資源簡介

圓錐曲線
一、橢圓及其性質
第一定義 平面內一動點P與兩定點F1、F2距離之和為常數(大于 F1F2 )的點軌跡
MF1 = MF第二定義 平面內一動點到定點與到準線的距離比是常數的點軌跡 2 = e
d1 d2
焦點 焦點在x軸上 焦點在 y軸上
y y y= a
2
B2 c
2 2 A
x=- a b a
2
c x=
a
c F1a
圖形 A b1 F c1 O F2 A2 x
B1 c B2 x
B1 F2 a2A1 y=- c
x2 y2 y2 x2標準方程 2 + 2 = 1 a> b> 0 2 + 2 = 1 a> b> 0a b a b
范圍 -a≤ x≤ a且-b≤ y≤ b -b≤ x≤ b且-a≤ y≤ a
頂點 A1 -a,0 ，A2 a,0 ，B1 0,-b ，B2 0,b A1 0,-a ，A2 0,a ，B1 -b,0 ，B2 b,0
軸長 長軸長= 2a，短軸長= 2b，焦距= F1F 2 22 = 2c，c = a - b2
焦點 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0,-c 、F2 0,c
焦半徑 PF1 = a+ ex0， PF2 = a- ex0 PF1 = a- ey0， PF2 = a+ ey0
焦點弦 左焦點弦 |AB| = 2a+ e(x1+ x2)，右焦點弦 |AB| = 2a- e(x1+ x2).
c 2
離心率 e= a = 1-
b
2 0< e< 1a
a2x=± y=± a
2
準線方程 c c
x x y0y x x y0y
切線方程 0 02 + 2 = 1 2 + 2 = 1a b b a
2
通徑 過橢圓焦點且垂直于對稱軸的弦長 AB = 2ba (最短焦點弦 )
(1)由定義可知：|PF1|+|PF2| = 2a，周長為：2a+ 2c
(2)焦點三角形面積：S 2 θ△F1PF = b × tan2 2
(3)當P在橢圓短軸上時，張角 θ最大，cosθ≥ 1- 2e2
2 2
焦點 (4)焦長公式： PF1 = b ba- 、 MF =ccosα 1 a+ ccosα
三角形
MP = 2ab
2 2ab2 y P
a2- 2 =c cos2α b2+ c2sin2α θ
( + ) α
β
sin α β
(5)離心率：e= F1 O F2 x
sinα+ sinβ M
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二、雙曲線及其性質
第一定義 平面內一動點P與兩定點F1、F2距離之差為常數（大于 F1F2 ）的點軌跡
MF1 = MF第二定義 平面內一動點到定點與到準線的距離比是常數的點軌跡 2 = e
d1 d2
焦點 焦點在x軸上 焦點在 y軸上
y y
F 虛軸1
虛軸 a b 實軸
圖形
F c1 F2 x x
F2
實軸
x2 - y
2
= y
2 2
標準方程 2 2 1 a> 0,b> 0 -
x = 1 a> 0,b> 0
a b a2 b2
范圍 x≤-a或x≥ a，y∈R y≤-a或 y≥ a，x∈R
頂點 A1 -a,0 、A2 a,0 A1 0,-a 、A2 0,a
軸長 虛軸長= 2b，實軸長= 2a，焦距= F1F2 = 2c，c2= a2+ b2
焦點 F1 -c,0 、F2 c,0 F1 0,-c 、F2 0,c
焦半徑 |PF1| = a+ ex0，|PF2| =-a+ ex0左支添“-”
2
離心率 e= ca = 1+
b
2 e> 1a
2 2
準線方程 x=± ac y=±
a
c
漸近線 y=± b x y=± aa b x
x x y0y x x y0y
切線方程 0 - = 1 02 2 2 - 2 = 1a b b a
2
通徑 過雙曲線焦點且垂直于對稱軸的弦長 AB = 2ba (最短焦點弦 )
(1)由定義可知：|PF1|-|PF2| = 2a
(2)焦點直角三角形的個數為八個，頂角為直角與底角為直角各四個；
(3)焦點三角形面積：S 2 θ△F1PF = b ÷ tan = c y 2 2
F F sin(α+ β)
(4) 1 2離心率：e= - =
sinθ =
PF1 PF2 sinα- sinβ sinα- sinβ
焦點
y
三角形
P
θ
α β
F1 F2 x
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三、拋物線及其性質
定義 平面內與一個定點F和一條定直線 l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．
方程 y2= 2px p> 0 y2=-2px p> 0 x2= 2py p> 0 x2 =-2py p> 0
y y y y
F
y= p
圖形 2
F x F x p x x
p y=-
x=- p2 x=
2
2 F
頂點 0,0
對稱軸 x軸 y軸
p
焦點 F 2 ,0 F -
p , p p2 0 F 0, 2 F 0,- 2
=- p = p p p準線方程 x 2 x 2 y=- 2 y= 2
離心率 e= 1
范圍 x≥ 0 x≤ 0 y≥ 0 y≤ 0
切線方程 y0y= p x+ x0 y0y=-p x+ x0 x0x= p y+ y0 x0x=-p y+ y0
通徑 過拋物線焦點且垂直于對稱軸的弦 AB = 2p(最短焦點弦 )
AB為過 y2= 2px p> 0 焦點的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，傾斜角為 α.則：
( ) p p1 AF = x1+ 2 BF = x2+ 2 AB = x1+ x2+ p,
( ) = p
2
2 x 21x2 4 y1y2=-p
( p p3) AF = - BF
= 1 + 1 = 2
1 cosα 1+ cosα |FA| |FB| P
2
(4) AB = 2p S p
sin2α △AOB
=
2sinα
AB為過 x2= 2py(p> 0)焦點的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，傾斜角為 α.則：
( p p1) AF = BF =
1- sinα 1+ sinα
(2) 2p AB = S = p
2
cos2α △AOB 2cosα
焦點弦
( AF 3) = λ，則：sinα= λ- 1
BF λ+ 1
y A y
A
F
B
α α
O F x O x
B
x=- p2
y2= 2px(p> 0) y2= 2px(p> 0)
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四、圓錐曲線的通法
y y
M yP P
F1 F2 F1 F2
O x O F x O x
P
橢圓 雙曲線 拋物線
點差法與通法
1、圓錐曲線綜述：
聯立方程設交點，韋達定理求弦長；變量范圍判別式，曲線定義不能忘；
弦斜中點點差法，設而不求計算暢；向量參數恰當用，數形結合記心間.
★ 2、直線與圓錐曲線的位置關系
（1）直線的設法：
1 若題目明確涉及斜率，則設直線：y= kx+ b，需考慮直線斜率是否存在，分類討論；
2 若題目沒有涉及斜率或直線過 (a,0)則設直線：x=my+ a,可避免對斜率進行討論
（2）研究通法：聯立 y= kx+ b 得：ax2+ bx+ c= 0F(x,y) = 0
判別式：Δ= b2 4ac,韋達定理：x b c1+ x2= a，x1x2= a
（3）弦長公式： AB = (x - x )21 2 + (y 2 21- y2) = 1+ k |x1- x2|
= (1+ k2) [(x1+ x )22 - 4x1x2] = 1+ 12 (y1+ y 22) 4yk 1y2
3、硬解定理
2 y2
設直線 y= kx+ φ與曲線 xm + n = 1相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)
y= kx+ φ由： ,可得：(n+mk2)x2+ 2kφmx+m(φ2-n) = 0nx2+my2=mn
2
判別式：△= 4mn( + 2- 2) + = -2kmφn mk φ 韋達定理：x1 x2 + 2 , =
m(φ -n)
x1xn mk 2 n+mk2
由：|x 21- x2| = (x1+ x2) - 4x1x2,代入韋達定理：|x1- x2| = △n+mk2
★ 4、點差法：
若直線 l與曲線相交于M、N兩點，點P(x0,y0)是弦MN中點，MN的斜率為 kMN，
x2 + y
2 2
則：在橢圓 2 2 = 1(a> b> 0) ,
y
中 有 k 0 b
a b MN x
= 2 ;
0 a
x2 y
2
= ( > > ) , y在雙曲線 1 a b 0 中 有 k 0 = b
2
a2 b2 MN x
；
0 a2
在拋物線 y2= 2px(p> 0)中 ,有 kMN y0= p.
