資源簡介

定義域 值域 對應(yīng)法則 奇偶性
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單調(diào)性 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)
PAGE 25 PAGE 33 PAGE 38 PAGE 43
本章知識框架
第一節(jié) 定義域
撥云見日
定義域
定義域：一般地，設(shè) A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合 A中的任意一個數(shù) x，按照某種確定
的對應(yīng)關(guān)系 f ，在集合. B中都有唯一確定的數(shù) y和它對應(yīng)，那么就稱 f : A→B為從集合 A到集
合 B的一個函數(shù)，記作：y = f (x) , x A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍 A叫做函數(shù)的定義
域。
1
柳暗花明
方法一：分母不為 0
g (x)
對于含分母的函數(shù) y = ，要保證 f (x) 0。
f (x)
例 1. 求 f (x) 1= 的定義域。 (1 2x)(x +1)
答案： ( , 1)∪ 1, 1 1∪ ,+
2 2
解析： 觀察到函數(shù)含分母，單獨拎出分母，即 (1 2x)(x +1) 0。解得定義域為
( , 1) 1, 1 1 ∪ ∪ ,+ 。
2 2
方法二：偶次方根號內(nèi)大于等于 0（非負）
對于含偶次方根的函數(shù) y = 2n f (x)，要保證 f (x) 0。
例 2. 求 f (x) = 9 x2 的定義域。
答案： 3,3
解析： 觀察到函數(shù)含偶次方根號，單獨拎出根號內(nèi)的內(nèi)容，即9 x2 0，解得定義域為 3,3 。
2
方法三：零次冪底數(shù)不為 0
0
對于含零次冪的函數(shù) y = f (x) ，要保證 f (x) 0。
0
例 3. 求 f (x) = (2x 1) 的定義域。
x x 1答案：
2
1
解析： 觀察到函數(shù)含零次冪，單獨拎出底數(shù)部分，即2x 1 0，解得定義域為 x x 。
2
方法四：對數(shù)的真數(shù)大于 0
對于含對數(shù)的函數(shù) y = loga f (x) ，要保證 f (x) 0。
例 4. 求 y = log 22 (1 x )的定義域。
答案： x 1 x 1
解析： 觀察到函數(shù)含對數(shù)，單獨拎出真數(shù)部分，即1 x2 0，解得定義域為 x 1 x 1 。
方法五：對數(shù)作為分母時，真數(shù)需大于 0且不等于 1
1
對于對數(shù)作為分母的函數(shù) y = ，要保證 f (x) 0且 f ( x) 1。
loga f (x)
例 5. 求 y 1= ( )的定義域。 log2 1 x2
答案： ( 1,0)∪ (0,1)
解析： 觀察到函數(shù)分母含對數(shù)，單獨拎出真數(shù)部分，即1 x2 0且1 x2 1，解得定義域為
( 1,0)∪ (0,1)。
3
方法六：正切函數(shù)
對于含正切函數(shù)的函數(shù) y = tan f (x) ，要保證 f (x) + k (k Z )。
2
例 6. 求 f (x) = tan 2x + 的定義域。
3
k
答案： x x + (k Z )
12 2
解析： 觀察到函數(shù)含正切函數(shù)，得2x + + k (k Z )，解得定義域為
3 2
x x k+ (k Z ) 。
12 2
方法七：組合函數(shù)定義域——求交集
若題目所給函數(shù)需要同時注意多個取值范圍，應(yīng)都求出取值范圍以后再求交集。
例 7. 求 f (x) 2+ x= + x2 x 2的定義域。
1 x
答案： 2, 1
解析： 觀察到函數(shù)既含分母，又有偶次方根式，依次考慮定義域。首先分母1 x 0，解得 x 1。
2+ x
再有 0，解得 2 x 1。又有 x2 x 2 0，解得 x 1或 x 2。最后求交集解得
1 x
定義域為 2, 1 。
4
方法八：具體函數(shù)根據(jù)題目要求求定義域
在保證函數(shù)有意義的情況下，有時題目所給函數(shù)還需要滿足其他條件，根據(jù)題目要求求出滿足條
件的定義域。
例 8. 若 f (x) = (x +1)(1 x )的圖像恒在 x軸上方，則 f ( x)的定義域可以為（ ）
A. ( ,1) B. ( , 1)∪( 1,1) C. (1, 2) D. (1,+ )
答案： B
解析： 觀察題目條件，題目中的函數(shù)圖像恒在 x軸上方，即需要保證函數(shù)值恒大于0。
當(dāng) x 0時， f (x) = ( x +1)(1 x)，此時解得0 x 1；當(dāng) x 0時，
f (x) = ( x +1)(1+ x)，此時解得 x 1或 1 x 0，綜合得定義域可以為
