資源簡介

全等三角形輔助線
常見輔助線的作法有以下幾種：
遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”．
遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”．
遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．
過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”；（遇垂線及角平分線時延長垂線段，構造等腰三角形）
截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．
特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．
一、倍長中線（線段）造全等
1：（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.
2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.
3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.
中考應用
（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關系及數量關系．（1）如圖① 當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ，線段AM與DE的數量關系是 ；
（2）將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由．
二、截長補短
1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC
2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點E，求證;AB＝AC+BD
3：如圖，已知在內，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP
4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：

5:如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC
6．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．
中考應用：（08海淀一模）
三.借助角平分線造全等
1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交
于點O，求證：OE=OD
2：（06鄭州市中考題）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.
中考應用:（06北京中考）如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；
（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。
四、平移變換
1.AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點，△ABC周長記為，△EBC周長記為.求證＞.
2：如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.
五、旋轉
1：正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數.

2：D為等腰斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。
當繞點D轉動時，求證DE=DF。
（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。
3.如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為 ；
中考應用：（07佳木斯）已知四邊形中，，，，：，，繞點旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于．（1）當繞點旋轉到時（如圖1），易證．（2）當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．
（09崇文一模）在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,,BD=DC. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系．
圖1 圖2 圖3
（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是 ； 此時 ；
（II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；
（III） 如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）．
六、構造全等
例1： 已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，
AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．
求證：∠ADC=∠BDF．
2．用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種
方法：如圖9所示，先在∠AOB的兩邊上取OP=OQ，
再取PM=QN，連接PN、QM，得交點C，則射線OC
平分∠AOB．你能說明道理嗎？ 圖9
3．如圖10，△ABC中，AB=AC，過點A作
GE∥BC，角平分線BD、CF相交于點H，它們的
延長線分別交GE于點E、G．試在圖10中找出3
對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明． 圖10
4．已知△ABC，AB=AC，E、F分別
為AB和AC延長線上的點，且BE=CF，EF
交BC于G．求證：EG=GF． 圖15
5． 已知：△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．求證：AD平分∠BAC．
說明：遇到有關角平分線的問題時，可引角的兩邊的垂線，先證明三角形全等，然后根據全等三角形的性質得出垂線段相等，再利用角的平分線性質得出兩角相等．
（2）利用角的平分線構造全等三角形：①過角平分線上一點作兩邊的垂線段
練習：如圖22，AB∥CD，E為AD上一點，且BE、CE分
別平分∠ABC、∠BCD．求證：AE=ED．
②以角的平分線為對稱軸構造對稱圖形
例6： 如圖23，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求證：AB=AC+CD．
分析：由于角平分線所在的直線是這個角的對稱軸，因此在AB上截取AE=AC，連接DE，我們就能構造出一對全等三角形，從而將線段AB分成AE和BE兩段，只需證明BE=CD就可以了．
③延長角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線
例7： 如圖24，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．
求證：∠ACE=∠B+∠ECD．
分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延長CE交AB于點F，即可構造全等三角形．
（3）利用角的平分線構造等腰三角形
如圖25，在△ABC中，AD平分∠BAC，過點D作
DE∥AB，DE交AC于點E．易證△AED是等腰三角形．
因此，我們可以過角平分線上一點作角的一邊的平行線，
構造等腰三角形． 圖25
例11 如圖26，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于點E．
求證：CD=BE．
練習：1．如圖27，在△ABC中，∠B=90o，
AD為∠BAC的平分線，DF⊥AC于F，DE=DC．
求證：BE=CF．
2．已知：如圖28，AD是△ABC的中線，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．
求證：（1）AD是∠BAC的平分線；（2）AB=AC． 圖28
3．在△ABC中，∠BAC=60o，∠C=40o，
AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q．
求證：AB+BP=BQ+AQ． 圖29
4．如圖30，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．
求證：∠C=2∠B． 圖30
5．如圖31，E為△ABC的∠A的平分線
AD上一點，AB＞AC．
求證：AB-AC＞EB-EC． 圖31
6．如圖32，在四邊形ABCD中，BC＞BA，
AD=CD，BD平分∠ABC． 求證：∠A+∠C=180o．
7．如圖33所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，
∠3=∠4，直線DC過點E作交AD于點D，交
BC于點C．
求證：AD+BC=AB．
8．已知，如圖34，△ABC中，∠ABC=90o，
AB=BC，AE是∠A的平分線，CD⊥AE于D．求證：CD=AE．
9．△ABC中，AB=AC，∠A=100o，
BD是∠B的平分線．求證：AD+BD=BC．
10．如圖36，∠B和∠C的平分線相交于點F，
過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點
E，若BD+CE=9，則線段DE的長為（　）
A．9 B．8 C．7 D．6 圖36
11．如圖37，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于點D，且D是BC的中點．
求證：AB=AC． 圖37
12．已知：如圖38，△ABC中，AD是∠BAC
的平分線，E是BC的中點，EF∥AD，交AB于M，
交CA的延長線于F．求證：BM=CF．
1.（2010年河南中考模擬題3）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=450，將△ADC繞點A順時針旋轉900后，得到△AFB，連接ＥＦ，下列結論：（１）△ＡＥＤ≌△ＡＥＦ；（２）△ＡＢＥ∽△ＡＣＤ；（３）ＢＥ＋ＤＣ＝ＤＥ；（４）ＢＥ２＋ＤＣ２＝ＤＥ２．其中正確的是（　　　）
A．（2）（4） B．（1）(4) C．(2) (3) D．(1) (3)
2.（2010年浙江杭州）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，
BC＝10，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC
于F，M為EF中點，則AM的最小值為 ．
3.（2010年中考模擬2）如圖，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF，AF、BE交于點P .（1）求證：AF=BE；（2）請你猜測∠BPF的度數，并證明你的結論 .
4.（2010年北京市中考模擬）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=，于點D,點E 在AC上，CE=BC,過E點作AC的垂線，交CD的延長線于點F .求證：AB=FC
5．（2010年赤峰市中考模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分線，AF∥DC，連接AC、CF，求證：CA是∠DCF的平分線.
6.（10年廣州市中考六模）、如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在
BC、CD上移動，但A到EF的距離AH始終保持與AB長相等，問在E、F
移動過程中：(1)求證：∠EAF = 45o ;
(2)△ECF的周長是否有變化？請說明理由.
7.（2010年天水模擬）如圖，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，
點P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分別為D、E ，
已知DC=2，求BE的長。
8．（2010年廣州中考數學模擬試題(四)）如圖，在矩形ABCD中，
AE平分∠DAB交DC于點E，連接BE，過E作EF⊥BE交AD于E.
(1)∠DEF和∠CBE相等嗎？請說明理由；
(2)請找出圖中與EB相等的線段(不另添加輔助線和字母)，并說明理由.
9.（2010年河南中考模擬題2）將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張紙片，再將這兩張三角形紙片擺放成如圖所示的形式，使點B、F、C、D在同一條直線上。（1）求證：AB⊥ED。（2）若PB=BC，請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并給予證明。
10.（2010年河南中考模擬題6）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直
角三角形，∠ACB=∠ECD=900，D為AB邊上一點。
求證：（1）△ACE≌△BCD； （2）。
11．（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.(1)如圖,當∠APB=45°時,求AB及PD的長;
(2)當∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應∠APB的大小.

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