資源簡介

高中數學建模的三種教學形式
數學建模的教學實踐在我國己有十多年的探索了,新的國家課程標準和新的教材都將數學建模內容列入學生必修內容。在探究性學習的探索中，一些學校選擇了數學建模做為突破口；在進行數學課題學習的教學實踐中，數學建模是其中的一種重要形式。近年來，我校為配合上海市中學生數學知識應用競賽，對數學建模教學進行了積極的探索，針對人為地將數學建模教學與曰常課堂教學相割裂、教師和學生對數學建模這種具有多樣性、新奇性的學習形式存在的畏難心理等困難，我校在數學建模的教學中主要采用了以下循序漸近的三個不同層次的教學形式來克服以上的困難。
研究方法和過程
一、常規課堂教學中的數學建模教學
廣義地說，一切數學概念、數學理論體系、數學公式、方程式和算法系統都可以稱為數學模形。如“橢圓的方程及圖象”就是一個數學模型，“用‘二分法’求方程的一個近似解”也是一個數學模型。針對學生在數學建模中不會對實際問題進行抽象、簡化、假設變量和參數，形成明確的數學框架的困難，我們在常規的數學課堂教學中，有意識地選擇合適的教學內容，模仿實際問題中建立數學模型的過程，來處理教材中常規的學習內容，從而為學生由實際問題來建立模型奠定基礎。
譬如,對于二面角內容的教學,在學生原有生活經歷中,有水壩面和水平面成適當的角的印象;有半開著的門與墻面形成角的印象,那么我們在讓學生形成二面角的概念時,應當從學生已有的這些認識中,舍棄具體的水壩、門等對象,而抽象出“從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角”，在這里，半平面是相對于水壩攔水面、門等的具體對象而進行合理假設得到的理想化對象，而在進一步研究如何度量一個二面角的大小時，我們是讓學生提出各種方案，然后通過討論、比較各方案所定義的幾何量對給定的二面角是不是不變量，同時又簡潔表達了二面角中兩個半平面閉合程度的大小。以上關于二面角的概念及其度量方法的教學過程，實際上就是建立數學模型并研究模型的過程。
這個教學案例說明，在常規的曰常課堂教學中，完全可以選定適當內容，創設出數學建模的教學情景來處理教學內容，從而為學生真正面對實際問題來建立模型、研究模型創造條件。
二、教師提供問題的數學建模教學
教師提供問題的數學建模，基本上同目前開展的大學生、中學生數學建模競賽中需要完成的建模任務相同。這種形式的數學建模學生不需要自己選定實際問題研究，而是由教師選定適合于學生水平的實際問題呈現給學生，在教師的啟發、引導下，學生小組通過討論，自己完成模型選擇和建立、計算、驗證等過程,最后用小論文的形式呈現自己的研究成果,這種形式的數學建模學生已真正接觸到實際問題,并經歷建模的全過程。
經過了日常課堂教學中的數學建模教學,學生對什么是數學建模已有了一定的認識,并已經歷了由具體問題抽象出明確數學框架的鍛練,因此,我們在這種形式的數學建模教學中,主要是加強以下幾個方面的教學。
1．提供的實際問題必須難易適度,應當適合于學生的認知水平。對于較難的問題,我們往往給出必要提示,如啟發學生通過提出合符常理的假設來將復雜的問題化為可以建模的問題;通過提示學生設定相關變量來達到使模型容易建立等。
教師可從選定的實際問題、模型假設、變量設定等方面來控制難度，其中模型假設和變量設定是直接影響到模型建立的關鍵因素，對此關鍵點教師沒計適當的教學形式，是“教師給定問題型”建模教學的關鍵。
2.在“教師給定問題型”的數學建模的實踐中，學生將經歷建模的全過程，其中在模型的求解這一環節，往往需要借助計算機選擇一個合適的數學軟件平合，通過數學實驗來求解模型。我校近年來，對這一環節的教學比較重視，每年都對將參加上海市中學生數學建模夏令營的學生團隊進行數學軟件Matlab的使用輔導，通過使學生精通一種軟件的使用，再介紹學生自己鉆研其它幾種數學軟件的使用，從而為學生正確求出模型的解，鋪平了道路。
3.在近五年對學生的輔導過程中，我們感到以下一些問題可用來訓練學生的數學建模能力，它們是：（1）路橋問題，（2）限定區域的駕駛問題，（3）交通信號燈管理問題，（4）球的內接多面體問題，（5）螺旋線問題，（6）最短路問題，（7）最小連接問題，（8）選址問題，（9）面包進貨問題等。
4.在“教師給定問題型”的數學建模實踐中，學生的研究結果，必須會用論文進行表達，會表達自己的研究思路及結果，是一個學生綜合素質的體現。由于數學建模論文的撰寫有一定的格式要求，當然這種格式要求是為了更好地使作者展現自己的研究結果，也是對論文質量的保證。所以，我們在教學中對學生論文撰寫的格式進行了專門的輔導，一般地說，中學生的數學建模論文格式，應當具有以下的形式。
（一） 論文摘要：做什么？用什么方法？借助什么工具？得出什么結論？為什么用這個工具？所得結果還有何推廣應用？
關鍵詞：用以體現論文主要特色的幾個詞匯。
（二） 問題的重述：用自己的語言將問題重述一遍，有自己的理解。
（三） 必要的假設或假定：（1）根據實際情況假定，要合乎常理，簡化原始問題；（2）變量的定義和聲明。
