
（2013?黃岡）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO.
（2013?荊門）四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（　　）
　
A．
3種
B．
4種
C．
5種
D．
6種
考點：
平行四邊形的判定．
分析：
根據題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進行分析即可．
解答：
解：①②組合可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；
③④組合可根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；
①③可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD=CB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；
①④可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD=CB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；
故選：B．
點評：
此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．
　
（2013?荊州）如圖，△ACE是以□ABCD的對角線AC為邊的等邊三角形，點C與點E關于x軸對稱.若E點的坐標是（7，－3），則D點的坐標是 .
（2013?荊州）如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，連結AD1、BC1.若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD與△A1C1D1重疊部分的面積為s，則下列結論：①△A1AD1≌△CC1B；②當x=1時，四邊形ABC1D1是菱形；③當x=2時，△BDD1為等邊三角形；④s=(x－2)2 (0＜x＜2）；其中正確的是 （填序號）.
（2013?潛江）如圖，兩個完全相同的三角尺ABC和DEF在直線l上滑動．要使四邊形CBFE為菱形，還需添加的一個條件是 （寫出一個即可）
（2013?潛江）如圖，正方形的對角線相交于點O，正三角形OEF繞點O旋轉．在旋轉過程中，當AE=BF時，∠AOE的大小是 ．
2013?十堰）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，則下底BC的長為（　　）
　
A．
8
B．
9
C．
10
D．
11
考點：
等腰梯形的性質；等邊三角形的判定與性質．3718684
分析：
首先構造直角三角形，進而根據等腰梯形的性質得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．
解答：
解：過點A作AF⊥BC于點F，過點D作DE⊥BC于點E，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，
∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，
∴cos60°===，
解得：BF=1.5，
故EC=1.5，
∴BC=1.5+1.5+5=8．
故選：A．
點評：
此題主要考查了等腰梯形的性質以及解直角三角形等知識，根據已知得出BF=EC的長是解題關鍵．
（2013?十堰）如圖，?ABCD中，∠ABC=60°，E、F分別在CD和BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，則AB的長是　1　．
考點：
平行四邊形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．3718684
分析：
根據平行四邊形性質推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四邊形ABDE，推出DE=DC=AB，根據直角三角形性質求出CE長，即可求出AB的長．
解答：
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∵AE∥BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AB=DE=CD，
即D為CE中點，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=30°，
∵EF=，
∴CE=2，
∴AB=1，
故答案為1．
點評：
本題考查了平行四邊形的性質和判定，平行線性質，勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質，含30度角的直角三角形性質等知識點的應用，此題綜合性比較強，是一道比較好的題目．
（2013?武漢）如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 ．
答案：
解析：
（2013?襄陽）如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O，且AB=5，△OCD的周長為23，則平行四邊形ABCD的兩條對角線的和是（　　）
　
A．
18
B．
28
C．
36
D．
46
考點：
平行四邊形的性質．
分析：
由平行四邊形的性質和已知條件計算即可，解題注意求平行四邊形ABCD的兩條對角線的和時要把兩條對角線可作一個整體．
解答：
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=5，
∵△OCD的周長為23，
∴OD+OC=23﹣5=18，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四邊形ABCD的兩條對角線的和=BD+AC=2（DO+OC）=36，
故選C．
點評：
本題主要考查了平行四邊形的基本性質，并利用性質解題．平行四邊形的基本性質：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分．
　（2013?宜昌）四邊形的內角和的度數為（ ）
A.180°B.270°C.360°D.540°
（2013?宜昌）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于點O，則圖中等腰三角形的個數是（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2
（2013?宜昌）如圖，點E，F分別是銳角∠A兩邊上的點，AE=AF；分別以點E，F為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF.
（1）請你判斷所畫四邊形的形狀，并說明理由；
（2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長.
（2013?張家界）順次連接等腰梯形四邊中點所得的四邊形一定是（ C ）
A. 矩形 B.正方形 C.菱形 D.直角梯形
（2013?張家界）如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC. 設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F.
(1) 求證：OE=OF
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的長；
(3) 當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由.
證明： 平分，且//
…………………1分
…………………………………2分
同理可證： ……………………………3分
…………………………………4分
解：由（1）知： …………………5分

……………6分
而
………………7分
………………………………8分
當點移動到中點時，四邊形為矩形 ……9分
理由如下：由（1）知
當點移動到中點時有
所以四邊形為平行四邊形
又因為
為矩形 ……
（2013?晉江）正六邊形的每個內角的度數為 .
（2013?晉江）如圖6，是菱形的對角線，點、 分別在邊、上，且．求證：．
證明：∵四邊形是菱形，
∴，……………………………4分
在和中，

∴≌（SAS），……………………………7分
．…………………………………
（2013?龍巖）如圖，邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連結BD并延長交EG于點T，交FG于點P，則GT＝ B
A． B． C．2 D．1
（2013?龍巖）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，
E、F是對角線AC上的兩點，∠1＝∠2．
（1）求證：AE=CF；
（2）求證：四邊形EBFD是平行四邊形．
(1)證明：（法一）如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4 1分
∵∠1=∠3+∠5, ∠2=∠4+∠6 2分
∠1=∠2
∴∠5=∠6 3分
∴△ADE≌△CBF 5分
∴AE=CF 6分
（法二）如圖：連接BD交AC于點O 1分
在平行四邊形ABCD中
OA=OC，OB=OD 2分
∵∠1=∠2,∠7=∠8
∴△BOF≌△DOE 4分
∴OE=OF 5分
∴OA－OE=OC－OF
即AE=CF. 6分
(2) )證明：（法一）∵∠1=∠2,
∴DE∥BF 7分
∵△ADE≌△CBF
∴DE=BF 9分
∴四邊形EBFD是平行四邊形. 10分
（法二）∵OE=OF，OB=OD 9分
∴四邊形EBFD是平行四邊形. 10分
其他證法，請參照標準給分.
