資源簡介

高考數(shù)學(xué)解題技巧講義
第1講 函數(shù)相關(guān)技巧 2
技巧1 分式函數(shù)求值域
技巧2 口算奇偶性求參數(shù)
技巧3 形如f(x)=奇函數(shù)+常數(shù)
第2講 平面向量 19
技巧1 奔馳定理
技巧2 三角形的四心
技巧3 極化恒等式
第3講 解三角形 39
技巧一 三角形的射影定理
技巧2 三角形的中線定理
技巧3 角平分線的定理
第4講 數(shù) 列 55
技巧1 等比數(shù)列前n項(xiàng)和規(guī)律
技巧2 單一條件口算結(jié)果
技巧3 公式法口算通項(xiàng)
技巧4 錯(cuò)位相減法口算結(jié)果
技巧5 斐波那數(shù)列
第5講 焦點(diǎn)三角形 76
技巧1 焦點(diǎn)三角形的周長
技巧2 焦點(diǎn)三角形的面積
技巧3 焦點(diǎn)三角形的離心率
第6講 離心率 95
技巧1 焦點(diǎn)三角形中的離心率
技巧2 點(diǎn)差法中的離心率
技巧3 漸近線與離心率
技巧4 焦點(diǎn)弦與離心率
第7講 點(diǎn)差法 119
技巧1 點(diǎn)差法在橢圓在的應(yīng)用
技巧2 點(diǎn)差法在雙曲線在的應(yīng)用
技巧3 點(diǎn)差法在拋物線在的應(yīng)用
第8講 外接球與內(nèi)切球 152
技巧1 外接球之墻角模型
技巧2 外接球之漢堡模型
技巧3 外接球之斗笠模型
技巧4 外接球之折疊模型
技巧5 外接球之切瓜模型
技巧6 外接球之麻花模型
技巧7 外接球之矩形模型
技巧8 內(nèi)切球半徑
第1講 函數(shù)相關(guān)技巧
分式函數(shù)求值域-----分子分母為同類型函數(shù)
（一）注意事項(xiàng)
求值域前先求定義域，如果給出區(qū)間則不用求定義域
幾個(gè)極限值
（二）模式
二.奇偶性
常見函數(shù)的奇偶性（前提定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）
有對(duì)稱軸函數(shù)解不等式或比較大小----比較的是兩個(gè)自變量與對(duì)稱軸距離的遠(yuǎn)近
當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a，則f(x1)>f(x2)
當(dāng)函數(shù)的先增后減時(shí)，
當(dāng)函數(shù)的先減后增時(shí)，
奇偶性的運(yùn)算
同性相加減的同性，異性相加減為非奇非偶
同性乘除為偶函數(shù)，異性乘除為奇函數(shù)
函數(shù)模型為f(x)=g(x)+k，其中g(shù)(x)為奇函數(shù)，所給區(qū)間要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
f(x)+f(-x)=2k
推導(dǎo)：f(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2k
f(x)max+f(x)min=2k
推導(dǎo) :f(x)max+f(x)min=g(x)max+k+g(x)min+k=2k(奇函數(shù)的最大值與最小值成相反數(shù)）
如何找k---f(0)=k
推導(dǎo):f(0)=g(0)+k=k
技巧1 分式函數(shù)求值域
【例1】（1）（2020山西省太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知函數(shù)的取值范圍 。
（2）（2020湖南省長沙市第一中學(xué)）函數(shù)的值域?yàn)? 。
【答案】（1）【，】（2）
【解析】，則其值域【，】
（2）常規(guī)法：分離常數(shù)由已知:,.
技巧法：t=x2,t0，則函數(shù)y=f(x)=,f(0)=-1,f()=1(取不到，開區(qū)間），
【舉一反三】
1．（2019上海市普陀區(qū)曹楊第二中學(xué)函數(shù)），的值域是________；
【答案】；
【解析】技巧法：f(0)=,f(2)=故答案為：
常規(guī)法：,因?yàn)?故,
故.故答案為：
2．（2020廣東省東莞市北師大東莞石竹附屬學(xué)校）函數(shù)的值域是 。
【答案】，
【解析】技巧法：t=x2,t0，則函數(shù)y=f(x)=,f(0)=1,f()=-1(取不到，開區(qū)間），即函數(shù)的值域是，．
常規(guī)法：，
，，則，．
即函數(shù)的值域是，．
3.（2020陜西省西安市高新一中）函數(shù)的值域?yàn)開_______.
【答案】
【解析】技巧法：的定義域?yàn)椋瑒ty
故答案為：
常規(guī)法：由題.
因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?故的值域?yàn)?
故的值域?yàn)?
故的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋?br/>技巧2 口算奇偶性求參數(shù)
【例2】（1）（2020·福建漳州·高三其他（文））若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B．0 C．1 D．
（2）（2020·河南高三月考（理））已知是奇函數(shù)，且實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）D
【解析】（1）技巧法：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，正弦為奇函數(shù)，所以對(duì)數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)常見函數(shù)可知
常規(guī)法：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，
所以是奇函數(shù)，所以，
所以，所以，
所以，所以，故選：C.
（2）因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，可得，
此時(shí)，易知在上為減函數(shù).
又因?yàn)椋裕?故選：D.
【舉一反三】
1．（2020·沙坪壩·重慶南開中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】技巧法：根據(jù)常見奇偶性函數(shù)可知f(x)為偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)已知二次函數(shù)可知x>0函數(shù)為單調(diào)遞增，則x<0函數(shù)為單調(diào)遞減，，即，解得，故選：D.
常規(guī)法：設(shè)，由，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以為偶函數(shù).由可知，
，即，解得，故選：D.
2．（2020·河北桃城·衡水中學(xué)高三其他（文））若函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】技巧法：根據(jù)常見函數(shù)可知f(x)為奇函數(shù)求為單調(diào)遞增則可化為所以原不等式等價(jià)于不等式.
①當(dāng)時(shí)，可化為，所以；
②當(dāng)時(shí)，可化為，所以.
綜上，原不等式的解集為.
常規(guī)法：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br/>且滿足，
所以為上的奇函數(shù)，
則可化為，
因?yàn)楹愠闪ⅲ詾樯系脑龊瘮?shù).
所以原不等式等價(jià)于不等式.
①當(dāng)時(shí)，可化為，所以；
②當(dāng)時(shí)，可化為，所以.
綜上，原不等式的解集為.故選：A.
3．（2020·河南羅山·高三月考（理））已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，
∴不等式可變?yōu)椋啵獾茫蔬x：B．
技巧3 形如f(x)=奇函數(shù)+常數(shù)
【例3】（1）（2020·河南平頂山·高三月考（文））已知函數(shù)，若，則（ ）
B． C．1 D．2
（2）（2019秋 市中區(qū)校級(jí)月考）已知，，，若的最大值為，的最小值為，則等于　　
A．0 B．2 C． D．
（3）（2020·五華·云南師大附中高三月考（文））已知函數(shù)，則
（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
【答案】（1）C（2）B（3）C
【解析】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，∴.故選：C.
（2）函數(shù)為奇函數(shù)，，即，，即．故選：．
（3）
所以
.故選：C
【舉一反三】
1．（2019秋 椒江區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值等于　　
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則是奇函數(shù)，的最大值和最小值互為相反數(shù)，且的最大值為，最小值為，．故選：．
2．（2021·寧夏銀川二十四中高三月考（理））若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，所以，
則，所以.故選：B.
3．已知函數(shù)f（x）=In（x+）+1，若實(shí)數(shù)a滿足f（-a）=2，則f（a）等于（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】B
【解析】∵函數(shù)f（x）=In（x+）+1，
實(shí)數(shù)a滿足f（-a）=2，
∴，∴，∴=-1+1=0．故選：B．
4．（2020·云南師大附中高三月考（理））已知函數(shù)，則（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
【答案】C
【解析】，
令，則，所以為奇函數(shù)，
所以關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于成中心對(duì)稱，
則有，所以.
故選：C．
5．（2020·全國高三月考（理））已知函數(shù)，則（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)．則
所以，即為奇函數(shù)，所以，所以．故選：D．
1．（2019江蘇省鹽城市）函數(shù)的值域?yàn)開_____．
【答案】.
【解析】技巧法：t=x2,t則f(t)=,f(0)=2018,f()=3故答案為.
故答案為.
2．函數(shù)的值域是______．
【答案】
【解析】技巧法：
常規(guī)法：由題知,
因?yàn)?所以,
所以,則
因此,
故答案為:.
3．（2020黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附中）函數(shù)的值域?yàn)開_______.
【答案】
【解析】技巧法：令，則故，
常規(guī)法：令，則，故，
由于，∴，，
∴，即函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?
4．（2020·江西省信豐中學(xué)高三月考（文））已知函數(shù)，且，則函數(shù)的值是
A． B． C． D．
【答案】6
【解析】技巧法：，令，得，解得，
常規(guī)法：，令，
其中，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
即，
可得，令，得，解得
5．（2020·山西大同·高三月考（文））設(shè)函數(shù)的最大值為5，則的最小值為
【答案】1
【解析】技巧法：f(x)max+f(X)min=6,則f(x)的最小值為1
常規(guī)法：由題可知，，
設(shè)，其定義域?yàn)椋?br/>又，
即，
由于
，
即，所以是奇函數(shù)，
而，由題可知，函數(shù)的最大值為5，
則函數(shù)的最大值為：5-3=2，
由于是奇函數(shù)，得的最小值為-2，所以的最小值為：-2+3=1..