(橢圓 )
設M、N兩兩點的坐標分別為 (x1,y1)、(x2,y2)，
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x2 y2 1 1 ya2 + b2 = 1, (1) N
則有 x2 y22 2
2 + = 1. (2) Pa b2
F1 O F2
( ) ( ) x
2
1 x2 y2 y2 x1 2 ，得 2 1 2
a2
+ = 0.
b2 M
y y y + y b2∴ 2 1 2 1x x x + x = 2 .2 1 2 1 a
∵ = y2 y1 y1+ y2 2y y y b
2
又 kMN x2 x ,1 x + x = 2x = x .∴ kMN x = 2 .1 2 a
圓錐曲線的參數方程
1、參數方程的概念
x= f(t)
在平面直角坐標系中，曲線上任意一點的坐標 x,y都是某個變數 t的函數 y= g(t)
并且對于 t的每一個允許值，由這個方程所確定的點M (x,y)都在這條曲線上，該方程
就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數 x,y的變數 t叫做參變數，簡稱參數.
相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程.
※ 2、直線的參數方程
π x= x + tcosα( ) 01 過定點P(x0,y0)、傾斜角為 α(α≠ 2 )的直線的參數方程 (t為參數 )y= y0+ tsinα
(2)參數 t的幾何意義：
參數 t表示直線 l上以定點M0為起點，任意一點M (x,y)為終點的有向線段的長

度再加上表示方向的正負號，也即 |M0M | = |t|， y
|t|表示直線上任一點M到定點M0的距離. M1
當點M在M0上方時，t> 0；
α
當點M在M0下方時，t< 0； O t M0 x
當點M與M0重合時，t= 0；
x= x
( ) = ( ) 0+ tcosα3 直線方程與參數方程互化：y yo tanα x xo (t為參數 )y= y0+ tsinα
x= x0+ at(4)直線參數方程： (t為參數 )，y= y0+ bt
當 a2+ b2= 1時，參數方程為標準型參數方程，參數的幾何意義才是代表距離.
x= x + a 0 2 2 t2 2 a + b當 a + b ≠ 1時，將參數方程化為 然后在進行計算.y= y0+ b ta2+ b2
★ 3、圓的參數方程
x= a+ rcosθ
（1）圓心 (a,b)，半徑 r的圓 (x- a)2+ (y- b)2= r2參數方程 (θ為參數 )；y= b+ rsinθ
x= rcosθ
特別：當圓心在原點時，半徑為 r的圓 x2+ y2= r2的 y 參數方程為： (θ是y= rsinθ
參數 ). P(x,y)
r
(2)參數 θ的幾何意義：θ表示 x軸的正方向到圓心 α
x
和圓上任意一點的半徑所成的角.
(3)消參的方法：利用 sin2θ+ cos2θ= 1，
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可得圓方程：(x- a)2+ (y- b)2= r2
★ 4、橢圓的參數方程
x2 y2 x= acosφ(1)橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的參數方程為 (φ為參數 )；a b y= bsinφ
y2 x2 x= bcosφ橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的參數方程為 (φ為參數 )；a b y= asinφ
(2)參數 θ的幾何意義：參數 θ表示橢圓上某一點的離心角. y Q
P
如圖所示，點P對應的離心角為 θ=∠QOx(過P作 α
O
PQ⊥ x軸，交大圓即以 2a x為直徑的圓于Q)，
切不可認為是 θ=∠POx.
5、雙曲線的參數方程
2 y2 x= asecφ
（1）雙曲線 x2 - 2 = 1(a> b> 0)的參數方程 (φ為參數 )；secφ=
1
a b y= btanφ cosφ
y2
雙曲線 - x
2 x= bcotφ
2 2 = 1(a> b> 0)的參數方程 (φ為參數 )；cscφ=
1
a b y= acscφ sinφ
（2）參數 θ的幾何意義：參數 θ表示雙曲線上某一點的離心角.
※ 6、拋物線的參數方程
x= 2pt2
（1）拋物線 y2= 2px參數方程 (t為參數，t=
1
tanα )；y= 2pt
（2）參數 t的幾何意義：拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數. t= 1kOP
仿射變換與齊次式
1、仿射變換：
在幾何中，一個向量空間進行一次線性變換并接上一個平移，變換為另一個向量空間.
※ 2、橢圓的變換：
橢圓 b2x2+ a2y2= a2b2
x
= x x= x x b
a
= ax x=

b x
變換內容 y = a y y= b y y b a = y y= y
x2 2 2 2 2 2圓方程 + y = a x + y = b
圖示 y y y y
C B C
C B C
B
B
O x O x
O x O x AA
A
A
a b
點坐標 A(x0,y0)→A'(x0, b y0) A(x0,y0)→A'( a x0,y0)
k' = ab k，由于 kA'C ' kB'C '= 1． k' =
a
b k，由于 kA'C ' kB'C '= 1．
斜率變化 2 2
kAC k bBC= a k
b b
A'C ' a kB'C '= 2 kAC kBC=
b b b
a a
kA'C ' a kB'C '= a2
則AB= 1+ k2 x1- x2
弦長變化 A'B' = 1+ k'2 x1- x2
= 1+ ( a )2b k
2 x1- x2
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S b a△ABC= a S△A'B'C ' (水平寬不變，鉛 S△ABC= b S△A'B'C '(水平寬擴大，鉛面積變化
錘高縮小) 垂高不變)
2 k 2 c2x c2y
3、中點弦問題，k k = b ，中垂線問題 OP b 0 0OP AB a2 k = a2 ，且 xM= 2 yN=- 2 ，MP a b
拓展 1：橢圓內接△ABC中，若原點O為重心，則仿射后一定得到△OB'C '為 120°的等
腰三角形；△A'B'C '為等邊三角形；
拓展 2：橢圓內接平行四邊形OAPB(A、P、B)在橢圓上，則仿射后一定得菱形OA'P'B'
4、面積問題：
2 y2 2
（1）若以橢圓 x2 +
b
a b2
= 1對稱中心引出兩條直線交橢圓于A、B兩點，且 kOA kOB= ,a2
則經過仿射變換后 kOA' kOB'= 1，所以S△AOB為定值.
x2 y2 2（2）若橢圓方程 2 + 2 = 1上三點A，B，M，滿足：① kOA k
b
a b OB
=
a2
ab ②S△AOB= 2 ③OM = sinαOA+ cosαOB α∈ 0,
π
2 ，三者等價
※ 5、平移構造齊次式：（圓錐曲線斜率和與積的問題）
（1）題設：過圓錐曲線上的一個定點P作兩條直線與圓錐曲線交于A、B，在直線PA
和PB斜率之和或者斜率之積為定值的情況下，直線AB過定點或者AB定斜率的問題.
（2）步驟：①將公共點 平移到坐標原點（點平移：左加右減上減下加）找出平移單位長.
②由①中的平移單位長得出平移后的圓錐曲線C ，所有直線方程統一寫為：mx+ny= 1
③將圓錐曲線C 展開，在一次項中乘以mx+ny= 1，構造出齊次式.
④在齊次式中，同時除以 x2,構建斜率 k的一元二次方程，由韋達定理可得斜率之積（和）.
圓錐曲線考點歸類
(一 )條件方法梳理
1、橢圓的角平分線定理
x2 y2（1）若點A、B是橢圓 2 + = 1(a> b> 0)上的點，AB與橢圓長軸交點為N，在長軸a b2
上一定存在一個點M，當僅當則 xM x = a2N 時，∠AMN=∠BMN，即長軸為角平分線；
2 y2
（2）若點A、B是橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)上的點，AB與橢圓短軸交點為N，在短軸a b
上一定存在一個點M，當僅當則 yM yN= b2時，∠AMN=∠BMN，即短軸為角平分線；
※ 2、關于角平分線的結論：
若直線AO的斜率為 k1,直線CO的斜率為 k2,EO平分∠AOC
則有：k1+ k2= tanα+ tan(π- α) = 0
角平分線的一些等價代換條件：作 x軸的對稱點、點到兩邊的距離相等.
