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高二升高三數學易錯題集（全國）
高二升高三數學易錯題集（全國）
【集合】 .............................................................................................................. 2
【集合】參考答案 ............................................................................................... 3
【常用邏輯用語】 ............................................................................................... 6
【常用邏輯用語】參考答案 ................................................................................. 7
【不等式】 .......................................................................................................... 8
【不等式】參考答案 .......................................................................................... 10
【函數】 ............................................................................................................ 13
【函數】參考答案 ............................................................................................. 16
【平面向量】..................................................................................................... 24
【平面向量】參考答案 ...................................................................................... 26
【三角函數】..................................................................................................... 28
【三角函數】參考答案 ...................................................................................... 31
【解三角形】..................................................................................................... 36
【解三角形】參考答案 ...................................................................................... 38
【導數】 ............................................................................................................ 44
【導數】參考答案 ............................................................................................. 47
第 1 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
【集合】
1.下列關于集合 與空集 之間的關系中，說法正確的是( )
A. B. C. D.
2.記 ，則下列四個命題中正確的個數為( )
A. B. C. D.
3.已知集合 ，集合 ，則 ( )
A. B. C. D.
4.下列各組集合中，表示同一集合的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.若用列舉法表示集合 ，則下列表示正確的是（ ）．
A. B. C. D.
6.已知集合 ， ，則 ________ ．
7.設 ， ，則 、 兩個集合的關系是( )
A. B. C. D. 以上都不對
8.下列四個關系中錯誤的是（ ）．
A. B. C. D.
9.已知集合 至多有一個元素，則 的取值范圍是 ________ ．
10.若集合 ， ，且 ，則 的值為( )
A. B. C. 或 D. 或 或
11.設集合 ， ，若 ，則實數 的取值范圍是
________ ．
12.已知集合 ， ，若 ，
求實數 的取值范圍．
13.已知 ，則實數 的值為( )
A. B. C. 或 D. 無解
14.設集合 ， ，若 ，則實數 的值為( )
A. B. 或 C. D.
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高二升高三數學易錯題集（全國）
【集合】參考答案
1.【答案】C
【解析】解： 是任何非空集合的真子集．
2.【答案】D
3.【答案】C
【解析】解：集合 ，集合 ，
則 ，
故選：C．
4.【答案】D
【解析】D 選項中 ．
5.【答案】B
【解析】由 ，解得 ，所以 ．
故選 ．
6.【答案】
【解析】解：解 得， ，
，
又因為 ，
，
．
7.【答案】D
【解析】由于 ，則集合 為數對 組成的集合， 而集合
的元素為實數，故 、 兩個集合無任何關系． 故答案為：D．
8.【答案】A B
【解析】 選項、 選項： 表示集合與集合的關系， 表示元素與集合的關系，故 錯誤；
選項：任意一個集合是它本身的子集，故 正確；
選項：空集是任何集合的子集，故 正確．
故選 ．
9.【答案】 或
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高二升高三數學易錯題集（全國）
【解析】 時， 即 ， ，符合要求；
時， 至多有一個解， ， ，
綜上， 的取值范圍為 或 ，
故答案為： 或 ．
10.【答案】D
【解析】解： 集合 ， ，且 ，
，
當 時， ，成立；
當 時， ，
由 ，得 或 ，
解得 或 ．
的值為 或 或 ．
故選：D．
11.【答案】
【解析】 當 時， ，解得 ；
當 時，如圖所示，得 ，
解得 ．
綜上所述，實數 的取值范圍是 ．
12.【答案】見解析
【解析】解： ，
因為 ，所以 或 ．
當 時， ，
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高二升高三數學易錯題集（全國）
即 ， 是方程 的兩根，代入得 ，此時滿足條件，即 符合
題意．
當 時，分兩種情況：
若 ，則 ，解得 ．
若 ，則方程 有兩個相等的實數根，所以
，解得 ．
此時 ，符合題意．
綜上所述，所求實數 的取值范圍是 ．
13.【答案】B
【解析】解：因為 ，所以 或 ．當 ，即 時，滿足題意；
當 時， ，不滿足集合元素的互異性，故舍去．綜上可得實數 的值為 ，故選 B．
14.【答案】C
【解析】依題意得： ， 解得 (舍去)或 ． 故選：C.
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【常用邏輯用語】
1.命題“對任意的 ， ”的否定是（ ）．
A. 不存在 ， B. 存在 ，
C. 存在 ， D. 對任意的 ，
2.命題 ：“ ， ”的否定 為（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.設集合 ，集合 ，那么“ ”是“ ”的 ________ 條
件．(用“充分不必要，必要不充分，充要”填空)．
4.設 ，則“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
5. 的一個必要不充分條件是( )
A. B. C. D.
6.若“ ”是“ ”的充分不必要條件，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7.設命題 ： ，命題 ： ；若 是 的充分條件，則實數 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
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【常用邏輯用語】參考答案
1.【答案】C
【解析】由全稱命題的否定可知，任意變存在，結論否定，易知 C 正確．
2.【答案】B
【解析】命題 ：“ ， ”為特稱命題，其否定為全稱命題， 為 ，
. 故選 B.
