資源簡介

圖形的相似
（2013，永州）如圖，已知ABBD，CDBD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，請問在BD上是否存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；
（4）若AB=，CD=，BD=，請問滿足什么關系時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點？兩個P點？三個P點？
（2013?巴中）如圖，小明在打網球時，使球恰好能打過網，而且落在離網4米的位置上，則球拍擊球的高度h為　1.5米　．
考點：
相似三角形的應用．
分析：
根據球網和擊球時球拍的垂直線段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根據其相似比即可求解．
解答：
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，即=，
則=，
∴h=1.5m．
故答案為：1.5米．
點評：
本題考查了相似三角形在測量高度時的應用，解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解決問題．
?。?013，成都）如圖，點在線段上，點，在同側，，，.
（1）求證：；
（2）若，，點為線段上的動點，連接，作，交直線與點；
i）當點與，兩點不重合時，求的值；
ii）當點從點運動到的中點時，求線段的中點所經過的路徑（線段）長.（直接寫出結果，不必寫出解答過程）
（1）證△ABD≌△CEB→AB=CE；
（2）如圖，過Q作QH⊥BC于點H，則△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，
∴，；
設AP= ，QH=，則有
∴BH=，PH=+5
∴，即
又∵P不與A、B重合，∴即，
∴即
∴
(3)
（2013?廣安）雅安蘆山發生7.0級地震后，某校師生準備了一些等腰直角三角形紙片，從每張紙片中剪出一個半圓制作玩具，寄給災區的小朋友．已知如圖，是腰長為4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圓的直徑在△ABC的邊上，且半圓的弧與△ABC的其他兩邊相切，請作出所有不同方案的示意圖，并求出相應半圓的半徑（結果保留根號）．
考點：
作圖—應用與設計作圖．
專題：
作圖題．
分析：
分直徑在直角邊AC、BC上和在斜邊AB上三種情況分別求出半圓的半徑，然后作出圖形即可．
解答：
解：根據勾股定理，斜邊AB==4，
①如圖1、圖2，直徑在直角邊BC或AC上時，
∵半圓的弧與△ABC的其它兩邊相切，
∴=，
解得r=4﹣4，
②如圖3，直徑在斜邊AB上時，∵半圓的弧與△ABC的其它兩邊相切，
∴=，
解得r=2，
作出圖形如圖所示：
點評：
本題考查了應用與設計作圖，主要利用了直線與圓相切，相似三角形對應邊成比例的性質，分別求出半圓的半徑是解題的關鍵．
（2013?眉山）如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的兩點，且，若△AEF的面積為2，則四邊形EBCF的面積為_________
（2013?眉山）在矩形ABCD中，DC＝，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF。
⑴求證：△DEC∽△FDC；
⑵當F為AD的中點時，求sin∠FBD的值及BC的長度。
（2013?綿陽）我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性質，如在關線段比．面積比就有一些“漂亮”結論，利用這些性質可以解決三角形中的若干問題。請你利用重心的概念完成如下問題：
（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結AO并延長交BC于D，證明：；
（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；
（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG．S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值。
2013?內江）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=（　?。?br/>　
A．
2：5
B．
2：3
C．
3：5
D．
3：2
考點：
相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．
分析：
先根據平行四邊形的性質及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據S△DEF：S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質即可求出 DE：EC的值，由AB=CD即可得出結論．
解答：
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF=4：25，
∴DE：AB=2：5，
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3．
故選B．
點評：
本題考查的是相似三角形的判定與性質及平行四邊形的性質，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵．
（2013?內江）如圖，在等邊△ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的部分記作圖形L．
（1）求△ABC的面積；
（2）設AD=x，圖形L的面積為y，求y關于x的函數解析式；
（3）已知圖形L的頂點均在⊙O上，當圖形L的面積最大時，求⊙O的面積．
考點：
相似形綜合題．
分析：
（1）作AH⊥BC于H，根據勾股定理就可以求出AH，由三角形的面積公式就可以求出其值；
（2）如圖1，當0＜x≤1.5時，由三角形的面積公式就可以表示出y與x之間的函數關系式，如圖2，當1.5＜x＜3時，重疊部分的面積為梯形DMNE的面積，由梯形的面積公式就可以求出其關系式；
（3）如圖4，根據（2）的結論可以求出y的最大值從而求出x的值，作FO⊥DE于O，連接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直徑，由圓的面積公式就可以求出其值．
解答：
解：（1）如圖3，作AH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=3．
∵∠AHB=90°，
∴BH=BC=
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AH=．
∴S△ABC==；
（2）如圖1，當0＜x≤1.5時，y=S△ADE．
作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，
∴DG=x，AG=x，
∴y==x2，
∵a=＞0，開口向上，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，
∴x=1.5時，y最大=，
如圖2，當1.5＜x＜3時，作MG⊥DE于G，
∵AD=x，
∴BD=DM=3﹣x，
∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，
∴MG=（3﹣x），
∴y=，
=﹣；
（3），如圖4，∵y=﹣；
∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，
y=﹣（x﹣2）2+，
∵a=﹣＜0，開口向下，
∴x=2時，y最大=，
∵＞，
∴y最大時，x=2，
∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，連接MO，ME．
∴DO=OE=1，
∴DM=DO．
∵∠MDO=60°，
∴△MDO是等邊三角形，
∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．
∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°，
∴∠DME=90°，
∴DE是直徑，
S⊙O=π×12=π．
（2013?雅安）如圖，DE是△ABC的中位線，延長DE至F使EF=DE，連接CF，則S△CEF：S四邊形BCED的值為（　?。?br/>　
A．
1：3
B．
2：3
C．
1：4
D．
2：5
考點：
相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；三角形中位線定理．
分析：
先利用SAS證明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE為中位線，判斷△ADE∽△ABC，且相似比為1：2，利用相似三角形的面積比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，則S△ADE：S四邊形BCED=1：3，進而得出S△CEF：S四邊形BCED=1：3．
解答：
解：∵DE為△ABC的中位線，
∴AE=CE．
在△ADE與△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴S△ADE=S△CFE．
∵DE為△ABC的中位線，
∴△ADE∽△ABC，且相似比為1：2，
∴S△ADE：S△ABC=1：4，
∵S△ADE+S四邊形BCED=S△ABC，
∴S△ADE：S四邊形BCED=1：3，
∴S△CEF：S四邊形BCED=1：3．
故選A．
點評：
本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質，三角形中位線定理．關鍵是利用中位線判斷相似三角形及相似比．
點評：
本題考查了等邊三角形的面積公式的運用，梯形的面積公式的運用，勾股定理的運用，圓周角定理的運用，圓的面積公式的運用，等邊三角形的性質的運用，二次函數的性質的運用，解答時靈活運用等邊三角形的性質是關鍵．
?。?013?雅安）如圖，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，則DF=　　..