6（2020·廣東霞山·湛江二十一中高三月考）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則
【答案】4
【解析】技巧法：f(x)max+f(X)min=4
常規(guī)法：設(shè)，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，
則的最大值為，最小值為，
由奇函數(shù)對(duì)稱性知，兩者相加為0，即，∴.
7．（2019·杏花嶺·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則
【答案】2
【解析】
令，則有
因?yàn)榈亩x域是R，
所以是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)
所以，
所以
故選：A
8．（2019·山東任城·濟(jì)寧一中高三月考）設(shè)函數(shù)，若， .
【答案】-2
【解析】因?yàn)椋裕?br/>因此函數(shù)為奇函數(shù)，又，所以.
9．（2019·湖南婁底·高三期末（文））已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則的值為 .
【答案】4
【解析】函數(shù)，
，，
.
10．（2019秋 渝中區(qū)校級(jí)月考）已知，則在區(qū)間，上的最大值最小值之和為 .
【答案】2
【解析】技巧法：f(0)=1,則最大值和最小值的和為2
常規(guī)法：由令，
可得是奇函數(shù)，
可得區(qū)間，上的最大值最小值之和為0．
那么在區(qū)間，上的最大值為，最小值為；
在區(qū)間，上的最大值最小值之和為2．．
11（2020秋 廣東月考）已知函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，則
【答案】2
【解析】技巧法：所給區(qū)間不管原點(diǎn)對(duì)稱需要換元，令t=x-1,則t
f(t)=(t2-1)sint+,f(0)=1,則f(x)的最大和最小值為2k=2
常規(guī)法：由令，，上，可得，；
那么轉(zhuǎn)化為
由于是奇函數(shù)可得，，的最大值與最小值之和為0，
那么的最大值與最小值之和為2．．
12．（2019秋 寧波期中）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則
【答案】2
【解析】
，
令，則，即為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
，，且，
，
則．
13．（2020·陜西西安·高三月考（理））已知：，：函數(shù)為奇函數(shù)，則是成立的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】技巧法：根據(jù)常見函數(shù)可知
常規(guī)法：當(dāng)時(shí)，，
即有，
故有即為奇函數(shù)：
當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，有，
即，
有：
∴綜上，知：
故選：C
14．（2019·河南周口·高三月考）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是 .
【答案】
【解析】，所以，為上的偶函數(shù)，
又，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù).
因，由 得到，
故，或
15．（2020·福建廈門雙十中學(xué)高三月考（文））已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值等于 .
【答案】或3
【解析】技巧法：可知
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為：，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為：，，
綜上可得：的值等于或3.
常規(guī)法：函數(shù)為奇函數(shù)，則：，即：恒成立，
整理可得：，即恒成立，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為：，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為：，，
綜上可得：的值等于或3.
16．若函數(shù)為奇函數(shù),則= .
【答案】
【解析】由函數(shù)f（x）為奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴=，
∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a）∴（4a﹣3）x2=0∴4a﹣3=0即a=
17.若函數(shù)是奇函數(shù)，則 。
【答案】
【解析】技巧法:由常見函數(shù)可知a=0
常規(guī)法：由得，∴，∴.
18.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則 。
【答案】
【解析】技巧法：由常見函數(shù)可知所以。
常規(guī)法：由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，又由函數(shù)為奇函數(shù)，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，則，得，
所以，得，
所以。
第2講 平面向量
一：奔馳定理
1：奔馳定理內(nèi)容---三角形的面積比等于其所對(duì)應(yīng)的系數(shù)比
已知是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，，，求證：
2.推導(dǎo)過程
證明方法一：如圖延長與邊相交于點(diǎn)則
推論是內(nèi)的一點(diǎn)，且，則
二.極化恒等式 微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
2.推導(dǎo)過程：
三角形的四心
1.推論
重心：中線的交點(diǎn)，
①是的重心
②中線長度分成2：1
③=
內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等
①是的內(nèi)心
②
外心：
①是的外心
②
垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直
①是的垂心:
證明：如圖為三角形的垂心，
同理得，
②
由，得，即，所以．同理可證，．
技巧1 奔馳定理
【例1】是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】技巧法：公共點(diǎn)P，三角形ABC，則
常規(guī)法：
是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，
．延長到，使得，延長到，使得，
連結(jié)、、，則．
是的重心，設(shè)，則，
，，，
．故選：．
微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
【舉一反三】
1.已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則與的面積的比值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】技巧法
,所以,即
公共點(diǎn)為P，三角形ABC，則所對(duì)應(yīng)的向量，其系數(shù)為2，為整個(gè)三角形，其所對(duì)應(yīng)的系數(shù)為三個(gè)向量的系數(shù),6，所以面積比為
常規(guī)法：如圖所示,
,所以,即,所以,設(shè)和的中點(diǎn)分別為,則由可得,即,即點(diǎn)是的中位線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),所以,故選:C
2.（廣東省深圳外國語學(xué)校2020）點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】技巧法：公共點(diǎn)為A，三角形為PCB，則與對(duì)應(yīng)的向量為，則與的面積之比為
常規(guī)法：點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，過作，如下圖所示：
由，故，
所以與的面積之比為，故選：D．
3.（天津市紅橋區(qū)2019）已知點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，則實(shí)數(shù)m為（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【解析】
技巧法：
，
常規(guī)法：由得：
設(shè)，則 三點(diǎn)共線
如下圖所示：
與反向共線
本題正確選項(xiàng)：
技巧2 三角形的四心
【例2-1】點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的__________心．
【答案】垂
【解析】 ，即
同理可得：，點(diǎn)為的垂心本題正確結(jié)果：垂
【例2-2】（黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)）在中，設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過的（ ）
A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心
【答案】D
【解析】
設(shè)為中點(diǎn)，則
為的垂直平分線軌跡必過的外心本題正確選項(xiàng)：
【舉一反三】
1.（河北省保定市）過內(nèi)一點(diǎn)任作一條直線，再分別過頂點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點(diǎn)是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心
【答案】B
【解析】本題采用特殊位置法較為簡單.
因?yàn)檫^內(nèi)一點(diǎn)任作一條直線，可將此直線特殊為過點(diǎn)A，則，有.
如圖：
則有直線AM經(jīng)過BC的中點(diǎn)，同理可得直線BM經(jīng)過AC的中點(diǎn)，直線CM經(jīng)過AB的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)是的重心，故選B.
2．（遼寧朝陽柳城高中）設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則點(diǎn)P是△ABC
A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【解析】由于點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，
同理可知,則說明點(diǎn)P是三角形ACB的垂心，故選D.
3．設(shè)點(diǎn)O是三角形ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)O是三角形ABC的________心．
【答案】外心
【解析】由可得點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)是三角形的外心
故答案為外心.
4．設(shè)是平面內(nèi)一定點(diǎn)，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則為的（ ）
A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】若
可得，
即為
即有，則，故O為的外心，故選B.
技巧3 極化恒等式
【例3】（1）（2020福建省南平市）在中，若，邊上中線長為3，則（ ）
A．-7 B．7 C．-28 D．28
（2）（2020屆河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟領(lǐng)軍）在中，，點(diǎn)在上，且，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）A
【解析】（1）在中，設(shè)的中點(diǎn)為，則.由題意知：.則故選A.
（2）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為.
因?yàn)?
因?yàn)椋?又因?yàn)椋裕?br/>，所以
.故選：A.
【舉一反三】
1.（2018 天津）如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為　　
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，
以所在的直線為軸，
過點(diǎn)做軸，過點(diǎn)做軸，
，，，，
，，
，
，
，
，
，，，，
設(shè)，
，，，，
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值為．
故選：．
2.（2017年新課標(biāo)2）已知是邊長為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
則A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），
設(shè)P（x，y），則=（﹣x，2﹣y），
=（﹣2﹣x，﹣y），
=（2﹣x，﹣y），
所以 （+）=﹣x （﹣2x）+（2﹣y） （﹣2y）
=2x2﹣4y+2y2
=2[x2+（y﹣）2﹣3]；
所以當(dāng)x=0，y=時(shí)， （+）取得最小值為2×（﹣3）=﹣6．
故選D．
3．（2020屆湖北省武漢市）已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+ y2=1，且P是圓τ上一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，
則
.
當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.
1．（2020上海市控江中學(xué)）點(diǎn)在△內(nèi)部，且滿足，則△的面積與△、△面積之和的比為________
【答案】
【解析】技巧法：由奔馳定理可得
常規(guī)法：作，則，
，.
以為鄰邊作平行四邊形，連接，交于，如圖所示：
，.
根據(jù)與相似得：，；
，，，，
的面積與、面積之和的比為．故答案為：．
2．已知點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，若2＋3＋4＝3，則△PAB與△PBC的面積的比值為__________．
【答案】
【解析】由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴2＋4＝3，即4＝5.∴
3．（2020屆山西省太原市第五中學(xué)校）設(shè)點(diǎn)在的外部，且，則 。
【答案】3:1
【解析】技巧法：有奔馳定理可得3:1
常規(guī)法：連接并延長至，滿足，連接并延長至，滿足，連接并延長至，滿足，如圖所示.所以可得，，.
因?yàn)椋裕?br/>即為的重心，所以可得，
因?yàn)椋?br/>而所以，
同理，，所以，
所以.
4．(2020·哈爾濱三模)已知O為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，則λ的值為 。
【答案】
【解析】設(shè)AC、BC邊的中點(diǎn)為E、F，則由，得∴點(diǎn)O在中位線EF上．∵△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，∴點(diǎn)O為EF上靠近E的三等分點(diǎn)，∴λ＝.