（四） 問題分析：變量之間會有什么關系？已知了什么？需在數學上解決什么？
（五） 模型：能夠寫成數學表達式的一定要寫，可用幾種不同的模型。
（六） 模型求解：用各種手段、包括借助計算器和計算機得出結論。
（七） 問題的討論：模型及使用的工具的優缺點（準確性、局限性），所得結論和所用方法可否延伸到其他領域。
（八） 附錄：引用的原始資料，編寫的程序等。
從以上八個方面對學生進行輔導，提出要求，將會有效保證學生正確用論文表達自己的研究結果。
三，學生自選問題的數學建模教學。
有了前面兩種形式的建模教學。學生具備了一定的建模水平后，就可進入學生自選問題的數學建模教學階段了。這一階段是要求學生依據自己已掌握的建模知識和具備的經驗，自己選定一個實際問題，通過建立數學模型加以解決，最后以論文的形式反映自已的研究成果。這一階段的數學建模教學實踐，若開展的好，則廣大學生在解決實際問題中所表現出的挑戰困難的勇氣和豐富的想象力都將是我們老師始料未及的。近年來我校在這種形式的建模教學實踐中，主要是加強了如下三個方面的指導。
數學建模、高中數學、應用數學來源于實際生活，解決現實生活中的問題，涉及到如何把實際問題轉化為數學問題。數學就是對于模型的研究。 在高中數學中，應用題與實際生活聯系最為密切，是實際問題的一個縮影，解答問題主要表現在建立數學模型。如果在數學應用題教學中能夠運用好數學建模這個杠桿，不僅能提高解題速度和解決問題，還培養學生的創新能力和思維能力。 數學建模并非一朝一夕的事，教師針對任何問題都要引導學生用數學思維去觀察、分析，然后從繁瑣的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，從而解決問題。通過教師長期的數學建模思想使得學生在潛移默化中養成數學建模的意識，激發學生研究數學的興趣，提高他們數學建模的能力。 數學模型解題方法貫穿整個教學過程，從小學到大學無一例外，熟練掌握和運用數學建模，是培養學生運用數學知識分析、解決問題能力的關鍵。只有學生能夠充分理解題意，然后才能從中洞察出題目的要點、用意，最后才可以經過簡化、引進變量等把實際問題轉化為數學表達式，形成數學模型思想。只有各方面的能力加強了，才能對知識舉一反三、觸類旁通，正所謂“授人以魚不如授人以漁”。數學建模教學與數學應用意識隨筆
高中數學人教A版數學Ⅲ學生要學習算法初步、統計、概率。算法在科學技術、社會發展中發揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活 的許多方面，算法思想已經成為現代人應具備的一種數學素養，統計是研究如何合理收集、整理、分析數據的學科，它可以為人們制定決策提供 依據。概率是研究隨機現象的科學它為人們認識客觀世界提供了重要 的思維模式和解決問題的方法，同時為統計學的發展提供了理論基礎。為增強學生應用數學的意識，切實培養學生解決實際問題的能力，分析了高中數學建模的必要性，并通過對高中學生數學建模能力的調查分析，發現學生數學應用及數學建模方面存在的問題，并針對問題提出了關于高中進行數學建模教學的幾點意見。
高中數學人教A版數學Ⅲ學生要學習算法初步、統計、概率。算法在科學技術、社會發展中發揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活 的許多方面，算法思想已經成為現代人應具備的一種數學素養，統計是研究如何合理收集、整理、分析數據的學科，它可以為人們制定決策提供 依據。概率是研究隨機現象的科學它為人們認識客觀世界提供了重要 的思維模式和解決問題的方法，同時為統計學的發展提供了理論基礎。數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學，在它產生和發展的歷史長河中，一直是和各種各樣的應用問題緊密相關的。數學的特點不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴密性，結論的明確性和體系的完整性，而且在于它應用的廣泛性，自進入21世紀的知識經濟時代以來，數學科學的地位發生了巨大的變化，它正在從國家經濟和科技的后備走到了前沿。經濟發展的全球化、計算機的迅猛發展，數學理論與方法的不斷擴充使得數學已成為當代高科技的一個重要組成部分，數學已成為一種能夠普遍實施的技術。培養學生應用
數學的意識和能力也成為數學教學的一個重要方面。