3、四種常用直線系方程
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(1)定點直線系方程：經過定點P0(x0,y0)的直線系方程為 y- y0= k(x- x0) (除直線 x= x0) ,其中 k是待定
的系數;經過定點P0(x0,y0)的直線系方程為A(x- x0) +B(y- y0) = 0,其中A,B是待定的系數．
(2)共點直線系方程：經過兩直線 l1 : A1x+B1y+C1= 0 ,l2 : A2x+B2y+C2= 0 的交點的直線系方程為
(A1x+B1y+C1) + λ(A2x+B2y+C2) = 0(除 l2)，其中 λ是待定的系數．
(3)平行直線系方程：直線 y= kx+ b中當斜率 k一定而 b變動時，表示平行直線系方程．與直線Ax+By+
C= 0平行的直線系方程是Ax+By+ λ= 0(λ≠ 0)，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線Ax+By+C= 0(A≠ 0，B≠ 0)垂直的直線系方程是Bx-Ay+ λ= 0,λ是參變
量．
4、圓系方程
(1)過直線 l :Ax+By+C= 0與圓C : x2+ y2+Dx+Ey+F= 0的交點的圓系方程是 x2+ y2+Dx+Ey+
F+ λ(Ax+By+C) = 0,λ是待定的系數．
(2)過圓C : x21 + y2+D1x+E1y+F1= 0與圓C 22 : x + y2+D2x+E2y+F2= 0的交點的圓系方程是 x2+ y2+
D 2 21x+E1y+F1+ λ(x + y +D2x+E2y+F2) = 0,λ是待定的系數．
★ (二 )圓錐曲線過定點問題
1、直線過定點的背景：
（1）直線過定點模型：A,B是圓錐曲線上的兩動點，M是一定點，其中 α,β分別為MA,MB的傾斜角，則：

①、MA MB為定值 直線AB恒過定點；
②、kMA kMB為定值 直線AB恒過定點；
③、α+ β= θ(0< θ< π) 直線AB恒過定點.
（2）拋物線中直線過定點：A,B是拋物線 y2= 2px(p> 0)上的兩動點，α,β分別為OA,OB的傾斜角，則：
OA⊥OB k πOA kOB=-1 α- β = 2 直線AB恒過定點 (2p,0).
x2 y2（3）橢圓中直線過定點模型：A,B是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)上異于右頂點D的兩動點，其中 α,β分別a b
為DA,DB的傾斜角，則可以得到下面幾個充要的結論：
2
DA⊥DB kDA kDB=-1 α- β = π2 直線AB恒過定點 (
ac
2+ 2 ,0)a b
2、定點的求解方法：
1 含參形式簡單的直線方程，通過將直線化為 y- y0= k(x- x0)可求得定點坐標 (x0,y0)
2 含參形式復雜的通過變換主元法求解定點坐標.
h(x,y) = 0
變換主元法：將直線化為 h(x,y) + λf(x,y) = 0,解方程組： 可得定點坐標.f(x,y) = 0
eg :直線方程（：2m+ 1）x+ (m- 5)y+ 6= 0,將m看作主元，按照降冪排列（：2x+ y）m
+ = 62x y 0 x=-
+x- 5y+ 116= 0,解方程組： 6 12 ,解得： ,求得直線過定點（- , ）.x- 5y+ 6= 0 y= 12 11 1111
3、關于以AB為直徑的圓過定點問題：
(1)直接法：設出參數后，表示出圓的方程.
圓的直徑式方程：（x- x1）(x- x2) + (y- y1) (y- y2) = 0
(2)由特殊到一般：利用賦值法，先求出幾個位置的圓方程，聯立圓方程解出公共交點，
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該交點即為圓所過的定點，再利用向量數量積為 0證明點恒在圓上.
★ (三 )圓錐曲線面積問題
1、面積的求解方法：
（1）S 1△ABC= 2 MN d，從公式可以看出，求面積重在求解弦長和點到線的距離.
（2）S 1△ABC= 2 ×水平寬×鉛錘高，主要以點的坐標運算為主.
（3）S 1△AOB= 2 x1y2- x2y1
例題1.在平面直角坐標系 xOy中，已知點O 0,0 ，A x1,y1 ，B x2,y2 不共線，
證明：△AOB的面積為S 1△AOB= 2 x1y2- x2y1 .
2、面積中最值的求解
2
(1)f(x) = αx + βx+ φx+n 型：令 t= x+n x= t-n進行代換后裂項轉化為：y= at+
b
t
(2)f(x) = x+n2+ + 型：先在分母中配出分子式 f(x) =
x+n
αx βx φ α(x+n)2+ λ(x+n) + υ
令 t= x+n，此時：y= t2+ + ，分子分母同時除 t，此時 y=
1
+ υ + ，再利αt λt υ αt t λ
用對勾函數或不等式分析最值.
( ) ( ) = αx+ β3 f x 型：令 t= x+n x= t2+ -n進行代換后裂項，可轉化為：y= at+
b
x n t
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五、橢圓的二級結論
1. PF1 + PF2 = 2a
2 y2
2.標準方程 x2 + = 1a b2
PF
3. 1

d = e< 11
4.點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角.
5.PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長
軸的兩個端點.
6.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.
7.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.
8.設A1、A2為橢圓的左、右頂點，則△PF1F2在邊PF2(或PF1)上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2
(或A1).
x2 + y
2
9.橢圓 2 2 = 1(a> b> 0)的兩個頂點為A1(-a,0),A2(a,0)，與 y軸平行的直線交橢圓于 Pa b 1、P2時
2 y2
A1P1與A2P2交點的軌跡方程是
x - = 1.
a2 b2
2 y2 x x y y
10.若點P0(x0,y0)在橢圓 x2 + 2 = 1 a> b> 0 上，則在點P0處的切線方程是
0 0
a b a2
+ 2 = 1.b
2 y2
11.若P0(x0,y0)在橢圓 x + = 1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P、P，則切點弦P P 的直線方a2 b2 1 2 1 2
x x y y
程是 0 0
a2
+ 2 = 1.b
x2 + y
2 2
12.AB是橢圓 2 2 = 1的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則 kOM kAB=-
b
2 .a b a
2 2 2 2
13.若P0(x0,y0)
y x x y y x y
在橢圓 x2 + 2 = 1內，則被PO所平分的中點弦的方程是
0 + 0 = 0 + 0 .
a b a2 b2 a2 b2
x2 y2 x2 y2( , ) x x y y14.若P0 x0 y0 在橢圓 2 + 2 = 1內，則過PO的弦中點的軌跡方程是 2 + 2 =
0
2 +
0 .
a b a b a b2
x2 y215.若 PQ是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)上對中心張直角的弦，則
1
2 +
1 = 1 + 12 2 2 (r1= |OP|,r =a b r1 r2 a b 2
|OQ|).
2 2
16.若橢圓 x2 +
y
2 = 1(a> b> 0)上中心張直角的弦L所在直線方程為Ax+By= 1(AB≠ 0),則 (1)
1
2 +a b a
1 4 2 4 2
2 =A2+B2; (2)L=
2 a A + b B
b a2A2+ b2B2 .
第 10頁 共 29頁
2 2 2
17.給定橢圓C ：b2x2+ a2y2= a2 21 b (a> b> 0),C 2 22：b x + a2y2= a - b2+ 2 ab ,則a b
2 2 2 2
(i)對C1上任意給定的點P(x0,y0),它的任一直角弦必須經過C2上一定點M a - b a - ba2+ b2 x0,- a2+ yb2 0 .
(ii)對C2上任一點P (x 0,y 0)在C1上存在唯一的點M ,使得M 的任一直角弦都經過P 點.
2 y2
18.設P(x ,y )為橢圓(或圓)C : x0 0 2 + 2 = 1(a> 0,. b> 0)上一點，P1P2為曲線C的動弦,且弦PP1,PPa b 2
2
斜率存在，記為 k1, k2,則直線P1P2通過定點M (mx0,-my0) (m≠ 1)的充要條件是 k k =- 1+m1 2 1-m
b
a2
.
x2 y219.過橢圓 2 + 2 = 1(a> 0,b> 0)上任一點A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩a b
b2x
點，則直線BC有定向且 k 0BC= 2 (常數).a y0
2 y2
20.橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的左右焦點分別為F1，F2，點P為橢圓上任意一點∠F1PF2= γ，則橢圓的a b
2
焦點三角形的面積為S = b2 γ γ γ△F PF tan 2 ，P ± a c2c - b2tan2 ,± b2 c tan 2 .1 2
2 y2
21.若P為橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)上異于長軸端點的任一點,F1,F2是焦點,∠PF1F2= α,∠PFa b 2F1= β，
β
則 a- ca+ c = tan
α
2 tan 2 .
2 y2
22.橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的焦半徑公式：|MF1| = a+ ex0, |MF2| = a- ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M (xa b 0
,y0)).
