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凹凸函數與琴生不等式
當函數 f(x)二階可導時，x D
f"(x)>0 f(x)在區間 D上嚴格下凸，下凸函數也稱凸函數
f"(x)<0 f(x)在區間上嚴格上凸，上凸函數也稱凹函數
琴生不等式的相關結論：（網上可查出詳細證明）
(1)f(x)為凸函數
x1 x2 x 1(i) f n ·[f(x )+f(x )+……+f(x )],當且僅當 x =x =……x 時，
n n 1 2 n 1 2 n
取等號
（ii） 1, 2,……， n 0(不含為 0)，推廣至一般的形式
f 1x1 2x2 nxn 1 f (x1) 2 f (x2 ) n f (x ) n
1 2 n 1 2 n
n
(特別地, k 1)
k 1
(2) f(x)為凹函數，將上述“ ”改為“ ”即可
2011 2012 a b b分析 、 年的湖北理數壓軸題，均有 1 a 2 a bnn 這樣的形式，且提供的答案中有1 2
abk一些步驟很難想到，所以用常規方法求證是有一定困難的。然而，用構造函數 g(x)=lnx, 可得到 k ，
再借助琴生不等式的相關結論，求證將十分簡便，沒有較大的障礙。
1.（2011, 湖北）
（Ⅰ）已知函數 f x ln x x 1, x 0, 求函數 f x 的最大值；
（Ⅱ）設 ak ,bk k 1,2, ,n 均為正數，證明：
（i）若 a1b1 a2b2 a b b
b1 b2
n n 1 b2 bn ，則 a1 a2 a
bn
n 1
（ii）若b1 b2 b
1
n 1
b b b 2 2 2
，則 b 1b 2 b n b
n 1 2 n 1
b2 bn 。
解：（Ⅰ） f x max=f(1)=0
（Ⅱ）證明
1
（i）令 g(x)=lnx(x>0), 則 g”(x)= 2 0, g (x) 在（0，+ ）上是凹函數，對于 ak (0, + ),x
(k=1,2,…，n)，由琴生不等式：
n n
bk ln ak bk ak n n
k 1 ln( k 1n n ) ln1 0( akbk bk )
bk b k 1 k 1k
k 1 k 1
n n
bk ln ak 0 故 ab kk 1
k 1 k 1
(ii) 由(i)知，g(x)=lnx在 0, 上是凹函數，由琴生不等式：
n
10 對于 bk (0,1), 且 bk 1
k 1
n n
bk lnbk b2k n n
k 1 ln( k 1 ) bbk 2n n k bk
bk b k 1 k 1 （*）k
k 1 k 1
n
20對于bk ,
1
(0, ),且
b bk 1k k 1
n 1 n bk ln 1 bk
k 1 bk ln( k 1 bkn n ) ln n,
1
從而ln n ln n
b b bbkk k k
k 1 k 1 k 1
n 1
故ln bbkk (**)
k 1 n
由（*）、（**）綜合，可得出原不等式成立。
對于 2011 的壓軸題，原題沒有給定限制，完全可以脫離原函數，重新構造函數。但對于 2012
的壓軸題，原題對解題方法有所限制，這里把它看做無限制，用以上類似的方法求證。
2.(2012，湖北 22 題)
（Ⅰ）已知函數 f (x) rx x r (1 r) (x 0) ，其中 r 為有理數，且 0 r 1 . 求 f (x)的
最小值；
（Ⅱ）試用（Ⅰ）的結果證明如下命題：
設 a1 0, a2 0 ，b1, b2 為正有理數. 若b1 b2 1，則 a
b1
1 a
b2
2 a1b1 a2b2 ；
（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數．學．歸．納．法．證明你所推廣的命題.
注：當 為正有理數時，有求導公式 (x ) x 1 .
解析： (I) f (x)min f (1) 0
（II） 證明：令 g(x)=lnx(x>0), 則 g(x) 在 (0, )上為凹函數（1題已證）
10 當 a1， a2中至少有一個為 0時，則 a
b1a b21 2 a1b1 a2b2 成立；
20 若 a1， a2 >0時，由琴生不等式：
b1 ln a1 b2 ln a2 ln(a b 1 1 a2b2 )
b1 b2 b1 b2
b1 b2 1 ln ln a
b1ab21 2 ln(a
b1 b2
1b1 a2b2 ) a1 a2 a1b1 a2b2
綜上，原不等式成立。
（III） 命題形式：
n n n
設 ak 0,bk為正有理數, (k=1,2, ,n),若 b 1, abkk 則 k akbk
k 1 k 1 k 1
證明：10 當 a1 , a2……an中至少有一個為 0時，原不等式顯然成立。
20 當 ak>0(k=1,2, ,n)時，由琴生不等式：
n n
bk ln ak akbk n n
k 1
n ln(
k 1 bk
n ) ak akbk
bk b k 1 k 1k
k 1 k 1
綜上，原不等式成立。

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