（2013?龍巖）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，且，
．動點M、N分別以每秒１個單位的速度從點A、D同時出發，分別沿和運動，當點N到達點A時，M、N同時停止運動．設運動時間為t秒．
（1）求菱形ABCD的周長；
（2）記的面積為S, 求S關于t的解析式，并求S的最大值；
（3）當t=30秒時，在線段OD的垂直平分線上是否存在點P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，這樣的點P有幾個？并求出點P到線段OD的距離；若不存在，請說明理由．
. (1)在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD
∴AD==50.
∴菱形ABCD的周長為200. 4分
(2) 過點M作MP⊥AD，垂足為點P.
①當0＜t≤40
∵
∴MP=
∴
= 6分
②當40∵Sin
∴MP=
∴
8分
∴
當0＜t≤40時，S隨t的增大而增大，當t＝40時，最大值為480.
當40＜t≤50時，S隨t的增大而減小，當t＝40時，最大值為480.
綜上所述，S的最大值為480. 9分
（3）存在2個點P，使得∠DPO=∠DON. 10分
方法一：過點N作NF⊥OD于點F，
則，DF=
∴OF=12，∴ 11分
作的平分線交NF于點G，過點G作GH⊥ON于點H.
∴
∴FG=
∴
設OD中垂線與OD的交點為K，由對稱性可知：
∴ 12分
∴
∴PK= 13分
根據菱形的對稱性可知，在線段OD的下方存在與點P關于OD軸對稱的點.
∴存在兩個點P到OD的距離都是. 14分
方法二：如圖，作ON的垂直平分線，交EF于點I，連結OI，IN.
過點N作NG⊥OD，NH⊥EF,垂足分別為G，H.
當t=30時，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴．
即．
∴NG=24,DG=18． 10分
∵EF垂直平分OD，
∴OE= ED＝15，EG=NH=3． 11分
設OI=R，EI=x,則
在Rt△OEI中，有R2=152+x2 ①
在Rt△NIH中，有R2=32+(24-x)2 ②
由①、②可得：
∴PE=PI+IE=． 13分
根據對稱性可得，在BD下方還存在一個點也滿足條件．
∴存在兩個點P，到OD的距離都是. 14分
(注：只求出一個點P并計算正確的扣1分.)
（2013?莆田）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P在DC邊上且DP=1，點Q是AC上一動點，則DQ+PQ的最小值為　5　．
考點：
軸對稱-最短路線問題；正方形的性質．
分析：
要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化DQ，PQ的值，從而找出其最小值求解．
解答：
解：如圖，連接BP，
∵點B和點D關于直線AC對稱，
∴QB=QD，
則BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的邊長是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP==5，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案為：5．
點評：
此題考查了正方形的性質和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用，得出DQ+PQ的最小時Q點位置是解題關鍵．
　
（2013?三明） 如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，請你添加一個條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的條件是　答案不唯一，如：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等　．
考點：
平行四邊形的判定．
專題：
開放型．
分析：
已知AB∥CD，可根據有一組邊平行且相等的四邊形是平行四邊形來判定，也可根據兩組分別平行的四邊形是平行四邊形來判定．
解答：
解：∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴可添加的條件是：AB=DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
故答案為：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等．
點評：
此題主要考查學生對平行四邊形的判定方法的理解能力，常用的平行四邊形的判定方法有：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
（2013?三明）如圖①，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB．
（1）求證：△BCP≌△DCP；
（2）求證：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠ABC=58°，則∠DPE=　58　度．
考點：
正方形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的性質．
專題：
證明題．
分析：
（1）根據正方形的四條邊都相等可得BC=DC，對角線平分一組對角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）根據全等三角形對應角相等可得∠CBP=∠CDP，根據等邊對等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得證；
（3）根據（2）的結論解答．
解答：
（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE，
∵∠1=∠2（對頂角相等），
∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，
即∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC；
（3）解：與（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，
∵∠ABC=58°，
∴∠DPE=58°．
故答案為：58．
點評：
本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的性質，等邊對等角的性質，熟記正方形的性質確定出∠BCP=∠DCP是解題的關鍵．
2013?廈門）如圖4，□ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，
F分別是線段AO，BO的中點．若AC＋BD＝24厘米，
△OAB的周長是18厘米，則EF＝ 3 厘米．
（2013?廈門））如圖9，在梯形ABCD中，AD∥BC，
對角線AC，BD相交于點E，若AE＝4，CE＝8，DE＝3，
梯形ABCD的高是，面積是54.求證：AC⊥BD.
證明1：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠ECB.
∴△EDA∽△EBC.