考點：
相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．
分析：
由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，AB=CD，繼而可判定△BEF∽△DCF，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得BF：DF=BE：CD問題得解．
解答：
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE：BE=4：3，
∴BE：AB=3：7，
∴BE：CD=3：7．
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴BF：DF=BE：CD=3：7，
即2：DF=3：7，
∴DF=．
故答案為：．
點評：
此題考查了相似三角形的判定與性質與平行四邊形的性質．此題比較簡單，解題的關鍵是根據題意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的對應邊成比例的性質求解．
（2013宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足=，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．給出下列結論：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．
其中正確的是?、佗冖堋。▽懗鏊姓_結論的序號）．
考點：相似三角形的判定與性質；垂徑定理；圓周角定理．
分析：①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據垂徑定理可得：=，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；
②由=，CF=2，可求得DF的長，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的長，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=；
④首先求得△ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比，即可求得△ADE的面積，繼而求得S△DEF=4．
解答：解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴=，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正確；
②∵=，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2；
故②正確；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG==，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，
∴tan∠E=；
故③錯誤；
④∵DF=DG+FG=6，AD==，
∴S△ADF=DF?AG=×6×=3，
∵△ADF∽△AED，
∴=（）2，
∴=，
∴S△AED=7，
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4；
故④正確．
故答案為：①②④．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．　
（2013?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG=，則△EFC的周長為（　?。?br/>　
A．
11
B．
10
C．
9
D．
8
考點：
相似三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質．
分析：
判斷出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的長度，繼而得到EC的長度，在Rt△BGE中求出GE，繼而得到AE，求出△ABE的周長，根據相似三角形的周長之比等于相似比，可得出△EFC的周長．
解答：
解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，
∴EC=FC=9﹣6=3，
在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，
∴AG==2，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周長等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比為1：2，
∴△CEF的周長為8．
故選D．
點評：
本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質，注意掌握相似三角形的周長之比等于相似比，此題難度較大．
?。?013?自貢）將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）將圖①中的△A1B1C順時針旋轉45°得圖②，點P1是A1C與AB的交點，點Q是A1B1與BC的交點，求證：CP1=CQ；
（2）在圖②中，若AP1=2，則CQ等于多少？
（3）如圖③，在B1C上取一點E，連接BE、P1E，設BC=1，當BE⊥P1B時，求△P1BE面積的最大值．
考點：
相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；旋轉的性質；解直角三角形．
分析：
（1）先判斷∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可證明△B1CQ≌△BCP1，從而得出結論．
（2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，繼而可得出CQ的長度．
（3）證明△AP1C∽△BEC，則有AP1：BE=AC：BC=：1，設AP1=x，則BE=x，得出S△P1BE關于x的表達式，利用配方法求最值即可．
解答：
（1）證明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，
∵在△B1CQ和△BCP1中，
，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），
∴CQ=CP1；
（2）作P1D⊥CA于D，
∵∠A=30°，
∴P1D=AP1=1，
∵∠P1CD=45°，
∴=sin45°=，
∴CP1=P1D=，
又∵CP1=CQ，
∴CQ=；
（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=BC，
由旋轉的性質可得：∠ACP1=∠BCE，
∴△AP1C∽△BEC，
∴AP1：BE=AC：BC=：1，
設AP1=x，則BE=x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S△P1BE=×x（2﹣x）=﹣x2+x
=﹣（x﹣1）2+，
故當x=1時，S△P1BE（max）=．
點評：
本題考查了相似三角形的判定與性質，解答本題需要我們熟練掌握含30°角的直角三角形的性質、勾股定理及配方法求二次函數的最值，有一定難度．
（2013?沈陽）如圖，中，AE交BC于點D，，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3，則DE的長等于（ ）
A． B． C． D．
（2013?恩施州）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則DF：FC=（　?。?br/>　
A．
1：4
B．
1：3
C．
2：3
D．
1：2
考點：
相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．
分析：
首先證明△DFE∽△BAE，然后利用對應變成比例，E為OD的中點，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．
解答：
解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，
則△DFE∽△BAE，
∴=，
∵O為對角線的交點，
∴DO=BO，
又∵E為OD的中點，
∴DE=DB，
則DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2．
故選D．
點評：
本題考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質，難度適中，解答本題的關鍵是根據平行證明△DFE∽△BAE，然后根據對應邊成比例求值．
（2013?黃石）如圖1，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點。某數學興趣小組在進行課題研究時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為、，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線.
（1）如圖2，在△中，°，，的平分線交于點，請問點是否是邊上的黃金分割點，并證明你的結論；
（2）若△在（1）的條件下，如圖（3），請問直線是不是△的黃金分割線，并證明你的結論；
（3）如圖4，在直角梯形中，，對角線、交于點，延長、交于點，連接交梯形上、下底于、兩點，請問直線是不是直角梯形的黃金分割線，并證明你的結論.
解析：
解：（1）點是邊上的黃金分割點，理由如下：
∵°，
∴°
∵平分
∴°
∴°
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴是邊上的黃金分割點 （3分）
（2）直線是△的黃金分割線，理由如下：
設的邊上的高為，則
，，
∴，
∵是的黃金分割點
∴
∴
∴是△的黃金分割線 （3分）
（3）不是直角梯形的黃金分割線
∵∥
∴ ，
∴ ①
②
由①、 ②得 即 ③
同理，由 ， 得
即 ④
由③、④得
∴
∴
∴ 梯形與梯形上下底分別相等，高也相等
∴梯形梯形梯形
∴不是直角梯形的黃金分割線 （3分）
（2013?荊州）如圖，在△ABC中，BC＞AC，點D在BC上，且DC=AC，角∠ACB的平分線CE交AD于E，點F是AB的中點，則S△AEF：S四邊形BDEF為D
A.3：4 B.1：2 C.2：3 D.1：3
?。?013?武漢）已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．
（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關系時，使得成立？并證明你的結論；
（3）如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，請直接寫出的值．
解析：
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴．
（2）當∠B+∠EGC＝180°時，成立，證明如下：
在AD的延長線上取點M，使CM＝CF，則∠CMF＝∠CFM．
∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴，即．
（3）．
（2013?孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC內依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．則EF等于（　?。?br/>　
A．
B．
C．
D．
考點：
相似三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質．
分析：
依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根據相似三角形的對應邊成比例的知識，可得出EF的長度．
解答：
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，
∴=，=，=，
解得：CD=，DE=，EF=．
故選C．
點評：
本題考查了相似三角形的判定與性質，本題中相似三角形比較容易找到，難點在于根據對應邊成比例求解線段的長度，注意仔細對應，不要出錯．
（2013?宜昌）如圖，點A，B，C，D的坐標分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點的三角形與⊿ABC相似，則點E的坐標不可能是（ ）
A.（6，0） B.（6，3） C.（6，5） D.（4，2）
（2013?宜昌）如圖1，在⊿ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于點O，F是線段AO上的點（與A、O不重合），∠EAF=90°，AE=AF，連接FE，FC，BF.
（1）求證：BE=BF；
（2）如圖2，若將⊿AEF繞點A旋轉，使邊AF在∠BAC的內部，延長CF交AB于點G，交BE于點K.
①求證：⊿AGC∽⊿KGB；
②當⊿BEF為等腰直角三角形時，請直接寫出AB：BF的值.