3.【答案】必要不充分
【解析】解：由 不能推出 ，如 時，故充分性不成立．根據 可得，由
成立一定能推出 ，故必要性成立．
故“ ”是“ ”的必要不充分條件，
故答案為必要不充分．
4.【答案】A
【解析】因為 或 ，所以“ ”是“ ”的充分不
必要條件，故選 A．
5.【答案】D
【解析】解： 的充要條件為 ．
對于 A，是 的充要條件；
對于 B，是 的充分不必要條件；
對于 C，是 的既不充分也不必要條件；
對于 D，是 的一個必要不充分條件．
故選：D．
6.【答案】C
【解析】解： “ ”是“ ”的充分不必要條件，
當“ ”成立時，必有“ ”成立；
反之，當“ ”成立時，“ ”不一定成立
由此可得
故選：C．
7.【答案】D
【解析】 命題“ ”是命題“ ”的充分不必要條件 ，命題 ： ，
命題 ： ；若 是 的充分條件，則 .故答案為： ．
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【不等式】
1.若 ， ，則一定有( )
A. B. C. D.
2.若 ， ， ， 為實數，下列結論正確的是( )
A. 若 ， ，則 B. 若 ，則
C. 若 ，則 D. 若 ，則
3.若實數 ， 滿足 ， ，則 的取值范圍是 __________ ．
4.下列等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
5.若 、 ，且 ，則下列不等式中能恒成立的是( )
A. B. C. D.
6.下列函數中，最小值為 的是( )
A. B.
C. D.
7.已知 ，則 的最大值是 __________ ．
8.不等式 的解集是 ________ ．
9.不等式 的解集是 ________ ．
10.不等式 的解集為 ________ ．
11.已知不等式 的解集為 ，則不等式 的解集為
__________ ．
12.對任意的實數 ，不等式 恒成立，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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13.已知 的解集是 ，則實數 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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【不等式】參考答案
1.【答案】C
【解析】 ， ， ， ， ， ， ．
2.【答案】D
【解析】解：對于 A：若 ， ， ， 均小于 ，則不正確，
對于 B：若 ，則 ，則 ，即 ，故 B 不正確，
對于 C：若 ，則 ，即 ，故 C 不正確，
對于 D：若 ，則 ，正確，
故選：D．
3.【答案】
【解析】由題意得， ， ，所以 ．
4.【答案】B
【解析】解：A．顯然當 ， 時，不等式 不成立，故 A 錯誤；
B． ， ， ，故 B 正確；
C．顯然當 ， 時，不等式 不成立，故 C 錯誤；
D．顯然當 ， 時，不等式 不成立，故 D 錯誤．
故選：B．
5.【答案】D
【解析】A、錯誤，令 ， ，
B、錯誤， ， 時，不成立，
C、錯誤， ， 時，不成立，
D、正確．
6.【答案】C
【解析】解： ，當且僅當 ，即 時，等號成立，
函數 的最小值為 ．
A、D 選項，“一正”不滿足；
B 選項，“三相等不滿足”．
7.【答案】-3
【解析】∵ ，∴ ，
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高二升高三數學易錯題集（全國）
∴ ,
當且僅當 ，即 時取等號，
∴ 的最大值為 ．
故答案為： ．
8.【答案】
【解析】解：不等式 ，
移項得： ，
即 ，
可化為 , 解得： ，
則原不等式的解集是 ．
故答案為： ．
9.【答案】
【解析】解： 等價于 且 ，
不等式 的解集是： ．
故答案為： ．
10.【答案】
【解析】解：由 可得 ，
用穿根法求得它的解集為 ，
故答案為： ．
11.【答案】
【解析】由于不等式 的解集為： ，可知 ，
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且 ， 是方程 的兩根，
， ， ， ．
不等式 可化為： ，
由于 ，故 ，即 ，
解得 ．
所以所求解集為： ．
12.【答案】B
【解析】解：當 時， ，不等式成立；
設 ，當 時函數 為二次函數， 要恒小于 ，拋物線開口向下且與 軸沒
有交點，即 且 ，
得到： ，解得 ．
綜上得到 ．
故選：B．
13.【答案】D
【解析】解：設函數 ,
由題設條件關于 的不等式 的解集為 ,
可得對任意的 ，都有 ,
又當 時，函數 是關于 的拋物線，故拋物線必開口向下，且與 軸無交點，
故滿足 ，
解得 ．
當 時， 滿足題意．
綜上，實數 的取值范圍為 ．
故選：D．
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高二升高三數學易錯題集（全國）
【函數】
1.下列各組函數中表示同一函數的是（ ）．
A. 與 B. 與
C. 與 D. 與
2.下列各組函數中是同一函數的是( )
A. 與 B. 與
C. 與 D. 與
3.函數 的定義域為（ ）．
A. B. C. D.
4.函數 的定義域是（ ）．
A. B. C. D.
5.函數 的定義域為 ，則實數 的取值范圍是 ________ ．
6.若函數 的定義域為 ，求實數 的取值范圍；
7.函數 的值域為 .則實數 的取值范圍是 .
8.已知函數 ，則函數 的解析式為( )
A. B.
C. D.
9.已知 ，則函數 ________ ．
10.判斷函數的單調性．
．
11.函數 的單調遞增區間是 __________ ．
12. 判斷下列函數的奇偶性．
（1） ．
13. 判斷下列各函數的奇偶性：
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（1） ．
14.判斷函數 的奇偶性．
15.已知定義在 上的函數 是奇函數，當 時， ，求 的解析式．
16.已知函數 是 上的增函數，則 的取值范圍是 ________ ．
17.函數 的單調增區間是( )
A. B. C. D.
18.已知函數 是定義在 上的減函數，且 ，則實數 的取值范圍是
( )