2 y2
23.若橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當a b
2- 1≤ e< 1時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離 d與PF2的比例中項.
2 y2
24.P為橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)上任一點, F1, F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則 2a - |AF2| ≤a b
|PA|+|PF1| ≤ 2a+ |AF2|,當且僅當A,F2,P三點共線時，等號成立.
x2 y2 2 2 225.橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)
(a - b )
上存在兩點關于直線 l：y= k(x- x )對稱的充要條件是 x2
a b 0 0
≤
a2+ b2 .k2
26.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切
線垂直.
27.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.
x= acos 28.P是橢圓 = (a> b> 0)上一點，則點P對橢圓兩焦點張直角的充要條件是 e
2= 1 .
y bsin 1+ sin2
2 y2 2 y2
29.設A,B為橢圓 x + = k(k> 0,k≠ 1)上兩點，其直線AB與橢圓 x2 2 2 + 2 = 1相交于P,Q,則APa b a b
=BQ.
第 11頁 共 29頁
30.在 橢 圓 x
2 y2
2 + 2 = 1 中 ，定 長 為 2 m ( o < m ≤ a ) 的 弦 中 點 軌 跡 方 程 為 m 2 =a b
x2 2
1- 2 + y2 a2cos2α+ b2sin2α ,其中 tanα=- bxay ,當 y= 0時, α= 90 . a b
2 y2
31.設 S為橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的通徑，定長線段 L的兩端點A,B在橢圓上移動，記 |AB| = l，Ma b
2
(x0,y0)是AB中點，則當 l≥ ΦS時，有 (x ) = a l 2 2 2 c0 max c - 2e c = a - b ,e= a ;當 l< ΦS時，有 (x0)max=
a
2b 4b
2- l2, (x0)min= 0.
2 y2
32.橢圓 x 2 2 2 2 2
a2
+ 2 = 1與直線Ax+By+C= 0有公共點的充要條件是A a +B b ≥C .b
(x- x 2 2
33.橢圓 0
) + (y- y0)2 2 = 1與直線Ax+By+C= 0有公共點的充要條件是A2a2+B2b2≥ (Axa b 0+
By0+C)2.
2 y2
34.設橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的兩個焦點為F1、F2,P (異于長軸端點)為橢圓上任意一點，在△PF1Fa b 2
中，記∠F1PF2= α,∠PF1F2= β,∠F sinα c1F2P= γ，則有 sinβ+ sinγ = a = e.
35.經過橢圓 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)的長軸的兩端點A1和A2的切線，與橢圓上任一點的切線相交于
P1和P2，則 |P1A1| |P 22A2| = b .
2 y2
36.已知橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)，O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP⊥OQ.a b
(1) 1 1| + =
1 + 1 ;
OP|2 |OQ|2 a2 b2
2 2
(2)|OP|2+ |OQ|2的最小值為 4a b ;
a2+ b2
2 2
(3)SΔOPQ的最小值是 a b .a2+ b2
37.MN是經過橢圓 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)焦點的任一弦，若AB是經過橢圓中心O且平行于MN的
弦，則 |AB|2= 2a|MN |.
38.MN是經過橢圓 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)焦點的任一弦，若過橢圓中心O的半弦OP⊥MN，則
2 1 1 1
a| +MN | | |2 = 2 + .OP a b2
x2 y239.設橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0),M (m,o)或 (o,m)為其對稱軸上除中心，頂點外的任一點，過M引一條a b
2
直線與橢圓相交于P、Q兩點，則直線A1P、A2Q(A1,A2為對稱軸上的兩頂點)的交點N在直線 l：x= am
2
(或 y= bm )上.
40.設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應
于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF.
第 12頁 共 29頁
41.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，
A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.
2 y2
42.設橢圓方程 x2 + 2 = 1,則斜率為 k(k≠ 0)的平行弦的中點必在直線 l：y= kx的共軛直線 y= k x上,a b
2
而且 kk =- b2 .a
2 y2
43.設A、B、C、D為橢圓 x2 + 2 = 1上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為 α, β，直線AB與CD相a b
PA PB b2cos2β+ a2sin2β
交于P,且P不在橢圓上,則 = 2 2 + 2 2 . PC PD b cos α a sin α
2 y2
44.已知橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0),點P為其上一點F1,F2為橢圓的焦點，∠F1PF2的外(內)角平分線為a b
l，作 F 1、F 2 分別垂直 l 于 R、S，當 P 跑遍整個橢圓時，R、S 形成的軌跡方程是 x 2 + y 2 =
2 2 2
2 2 2= a y + b x x± c
2
a c y
a2y2+ b2 . x± c 2
45.設△ABC內接于橢圓Γ，且AB為Γ的直徑，l為AB的共軛直徑所在的直線，l分別交直線AC、BC于
E和F，又D為 l上一點，則CD與橢圓Γ相切的充要條件是D為EF的中點.
x2 y246.過橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M ,N兩點，弦MN的垂直平分線交a b
|PF|
x軸于P，則 | | =
e
2 .MN
2 2 2
47.設A(x1,y1) x +
y b x
是橢圓 2 = 1(a> b> 0)上任一點，過A作一條斜率為-
1 的直線 L，又設 d是原
a b2 a2y1
點到直線L的距離, r1, r2分別是A到橢圓兩焦點的距離，則 r1r2d= ab.
2 y2 2 y2
48.已知橢圓 x + x2 2 = 1(a> b> 0)和 2 + 2 = λ(0< λ< 1)，一直線順次與它們相交于A、B、C、D四a b a b
點，則│AB│= |CD│.
2 y2
49.已知橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0) ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與 x軸相交于點a b
2 2 2 2
P(x ,0),則- a - b0 a < x <
a - b
0 a .
2 y2
50.設P點是橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記∠F1PF2= θ，則a b
(1)|PF ||PF | = 2b
2
1 2 1+ cosθ .
(2)S 2 θΔPF F = b tan 2 .1 2
51.設過橢圓的長軸上一點B(m,o)作直線與橢圓相交于P、Q兩點，A為橢圓長軸的左頂點，連結AP和
a2
AQ
n-m 2
分別交相應于過H點的直線MN：x=n于M，N兩點,則∠MBN= 90 a-ma+m = b2(n+ a)2 .
第 13頁 共 29頁
x2 y252. L是經過橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個焦點，e是離a b
心率,點P∈L，若∠EPF= α，則 α是銳角且 sinα≤ e或 α≤ arcsine (當且僅當 |PH | = b時取等號).
2 y2
53. L是橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的準線，A、B是橢圓的長軸兩頂點,點P∈ L，e是離心率，∠EPF=a b
α，H是 L與X軸的交點 c是半焦距，則 α是銳角且 sinα≤ e或 α≤ arcsine (當且僅當 |PH | = abc 時取等
號).
2 y2
54. L是橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的準線，E、F是兩個焦點，H是 L與 x軸的交點，點P∈ L，∠EPF=a b
α,離心率為 e，半焦距為 c，則 α為銳角且 sinα≤ e2或 α≤ arcsine2(當且僅當 |PH | = b a2+ c2c 時取等號).
x2 y255.已知橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)，直線L通過其右焦點F2,且與橢圓相交于A、B兩點，將A、B與橢圓a b
2 2 2
左焦點F1連結起來，則 b2≤ |F1A| | | ≤
(2a - b )
F1B 2 (當且僅當AB⊥ x軸時右邊不等式取等號，當且僅a
當A、F1、B三點共線時左邊不等式取等號).
x2 y256.設A、B是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，∠PAB= α,∠PBA= β,a b
∠BPA= γ，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有
2
( )| | = 2ab |cosα|1 PA
a2- c2 .cos2α
(2)tanαtanβ= 1- e2.
2 2
(3)S 2a bΔPAB= 2- 2 cotγ.b a
2 2
57.設A、B是橢圓 x2 +
y
2 = 1(a> b> 0)長軸上分別位于橢圓內(異于原點)、外部的兩點，且 xA、xa b B的
橫坐標 xA xB= a2，
(1)若過A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則∠PBA=∠QBA；
(2)若過B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則∠PAB+∠QAB= 180 .
x2 + y
2
58.設A、B是橢圓 2 2 = 1(a> b> 0)長軸上分別位于橢圓內(異于原點)，外部的兩點，a b
(1)若過A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，(若BP交橢圓于兩點，則P、Q不關于 x軸對稱)，且
∠PBA=∠QBA，則點A、B的橫坐標 xA、xB滿足 x 2A xB= a ；
(2)若過B點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，且∠PAB+∠QAB= 180 ,則點A、B的橫坐標滿足 xA
x 2B= a .