∴ ＝＝.
即：BC＝2AD.
∴54＝×( AD＋2AD)
∴AD＝5.
在△EDA中，
∵DE＝3，AE＝4，
∴DE2＋AE2＝AD2.
∴∠AED＝90°.
∴ AC⊥BD.
證明2： ∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠ECB.
∴△EDA∽△EBC.
∴＝.
即＝.
∴BE＝6.
過點D作DF∥AC交BC的延長線于點F.
由于AD∥BC，
∴四邊形ACFD是平行四邊形.
∴DF＝AC＝12，AD＝CF.
∴BF＝BC＋AD.
∴54＝××BF.
∴BF＝15.
在△DBF中，
∵DB＝9，DF＝12，BF＝15，
∴DB2＋DF2＝BF2.
∴∠BDF＝90°.
∴DF⊥BD.
∴AC⊥BD.
（2013?廈門）如圖11，在正方形ABCD中，點G是邊
BC上的任意一點，DE⊥AG，垂足為E，延長DE交AB于
點F.在線段AG上取點H，使得AG＝DE＋HG，連接BH.
求證：∠ABH＝∠CDE.
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠FAD＝＝90°.
∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°.
∴∠FAG＋∠EAD＝∠ADF＋∠EAD
∴∠FAG＝∠ADF.
∵AG＝DE＋HG，AG＝AH＋HG，
∴ DE＝AH.
又AD＝AB，
∴ △ADE≌△ABH.
∴ ∠AHB＝∠AED＝90°.
∵∠ADC＝＝90°，
∴ ∠BAH＋∠ABH＝∠ADF＋∠CDE.
∴ ∠ABH＝∠CDE.
（2013?長春）在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別是AC、BC、BA延長線上的點，四邊形ADEF為平行四邊形．求證：AD＝BF．
證明：∵四邊形ADEF為平行四邊形，
∴AD＝EF ,AD∥EF.
∴∠ACB＝∠FEB.
∵AB＝AC,
∴∠ACB＝∠B.
∴∠FEB＝∠B.
∴EF＝BF.
∴AD＝BF.
（2013?長春）探究：如圖①， 在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,AE⊥CD于點E．若AE=10,求四邊形ABCD的面積.
應用：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,AE⊥BC于點E.若AE=19，BC=10,CD=6,則四邊形ABCD的面積為 .
（第22題）
探究：過點A作AF⊥CB,交CB的延長線于點F.
∵AE⊥CD，∠BCD＝，
∴四邊形AFCE為矩形. （2分）
∴∠FAE＝.
∴∠FAB＋∠BAE＝.
∵∠EAD＋∠BAE＝，
∴∠FAB＝∠EAD.
∵AB＝AD，∠F＝∠AED＝，
∴△AFB≌△AED.
∴AF＝AE.
∴四邊形AFCE為正方形.
∴＝＝＝＝100.
拓展：.
（2013?吉林省）如圖，在矩形ABCD中，AB的長度為，BC的長度為，其中＜＜.將此矩形紙片按下列順序折疊，則C′D′的長度為 （用含、的代數式表示）.
（2013?白銀）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．
（1）BD與CD有什么數量關系，并說明理由；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．
考點：
矩形的判定；全等三角形的判定與性質．
專題：
證明題．
分析：
（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證；
（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質可知必須是AB=AC．
解答：
解：（1）BD=CD．
理由如下：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）當△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴?AFBD是矩形．
點評：
本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，是基礎題，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關鍵．
（2013?寧夏）如圖，菱形OABC的頂點O是原點，頂點B在y軸上，菱形的兩條對角線的長分別是6和4，反比例函數的圖象經過點C，則k的值為　﹣6　．
考點：
反比例函數圖象上點的坐標特征；菱形的性質．
專題：
探究型．
分析：
先根據菱形的性質求出C點坐標，再把C點坐標代入反比例函數的解析式即可得出k的值．
解答：
解：∵菱形的兩條對角線的長分別是6和4，
∴A（﹣3，2），
∵點A在反比例函數y=的圖象上，
∴2=，解得k=﹣6．
故答案為：﹣6．
點評：
本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，即反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式．
（2013?寧夏）在矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F；
求證：DF=DC．
考點：
矩形的性質；全等三角形的判定與性質．
專題：
證明題．
分析：
根據矩形的性質和DF⊥AE于F，可以得到∠DEC=∠AED，∠DFE=∠C=90，進而依據AAS可以證明△DFE≌△DCE．然后利用全等三角形的性質解決問題．
解答：
證明：連接DE．（1分）
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE．（1分）
∵有矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠C=90°．（1分）
∴∠ADE=∠DEC，（1分）
∴∠DEC=∠AED．
又∵DF⊥AE，
∴∠DFE=∠C=90°．
∵DE=DE，（1分）
∴△DFE≌△DCE．
∴DF=DC．（1分）
點評：
此題比較簡單，主要考查了矩形的性質，全等三角形的性質與判定，綜合利用它們解題．
（2013?寧夏）在?ABCD中，P是AB邊上的任意一點，過P點作PE⊥AB，交AD于E，連結CE，CP．已知∠A=60°；
（1）若BC=8，AB=6，當AP的長為多少時，△CPE的面積最大，并求出面積的最大值．
（2）試探究當△CPE≌△CPB時，?ABCD的兩邊AB與BC應滿足什么關系？
考點：
四邊形綜合題．
專題：
計算題．
分析：
（1）延長PE交CD的延長線于F，設AP=x，△CPE的面積為y，由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到AB=DC，AD=BC，在直角三角形APE中，根據∠A的度數求出∠PEA的度數為30度，利用直角三角形中30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出AE與PE，由AD﹣AE表示出DE，再利用對頂角相等得到∠DEF為30度，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出DF，由兩直線平行內錯角相等得到∠F為直角，表示出三角形CPE的面積，得出y與x的函數解析式，利用二次函數的性質即可得到三角形CPE面積的最大值，以及此時AP的長；
（2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的對應邊相等，對應角相等得到BC=CE，∠B=∠PEC=120°，進而得出∠ECD=∠CED，利用等角對等邊得到ED=CD，即三角形ECD為等腰三角形，過D作DM垂直于CE，∠ECD=30°，利用銳角三角形函數定義表示出cos30°，得出CM與CD的關系，進而得出CE與CD的關系，即可確定出AB與BC滿足的關系．
解答：
解：（1）延長PE交CD的延長線于F，
設AP=x，△CPE的面積為y，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A=60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE=x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD﹣AE=8﹣2x，
∴DF=DE=4﹣x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE=PE?CF，
即y=×x×（10﹣x）=﹣x2+5x，
配方得：y=﹣（x﹣5）2+，
當x=5時，y有最大值，
即AP的長為5時，△CPE的面積最大，最大面積是；
（2）當△CPE≌△CPB時，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
