資源簡介

(共16張PPT)
勾股定理
【八上 第十七章 特殊的三角形】
精品課程
EIGHT GRADE MATHEMATICS COURSEWARE VOLUME II
情景引入
01
石家莊科技館
情景引入
01
你發現了什么現象？
情景引入
01
你得到什么結論？
a
b
c
c2
a2
b2
a2+b2=c2
猜想
02
對于任意一個直角三角形，直角邊和斜邊之間有什么樣的關系？“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”這個結論仍然成立嗎？
？
a2+b2=c2
在Rt△ABC中，
A
B
C
a
b
c
猜想
02
B
A
C
A
B
C
面積 A B C
左圖
右圖
16
9
8
4
25
SA+SB=SC
a
c
b
a
b
a=2, b=2 , c=
a=3, b=4, c=5
4
a2+b2=c2
c
證明
03
∴ a2+b2=c2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形形
趙爽弦圖
b-a
a2+b2=c2
在Rt△ABC中，
即，c2=4· ab+(b-a)2
c2=2ab+a2-2ab+b2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
國際數學家大會會徽
證明
03
a2+b2=c2
在Rt△ABC中，
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
∵S大正方形 =S小正方形 +4SRt△
∴(a+b)2=c2+4 × ab
即
a2+b2=c2
構造法和等面積法
鄒元治證明法
證明
03
∵S梯形=S等腰Rt △ +2SRt△
∴ (a+b)2= c2+2× ab
即
a2+b2=c2
總統證法
a2+b2=c2
在Rt△ABC中，
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
A
B
C
a
b
c
結論
04
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方
勾股定理：
勾
股
（又稱“畢達哥拉斯定理”）
弦
勾
股
幾何語言：
∴a2+b2=c2
∵在Rt△ABC中，∠C=900
勾股定理的簡單應用
05
例1.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，c=10，則b=____.
例2.Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4,c=10,則a=___，b=___.0，則a=___，b=___.
例3.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，b=5，則斜邊c上的高h= .
8
∵在Rt△ABC中，
a2+b2=c2
解得，b=8或-8
∴62+b2=102
（舍）
∴b=8
A
B
C
a
b
c
勾股定理的簡單應用
05
例1.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，c=10，則b=____.
例2.Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4,c=10,則a=___，b=___.0，則a=___，b=___.
例3.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，b=5，則斜邊c上的高h= .
8
8
6
∵在Rt△ABC中，
a2+b2=c2
設，a=3x,b=4x
解得，x=2或-2（舍）
∴x=2
∴a=3x=6,b=4x=8
∴(3x)2+(4x)2=(10)2
A
B
C
a
b
c
勾股定理的簡單應用
05
例1.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，c=10，則b=____.
例2.Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4,c=10,則a=___，b=___.0，則a=___，b=___.
例3.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，b=5，則斜邊c上的高h= .
8
8
6
∵在Rt△ABC中，
a2+b2=c2
解得，c=13或-13（舍)
∴(12)2+52=c2
∴h=
∵ SRt △ABC = ab= ch
∴c=13
A
B
C
a
b
c
h
勾股定理的簡單應用
05
例1.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，c=10，則b=____.
例2.Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4,c=10,則a=___，b=___.0，則a=___，b=___.
例3.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，b=5，則斜邊c上的高h= .