59.設A,A 是橢圓 x
2 2
2 +
y = 1的長軸的兩個端點，QQ 是與AA 垂直的弦，則直線AQ與A Q 的交點P
a b2
x2 y2的軌跡是雙曲線 2 - 2 = 1.a b
2 y2 2
60.過橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的左焦點 F作互相垂直的兩條弦AB、CD則
8ab
2+ 2 ≤ |AB|+|CD| ≤a b a b
2(a2+ b2)
a .
第 14頁 共 29頁
x2 y261.到橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)兩焦點的距離之比等于
a- c
a b b
(c為半焦距)的動點M的軌跡是姊妹圓
(x± a)2+ y2= b2.
2 y2
62.到橢圓 x + = 1(a> b> 0)的長軸兩端點的距離之比等于 a- c2 2 b (c為半焦距)的動點M的軌跡是a b
2 2
姊妹圓 x± ae + y
2= be .
x2 y263.到橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的兩準線和 x軸的交點的距離之比為
a- c
b (c為半焦距)的動點的軌跡a b
2 2
是姊妹圓 x± a + y22 = b2 (e為離心率).e e
2 y2
64.已知P是橢圓 x 2 + 2 = 1(a> b> 0)上一個動點，A ,A是它長軸的兩個端點,且AQ⊥AP,A Q⊥a b
A P，則Q點的軌跡方程是 x
2
+ b
2y2
2 4 = 1.a a
65.橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項.
x2 y2 b2x66.設橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)長軸的端點為A,A ,P(x1,y1)是橢圓上的點過P作斜率為-
1
a b a2
的直
y1
線 l，過A,A 分別作垂直于長軸的直線交 l于M ,M ,則 (1)|AM ||A M | = b2. (2)四邊形MAA M 面積的最
小值是 2ab.
2 y2
67.已知橢圓 x2 + 2 = 1(a> b> 0)的右準線 l與 x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于a b
A、B兩點,點C在右準線 l上，且BC x軸，則直線AC經過線段EF的中點.
(x- a)2 + y
2
68.OA、OB是橢圓 2 2 = 1(a> 0,b> 0)的兩條互相垂直的弦，O為坐標原點，則 (1)直線ABa b
2ab2 ab2 2必經過一個定點 2+ 2 ,0 . (2)以OA、OB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是 x-a b a2+ b2
2 2
+ y2= aba2+ 2 (x≠ 0).b
( , ) (x- a)
2 y2
69.P m n 是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)上一個定點，PA、PB是互相垂直的弦，則 (1)直線AB必a b
2ab2 +m(a
2- b2) n(b2- a2)
經過一個定點 2+ 2 , 2+ 2 . (2)以PA、PB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程a b a b
是
2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
x- ab + a ma2+ b2 + -
b n = a [b +n (a - b )]y a2+ b2 (a2+ 2)2 (x≠m且 y≠n).b
70.如果一個橢圓短半軸長為 b，焦點F1、F2到直線L的距離分別為 d1、d2，那么
(1)d1d 22= b ，且F1、F2在L同側 直線L和橢圓相切.
(2)d 21d2> b ，且F1、F2在L同側 直線L和橢圓相離，
(3)d1d 22< b ，或F1、F2在L異側 直線L和橢圓相交.
x2 + y
2
71.AB是橢圓 2 2 = 1(a> b> 0)的長軸，N是橢圓上的動點，過N的切線與過A、B的切線交于C、a b
第 15頁 共 29頁
2 4y2
D兩點，則梯形ABDC的對角線的交點M的軌跡方程是 x2 + 2 = 1(y≠ 0).a b
2 2 2 2
72.設點P(x0,y x0)為橢圓 2 +
y
2 =
y
1(a> b> 0)的內部一定點，AB是橢圓 x2 + 2 = 1過定點P(x0,y0)a b a b
a2b2- (a2y2+ b2x2)
的任一弦，當弦AB平行(或重合)于橢圓長軸所在直線時 (|PA| |PB|) = 0 0max 2 .當弦ABb
2 2 2 2 2 2
垂直于長軸所在直線時, (|PA| | |) = a b - (a y0 + b x0)PB min 2 .a
73.橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內切.
74.橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側的長軸端點.
75.橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值 a+ c與 a- c.
76.橢圓焦三角形的非焦頂點到其內切圓的切線長為定值 a- c.
77.橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數 e (離心率).(注 :在橢圓
焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點. )
78.橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比 e.
79.橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.
80.橢圓焦三角形中,橢圓中心到內點的距離、內點到同側焦點的距離、半焦距及外點到同側焦點的距離成
比例.
81.橢圓焦三角形中,半焦距、外點與橢圓中心連線段、內點與同側焦點連線段、外點與同側焦點連線段成
比例.
82.橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑
所在直線平行.
83.橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸
的長.
84.橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側焦半徑為直徑的圓和
橢圓長軸為直徑的圓的切點.
85.橢圓焦三角形中,非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值 e.
86.橢圓焦三角形中,非焦頂點的法線即為該頂角的內角平分線.
87.橢圓焦三角形中,非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線.
88.橢圓焦三角形中,過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交,則以兩交點為直徑的圓必過兩焦
點.
89.已知橢圓 x
2 y2
2 + 2 = 1(a> 0,b> 0) (包括圓在內)上有一點P,過點P分別作直線 y=
b
a x及 y=-
b
a xa b
第 16頁 共 29頁
的平行線，與 x軸于M ,N，與 y軸交于R,Q.,O為原點，則：(1)|OM |2+ |ON |2= 2a2；(2)|OQ|2+ |OR|2=
2b2.
90.過平面上的P點作直線 l : y= b1 a x及 l2 : y=-
b
a x的平行線，分別交 x軸于M ,N，交 y軸于R,Q. (1)
2 2
若 |OM |2+ | yON |2= 2a2，則P的軌跡方程是 x2 + 2 = 1(a> 0,b> 0). (2)若 |OQ|2+ |OR|2= 2b2，則P的a b
2 2
軌跡方程是 x2 +
y
2 = 1(a> 0,b> 0).a b
2 y2
91.點P為橢圓 x2 + 2 = 1(a> 0,b> 0) (包括圓在內)在第一象限的弧上任意一點，過P引 x軸、y軸的a b
平行線，交 y軸、x軸于M ,N，交直線 y=- ba x于Q,R，記ΔOMQ與ΔONR的面積為S1,S2，則：S1+S2=
ab
2 .
92.點P為第一象限內一點，過P引 x軸、y軸的平行線，交 y軸、x軸于M ,N，交直線 y=- ba x于Q,R，
2 y2
記△OMQ與△ONR的面積為S1,S ，已知S +S = ab2 1 2 2 ，則P的軌跡方程是
x
2 + 2 = 1(a> 0,b> 0).a b
2
93.過橢圓焦點垂直于長軸的弦(通徑)是最短的弦，長為 2ba ，過焦點最長弦為長軸．
94.過原點最長弦為長軸長 2a，最短弦為短軸長 2b.
x2 y2 2 295.與橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)
y
有共焦點的橢圓方程為 x2+ + 2+ = 1 (a> b> 0，λ>-b
2)．
a b a λ b λ
y2 x2 y2 296.與橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)有共焦點的橢圓方程為 +
x = 1 (a> b> 0，λ>-b22+ 2+ )．a b a λ b λ
97.焦點三角形：橢圓上的點P (x0，y0)與兩焦點F1，F2構成的△PF1F2叫做焦點三角形．若 r1= |PF1|，r2
= |PF2|，∠F1PF2= θ，△PF1F2的面積為S，則
2 y2
在橢圓 x
a2
+ 2 = 1(a> b> 0)中：b
①當 r1= r2時，即點P為短軸端點時，θ最大；
r2+ r2- 4c2= 1 2 = r1+ r2
2- 2r1r2- 4c2cosθ 4b
2 2b2
2r1r2 2r
=
1r2 2r1r
- 1=
2 r
- 1
1r2
2b2 2b2- a2 b2- c2≥ - 1= =
r1+ r2
2
a
2 a2
2
當且僅當 r1= r2時，等號成立.
