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高考外接球內(nèi)切球系列專題
外接球：在空間，如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)
就是該簡(jiǎn)單多面體的外接球的球心。
題型一、墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）
圖1-1
圖1-2
圖1-3
圖1-4
公式(2R)2=a2+b2+c2,即2R=Va2+b2+c2,求出R
例題1若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為√3，則其外接球的表面積是9
解
a=V5,b=√5，c=√5
:2R=Va2+b2+c2-V√32+(V32+(V3)2=3
i.R=3:.S=4nR=9n
例題2.三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上.棱錐P-ABC的各棱長(zhǎng)為：
PA=2,PB=3,PC=4,AB=V13,BC=5,AC=2W5,則球O的表面積為()
A.28π
B.29π
C.30π
D.31π
答案：B
例題3【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，
PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,F分別是PA,AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，
則球O的體積為
A.8V6π
B.4V6π
C.2V6π
D.√6π
【答案】D
【解析】解法一：PA=PB=PC,△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴.P-ABC為正
三棱錐，
∴.PB⊥AC,又E,F分別為PA,AB的中點(diǎn)，.EF∥PB,∴，EF⊥AC,
又EF⊥CE,CE∩AC=C,.EF⊥平面PAC,∴.PB⊥平面PAC,
∠APB=90,PA=PB=PC=√2，P-ABC為正方體的一部分，
則2R=2+2+2=6,即R=6
R-4×66-V6元故選D.
.v=4
一元X
3
38
解法二：設(shè)PA=PB=PC=2x,E,F分別為PA,AB的中點(diǎn)，
:EF/PB,且EF=PB=x,
△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.CF=√3，
又∠CEF=90°，.CE=3-X,AE=PA=x,
在△AEC中，由余弦定理可得cOS∠EAC=
x2+4-(3-x2）
2×2×x
作PD L AC于D,PA=PC,為AC的中點(diǎn)，cos∠EAC=1D=⊥
PA 2x
+4-3+21
4x
’2x2+1=2,x2=),x=V2,
2x
2
∴.PA=PB=PC=V2,又AB=BC=AC=2,.PA,PB,PC兩兩垂直，
2R=2+2+2=6,R=6,
2
.v=4
πR3=4T×6W6=√6π.故選D.
3
8

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