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機械能與能量轉化的量度
【回顧】
1．影響動能大小的因素是物體的質量與速度，用公式Ek＝mv2表示，根據公式可知，將m增大一倍，動能增大一倍；將v增大一倍，動能變為原來的四倍。同樣，將m減小為原來的二分之一，動能減小為原來的二分之一；將v減小為原來的二分之一，動能變為原來的四分之一。所以，速度對動能的影響較大。
2．影響重力勢能大小的因素是物體的質量和高度，用公式Ep＝mgh表示(Ep為重力勢能，m為質量， g為重力加速度，在大多數情況下，h為物體距離參考平面的高度)。從某種程度上來說，當高度一定時，質量越大，重力勢能越大；當質量一定時，高度越高，重力勢能越大。
3．力是否對物體做功的判斷
基本判斷方法：物體受到了力，并且在力的方向上通過了一段距離，力就對物體做了功。功的兩個必要因素缺一不可。
事實上，在功的計算中，最常見的情況是F與s之間存在著一定的夾角θ，這時，最普遍使用的計算公式是W＝Fscosθ，此式中的cosθ，既可以看作力F在物體移動方向上的分力Fcosθ，也可以看作物體在力的方向上移動的距離scosθ。例如，一個豎直向上的力F提著一個重物在長為L、高為h的斜坡上運動，如圖12－1所示，從斜坡的底端運動到頂端力F所做的功W＝Fh，式中h＝Lcosθ。
圖12－1
例1　如圖12－2所示，滑板運動員從高處平臺的末端水平飛出，落在水平地面上。若不計空氣阻力，則運動員在下落過程中(　　)
圖12－2
A．重力勢能轉化為動能，機械能增大
B．重力勢能轉化為動能，機械能不變
C．動能轉化為重力勢能，機械能增大
D．動能轉化為重力勢能，機械能減小
[答案] B
動能跟物體的質量和速度有關，速度越大，質量越大，動能越大；重力勢能跟物體的質量和高度有關。滑板運動員從高處平臺的末端水平飛出到落在水平地面上的過程中，高度減小，重力勢能減小，下落時速度變大，動能增大，所以是重力勢能轉化為動能；由于不計空氣阻力，說明機械能沒有轉化為其他形式的能，即機械能不變。
[方法點撥] 機械能守恒的條件是沒有機械能轉化為其他形式的能；機械能的轉化形式看物體的運動方向，從高處運動到低處時，重力勢能轉化為動能。
例2　如圖12－3所示，在河中間固定一個細長圓管，管內有一輕質活塞，活塞下端位于水面，面積為1 cm2，質量不計，大氣壓強為1.0×105 Pa。現將活塞緩慢提高15 m，則在該過程中外力對活塞做的功為(g取10 N/kg)(　　)
圖12－3
A．50 J B．100 J
C．150 J D．200 J
[答案] B
(1)由于大氣壓強的限制，活塞上升時，管內、外水位差存在一個最大值h0＝＝＝10 m；所以管內水面(或活塞)相對于河岸的升高量等于管內、外水位差，即h1＝h0＝10 m；活塞繼續上升了h2＝H－h1＝15 m－10 m＝5 m時，水面不動，活塞與水之間是真空。
　圖12－4
(2)水上升階段：設任意時刻管內向下的大氣壓力和管內的水向上的壓力為F下、F上，管內、外水位差為h，則有F下＝p0S，F上＝(p0－ρ水gh)S，
由于活塞始終平衡，故F－F下＋F上＝0，即F－p0S＋(p0－ρ水gh)S＝0，
解得：F＝ρ水ghS。可見，力F跟h成正比，F在h1距離上的平均值為F＝ρ水gh1S。
F在h1距離上所做的功為WF＝Fh1＝ρ水gh1S·h1＝×1.0×103 kg/m3×10 N/kg×10 m×1× 10－4m2×10 m＝50 J。
(3)水不上升階段：力F做的功等于活塞克服大氣壓力做的功，
故WF′＝p0Sh2＝1.0×105 Pa×1×10－4 m2×5 m＝50 J。
所以整個過程中，力F做的功：W總＝WF＋WF′＝50 J＋50 J＝100 J。