②S= 1 |PF sinθ 2 2 θ2 1||PF2|sinθ= c|y0| = 1+ cosθ b = b tan 2 ，當 |y0| = b，即點P為短軸端點時，S取得最大值，
最大值為 bc；
③△PF1F2的周長為 2(a+ c)．
98.AB為過F的焦點弦，則 1 1 2aFA + FB = b2
x2 y299.已知橢圓 Γ : 2 + 2 = 1 a> b> 0 的左右焦點分別為F1、F2.橢圓 Γ在點P處的切線為 l，Q∈ l.且滿a b
第 17頁 共 29頁
足∠AQF1= θ 0< θ< π2 ，則點Q在以C 0,±ccotθ 為圓心，
a 為半徑的圓上.
sinθ
第 18頁 共 29頁
六、雙曲線的二級結論
1. PF1 - PF2 = 2a
2 2
2.標準方程 x2 -
y
2 = 1a b
PF
3. 1

d = e> 11
4.點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內角.
5.PT平分△PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以實軸為直徑的圓，除去實
軸的兩個端點.
6.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.
7.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓外切.
8.設P為雙曲線上一點，則△PF1F2的內切圓必切于與P在同側的頂點.
x2 29.雙曲線 2 -
y
2 = 1(a> 0,b> 0)的兩個頂點為A1(-a,0),A2(a,0)，與 y軸平行的直線交雙曲線于P1、Pa b 2
2 y2
時A x1P1與A2P2交點的軌跡方程是 a2
+ 2 = 1.b
( , ) x
2
- y
2
= ( > , > ) x x y y10.若點P0 x0 y0 在雙曲線 2 2 1 a 0 b 0 上，則在點P0處的切線方程是
0 - 0 = 1.
a b a2 b2
2 y2
11.若P0(x0,y0)在雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)外，則過P0作雙曲線的兩條切線切點為Pa b 1、P2，則切點
x x y y
弦P1P2的直線方程是
0 - 02 2 = 1.a b
2 y2
12.若AB是雙曲線 x2 - = 1(a> 0,b> 0)的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB的中點，則 k a b2 OM
2
kAB= ba2 .
13.若P (x ,y )在雙曲線 x
2
- y
2
= ( > x x y y x
2
0 0 0 1 a 0,b> 0)內，則被P 0 0 0a2 b2 0所平分的中點弦的方程是 2 -a b2 = a2
- y
2
0
b2
.
x2 y2 2 2( , ) - = ( > , > ) x - y = x0x14.若P0 x0 y0 在雙曲線 2 2 1 a 0 b 0 內，則過Po的弦中點的軌跡方程是 2 2 2 -a b a b a
y0y
2 .b
x2 - y
2
15.若PQ是雙曲線 2 2 = 1(b> a> 0)上對中心張直角的弦，則
1
2 +
1
2 =
1 1
2 - 2 (r1= |OP|,r =a b r1 r 22 a b
|OQ|).
第 19頁 共 29頁
x2 y216.若雙曲線 2 - 2 = 1(b> a> 0)上中心張直角的弦L所在直線方程為Ax+By= 1(AB≠ 0),則 (1)
1
a b a2
4 2 4 2
- 12 =A2+B2; (2)L=
2 a A + b B
b |a2A2- b2B2| .
2
17.給定雙曲線C ：b2x2- a2y2= a2b2(a> b> 0),C ：b2x2- a2y2= a + b
2 2
1 2 2- 2 ab ,則a b
2 2 2 2
(i)對C1上任意給定的點P(x0,y0),它的任一直角弦必須經過C 上一定點M a + b2 x ,- a + ba2- b2 0 a2- 2 yb 0 .
(ii)對C 上任一點P (x 2 0,y 0)在C1上存在唯一的點M ,使得M 的任一直角弦都經過P 點.
2 y2
18.設P(x0,y0)為雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上一點，P1P2為曲線C的動弦,且弦PP1,PP2斜率存在，a b
2
記為 k1, k2,則直線P1P2通過定點M (mx 1+m b0,-my0) (m≠ 1)的充要條件是 k1 k2= 1-m a2 .
2 y2
19.過雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> o)上任一點A(xa b 0,y0)任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C
b2x
兩點，則直線BC有定向且 k 0BC=- 2 (常數).a y0
2 y2
20.雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的左右焦點分別為F1，F2，點P為雙曲線上任意一點∠F1PF2= γ，則a b
γ b2 a 2雙曲線的焦點角形的面積為S = b2cot = ，P ± c2+ b2cot2 γ ,± b γ△F PF 2 γ c 2 c cot 2 .1 2 tan 2
2 y2
21.若P為雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)右(或左)支上除頂點外的任一點,F1,F2是焦點,∠PF1F2= α,a b
∠ β βPF2F1= β，則 c- a α c- a αc+ a = tan 2 cot 2 (或 c+ a = tan 2 cot 2 ).
x2 y222.雙曲線 2 - 2 = 1(a> 0,b> o)的焦半徑公式：F1(-c,0),F2(c,0)a b
當M (x0,y0)在右支上時，|MF1| = ex0+ a, |MF2| = ex0- a.
當M (x0,y0)在左支上時，|MF1| =-ex0- a, |MF2| =-ex0+ a.
2 y2
23.若雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦點分別為Fa b 1、F2，左準線為 L，則當 1< e≤ 2 + 1時，可
在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離 d1與PF2的比例中項.
2 y2
24.P為雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上任一點, F1, F2為二焦點，A為雙曲線左支內一定點，則a b
|AF2|-2a≤ |PA|+|PF1|,當且僅當A,F2,P三點共線且P在左支時，等號成立.
x2 y225.雙曲線 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上存在兩點關于直線 l：y = k(x - x0)對稱的充要條件是 x 2a b 0 >
(a2+ b2)2 a
a2- b2 2 k≠ 0且 k≠±k b .
26.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必
與切線垂直.
第 20頁 共 29頁
27.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂
直.
x= asec 28.P是雙曲線 = (a> 0，b> 0)上一點，則點 P對雙曲線兩焦點張直角的充要條件是 e
2=
y btan
1
1- tan2 .
29.設A,B為雙曲線 x
2 y2 2- = ( y
2
2 k a> 0, b> 0，k> 0, k≠ 1)上兩點，其直線AB與雙曲線
x - = 1相
a b2 a2 b2
交于P,Q,則AP=BQ.
2 y2
30.在雙曲線 x2 - 2 = 1中，定長為 2m(m> 0)的弦中點軌跡方程為a b
21- x - y
2
a2cosh2t+ b2sinh2t ,cotht=- ay 2 2 bx ,x= 0時 t= 0，弦兩端點在兩支上a b
m2= x2 y2
- - 1 2 2 a2sinh2t+ b2cosh2t ，cotht=-
bx
ay ,y= 0時 t= 0，弦兩端點在同支上a b
2 y2
31.設 S為雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的通徑，定長線段 L的兩端點A,B在雙曲線右支上移動，記a b
2
|AB| = l，M (x0,y0)是AB中點，則當 l≥ΦS時，有 (x0) a l 2 2 2 cmin= c + 2e c = a + b ,e= a ;當 l<ΦS時，有
(x0)min= a2b 4b
2+ l2.
x2 - y
2
32.雙曲線 2 2 = 1(a> 0,b> 0)與直線Ax+By+C= 0有公共點的充要條件是A2a2-B2b2≤C 2.a b
(x- x )2 (y- y )2
33.雙曲線 0 - 02 2 = 1(a> 0,b> 0)與直線Ax+By+C= 0有公共點的充要條件是A2a2-a b
B2b2≤(Ax0+By0+C)2.
2 2
34.設雙曲線 x2 -
y
2 = 1(a> 0,b> 0)的兩個焦點為 F1、F2,P (異于長軸端點)為雙曲線上任意一點，在a b
△PF1F2中，記∠F1PF2= α,∠PF1F2= β,∠F F P= γ，則有 sinα c1 2 ± ( = = e.sinγ- sinβ) a
2 y2
35.經過雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的實軸的兩端點A1和A2的切線，與雙曲線上任一點的切線相交a b
于P1和P2，則 |P1A1| |P2A2| = b2.