5．（2020屆海南省全國大聯(lián)考）設(shè)點(diǎn)是的重心，且滿足，則 。
【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是的重心,
所以,
因?yàn)?
由正弦定理可得,
所以,
即,故,則,
則由余弦定理可得.
6．若在△ 中,，其外接圓圓心滿足，則__________.
【答案】
【解析】由，得為△的重心，又為外接圓圓心，所以可得
△為等邊三角形，故.
7．已知是銳角的外心，．若，則實(shí)數(shù)______．
【答案】
【解析】設(shè)外接圓的半徑為，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
即，
故，
故，
故，
故答案為：．
8．（2020湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作）已知是平面上一定點(diǎn)，滿足，，，則的軌跡一定通過的 （外心 、垂心、重心、內(nèi)心）
【答案】B
【解析】技巧法：由四心可知為垂心
常規(guī)法：，
，
即，
，，
，
∴與垂直，
即，
點(diǎn)P在BC的高線上，即P的軌跡過的垂心.故選：B．
9．已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的 （填三角形的四心）
【答案】外心 重心 垂心
【解析】由題：，所以O(shè)是外接圓的圓心，
取中點(diǎn)，，，即所在直線經(jīng)過中點(diǎn)，與中線共線，同理可得分別與邊的中線共線，即N是三角形三條中線交點(diǎn)，即重心，，，，
，即，同理可得，即P是三角形的垂心.
10．（2020河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟）已知是半徑為1的圓的一條直徑，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值等于 。
【答案】2
【解析】，當(dāng)為圓直徑時(shí)取等號(hào)，
11．（2020屆江蘇省無錫市）正方形的邊長為2，圓內(nèi)切于正方形，為圓的一條動(dòng)直徑，點(diǎn)為正方形邊界上任一點(diǎn)，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由題可得：，
故答案為：
12．（2020屆江蘇省蘇州市張家港市）已知正方形的邊長為4，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形的內(nèi)部或其邊界移動(dòng)，并且滿足，則的最小值是______．
【答案】
【解析】如圖所示，由，則.
動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上，取的中點(diǎn).
所以
又動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上，設(shè)圓心為，半徑為1.
所以的最小值為.
所以．
故答案為：
13．（2020屆江蘇省沭陽縣）如圖所示，在中，，則的最小值是__________
【答案】
【解析】
.
設(shè),易得.
故,因?yàn)?.故當(dāng)且僅當(dāng)反向時(shí)取得最小值,為.故答案為：
14．（2020屆浙江省湖州市）正方形的邊長為2，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是以為圓心，為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是______.
【答案】
【解析】易得,
,
當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)取等號(hào).即考慮的最小值即可.
當(dāng)與重合時(shí), .
當(dāng)與不重合時(shí),設(shè)夾角為,由圖易得當(dāng)在上時(shí)取最小值為,當(dāng)在時(shí), 取最大值為,故,
利用向量模長不等式有
,且兩次“” 不能同時(shí)取“=”.故此時(shí).
綜上所述, 的最小值是.
故答案為：
第3講 解三角形
射影內(nèi)容
中線定理
1.中線定理推導(dǎo)
2.三角形面積
3.三角形的周長
角平分線定理
角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等
三角形的一個(gè)角的角平分線,這個(gè)角平分線其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例即
技巧一 三角形的射影定理
【例1】（2017 新課標(biāo)Ⅱ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則　　．
【答案】
【解析】技巧法：由射影定理可得，，，故答案為：
常規(guī)法：，由正弦定理可得，
，
，，，，故答案為：
【舉一反三】
1.（2020 青島模擬）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，則B=
【答案】
【解析】技巧法：由射影定理可得，因?yàn)椋瑒t．
常規(guī)法：因?yàn)椋?br/>由正弦定理可得，，
因?yàn)椋裕?br/>所以，因?yàn)椋瑒t．
2（2020 安徽模擬）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，則的面積為 。
【答案】
【解析】技巧法：由射影定理可得，，得．
，
解得．則的面積．
常規(guī)法：
，
，
，即，，
解得，，解得．
，解得．
則的面積．
3（2020 南充模擬）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則內(nèi)角C= 。
【答案】
【解析】技巧法：由射影定理可得故，又，所以．
常規(guī)法：由正弦定理得：，
即，即，
由于，故，又，所以．
技巧2 三角形的中線定理
【例2】（2020·梅河口市第五中學(xué)高三（理））在中，，已知邊上的中線，則面積的最大值為__________．
【答案】.
【解析】技巧法：
常規(guī)法：在△ABC中，，BC邊上的中線AD=3，，設(shè)AB＝c，AC＝b，
平方可得 9＝.
化簡可得，，∴bc≤36，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，
故△ABC的面積S＝
故答案為
【舉一反三】
1．（2020·廣東高三月考（理））在中，，已知BC邊上的中線，則面積的最大值為______.
【答案】 微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
【解析】技巧法：
常規(guī)法：中，，邊上的中線長為3，，設(shè)，，
平方可得：，
化簡可得，，
可得：，故的面積．
故答案為：．
2．（2020·全國）在銳角三角形中，角、、的對(duì)邊分別為、、，向量，，且.
（1）求角；
（2）若，且的面積為，求邊上的中線的大小.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理得.因?yàn)椋裕裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，
因?yàn)椋?
在中，為的中點(diǎn)，，由余弦定理得.所以.
技巧3 角平分線的定理
【例3】（2020·梅河口市第五中學(xué)）已知中，．是的角平分線，交于．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的長．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（Ⅰ）在中，，在中，
因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以
（Ⅱ）法一：由題知，
所以 ，所以
法二： 所以
【舉一反三】
1．（2019·江蘇）在中，，，角A的角平分線，則______.
【答案】
【解析】由題意，，，角的角平分線，
在中，由正弦定理：，
可得，則，所以，
那么，則，所以．
在中，由正弦定理：，
所以.
可得．故答案為：.
2．（2020·梅河口市第五中學(xué)高一期末（文））已知中，是的角平分線，交于.
（1）求 的值；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中， ，在中，，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以.
（2）設(shè)，則，所以，所以，所以.
3．（2019·河南高考模擬（理））在中，，，為的內(nèi)角平分線，.
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）求角的大小
【答案】（Ⅰ）2；
（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得：
在三角形ACD中,由正弦定理得：
因?yàn)?br/>（Ⅱ）在三角形ABD中,
由余弦定理得
在三角形ACD中,
由余弦定理得
又解得
又
1.（2020春 上饒?jiān)驴迹┰谥校牵膶?duì)邊分別是，，，且面積為，若，，則角等于
【答案】
【解析】技巧法：由射影定理可得所以，故，
，，，故，則角．
常規(guī)法：因?yàn)椋?br/>由正弦定理可得，，即，
因?yàn)椋裕剩?br/>，，，故，則角．
2.（2020春 路南區(qū)校級(jí)月考）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．若，的面積為，則b+c=
【答案】4
【解析】技巧法：由射影定理可得所以即，所以，
，所以，因?yàn)椋?br/>由余弦定理可得，，故．
常規(guī)法：因?yàn)椋?br/>由正弦定理可得，．
因?yàn)椋约矗裕?br/>，所以，
因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫剩?br/>3．（2019·福建高三（理））已知為等腰三角形，，邊上的中線的長為7，則的面積為__________．
【答案】
【分析】
先設(shè)等腰三角形的腰長為，進(jìn)而可得底邊的長，再由余弦定理列出方程，即可求出，從而可得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)等腰三角形的腰長為，因?yàn)椋?br/>所以，
由余弦定理可得：，
，
因?yàn)榕c互補(bǔ)，所以，即，
解得，
所以，所以
故答案為
4．（2020·本溪市燕東高級(jí)中學(xué)）已知三角形兩邊長分別為和，第三邊上的中線長為，則三角形的外接圓半徑為________.
【答案】1
【解析】
分析：設(shè)AB=1，AC=，AD=1，D為BC邊的中點(diǎn)，BC=2x，則BD=DC=x，由余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC通過cos∠ADB=﹣cos∠ADC，代入可求BC，則可得A=90°，外接圓的直徑2R=BC，從而可求結(jié)果．
詳解：設(shè)AB=1，AC=，AD=1，D為BC邊的中點(diǎn)，BC=2x，
則BD=DC=x，
△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=，
△ADC中，由余弦定理可得，cos∠ADC=，
因?yàn)閏os∠ADB=﹣cos∠ADC所以=﹣∴x=1
∴BC=2∴AB2+AC2=BC2即A=90°
∴外接圓的直徑2R=BC=2，從而可得R=1故答案為：1．
5．（2020·浙江省杭州第二中學(xué)高三）中，，，，則邊上的中線長_______.
【答案】1
【解析】設(shè)，，，
由余弦定理得：，
所以，或（舍去），
在中，，
由余弦定理得：，所以.故答案為：.
6．（2020·商丘市第一高級(jí)中學(xué)）在中，，．邊上的中線，則_____．
【答案】
【解析】技巧法：
常規(guī)法： 微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
設(shè)，
中，，
中，
，,
，解得：，，
中，,
,
.