[方法點撥] 對于變力做功的問題，如果力是均勻變化的，可以把變力轉化成平均力，從而把復雜的求變力做功問題轉化成簡單的求恒力做功問題。
1．如圖12－5所示，小球從距離地面一定高度的O點沿x軸豎直落下，不計空氣阻力，圖像表示小球某種形式的能量E隨下落高度x的變化情況。E可能表示小球的(　　)
圖12－5
A．動能 B．內能
C．機械能 D．重力勢能
2．蹦床運動是運動員在一張繃緊的彈性蹦床上蹦跳后，在空中上下運動并做各種動作的運動項目，如圖12－6所示是運動員從蹦床上彈起后沿豎直方向上升過程中的圖片。下列對運動員離開蹦床后的判斷，正確的是(　　)
圖12－6
A．豎直上升過程中，合力的方向豎直向上，動能增加
B．豎直上升到最高點時，動能為0，合力不為0
C．豎直下降過程中，合力的方向豎直向下，重力勢能增加
D．豎直下降過程中，合力的方向豎直向上，重力勢能減少
3．某運動員做蹦極運動，如圖12－7甲所示，從高處O點開始下落，A點是彈性繩的自由長度，在B點運動員所受彈力恰好等于重力，C點是第一次下落到達的最低點。運動員所受彈性繩彈力F的大小隨時間t變化的情況如圖乙所示(蹦極過程視為在豎直方向的運動)。下列判斷正確的是(　　)
圖12－7
A．從A點到B點過程中運動員加速下落
B．從B點到C點過程中運動員重力勢能增大
C．t0時刻運動員的動能最大
D．運動員重力大小等于F0
4．樂清中學自主招生如圖12－8所示，虛線區域內的“×”為垂直紙面的磁感線，當金屬框沿光滑絕緣斜面的頂端，由靜止開始滑到底端時，具有的動能為E1；若將金屬框換成質量相同的塑料框，其他條件不變，塑料框滑到底端時，具有的動能為E2。則關于E1和E2的大小關系，下列說法正確的是(　　)
圖12－8
A．E1 ＞E2 B．E1 ＝E2
C．E1 ＜E2 D．無法判斷
5．溫州中學自主招生小球由地面豎直上拋，上升的最大高度為H，設所受阻力大小恒定，地面為零勢能面。在上升至離地高度h處，小球的動能是勢能的2倍，在下落至離地高度h處，小球的勢能是動能的2倍，則h等于(　　)
A. 　 B. C. D.
6．如圖12－9甲所示，小球從某高度處靜止下落到豎直放置的輕彈簧上并壓縮彈簧。從小球剛接觸彈簧到將彈簧壓縮至最短的過程中，小球的速度v和彈簧被壓縮的長度Δl之間的關系如圖乙所示，其中b為曲線最高點。不計空氣阻力，彈簧在整個過程中始終發生彈性形變，則小球(　　)
圖12－9
A．受到的彈力始終不變
B．運動過程中動能一直增大
C．運動過程中機械能不變
D．在b點時重力等于彈力
7．如圖12－10所示，容器的質量為m，若從容器的底部通過小孔向容器內注入質量為M的水，需要做功為W。現將小孔打開，水自然會從小孔流出，與此同時提升容器，使容器內的水面相對地面始終保持原有高度，當容器內的水全部流走時，需要做的功為(　　)
圖12－10
A．(M＋m)gH＋W B．(M＋m)gH
C．(M－m)gH＋W D．(M＋m)gH－W
8．(多選)如圖12－11所示，一個質量為m的圓環套在一根固定的水平粗糙直桿上，現給環一個向右的初速度v0，如果在運動過程中還受到一個方向始終豎直向上的力F的作用，已知力F的大小為F＝kv(k為常數，v為環的運動速度)，物體的動能與速度的關系為Ek＝mv2，則環在整個運動過程中克服摩擦力所做的功(假設桿足夠長)可能為(　　)
圖12－11
A.mv02
B．0
C.mv02－
D.mv02＋
9．(多選)如圖12－12所示，一輕質彈簧一端固定在墻上的O點，另一端可自由伸長到B點，今使一質量為m的小物體靠著彈簧，將彈簧壓縮到A點，然后釋放，小物體能在水平面上運動到C點靜止，已知AC＝L，AB＝；若將小物體系在彈簧上，在A點由靜止釋放，直到最后靜止，小物體通過的總路程為s，則下列說法中可能的是(　　)
圖12－12
A．s＞L B．s＝L
C.＜s＜L D．s≤