8
8
6
方程
二次根式
等面積法
A
B
C
a
b
c
PART 03
課后回顧
勾股定理的證明
01
勾股定理的內容
02
勾股定理的簡單應用
03
勾股定理的應用
【下節預告】
第十七中學 高紅帆
EIGHT GRADE MATHEMATICS COURSEWARE VOLUME II微說明
選擇勾股定理這一課題的原因有二，一方面勾股定理是初中數學八年級上冊
第17章第三節的內容，它揭示了直角三角形當中三條邊之間的數量關系，能夠
將數與形密切地聯系起來。另一方面學好勾股定理，對后面學習勾股定理的逆定
理，解直角三角形奠定了基礎。
本節微課的具體學習任務：通過構造法和等面積法驗證勾股定理并體會其中
數形結合的思想：應用勾股定理解決一些實際問題，體會勾股定理的應用價值并
逐步培養學生應用數學解決實際問題意識和能力，為后面的學習打下基礎。為
此本節課的教學目標是：
1、學生能夠掌握勾股定理的內容，初步學會用它來進行簡單計算和證明。
2、學生通過觀察、歸納、猜想驗證勾股定理，體驗從特殊到一般的探索解
決問題的方法以及數形結合的思想。
3、學生通過對勾股定理歷史的了解，感受數學文化，激發學習熱情。
其中，探索和證明勾股定理是本節課的重點，利用構造法和等面積法來證明
勾股定理是本節課的難點。
另外，要特別說明的是：由于微課視頻的限制，中間未能留出充足的思考及
交流時間，實際上，視頻停頓處或有具體要求處需暫停視頻做以思考。中小學教育資源及組卷應用平臺
勾股微習題
一、基礎夯實
在△ABC中,∠C=90°，∠A ∠B ∠C 的對邊分別為a、b、c,則
⑴若a=3，b=4，則c=＿＿⑵若a=5,c=13,則b=＿＿⑶若b=8，c=17，則a=＿＿
若一個直角三角形的兩直角邊分別為3、4，則面積是＿＿,周長是____,斜邊上的高是____.
已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊為a，b，c，∠C=90°，c=10，b=8，則=________．
二、能力提升
如圖，在和中，，點在上．若，，，則__________．
如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知，，，，則_______．
第1題圖 第2題圖
3．我們根據圖形的移、拼、補可以簡單直觀地推理驗證數學規律和公式，這種方法稱之為“無字證明”．下面是用三塊全等的直角三角形移拼、補所形成的“無字證明”圖形．已知直角三角形直角邊長分別為、，斜邊長為，圖①、圖②的面積相等，請你根據此圖驗證勾股定理．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)微習題
一、基礎夯實
1．在△ABC 中,∠C=90°，∠A ∠B ∠C 的對邊分別為 a、b、c,則
⑴若 a=3，b=4，則 c=＿＿⑵若 a=5,c=13,則 b=＿＿⑶若 b=8，c=17，則
a=＿＿
2．若一個直角三角形的兩直角邊分別為3、4，則面積是＿＿,周長是____,
斜邊上的高是____.
3．已知在△ABC 中，∠A，∠B，∠C所對的邊為 a，b，c，∠C=90°，
c=10，b=8，則a=________．
二、能力提升
1. 如圖，在 ABC和△EDB 中， C EBD 90 ，點 E 在 AB 上．若
△ABC △EDB， AC 12， AB 13，則DB __________．
2. 如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知
S1 4， S2 8， S3 9， S4 25，則 S _______．
第 1題圖 第 2題圖
3．我們根據圖形的移、拼、補可以簡單直觀地推理驗證數學規律和公式，
這種方法稱之為“無字證明”．下面是用三塊全等的直角三角形移拼、補所
形成的“無字證明”圖形．已知直角三角形直角邊長分別為 a、b，斜邊長為
c，圖①、圖②的面積相等，請你根據此圖驗證勾股定理．
試卷第 1頁，共 2頁
試卷第 2頁，共 2頁中小學教育資源及組卷應用平臺
科 目 數學 年 級 八年級 章節 第十七章
課題 17.3.1 勾股定理
教學目標 1、學生能夠掌握勾股定理的內容，初步學會用它來進行簡單計算和證明。2、學生通過觀察、歸納、猜想驗證勾股定理，體驗從特殊到一般的探索解決問題的方法以及數形結合的思想。3學生通過對勾股定理歷史的了解，感受數學文化，激發學習熱情。