A. B. C. D.
19.若函數 在區間 上是單調遞增的，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
20.下列函數中，其圖象與函數 的圖象關于直線 對稱的是（ ）．
A. B. C. D.
21.已知函數 ，則（ ）．
A. 在 上單調遞增 B. 在 上單調遞減
C. 的圖象關于直線 對稱 D. 的圖象關于點 對稱
22.若函數 在區間 上的圖象是一條連續不斷的曲線，且函數 在
內僅有一個零點，則 的符號是 ________ ．
(填“大于 ”“小于 ”“等于 ”或“不確定”)
23.下列各函數中,是指數函數的是( )
A. B. C. D.
24.若函數 是指數函數，則 ________ ．
25.下列函數是對數函數的是( )
A. B. 且
C. D. 且
26.函數 是冪函數，則 __________ ．
27.已知冪函數 的圖象關于 軸對稱，且在 上是減函數，
則 的值為( )
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A. B. C. D. 或
28.若函數 是指數函數，則 的取值范圍是 ________ ．
29.對數式 中實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
30.求函數 的單調區間．
31.已知函數 在 上為增函數，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
32.已知函數 ( 為常數)在區間 上是減函數，則實數 的取值范圍是
________ ．
33.若 ，求 的值．
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【函數】參考答案
1.【答案】D
【解析】A 選項： 定義域為 ， 定義域為 ，故 錯誤．B 選項： 定
義域為 ，而 定義域為 ，故 錯誤．C 選項： 定義域為 ， 定義域為
，故 錯誤．D 選項： 和 定義域相同，化簡后為同一函數，故 正確．故選 D.
2.【答案】A
【解析】解：對于 A，函數
與 的定義域相同，
對應關系也相同，是同一函數；
對于 B，函數
與 的定義域不同，
不是同一函數；
對于 C，函數
與 的對應關系不同，
不是同一函數；
對于 D，函數
與 的定義域不同，
對應關系也不同，不是同一函數．
故選：A．
3.【答案】C
【解析】依題意:
，故 正確．
故選 ．
4.【答案】A
【解析】依題意得 ，
解得 ，
所以函數的定義域為 ，
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故選 ．
5.【答案】
【解析】解： 函數 的定義域為 ，
恒成立．
①若 ，則不等式等價為 ，即 ，不滿足條件；
②若 ，要使不等式恒成立，則 ，
即 ，解得 ．
綜上， ，
故答案為： ．
6.【答案】見解析
【解析】由 對 恒成立，得 且 ．
故 的取值范圍為 ．
7.【答案】
【解析】令 ,則 的值域包含
若 ,則 ,滿足題意
若 ,則 存在最大值,其值域不可能包含
若 ,則只需使 與 軸有交點,即 ,
綜上所述,
8.【答案】C
【解析】解：令 ，則 ，
，
，
故選：C．
9.【答案】 ，
【解析】解： ，
第 17 頁，共 53 頁
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，
又 ，
， ．
10.【答案】見解析
【解析】令 ， ，由簡單函數的單調性可知
在 上單調遞增， 在 上單調遞減，
由單調性的四則運算可知
在 上單調遞增．
所以 在 上單調遞增．
又 在 上單調遞增， 在 上單調遞減，
由單調性的四則運算可知
在 上單調遞增．
所以 在 上單調遞增．
綜上， 在 和 上單調遞增．
11.【答案】 ，
【解析】 ，畫出圖象．
易知單調遞減區間為 ， ．
易知單調遞增區間為 ， ，
12.（1）【答案】非奇非偶函數
13.（1）【答案】非奇非偶函數．
第 18 頁，共 53 頁
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【解析】由定義域不關于原點對稱，可知 為非奇非偶函數．
14.【答案】見解析
【解析】解：由題意知， ，所以函數 的定義域為 ，
關于原點對稱，當 時， ，所以函數 既是奇函數又是偶函數．
15.【答案】
【解析】 ，注意如果奇函數在 處有定義，一定有 ．
16.【答案】
【解析】解：要使函數在 上為增函數，需有 在 上遞增，在 上遞增，
且 ，
所以有 ，解得 ，
故 的取值范圍為 ．
故答案為 ．
17.【答案】C
【解析】解：由 ，
得 ．
設 ，它的單調增區間是 ，
函數 的單調增區間是 ．
故選：C．
18.【答案】B
【解析】解： 是定義在 上的減函數，且 ，
，即 ，即 ，
即實數 的取值范圍是 ，
故選：B．
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19.【答案】D
【解析】解：當 時， 滿足題意．
當 時，
函數 在 上是單調遞增的，
，解得 ．
綜上，實數 的取值范圍是 ．
20.【答案】B
【解析】方法一： 過點 ， 關于直線 的對稱點還是 ．經驗證，點
在函數 的圖象上，故選 ．方法二：設所求圖象上一點的坐標為 ，
則點 關于直線 的對稱點 在函數 的圖象上，
則 ，故所求的函數為 ．
故選 ．
21.【答案】C
【解析】方法一：由題易知， 的定義域為 ，
，
由復合函數的單調性知，函數 在 上單調遞增，在 上單調遞減，
故 錯誤；
又 ．
． ，故 錯誤．
故選 ．方法二：由題易知， 的定義域為 ，
，
由 ，得 ；
由 ，得 ，
所以函數 在 上單調遞增，在 上單調遞減，故 錯誤；
又 ，
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高二升高三數學易錯題集（全國）
，
所以 ，故 錯誤．
故選 ．方法三：函數 ，其中 ，則函數 是由
，
復合而成的，由復合函數的單調性可知， 時， 單調遞增，
時， 單調遞減，故 錯誤；
的圖象關于直線 對稱，即 ，則 ，即 的圖象關于
直線 對稱，故 正確， 錯誤．
故選 ．
22.【答案】不確定
【解析】解：根據題目條件知，當 時，函數 在區間
內至少有一個零點．
而當函數 在區間 內有一個不變號零點(如函數 對應的一元二次方程有二
重根)時， ，
因此 的符號可能大于 ，也可能小于 ．故填不確定．
23.【答案】D
【解析】解：根據指數函數的定義：形如 且 的函數叫做指數函數， 結合選項
從而可判斷選項 D 正確． 故選：D．
24.【答案】1
