資源簡介

簡單機械與機械效率
【回顧】
1．(1)力矩：動力×動力臂和阻力×阻力臂稱為力矩(即力與力臂的乘積)，凡是使物體產生逆時針方向轉動效果的，定為正力矩，反之為負力矩。力矩是一個力的作用效果。
(2)力矩平衡方程：力矩的代數和為零或所有使物體順時針方向轉動的力矩之和等于所有使物體逆時針方向轉動的力矩之和，即：∑M＝0或∑M順＝∑M逆。
(3)解決實際問題的步驟
(a)確定研究對象——哪個物體；
(b)分析狀態及受力——畫示意圖；
(c)列出力矩平衡方程：∑M＝0或∑M順＝∑M逆；
(d)列出字母表達式，代入數據；
(e)作必要的討論，寫出明確的答案。
2．有用功：W有用＝Gh(豎直方向)；W有用＝fs(水平方向，克服摩擦做功)。
3．機械效率：η＝×100%，且η總小于1，η＝η1η2。
4．滑輪組計算動力的方法
判斷滑輪組省力情況，關鍵是弄清楚承擔物重的繩子段數。這就是說以動滑輪為研究對象，分析清楚動滑輪的受力情況即可。(以下探討中，不計繩重、滑輪重和摩擦)
圖13－1
方法一：一條繩子串繞在滑輪組上以后，繩子就被動滑輪和定滑輪分成了n段，除了手拉的繩子需要判斷是否承擔重力之外，其余各段都承擔重力。手拉的一段繩子若從動滑輪繞出來就直接承擔重力，若從定滑輪繞出來則只改變力的方向而不承擔重力。如圖13－1甲所示，繩子被分為三段，但繩子自由端是從定滑輪繞出的，不承擔重力，所以該滑輪組由兩段繩子承擔物重，則F1＝G。如圖乙所示，繩子也被分成三段，但繩子自由端是從動滑輪繞出的，不改變力的方向，但承擔重力，所以滑輪組由三段繩子承擔物重，則F1＝G。
圖13－2
方法二：在動滑輪和定滑輪之間畫一條虛線，將它們隔離開來，只數與動滑輪相連的繩子段數。如圖13－2甲所示，有四段繩子與動滑輪相連，則F＝G；圖乙中有五段繩子與動滑輪相連，則F′＝G。
例1　下列杠桿能夠平衡的是(杠桿自重和摩擦均不計)(　　)
圖13－3
[答案] C
設杠桿每一個格的長度為L。A圖中，力和力臂的乘積：左邊＝10 N×3L，右邊＝10 N×2L，因為10 N×3L＞10 N×2L，所以左邊下沉；B圖中，力F和物體對杠桿的作用效果一致，使杠桿逆時針轉動，此時杠桿不能平衡；C圖中，力和力臂的乘積：左邊＝10 N×3L，右邊＝15 N×2L，因為10 N×3L＝15 N×2L，所以杠桿平衡；D圖中，力F和物體對杠桿的作用效果一致，使杠桿逆時針轉動，此時杠桿不能平衡。
[方法點撥] 判斷杠桿是否平衡時，先看杠桿上力的作用點和力的方向與支點之間的情況(杠桿平衡首先符合作用點在支點的兩側，力的方向在杠桿的同側；作用點在支點的同側，力的方向在杠桿兩側)，再尋找正確的力和力臂，然后利用杠桿的平衡條件進行計算。
例2　如圖13－4所示，由三只動滑輪和一只定滑輪組成的滑輪組下懸掛一重為G的物體，每只滑輪重為G′，摩擦及繩重不計，重物靜止不動，則繩端作用的拉力F為(　　)