故答案為：
7．（2020·新疆高三月考（理））在中，已知,，BC邊上的中線，則________．
【答案】
【解析】如圖所示，
由中線長定理可得：，
由余弦定理得到：，即．
聯(lián)立成方程組，
解得：，
故
由可得，
．
故答案為：
8．（2019·浙江）若銳角的面積為，則邊上的中線為_________．
【答案】
【解析】技巧法：銳角的面積為，，，
則：，解得：，所以：，
所以：，解得：．
根據(jù)中線定理可得
常規(guī)法：銳角的面積為，，，
則：，解得：，所以：，
所以：，解得：．
在中，利用余弦定理：，
在中，利用余弦定理：
得：，解得：故答案為
9．（2019·遼寧高三（理））已知△，，，是邊上的中線，且，則的長為__________．
【答案】
【解析】取AB中點(diǎn)E，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以,
由余弦定理得，
即
10．（2020·全國高三月考（理））在中，角的平分線長，角，，則__________．
【答案】.
【解析】設(shè)角B的平分線為，由正弦定理得，即，得，，，．
即答案為.
11．（2020·濱海縣八灘中學(xué)高三）在中，，，的角平分線，則________.
【答案】
【解析】由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因?yàn)椋裕裕裕剑裕?br/>12．（2020·全國）在中，，的角平分線交于點(diǎn)，若，，則______.
【答案】
【解析】在△ABC中，由余弦定理得.
所以.所以.
在△ABD中，由正弦定理得.故答案為：.
13．（2020·安徽高三月考（理））在中，已知，，，角的平分線交邊于，則______.
【答案】
【解析】作出圖形，如下圖，分別過點(diǎn)和點(diǎn)作的垂線，垂足為，
因?yàn)闉榻堑钠椒志€，，所以，
則，，
則，
又 ，
所以，即.故答案為：.
第4講 數(shù) 列
等比數(shù)列前n項(xiàng)和規(guī)律
二．單一條件口算結(jié)果-----實(shí)質(zhì)考查等比或等差中項(xiàng)
1.無論是等差還是等比數(shù)列，如果只知道一個(gè)條件是取法確定具體的數(shù)列，那么可以處理為非0的常數(shù)數(shù)列，因?yàn)榉?的常數(shù)數(shù)列即是等差也是等比數(shù)列。（常數(shù)數(shù)列：每一項(xiàng)都是相同的）
三．公式法口算通項(xiàng)----an=Sn-Sn-1(n
四．口算錯(cuò)位相減法的結(jié)果
五．斐波那數(shù)列---黃金分割數(shù)列---
數(shù)列特點(diǎn)：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34...
三個(gè)數(shù)據(jù)為一組，第一數(shù)據(jù)為偶數(shù)，第二、三個(gè)數(shù)據(jù)為奇數(shù)
技巧1 等比數(shù)列前n項(xiàng)和規(guī)律
【例1】（2020·福建省廈門第六中學(xué)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】技巧法：
常規(guī)法：∵等比數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），
∴，
，
成等比數(shù)列，∴，解得或
∵時(shí)，是常數(shù)，不成立，故舍去.故選：C
【舉一反三】
1．（2020·安徽含山（理））已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n+2+3t，則t＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9
【答案】C
【解析】技巧法：Sn＝3nx9+3t,3t+9=0,t＝﹣3
常規(guī)法：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n+2+3t，則a1＝S1＝33+3t＝27+3t，
a2＝S2﹣S1＝（34+3t）﹣（33+3t）＝54，
a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t）＝162，
則有（27+3t）×162＝542，解得t＝﹣3，故選：C.
2．（2020·安徽屯溪一中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】技巧法：
常規(guī)法：，，，故選C.
技巧2 單一條件口算結(jié)果
【例2-1】（1）（2020·寧夏高三其他（文））為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）.
A．-1 B．0 C．1 D．2
（2）（2020·山西省長治市第二中學(xué)校高三月考（理））已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足﹐則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）D
【解析】（1）技巧法：
常規(guī)法：因?yàn)椋裕蔬x：B.
技巧法：由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，
常規(guī)法：已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，
由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得.
故選：D.
【例2-2】（2020·河南）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】技巧法：
常規(guī)法：因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，
所以可設(shè)，，所以，，所以.
故選：A
【舉一反三】 微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
1．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，選A.
2．（2020·廣東云浮·）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則（ ）．
A．5 B．6 C．10 D．11
【答案】D
【解析】技巧法：
常規(guī)法：因?yàn)椋覟榈缺葦?shù)列，所以，
所以.故選：D.
3．（2020·浙江寧波）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，
由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，
因此，.故選：C.
4．（2020·全國高三其他（理））已知數(shù)列，為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，，，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】技巧法：
常規(guī)法：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以可設(shè)，.
則，，所以.故選:D.
技巧3 公式法口算通項(xiàng)
【例3】（2020·南京市秦淮中學(xué)高三其他）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．
【答案】
【解析】技巧法：
常規(guī)法：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
又適合上式，所以，故答案為：
【舉一反三】
1．（2020·湖南湘潭·高考模擬（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___．
【答案】
【解析】技巧法：
常規(guī)法：由題意，可知當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
又因?yàn)椴粷M足，所以.
2．（2020·山西大同·高三一模（文））已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.
【答案】 微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
【解析】
常規(guī)法：為數(shù)列的前項(xiàng)和，①
時(shí)，②
①②，得：，
，
，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：.
技巧4 錯(cuò)位相減法口算結(jié)果
【例4】（2020·江西東湖·南昌二中高三其他（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，數(shù)列滿足，
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（2）數(shù)列滿足，整理得，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
所以，故．
①，
②，
①②得：，
整理得．
常規(guī)法：（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，所以，
①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，
①②得（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．故．
（2）數(shù)列滿足，整理得，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
所以，故．
①，
②，
①②得：，
整理得．
【舉一反三】
1．（2020·河南高三其他（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）如果數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且①．
所以：②②①得：．（用技巧法口算結(jié)果，減少計(jì)算量）
（2）數(shù)列，所以，
所以①，
②
①②得：，
整理得：．（用技巧法口算結(jié)果，減少計(jì)算量）
2．（2019·甘肅天水·高考模擬（文））在正項(xiàng)等比數(shù)列{}中，且成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{}滿足，求數(shù)列{}的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為(，
∵∴，所以
∴q＝2，(舍去)所以；
（2）∵，
∴，①
，②
①﹣②得＝，
∴.（用技巧法口算結(jié)果，減少計(jì)算量）.
技巧5 斐波那數(shù)列
【例5】（2020·吉林前郭爾羅斯縣第五中學(xué)）“斐波那契”數(shù)列是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)的．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱為神奇數(shù)．具體數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，…，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)開始，每個(gè)數(shù)字都等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
常規(guī)法：因?yàn)閿?shù)列為“斐波那契”數(shù)列，所以，，
所以，，，，，
將以上2017個(gè)等式相加可得，
，
即，
所以，所以，
所以.故選：C.
【舉一反三】
1．（2020·河北高三月考）數(shù)列、、、、、、、、、稱為斐波那契數(shù)列，是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契于年在他撰寫的《算盤全書》中提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前項(xiàng)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)，可得此數(shù)列只有第項(xiàng)為偶數(shù)，
由于，所以前項(xiàng)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為．故選：B.
2．（2019·福建高三（理））斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”.如圖，矩形是以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成的，在每個(gè)正方形中作一個(gè)圓心角為的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分.在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圖可知各正方形的邊長為：1，1，2，3，5，8，
矩形的面積為：，
陰影部分面積為： ，
所求概率為：
故選: B
1．（2020·湖北黃州·黃岡中學(xué)高三其他（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前 項(xiàng)和，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
.故選：B.
2．（2020·甘肅高三其他（文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則a=（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】C
【解析】技巧法：a=-1
因?yàn)椋裕?br/>，求得.故選：C．
3．（2020·遼源市田家炳高級(jí)中學(xué)校高二期末（理））斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，畫出來的螺旋曲線.如圖，白色小圓內(nèi)切于邊長為1的正方形，黑色曲線就是斐波那契螺旋線，它是依次在以1，2，3，5為邊長的正方形中畫一個(gè)圓心角為的扇形，將其圓弧連接起來得到的.若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)榫匦蔚倪呴L為和5，故矩形面積；
又陰影部分的面積為；
故在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.故選：D.
4．（2020·安徽高三月考（理））裴波那契數(shù)列（Fibonacci sequence ）又稱黃金分割數(shù)列，因?yàn)閿?shù)學(xué)家列昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上裴波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足：，，現(xiàn)從該數(shù)列的前40項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則能被3整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】裴波那契數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
觀察發(fā)現(xiàn)前12項(xiàng)中，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，第12項(xiàng)都能被3整除.
以此類推前40項(xiàng)中，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，第12項(xiàng)，第16項(xiàng)，第20項(xiàng)，第24項(xiàng)，第28項(xiàng)，第32項(xiàng)，第36項(xiàng)，第40項(xiàng)，共10項(xiàng)，能被3整除.
所以能被3整除的概率為.故選A
5．（2020·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三（文））意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的問題：已知一對(duì)兔子每個(gè)月可以生一對(duì)兔子，而一對(duì)兔子出生后在第二個(gè)月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么兔子對(duì)數(shù)依次為：，，，，，，，，，，，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，.若從該數(shù)列的前項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是偶數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】數(shù)列第1個(gè)，第2個(gè)為奇數(shù)，故第3個(gè)為偶數(shù)，第4個(gè)，第5個(gè)為奇數(shù)，第6個(gè)為偶數(shù).
根據(jù)規(guī)律：共有偶數(shù)個(gè)，故.故選：.