【解析】解：因為 且 ，故 ．
25.【答案】C
【解析】解：根據對數函數的定義可得：只有 為對數函數． 故選：C．
26.【答案】 或
【解析】∵函數 為冪函數，
∴ ，
則 ，
即 ，
解得 或 ．
當 時， ，
當 時， ，
∴ 的值為 或 ．
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27.【答案】B
【解析】解： 冪函數 的圖象關于 軸對稱， 且在 上是
減函數， ( 是偶數)，解得 ，故選 B．
28.【答案】
【解析】解： 且 ，即 ．
29.【答案】C
【解析】要使對數式 有意義，
則 ，解得 ，故選：C．
30.【答案】見解析
【解析】解：由 知 或 ．
令 ，則 ．
因為 是關于 的單調增函數，且當 時， 是關于 的單調增函數，
所以 是 的單調增區間．
同理可得 是 的單調減區間．
31.【答案】D
【解析】解：設 ，由題意可得 的對稱軸為直線 ．
①當 時，由復合函數的單調性可知， 在 上單調遞增，且 在 上恒成
立，
則 ，
．
②當 時，由復合函數的單調性可知， 在 上單調遞減，且 在 上
恒成立，
則 ，此時 不存在．
綜上可得， ．
第 22 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
故選：D．
32.【答案】
【解析】解：設 ，則函數 在定義域上單調遞減，要使 在區間 上是
減函數，則 在區間 上為增函數．因為 ，所
以要使函數 在區間 上為增函數，則 ，即 ．要使函數 有意義，則
在區間 上成立，所以只需當 時， 即可，解得
．綜上，實數 的取值范圍是 ．
33.【答案】見解析
【解析】 ，
，
，
，
，
解得 或 ，
，
．
第 23 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
【平面向量】
1.有關向量概念，下列命題中正確的是（ ）．
A. 若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合
B. 模相等的兩個平行向量是相等向量
C. 若 和 都是單位向量，則
D. 兩個相等向量的模相等
2.下列命題：
①平行向量一定相等；
②不相等的向量一定不平行；
③平行于同一個向量的兩個向量是共線向量；
④相等向量一定共線．
其中不正確命題的序號是（ ）
A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ②④
3.下列說法正確的是( )
A. 共線向量一定在同一條直線上
B. 向量 與 不共線，則 與 都不是零向量
C. 向量 ，則
D. 兩個共線的單位向量相等
4.下列說法正確的是( )
A. 如果兩個向量的長度相等，那么這兩個向量一定相等
B. 如果 ，那么
C. 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
D. 在平行四邊形 中，
5.關于向量，下列結論錯誤的是( )
A. B.
C. D.
6.對于向量 、 、 和實數 ，下列命題中真命題是( )
A. 若 ，則 或 B. 若 ，則 或
C. 若 ，則 或 D. 若 ，則
7.已知向量 、 、 ，若 且 與 不平行，則以下結論不正確的是( )
第 24 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
A. B.
C. D.
8.已知向量 ，則“ ”是“ ”成立的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
9.已知向量 ， ，若向量 ， 之間的夾角為鈍角，則實數 的取值范
圍是 ________ ．
10.已知向量 ， ，且 與 的夾角為銳角，則實數 的取值范圍為（ ）．
A. B.
C. D.
第 25 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
【平面向量】參考答案
1.【答案】D
【解析】∵只要兩個向量的方向相同，模長相等，這兩個向量就是相等向量，故 不正確；
模長相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量，故 不正確；
兩個單位向量模長相等，故 不正確；
向量相等則模長相等，故 正確．
故選 ．
2.【答案】A
【解析】對于①，平行向量不一定相等，①錯誤；
對于②，不相等的向量也可能平行，
如非零向量 與 不相等，但平行，∴②錯誤；
對于③，平行于同一個向量的兩個向量不一定是共線向量，
如零向量與任何向量平行，但任何兩個向量不一定是共線向量，∴③錯誤；
對于④，相等向量一定是共線向量，∴④正確．
綜上，其中不正確命題是①②③．
故選： ．
3.【答案】B
【解析】解：A．共線向量的基線平行或重合，不一定在同一條直線上，故此項錯誤；
B．若 與 至少有一個是零向量，則 與 共線，故此項正確；
C．向量平行，基線可能重合，故此項錯誤；
D．共線的單位向量可能相等，也可能相反，故此項錯誤．故選 B．
4.【答案】C
【解析】兩個向量相等，不但長度相等，方向還要相同，故 A 錯誤；向量無法比較大小，只有向
量的模可以比較大小，故 B 錯誤；在平行四邊形 中， ，故 D 錯誤，故選 C．
5.【答案】A
【解析】解：A． ，故 A 錯誤，
B． ，故 B 正確，
C． ，故 C 正確，
D． ，故 D 正確，
故選：A．
6.【答案】B
第 26 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
【解析】解：對于 A，當 時， ，顯然 、 中不存在 亦可，故 A 錯誤；
對于 C，“ ”是“ 或 ”的必要不充分條件，故 C 錯誤；
對于 D，當 且 時，滿足 ，
但 不一定成立，故 D 錯誤．
B 正確．
7.【答案】B
8.【答案】A
【解析】解：由 ，可得： ，解得 ，
“ ”是“ ”成立的充分不必要條件．
故選：A．
9.【答案】
【解析】解： ， ，
由 ， 之間的夾角為鈍角，得 ，且 ， 不共線．
即有 ，解得： 且 ．
實數 的取值范圍是 ．
故答案為： ．
10.【答案】B
【解析】若 ，則 ，解得 ，
∵ 與 的夾角為銳角，
∴ ，
由 ，
則 ，解得 ，
又∵ ，
∴實數 的取值范圍為 ，
故選： ．
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高二升高三數學易錯題集（全國）
【三角函數】
1.對于函數 ，下列結論中正確的是( )
A. 有最大值無最小值 B. 有最小值無最大值
C. 有最大值且有最小值 D. 既無最大值也無最小值
2.若 ，則函數 的 ( )