10．(多選)如圖12－13所示，三根細繩的一端分別系住A、B、C三個物體，它們的另一端分別系于O點，a、b為兩個定滑輪。整個裝置處于平衡狀態時，Oa與豎直方向成30°，Ob處于水平狀態。已知B的質量為m，如果將左邊的滑輪a水平向左緩慢移動距離s，最終整個裝置仍處于平衡狀態，則(　　)
圖12－13
A．物體A、C的質量之比為2∶1
B．該過程中A、C上升，B下降
C．該過程中A、B下降，C上升
D．該過程外力所做的功為mgs
11．小靜在觀看臺球比賽時發現：有時運動的白球去撞擊一個靜止的球后，白球會立即靜止在碰撞時的位置，而被撞的球似乎接替了白球，沿白球原來的運動方向，以幾乎相同的速度向前運動，如圖12－14甲所示。
圖12－14
小靜想：白球碰撞另一個靜止的球后立即靜止，被撞的球是以白球撞前相同大小的速度運動出去的嗎？
通過了解和初步實驗，小靜發現：只有當體積和質量均相同的兩球，而且球心在同一直線上相碰時，才可能出現上述現象。為進一步探究，她設計了如下實驗方案：
如圖乙所示，將一個兩端翹起、中間水平的軌道固定在水平桌面上，取兩個相同的臺球A、B，將B球靜置于軌道的水平部分，A球置于軌道左端斜面上某處，測出該點到水平桌面的高度h1。釋放A球，撞擊后，A球靜止，B球向前運動并沖上軌道右端斜面能到達的最高點，測出該點的高度h2。通過比較h2與h1的大小關系即可作出判斷，請你回答以下問題。
(1)A球從斜面滑下的過程中，________能轉化為動能。
(2)B球由靜止變為運動是因為B球在碰撞中獲得了________能。
(3)已知重力勢能的計算公式為Ep＝mgh，動能的計算公式為Ek＝mv2。若軌道光滑，則碰撞前瞬間A球運動速度的表達式vA＝______；若h2＝h1，則說明B球被撞后開始運動的速度vB________(填“＞”“＝”或“＜”)vA。
(4)在實際實驗中，測出的h2總小于h1，若導致這一現象的原因是軌道不光滑，那么，在阻力不可避免的情況下，你認為小靜的設計是否還有價值？請說出你的理由：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
12．如圖12－15所示，質量為40 g的金屬小球從導軌的a處自由滑下，依次經過b處、c處，到達d處時恰好停下。在從a到b的過程中，重力做的功為________J；在整個運動過程中，小球克服導軌摩擦消耗的機械能為________J。(g取10 N/kg)
圖12－15
13．同學們所用的筆，有些在靠近筆端的地方裝有一個輕質彈簧。小文和小軍各自拿自己裝有彈簧的筆玩彈筆游戲，結果發現小軍的筆彈得高一些，小文分析：筆彈起的高度與筆內彈簧的彈性勢能的大小有關。那么彈簧彈性勢能的大小又跟什么因素有關呢？
小文猜想：
①彈簧彈性勢能的大小可能跟它的材料有關；
②彈簧彈性勢能的大小可能跟它彈性形變的程度有關。
(1)小文利用兩個外形完全相同但材料不同的彈簧A和B、一個小鋼球、一個輕質木塊，在同一水平面上進行了如圖12－16所示的實驗，此實驗是為了驗證猜想________，實驗中彈性勢能的大小是通過________________________來體現的。
圖12－16
(2)請你設計一個實驗方案來驗證另一個猜想(寫出簡要的實驗步驟，分析可能出現的現象并得出結論)。
14．如圖12－17所示，用大小為F＝30 N的恒力通過定滑輪把靜止在地面上質量m＝10 kg的物體從A點拉到B點。A、B兩點離定滑輪懸點正下方的C點的水平距離分別為9.6 m和3 m，定滑輪最高點離地面的距離為H＝4 m。設物體與地面間的摩擦力始終為物重的。求：(g取10 N/kg)
(1)拉力所做的功。
(2)物體經過B點時的速度大小。
(3)物體經過B點時拉力做功的功率。
圖12－17
15．如圖12－18所示，質量分別為6 kg和10 kg的物體A、B，用輕繩連接跨在一定滑輪兩側，輕繩正好拉直，且A物體底面接觸地面，B物體距地面0.8 m，求：(g取10 N/kg)