8．（2020·江西高三（文））意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的問題：已知一對(duì)兔子每個(gè)月可以生一對(duì)兔子，而一對(duì)兔子出生后在第二個(gè)月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么兔子對(duì)數(shù)依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，.若從該數(shù)列的前120項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得，該數(shù)列依次每3項(xiàng)中，有2項(xiàng)是奇數(shù)，另外1項(xiàng)是偶數(shù)
所以前120項(xiàng)中有80項(xiàng)是奇數(shù)所以這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為故選：B
7．（2020·嘉祥縣第一中學(xué)高三其他）設(shè)數(shù)列，均為等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】數(shù)列，均為等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為，，
.
.故選：.
8．（2020·合肥一六八中學(xué)高三其他（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，則數(shù)列的前11項(xiàng)和為（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】D
【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，故
等價(jià)于，故可得.
又根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì).故選：D.
9．（2019·河南高二月考）兩等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則　　
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和，依題意有，
所以,
所以，故選C.
10．(多選）（2020·福建省永泰縣第一中學(xué)高三月考）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為（ ）
A．
B．且
C．
D．
【答案】BC
【解析】技巧法：可知選BC
常規(guī)法：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，
顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，
所以
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以
所以，
令，則，
所以，
所以以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以；
即C滿足條件；故選：BC
12．（2020·福建漳州·高三其他（文））若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則__________.
【答案】2
【解析】因?yàn)椋裕獾?故答案為：
13．（2020·陜西渭南·（理））已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)+2,其中,則an=_____.
【答案】
【解析】技巧法：略
常規(guī)法：當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=n(n+1)+2，①
得Sn﹣1=(n﹣1)n+2，②
①﹣②，得an=2n，其中n≥2，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=.
故答案為：.
14．（2020·湖北高三月考（理））設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則____
【答案】
【解析】技巧法：略
常規(guī)法：當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減可得，
即，
即，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：
15．（2020·浙江高三其他）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則____________；數(shù)列的通項(xiàng)公式為____________．
【答案】2
【解析】由題意易得，
當(dāng)時(shí)，，而，所以．故答案為：2；．
16．（2020·浙江高三月考）十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列滿足以下關(guān)系：，，，記其前項(xiàng)和為，設(shè)(為常數(shù))，則______；______.
【答案】
【解析】因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列滿足， ，，
∴；；； …；
所以，
因?yàn)?．
故答案為：，．
17．（2020·陜西西安中學(xué)）斐波那契數(shù)列(Fibonaccisequence)，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.它是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方法定義：a1=1，a2=1，(n≥3，n∈N*)，記其前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)a2019=t(t為常數(shù))，則________(用t表示)，________(用常數(shù)表示).
【答案】
【解析】斐波那契數(shù)列滿足：，，，設(shè)，
則：
；
根據(jù)可得，
所以，
所以．故答案為：；．
18．（2020·全國高三其他（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
不適合.
綜上所述，；
（2）由（1）可得.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
得，
上式下式得，
，滿足，
因此，.
19．（2020·河南高二其他（文））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足， 求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，得，解得，
因此；
（2）由題意知：，
所以，則，
兩式相減得
，
因此，.
第5講 焦點(diǎn)三角形
一．技巧內(nèi)容
橢圓 雙曲線
圖形
周長 2a+2c
離心率
二．技巧推導(dǎo)過程
1.
2.橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積公式
橢圓中的離心率
4.
5.雙曲線中焦點(diǎn)三角形的面積公式
6.雙曲線中的離心率
技巧1 焦點(diǎn)三角形的周長
【例1】（2020·黑龍江）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在此橢圓上,則的周長等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
【答案】C
【解析】根據(jù)橢圓方程可知，根據(jù)橢圓的定義可知，的周長為，故選C.
【舉一反三】 微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
1．（2020·西藏南木林縣第一中學(xué)高三月考）若橢圓（其中a＞b＞0）的離心率為，兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，且△F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】橢圓（其中a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，且△F1F2M的周長為16，可得2a+2c=16，橢圓（其中a＞b＞0）的離心率為，可得，解得a=5，c=3，則b=4，所以橢圓C的方程為：．故選D．
2．（2019·廣西南寧）定義：橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，已知橢圓的焦距為，焦點(diǎn)三角形的周長為，則橢圓的方程是__________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，，所以，故橢圓的方程是.
技巧2 焦點(diǎn)三角形的面積
【例2-1】（2020·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且，若的面積為9，則__________．
【答案】3
【解析】（技巧法）
（常規(guī)法）因?yàn)榈拿娣e為9，所以
因?yàn)椋?br/>即
故答案為：3
【例2-2】（2020·山西大同）已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則的面積為
【答案】
【解析】（技巧法）
（常規(guī)法）雙曲線，則，所以，
則，平方得，且，
由余弦定理，即，
解得，則.
【舉一反三】
1．（2020·云南陸良）已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】（技巧法）
（常規(guī)法）由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．
2（2020·廣東汕頭）若橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)、的連線互相垂直，則的面積為( )
A．36 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【解析】
（常規(guī)法）設(shè)則,即,又,故選B.
3．（2020·上海普陀·高三三模）設(shè)為雙曲線（）的上一點(diǎn)，，（為左、右焦點(diǎn)），則的面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】（技巧法）
（常規(guī)法）雙曲線，則
不妨設(shè)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，
則由雙曲線的定義，得
則,
所以
所以，即
所以
所以
故選：C
技巧3 焦點(diǎn)三角形的離心率
【例3-1】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,是上的點(diǎn),
,,則的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】(技巧法），選D。
（常規(guī)法）設(shè)，，則，即，，，選D。
【例3-2】（2020·河北衡水中學(xué)）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
（常規(guī)法））由橢圓上存在點(diǎn)，使可得以原點(diǎn)為圓心，以c為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，∴，
∴，∴∴．由，
∴，即橢圓離心率的取值范圍為．選B．
【舉一反三】
1．（2020·沙坪壩·重慶一中高三月考（理））已知點(diǎn)P在以為左，右焦點(diǎn)的橢圓上，在中，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
2．（2020·安徽合肥·高三二模（文））記，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)取值范圍是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
（常規(guī)法）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2＝m，b2＝1，m＞1，
由對(duì)稱性可知當(dāng)M為上下頂點(diǎn)時(shí)，∠F1MF2最大，
因?yàn)椋唷螰1MF2，∠F1MO，
所以tan∠F1MO1，即1，解得m≥2；
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2＝1，b2＝m，0＜m＜1，
當(dāng)M為左右頂點(diǎn)時(shí)，∠F1MF2最大，因?yàn)椋螰1MF2，∠F1MO，
所以tan∠F1MO1，即1，解得0＜m，故選：A．
1．（2020·全國高三單元測試）已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】技巧法：△AF1B的周長公式4a=16,第三邊等于16-10=6
常規(guī)法：因?yàn)楦鶕?jù)已知條件可知，橢圓＋＝1中16>9,說明焦點(diǎn)在x軸上，同時(shí)a=4,b=3,而過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則點(diǎn)A到F2，F(xiàn)1的距離和為2a=8,點(diǎn)B到F2，F(xiàn)1的距離和為2a=8，結(jié)合橢圓的定義可知△AF1B的周長為4a=16.在結(jié)合三角形的周長公式可知，其中兩邊之和為10，則另一邊的長度為16-10=6故選A.
2．（2020·廣西欽州一中）設(shè)橢圓C：(a>0，b>0)的左 右焦點(diǎn)分別為，，離心率為.P是C上一點(diǎn)，且⊥.若的面積為4，則a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】
（技巧法）
（常規(guī)法），，由橢圓定義，，
由⊥得，
的面積為4，則，即，
，即,解得，即，故選：C.
3．（2020·河南高三其他（文））橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上的點(diǎn)滿足：，且，則（ ）
A．1 B．
C． D．2
【答案】C
【解析】設(shè)，，則，
又（1），（2），
式平方減去（2）式得：，得：.故選：C.
4．（2020·黑龍江綏化·高三其他（理））已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n，p，q，有如下結(jié)論成立：若，則有成立，現(xiàn)已知橢圓上存在一點(diǎn)P，，為其焦點(diǎn)，在中，，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得：，
所以，所以，解得.故選：C
5．（2020·山西臨汾）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，若上的點(diǎn)到的距離為，則△的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意知，，，所以，
因?yàn)椋遥裕?br/>在△中，，因?yàn)椋?br/>所以，所以△的面積為.故選：C.
6．（2020·陸川中學(xué)）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
（常規(guī)法）由題設(shè)可知點(diǎn)在以為直徑端點(diǎn)的圓上，由此可得該圓的半徑，即，也即，故應(yīng)選答案A ．
7．（2020·全國高三一模（文））設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
當(dāng)是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，
則橢圓的離心率的最小值為.
故選：C.
8．（2019·江西南昌十中））已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1和雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，e1，e2分別是C1和C2的離心率，點(diǎn)P為C1和C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若，則e1的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的實(shí)半軸長為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為，不妨設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，做出示意圖如下圖所示，由橢圓與雙曲線的定義得，所以得，
又因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，所以得 所以得即，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，所以，所以，
故選：D.
9．（2020·伊美區(qū)第二中學(xué)）設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),是雙曲線上的一點(diǎn),且,則的面積等于（ ）
A． B．
C．24 D．48
【答案】C
【解析】雙曲線的實(shí)軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知
,所以,,
所以,所以.所以.
故選：C
10．（2020·四川青羊·樹德中學(xué)高二月考（文））設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得，，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由雙曲線的定義得，又，
，即，
因此，即，則，
解得，（舍去），
因此，該雙曲線的離心率為.