36.已知雙曲線 x
2 2
2 -
y
2 = 1(b> a> 0)，O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且OP⊥OQ. (1)
1
a b |OP|2
+ 1 = 1
2
- 1 ; (2)|OP|2+ |OQ|2的最小值為 4a b
2 a2b2
|OQ|2 a2 b2 b2- ; (3)Sa2 ΔOPQ的最小值是 b2- 2 .a
2 y2
37.MN是經過雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)過焦點的任一弦(交于兩支)，若AB是經過雙曲線中心Oa b
且平行于MN的弦，則 |AB|2= 2a|MN |.
x2 238.MN是經過雙曲線 2 -
y
2 = 1(a> b> 0)焦點的任一弦(交于同支)，若過雙曲線中心O的半弦OP⊥a b
第 21頁 共 29頁
MN，則 2 1| | - | |2 =
1 - 1
a MN OP b2 a2
.
2 y2
39.設雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0),M (m,o)為實軸所在直線上除中心，頂點外的任一點，過M引一條a b
2
直線與雙曲線相交于P、Q兩點，則直線A1P、A2Q(A1,A2為兩頂點)的交點N在直線 l：x= am 上.
40.設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別
交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF.
41.過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于
點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.
2 y2
42.設雙曲線方程 x2 - 2 = 1,則斜率為 k(k≠ 0)的平行弦的中點必在直線 l：y= kx的共軛直線 y= k xa b
2
上,而且 kk = b
a2
.
2 y2
43.設A、B、C、D為雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> o)上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為 α, β，直a b
|PA| |PB| b2cos2β- a2sin2β
線AB與CD相交于P,且P不在雙曲線上,則 | = .PC| |PD| b2cos2α- a2sin2α
2 y2
44.已知雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0),點P為其上一點F1,F2為雙曲線的焦點，∠F1PF2的內(外)角平a b
分線為 l，作 F1、F2分別垂直 l于 R、S，當 P跑遍整個雙曲線時，R、S形成的軌跡方程是 x 2+ y 2=
2 2 2
2 2 2= a y - b x x± ca c y
2
a2y2- b2 x± c 2 .
45.設△ABC三頂點分別在雙曲線 Γ上，且AB為 Γ的直徑，l為AB的共軛直徑所在的直線，l分別交直
線AC、BC于E和F，又D為 l上一點，則CD與雙曲線Γ相切的充要條件是D為EF的中點.
2 y2
46.過雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M ,N兩點，弦MN的垂直a b
|PF|
平分線交 x軸于P，則 e| | = 2 .MN
2 2 2
47.設A( y b xx1,y1)是雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上任一點，過A作一條斜率為
1
2 的直線 L，又設 d是a b a y1
原點到直線L的距離, r1, r2分別是A到雙曲線兩焦點的距離，則 r1r2d= ab.
2 y2 2 y2
48.已知雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)和
x
2 - 2 = λ(0< λ< 1)，一條直線順次與它們相交于A、B、a b a b
C、D四點，則│AB│= |CD│.
x2 - y
2
49.已知雙曲線 2 2 = 1(a> 0,b> 0),A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與 x軸相交于a b
2 2 2 2
點P(x a + b a + b0,0),則 x0≥ a 或 x0≤- a .
第 22頁 共 29頁
2 2
50.設P點是雙曲線 x2 -
y
2 = 1(a> 0,b> 0)上異于實軸端點的任一點,Fa b 1、F2為其焦點記∠F1PF2= θ，
2b2則 (1)|PF1||PF2| = 1- cosθ . (2)S
2
ΔPF F = b cot θ2 .1 2
51.設過雙曲線的實軸上一點B(m,o)作直線與雙曲線相交于P、Q兩點，A為雙曲線實軸的左頂點，連結
AP 和 AQ 分別交相應于過 B 點的直線 MN ：x = n 于 M ，N 兩點 ,則 ∠MBN = 90 a-ma+m =
a2- n-m
2
b2(n+ .a)2
x2 y252. L是經過雙曲線 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)焦點F且與實軸垂直的直線，A、B是雙曲線的兩個頂點，ea b
是離心率,點P∈L，若∠APB= α，則 α是銳角且 sinα≤ 1e 或 α≤ arcsin
1
e (當且僅當 |PF| = b時取等號).
2 y2
53. L是經過雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的實軸頂點A且與 x軸垂直的直線，E、F是雙曲線的準線a b
與 x軸交點,點P∈ L，e是離心率，∠EPF= α，H是 L與X軸的交點 c是半焦距，則 α是銳角且 sinα≤ 1e
或 α≤ arcsin 1 abe (當且僅當 |PA| = c 時取等號).
54. L是雙曲線 x
2 2
2 -
y
2 = 1(a> 0,b> 0)焦點F1且與 x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準線與 x軸交點，Ha b
是L與 x軸的交點，點P∈L，∠EPF= α,離心率為 e，半焦距為 c，則 α為銳角且 sinα≤ 12 或 α≤ arcsin
1
e e2
(當且僅當 |PF1| = bc a
2+ c2時取等號).
2 y2
55.已知雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)，直線L通過其右焦點F2,且與雙曲線右支交于A、B兩點，將A、a b
(2a2+ b2)2
B與雙曲線左焦點F1連結起來，則 |F1A| |F1B| ≥ 2 (當且僅當AB⊥ x軸時取等號).a
2 y2
56.設A、B是雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，∠PAB= α,∠PBAa b
= 2ab
2|cosα|
β,∠BPA= γ，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有 (1)|PA| = 2|a2- 2 2 | . (2)tanαtanβ= 1- e .c cos α
2 2
(3)SΔPAB= 2a b2+ 2 cotγ.b a
2 y2
57.設A、B是雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)實軸上分別位于雙曲線一支內(含焦點的區域)、外部的兩a b
點，且 xA、xB的橫坐標 xA x 2B= a ，(1)若過A點引直線與雙曲線這一支相交于 P、Q兩點，則∠PBA=
∠QBA；(2)若過B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則∠PBA+∠QBA= 180 .
2 y2
58.設A、B是雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)實軸上分別位于雙曲線一支內(含焦點的區域)，外部的兩a b
點，
(1)若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，(若BP交雙曲線這一支于兩點，則P、Q不關于 x
軸對稱)，且∠PBA=∠QBA，則點A、B的橫坐標 xA、xB滿足 xA xB= a2；
(2)若過B點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，且∠PBA+∠QBA= 180 ,則點A、B的橫坐標滿
足 xA xB= a2.
第 23頁 共 29頁
59.設A,A 是雙曲線 x
2 y2- = 1的實軸的兩個端點，QQ 是與AA 2 2 垂直的弦，則直線AQ與A Q 的交點a b
2 y2
P的軌跡是雙曲線 x2 + 2 = 1.a b
2 y2
60.過雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的右焦點 F作互相垂直的兩條弦 AB、CD,則 |AB |+|CD| ≥a b
8ab2
| 2- 2| a≠ ba b ；
|AB|+|CD| ≥ 2c
2
a = 4a a= b
2 y2
61.到雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)兩焦點的距離之比等于
c- a
b (c為半焦距)的動點M的軌跡是姊妹a b
圓 (x± ec)2+ y2= (eb)2.
2 y2
62.到雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的實軸兩端點的距離之比等于
c- a
b (c為半焦距)的動點M的軌a b
跡是姊妹圓 (x± c)2+ y2= b2.
63.到雙曲線 x
2 y2
2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的兩準線和 x軸的交點的距離之比為
c- a
b (c為半焦距)的動點的a b
軌跡是姊妹圓 (x± a)2+ y2= b
2
e (e為離心率).
2 y2
64.已知P是雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上一個動點，A ,A是它實軸的兩個端點,且AQ⊥AP,A Qa b
2 2 2
⊥ b yA P，則Q點的軌跡方程是 x2 - 4 = 1.a a
65.雙曲線的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之長的比例中項.
2 y2 2
66.設雙曲線 x2 - 2 = 1(a>
b x
0,b> 0)實軸的端點為A,A ,P(x1,y1)是雙曲線上的點過P作斜率為 1a b a2y1
的直線 l，過A,A 分別作垂直于實軸的直線交 l于M ,M ,則
(1)|AM ||A M | = b2.
(2)四邊形AMA M 面積趨近于 2ab.
2 y2
67.已知雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的右準線 l與 x軸相交于點E，過雙曲線右焦點F的直線與雙曲a b
線相交于A、B兩點,點C在右準線 l上，且BC⊥ x軸，則直線AC經過線段EF的中點.