過D作DM⊥CE于M，則CM=CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°==，
∴CM=CD，
∴CE=CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC=AB，
則當△CPE≌△CPB時，BC與AB滿足的關系為BC=AB．
點評：
此題考查了四邊形的綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的性質，含30度直角三角形的性質，平行線的判定與性質，以及二次函數的性質，是一道多知識點綜合的探究題．
（2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A，C分別在x，y軸的正半軸上．點Q在對角線OB上，且OQ＝OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P，則點P的坐標為( ▲ ， ▲ )．
（2013?蘇州）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點F在矩形ABCD內部．將AF延長交邊BC于點G．若，則 ▲ （用含k的代數式表示）．
（2013?蘇州）如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長BP交邊AD于點F，交CD的延長線于點G．
(1)求證：△APB≌△APD；
(2)已知DF：FA＝1：2，設線段DP的長為x，線段PF的長為y．
①求y與x的函數關系式；
②當x＝6時，求線段FG的長．
（2013?宿遷）如圖，一個平行四邊形的活動框架，對角線是兩根橡皮筋．若改變框架的形狀，則 也隨之變化，兩條對角線長度也在發生改變．當為 ▲ 度時，兩條對角線長度相等．
（2013?宿遷）如圖，在平行四邊形中，．
（1）作出的平分線（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若（1）中所作的角平分線交于點，⊥,垂足為點，交于點，連接．求證：四邊形為菱形．
（2013?宿遷）如圖，在梯形中，∥，，且，，．點從點出發沿方向運動，過點作∥交邊于點．將△沿所在的直線折疊得到△，直線、分別交于點、，當過點時，點即停止運動．設，△與梯形的重疊部分的面積為．
（1）證明△是等腰三角形；
（2）當過點時（如圖（3）），求的值；
（3）將表示成的函數，并求的最大值．
（2013?常州）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的兩個外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
求證：四邊形ABCD是菱形．
考點：
菱形的判定．
專題：
證明題．
分析：
根據平行四邊形的判定方法得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用菱形的判定得出．
解答：
證明：∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，
∴∠ACB=60°，
∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠B=∠D=60°，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=BC，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
點評：
此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和角平分線的性質等內容，注意菱形與平行四邊形的區別，得出AB=BC是解決問題的關鍵．
（2013?淮安）若n邊形的每一個外角都等于60°，則n=　6　．
考點：
多邊形內角與外角．
分析：
利用多邊形的外角和360°除以60°即可．
解答：
解：n=360°÷60°=6，
故答案為：6．
點評：
此題主要考查了多邊形的外角和定理，關鍵是掌握多邊形的外角和等于360度．
（2013?淮安）若菱形的兩條對角線分別為2和3，則此菱形的面積是　3　．
考點：
菱形的性質．
分析：
菱形的面積是對角線乘積的一半，由此可得出結果即可．
解答：
解：由題意，知：S菱形=×2×3=3，
故答案為：3．
點評：
本題考查了菱形的面積兩種求法：（1）利用底乘以相應底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面積=×兩條對角線的乘積；具體用哪種方法要看已知條件來選擇．
（2013?南京）如圖，將菱形紙片ABCD折迭，使點A恰好落在菱形的對
稱中心O處，折痕為EF。若菱形ABCD的邊長為2 cm，
(A=120(，則EF= cm。
（2013?南京）△OAB是以正多邊形相鄰的兩個頂點A、B與它的中心O為頂點的三角形。若△OAB的
一個內角為70(，則該正多邊形的邊數為 。
（2013?南京） 如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，AC與BD相交
于點P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，則點P的坐標為 。
（2013?南京）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分
(ABC，P是BD上一點，過點P作PM(AD，PN(CD，垂
足分別為M、N。
(1) 求證：(ADB=(CDB；
(2) 若(ADC=90(，求證：四邊形MPND是正方形。
（2013?蘇州）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點F在矩形ABCD內部．將AF延長交邊BC于點G．若=，則=　　用含k的代數式表示）．
考點：
矩形的性質；翻折變換（折疊問題）．
分析：
根據中點定義可得DE=CE，再根據翻折的性質可得DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，從而得到CE=EF，連接EG，利用“HL”證明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=FG，設CG=a，表示出GB，然后求出BC，再根據矩形的對邊相等可得AD=BC，從而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．
解答：
解：∵點E是邊CD的中點，
∴DE=CE，
∵將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，
∴DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴CE=EF，
連接EG，
在Rt△ECG和Rt△EFG中，，
∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），
∴CG=FG，
設CG=a，∵=，
∴GB=ka，
∴BC=CG+BG=a+ka=a（k+1），
在矩形ABCD中，AD=BC=a（k+1），
∴AF=a（k+1），
AG=AF+FG=a（k+1）+a=a（k+2），
在Rt△ABG中，AB===2a，
∴==．
故答案為：．
點評：
本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，以及翻折變換的性質，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．
（2013?蘇州）如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長交邊AD于點F，交CD的延長線于點G．
（1）求證：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，設線段DP的長為x，線段PF的長為y．
①求y與x的函數關系式；
②當x=6時，求線段FG的長．
考點：
相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；菱形的性質．
分析：
（1）根據菱形的性質得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）①首先證明△DFP≌△BEP，進而得出=，=，進而得出=，即=，即可得出答案；
②根據①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，進而得出==，求出即可．
解答：
（1）證明：∵點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中
，
∴△APB≌△APD（SAS）；
（2）解：①∵△APB≌△APD，
∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，
∵在△DFP和△BEP中，
，
∴△DFP≌△BEP（ASA），
∴PF=PE，DF=BE，
∵GD∥AB，
∴=，
∵DF：FA=1：2，
∴=，=，
∴=，
∵=，即=，
∴y=x；
②當x=6時，y=×6=4，
∴PF=PE=4，DP=PB=6，
∵==，
∴=，
解得：FG=5，
故線段FG的長為5．
點評：
此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，根據平行關系得出=，=是解題關鍵．
2013?泰州）對角線互相___________的平行四邊形是菱形.
【答案】：垂直．
（2013?南通）如圖，菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD =?120°，則對角線
AC的長是
A．20 B．15 C．10 D．5
（2013?南寧）如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點E、F分別是邊BC、AD的中點．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B=60°，AB=4，求線段AE的長．
考點：
菱形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質．
分析：
（1）首先根據菱形的性質，得到AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，結合點E、F分別是邊BC、AD的中點，即可證明出△ABE≌△CDF；
（2）首先證明出△ABC是等邊三角形，結合題干條件在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，即可求出AE的長．
解答：
解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，
∵點E、F分別是邊BC、AD的中點，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵點E是邊BC的中點，
∴AE⊥BC，
在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，
sin60°==，
解得AE=2．
點評：
本題主要考查菱形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的性質、全等三角形的證明以及等邊三角形的性質，此題難度不大，是一道比較好的中考試題．
2013?欽州）如圖，圖1、圖2、圖3分別表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路線圖（箭頭表示行進的方向）．其中E為AB的中點，AH＞HB，判斷三人行進路線長度的大小關系為（　　）
　
A．
甲＜乙＜丙
B．
乙＜丙＜甲
C．
丙＜乙＜甲
D．
甲=乙=丙
考點：
平行四邊形的判定與性質．
專題：
應用題．
分析：
延長ED和BF交于C，如圖2，延長AG和BK交于C，根據平行四邊形的性質和判定求出即可．
解答：
解：圖1中，甲走的路線長是AC+BC的長度；
延長ED和BF交于C，如圖2，
∵∠DEA=∠B=60°，
∴DE∥CF，
同理EF∥CD，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
∴EF=CD，DE=CF，
即乙走的路線長是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的長；
延長AG和BK交于C，如圖3，
與以上證明過程類似GH=CK，CG=HK，
即丙走的路線長是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的長；
即甲=乙=丙，
故選D．
點評：
本題考查了平行線的判定，平行四邊形的性質和判定的應用，注意：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊相等．
（2013?欽州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是　10　．
考點：
軸對稱-最短路線問題；正方形的性質．3718684
分析：
由正方形性質的得出B、D關于AC對稱，根據兩點之間線段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最小，進而利用勾股定理求出即可．
解答：
解：如圖，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最小．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴B、D關于AC對稱，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10．
故答案為：10．
點評：
本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正方形的性質，解此題通常是利用兩點之間，線段最短的性質得出．
（2013?欽州）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求證：梯形ABCD是等腰梯形．
[
考點：
等腰梯形的判定．
專題：
證明題．
分析：
由AB∥DE，∠DEC=∠C，易證得∠B=∠C，又由同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形，即可證得結論．
解答：
證明：∵AB∥DE，
∴∠DEC=∠B，
∵∠DEC=∠C，
∴∠B=∠C，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
點評：
此題考查了等腰梯形的判定．此題比較簡單，注意掌握同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形定理的應用，注意數形結合思想的應用．
　（2013?玉林）如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上作一個菱形．甲、乙兩人的作法如下：
甲：連接AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD，AC，BC于M，O，N，連接AN，CM，則四邊形ANCM是菱形．
乙：分別作∠A，∠B的平分線AE，BF，分別交BC，AD于E，F，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．
根據兩人的作法可判斷（　　）
　
A．
甲正確，乙錯誤
B．
乙正確，甲錯誤
C．
甲、乙均正確
D．
甲、乙均錯誤
考點：
菱形的判定．
分析：
首先證明△AOM≌△CON（ASA），可得MO=NO，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定判定四邊形ANCM是平行四邊形，再由AC⊥MN，可根據對角線互相垂直的四邊形是菱形判定出ANCM是菱形；四邊形ABCD是平行四邊形，可根據角平分線的定義和平行線的定義，求得AB=AF，所以四邊形ABEF是菱形．
解答：
解：甲的作法正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACN，
∵MN是AC的垂直平分線，
∴AO=CO，
在△AOM和△CON中，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO，
∴四邊形ANCM是平行四邊形，
∵AC⊥MN，
∴四邊形ANCM是菱形；
乙的作法正確；
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴平行四邊形ABEF是菱形；
故選：C．
點評：
此題主要考查了菱形形的判定，關鍵是掌握菱形的判定方法：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；
②四條邊都相等的四邊形是菱形．
③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．
（2013?玉林）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延長線與BC的延長線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點．
（1）求證：四邊形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的長和寬．
考點：
直角梯形；矩形的判定與性質