圖13－4
A. B. C. D.
[答案] D
設圖中各繩子拉力大小分別為F1、F2、F3(F3＝F)，由圖可知：2F1＝G＋G′，2F2＝ F1＋G′，2F3＝F2＋G′。由以上三式可解得：F1＝，F2＝，F＝F3＝。
[方法點撥] 運用隔離法分析可得F1、F2、F3的表達式。由F1、F2、F3的表達式，我們可推出n個相同的動滑輪和一只定滑輪組成與圖13－4相似的滑輪組，繩端所用的拉力是：F＝Fn＝。
例3　如圖13－5所示，七塊完全相同的磚塊按照圖示的方式疊放起來，每塊磚的長度均為L，為保證磚塊不倒下，6號磚塊與7號磚塊之間的距離s將不超過(　　)
圖13－5
A.L B．2L
C.L D.L
[答案] A
1號磚塊處于平衡狀態，則1號對2號的壓力應為；當1號放在2號的邊緣上時距離最大。
2號處于杠桿平衡狀態，設2號露出的長度為x，則2號下方的支點距重心在(－x)處，
由杠桿的平衡條件可知：G(－x)＝x，解得：x＝。
設4號露出的部分為x1，則4號下方的支點距重心在(－x1)處，4號受到的壓力為G＋，
由杠桿的平衡條件可知：G(－x1)＝(G＋)x1，解得x1＝；
則6、7號之間的最大距離：s＝L＋2(x＋x1)＝L＋2(＋)＝L。
[方法點撥] 本題考查了杠桿的平衡條件在生活中的應用，在解題時應注意明確找出杠桿的支點及受到的力，再利用杠桿的平衡條件列式求解。
1．如圖13－6所示，杠桿處于平衡狀態，如果將物體A和B同時向靠近支點的方向移動相同的距離，下列判斷正確的是(　　)
圖13－6
A．杠桿仍能平衡
B．杠桿不能平衡，左端下沉
C．杠桿不能平衡，右端下沉
D．無法判斷
2．在探究“杠桿的平衡條件”時，小明在均勻木板中間挖孔，孔中插一金屬桿，固定在鐵架臺上，木板可以圍繞中間自由轉動。每個鉤碼的質量為200 g，A、B、C、D、E、F為掛鉤，已知AB＝BO＝OC＝CD，ABOCD的連線與EDF的連線垂直。現在B處掛兩個鉤碼，D處掛一個鉤碼，木板在水平位置平衡(如圖13－7 所示)。下列做法不能使木板重新平衡的是(　　)
圖13－7
A．在B、D兩處各加掛一個鉤碼
B．在B處加掛兩個鉤碼、D處加掛一個鉤碼
C．B處掛兩個鉤碼不變，把D處的一個鉤碼掛在E處
D．B處掛兩個鉤碼不變，把D處的一個鉤碼掛在F處
3．為了將放置在水平地面上重為100 N的物體提升一定高度，設置了如圖13－8所示的滑輪組裝置。當用如圖13－9甲所示隨時間變化的豎直向下的拉力F拉繩時，物體的速度v和物體上升的高度h隨時間變化的關系分別如圖乙、丙所示。(不計繩重和摩擦)下列計算結果正確的是(　　)
圖13－8
圖13－9
A．0～1 s內，地面對物體的支持力是10 N
B．1～2 s內，拉力F做的功是187.5 J
C．2～3 s內，拉力F的功率是100 W
D．2～3 s內，滑輪組的機械效率是62.5%
4．鎮海保送生如圖13－10所示裝置中，物體A重100 N，物體B重10 N，在物體B的作用下，物體A在水平方向做勻速直線運動，如果在物體A上加一個水平向左的拉力F，拉力的功率為10 W，使物體B勻速上升3 m所用的時間為(不計繩重、滑輪重和滑輪摩擦)(　　)
圖13－10
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
5．如圖13－11所示，密度、粗細均勻的木棒，一端懸掛重為G的小物塊(體積忽略不計)，棒的浮出水面，則棒所受重力的大小為(　　)
圖13－11
A．nG B．(n＋1)G
C．(n－1)G D.
6．如圖13－12所示，AB是一質量為m的均勻細直桿，A端靠在光滑的豎直墻壁上，B端置于水平地面上，桿身與豎直方向的夾角為θ，桿與地面的摩擦系數為μ，桿保持平衡，則此時桿與地面間的摩擦力為(　　)
圖13－12
A.mgtanθ B.mgsinθ C.μmg D．μmg
7．如圖13－13所示，AB、CD分別是兩個可以繞A、C兩轉軸轉動的質量均勻的杠桿，它們的質量相等，長度相等。現在B端施加一個始終垂直AB桿的力，使AB桿和CD桿緩緩繞順時針或逆時針轉動。設使AB桿順時針轉動到圖示位置時施加在B點的力為F1，使AB桿逆時針轉動到圖示位置時施加在B點的力為F2。則下列說法中正確的是(　　)