A. 最小值為 ，無最大值 B. 最小值為 ，最大值為
C. 最小值為 ，無最大值 D. 最小值為 ，最大值為
3.求函數 的最大值及此時 的值．
4.已知 ，則 的最大值為 ________ ．
5.函數 ， ，則它的單調遞增區間是 __________ ．
6.函數 的單調遞減區間是 ________ ．
7.函數 的單調遞減區間是 ________ ．
8.若函數 的局部圖象如圖所示，則函數 的解析
式為（ ）．
A. B. C. D.
9.已知函數 ，且此函數的圖象如圖所示，則點 的坐標
是（ ）．
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高二升高三數學易錯題集（全國）
A. B. C. D.
10.為得到函數 的圖像，只需將函數 的圖像（ ）．
A. 向左平移 個單位長度 B. 向右平移 個單位長度
C. 向左平移 個單位長度 D. 向右平移 個單位長度
11.為得到函數 的圖象，只需將函數 的圖象（ ）．
A. 向左平移 個長度單位 B. 向右平移 個長度單位
C. 向左平移 個長度單位 D. 向右平移 個長度單位
12.已知函數 ，要得到 的圖象，只需將函數 的圖象
( )
A. 向右平移 個單位 B. 向右平移 個單位
C. 向左平移 個單位 D. 向左平移 個單位
13.曲線 ， ，則下面結論正確的是（ ）
A. 把 上各點的橫坐標伸長到原來的 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 個單位長
度，得到曲線
B. 把 上各點的橫坐標伸長到原來的 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移 個單位長
度，得到曲線
C. 把 上各點的橫坐標縮短到原來的 ，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 個單位長度，
得到曲線
D. 把 上各點的橫坐標縮短到原來的 ，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移 個單位長度，
得到曲線
第 29 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
14.若 與 是銳角， ， ，則 ________ ．
15.已知 ， ，且 ， ，則 ( )
A. B. 、 、 C. D. 、
16.已知 ， ， 均為銳角，且 ， ， ，
則 ________ ．
第 30 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
【三角函數】參考答案
1.【答案】B
【解析】函數 ，令 在區間 上單調遞減，
即 只有最小值而無最大值．
2.【答案】B
【解析】解： 函數 ，
，
又 ，
當 時，函數取得最大值為 ，
當 時，函數取得最小值為 ．
3.【答案】見解析
【解析】解：令 ， ，
則 ，
而函數 在 上是增函數，
時， 取最大值 ．
即 ， ， ．
4.【答案】
【解析】解： ， ，
， ，
，
時， 的最大值為 ，
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高二升高三數學易錯題集（全國）
故答案為 ．
5.【答案】
【解析】 ，
單調遞增區間 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ．
6.【答案】 ，
【解析】解：函數 ，
令 ， ，
解得 ， ，
的單調遞減區間為 ， ．
故答案為： ， ．
7.【答案】 ，
【解析】解：函數
令 ， ，
解得 ， ．
即函數 的單調遞減區間是 ， ．
8.【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
第 32 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
又由圖象可得： ，可得： ，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ，
又∵ ，
∴當 時， ，可得： ．
故選 ．
9.【答案】B
【解析】由圖象可得函數的周期 ，
∴ ，得 ，
將 代入 可得 ，
∴ （注意此點位于函數減區間上）
∴ ， ，
由 可得 ，
∴點 的坐標是 ．
故選 ．
10.【答案】C
【解析】∵ ，
∴要得到 ，
只需將 向左平移 個單位長度．
故選 ．
11.【答案】A
第 33 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
【解析】方法一：將函數 的圖象向左平移 個單位長度，可得
的圖象，
故選： ． 方法二：由 得到 ，
只需原函數的 ，所以只需將圖象向左平移 個單位長度．
故選 ．
12.【答案】D
【解析】解：將函數 的圖象向左平移 個單位，
可得 的圖象，
故選：D．
13.【答案】D
【解析】 ，將橫坐標縮短到原來的 ，變為 ，再向左
平移 個單位長度，變為 ．故選 D．
14.【答案】
【解析】 為銳角， ， ，
，
當 時， ，不符合題意，所以舍去．
當 時， ， ．
15.【答案】C
【解析】解： ，
，
根據 ，可得 ， ， ，
第 34 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
可得 ， ，可得 ，故選 C．
16.【答案】
【解析】 ， ，
，
，
又 ， ， ，
， ， ，
， ．
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高二升高三數學易錯題集（全國）
【解三角形】
1.已知 中，角 、 、 的對邊分別是 、 、 ，根據下列條件解三角形：
① ， ， ；② ， ， ；③ ， ， ；
④ ， ， ，其中有唯一解的是（ ）．
A. ① B. ② C. ③ D. ④
2.在 中，內角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ， ， ， ．則
的值為( )
A. B. C. 或 D. 或
3. 的內角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，已知 ， ，
，則 等于( )
A. B. C. 或 D. 或
4.在 中，根據下列條件解三角形，其中有兩個解的是（ ）．
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
5.在 中，角 ， ， 所對的邊為 ， ， ，若 ，且邊 ， ，
則邊 ( )
