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簡單幾何體的外接球和內切球問題
正方體或長方體：
1．正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2．長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3．補成長方體
（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
例1.設正方體的棱長為，則它的外接球的表面積為（ ）
A． B．2π C．4π D．
例2.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為　　　　．
練習1：三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，長度分別為，，，則其外接球半徑為 。
練習2：如果三棱錐的三個側面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4和3，那么它的外接球的體積是 .
練習3：如右圖所示三棱錐A-BCD,其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,則該三棱錐外接球的表面積為_______.
二、直三棱柱：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點．
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
例3.直三棱柱ABC-A’B’C的所有棱長均為，則此三棱柱的外接球的表面積為（ ）
A．12π B．16π C．28π D．36π
練習1：在直三棱柱中，,則直三棱柱的外接球的表面積 .
練習2：直三棱柱的各頂點都在同一球面上，AB=AC=AA1=2,則此球的表面積等于 。
三、正棱柱：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點．
例4.各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是 .
練習1：一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為 .
四、直棱錐：側棱垂直于底面
如圖，平面，求外接球半徑.
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：
①；
②.
例5. 在三棱錐中，,，則三棱錐外接球的表面積 .
練習1：三棱錐S_-ABC中，SA⊥面ABC，SA=2。△ABC是邊長為1的正三角形，則其外接球的表面積為 .
練習2：若三棱錐S-ABC的所有頂點都在球的球面上，平面， ，則球的表面積為 .
五、正棱錐：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計算找到。
例6.已知正四棱錐的各條棱長均為2，則其外接球的表面積為( )
B. C. D.
練習1：已知正四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為 （ ）
A. B. C. D.
練習2：如圖，正三棱錐的四個頂點均在球的球面上，底面正三角形的邊長為3，側棱長為，則球的表面積是　　
B． C． D．
練習3：體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，球心在此三棱錐內部，且，點為的中點，過點作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是 .
六、若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心．
例7.三棱錐A-BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD=，則此三棱錐外接球的體積為 .
練習1：在矩形中，，，沿將矩形折疊，連接，所得三棱錐的外接球的表面積為
內切球
（一）相似：正棱錐的內切球問題
例1．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為________.
練習1：若圓錐的內切球（球面與圓錐的側面以及底面都相切）的半徑為1，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內切球體積比為（ ）
A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．8：3
（二）等體積法
例2.《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，若四棱錐M-ABCD為陽馬，側棱MA⊥面ABCD，且MA=BC=AB=2，則該陽馬的內切球表面積為（ ）
A. B. C. D.
例3.已知點O到直三棱柱各面的距離都相等，球O是直三棱柱的內切球，若球O的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
練習2：如圖所示，正方體的棱長為，以其所有面的中心為頂點的多面體為正八面體，那么該正八面體的內切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
練習3：在正方體中，三棱錐的內切球的表面積為，則正方體外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．

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