圖13－13
A．若CD桿與AB桿接觸處是光滑的，則F1＜F2
B．若CD桿與AB桿接觸處是光滑的，則F1＞F2　
C．若CD桿與AB桿接觸處是有摩擦的，則F1＜F2
D．無論接觸點是否光滑，無論轉動方向如何，都有F1＝F2
8．在菜市場內個別商販會違反公平交易的原則，使用桿秤時通過不正當方式侵犯了消費者的合法權益。例如某標準桿秤的秤砣質量為1 kg，秤和秤盤的總質量為0.5 kg，O點為提紐懸點，A點為零刻度點。OA＝3 cm，OB＝9 cm，如圖13－14所示。如換取了一個質量為0.7 kg的秤砣，售出3.0 kg的物品，消費者得到的物品實際質量為(　　)
圖13－14
A．2.0 kg B．2.3 kg C．2.5 kg D．2.8 kg
9．如圖13－15所示，平板重300 N，滑輪重不計，要使整個裝置靜止，則物體重力的最小值是(　　)
圖13－15
A．300 N B．200 N C．150 N D．100 N
10．如圖13－16所示，吊籃的重力為400 N，動滑輪總重為50 N，定滑輪總重為40 N，人的重力為600 N，人在吊籃里拉著繩子不動時對繩子的拉力大小為________，吊籃對人的支持力為________。
圖13－16
11．溫州中學自主招生 如圖13－17所示裝置，O為杠桿OA的支點，在離O點L0處掛著一個質量為M的物體。單位長度杠桿的質量為m，當杠桿的長度為多少時，可以用最小的力F維持杠桿平衡？
圖13－17
12．如圖13－18甲所示為塔式起重機簡易示意圖，塔式起重機主要用于房屋建筑中材料的運送及建筑構件的安裝。(動滑輪重、繩重及摩擦不計， g取10 N/kg)
圖13－18
(1)為保持平衡，起重臂的長度越長的塔式起重機，配備的平衡重的質量應越________。
(2)圖乙為起重機鋼絲繩穿繩簡化示意圖，定滑輪a的作用是________________________________________________________________________。
若鋼絲繩能承受的最大拉力為3×104 N，則能吊起貨物的質量不能超過多少千克？
(3)若將重為1.2×104 N的貨物由地面沿豎直方向勻速提升30 m，再沿水平方向移動20 m，則此過程中克服貨物重力做功多少焦？
(4)若該起升電動機的效率為90%，將重為1.2×104 N的貨物提升到30 m的高度，用時50 s，則該起升電動機的實際功率是多少瓦？
13．如圖13－19所示，物重G為2000 N，斜面長s＝5 m，高h＝3 m，斜面和滑輪組裝置的總機械效率為80%，若將重物沿斜面拉上頂端所用的時間為25 s。求：
(1)拉力F做的有用功。
(2)所需拉力F的大小。
(3)機械的總功率。
圖13－19
14．倒鏈(又稱神仙葫蘆)是一種簡單的起重用具，它由滑輪組組成(如圖13－20所示)，A、B為同軸并一起轉動的定滑輪，半徑分別為R1和R2，R1稍大于R2；C為動滑輪，其半徑為r。它們之間用鐵鏈按圖示的方式連接起來。當用力F拉一側鐵鏈使定滑輪轉動時，套在A上的鐵鏈使掛在C上的重物上升，與此同時，套在B上的鐵鏈被放下，使重物下降(圖中虛線箭頭表示鐵鏈運動方向)。轉動一周時，其總效果使重物上升的距離為多少？若重物所受重力為G，則使重物緩慢勻速上升時，拉力F的大小至少應為多少？(不計摩擦、繩重及滑輪重)
圖13－20
15．在如圖13－21所示的裝置中，A、B是動滑輪，C是定滑輪，D是輪軸，D的輪半徑 R＝10 cm，軸半徑r＝5 cm，物重G＝500 N，每個動滑輪重G動＝50 N。如果不計繩重和摩擦，各段繩的方向保持相平行，那么：
(1)為把重物提起，作用在輪上的動力F至少要大于多少牛？
(2)若把重物提起0.1 m，動力F的作用點要移動幾米？
(3)該裝置的機械效率是多少？
圖13－21
答案