A. 或 B. C. 或 D.
6、在 中，“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
7、對于 ，下列說法中正確的是（ ）．
A. 若 ，則 為等腰三角形
B. 若 ，則 為直角三角形
C. 若 ，則 為鈍角三角形
D. 若 ， ， ，則 的面積為 或
8、 中，角 、 、 的對邊分別為 、 、 ，已知 ，則 的形
狀是( )
第 36 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
9.在 中，內角 、 、 的對邊分別為 、 、 ，若
，則 為( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
10.已知 的三條邊的邊長分別為 米、 米、 米，將三邊都截掉 米后，剩余的部分組
成一個鈍角三角形，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
11.若 是鈍角三角形的三邊,則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. 或 D.
12. 在銳角 中， 、 、 分別為 、 、 所對的邊，且
（1）確定 的大小．
（2）若 ，求 周長的取值范圍．
第 37 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
【解三角形】參考答案
1.【答案】A B D
【解析】① ，又∵ ∴有唯一解；
② ，∴有唯一解；
③ ，∴有兩解；
④ ，∴有唯一解．
故選 ．
2.【答案】B
【解析】解：根據題意，在 中， ， ，則有 ，
又由 ，則 ，則 ，
則有 ，
又由余弦定理可得： ，
解得 或 ；
，
時， ，舍去；
時， ，滿足題意，
故選：B．
3.【答案】A
【解析】解：因為 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因為 ， ，
所以 ，
第 38 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
解得 ，
因為 ，所以 ，
所以 ．
故選： ．
4.【答案】D
【解析】由三角形全等的相關知識易知 、 中三角形是唯一的；
中，因為 ， ， ．所以由正弦定理
，又 ，所以 ，所以角 只有一解，
不合題意；
中，因為 ， ， ，所以由正弦定理
，因為 ，所以 ，所以 有兩
解，符合題意．
故選 ．
5.【答案】A
【解析】解：因為 ，邊 ， ，
所以由余弦定理得 ，
即 ，
解得邊 或 ．
故選：A．
6.【答案】 B
【解析】 在 中，由 知 ，或 ，
即 ，或 ，推不出 ，
因此“不充分”．由 知 ，
因此“必要”．
故選 ．
7.【答案】 C;D
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高二升高三數學易錯題集（全國）
【解析】 A 選項 : 若 ，則 或 ，即 或 ，
∴ 為等腰三角形或直角三角形，
故 項錯誤；
B 選項 : 若 ，
又∵ ， ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴ 為鈍角三角形或直角三角形，
故 項錯誤；
C 選項 : 在 中，由正弦定理 可化為 ，
∴由余弦定理可得 ，
∴ ，
∴ 為鈍角三角形，
故 項正確；
D 選項 : 令 ， ，
由正弦定理得 ，
∵ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ ，
當 時， ，
當 時， ，
第 40 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
∴ 的面積為 或 ，
故 項正確．
8.【答案】 C
【解析】 由 ，可得 ，
由正弦定理，可得
即
或
當 時， 的形狀是等腰三角形，
當 時，即 ，那么 ， 的形狀是直角三角形．
故選： ．
9.【答案】D
【解析】方法一： ，
，
．
由正弦定理得： ，
，
，
，
或 ，
即 或 ，
或 ，
為等腰三角形或直角三角形．方法二： ，
，
．
由正弦定理及余弦定理得： ，
，
第 41 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
，
或 ，
為等腰三角形或直角三角形．方法三：找等腰三角形、直角三角形特殊三角形代入驗證．
10.【答案】C
【解析】解：根據題意得：截取后三角形的三邊長為 米， 米， 米，且長為
米所對的角為 ， 為鈍角，
，
整理得： ，
解得： ，
， ， ，且 ，
，
則 的取值范圍為 ．
故選：C．
11.【答案】B
【解析】解: 是鈍角三角形的三邊, , 且此時, ,
是最長的邊,設其對應的角為 , 要使三角形為鈍角三角形, 則 , 即
, , 即 , 當
時,不等式 恒成立. 即三角形恒為鈍角三角形, 此時只需滿足兩邊之和大于第
三邊即可, 即 成立, 解得 . 故選:B.
12.（1）【答案】 ．
【解析】由 ，
由正弦定理，得 ，
又 ，
則 ，
或 ，
為銳角三角形，
舍去．
．
12.（2）【答案】 ．
第 42 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
【解析】 ，
由正弦定理得： ，
即 ， ，
又 ，即 ，
，
是銳角三角形，
，
，
則 周長的取值范圍是 ．
第 43 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
【導數】
1. 函數 = ( )的導函數 = ′( )的圖象如圖所示，則函數 = ( )的圖象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 函數 ( )的圖象如圖所示，則其導函數 ′( )的圖象可能為（ ）．