故選：B.
11．（2020·吉林松原·高三其他（文））已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，，分別為雙曲線的左 右焦點(diǎn)，若的外接圓半徑為4，且為銳角，則（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】（技巧法）依題意，.
在三角形中， ，由正弦定理得，
即，由于為銳角，所以.
（常規(guī)法）依題意，.
在三角形中， ，由正弦定理得，
即，由于為銳角，所以.
根據(jù)雙曲線的定義得.
在三角形中，由余弦定理得，
即，
即，
即，所以.
故選：B
12．（2020·陜西省丹鳳中學(xué)高三一模（理））設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn).若點(diǎn)在雙曲線上，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，
.故選：D
13．（2020·陜西高三其他（文））已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以的取值范圍是.
（常規(guī)法）設(shè)，，，則由余弦定理得.
又，則，解得，
所以.
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以的取值范圍是.
故選：B.
14．（2020·河北張家口·高三期末（理））已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè) ，
， ，解得 ，
， 故選D.
15．（2020·全國高三一模（理））已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，M F1與軸垂直，sin ,則E的離心率為（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【解析】由已知可得，故選A.
16．（2019·平羅中學(xué)高三二模（理））已知，是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，與x軸垂直，，則雙曲線E的離心率為　　
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
（常規(guī)法））與x軸垂直，，
設(shè)，則，
由雙曲線的定義得，即，得，
在直角三角形中，，即，
即，
即，
則，
則，
故選A．
17．（2020·陜西西安·高三其他（理））已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是、，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積是______.
【答案】4
【解析】由橢圓的定義可知，，
又，
聯(lián)立兩式 ，可得
又，
所以，
所以是以為直角邊的直角三角形，
所以的面積為.
故答案為：.
18．（2020·全國高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.
【答案】
【解析】
橢圓，可得，設(shè)，，
可得，化簡可得：，
，故答案為．
19．已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為______．
【答案】
【解析】
（常規(guī)法）由題意，設(shè)，，則，
由余弦定理可得，，
又，∴，
∴的面積，
故答案為：．
第6講 離心率
焦點(diǎn)三角形中的離心率
1.橢圓
（1）橢圓：設(shè)橢圓焦點(diǎn)三角形兩底角分別為、，則(正弦定理)。
微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
2.雙曲線：利用焦點(diǎn)三角形兩底角來表示:。
雙曲線的漸進(jìn)線與離心率關(guān)系
直線與雙曲線相交時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)的位置
兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的兩支：
兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的同一支:
兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的左支: 微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的右支:
焦點(diǎn)弦與離心率關(guān)系
，則有(為直線與焦點(diǎn)所在軸的夾角)。
技巧1 焦點(diǎn)三角形中的離心率
【例1】(1)．已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B．2 C． D．
（2）（2020·安徽省高三三模）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）不妨設(shè)代入雙曲線方程得
，
.故答案選：C
（2），
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，
由橢圓定義知：，又，
，，，又，離心率的取值范圍為.故選：.
【舉一反三】
1．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三月考）已知點(diǎn)P在以為左，右焦點(diǎn)的橢圓上，在中，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，
所以故選：B
2．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，
，，，
，可得，，
由勾股定理可得，即，，
因此，該橢圓的離心率為.
故選：A.
3．（2019·遼寧沈陽市·沈陽二中高三月考（理））橢圓的離心率為，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】橢圓的離心率為，即.
，故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
根據(jù)余弦定理：
.故選：.
技巧2 點(diǎn)差法中的離心率
【例2】（1）（2020·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校）過點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·安徽省潛山第二中學(xué)）已知A，B是橢圓E：的左、右頂點(diǎn)，M是E上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若直線AM，BM的斜率之積為，則E的離心率為
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）D
【解析】（1）設(shè)，，
由直線的斜率為可得，
由線段的中點(diǎn)為可得，，
由點(diǎn)在橢圓上可得，作差得，
所以，即，
所以，
所以該橢圓的離心率.
故選：B.
（2）由題意方程可知，，
設(shè),
則 ,，整理得：，①
又，得，即，②
聯(lián)立①②，得，即，解得．
故選D．
【舉一反三】
1．已知雙曲線：，斜率為2的直線與雙曲線相交于點(diǎn)、，且弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】設(shè)、，
則，，
所以，所以，
又弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，又，
所以，即，
所以雙曲線的離心率.
故選：B.
2．（2020·全國高三專題）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，又點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，∴，
∴，即，∴，即，又，∴，
故選：B.
3．（2020·全國高三專題練習(xí)）若，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意可知，，，
，，
由橢圓定義可知，
.故選：C.
技巧3 漸近線與離心率
【例3】已知圓的一條切線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意，圓心到直線的距離，解得，
圓的一條切線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，所以，所以.
故選：D.
【舉一反三】
1．若雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若雙曲線與直線無公共點(diǎn)，
等價(jià)為雙曲線的漸近線的斜率，即，即，即，即，
則，則，，離心率滿足，
即雙曲線離心率的取值范圍是，故選：A．
2．已知雙曲線 (a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）
A． B．(1,2), C． D．
【答案】A
【解析】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，
若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，
，離心率，，故選．
3．（2020·河南新鄉(xiāng)市·高三）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過原點(diǎn)作斜率為的直線交的右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】題可知，，，，
所以，可得.
在中，由余弦定理可得，
即，解得.
雙曲線的離心率為.
故選：D.
技巧4 焦點(diǎn)弦與離心率
【例4】（2020·石嘴山市第三中學(xué)高三三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率=（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過且斜率為的直線為
聯(lián)立直線與橢圓方程
消后，化簡可得
因?yàn)橹本€交橢圓于A，B，設(shè)
由韋達(dá)定理可得
且，可得，代入韋達(dá)定理表達(dá)式可得
即
化簡可得
所以
故選：D．
【舉一反三】
1．（2020·河南省高三月考）傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)到右準(zhǔn)線距離為，則，因?yàn)椋瑒t，所以 到右準(zhǔn)線距離為，從而 傾斜角為，，選B.
2．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，
由題意可知，，，，
則，，，
代入得，
即，解得，則，
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，設(shè)，
則，，
由題意可知，，，，
則，，，
則，
則，
代入得，即，解得，
則，
故選：B.
3．（2019·浙江高三其他模擬）已知過雙曲線的右焦點(diǎn)F，且與雙曲線的漸近線平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)A，交雙曲線的另一條漸近線于點(diǎn)B（A，B在同一象限內(nèi)），滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】雙曲線的漸近線方程為，如圖，不妨設(shè)在第一象限，
直線的方程為，與聯(lián)立，得；
直線與聯(lián)立，得．
由，得，即，
得，即，則，故選：B．
1．已知傾斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)閮A斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點(diǎn)，
所以直線的斜率，
設(shè)，則①②
由①②得則
因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，
因?yàn)橹本€的斜率為1即所以
，則，故選：D
2．設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn).過點(diǎn)F作斜率為-3的直線l與雙曲線左、右支均相交.則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線方程為，
當(dāng)過點(diǎn)F且斜率為-3的直線l與漸近線平行時(shí).
直線l只與雙曲線右支有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知，
當(dāng)漸近線的斜率滿足，即時(shí)，
直線l與雙曲線左、右支均相交，
所以.
故選:C.
3．（2019·黑龍江佳木斯市·佳木斯一中高三月考）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是此橢圓上一點(diǎn)，若為直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有（ ）.
A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)
【答案】C
【解析】由題意，則，當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，，，，即，短軸頂點(diǎn)有2 個(gè)，過或作軸垂直與橢圓相交的點(diǎn)在4個(gè)，都是直角三角形，因此共有6個(gè)．
故選：C.
4．（2020·廣東廣州市）已知,分別是橢圓的左, 右焦點(diǎn), 橢圓上存在點(diǎn) 使為鈍角, 則橢圓的離心率的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為 ，則∵橢圓上存在點(diǎn)，使為鈍角,
故答案為A
5．（2020·河北石家莊市）已知橢圓 ，點(diǎn)M,N為長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)H，使 ,則離心率e的取值范圍為
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意 設(shè) ，則
可得：
故選A．
6．（2020·全國高三專題練習(xí)）橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線x＋y＝0的對(duì)稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B．
C． D．－1
【答案】D
【解析】設(shè)F（－c,0）關(guān)于直線x＋y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A（m，n），
則，解得m＝，n，
代入橢圓方程可得化簡可得 e4－8e2＋4＝0，
又0＜e＜1，解得e＝－1.
故選：D.
7．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．P是橢圓上一點(diǎn)．PF1F2為以F2P為底邊
的等腰三角形，當(dāng)60°A．（） B．（） C．（） D．（0）
【答案】B
【解析】由題意可得，即，所以，又，則，所以，則，即．故答案選B．
8．（2020·廣東肇慶市）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，是橢圓上異于的一點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率乘積，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意可知.設(shè)，代入橢圓方程得.代入得，即，與對(duì)比后可得，所以橢圓離心率為.故選D.
9．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為2c，直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)M滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由題意，直線過左焦點(diǎn)且傾斜角為60°，
∴，，∴，即
∴，∴，
雙曲線定義有，∴離心率.
11．（2020·全國）若、為橢圓：()長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，垂直于軸的直線與橢圓交于點(diǎn)、，且，則橢圓的離心率為______
【答案】
【解析】設(shè)、，因?yàn)椋?br/>所以，
所以，所以.
故答案為：
12．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)作傾斜角60°的直線交于，兩點(diǎn)（A在第一象限），則________.