教材分析 勾股定理是初中數學八年級上冊第17章第三節的內容，它揭示了直角三角形當中三條邊之間的數量關系，將數與形密切地聯系起來。本節課是在學生已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上來學習的，學好本節課，對后面學習勾股定理的逆定理，解直角三角形奠定了基礎，在實際生活和生產中有著廣泛的應用。
教學重難點 1、重點：探索和證明勾股定理。2、難點：利用構造法和等面積法來證明勾股定理。
教學方法 1、教學方法：引導—探究—發現法．2、學習方法：在教師的組織引導下，采用自主探索、合作交流、自主整理的研討式學習方式
教學過程設計（師生活動） 備 注
一、創設情境通過觀看石家莊科技館內展品的動態演示，從“兩個小正方形內的液體剛好能注滿大正方形容器”的發現得到“這個直角三角形的兩直角邊的平方加起來等于斜邊的平方。”這個結論，并引出“對于任意一個直角三角形的兩直角邊和斜邊之間是否都具有這樣的關系呢？”這個課題。二、猜想任意一個直角三角形兩直角邊和斜邊之間的關系舉兩個例子，作兩個邊長分別為2、2、和3、4、5的直角三角形，分別以三角形的三條邊為邊長作正方形分別記為ABC，畫出以1為單位的網格圖，求正方形的面積，學生填表。通過發現三個正方形的面積的關系，得到的結論，以此來猜想：對于任意一個直角三角形，其兩直角邊的平方加起來等于斜邊的平方。師：為了保證嚴謹性，我們對此做進一步的證明。面積ABC左圖右圖三、證明猜想（1）證明一（趙爽弦圖）老師通過拼湊四個全等的直角三角形，可得以C為邊的大正方形。里面包含四個全等的直角三角形和小正方形，讓同學們來表示大正方形的面積。老師總結“此時由大正方形的表示方法就找到了等量關系”，學生列式化簡。老師再總結“得到，即，原直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，得證。這里對學生介紹趙爽弦圖以此培養熱愛祖國悠久文化的思想并激勵學生發奮學習。隨后，引導學生“受這個方法的啟發想一想是否有其他的拼湊方式使得這四個三角形拼成不同的正方形？”（2）證明二（鄒元治證明法）學生活動1：動手做一做使得四個全等的三角形拼成不同的正方形，做完后以小組為單位相互交流。讓小組把驗證方法展示給全體學生。老師總結：以上兩種方法都是通過構造正方形，并利用不同方法表示大正方形的面積來證明代數式之間的關系，從而得到結論。也就是構造法和等面積法的應用。隨后，對學生提出更高的要求：如果是兩個全等的直角三角形可以如何拼湊構造圖形并加以證明呢？（3）證明三：（總統證法）學生活動2：動手操作用兩個兩個全等的直角三角形拼湊構造幾何圖形并加以證明，把過程寫在練習本上投影小組的驗證方法。老師總結“以上三種證明方法都是通過構造幾何圖形，并利用等面積法來證明代數式之間的關系”并得出結論。四、得出結論勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長分別為ａ、ｂ，斜邊長為ｃ，那么： 幾何語言：五、勾股定理的簡單應用六、課后總結1.勾股定理的證明：運用構造法和等面積法2.勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方3.勾股定理的應用：在直角三角形中,已知任意兩邊求第三邊的長。 視頻引入，吸引學生眼球初步形成從“特殊到一般”的探索思想師生行為：(1) 引導學生觀察三個正方形之間的面積的關系。(2) 引導學生把面積的關系轉化為邊的關系。這里讓學生表示出大正方形的面積，并化簡計算。以體會數形結合的思想。對于小組活動1、2，教師要留給學生充分的思考和互助時間，然后讓學生交流合作，得出結論。在學生展示環節，盡可能多的讓學生多來敘述講解。這里對勾股定理命名的來源稍作介紹。
七、作業必做題：課后習題A組1題、2題，選做題：B組1題組長做拓展題：探尋更多的證明勾股定理的方法。
八、板書 17.3.1 勾股定理1、基本思路：面積關系——三邊關系勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么 幾何語言： 3、勾股定理證明（構造法——等面積法）
九、微反思通過這種短時間內的視頻教學，能有效地觀察自己教學時的狀態，語言、表現及其他。在反復的錄制的過程中，發現了自己很多問題，例如的語言較急促，語調不合適、某部分講解不夠詳細、引入部分不夠吸引眼球等問題，隨著不斷地觀察改進，稍有進步。從中對于自己的教學有了較為清晰的認識，在教學方面仍需學習和努力。
A
B
C
B
A
C
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