1．C　 原來杠桿在水平位置處于平衡狀態，作用在杠桿上的力分別等于物體A、B的重力，其對應的力臂分別為OC、OD，根據杠桿的平衡條件可得：mAgOC＝mBgOD，由圖可知，OC＜OD，所以mA＞mB；當A、B向支點移動相同的距離Δl時，兩邊的力臂都減小Δl，此時左邊的力矩為：mAg(OC－Δl)＝mAgOC－mAgΔl，右邊的力矩為：mBg(OD－Δl)＝ mBgOD－mBgΔl，由于mA＞mB，所以mAgΔl＞mBgΔl，所以mAgOC－mAgΔl＜mBgOD－mBgΔl，因此杠桿將向懸掛B物體的一端傾斜，即右端下沉。
2．A　3.B　
4．D　 因為都是勻速運動，故作用在物體B上的拉力是10 N，三段繩子拉最左邊的滑輪，以最左邊的滑輪為研究對象，可以知道，A對滑輪的拉力是30 N，滑輪對A的拉力大小也是30 N，由平衡條件可知，A受到的摩擦力為30 N。在物體A上加一個水平向左的拉力F，物體B勻速上升，物體A勻速向左運動，摩擦力方向改變，A受到向右的30 N摩擦力、向右的30 N拉力，故F的大小應該是60 N，拉力的功率為10 W，由P＝Fv，可以知道A的速度是 m/s。則B的速度為 m/s，B上升3 m所用的時間為6 s。
5．C　 均勻的木棒處于漂浮狀態，根據漂浮條件得：F浮＝G木＋G①；
棒的浮出水面，木棒受力分析如圖所示：
設木棒的長度為L，則OC＝L－L＝L，OA＝L－L＝L，OB＝OC＝L。設木棒與水面的夾角為α，則根據杠桿平衡條件得：
OBcosαF浮＝OAcosαG木＋OCcosαG，
即LcosαF浮＝LcosαG木＋LcosαG，
整理得：F浮＝G木＋G②；
解①②得：G木＝(n－1)G。
6．A　 以B為支點，設桿長為L，A點所受彈力為F，則由杠桿的平衡條件可得： mg sinθ＝FLcosθ，則F＝tanθ；物體水平方向靜止，故摩擦力與彈力相等，故摩擦力大小為mgtanθ。
7．C 　
(1)若CD桿與AB桿接觸處是光滑的， AB桿上的A為支點，作用在AB桿上的力有：F、重力G、CD桿對AB桿的壓力F′，則根據杠桿平衡條件得：F·l1＝G·l2＋F′·l3，無論AB桿順時針轉動還是逆時針轉動到該位置，F的力臂l1、AB桿的重力G及其力臂l2、壓力F′及其力臂l3都不變，所以，F1＝F2。
(2)若CD桿與AB桿接觸處是有摩擦的， AB桿受力有F、G、F′、摩擦力f，順時針轉動：F1·l1＝G·l2＋F1′·l3＋f1·0①；
逆時針轉動：F2·l1＝G·l2＋F2′·l3＋f2·0②
因為CD桿對AB桿的壓力F′在兩種情況中不同：
①順時針轉動時，CD桿受力有G、F1″、f1′，摩擦力f1′方向沿AB桿向上，μ為CD桿與AB桿之間的摩擦系數，則：F1″·l4＋f1′·l6＝G·l5，即：F1″·l4＋μ·F1″·l6＝G·l5，所以F1″＝；
②逆時針轉動時，CD桿受力也是有G、F2″、f2′，但摩擦力f2′方向沿AB桿向下，
則：F2″·l4＝G·l5＋f2′·l6，即：F2″·l4＝G·l5＋μ·F2″·l6，所以F2″＝。
因為CD桿上的G、l4、l5、μ、l6都不變，
所以F1″＜F2″，
因為F1′與F1″，F2′與F2″是一對相互作用力，
所以F1′＜F2′③；
代入前面的①②式比較可得：F1＜F2。
8．A　 設秤桿和秤盤的重心為C，當杠桿平衡時秤砣放在A點，有G秤×OC＝G砣×OA，即：m秤g×OC＝m砣g×OA，0.5 kg×OC＝1 kg×3 cm，得OC＝6 cm。
使用1 kg秤砣(正常情況下)，設秤砣到O點的距離為L，有m物g×OB＋m秤g×OC＝m砣g×L，即：3 kg×g×9 cm＋0.5 kg×g×6 cm＝1 kg×g×L，解得：L＝30 cm；
當使用0.7 kg秤砣時，秤砣到O點的距離不變(售出3.0 kg的物品，秤砣的位置不變)，
則有m物′g×OB＋m秤g×OC＝m砣′g×L，即：m物′g×9 cm＋0.5 kg×g×6 cm＝0.7 kg×g×30 cm，解得：m物′＝2 kg。所以消費者得到的物品實際質量為2 kg。
9．D　 當物體的重力最小時，物體與平板間的彈力為零，對物體進行受力分析，受重力mg和拉力T，根據平衡條件，有：T＝mg①；
再對左側滑輪受進行力分析，受三個繩子的拉力，故：T′＝T＋T②；
最后再對平板受力分析，受重力和兩個繩子的拉力，根據平衡條件，有：T＋T′＝Mg③；
聯立①②③可得：mg＝Mg＝100 N。
10．210 N　390 N