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）根據軸對稱的性質可得AD=DF，DE⊥AF，然后判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出∠DAF=∠EDF=45°，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠BCE=45°，然后判斷出△BGE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根據矩形的判定證明即可；
（2）判斷出△BCD是等腰直角三角形，然后根據梯形的面積求出CD的長，再根據等腰直角三角形的性質求出DN，即可得解．
解答：
（1）證明：∵點A、F關于BD對稱，
∴AD=DF，DE⊥AF，
又∵AD⊥DC，
∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAF=∠EDF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠GAF=45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∵M，N分別是BG，DF的中點，
∴EM⊥BC，EN⊥CD，
又∵AD∥BC，AD⊥DC，
∴BC⊥CD，
∴四邊形EMCN是矩形；
（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=CD，
∴S梯形ABCD=（AD+BC）?CD=（2+CD）?CD=，
即CD2+2CD﹣15=0，
解得CD=3，CD=﹣5（舍去），
∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=AD=2，
∵N是DF的中點，
∴EN=DN=DF=×2=1，
∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，
∴矩形EMCN的長和寬分別為2，1．
點評：
本題考查了直角梯形的性質，軸對稱的性質，矩形的判定，等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握軸對稱的性質判斷出相關的等腰直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．
（2013?包頭）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1、S2的大小關系是（　　）
　
A．
S1＞S2
B．
S1=S2
C．
S1＜S2
D．
3S1=2S2
考點：
矩形的性質．
分析：
由于矩形ABCD的面積等于2個△ABC的面積，而△ABC的面積又等于矩形AEFC的一半，所以可得兩個矩形的面積關系．
解答：
解：矩形ABCD的面積S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2，
故選B．
點評：
本題主要考查了矩形的性質及面積的計算，能夠熟練運用矩形的性質進行一些面積的計算問題．
　
　（2013?呼和浩特）只用下列圖形中的一種，能夠進行平面鑲嵌的是（　　）
　
A．
正十邊形
B．
正八邊形
C．
正六邊形
D．
正五邊形
考點：
平面鑲嵌（密鋪）．
分析：
根據密鋪的知識，找到一個內角能整除周角360°的正多邊形即可．
解答：
解：A、正十邊形每個內角是180°﹣360°÷10=144°，不能整除360°，不能單獨進行鑲嵌，不符合題意；
B、正八邊形每個內角是180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能單獨進行鑲嵌，不符合題意；
C、正六邊形的每個內角是120°，能整除360°，能整除360°，可以單獨進行鑲嵌，符合題意；
D、正五邊形每個內角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能單獨進行鑲嵌，不符合題意；
故選：C．
點評：
本題考查了平面密鋪的知識，注意幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角．
（2013?呼和浩特）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足為O，點E、F、G、H分別為邊AD、AB、BC、CD的中點．若AC=8，BD=6，則四邊形EFGH的面積為　12　．
考點：
中點四邊形．
分析：
有一個角是直角的平行四邊形是矩形．利用中位線定理可得出四邊形EFGH矩形，根據矩形的面積公式解答即可．
解答：
解：∵點E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、AB的中點，
∴EF∥BD，且EF=BD=3．
同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF=BD，
又∵AC⊥BD，
∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．
四邊形EFGH是矩形．
∴四邊形EFGH的面積=EF?EH=3×4=12，即四邊形EFGH的面積是12．
故答案是：12．
點評：
本題考查的是中點四邊形．解題時，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；
（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．
（2013?呼和浩特）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點P，交邊CD于點F，
（1）的值為　　；
（2）求證：AE=EP；
（3）在AB邊上是否存在點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．
考點：
正方形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定．
分析：
（1）由正方形的性質可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA邊上截取BK=NE，連接KE，根據角角之間的關系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結合∠KAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結論得出；
（3）作DM⊥AE于AB交于點M，連接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知條件證明△ADM≌△BAE，進而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出．
解答：
（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE==，
∵sin∠BAE==sin∠FEC=，
∴=，
（2）證明：在BA邊上截取BK=NE，連接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB﹣BK=BC﹣BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；
（3）答：存在．
證明：作DM⊥AE于AB交于點M，
則有：DM∥EP，連接ME、DP，
∵在△ADM與△BAE中，
，
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MDEP，
∴四邊形DMEP為平行四邊形．
點評：
此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及正方形的性質等知識．此題綜合性很強，圖形比較復雜，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與輔助線的準確選擇．
　
（2013?畢節）正八邊形的一個內角的度數是 135 度。
（2013?遵義）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB=6cm，BC=8cm，則△AEF的周長=　9　cm．
考點：
三角形中位線定理；矩形的性質．
分析：
先求出矩形的對角線AC，根據中位線定理可得出EF，繼而可得出△AEF的周長．
解答：
解：在Rt△ABC中，AC==10cm，
∵點E、F分別是AO、AD的中點，
∴EF是△AOD的中位線，EF=OD=BD=AC=，AF=AD=BC=4cm，AE=AO=AC=，
∴△AEF的周長=AE+AF+EF=9cm．
故答案為：9．
點評：
本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理及矩形的性質，解答本題需要我們熟練掌握三角形中位線的判定與性質．