(1)放開B物體，當B物體著地時，A物體的速度。
(2)A物體能上升的最大高度。
圖12－18
答案
1．A　2.B　3.A　
4．C　 因為金屬框是導體，所以它在通過磁場的過程中會因切割磁感線產生感應電流，使一部分機械能轉化為電能(電能又轉化為內能)，故 E15．D　 設小球上升至離地高度h時，速度為v1，在地面上拋時速度為v0，下落至離地面高度h處時，速度為v2。設空氣阻力為f，上升階段：－mgH－fH＝－mv02，－mgh－fh＝ mv12－mv02，2mgh＝mv12；下降階段：mg(H－h)－f(H－h)＝mv22，mgh＝2×mv22，所以h＝。
6．D　 小球從某高度處靜止下落到豎直放置的輕彈簧上并壓縮彈簧，從小球剛接觸彈簧到將彈簧壓縮至最短的過程中，彈簧形變程度逐漸變大，所以小球受到彈力也逐漸變大。由圖像可知，小球的速度先變大后變小，小球質量不變，所以小球的動能先變大后變小。小球從某高度處靜止下落，從接觸彈簧并壓縮彈簧開始，小球的機械能轉化為彈簧的彈性勢能。小球在某高度處時，豎直方向上受到的是一對平衡力，合力為零，小球再向下運動，彈力大于重力，合力向上，小球速度減小；由此可見，當重力G與彈力F相等時，小球速度最大，為b點。
7．D　 對容器及其內部的水來說，以下方式與題述方式是等效的：先是小孔不打開，將容器提高H，此時容器及其內部整個系統增加的機械能為(M＋m)gH，其后，再打開小孔，水自然會從小孔流完，水的機械能減少了W，所以相對于原狀態，機械能增加了(M＋m)gH－W。這就是現將小孔打開，水自然會從小孔流出，與此同時提升容器，使容器內的水面相對地面始終保持原有高度，當容器內的水全部流走時，需要做的功。
或這樣理解：當容器內的水全部流走時，需要做的功包括：容器增加的重力勢能mgH，水增加的重力勢能。水增加的重力勢能為MgH－W，所以需要做的功為W′＝mgH＋MgH－W＝ (M＋m)gH－W。
8．ABC　 根據題意，關于環的運動狀態，根據環受豎直向上的力F與重力mg的大小分以下三種情況討論：
(1)當mg＝kv0時，即v0＝時，環做勻速運動，摩擦力為零，Wf＝0，環克服摩擦力所做的功為零。
(2)當mg＞kv0時，即v0＜時，環在運動過程中做減速運動，直至靜止。由動能定理得環克服摩擦力所做的功為Wf＝mv02。
(3)當mg＜kv0時，即v0＞時，環在運動過程中先做減速運動，當速度減小至滿足mg＝kv時，即v＝時環開始做勻速運動。由動能定理得摩擦力做的功Wf＝mv2－mv02＝－ mv02，即環克服摩擦力所做的功為mv02－。
9．BC　 設彈簧釋放前具有的彈性勢能為EP，小物體所受的摩擦力大小為f。由題可知，將彈簧壓縮到A點，然后釋放，小物體停止的位置超過了B點并最終能停在C點，此時彈簧的彈性勢能轉化為內能，則EP＝fL。
若將小物體系在彈簧上，則物體一定會先超過B點向右運動一段距離；由于小物體不在B點時候會受到彈簧的指向B點的彈力，所以小物體經過B點后先做減速運動，可能直接停在B點右側的某一點，也有可能在最右側的某一點受到的彈簧的拉力大于摩擦力，則小物體會返回到任意一點；
小物體停止的位置有兩種情況：
第一種：若最終小物體恰好停在B處時，彈簧的彈性勢能恰好全部轉化為內能，即有fL＝ fs＝EP，得到s＝L，故B是可能的；
第二種：①若小物體最終沒有停在B處，彈簧還有彈性勢能EP′，則fs＜EP＝fL，得到s＜L。②若小物體一直向右運動直接停在B點右側的某一點，則s＞，即＜s＜L，故選項C是可能的。
10．AD　 三根細繩對O點的拉力等于三個物體的重力，對O點受力分析，如圖所示：
由共點力的平衡可知：
＝＝＝＝。
mCg＝F2＝mg tan 30°＝mg；將左邊的滑輪a緩慢水平向左移動s的距離，結合平衡條件可知三個拉力的大小和方向都不變，所以，A、B高度不變，C上升距離為s。