(x- a)2 2
68.OA、OB是雙曲線 2 -
y
2 = 1(a> 0, b> 0,且 a≠ b)的兩條互相垂直的弦，O為坐標原點，則a b
2
(1)直線AB必經過一個定點 2ab2- 2 ,0 . (2)以OA、OB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是b a
x- ab
2 2 2 2
b2- a2 + y
2= ab2- 2 (除原點)。b a
2 2
69.P( (x- a) ym,n)是雙曲線 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上一個定點，PA、PB是互相垂直的弦，則 (1)直線a b
2ab2 -m(b
2+ a2) n(a2+ b2)
AB必經過一個定點 2- 2 , 2- 2 . (2)以PA、PB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌b a b a
第 24頁 共 29頁
跡方程是
ab2- a2m 2 b2n 2 2 4 - + - = a [b +n
2(a2+ b2)]
x 2- 2 yb a b2- a2 (b2- 2)2 (除P點).a
70.如果一個雙曲線虛半軸長為 b，焦點F1、F2到直線 L的距離分別為 d 21、d2，那么 (1)d1d2= b ，且F1、F2在
L異側 直線 L和雙曲線相切,或 L是雙曲線的漸近線. (2)d1d 22> b ，且F1、F2在 L異側 直線 L和雙曲
線相離，(3)d d < b21 2 ，或F1、F2在L同側 直線L和雙曲線相交.
x2 - y
2
71.AB是雙曲線 2 2 = 1(a> 0,b> 0)的實軸，N是雙曲線上的動點，過N的切線與過A、B的切線交a b
2 4y2
于C、D兩點，則梯形ABDC的對角線的交點M的軌跡方程是 x2 - 2 = 1(y≠ 0).a b
2 y2
72.設點P(x0,y0)為雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的內部 ( (含焦點的區域) )一定點，AB是雙曲線過a b
定點P(x0,y0)的任一弦.
( ) ≥ (b
2x2- a2y2) - a2b2
1 如 a b,則當弦AB垂直于雙曲線實軸所在直線時 (|PA| |PB|) 0 0min= .a2
(b2x2- a2y2) - a2b2(2)如 a< b,則當弦AB平行(或重合)于雙曲線實軸所在直線時, (|PA| |PB|) = 0 0min b2 .
73.雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實軸為直徑的圓相外切.
74.雙曲線焦三角形的內切圓必切長軸于非焦頂點同側的實軸端點.
75.雙曲線兩焦點到雙曲線焦三角形內切圓的切線長為定值 a+ c與 c- a.
76.雙曲線焦三角形的非焦頂點到其旁切圓的切線長為定值 c- a.
77.雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數 e (離心率).注 :在雙
曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.
78.雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比 e.
79.雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項.
80.雙曲線焦三角形中,雙曲線中心到內點的距離、內點到同側焦點的距離、半焦距及外點到同側焦點的距
離成比例.
81.雙曲線焦三角形中,半焦距、外點與雙曲線中心連線段、內點與同側焦點連線段、外點與同側焦點連線
段成比例.
82.雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的內角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足連線必與另一焦
半徑所在直線平行.
83.雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點內角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足的距離為雙曲線實
半軸的長.
84.雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的內角平分線引垂線,垂足就是垂足同側焦半徑為直徑的圓
和雙曲線實軸為直徑的圓的切點.
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85.雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內角平分線與焦半徑、實軸所在直線的夾角的余弦的比為定值 e.
86.雙曲線焦三角形中,非焦頂點的法線即為該頂角的外角平分線.
87.雙曲線焦三角形中,非焦頂點的切線即為該頂角的內角平分線.
88.雙曲線焦三角形中,過非焦頂點的切線與雙曲線實軸兩端點處的切線相交,則以兩交點為直徑的圓必過
兩焦點.
89.已知雙曲線 x
2 2
2 -
y
2 = 1(a> 0,b> 0)上有一點P，過P分別引其漸近線的平行線，分別交 x軸于M ,a b
N，交 y軸于R,Q，O為原點，則：(1)|OM | |ON | = a2；(2)|OQ| |OR| = b2.
90.過平面上的P點作直線 l b b1 : y= a x及 l2 : y=- a x的平行線，分別交 x軸于M ,N，交 y軸于R,Q. (1)
2 2
若 |OM | |ON | = a2 y，則P的軌跡方程是 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0). (2)若 |OQ| |OR| = b2，則P的軌跡方a b
2 y2
程是 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0).a b
2 y2
91.點P為雙曲線 x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)在第一象限的弧上任意一點，過P引 x軸、y軸的平行線，交 ya b
軸、x軸于M ,N，交直線 y=- ba x于Q,R，記ΔOMQ與ΔONR的面積為S1,S2，則：|S1-S2| =
ab
2 .
92.點P為第一象限內一點，過P引 x軸、y軸的平行線，交 y軸、x軸于M ,N，交直線 y=- ba x于Q,R，
2 y2
記ΔOMQ與ΔONR的面積為 S , S ，已知 |S - S | = ab1 2 1 2 2 ，則P的軌跡方程是
x
2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)或a b
y2 - x
2
= 1(a> 0,b> 0)
b2 a2
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七、拋物線的二級結論
已知拋物線 y2= 2px，(p> 0) p，焦點為F 2 ,0
p
；準線為 l：x = - 2 ，AA 1 l，BB 1 l；A x1,y1 ，
B x2,y2 ，x1≠
p
x2為拋物線上兩點，直線AB過焦點 F，傾斜角為 α，方程可看為 y= k x- 2 .P，Q x3,y3
分別是A1B1，AB的中點，PQ交拋物線于點M；
y
l
A1 A
P M Q
α
K O J F H x
B1 B
1. AF = x1+
p p
2 ， BF = x2+ 2 ， AB = x1+ x2+ p
p 2p
2. AB = x1+ x2+ p= 2 x3+ 2 = sin2α
3.以AB為直徑的圓與準線 l相切
4.∠APB= 90°
5.∠A1FB1= 90°
6.PF= 12 A1B1
7.AP垂直平分A1F
8.AP平分∠A1AF
9.PF⊥AB
p p
10. AF = - ， BF =1 cosα 1+ cosα
11. 1 + 1 = 2
AF BF p
12.在A點處的切線為 yy1= p x+ x1
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13.AP是切線，切點為A
14.過拋物線準線上任一點P作拋物線的切線，則過兩切點D1、D2的弦必過焦點;并且PD1 PD1.
15.A,O,B1三點共線；B,O,A1三點共線
2
16. y1y2=-
p
p2；x1x2= 4
17. AB = x1+
2p
x2+ p= sin2α
p2
18. S△AOB= 2sinα；
S2 p 3
19. △AOB =
AB 2 (定值)；
2p
20. kAB= y1+ y2
y y
21. tanα= 1 = 2
x p1- 2 x -
p
2 2
22. A B 21 1 = 4 AF BF ;
23.設CC 交拋物線于點M，則點M是CC 的中點
當拋物線 y2= 2px p> 0 的弦AB不過焦點，交 x軸于點D m,0 (m> 0)，設分別以A，B為切點的切線相
交于點P，則
24.點P在直線 x=-m上
25.設PC交拋物線于點M，則點M是PC的中點
26.設點 A、B在準線上的射影分別是 A1，B1，則 PA垂直平分 A1F，PB垂直平分 B1F，從而 PA平方
∠A1AF，PB平分∠B1BF
27.∠PFA=∠PFB

28. FA 2FB = PF
p p
12. AF = 1- cosα； BF = 1+ cosα；
13.BC 垂直平分B F；
14.AC 垂直平分A F；
16. AB ≥ 2p；
17. CC = 12 AB =
1
2 AA
+ BB ；
P
18.kAB= y ；3
C F = 121. 2 A
B .
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22.切線方程 y0y=m x0+ x
23、AB是拋物線 y2= 2px p> 0 焦點弦，Q是AB的中點，l是拋物線的準線，AA1⊥ l，BB1⊥ l，過
A,B的切線相交于P，PQ與拋物線交于點M．則有
結論 6PA⊥PB
結論 7PF⊥AB．
結論 8M平分PQ．
結論 9PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．

結論 10 FA FB = 2PF
結論 11 S 2ΔPAB min= p
二)非焦點弦與切線
思考：當弦AB不過焦點，切線交于P點時，
也有與上述結論類似結果：
結論 12①xP=
y1y2 y1+ y2
2p ，yP= 2
結論 13PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．
結論 14∠PFA=∠PFB
結論 15點M平分PQ

結論 16 FA 2FB =PF
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