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高考數(shù)學(xué)全套知識(shí)點(diǎn)（通用版）
1. 對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無(wú)序性”。
中元素各表示什么？
注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問(wèn)題。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性質(zhì)：
（3）德摩根定律：
4. 你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問(wèn)題嗎？（排除法、間接法）
的取值范圍。
6. 命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？
（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。）
原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。
7. 對(duì)映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射？
（一對(duì)一，多對(duì)一，允許B中有元素?zé)o原象）
8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？
（定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域）
9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？
10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？
義域是_。
11. 求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？
12. 反函數(shù)存在的條件是什么？
（一一對(duì)應(yīng)函數(shù)）
求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？
（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）
13. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？
①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；
②保存了原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；
14. 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？
（取值、作差、判正負(fù)）
如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？
u
O 1 2 x

∴……）
15. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？
值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
∴a的最大值為3）
16. 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？
（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）
注意如下結(jié)論：
（1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。
17. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？
函數(shù)，T是一個(gè)周期。）
如：
18. 你掌握常用的圖象變換了嗎？
注意如下“翻折”變換：
y
y=log2x
O 1 x

19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？
(k<0) y (k>0)
y=b
O’(a,b)
O x
x=a

的雙曲線。
應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程
②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。
③求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。
④一元二次方程根的分布問(wèn)題。
y
(a>0)
O k x1 x2 x

由圖象記性質(zhì)！ （注意底數(shù)的限定?。?br/> y
y=ax(a>1)
(01)
1
O 1 x
(0
利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？
y
O x

20. 你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？
21. 如何解抽象函數(shù)問(wèn)題？
（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）
22. 掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？
（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）
如求下列函數(shù)的最值：
23. 你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？

O R

24. 熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義
y
T
A x

25. 你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸嗎？
y
x
O

（x，y）作圖象。
27. 在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要注意兩個(gè)方面——先求出某一個(gè)三角函數(shù)值，再判定角的范圍。
28. 在解含有正、余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？
29. 熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？
（平移變換、伸縮變換）
平移公式：
圖象？
30. 熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？
“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。
A. 正值或負(fù)值 B. 負(fù)值 C. 非負(fù)值 D. 正值
31. 熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？
理解公式之間的聯(lián)系：


應(yīng)用以上公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)。（化簡(jiǎn)要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）
具體方法：
（2）名的變換：化弦或化切
（3）次數(shù)的變換：升、降冪公式
（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。
32. 正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？
（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）
33. 用反三角函數(shù)表示角時(shí)要注意角的范圍。
34. 不等式的性質(zhì)有哪些？
答案：C
35. 利用均值不等式：
值？（一正、二定、三相等）
注意如下結(jié)論：
36. 不等式證明的基本方法都掌握了嗎？
（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）
并注意簡(jiǎn)單放縮法的應(yīng)用。
（移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）
38. 用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始
39. 解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的討論
40. 對(duì)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去解？
（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后取各段的并集。）
證明：
（按不等號(hào)方向放縮）
42. 不等式恒成立問(wèn)題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，或“△”問(wèn)題）
43. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)
0的二次函數(shù)）
項(xiàng)，即：
44. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)
46. 你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？
例如：（1）求差（商）法
解：
［練習(xí)］
（2）疊乘法
解：
（3）等差型遞推公式
［練習(xí)］
（4）等比型遞推公式
［練習(xí)］
（5）倒數(shù)法
47. 你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎？
例如：（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。
解：
［練習(xí)］
（2）錯(cuò)位相減法：
（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加。
［練習(xí)］
48. 你知道儲(chǔ)蓄、貸款問(wèn)題嗎？
△零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：
若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：
△若按復(fù)利，如貸款問(wèn)題——按揭貸款的每期還款計(jì)算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類）
若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x元，滿足
p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)
49. 解排列、組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合。
（2）排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一
（3）組合：從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不
50. 解排列與組合問(wèn)題的規(guī)律是：
相鄰問(wèn)題捆綁法；相間隔問(wèn)題插空法；定位問(wèn)題優(yōu)先法；多元問(wèn)題分類法；至多至少問(wèn)題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。
如：學(xué)號(hào)為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績(jī)
則這四位同學(xué)考試成績(jī)的所有可能情況是（ ）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成兩類：
（2）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等
相同兩數(shù)分別取90，91，92，對(duì)應(yīng)的排列可以數(shù)出來(lái)，分別有3，4，3種，∴有10種。
∴共有5＋10＝15（種）情況
51. 二項(xiàng)式定理
性質(zhì)：
（3）最值：n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第
表示）
52. 你對(duì)隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎？