（2013?莆田）下列四組圖形中，一定相似的是（　　）
　
A．
正方形與矩形
B．
正方形與菱形
　
C．
菱形與菱形
D．
正五邊形與正五邊形
考點：
相似圖形．
分析：
根據相似圖形的定義和圖形的性質對每一項進行分析，即可得出一定相似的圖形．
解答：
解：A、正方形與矩形，對應角相等，對應邊不一定成比例，故不符合題意；
B、正方形與菱形，對應邊成比例，對應角不一定相等，不符合相似的定義，故不符合題意；
C、菱形與菱形，對應邊不值相等，但是對應角不一定相等，故不符合題意；
D、正五邊形與正五邊形，對應角相等，對應邊一定成比例，符合相似的定義，故符合題意．
故選：D．
點評：
本題考查了相似形的定義，熟悉各種圖形的性質和相似圖形的定義是解題的關鍵．
　
（2013?莆田）定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．
如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．
（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；
（2）求出線段AD的長．
考點：
黃金分割．
分析：
（1）判斷△ABC∽△BDC，根據對應邊成比例可得出答案．
（2）根據黃金比值即可求出AD的長度．
解答：
解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即=，
∴AD2=AC?CD．
∴點D是線段AC的黃金分割點．
（2）∵點D是線段AC的黃金分割點，
∴AD=AC=．
點評：
本題考查了黃金分割的知識，解答本題的關鍵是仔細審題，理解黃金分割的定義，注意掌握黃金比值．
（2013?莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D為AB邊上一點，點M、N分別在BC、AC邊上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于點F，NE⊥AB于點E．
（1）特殊驗證：如圖1，若AC=BC，且D為AB中點，求證：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如圖2，若D為AB中點，（1）中的兩個結論有一個仍成立，請指出并加以證明；
②如圖3，若BD=kAD，條件中“點M在BC邊上”改為“點M在線段CB的延長線上”，其它條件不變，請探究AE與DF的數量關系并加以證明．
考點：
相似形綜合題．
分析：
（1）如答圖1，連接CD，證明△AND≌△CDM，可得DM=DN；證明△NED≌△DFM，可得DF=NE，從而得到AE=NE=DF；
（2）①若D為AB中點，則分別證明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由線段比例關系可以證明AE=DF結論依然成立．證法二提供另外一種證明方法，可以參考；
②若BD=kAD，證明思路與①類似；證法二提供另外一種證明方法，可以參考．
解答：
（1）證明：若AC=BC，則△ABC為等腰直角三角形，
如答圖1所示，連接OD，則CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．
在△AND與△CDM中，
∴△AND≌△CDM（ASA），
∴DM=DN．
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，
∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，
在△NED與△DFM中，
∴△NED≌△DFM（ASA），
∴NE=DF．
∵△ANE為等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．
（2）①答：AE=DF．
證法一：由（1）證明可知：△DEN∽△MFD，
∴，即MF?EN=DE?DF．
同理△AEN∽△MFB，
∴，即MF?EN=AE?BF．
∴DE?DF=AE?BF，
∴（AD﹣AE）?DF=AE?（BD﹣DF），
∴AD?DF=AE?BD，∴AE=DF．
證法二：如答圖2所示，過點D作DP⊥BC于點P，DQ⊥AC于點Q．
∵D為AB中點，
∴DQ=PC=PB．
易證△DMF∽△NDE，∴，
易證△DMP∽△DNQ，∴，
∴；
易證△AEN∽△DPB，∴，
∴，∴AE=DF．
②答：DF=kAE．
證法一：由①同理可得：DE?DF=AE?BF，
∴（AE﹣AD）?DF=AE?（DF﹣BD）
∴AD?DF=AE?BD
∵BD=kAD
∴DF=kAE．
證法二：如答圖3，過點D作DP⊥BC于點P，DQ⊥AC于點Q．
易證△AQD∽△DPB，得，即PB=kDQ．
由①同理可得：，
∴；
又∵，
∴，
∴DF=kAE．
點評：
本題是幾何探究與證明綜合題，考查了相似三角形與全等三角形的判定與性質．題中三個結論之間逐級遞進，體現了從特殊到一般的數學思想．
?。?013?廈門）如圖3，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，
DE＝2，則BC＝ 6 ．
（2013?吉林省）如圖，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝.點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，連接DE、DF，動點P，Q分別從點A、B同時出發，運動速度均為1㎝/s，點P沿A F D的方向運動到點D停止；點Q沿B C的方向運動，當點P停止運動時，點Q也停止運動.在運動過程中，過點Q作BC的垂線交AB于點M，以點P，M，Q為頂點作平行四邊形PMQN.設平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為（㎝2）（這里規定線段是面積為0有幾何圖形），點P運動的時間為（s）
（1）當點P運動到點F時，CQ= ㎝；
（2）在點P從點F運動到點D的過程中，某一時刻，點P落在MQ上，求此時BQ的長度；
（3）當點P在線段FD上運動時，求與之間的函數關系式.
（2013?白銀）如圖，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部（點O）20米的A處，則小明的影子AM長為　5　米．
考點：
相似三角形的應用．
分析：
易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影長．
解答：
解：根據題意，易得△MBA∽△MCO，
根據相似三角形的性質可知=，即=，
解得AM=5m．則小明的影長為5米．
點評：
本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影長．
（2013?寧夏）△ABC中，D、E分別是邊AB與AC的中點，BC=4，下面四個結論：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面積與△ABC的面積之比為 1：4；④△ADE的周長與△ABC的周長之比為 1：4；其中正確的有?、佗冖邸。ㄖ惶钚蛱枺?br/>考點：
相似三角形的判定與性質；三角形中位線定理．
分析：
根據題意做出圖形，點D、E分別是AB、AC的中點，可得DE∥BC，DE=BC=2，則可證得△ADE∽△ABC，由相似三角形面積比等于相似比的平方，證得△ADE的面積與△ABC的面積之比為 1：4，然后由三角形的周長比等于相似比，證得△ADE的周長與△ABC的周長之比為 1：2，選出正確的結論即可．
解答：
解：∵在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE∥BC，DE=BC=2，
∴△ADE∽△ABC，
故①②正確；
∵△ADE∽△ABC，=，
∴△ADE的面積與△ABC的面積之比為 1：4，
△ADE的周長與△ABC的周長之比為 1：2，
故③正確，④錯誤．
故答案為：①②③．
點評：
此題考查了相似三角形的判定與性質以及三角形中位線的性質，難度不大，注意掌握數形結合思想的應用，要求同學們掌握相似三角形的周長之比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
（2013?蘇州）如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點E，F，G分別從A，B，C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm／s，點G的運動速度為1.5cm／s．當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設點E，F，G運動的時間為t（單位：s）．
(1)當t＝ ▲ s時，四邊形EBFB'為正方形；
(2)若以點E，B，F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；
(3)是否存在實數t，使得點B'與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（2013?淮安）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點P從點B出發，以每秒1個單位長度沿B→C→A→B的方向運動；點Q從點C出發，以每秒2個單位沿C→A→B方向的運動，到達點B后立即原速返回，若P、Q兩點同時運動，相遇后同時停止，設運動時間為ι秒．
（1）當ι=　7　時，點P與點Q相遇；
（2）在點P從點B到點C的運動過程中，當ι為何值時，△PCQ為等腰三角形？
（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，設△PCQ的面積為s平方單位．
①求s與ι之間的函數關系式；