A. B.
C. D.
3. 函數 ( ) = 4 2 3的圖象在點(1, (1))處的切線方程為（ ）．
A. = 2 1 B. = 2 + 1 C. = 2 3 D. = 2 + 1
第 44 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
4. 已知曲線 = 2 3，則過點(1,2)的切線的斜率是（ ）．
3
A. 2 B. 6或 C. 4 D. 8
2
5. 函數 ( )在 = 0處導數存在，若 ：
′( 0) = 0， ： = 0是 ( )的極值點，則（ ）．
A. 是 的充分必要條件
B. 是 的充分條件，但不是 的必要條件
C. 是 的必要條件，但不是 的充分條件
D. 既不是 的充分條件，也不是 的必要條件
6. 函數 ( )的定義域為開區間( , )，導函數 ′( )在( , )內的圖象如圖所示，則函數 ( )在
( , )內的極大值點共有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
7. 已知函數 ( ) = 3 + 2 + + 2在 = 1處有極值10，則 (2)等于( )．
A. 11或18 B. 11 C. 18 D. 17或18
8. 已知函數 ( ) = 3 + 2 + + 2在 = 1處的極值為10，則數對( , )為（ ）．
A. ( 3,3) B. ( 11,4) C. (4, 11) D. ( 3,3)或(4, 11)
9. 已知函數 ( ) = 3( 3 + 2)在 = 1時有極大值3．
(1) 求 ， 的值．
(2) 求函數 ( )在[ 1,3]上的最值．

10. 已知 > 0且 ≠ 1，函數 ( ) = ( > 0)．

當 = 2時，求 ( )的單調區間．
11. 已知函數 ( ) = + ln ， ( ) = 2e ， ∈ ．
求函數 ( )的單調區間．
12. 設函數 ( ) = ( 1)e 2，求函數 ( )的單調區間．
第 45 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
1
13. 設函數 ( ) = ，則函數 ( )的單調減區間為 ．
ln
14. 已知函數 ( ) = ( 2)e + ( 1)2，討論 ( )的單調性．
第 46 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
【導數】參考答案
1 . 【答案】 D;
【解析】 不妨設導函數 = ′( )的零點依次為 1， 2， 3，其中 1 < 0 < 2 < 3，
由導函數圖象可知， = ( )在( ∞, 1)上為減函數，在( 1, 2)上為增函數，在( 2, 3)上為減函
數，在( 3, +∞)上為增函數，
從而排除A，C． = ( )在 = 1， = 3處取到極小值，在 = 2處取到極大值，
又 2 > 0，排除B，故選D．
2 . 【答案】 C;
【解析】 由 ( )的圖象可知，
函數 ( )的單調遞增區間為(1,4)，
單調遞減區間為( ∞, 1)和(4, +∞)，
因此，當 ∈ (1,4)時， ′( ) > 0，
當 ∈ ( ∞, 1)或 ∈ (4,+∞)時， ′( ) < 0，
結合選項可知選C．
故選C．
3 . 【答案】 B;
【解析】 由函數 ( ) = 4 2 3可知：
′( ) = 4 3 6 2， (1) = 1 2 = 1，
∴ ′(1) = 4 6 = 2，
∴函數 ( )在點(1, 1)處的切線斜率為 2，
∴切線方程為 + 1 = 2( 1)，即 = 2 + 1．
故選B．
4 . 【答案】 B;
【解析】 ∵ ′ = 6 2，
設切點坐標為( , 2 3)，
第 47 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
則切線方程為 2 3 = 6 2( )，
∵切線過點 (1,2)，
∴2 2 3 = 6 2(1 )，
1
∴ = 1或 = ．
2
3
則切線斜率為6或 ．
2
故選：B．
5 . 【答案】 C;
【解析】 解：函數 ( )在 = 0處導數存在，
由 = 0是 ( )的極值點
′( 0) = 0．
反之不成立，例如函數 ( ) = 3，則 ′( ) = 3 2， ′(0) = 0，但是 = 0不是函數 ( )的極值
點．
∴ 是 的必要不充分條件．故選C．
6 . 【答案】 B;
【解析】 解：導函數 ′( )在( , )內的圖象如圖所示，
可得函數 ( )在( , )內的極大值點為 ， ，共有2個．
故選：B．
7. 【答案】 C;
【解析】 ∵ ( ) = 3 + 2 + + 2，
∴ ′( ) = 3 2 + 2 + ．
∵ ′(1) = 0， (1) = 10，
第 48 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
3 + 2 + = 0①
∴{ 2 ，由①得 = 3 2 ，代入②化簡， 1 + + + = 10②
得 2 12 = 0，解得 = 4或 = 3，
= 4 = 3
∴{ 或{ ，
= 11 = 3
= 3
當{ 時， ′( ) = 3( 1)2 0，
= 3
∴ ( )在( ∞, +∞)上單調遞增，
∴ ( )在 = 1處不存在極值；
= 4
當{ 時， ′( ) = 3 2 + 8 11 = (3 + 11)( 1)，
= 11
11
∴當 ∈ ( , 1)時， ′( ) < 0；
3
當 ∈ (1,+∞)時，
′( ) > 0，符合題意，
= 4,
∴{
= 11,
∴ ( ) = 3 + 4 2 11 + 16， (2) = 8 + 16 22 + 16 = 18．
故選C．
8 . 【答案】 C;
【解析】 ′( ) = 3 2 + 2 + ；在 = 1處極值為10，
′(1) = 0
即{ ，
(1) = 10
( 3,3)
解得 = 4或 3， = 11，即( , ) = { ，( 3,3)代入無極值點舍去．
(4, 11)
故選C．
9 . 【答案】 (1) = 2， = 3．
;
(2) 最大值15，最小值 81．
;