（2013?遵義）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．
（1）求證：CM=CN；
（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求的值．
考點：
矩形的性質；勾股定理；翻折變換（折疊問題）．
分析：
（1）由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN；
（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得MN的長，繼而求得答案．
解答：
（1）證明：由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN；
（2）解：過點N作NH⊥BC于點H，
則四邊形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，
∴===3，
∴MC=3ND=3HC，
∴MH=2HC，
設DN=x，則HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC==2x，
∴HN=2x，
在Rt△MNH中，MN==2x，
∴==2．
點評：
此題考查了矩形的性質、折疊的性質、勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．
　（2013?北京）如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為__________
答案：20
解析：由勾股定理，得AC＝13，因為BO為直角三角形斜邊上的中線，所以，BO＝6.5，由中位線，得MO＝2.5，所以，四邊形ABOM的周長為：6.5＋2.5＋6＋5＝20
（2013?北京）如圖，在□ABCD中，F是AD的中點，延長BC到點E，使CE=BC，連結DE，CF。
（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長。
解析：
（2013?北京）閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時，求正方形MNPQ的面積。
小明發現：分別延長QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）
請回答：
（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙，不重疊），則這個新的正方形的邊長為__________；
（2）求正方形MNPQ的面積。
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點D，E，F作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ，若，則AD的長為__________。
解析：
(2013山東濱州，8，3分)如圖，將等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD、BD，則下列結論：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四邊形ACED是菱形．其中正確的個數是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 D.
(2013山東濱州，17，4分)在ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，點E是邊CD的中點，且AB=6，BC=10，則OE=______________．
【答案】 A.
(2013山東濱州，24，10分)
某高中學校為高一新生設計的學生板凳的正面視圖如圖所示．其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm，為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應為多長？(材質及其厚度等暫忽略不計)
【解答過程】 解：過點C作CM∥AB，交EF、AD于N、M，作CP⊥AD，交EF、AD于Q、P．
由題意，得四邊形ABCM是平行四邊形，
∴EN=AM=BC=20(cm)．
∴MD=AD－AM=50－20=30(cm)．
由題意知CP=40cm，PQ=8cm，
∴CQ=32cm．
∵EF∥AD，
∴△CNF∽△CMD．
∴=，
即=．
解得NF=24(cm)．
∴EF=EN+NF=20+24=44(cm)．
答：橫梁EF應為44cm．
（2013? 德州）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結論：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．
其中正確的序號是　①②④　（把你認為正確的都填上）．
考點：
正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．
分析：
根據三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據角角之間的數量關系，以及三角形內角和為180°判斷②的正誤；根據線段垂直平分線的知識可以判斷③的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤．
解答：
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①說法正確；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②說法正確；
如圖，連接AC，交EF于G點，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAD≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③說法錯誤；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
設正方形的邊長為a，
在Rt△ADF中，
a2+（a﹣）2=4，
解得a=，
則a2=2+，
S正方形ABCD=2+，
④說法正確，
故答案為①②④．
點評：
本題主要考查正方形的性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩．
（2013? 德州）（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數量關系？簡單說明理由；
（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：
如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長．
考點：
四邊形綜合題．
專題：
計算題．
分析：
（1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接AD，BD，同理連接AE，CE，如圖所示，由三角形ABD與三角形ACE都是等邊三角形，得到三對邊相等，兩個角相等，都為60度，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABD與三角形ACE全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）BE=CD，理由與（1）同理；
（3）根據（1）、（2）的經驗，過A作等腰直角三角形ABD，連接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的長，由題意得到三角形DBC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長，即為BE的長．
解答：
解：（1）完成圖形，如圖所示：
證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（2）BE=CD，理由同（1），
∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（3）由（1）、（2）的解題經驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，
則AD=AB=100米，∠ABD=45°，
∴BD=100米，
連接CD，則由（2）可得BE=CD，
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，
根據勾股定理得：CD==100米，
則BE=CD=100米．
點評：
