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23個函數與導函數類型專題
23個函數與導函數類型專題
1、函數第1題已知函數f(x)=
nx+,若x>0,且x≠1，f)>n+k,求k的
x+Ix
x-1'x
取值范圍.
解析：(I)將不等式化成k>=<)()模式
由>得：++年名簡得：6<1-0
x-1'x
x2-7
(2)構建含變量的新函數g(x)
構建函數：g(x)=
2xInx
x2-1
(x>0,且x≠1)
其導函數由
(x2-0
z(x2-x2mx-Inx-/)
即：2nl2-小-2+0加-三-n）@
2
(x2-02
(3)確定g(x)的增減性
先求8w)的極值點，由g')=0得：少-
xn2+
-Inxo =0
即：
xo-1=Inxo
)2+1
③
由蓄本不等式n≤x-1代入上式得：w-l
x2+1
≤x0-1
故：0-1-2-1、
x02+7
0即：(-01-1)20
x02+1
由于1≤1，即1-1
x02+1
xw2+7
0，故：x0-1≥0，即x0≥1
即：g(x)的極值點xo≥1
在x≥0之1時，由于-1<1有界，而n>0無界
x2+1
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23個函數與導函數類型專題
故：
x2-
x2+
-Inx<0
即：在x之x0≥1時，g'(x)≤0，g(x)單調遞減；
那么，在0滿足③式得x恰好是x,=1
(④)在x∈(1，+oo)由增減性化成不等式
在x∈(1，+oo)區間，由于h(x)為單調遞減函數，
故：g(x)≤im,g(x)=im
x)+1
x→+1
x2-1
應用不等式：nxlim
2 glnxx→+1
x2-7
x+x2-1
x-+1八x+1
即：g(x)代入①式得：k<1-g(x),即：k≤1-g(I),即：k≤0
④
(⑤)在x∈(0，)由增減性化成不等式
在x∈(0，I)區間，由于g()為單調遞增函數，
故：g(x)≥limg(x)=lim
2xInx
x)+0
x)+0
x2-1
由于極限im(xlnx)=0,故：g(x)≥0，代入①式得：k≤1
⑤
x→+0
(6)總結結論
綜合④和⑤式得：k≤0.故：k的取值范圍是k∈(-∞，
本題的要點：求出1-
2xl血的最小值或最小極限值.
x2-1
特刊：數值解析
由@式k<1-2xx,設函數K)=1-2xnx
x2-1
x2-1
當x→1時，用洛必達法則得：
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