左邊的滑輪a水平向左緩慢移動距離s，則物體C上升s，所以，外力所做的功：W外＝ mCgs＝mgs。
11．(1)重力勢　(2)動　
(3)　＝
(4)有價值，在阻力無法避免的情況下，用光滑程度不同的軌道多次實驗，軌道越光滑，h2越接近h1，即可推理得出：當無阻力時，h2＝h1，即可判斷vB＝vA
(1)A球從斜面滑下的過程中，質量不變，高度減小，速度變大，重力勢能減小，動能增大，重力勢能轉化為動能。(2)運動的物體具有動能，B球由靜止變為運動是因為B球在碰撞中獲得了動能。(3)軌道光滑時，A球下滑的過程中重力勢能全部轉化為動能，所以Ep＝Ek，即mgh1＝mvA2，解得：vA＝；若h2＝h1，則位于最高點時A球和B球的重力勢能相等，由此可知，B球碰撞后的速度和A球碰撞前的速度相等，即vB＝vA。(4)有價值，在阻力無法避免的情況下，用光滑程度不同的軌道多次實驗，軌道越光滑，h2越接近h1，在大量的實驗基礎上通過推理即可得出：當無阻力時，h2＝h1，即可判斷vB＝vA。
12．0.24　0.16
從a到b的過程中，重力做功為W1＝Gh1＝mgh1＝0.04 kg×10 N/kg×0.6 m＝0.24 J。金屬小球在d點所具有的重力勢能為W2＝Gh2＝mgh2＝0.04 kg×10 N/kg×0.2 m＝0.08 J，在整個運動過程中，小球克服導軌摩擦消耗的機械能為W3＝W1－W2＝0.24 J－0.08 J＝0.16 J。
13．(1)①　木塊被推動距離的遠近
(2)步驟：a.將小球置于彈簧A的右端，使彈簧壓縮2 cm，放手后小球彈出，與木塊相碰，木塊被推動的距離為s1；b.把小球置于彈簧A的右端，使其壓縮的程度更大一些，觀察小球撞擊木塊后木塊移動的距離s2。比較s1、s2，得出結論：若s1＝s2，說明彈簧彈性勢能的大小與它彈性形變的程度無關；若s1＞s2，說明彈簧彈性形變的程度越小，它的彈性勢能越大；若s1＜s2，說明彈簧彈性形變的程度越小，它的彈性勢能越小。
(1)圖示實驗中，彈簧A和B外形完全相同但材料不同，這是在探究彈性勢能的大小跟彈簧材料之間的關系。由實驗可知，彈性勢能的大小是通過木塊被推動距離的遠近來體現的。(2)探究彈簧彈性勢能的大小跟彈性形變程度的關系，設計實驗方案驗證時，需要保持彈簧的外形、材料完全相同，改變彈簧彈性形變程度的大小，比較木塊移動的距離。
14．解：(1)根據幾何知識可知，繩端點的位移大小：
x＝－＝5.4 m，
繩的拉力F對物體做的功：
W＝Fx＝30 N×5.4 m＝162 J。
(2)根據動能定理可知：mvB2＝W－fs，
代入數據得×10 kg×vB2＝162 J－×10 kg×10 N/kg×(9.6 m－3 m)，解得vB＝ m/s。
(3)經過B點時，
繩與地面夾角θ＝arctan ＝53°，
可知P＝FvBcos53°＝30 N× m/s×0.6＝18 W。　
答：(1)拉力所做的功為162 J；(2)物體經過B點時的速度為 m/s；(3)物體經過B點時拉力的功率為18 W。
15．解：(1)從放開B物體到B物體剛著地的過程，A上升h，對于兩個物體組成的系統，只有動能與重力勢能之間的轉化，系統的機械能守恒。根據機械能守恒知，B減少的重力勢能等于A增加的重力勢能與A、B的動能之和，則得：mBgh－mAgh＝(mA＋mB)v2，
解得：v＝
＝ m/s
＝2 m/s。
(2)B落地后，A豎直上拋，由A的機械能守恒得：mAv2＝mAghA，
代入數據解得：hA＝＝ m＝0.2 m，
A能上升的最大高度為H＝(0.8＋0.2) m＝1.0 m。　
答：(1)放開B物體，當B物體著地時，A物體的速度是2 m/s；(2)A物體能上升的最大高度為1.0 m。

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