②當s最大時，過點P作直線交AB于點D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，求折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積．
考點：
相似形綜合題．
分析：
（1）首先利用勾股定理求得AC的長度，點P與點Q相遇一定是在P由B到A的過程中，利用方程即可求得；
（2）分Q從C到A的時間是3秒，P從A到C的時間是3秒，則可以分當0≤t≤2時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，和當2＜t≤3時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=PC兩種情況進行討論求得t的值；
（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，P一定在AC上，則PC的長度是t﹣3，然后利用相似三角形的性質即可利用t表示出s的值，然后利用二次函數的性質即可求得t的值，從而求解．
解答：
解：（1）在直角△ABC中，AC==4，
則Q從C到B經過的路程是9，需要的時間是4.5秒．此時P運動的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3+4+5﹣4.5=7.5．
根據題意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7．
（2）Q從C到A的時間是3秒，P從A到C的時間是3秒．
則當0≤t≤2時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1．
當2＜t≤3時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=PC（如圖1）．則Q在PC的中垂線上，作QH⊥AC，則QH=PC．△AQH∽△ABC，
在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，則QH=AQ=．
∵PC=BC﹣BP=3﹣t，
∴×（2t﹣4）=3﹣t，
解得：t=；
（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，P一定在AC上，則PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC邊上的高是：（14﹣2t），
故s=（2t﹣9）×（14﹣2t）=（﹣t2+10t﹣2）．
故當t=5時，s有最大值，此時，P在AC的中點．（如圖2）．
∵沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，
∴PD一定是AC的中垂線．
則AP=AC=2，PD=BC=，
則S△APD=AP?PD=×2×=．
AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4．
則PC邊上的高是：AQ=×4=．
則S△PCQ=PC?=×2×=．
故答案是：7．
點評：
本題是相似三角形的性質，勾股定理、以及方程的綜合應用，正確進行分類討論是關鍵．
（2013?南京）如圖，AD是圓O的切線，切點為A，AB是圓O
的弦。過點B作BC//AD，交圓O于點C，連接AC，過
點C作CD//AB，交AD于點D。連接AO并延長交BC
于點M，交過點C的直線于點P，且(BCP=(ACD。
(1) 判斷直線PC與圓O的位置關系，并說明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的長。
（2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A、C分別在x，y軸的正半軸上．點Q在對角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P．則點P的坐標為　（2，4﹣2）?。?br/>考點：
相似三角形的判定與性質；坐標與圖形性質；正方形的性質．
分析：
根據正方形的對角線等于邊長的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出BP的長，再求出AP，即可得到點P的坐標．
解答：
解：∵四邊形OABC是邊長為2的正方形，
∴OA=OC=2，OB=2，
∵QO=OC，
∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，
∵正方形OABC的邊AB∥OC，
∴△BPQ∽△OCQ，
∴=，
即=，
解得BP=2﹣2，
∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，
∴點P的坐標為（2，4﹣2）．
故答案為：（2，4﹣2）．
點評：
本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的對角線等于邊長的倍的性質，以及坐標與圖形的性質，比較簡單，利用相似三角形的對應邊成比例求出BP的長是解題的關鍵．
（2013?蘇州）如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點E、F、G分別從A、B、C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s，點G的運動速度為1.5cm/s，當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設點E、F、G運動的時間為t（單位：s）．
（1）當t=　2.5　s時，四邊形EBFB′為正方形；
（2）若以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在實數t，使得點B′與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
考點：
相似形綜合題．
分析：
（1）利用正方形的性質，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；
（2）△EBF與△FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計算；
（3）本問為存在型問題．假設存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在．
解答：
解：（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，
即：10﹣t=3t，
解得t=2.5；
（2）分兩種情況，討論如下：
①若△EBF∽△FCG，
則有，即，
解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
則有，即，
解得：t=﹣14﹣2（不合題意，舍去）或t=﹣14+2．
∴當t=2.8s或t=（﹣14+2）s時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似．
（3）假設存在實數t，使得點B′與點O重合．
如圖，過點O作OM⊥BC于點M，則在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，
由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，
即：52+（6﹣3t）2=（3t）2
解得：t=；
過點O作ON⊥AB于點N，則在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，
由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，
即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2
解得：t=3.9．
∵≠3.9，
∴不存在實數t，使得點B′與點O重合．
點評：
本題為運動型綜合題，考查了矩形性質、軸對稱、相似三角形的判定性質、勾股定理、解方程等知識點．題目并不復雜，但需要仔細分析題意，認真作答．第（2）問中，需要分類討論，避免漏解；第（3）問是存在型問題，可以先假設存在，然后通過推導出互相矛盾的結論，從而判定不存在．
　（2013?泰州） 如圖，矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與點C、 D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，PQ的中點為M.
(1)求證：△ADP∽△ABQ；
(2)若AD=10，AB=20，點P在邊CD上運動，設DP=x, BM 2=y，求y與x的函數關系式，并求線段BM長的最小值；
(3)若AD=10, AB=a， DP=8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化，當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍。
解： (1)證明：∵ 四邊形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°
∵∠ABC+∠ABQ=180°
∴∠ABQ=∠ADP =90°
∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90°
∴∠QAB+ ∠BAP=90°
又∵∠PAD+∠BAP=90°
∴∠PAD=∠QAB
在△ADP與△ABQ中
∵
∴△ADP∽△ABQ
（2）如圖，作MN⊥QC，則∠QNM=∠QCD=90°
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC ∴
∵點M是PQ的中點 ∴
∴
又∵
∴
∵△ADP∽△ABQ
∴ ∴
∵
∴
在Rt△MBN中，由勾股定理得：
即：
當即時，線段BM長的最小值.