【解析】 (1) 由函數 ( ) = 3( 3 + 2)，可得 ′( ) = 9 2 + 6 ，
第 49 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
由題意可知：
(1) = 3 3 + 3 = 3
{ { = 2，
′(1) = 0 9 + 6 = 0
= 3．
(2) 由（1）知，
( ) = 6 3 + 9 2，
∴ ′( ) = 18 2 + 18 = 18 ( 1)，
令 ′( ) = 0得 = 0或 = 1，
′( ) > 0時，0 < < 1，
′( ) < 0時， 1 < < 0或1 < < 3，
所以函數 ( )在( 1,0)和(1,3)上單調遞減，
在(0,1)上單調遞增，
因為 ( 1) = 6 + 9 = 15， (1) = 6 + 9 = 3，
(0) = 0， (3) = 81，
最大值為 ( 1) = 15，最小值為 (3) = 81．
2 2
10 . 【答案】 ( )在( , +∞)上單調遞減，在(0, )上單調遞增．
ln 2 ln 2
;
2
【解析】 由題意得 ( ) = 2 = 2
，
2
則 ′( ) = 22 ln 2 + 2 2
= 2 (2 2ln 2)，
′ 2令 ( ) > 0，得 ∈ (0, )，
ln 2
2
令 ′( ) < 0，得 ∈ ( ,+∞)，
ln 2
2 2
故 ( )在( , +∞)上單調遞減，在(0, )上單調遞增．
ln 2 ln 2
11 . 【答案】 當 0時， ( )的單調遞增區間為(0, +∞)，無單調遞減區間；當 < 0時，函數
( )的單調遞增區間為( ,+∞)，單調遞減區間為(0, )．
第 50 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
;
【解析】 由題意知函數 ( )的定義域為(0, +∞)，
因為 ( ) = + ln ， ∈ ，
+
所以 ′( ) = 1 + = ，

①當 0時， ′( ) > 0在區間(0, +∞)上恒成立，
所以函數 ( )的單調遞增區間為(0,+∞)，無單調遞減區間；
②當 < 0時，
令 ′( ) > 0，得 > ，
令 ′( ) < 0，得0 < < ，
所以函數 ( )的單調遞增區間為( ,+∞)，單調遞減區間為(0, )．
12 . 【答案】 函數 ( )的遞減區間為(0, ln 2),遞增區間為( ∞, 0),(ln 2, +∞)．
;
【解析】 ( ) = ( 1)e 2, ′( ) = e + ( 1)e 2 = e 2 = (e 2)．
令 ′( ) = 0,得 1 = 0, 2 = ln 2．
當 變化時, ′( ), ( )的變化如下表：
由表可知，函數 ( )的遞減區間為
(0, ln 2),遞增區間為( ∞, 0)，(ln 2, +∞)．
1
13 . 【答案】 ( , 1)，(1,+∞);
e
1 ln 1
【解析】 ∵ ( ) = ，
′( ) =
ln ( ln )2
，
令 ′
1
( ) < 0，解出 > ，又 ≠ 1，
e
1
∴ ( )的單調減區域為( , 1) , (1,+∞)．
e
14 . 【答案】 見解析．
第 51 頁，共 53 頁
高二升高三數學易錯題集（全國）
;
【解析】 方法一 : ′( ) = ( 1)(e + 2 )，
(i)設 0，則當 ∈ ( ∞, 1)時， ′( ) < 0；
當 ∈ (1,+∞)時， ′( ) > 0．
所以 ( )在( ∞, 1)上單調遞減，在(1, +∞)上單調遞增．
(ii)設 < 0，由 ′( ) = 0得 = 1或 = ln ( 2 )．
e
① = ，則
2
′( ) = ( 1)(e e)，
所以 ( )在( ∞, +∞)上單調遞增．
e
②若 > ，則ln ( 2 ) < 1，
2
故當 ∈ ( ∞, ln ( 2 )) ∪ (1,+∞)時， ′( ) > 0；
當 ∈ (ln ( 2 ),1)時， ′( ) < 0．
所以 ( )在( ∞, ln ( 2 ))，(1, +∞)上單調遞增，
在(ln ( 2 ),1)上單調遞減．
e
③若 < ，則ln ( 2 ) > 1，
2
故當 ∈ ( ∞, 1) ∪ (ln ( 2 ), +∞)時， ′( ) > 0；
當 ∈ (1, ln ( 2 ))時， ′( ) < 0．
所以 ( )在( ∞, 1)，(ln ( 2 ), +∞)上單調遞增，
在(1, ln ( 2 ))上單調遞減．
方法二 : 由已知得： ′( ) = ( 1)e + 2 ( 1) = ( 1)(ex + 2a) ，
①若 0 ，那么e + 2 e > 0 ，
( )， ′( )的變化情況如下：
e
②若 < < 0 ，則ln ( 2 ) < ln e = 1，
2
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高二升高三數學易錯題集（全國）
( )， ′( )的變化情況如下：
e
③若 = ，那么ln ( 2 ) = 1 ，
2
當 < 1 = ln ( 2 ) 時， 1 < 0 ，e + 2 < eln( 2 ) + 2 = 0，即 ′( ) > 0 ， ( ) 單調遞
增，
當 > 1 = ln ( 2 ) 時， 1 > 0 ，e + 2 > eln( 2 ) + 2 = 0 ，即 ′( ) > 0， ( )單調遞
增．
故 ( )在( ∞, +∞)上單調遞增．
e
④若 < ，則ln ( 2 ) > 1 ，
2
當 < 1 時， 1 < 0 ，e + 2 < e1 + 2 < eln( 2 ) + 2 = 0，即 ′( ) > 0 ， ( )單調遞
增，
當1 < < ln ( 2 ) 時， > 0 ，e + 2 < eln( 2 ) + 2 = 0 ，即 ′( ) < 0 ， ( )單調遞
減，
當 > ln ( 2 ) 時， 1 > ln ( 2 ) 1 > 0 ，e + 2 < eln( 2 ) + 2 = 0 ，即 ′( ) > 0 ，
( )單調遞增．
( )， ′( )的變化情況如下：
第 53 頁，共 53 頁

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