【答案】
【解析】
因?yàn)殡x心率為，所以,
設(shè)直線的方程代入橢圓方程：
得：，又∵點(diǎn)在第一象限，故，
所以
13．（2020·全國高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是____.
【答案】
【解析】由雙曲線的定義可得，
又，則，，所以，.
因此，雙曲線的離心率的取值范圍是.
故答案為：.
14．（2020·臺(tái)州市書生中學(xué)高三其他）已知橢圓，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的下頂點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為
【答案】
【解析】如圖，
點(diǎn)在橢圓上，所以，
由，代入上式得，
在，，
又，所以，
即，
15．（2020·開魯縣第一中學(xué)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上一點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是
【答案】
【解析】由題意可得 PF2=F1F2=2c，再由橢圓的定義可得 PF1 =2a-PF2=2a-2c．
設(shè)∠PF2F1 =，則，△PF1F2中，由余弦定理可得 cos=
由-1＜cosθ 可得 3e2+2e-1＞0，e＞，由cosθ＜，可得 2ac＜a2，e=
，綜上
16．（2020·四川省綿陽南山中學(xué)高三）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為
【答案】
【解析】
設(shè)，則
由橢圓的定義，可以得到
,
在中，有，解得
在中，有
整理得，
17．（2020·河北省高三）已知橢圓，，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，，且滿足，設(shè)和的中點(diǎn)分別為，，若四邊形為矩形，且面積為，則該橢圓的離心率為
【答案】
【解析】如圖，不妨設(shè)，兩條直線的斜率大于零時(shí)，連結(jié)，
由題意知，
解得，，或，（舍）
，，
在中，因?yàn)椋裕?br/>故此時(shí)，．
設(shè)，，則，
兩式相減得，
即，即，
因此離心率，所以．
18．（2020·廣東省高三月考）已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為
【答案】
【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，連接，，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，
則，且由，可得，
所以，則，
由余弦定理可得
，
即，
∴橢圓的離心率，
第7講 點(diǎn)差法
點(diǎn)差法適用范圍
中點(diǎn)弦
圓錐曲線有三點(diǎn)P、A、B且A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
2.點(diǎn)差法在中點(diǎn)弦中推導(dǎo)過程
3點(diǎn)差法在對(duì)稱中的推導(dǎo)過程
微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
4.點(diǎn)差法在圓錐曲線中的結(jié)論
總結(jié)：小題可以直接利用結(jié)論解題，解答題需要寫推導(dǎo)過程
技巧1 點(diǎn)差法在橢圓在的應(yīng)用
【例1】（1）（2020·全國高三專題練習(xí)）直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則=（ ）
A． B． C． D．
(2)2．（2020·高密市教育科學(xué)研究院高三其他模擬）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則G的方程為（ ）
A． B． C． D．
（3）．（2020·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三三模（文））已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則（　　）
A． B． C． D．
（4）．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)所在的直線的斜率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）D（3）B（4）B
【解析】（1）設(shè)把代入得，
，因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得.故選:C
設(shè)，則，
兩式相減并化簡得，
即,
由于且，由此可解得，
故橢圓的方程為.故選：D.
（3）設(shè)，，的中點(diǎn)，
則，.
因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)在橢圓上，所以，.
兩式相減得：，
，
，，
即，解得.故選：B
（4）設(shè)，，中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程中，得到，，
兩式子相減得到，，
結(jié)合，，，且，代入上面式子得到，，故選：B.
【舉一反三】
1．（2020·廣東珠海市·高三一模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由題得.
設(shè)，由題得，
所以，
兩式相減得，
所以，
所以，
所以.
故選：C
2．（2020·安徽安慶市·高三其他模擬）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，
所以，相減得，
∴，
即，
又∵，，
所以，即，
解得，又，
∴．
即橢圓的方程為.
故選：A．
3．（2020·全國高三專題練習(xí)）橢圓與直線交于兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，由題知：
，.
設(shè)線段中點(diǎn)為，則.
將代入得到.
因?yàn)椋?
故選：B
4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知橢圓，作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，
則，，
兩式相減，得．
兩點(diǎn)直線的傾斜角為
，
，即，①
直線的斜率為②
由①②可得得．故選：B．
5．（2020·湖南長沙市·瀏陽一中高三）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線交E于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令A(yù)B的中點(diǎn)為M，坐標(biāo)為，則，
因?yàn)锳、B兩點(diǎn)是直線與橢圓的交點(diǎn)，且焦點(diǎn)在x軸，所以則故選：B
技巧2 點(diǎn)差法在雙曲線在的應(yīng)用
【例2】（1）（2020·全國高三專題練習(xí)）已知雙曲線E：－＝1，直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線l的方程為（ ）
A．4x＋y－1＝0 B．2x＋y＝0
C．2x＋8y＋7＝0 D．x＋4y＋3＝0
（2）（2020·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為2，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn).若是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（3）．（2020·河南鶴壁市·鶴壁高中高三）已知直線:與雙曲線:(,)交于,兩點(diǎn),點(diǎn)是弦的中點(diǎn),則雙曲線的離心率為( )
A． B．2 C． D．
（4）（2020·全國高三專題練習(xí)）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過F的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為,則的方程式為
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）C（3）D（4）B
【解析】（1）依題意，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則有
兩式相減得＝，即＝×.
又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是，因此x1＋x2＝1，y1＋y2＝（－1）×2＝－2，
所以＝－，即直線AB的斜率為－，直線l的方程為y＋1＝，
即2x＋8y＋7＝0.故選：C．
（2）由題,雙曲線中,又焦點(diǎn)到漸近線的距離,且,解得.故雙曲線.
設(shè)則,兩式相減得
.又中點(diǎn),
故.故選：C
（3）設(shè)
點(diǎn)是弦的中點(diǎn)
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得:
,兩點(diǎn)在直線:
根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式可得:
兩點(diǎn)在雙曲線上 微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
,即
解得:故選:D.
（4）∵kAB==1,∴直線AB的方程為y=x-3.由于雙曲線的焦點(diǎn)為F(3,0),∴c=3,c2=9.
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),則-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴雙曲線E的方程為-=1.故選B.
【舉一反三】
1．（2019·陜西寶雞市·高考模擬）雙曲線的一條弦被點(diǎn)平分，那么這條弦所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)弦的兩端點(diǎn)，，，，斜率為，則，，
兩式相減得，即，
弦所在的直線方程，即．故選C
2．（2019·廣東佛山市·佛山一中高三期中）已知雙曲線C：(a>0，b>0)，斜率為1的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為(4，1)，則雙曲線C的漸近線方程是
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0
【答案】B
【解析】設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，消去y，得，
設(shè)，
因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，解得，
所以，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為，即，故選B.
3．（2020·吉林長春市·高三月考）雙曲線被斜率為的直線截得的弦的中點(diǎn)為則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】設(shè)代入雙曲線方程作差有:，
有，所以，故選：B．
4．（2020·全國高三專題練習(xí)）過點(diǎn)P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】解法一：由題意可知，直線AB的斜率存在．設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因?yàn)镻(4，2)為線段AB的中點(diǎn)，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故選:D.
解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ，　①
.　②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因?yàn)镻(4，2)為線段AB的中點(diǎn)，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y(tǒng)1－y2，所以直線AB的斜率k＝＝1.則直線AB的方程為y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
故選：D
5．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知斜率為的直線與雙曲線：(，)相交于、兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為.則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)
，兩式做差得
整理得，
而，，，
代入有，即
可得．
故選：A.
技巧3 點(diǎn)差法在拋物線在的應(yīng)用
【例3】（1）（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考）已知拋物線，以為中點(diǎn)作的弦，則這條弦所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2020·貴州高三其他模擬）已知拋物線，傾斜角為的直線交于兩點(diǎn).若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn).
若直線垂直于軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意.
所以，直線的斜率存在，由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，
由于點(diǎn)、在拋物線上，可得，
兩式作差得，
所以，直線的斜率為，
因此，直線的方程為，即.故選：A.
（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，
設(shè)，則，
因?yàn)榫€段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，所以.故選：C.
【舉一反三】
1．（2020·全國高三專題練習(xí)）直線過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，
，兩式相減得，
即，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，
解得：
故選：A
2．（2020·河北衡水市·衡水中學(xué)高三）已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)、\，
則，，兩式相減得，
所以，解得，得，所以，
得直線，聯(lián)立，得，，
由韋達(dá)定理得，，
所以，
故選：B.
1．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A．B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則=2，=－2，
， ① ， ②
①－②得，
∴===，
又==，∴=，又9==，
解得=9，=18，∴橢圓方程為，
故選：D．
2．（2020·全國高三專題練習(xí)）橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線與橢圓相交于點(diǎn)，，，，斜率為．
則，，兩式相減得，
又，，，
代入解得．
故選：．
3．（2020·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三三模）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線(為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)A，，則，
A，代入橢圓方程得：，
兩式相減可得：，
化簡可得：，即：，
故選：B
4．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知離心率為的橢圓內(nèi)有個(gè)內(nèi)接三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊的中點(diǎn)分別為，直線的斜率分別為，且均不為0，若直線斜率之和為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可得，所以不妨設(shè)為.
設(shè)，，，，，，，
兩式作差得，
則，，
同理可得，
所以，
故選：．
5．（2020·全國高三專題練習(xí)）中心為原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0,5）的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該橢圓方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得c＝5，設(shè)橢圓的方程為，聯(lián)立得，
消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，
設(shè)直線y＝3x－2與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），
由根與系數(shù)關(guān)系得x1＋x2＝，
由題意知x1＋x2＝1，即＝1，
解得a2＝75，所以該橢圓方程為.