(3)如圖，當點PQ中點M落在AB上時，此時QB=BC=10
由△ADP∽△ABQ得解得：
∴隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化，
當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍為：
．（2013?南通）若△ABC∽△DEF, △ABC與△DEF的相似比為1∶2，則△ABC與△DEF的周長比為 ▲ ．
（2013?南通）如圖，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數），BC=8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）．連結DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設CE=x，BF=y．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）若m=8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？
（2013?欽州）如圖，DE是△ABC的中位線，則△ADE與△ABC的面積的比是　1：4　．
考點：
相似三角形的判定與性質；三角形中位線定理．3718684
分析：
由中位線可知DE∥BC，且DE=BC；可得△ADE∽△ABC，相似比為1：2；根據相似三角形的面積比是相似比的平方，即得結果．
解答：
解：∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比為1：2，
∵相似三角形的面積比是相似比的平方，
∴△ADE與△ABC的面積的比為1：4（或）．
點評：
本題要熟悉中位線的性質及相似三角形的判定及性質，牢記相似三角形的面積比是相似比的平方．
（2013?包頭）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．
（1）如圖①，當時，求的值；
（2）如圖②當DE平分∠CDB時，求證：AF=OA；
（3）如圖③，當點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG=BG．
考點：
相似形綜合題．
分析：
（1）利用相似三角形的性質求得EF于DF的比值，依據△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以證得；
（3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線，然后根據△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對應邊的比相等即可證得．
解答：
（1）解：∵=，
∴=．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴=，
∴==，
∴==；
（2）證明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根據勾股定理得：AD==OA，
∴AF=OA．
（3）證明：連接OE．
∵點O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點．
∴點O是BD的中點．
又∵點E是BC的中點，
∴OE是△BCD的中位線，
∴OE∥CD，OE=CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴==，
∴=．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴==．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴==，
∴=．
∴CG=BG．
點評：
本題是勾股定理、三角形的中位線定理、以及相似三角形的判定與性質的綜合應用，理解正方形的性質是關鍵．
　
　（2013?北京） 如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上。若測得BE=20m，EC=10m，CD=20m，則河的寬度AB等于
A. 60m B. 40m
C. 30m D. 20m
答案：B
解析：由△EAB∽△EDC，得：，即，解得：AB＝40
（2013?天津）如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長為　7?。?br/>考點：
相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．
分析：
先根據邊長為9，BD=3，求出CD的長度，然后根據∠ADE=60°和等邊三角形的性質，證明△ABD∽△DCE，進而根據相似三角形的對應邊成比例，求得CE的長度，即可求出AE的長度．
解答：
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
則=，
即=，
解得：CE=2，
故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．
故答案為：7．
點評：
此題主要考查了相似三角形的判定和性質以及等邊三角形的性質，根據等邊三角形的性質證得△ABD∽△DCE是解答此題的關鍵．
（2013?天津）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B、C均落在格點上．
（Ⅰ）△ABC的面積等于　6　；
（Ⅱ）若四邊形DEFG是△ABC中所能包含的面積最大的正方形，請你在如圖所示的網格中，用直尺和三角尺畫出該正方形，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）　取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F，則四邊形DEFG即為所求?。?br/>考點：
作圖—相似變換；三角形的面積；正方形的性質．
專題：
計算題．
分析：
（Ⅰ）△ABC以AB為底，高為3個單位，求出面積即可；
（Ⅱ）作出所求的正方形，如圖所示，畫圖方法為：取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F，則四邊形DEFG即為所求
解答：
解：（Ⅰ）△ABC的面積為：×4×3=6；
（Ⅱ）如圖，取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，
與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F，
則四邊形DEFG即為所求．
故答案為：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F，則四邊形DEFG即為所求
點評：
此題考查了作圖﹣位似變換，三角形的面積，以及正方形的性質，作出正確的圖形是解本題的關鍵．
（2013?天津）在平面直角坐標系中，已知點A（﹣2，0），點B（0，4），點E在OB上，且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如圖①，求點E的坐標；
（Ⅱ）如圖②，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′．
①設AA′=m，其中0＜m＜2，試用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值時點E′的坐標；
②當A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標（直接寫出結果即可）．
考點：
相似形綜合題．
分析：
（Ⅰ）根據相似三角形△OAE∽△OBA的對應邊成比例得到=，則易求OE=1，所以E（0，1）；
（Ⅱ）如圖②，連接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，則
A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．所以由二次函數最值的求法知，當m=1即點E′的坐標是（1，1）時，A′B2+BE′2取得最小值．
解答：
解：（Ⅰ）如圖①，∵點A（﹣2，0），點B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，
∴△OAE∽△OBA，
∴=，即=，
解得，OE=1，
∴點E的坐標為（0，1）；
（Ⅱ）①如圖②，連接EE′．
由題設知AA′=m（0＜m＜2），則A′O=2﹣m．
在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=m．
又BE=OB﹣OE=3，
∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，
∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．
當m=1時，A′B2+BE′2可以取得最小值，此時，點E′的坐標是（1，1）．
②如圖②，過點A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．
易證△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
當點B、A′、B′在同一條直線上時，A′B+B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值．
易證△AB′A′∽△OBA′，
∴==，
∴AA′=×2=，
∴EE′=AA′=，
∴點E′的坐標是（，1）．
點評：
本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平移的性質以及勾股定理等知識點．此題難度較大，需要學生對知識有一個系統的掌握．
（2013? 東營）如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x，那么x的值（ B ）
A. 只有1個 B. 可以有2個 C. 可以有3個 D. 有無數個
（2013菏澤）如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（　　）
　 A．16 B．17 C．18 D．19
考點：相似三角形的判定與性質；正方形的性質．
專題：計算題．
分析：由圖可得，S1的邊長為3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答．
解答：解：如圖，設正方形S2的邊長為x，
根據等腰直角三角形的性質知，AC=x，x=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面積為EC2==8；
∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故選B．
點評：本題考查了正方形的性質和等腰直角三角形的性質，考查了學生的讀圖能力．　
（2013菏澤）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當CQ=CE時，EP+BP=　12?。?br/>考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；三角形中位線定理．
分析：延長BQ交射線EF于M，根據三角形的中位線平行于第三邊可得EF∥BC，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠M=∠CBM，再根據角平分線的定義可得∠PBM=∠CBM，從而得到∠M=∠PBM，根據等角對等邊可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根據CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根據△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．
解答：解：如圖，延長BQ交射線EF于M，
∵E、F分別是AB、AC的中點，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分線，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵CQ=CE，
∴EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴==2，
∴EM=2BC=2×6=12，
即EP+BP=12．
故答案為：12．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，角平分線的定義，平行線的性質，延長BQ構造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．
．（2013濟寧）如圖，放映幻燈時，通過光源，把幻燈片上的圖形放大到屏幕上，若光源到幻燈片的距離為20cm，到屏幕的距離為60cm，且幻燈片中的圖形的高度為6cm，則屏幕上圖形的高度為 cm．
考點：相似三角形的應用．
分析：根據題意可畫出圖形，再根據相似三角形的性質對應邊成比例解答．
解答：解：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴=
設屏幕上的小樹高是x，則=
解得x=18cm．故答案為：18．
點評：本題考查相似三角形性質的應用．解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解決問題．
（2013聊城）如圖，D是△ABC的邊BC上一點，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面積為a，則△ACD的面積為（　?。?br/>　 A．a B． C． D．
考點：相似三角形的判定與性質．
分析：首先證明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性質可得：△ACD的面積：△ABC的面積為1：4，因為△ABD的面積為a，進而求出△ACD的面積．
解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=2，
∴△ACD的面積：△ABC的面積為1：4，
∴△ACD的面積：△ABD的面積=1：3，
∵△ABD的面積為a，
∴△ACD的面積為a，
故選C．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質：相似三角形的面積比等于相似比的平方，是中考常見題型．　
（2013泰安）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點，
（1）求證：AC2=AB?AD；
（2）求證：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
考點：相似三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線．
分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AC2=AB?AD；
（2）由E為AB的中點，根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得的值．
解答：（1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AB?AD；
（2）證明：∵E為AB的中點，
∴CE=AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=AB，
∴CE=×6=3，
∵AD=4，
∴，
∴．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．　
（2013?威海）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分線OD交AB于點O，交AC于點D，連接BD，下列結論錯誤的是（　?。?br/>　
A．
∠C=2∠A
B．
BD平分∠ABC
　
C．
S△BCD=S△BOD
D．
點D為線段AC的黃金分割點
考點：
線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；黃金分割
分析：
求出∠C的度數即可判斷A；求出∠ABC和∠ABD的度數，求出∠DBC的度數，即可判斷B；根據三角形面積即可判斷C；求出△DBC∽△CAB，得出BC2=BC?AC，求出AD=BC，即可判斷D．
解答：
解：A、∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正確，故本選項錯誤；
B、∵DO是AB垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分線，正確，故本選項錯誤；
C，根據已知不能推出△BCD的面積和△BOD面積相等，錯誤，故本選項正確；
D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，
∴△DBC∽△CAB，
∴=，
∴BC2=BC?AC，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴BC=BD，
∵AD=BD，
∴AD=BC，
∴AD2=CD?AC，
即點D是AC的黃金分割點，正確，故本選項錯誤；
故選C．
點評：
本題考查了相似三角形的性質和判定，等腰三角形性質，黃金分割點，線段垂直平分線性質的應用，主要考查學生的推理能力．
　
（2013?威海）如圖，AC⊥CD，垂足為點C，BD⊥CD，垂足為點D，AB與CD交于點O．若AC=1，BD=2，CD=4，則AB=　5?。?br/>考點：
相似三角形的判定與性質；勾股定理
分析：
首先過點B作BE∥CD，交AC的延長線于點E，易證得四邊形BDCE是矩形，然后由勾股定理求得答案．
解答：
解：過點B作BE∥CD，交AC的延長線于點E，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，∠D=90°，
∴四邊形BDCE是平行四邊形，
∴平行四邊形BDCE是矩形，
∴CE=BD=2，BE=CD=4，∠E=90°，
∴AE=AC+CE=1+2=3，
∴在Rt△ABE中，AB==5．
故答案為：5．
點評：
此題考查了矩形的判定與性質以及勾股定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．
（2013? 濰坊）如圖，直角三角形中，，， ，在線段上取一點，作交于點.現將沿折疊，使點落在線段上，對應點記為；的中點的對應點記為.若∽，則=__________.
