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二面角大小的幾種求法
二面角大小的求法中知識的綜合性較強，方法的靈活性較大，一般而言，
二面角的大小往往轉化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內角大小，
在其求解過程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函數等重要知識。求
二面角大小的關鍵是，根據不同問題給出的幾何背景，恰在此時當選擇方法，
作出二面角的平面角，有時亦可直接運用射影面積公式求出二面角的大小。
【.尋找有棱二面角的平面角的方法（定義法、三垂線法、垂面法、
射影面積法)
一、定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點（特殊
點)，過該點在兩個半平面內作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角
的平面角，這是一種最基本的方法。要注意用二面角的平面角定義的三個“主
要特征”來找出平面角。
例空間三條射線CA、CP、CB,∠PCA=∠PCB=60°，∠ACB=90°，求二
面角B-PC-A的大小。
解：過PC上的點D分別作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,連EF
∴.∠EDF為二面角B-PC-A的平面角，設CD=a,.'∠PCA=∠PCB=60°，
.∴.CE=CF=2a,DE=DF=v3a,又.∠ACB=900,.∴.EF=2W2a,
∠EDf=3a2+3a2-8a2_1
2.3a2=j
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二、三垂線法：己知二面角其中一個面內一點到一個面的垂線，用三垂線
定理或逆定理作出二面角的平面角。
例在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD,
PA=AB=a,∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。
解：如圖，PA⊥平面BD,過A作AH⊥BC于H,連結PH,則PH⊥BC
又AH⊥BC,故∠PHA是二面角PBC-A的平面角。
在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=號；
在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH==2,則
2
∠PHA=arctan2.
三、垂面法：己知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半
平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱
垂直。
例在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,
求B-PCD的大小。
解：（垂面法）如圖，PA⊥平面BDBD⊥AC
→BD⊥BC→過BD作平面BDH⊥PC于H→PC⊥DH、BH
→∠BHD為二面角B-PC-D的平面角。
因PB=v5a,BC=aPC=5a號PBBC-S△PBC=PCBH則BH-
2=DH,
又BD=√2a在△BHD中由余弦定理，得：
cos∠BHD=BH2+DH2-BD2
2BH BD
,又0<∠BHD
3
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