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第一章知識歸納
一、有理數(shù)基本概念
1.正數(shù)與負(fù)數(shù)
我們把以前學(xué)過的數(shù)大于零叫做正數(shù)。有時在正數(shù)前面也加上“+”（正）號。 如+0.5、+3、+1/2……“＋”號可以省略。
我們把在以前學(xué)過的數(shù)（0除外）前面加上負(fù)號“-”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。如－３、－０.５、-2/3……
0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是正負(fù)數(shù)的分界。
正數(shù)與負(fù)數(shù)可以用來表示具有相反意義的量。
相反意義的量包含兩個要素：一是它們的意義要相反；二是它們都具有數(shù)量。與一個量成相反意義的量不止一個。
2．有理數(shù)
正整數(shù)、0統(tǒng)稱自然數(shù)；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)
整數(shù)可以看做分母為1的分?jǐn)?shù)。正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式。
可以這樣說:有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式；能寫成分?jǐn)?shù)（分子分母互質(zhì)）形式的數(shù)是有理數(shù).
有理數(shù)的分類（兩種）
正整數(shù)
整數(shù) 零
有理數(shù) 負(fù)整數(shù)
分?jǐn)?shù) 正分?jǐn)?shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)
正整數(shù)
正有理數(shù) 正分?jǐn)?shù)
有理數(shù) 零
負(fù)有理數(shù) 負(fù)整數(shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)
3. 數(shù)軸
規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。
數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度
任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，有理數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。
數(shù)軸上的點表示的數(shù)從左到右依次增大；原點左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點右邊的數(shù)是正數(shù).
4.相反數(shù)
一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，數(shù)軸上與原點的距離是a的點有兩個，他們分別在原點的左右，表示－a和a，我們說這兩點關(guān)于原點對稱.
只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).（絕對值相等，符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)）
正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0.
在一個數(shù)前面添上“-”號,表示這個數(shù)的相反數(shù).
5.絕對值
在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值。對任意有理數(shù)，總有。
正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。 （互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。）
6.比較大小
（1）數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。
（2）方法總結(jié)：
兩個正數(shù)比較大小，與小學(xué)一致； 正數(shù)與零比較，正數(shù)大于零； 正數(shù)與負(fù)數(shù)比較，正數(shù)大于負(fù)數(shù)； 負(fù)數(shù)與零比較，負(fù)數(shù)小于零； 兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小。
二、 有理數(shù)的加減法
1.有理數(shù)的加法
有理數(shù)的加法法則：（先確定符號，再算絕對值）
（1） 同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；
（2） 異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；
（3） 互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（如果兩個數(shù)的和為0，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)）
（4） 一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。
有理數(shù)的加法運(yùn)算律：
（1） 兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即；
（2） 三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即。
2.有理數(shù)的減法
有理數(shù)的減法法則：
減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即。
注：兩個變化：減號變成加號；減數(shù)變成它的相反數(shù)。
3.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算
規(guī)則：運(yùn)用減法法則將加減混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法進(jìn)行運(yùn)算
（為了書寫簡便，可以把已經(jīng)統(tǒng)一為加法運(yùn)算的式子中各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略，寫成省略加號的和的形式。）
步驟：（1）減法化加法；
（2）省略括號和加號；
（3）運(yùn)用加法運(yùn)算律使計算簡便；
（4）運(yùn)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行計算。
注：運(yùn)用加法運(yùn)算律時，可按如下幾點進(jìn)行：
（1）同號的先結(jié)合；（2）同分母的分?jǐn)?shù)或者比較容易通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合；（3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（4）能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（5）帶分?jǐn)?shù)一般化為假分?jǐn)?shù)或者分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，再分別相加。
三、有理數(shù)的乘除法
1.有理數(shù)的乘法
有理數(shù)的乘法法則：
（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。
（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.
倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。0沒有倒數(shù)。
（數(shù)的倒數(shù)是）
多個有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：
（1）幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負(fù)數(shù)； 負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)。確定符號后，把各個因數(shù)的絕對值相乘。
（2）幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積為0；反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)是0.
注：帶分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘時，通常把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再與分?jǐn)?shù)相乘。
2.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律
乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即。
乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即。
乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。即。
3.有理數(shù)的除法
有理數(shù)除法法則：（1）除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。即。
（2）兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。
0除以任何不為0的數(shù)，都得0。
步驟：先確定商的符號，再算出商的絕對值。
4.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算
運(yùn)算順序：從左往右進(jìn)行，將除法化成乘法后，進(jìn)行約分計算。
（注：帶分?jǐn)?shù)應(yīng)首先化為假分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算）
5.有理數(shù)的四則混合運(yùn)算
運(yùn)算順序：先乘除，后加減，有括號要先算括號里面的。
注：除法一般先化為乘法，帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，合理使用運(yùn)算律。
四、有理數(shù)的乘方
1.乘方
一般地，個相同的因數(shù)相乘，即，記作，讀作的次方。求個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。
在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)。讀作的次方，也可以讀作的次冪。
乘方的規(guī)律：
負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。
正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0.
2.有理數(shù)的混合運(yùn)算
運(yùn)算順序：（1）先乘方，再乘除，最后加減；
（2）同級運(yùn)算,從左到右進(jìn)行；
（3）如有括號，先算括號里的，按小括號、中括號、大括號的順序。
3.科學(xué)記數(shù)法
把一個大于10的數(shù)記成的形式，其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)（即），是正整數(shù)，這樣的記數(shù)方法叫科學(xué)記數(shù)法。（用科學(xué)記數(shù)法表示一個數(shù)時，10的指數(shù)比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.）
把還原成原數(shù)時，只需把的小數(shù)點往前移動位。
4.近似數(shù)和有效數(shù)字
在實際問題中，由“四舍五入”得到的數(shù)或大約估計的數(shù)都是近似數(shù)。（近似數(shù)小數(shù)點后的末位數(shù)是0的，不能去掉0.）
一個近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字。一個近似數(shù)有幾個有效數(shù)字，就稱這個近似數(shù)保留幾個有效數(shù)字。
精確度：表示一個近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度。一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位。
因數(shù)
底數(shù)
因數(shù)的個數(shù)
指數(shù)
冪
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