．（2013? 淄博）在△ABC中，P是AB上的動點（P異于A，B），過點P的一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線．如圖，∠A=36°，AB=AC，當點P在AC的垂直平分線上時，過點P的△ABC的相似線最多有　　　條.
（2013? 麗水）如圖1，點A是軸正半軸上的動點，點B坐標為（0，4），M是線段AB的中點，將點M繞點A順時針方向旋轉90°得到點C，過點C作軸的垂線，垂足為F，過點B作軸的垂線與直線CF相交于點E，點D點A關于直線CF的對稱點，連結AC，BC，CD，設點A的橫坐標為
（1）當時，求CF的長；
（2）①當為何值時，點C落在線段BD上？
②設△BCE的面積為S，求S與之間的函數關系式；
（3）如圖2，當點C與點E重合時，△CDF沿軸左右平移得到△C’D’F’，再將A，B，C’，D’為頂點的四邊形沿C’F’剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形，請直接寫出所有符合上述條件的點C’的坐標。
（2013?寧波）如圖，等腰直角三角形ABC頂點A在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函數y=（x＞0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E．連結DE，當△BDE∽△BCA時，點E的坐標為?。?，）?。?br/>考點：
反比例函數綜合題．
分析：
由相似三角形的對應角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根據反比例函數圖象上點的坐標特征可設E（a，），D（b，），由雙曲線的對稱性可以求得ab=3；最后，將其代入直線AD的解析式即可求得a的值．
解答：
解：如圖，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函數y=（x＞0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E，
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可設E（a，），D（b，），
∴C（a，0），B（a，2），A（2﹣a，0），
∴易求直線AB的解析式是：y=x+2﹣a．
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直線y=x與直線DE垂直，
∴點D、E關于直線y=x對稱，則=，即ab=3．
又∵點D在直線AB上，
∴=b+2﹣a，即2a2﹣2a﹣3=0，
解得，a=，
∴點E的坐標是（，）．
故答案是：（，）．
點評：
本題綜合考查了相似三角形的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象上的點的坐標特征、待定系數法求一次函數的解析式．解題時，注意雙曲線的對稱性的應用．
（2013? 衢州）提出問題
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN. 求證：∠ABC=∠ACN.
類比探究
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由.
拓展延伸
（3）如圖3，在等腰△ABC中， BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN =∠ABC. 連結CN. 試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由.
（1）證明：∵等邊△ABC，等邊△AMN
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°
∴∠BAM=∠CAN …………………………1分
∴△BAM≌△CAN（SAS） …………………………2分
∴∠ABC=∠ACN …………………………3分
（2）解：結論∠ABC=∠ACN仍成立 . ………………………4分
理由如下：∵等邊△ABC，等邊△AMN
∴AB=AC, AM=AN， ∠BAC=∠MAN=60°
∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM≌△CAN ………………………5分
∴∠ABC=∠ACN ………………………6分
（3）解：∠ABC=∠ACN ………………………7分
理由如下：∵BA=BC， MA=MN，頂角∠ABC =∠AMN
∴底角∠BAC=∠MAN ∴△ABC∽△AMN， …………………8分
∴ 又∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN =∠MAN-∠MAC
∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM∽△CAN ……………9分
∴∠ABC=∠ACN ………………………10分
（2013? 衢州）在平面直角坐標系O中，過原點O及點A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D.點P從點O出發，以每秒個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動.設移動時間為t秒.
（1）當點P移動到點D時，求出此時t的值；
（2）當t為何值時，△PQB為直角三角形；
（3）已知過O、P、Q三點的拋物線解析式為（）.問是否存在某一時刻t，將△PQB繞某點旋轉180°后，三個對應頂點恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.
解：（1）∵矩形OABC， ∴∠AOC=∠OAB=90°
∵OD平分∠AOC ∴∠AOD=∠DOQ=45°……………………………………1分
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45° ∴AO=AD=2， OD= ……2分
∴……………………………3分
（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.
解法1：如圖1，作PG⊥OC于點G，在Rt△POG中，
∵∠POQ =45°，∴ ∠OPG =45° ∵OP=，∴OG=PG=t,
∴點P(t，,t)
又∵Q（2t，0），B（6，2），根據勾股定理可得:
，，………4分
①若∠PQB=90°，則有,
即：，
整理得：，解得（舍去），
∴ ………6分
②若∠PBQ=90°，則有,
∴，
整理得，解得.