將人、吊籃、動滑輪看作一個整體，由于他們處于靜止狀態，受力平衡，則人的拉力，F＝(G人＋G動＋G吊籃)＝(600 N＋50 N＋400 N)＝210 N。吊籃對人的支持力為F支＝G人－ F＝600 N－210 N＝390 N。
11．解：根據圖示可知，支點為O，阻力和阻力臂分別為物體的重力和對應的力臂L0，杠桿自身的重力和對應的力臂LOA；動力F對應的力臂為LOA。根據杠桿的平衡條件可得， FLOA＝MgL0＋mLOAgLOA，即mLOA2g－FLOA＋MgL0＝0，LOA＝，當F2＝2Mmg2L0時，力F最小，即LOA＝。
答：當杠桿的長度為時，可以用最小的力F維持杠桿平衡。
12．(1)大
(2)改變力的方向
解：該滑輪組承擔物重的繩子有2段，故G＝2F＝3×104 N×2＝6×104 N，由G＝mg可得， m＝＝＝6000 kg。
答：能吊起貨物的質量不能超過6000 kg。
(3)解：W＝Fs＝Gh＝1.2×104 N×30 m＝3.6×105 J，由于水平移動時，重力方向與位移方向垂直，故水平移動過程中重力沒做功。
答：此過程中克服物體重力做功3.6×105 J。
(4)解：有用功為W有用＝G2h＝1.2×104 N×30 m＝3.6×105 J，總功為W總＝＝＝4×105 J，實際功率為P＝＝＝8×103 W。　
答：該起升電動機的實際功率為8×103 W。
(1)由杠桿的平衡條件F1l1＝F2l2(動力×動力臂＝阻力×阻力臂)可得，F2＝，由此可知，當阻力臂和動力不變時，阻力與動力臂成正比，即動力臂越大，阻力越大；動力臂越小，阻力越小，故為保持平衡，起重臂的長度越長的塔式起重機，配備的平衡重的質量應越大。
13．解：(1)由題意可知，斜面和滑輪組都是為了將物體提高，則有用功：W有用＝Gh＝2000 N× 3 m＝6000 J。　
(2)由η＝可得，拉力F做的總功：W總＝＝＝7500 J；由圖知，n＝3，則拉力作用點移動的距離等于物體移動距離的3倍(物體移動距離為5 m)，所以拉力作用點移動的距離：s′＝ns＝3×5 m＝15 m，
由W＝Fs可得，所需的拉力：F＝＝＝500 N。　
(3)重物上升的時間t＝25 s，機械的總功率：P總＝＝＝300 W。
答：(1)拉力F做的有用功是6000 J；(2)所需拉力F是500 N；(3)機械的總功率是300 W。
14．解：重物上升距離：
h＝＝π(R1－R2)。
當定滑輪轉動一周時，拉力F做的功：W＝Fs＝F×2πR1，
此時，物體上升的距離：h＝π(R1－R2)。
克服物體重力所做的功：
W′＝Gh＝Gπ(R1－R2)。
根據功的原理：W＝W′，
即F×2πR1＝Gπ(R1－R2)。
所以，F＝G。
答：轉動一周時，其總效果使重物上升的距離為π(R1－R2)；拉力F的大小至少應為G。
15．解：如圖所示，作用在滑輪組上繩子的拉力為F′，作用在輪軸軸上繩子的拉力也是F′，作用在輪上的拉力是F。
(1)重物被兩個動滑輪吊著，與動滑輪相連的繩子段數n＝4，根據滑輪組的省力公式，
則作用在滑輪組繩子上的拉力F′＝＝＝150 N；
根據輪軸的省力公式，作用在輪上繩子的拉力為F＝＝＝75 N。
故為把重物提起，作用在輪上的動力F至少要大于75 N。
(2)若把重物提起0.1 m，則滑輪上繩子自由端移動的距離：s＝nh＝4×0.1 m＝0.4 m；
則輪軸軸上繩子通過的距離s1也是0.4 m，
根據輪軸的特點，輪上繩子通過的距離為s2＝×s1＝×0.4 m＝0.8 m。
(3)當物體被提起的高度h＝0.1 m時，所做的有用功W有用＝Gh＝500 N×0.1 m＝50 J；
作用在繩子自由端的拉力F＝75 N，繩子最后移動的距離s2＝0.8 m，所以做的總功為W總＝Fs2＝75 N×0.8 m＝60 J；故該裝置的機械效率：η＝×100%＝×100%≈83.3%。
答：(1)為把重物提起，作用在輪上的動力F至少要大于75 N；(2)若把重物提起0.1 m，動力F的作用點要移動0.8 m；(3)該裝置的機械效率為83.3%。

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