故選：C
6．（2020·全國高三專題練習(xí)）橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點(diǎn)，連接原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所得直線的斜率為，則的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝，所以y1＋y2＝，
所以線段MN的中點(diǎn)為P，.
由題意知，kOP＝，所以．
故選：A.
7．（2020·黑龍江哈爾濱市·哈師大附中高三）已知雙曲線：，斜率為2的直線與雙曲線相交于點(diǎn)、，且弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】設(shè)、，則，，
所以，所以，
又弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，又，
所以，即，
所以雙曲線的離心率.
故選：B.
8．（2020·青海西寧市·高三二模）已知傾斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)閮A斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點(diǎn)，
所以直線的斜率，
設(shè)，則①②
由①②得則
因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，
因?yàn)橹本€的斜率為1即所以
，則，故選：D
9．（2020·銀川三沙源上游學(xué)校高三）已知直線:與雙曲線:(，)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得.
直線:的斜率為，故.
因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，
兩式相減并化簡得，
所以，所以.故選：D
10．（2020·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高三）已知A，B為雙曲線1（a＞0，b＞0）上的兩個(gè)不同點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若kAB kOM，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】設(shè)，，則＝，＝，
由可得．∴ ，
即，則雙曲線的離心率為．故選：D．
11．（2020·甘肅蘭州市·高三月考）過點(diǎn)作一直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，若為中點(diǎn)，則( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知直線AB不與y軸平行，設(shè)其方程為y﹣2＝k（x﹣4）
代入雙曲線C：，整理得（1﹣2k2）x2+8k（2k﹣1）x﹣32k2+32k﹣10＝0
設(shè)此方程兩實(shí)根為，，則
又P（4，2）為AB的中點(diǎn)，所以8，解得k＝1
當(dāng)k＝1時(shí)，直線與雙曲線相交，即上述二次方程的△＞0，
所求直線AB的方程為y﹣2＝x﹣4化成一般式為x﹣y﹣2＝0．＝8，＝10
|AB||| 4．
故選D．
12．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知F是拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)R(2，1)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，R為線段AB的中點(diǎn).若|FA|+|FB|=5，則直線l的斜率為（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】由于R(2，1)為AB中點(diǎn)，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB).根據(jù)拋物線的定義|FA|+|FB|=xA+xB+p=2×2+p=5，解得p=1，拋物線方程為y2=2x.，兩式相減并化簡得，即直線l的斜率為1.
故選：B
13．（2020·湖北武漢市·高三三模）設(shè)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則直線的斜率（ ）.
A．2 B． C． D．或2
【答案】A
【解析】聯(lián)立直線與拋物線，
消整理可得，
設(shè)，，
由題意，
解可得，解可得或，
綜上可知，.
故選：A
14．（2020·全國高三月考（理））已知圓與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，若拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)和，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，所以縱坐標(biāo)為，
橫坐標(biāo)為1，代入，
可得.設(shè)點(diǎn)，.
則則，
，又關(guān)于直線對(duì)稱.
，即，，
又的中點(diǎn)一定在直線上，.
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選:A.
15．（2020·全國高三月考）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，若拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的不同兩點(diǎn)和，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，
所以．設(shè)點(diǎn)，．
則，則，
，又，關(guān)于直線對(duì)稱．，即，，
又的中點(diǎn)一定在直線上，
．
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選：A.
16．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知直線l過拋物線的焦點(diǎn)，并交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，，則弦AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】直線l過拋物線的焦點(diǎn), 交拋物線C于A、B兩點(diǎn)
則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為
過向準(zhǔn)線作垂直交準(zhǔn)線于點(diǎn),過向準(zhǔn)線作垂直交準(zhǔn)線于點(diǎn),過向準(zhǔn)線作垂直交準(zhǔn)線于,交軸于,如下圖所示:
設(shè)
由拋物線定義可知,
由,可知
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),
由梯形的中位線性質(zhì)可知
則
即M的橫坐標(biāo)是
故選:C
17．（2020·河北衡水市·衡水中學(xué)高三月考）拋物線方程為，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，若過點(diǎn)可以作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè),
由題得，
所以，
故選：A
18．（2020·全國高三專題練習(xí)）過橢圓內(nèi)的一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在的直線方程 .
【答案】
【解析】解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，、，
為的中點(diǎn)
，
又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，
兩式相減得
于是
，即，
故所求直線的方程為，即．
故答案為：
19．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過的直線與相交于、兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求雙曲線的方程 .
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線的方程為(，)，由題意知，，
設(shè)、則有：，，
兩式作差得：，又的斜率是，
∴，代入得，，，∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是.
20．（2020·全國高三專題練習(xí)）直線m與橢圓＋y2＝1交于P1，P2兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為________.
【答案】
【解析】設(shè)，中點(diǎn)，
則滿足，兩式相減得，
整理得，即，即，
.
故答案為：.
21．（2020·全國高三其他模擬）已知直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好為，則橢圓的離心率為______.
【答案】
【解析】設(shè)，，代入橢圓方程得，，
兩式作差得，整理得，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋?br/>所以，所以，
所以.
故答案為：.
22．（2019·浙江寧波市·鎮(zhèn)海中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓：的離心率為，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓r上，設(shè)△ABC三條邊AB、BC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、M，且三條邊所在直線的斜率分別為、、且均不為0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OD、OE、OM的斜率之和為2，則___________．
【答案】
【解析】由橢圓：的離心率為，
設(shè) ，則
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
設(shè)
因?yàn)檫匒B、BC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、M，
故 ，
由 在橢圓上，則 ，
兩式相減化簡得： ，所以
即： 同理得：，所以
又因?yàn)?br/>故答案為：
23．（2020·四川成都市·高三二模）設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則的值為___________．
【答案】
【解析】聯(lián)立直線與拋物線，得，
則，又，故，.
故答案為：.
24．（2020·全國高三月考）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為______.
【答案】
【解析】設(shè)，，則，，①，②，
由①－②得，即
所以，
又，
所以，即，又，解得，，
所以橢圓方程為．
25．（2020·江蘇）橢圓與直線y＝1－x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為________．
【答案】
【解析】設(shè)，線段AB的中點(diǎn)為
則，
即
，
故答案為：
26．（2020·湖北黃岡市·黃岡中學(xué)高三其他模擬）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，是一個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的方程是______.
【答案】
【解析】由，的坐標(biāo)得.
設(shè)雙曲線方程為，則.
設(shè)，，
則，，.
由，得，
即，
∴.
于是，，
所以的方程為.
故答案為：
27．（2020·廣東廣州市·高三月考）已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)兩點(diǎn)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為時(shí)，直線的方程為________.
【答案】
【解析】設(shè)，，則，
相減得到，即，.
故直線方程為：，即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題考查了雙曲線中的點(diǎn)差法，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.
28．（2020·西藏拉薩市·拉薩中學(xué)高三月考）已知雙曲線上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，且線段的中點(diǎn)在直線上，則雙曲線的離心率為_________.
【答案】2
【解析】點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，
線段的中點(diǎn)在直線上
所以得，
設(shè)，所以
將代入雙曲線，則有
兩式相減得.
∵，∴，
∴.
∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱
∴，
所以，即.
∴雙曲線的離心率為.
故答案為：
29．（2020·全國高三月考）過點(diǎn)作直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】因?yàn)殡p曲線方程為
則
設(shè),
因?yàn)辄c(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)
則
則,兩式相減并化簡可得
即直線的斜率為2
所以直線的方程為
,化簡可得
因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
所以
解得且
所以的取值范圍為
故答案為:
30．（2019·云南玉溪市·高三月考）已知拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，若拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為_________.
【答案】
【解析】焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，，
設(shè)，，中點(diǎn)，，
得：，即，即
故，又因?yàn)樵谥本€上，所以，
從而線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.
第8講 外接球與內(nèi)切球
外接球8大模型秒殺公式推導(dǎo)
1.墻角模型
使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長方體中畫出該圖且各頂點(diǎn)與長方體的頂點(diǎn)重合
推導(dǎo)過程：長方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑
秒殺公式：
圖示過程
2.漢堡模型
（1）使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體
（2）推導(dǎo)過程
第一步：取底面的外心O1,，過外心做高的的平行且長度相等，在該線上中點(diǎn)為球心的位置
第二步：根據(jù)勾股定理可得
（3）秒殺公式：
（4）圖示過程
3.斗笠模型
（1）使用范圍：正棱錐或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上
（2）推導(dǎo)過程
第一步：取底面的外心O1,，連接頂點(diǎn)與外心，該線為空間幾何體的高h(yuǎn)
第二步：在h上取一點(diǎn)作為球心O
第三步：根據(jù)勾股定理
（3）秒殺公式：
（4）圖示過程
4.折疊模型
使用范圍：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊
推導(dǎo)過程 微信公眾號(hào)：鉆研數(shù)學(xué)
第一步：過兩個(gè)平面取其外心H1、H2，分別過兩個(gè)外心做這兩個(gè)面的垂線且垂線相交于球心O
第二步：計(jì)算
第三步：
（3）秒殺技巧：
（4）圖示過程
5.切瓜模型
（1）使用范圍：有兩個(gè)平面互相垂直的棱錐
（2）推導(dǎo)過程：
第一步：分別在兩個(gè)互相垂直的平面上取外心F、N，過兩個(gè)外心做兩個(gè)垂面的垂線，兩條垂線的交

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