∴當t=2或或時，△PQB為直角三角形. .… 8分
解法2：①如圖2，當∠PQB=90°時，
易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD ∴∠BQC=∠POQ=45°
可得QC=BC=2 ∴OQ=4 ∴2t=4 ∴t=2 ……………5分
②如圖3，當∠PBQ=90°時，若點Q在OC上，
作PN⊥x軸于點N，交AB于點M，
則易證∠PBM=∠CBQ∴△PMB∽△QCB
∴，∴，∴， 化簡得，
解得 ……… 6分∴ ………………… 7分
③如圖4，當∠PBQ=90°時，若點Q在OC的延長線上，
作PN⊥x軸于點N，交AB延長線于點M，
則易證∠BPM=∠MBQ=∠BQC ∴△PMB∽△QCB
∴，∴，
∴，化簡得，
解得 ∴ ……………… 8分
（3）存在這樣的t值，理由如下：將△PQB繞某點旋轉180°，三個對應頂點恰好都落在拋物線上，則旋轉中心為PQ中點，此時四邊形為平行四邊形. ………………9分
∵PO=PQ ，由P（t,t），Q（2t，0），知旋轉中心坐標可表示為（）………………10分
∵點B坐標為（6,2）， ∴點的坐標為（3t-6,t-2）， .………………11分
代入，得： ，解得 ……12分
（另解：第二種情況也可以直接由下面方法求解：當點P與點D重合時，PB=4，OQ=4，又PB ∥OQ，∴四邊形為平行四邊形，此時繞PQ中點旋轉180°，點B的對應點恰好落在O處，點即點O.由（1）知，此時t=2. （說明：解得此t值，可得2分.）
（2013?紹興）若一個矩形的一邊是另一邊的兩倍，則稱這個矩形為方形，如圖1，矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形．
（1）設a，b是方形的一組鄰邊長，寫出a，b的值（一組即可）．
（2）在△ABC中，將AB，AC分別五等分，連結兩邊對應的等分點，以這些連結為一邊作矩形，使這些矩形的邊B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的對邊分別在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如圖2所示．
①若BC=25，BC邊上的高為20，判斷以B1C1為一邊的矩形是不是方形？為什么？
②若以B3C3為一邊的矩形為方形，求BC與BC邊上的高之比．
考點：
四邊形綜合題．3718684
分析：
（1）答案不唯一，根據已知舉出即可；
（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出==，==，==，==，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，根據已知判斷即可；
②設AM=h，根據△ABC∽△AB3C3，得出==，求出MN=GN=GH=HE=h，分為兩種情況：當B3C3=2×h，時，當B3C3=×h時，代入求出即可．
解答：
解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；
（2）①以B1C1為一邊的矩形不是方形．
理由是：過A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，則AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，
∵由矩形的性質得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，
∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，
∴=，==，==，==，
∵AM=20，BC=25，
∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，
∴MN=GN=GH=HE=4，
∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4，
即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，
∴以B1C1為一邊的矩形不是方形；
②∵以B3C3為一邊的矩形為方形，設AM=h，
∴△ABC∽△AB3C3，
∴==，
則AG=h，
∴MN=GN=GH=HE=h，
當B3C3=2×h，時，=；
當B3C3=×h時，=．
綜合上述：BC與BC邊上的高之比是或．
點評：
本題考查了相似三角形的性質和判定和矩形的性質的應用，注意：相似三角形的對應高的比等于相似比．
（2013?紹興）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．
（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．
（2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
考點：
相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質．3718684
分析：
（1）根據同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根據正弦函數的定義得出EQ=BE，在△AEH中，根據余弦函數的定義得出EH=AE，又BE=AE，進而求出EF：EG的值．
解答：
（1）證明：如圖1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．
∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，
∵點E為AB的中點，∴AB=2BE，
∴AC=BE．
在△ACD與△BEF中，
，
∴△ACD≌△BEF，
∴CD=EF，即EF=CD；
（2）解：如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四邊形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH，
∴EF：EG=EQ：EH．
∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sin∠B==，
∴EQ=BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cos∠AEH==，
∴EH=AE．
∵點E為AB的中點，∴BE=AE，
∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．
點評：
本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度．解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形．
2013? 臺州）如圖，在⊿ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且，則的值為（ ）
（2013?佛山）網格圖中每個方格都是邊長為1的正方形．
若A，B，C，D，E，F都是格點，
試說明△ABC∽△DEF．
（2013?廣東）如題22圖，矩形ABCD中,以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF,使得另一邊EF過原矩形的頂點C.
(1)設Rt△CBD的面積為S1, Rt△BFC的面積為S2, Rt△DCE的面積為S3 ,
則S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)；
（2）寫出題22圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明.
（1） S1= S2+ S3；
（2）△BCF∽△DBC∽△CDE;
選△BCF∽△CDE
證明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且點C在邊EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°
在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90°
∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.
（2013?珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．
（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）求證：AE=CP；
（3）當，BP′=5時，求線段AB的長．
考點：
全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質．
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）根據旋轉的性質可得AP=AP′，根據等邊對等角的性質可得∠APP′=∠AP′P，再根據等角的余角相等證明即可；
（2）過點P作PD⊥AB于D，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=DP，從而得證；
（3）設CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
解答：
（1）證明：∵AP′是AP旋轉得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（對頂角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；
（3）解：∵=，
∴設CP=3k，PE=2k，
則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E==4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，
∵∠BPC=∠EPP′（對頂角相等），
∴∠CBP=∠P′PE，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴=，
即=，
解得P′A=AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+AB2=（5）2，
解得AB=10．
點評：
本題考查了全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，（2）作輔助線構造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關鍵，（3）利用相似三角形對應邊成比例求出P′A=AB是解題的關鍵．
（2013?哈爾濱） 如圖，在△ABC中，M、N分別是邊AB、AC的中點，則△AMN的面積與四邊形MBCN的面積比為( )．
(A) (B) (C) (D)
（2013?哈爾濱）如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，A點的坐標為(3，0)，以0A為邊作等邊三角形OAB，點B在第一象限，過點B作AB的垂線交x軸于點C．動點P從0點出發沿0C向C點運動，動點Q從B點出發沿BA向A點運動，P,Q兩點同時出發，速度均為1個單位／秒。設運動時間為t秒．
(1)求線段BC的長；
(2)連接PQ交線段OB于點E，過點E作x軸的平行線交線段BC于點F。設線段EF的長為m，求m與t之間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍：
(3)在(2)的條件下，將△BEF繞點B逆時針旋轉得到△BE1F1,使點E的對應點E1落在線段AB上，點F的對應點是F1，E1F1交x軸于點G，連接PF、QG，當t為何值時，2BQ-PF= QG?