目前國際數學界普遍贊同通過開展數學建模活動和在數學教學中推廣使用現代化技術來推動數學教育改革。美國、德國、日本等發達國家普遍都十分重視數學建模教學，把數學建模活動從大學生向中學生轉移是近年國際數學教育發展的一種趨勢?！拔覈臄祵W教育在很長一段時間內對于數學與實際、數學與其它學科的聯系未能給予充分的重視，因此，高中數學在數學應用和聯系實際方面需要大力加強?！蔽覈胀ǜ咧行碌臄祵W教學大綱中也明確提出要切實培養學生解決實際問題的能力，要求增強應用數學的意識，能初步運用數學模型解決實際問題。這些要求不僅符合數學本身發展的需要，也是社會發展的需要。因此我們的數學教學不僅要使學生知道許多重要的數學概念、方法和結論，而且要提高學生的思維能力，培養學生自覺地運用數學知識去處理和解決日常生活中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質。而數學建模通過"從實際情境中抽象出數學問題，求解數學模型，回到現實中進行檢驗，必要時修改模型使之更切合實際"這一過程，促使學生圍繞實際問題查閱資料、收集信息、整理加工、獲取新知識，從而拓寬了學生的知識面和能力。數學建模將各種知識綜合應用于解決實際問題中，是培養和提高學生應用所學知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一，是改善學生學習方式的突破口。因此有計劃地開展數學建?；顒?，將有效地培養學生的能力，提高學生的綜合素質。
數學建?？梢蕴岣邔W生的學習興趣，培養學生不怕吃苦、敢于戰勝困難的堅強意志，培養自律、團結的優秀品質，培養正確的數學觀。具體的調查表明，大部分學生對數學建模比較感興趣，并不同程度地促進了他們對于數學及其他課程的學習．有許多學生認為："數學源于生活，生活依靠數學，平時做的題都是理論性較強，實際性較弱的題，都是在理想化狀態下進行討論，而數學建模問題貼近生活，充滿趣味性"； "數學建模使我更深切地感受到數學與實際的聯系，感受到數學問題的廣泛，使我們對于學習數學的重要性理解得更為深刻"。數學建模能培養學生應用數學進行分析、推理、證明和計算的能力；用數學語言表達實際問題及用普通人能理解的語言表達數學結果的能力；應用計算機及相應數學軟件的能力；獨立查找文獻，自學的能力，組織、協調、管理的能力；創造力、想象力、聯想力和洞察力。由此，在高中數學教學中滲透數學建模知識是很有必要的。
高中數學教學必須高度重視數學建模。數學建模需要弄清兩個關鍵概念：一是數學模型；二是數學建模。
數學建模要防止經驗化、膚淺化，要防止在不理解何為數學建模的情況下空泛地談數學建模。從數學模型的概念理解，怎樣研究數學建模與高中數學相結合。
數學建模：就是通過計算得到的結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗，來建立數學模型的全過程。當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調查研究、了解對象信息、作出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，用數學的符號和語言作表述來建立數學模型。
數學模型（Mathematical Model）是一種模擬，是用數學符號，數學式子，程序，圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。數學模型一般并非現實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現實問題深入細微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數學知識。這種應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模（MathematicalModeling）。
不論是用數學方法在科技和生產領域解決哪類實際問題，還是與其它學科相結合形成交叉學科，首要的和關鍵的一步是建立研究對象的數學模型，并加以計算求解（通常借助計算機）；數學建模和計算機技術在知識經濟時代的作用可謂是如虎添翼。
數學建模教學與數學應用意識隨筆
高中數學人教A版數學Ⅲ學生要學習算法初步、統計、概率。算法在科學技術、社會發展中發揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活 的許多方面，算法思想已經成為現代人應具備的一種數學素養，統計是研究如何合理收集、整理、分析數據的學科，它可以為人們制定決策提供 依據。概率是研究隨機現象的科學它為人們認識客觀世界提供了重要 的思維模式和解決問題的方法，同時為統計學的發展提供了理論基礎。為增強學生應用數學的意識，切實培養學生解決實際問題的能力，分析了高中數學建模的必要性，并通過對高中學生數學建模能力的調查分析，發現學生數學應用及數學建模方面存在的問題，并針對問題提出了關于高中進行數學建模教學的幾點意見。
高中數學人教A版數學Ⅲ學生要學習算法初步、統計、概率。算法在科學技術、社會發展中發揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活 的許多方面，算法思想已經成為現代人應具備的一種數學素養，統計是研究如何合理收集、整理、分析數據的學科，它可以為人們制定決策提供 依據。概率是研究隨機現象的科學它為人們認識客觀世界提供了重要 的思維模式和解決問題的方法，同時為統計學的發展提供了理論基礎。數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學，在它產生和發展的歷史長河中，一直是和各種各樣的應用問題緊密相關的。數學的特點不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴密性，結論的明確性和體系的完整性，而且在于它應用的廣泛性，自進入21世紀的知識經濟時代以來，數學科學的地位發生了巨大的變化，它正在從國家經濟和科技的后備走到了前沿。經濟發展的全球化、計算機的迅猛發展，數學理論與方法的不斷擴充使得數學已成為當代高科技的一個重要組成部分，數學已成為一種能夠普遍實施的技術。培養學生應用