此題考查了四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，等邊三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性質，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．
（2013? 東營）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE=DF，AE、BF相交于點O，下列結論：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正確的有（ B ）
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
（2013菏澤）如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，為了得到一個鈍角為120° 的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數應為（　　）
　 A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
考點：剪紙問題．
分析：折痕為AC與BD，∠BAD=120°，根據菱形的性質：菱形的對角線平分對角，可得∠ABD=30°，易得∠BAC=60°，所以剪口與折痕所成的角a的度數應為30°或60°．
解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴剪口與折痕所成的角a的度數應為30°或60°．
故選D．
點評：此題主要考查菱形的判定以及折疊問題，關鍵是熟練掌握菱形的性質：菱形的對角線平分每一組對角．　
（2013菏澤）如圖，?ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，∠AEB=45°，BD=2，將△ABC沿AC所在直線翻折180°到其原來所在的同一平面內，若點B的落點記為B′，則DB′的長為　　．
考點：平行四邊形的性質；等腰直角三角形；翻折變換（折疊問題）．
分析：如圖，連接BB′．根據折疊的性質知△BB′E是等腰直角三角形，則BB′=BE．又B′E是BD的中垂線，則DB′=BB′．
解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，BD=2，
∴BE=BD=1．
如圖2，連接BB′．
根據折疊的性質知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．
∴∠BEB′=90°，
∴△BB′E是等腰直角三角形，則BB′=BE=．
又∵BE=DE，B′E⊥BD，
∴DB′=BB′=．
故答案是：．
點評：本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定與性質以及翻折變換（折疊的性質）．推知DB′=BB′是解題的關鍵．　
（2013? 濟南）如圖，在正方形中，邊長為2的等邊三角形的頂點、分別在和上．下列結論：① CE=CF；
②∠AEB=75°；③BE＋DF=EF；④S正方形ABCD=．
其中正確的序號是______________．（把你認為正確的都填上）
（2013濟寧）如圖，矩形ABCD的面積為20cm2，對角線交于點O；以AB、AO為鄰邊做平行四邊形AOC1B，對角線交于點O1；以AB、AO1為鄰邊做平行四邊形AO1C2B；…；依此類推，則平行四邊形AO4C5B的面積為（　　）
　 A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
考點：矩形的性質；平行四邊形的性質．
專題：規律型．
分析：根據矩形的對角線互相平分，平行四邊形的對角線互相平分可得下一個圖形的面積是上一個圖形的面積的，然后求解即可．
解答：解：設矩形ABCD的面積為S=20cm2，
∵O為矩形ABCD的對角線的交點，
∴平行四邊形AOC1B底邊AB上的高等于BC的，
∴平行四邊形AOC1B的面積=S，
∵平行四邊形AOC1B的對角線交于點O1，
∴平行四邊形AO1C2B的邊AB上的高等于平行四邊形AOC1B底邊AB上的高的，
∴平行四邊形AO1C2B的面積=×S=，
…，
依此類推，平行四邊形AO4C5B的面積===cm2．
故選B．
點評：本題考查了矩形的對角線互相平分，平行四邊形的對角線互相平分的性質，得到下一個圖形的面積是上一個圖形的面積的是解題的關鍵．　
（2013濟寧）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AF⊥BE．
（1）求證：AF=BE；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．
考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質．
專題：證明題．
分析：（1）根據正方形的性質可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根據同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△DAF全等，再根據全等三角形的證明即可；
（2）過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，然后與（1）相同．
解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF=BE；
（2）解：MP與NQ相等．
理由如下：如圖，過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，
則與（1）的情況完全相同．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，主要利用了正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角的性質，同角的余角相等的性質，利用三角形全等證明相等的邊是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運用．　
（2013山東萊蕪，16，4分）如圖，矩形ABCD中，AB=1，E、F分別為AD、CD的中點，沿BE將△ABE折疊，若點A恰好落在BF上，則AD= .
【答案】
（2013山東萊蕪，21，9分）在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE.
（1）證明DE∥CB；
（2）探索AC與AB滿足怎樣的數量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形.
解：（1）證明：連結CE.
∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點，
∴CE=AB=AE.
∵△ACD是等邊三角形，∴AD=CD.
在△ADE與△CDE中，
AD=CD,DE=DE,AE=CE,
∴△ADE≌△CDE.
∴∠ADE=∠CDE=30°.
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°.
∴DE∥CB.
(2)∵∠DCB=150°,若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE, ∠DCB+∠B=180°.
∴∠B=30°.
在Rt△ACB中，sinB=,sin30°=，AC=或AB=2AC.
∴當AC=或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形.
（2013聊城）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足為E，求證：AE=CE．
考點：全等三角形的判定與性質；矩形的判定與性質．
專題：證明題．
分析：過點B作BF⊥CE于F，根據同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角邊”證明△BCF和△CDE全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=CE，再證明四邊形AEFB是矩形，根據矩形的對邊相等可得AE=BF，從而得證，
解答：證明：如圖，過點B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°，
∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中，，
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四邊形AEFB是矩形，
∴AE=B

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