（2013?哈爾濱）已知：△ABD和△CBD關于直線BD對稱(點A的對稱點是點C)，點E、F分別是線段BC
和線段BD上的點，且點F在線段EC的垂直平分線上，連接AF、AE，AE交BD于點G．
(1)如圖l，求證：∠EAF=∠ABD；
(2)如圖2，當AB=AD時，M是線段AG上一點，連接BM、ED、MF，MF的延長線交ED于點N，∠MBF= ∠BAF，AF=AD，試探究線段FM和FN之間的數量關系，并證明你的結論．
（2013?牡丹江）如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BN=PC．其中正確的個數是（　　）
　
A．
1個
B．
2個
C．
3個
D．
4個
考點：
相似三角形的判定與性質；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．
分析：
根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；
先證明△ABM∽△ACN，再根據相似三角形的對應邊成比例可判斷②正確；
先根據直角三角形兩銳角互余的性質求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據三角形的內角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；
當∠ABC=45°時，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN=PB=PC，判斷④正確．
解答：
解：①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，
∴PM=BC，PN=BC，
∴PM=PN，正確；
②在△ABM與△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴，正確；
③∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等邊三角形，正確；
④當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P為BC邊的中點，
∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形
∴BN=PB=PC，正確．
故選D．
點評：
本題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，仔細分析圖形并熟練掌握性質是解題的關鍵．
（2013?牡丹江）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD，請添加一個適當的條件　∠ACD=∠ABC（答案不唯一）　，使△ABC∽△ACD．（只填一個即可）
考點：
相似三角形的判定．
專題：
開放型．
分析：
相似三角形的判定有三種方法：
①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；
②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；
③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
由此可得出可添加的條件．
解答：
解：由題意得，∠A=∠A（公共角），
則可添加：∠ACD=∠ABC，利用兩角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可為：∠ACD=∠ABC．
點評：
本題考查了相似三角形的判定，解答本題的關鍵是熟練掌握三角形相似的三種判定方法，本題答案不唯一．
（2013?烏魯木齊）如圖，AB∥GH∥CD，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB=2，CD=3，則GH的長為　　．
考點：
平行線分線段成比例．
分析：
根據平行線分線段成比例定理，由AB∥GH，得出=，由GH∥CD，得出=，將兩個式子相加，即可求出GH的長．
解答：
解：∵AB∥GH，
∴=，即=①，
∵GH∥CD，
∴=，即=②，
①+②，得+=+，
∵CH+BH=BC，
∴+=1，
解得GH=．
故答案為．
點評：
本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練運用等式的性質進行計算．本題難度適中．
（2013?安徽）如圖，在直角坐標系中，已知點P0的坐標為（1，0），將線段OP0按逆時針方向旋轉45°，將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1；再將線段OP1按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2；如此下去，得到線段OP3，OP4，…，OPn（n為正整數）
（1）求點P6的坐標；（2）求△P5OP6的面積；
（3）我們規定：把點Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，…）的橫坐標xn、縱坐標yn都取絕對值后得到的新坐標（|xn|，| yn|）稱之為點Pn的“絕對坐標”．根據圖中點Pn的分布規律，請你猜想點Pn的“絕對坐標”，并寫出來．
1）根據旋轉規律，點P6落在y軸的負半軸，而點Pn到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的倍，故其坐標為P6（0，26），即P6（0，64）；
（2）由已知可得，△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn－1OPn．
設P1（x1，y1），則y1=2sin45°=，∴S△P0OP1=×1×=，又
（3）由題意知，OP0旋轉次之后回到x軸正半軸，在這次中，點Pn分別落在坐標象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點絕對坐標的橫、縱坐標均為非負數，因此，點Pn的坐標可分三類情況：令旋轉次數為n，
①當n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數），點Pn落在x軸上，此時，點Pn的絕對坐標為（2n，0）；
②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數），點Pn落在各象限的平分線上，此時，點Pn的絕對坐標為（×2n，×2n），即（2n—1，2n—1）；
③當n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數），點Pn落在y軸上，
此時，點Pn的絕對坐標為（0，2n）．
（2013?上海）如圖1，已知在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點，
DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于（ ）
（A） 5∶8 ； （B）3∶8 ； （C） 3∶5 ； （D）2∶5．
（2013?邵陽）如圖所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，點P是△ABC的外角∠BCN的角平分線上一個動點，點P′是點P關于直線BC的對稱點，連結PP′交BC于點M，BP′交AC于D，連結BP、AP′、CP′．
（1）若四邊形BPCP′為菱形，求BM的長；
（2）若△BMP′∽△ABC，求BM的長；
（3）若△ABD為等腰三角形，求△ABD的面積．
考點：
相似形綜合題．
分析：
（1）由菱形的性質可知，點M為BC的中點，所以BM可求；
（2）△ABC為等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，則△BMP′必為等腰直角三角形．證明△BMP′、△BMP、△BPP′均為等腰直角三角形，則BP=BP′；證明△BCP為等腰三角形，BP=BC，從而BP′=BC=4，進而求出BM的長度；
（3）△ABD為等腰三角形，有3種情形，需要分類討論計算．
解答：
解：（1）∵四邊形BPCP′為菱形，而菱形的對角線互相垂直平分，
∴點M為BC的中點，
∴BM=BC=×4=2．
（2）△ABC為等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，
則△BMP′必為等腰直角三角形，BM=MP′．
由對稱軸可知，MP=MP′，PP′⊥BC，則△BMP為等腰直角三角形，
∴△BPP′為等腰直角三角形，BP′=BP．
∵∠CBP=45°，∠BCP=（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠BPC=180°﹣∠CBP﹣∠BCP=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠BPC=∠BCP，
∴BP=BC=4，
∴BP′=4．
在等腰直角三角形BMP′中，斜邊BP′=4，
∴BM=BP′=．
（3）△ABD為等腰三角形，有3種情形：
①若AD=BD，如題圖②所示．
此時△ABD為等腰直角三角形，斜邊AB=4，
∴S△ABD=AD?BD=××=4；
②若AD=AB，如下圖所示：
過點D作DE⊥AB于點E，則△ADE為等腰直角三角形，
∴DE=AD=AB=
∴S△ABD=AB?DE=×4×=；
③若AB=BD，則點D與點C重合，可知此時點P、點P′、點M均與點C重合，
∴S△ABD=S△ABC=AB?BC=×4×4=8．
點評：
本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的性質、等腰直角三角形、等腰三角形、菱形、勾股定理等知識點，難度不大．第（3）問考查了分類討論的數學思想，是本題的難點．
　（2013?柳州）小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米（如圖），然后在A處樹立一根高2米的標桿，測得標桿的影長AC為3米，則樓高為（　?。?br/>　
A．
10米
B．
12米
C．
15米
D．
22.5米
考點：
相似三角形的應用．
專題：
應用題．
分析：
在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似．根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求解．
解答：
解：∵=
即=，
∴樓高=10米．
故選A．
點評：
本題考查了相似三角形在測量高度時的應用，解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解決問題．
（2013?臨沂）如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC，BD的交點處，以點P為旋轉中心轉動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點分別為E，F．
（1）當PE⊥AB，PF⊥BC時，如圖1，則的值為　??；
（2）現將三角板繞點P逆時針旋轉α（0°＜α＜60°）角，如圖2，求的值；
（3）在（2）的基礎上繼續旋轉，當60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2時，如圖3，的值是否變化？證明你的結論．
考點：
幾何變換綜合題
分析：
（1）證明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；
（2）如答圖1所示，作輔助線，構造直角三角形，證明△PME∽△PNF，并利用（1）的結論，求得的值；
（3）如答圖2所示，作輔助線，構造直角三角形，首先證明△APM∽△PCN，求得的值；然后證明△PME∽△PNF，從而由求得的值．與（1）（2）問相比較，的值發生了變化．
解答：
解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA=PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE=∠CPF．
∵在△APE與△PCF中，
∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE=CF．
在Rt△PCF中，=tan30°=，
∴=．
（2）如答圖1，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，則PM⊥PN．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴．
由（1）知，=，
∴=．
（3）答：變化．
證明：如答圖2，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，則PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．
∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴，得CN=2PM．
在Rt△PCN中，=tan30°=，∴=．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴=．
∴的值發生變化．
點評：
本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、解直角三角形等知識點．本題三問的解題思路是一致的：即都是直接或作輔助線構造直角三角形，通過相似三角形或全等三角形解決問題．
（2013?重慶B）已知∽，若與的相似比為3：4，則與的面積之比為
A.4：3 B.3：4 C.16：9 D.9：16

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