數學的意識和能力也成為數學教學的一個重要方面。
目前國際數學界普遍贊同通過開展數學建?；顒雍驮跀祵W教學中推廣使用現代化技術來推動數學教育改革。美國、德國、日本等發達國家普遍都十分重視數學建模教學，把數學建?；顒訌拇髮W生向中學生轉移是近年國際數學教育發展的一種趨勢?！拔覈臄祵W教育在很長一段時間內對于數學與實際、數學與其它學科的聯系未能給予充分的重視，因此，高中數學在數學應用和聯系實際方面需要大力加強。”我國普通高中新的數學教學大綱中也明確提出要切實培養學生解決實際問題的能力，要求增強應用數學的意識，能初步運用數學模型解決實際問題。這些要求不僅符合數學本身發展的需要，也是社會發展的需要。因此我們的數學教學不僅要使學生知道許多重要的數學概念、方法和結論，而且要提高學生的思維能力，培養學生自覺地運用數學知識去處理和解決日常生活中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質。而數學建模通過"從實際情境中抽象出數學問題，求解數學模型，回到現實中進行檢驗，必要時修改模型使之更切合實際"這一過程，促使學生圍繞實際問題查閱資料、收集信息、整理加工、獲取新知識，從而拓寬了學生的知識面和能力。數學建模將各種知識綜合應用于解決實際問題中，是培養和提高學生應用所學知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一，是改善學生學習方式的突破口。因此有計劃地開展數學建?；顒?，將有效地培養學生的能力，提高學生的綜合素質。
數學建?？梢蕴岣邔W生的學習興趣，培養學生不怕吃苦、敢于戰勝困難的堅強意志，培養自律、團結的優秀品質，培養正確的數學觀。具體的調查表明，大部分學生對數學建模比較感興趣，并不同程度地促進了他們對于數學及其他課程的學習．有許多學生認為："數學源于生活，生活依靠數學，平時做的題都是理論性較強，實際性較弱的題，都是在理想化狀態下進行討論，而數學建模問題貼近生活，充滿趣味性"； "數學建模使我更深切地感受到數學與實際的聯系，感受到數學問題的廣泛，使我們對于學習數學的重要性理解得更為深刻"。數學建模能培養學生應用數學進行分析、推理、證明和計算的能力；用數學語言表達實際問題及用普通人能理解的語言表達數學結果的能力；應用計算機及相應數學軟件的能力；獨立查找文獻，自學的能力，組織、協調、管理的能力；創造力、想象力、聯想力和洞察力。由此，在高中數學教學中滲透數學建模知識是很有必要的。
高中數學教學必須高度重視數學建模。數學建模需要弄清兩個關鍵概念：一是數學模型；二是數學建模。
數學建模要防止經驗化、膚淺化，要防止在不理解何為數學建模的情況下空泛地談數學建模。從數學模型的概念理解，怎樣研究數學建模與高中數學相結合。
數學建模：就是通過計算得到的結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗，來建立數學模型的全過程。當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調查研究、了解對象信息、作出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，用數學的符號和語言作表述來建立數學模型。
數學模型（Mathematical Model）是一種模擬，是用數學符號，數學式子，程序，圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。數學模型一般并非現實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現實問題深入細微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數學知識。這種應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模（MathematicalModeling）。
不論是用數學方法在科技和生產領域解決哪類實際問題，還是與其它學科相結合形成交叉學科，首要的和關鍵的一步是建立研究對象的數學模型，并加以計算求解（通常借助計算機）；數學建模和計算機技術在知識經濟時代的作用可謂是如虎添翼。

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