A B

的和（并）。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時(shí)發(fā)生”叫做A、B互斥。
（6）對(duì)立事件（互逆事件）：
（7）獨(dú)立事件：A發(fā)生與否對(duì)B發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。
53. 對(duì)某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即
（5）如果在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生
如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）從中任取2件都是次品；
（2）從中任取5件恰有2件次品；
（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103
而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”
（4）從中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽?。ㄓ许樞颍?br/>分清（1）、（2）是組合問(wèn)題，（3）是可重復(fù)排列問(wèn)題，（4）是無(wú)重復(fù)排列問(wèn)題。
54. 抽樣方法主要有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的特征是從總體中逐個(gè)抽?。幌到y(tǒng)抽樣，常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個(gè)；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。
55. 對(duì)總體分布的估計(jì)——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計(jì)總體的期望和方差。
要熟悉樣本頻率直方圖的作法：
（2）決定組距和組數(shù)；
（3）決定分點(diǎn)；
（4）列頻率分布表；
（5）畫頻率直方圖。
如：從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為____________。
56. 你對(duì)向量的有關(guān)概念清楚嗎？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不改變。
（6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
規(guī)定零向量與任意向量平行。
（7）向量的加、減法如圖：
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一組基底。
（9）向量的坐標(biāo)表示
表示。
57. 平面向量的數(shù)量積
B
O
D A

數(shù)量積的幾何意義：
（2）數(shù)量積的運(yùn)算法則
［練習(xí)］
答案：
答案：2
答案：
58. 線段的定比分點(diǎn)
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？
59. 立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？
平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：
線面平行的判定：
a
b

線面平行的性質(zhì)：
三垂線定理（及逆定理）：


線面垂直：
a
O
α b c

面面垂直：

α a
l
β

a b


60. 三類角的定義及求法
（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）
三類角的求法：
①找出或作出有關(guān)的角。
②證明其符合定義，并指出所求作的角。
③計(jì)算大?。ń庵苯侨切?，或用余弦定理）。
［練習(xí)］
（1）如圖，OA為α的斜線OB為其在α內(nèi)射影，OC為α內(nèi)過(guò)O點(diǎn)任一直線。
A
O B
C
D

（2）如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對(duì)角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；
②求異面直線BD1和AD所成的角；
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
D1 C1
A1 B1
H
G
D C
A B

（3）如圖ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。
P F
D C
A E B

（∵AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點(diǎn)，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線……）
61. 空間有幾種距離？如何求距離？
點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與線，線與面，面與面間距離。
將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長(zhǎng)（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，則：
（1）點(diǎn)C到面AB1C1的距離為___________；
（2）點(diǎn)B到面ACB1的距離為____________；
（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為____________；
（4）面AB1C與面A1DC1的距離為____________；
（5）點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_____________。
D C
A B
D1 C1
A1 B1

62. 你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？
正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱
正棱錐——底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。
正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中：
它們各包含哪些元素？
63. 球有哪些性質(zhì)？
（2）球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長(zhǎng)。為此，要找球心角！
（3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經(jīng)度角，它是面面成角。
（5）球內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。
積為（ ）
答案：A
64. 熟記下列公式了嗎？
（2）直線方程：
65. 如何判斷兩直線平行、垂直？
66. 怎樣判斷直線l與圓C的位置關(guān)系？
圓心到直線的距離與圓的半徑比較。
直線與圓相交時(shí)，注意利用圓的“垂徑定理”。
67. 怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？
68. 分清圓錐曲線的定義
y
b
O
F1 F2 a x


F
k

70. 在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程，要注意其二次項(xiàng)系數(shù)是否為零？△≥0的限制。（求交點(diǎn)，弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，斜率，對(duì)稱存在性問(wèn)題都在△≥0下進(jìn)行。）
71. 會(huì)用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？
如：
y
P(x0,y0)
K
F1 O F2 x
l

y
A P2
O F x
P1

通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短者；以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。
72. 有關(guān)中點(diǎn)弦問(wèn)題可考慮用“代點(diǎn)法”。
答案：
73. 如何求解“對(duì)稱”問(wèn)題？
（1）證明曲線C：F（x，y）＝0關(guān)于點(diǎn)M（a，b）成中心對(duì)稱，設(shè)A（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，設(shè)A'（x'，y'）為A關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)。
75. 求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。
（直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法）
76. 對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題：作出可行域，作出以目標(biāo)函數(shù)為截距的直線，在可行域內(nèi)平移直線，求出目標(biāo)函數(shù)的最值。
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