( , 1)∪( 1,1)，故選 B。
披荊斬棘
一.抽象函數(shù)求定義域
函數(shù)定義域是會隨著括號內(nèi)的形式發(fā)生變化的，比如 f (x) = x，定義域為 0,+ )。此時我們可
以得到 f (x +1) = x +1，解得定義域為 1,+ )。這是因為括號內(nèi)的 x變成了 x+1，這時候 x+1
的值域需要滿足 x本身的定義域，但由于外層函數(shù)形式并沒有發(fā)生變化，之前的 x 0就會變成
x+1 0，定義域便會發(fā)生變化。
所以求抽象函數(shù)，即沒有確定解析式的函數(shù)定義域時，要注意兩個原則：
①定義域會隨著內(nèi)層函數(shù)的解析式變化；②外層函數(shù)定義域范圍不會變。所以做題時可以先求括
號整體的范圍，然后再求新的定義域。
5
例 1. 已知 f (x2 1)的定義域是 (0,3 ，求 f (2x 1)的定義域。
9
答案： 0,
2
解析： 先求括號整體的范圍，由于 f (x2 1)的定義域是 (0,3 ，所以此時 x (0,3 ，解得括號內(nèi)
9
范圍 x2 1 ( 1,8 。括號范圍不變，所以 2x 1 ( 1,8 ，解得 x 0, ，即 f (2x 1)的
2
9
定義域為 0, 。
2
二.根據(jù)定義域范圍求參
若題目所給函數(shù)解析式含參，要根據(jù)讓函數(shù)有意義或題目給的特殊條件得到參數(shù)范圍，時常結(jié)合
二次函數(shù)根的個數(shù)解題。
例 2. 已知函數(shù) f (x) = kx2 + 2kx +1的定義域為 R，求 k的取值范圍。
答案： 0 k 1
解析： 觀察到函數(shù)含偶次方根號，所以根號內(nèi)需要滿足 kx2 + 2kx+1 0。由于函數(shù)的定義域為R
k 0
即對于任意 x R，都有 kx2 + 2kx+1 0。顯然當(dāng) k = 0時，不等式成立。當(dāng) k 0，有 ，
0
解得0 k 1，綜上滿足題目要求的參數(shù) k的取值范圍為0 k 1。
6
本章知識框架
第二節(jié) 值 域
撥云見日
值域：
一般地，設(shè) A， B是非空的實數(shù)集，如果對于集合 A中的任意一個數(shù) x，按照某種確定的對應(yīng)
關(guān)系 f ，在集合 B中都有唯一確定的數(shù) y和它對應(yīng)，那么就稱 f : A→B為從集合 A到集合B的
一個函數(shù)，記作： y = f (x) , x A。與 x的值相對應(yīng)的 y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合
f (x) x A 叫做函數(shù)的值域。
7
柳暗花明
方法一：觀察法
對于常規(guī)的諸如一次函數(shù)，二次函數(shù)，以及簡單的組合函數(shù)，可以直接通過函數(shù)的定義域以及
單調(diào)性判斷函數(shù)值域。
1.一次函數(shù)： f ( x) = kx + b，當(dāng)定義域為 R時，值域也為 R；
2.反比例函數(shù)： f (x) k= ，當(dāng)定義域為 ( ,0)∪(0,+ )時，值域也為 ( ,0)∪(0,+ )；
x
4ac b2
3.二次函數(shù)： f (x) = ax2 + bx + c，當(dāng)a 0，定義域為 R時，值域為 ,+ ；當(dāng)a 0，
4a
4ac b2
定義域為 R時，值域為 , ；
4a
4.對勾函數(shù)：f (x) a= x + (a 0)，當(dāng)定義域為 ( ,0)∪(0,+ )時，值域為
x ( , 2 a ∪ 2 a ,+ )；
a
5.飄帶函數(shù)： f (x) = x + (a 0)，當(dāng)定義域為 ( ,0)∪(0,+ )時，值域為 R。
x
例1. 已知函數(shù) f (x) = x2 6x + 5，求 f ( x)在 2,6 上的值域。
答案： 4,5
解析： f ( x)為二次函數(shù)，且開口向上，圖像對稱軸為 x = 3，所以函數(shù)在 ( ,3 上單調(diào)遞
減，在 3,+ )上單調(diào)遞增。則 f ( x)在 2,6 上的最小值為 f (3) = 4，最大值為
f (6) = 5。即 f ( x)在 2,6 上的值域為 4,5 。
8
方法二：分離常數(shù)法
ax + b
常用于齊次分式函數(shù)求值域，對于 f ( x) = 形式的函數(shù)，
cx + d
ax b a (cx d ) b ad第一步：在分子中分離出分母部分，即將 + 轉(zhuǎn)化為 + + ；
c c
ad
f ( x) ax + b
b
第二步：分離常數(shù)，此時函數(shù) = 可變?yōu)?f (x) a= + c ；
cx + d c cx + d
第三步：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷原函數(shù)的值域。
f ( x) 2x + 3例2. 已知 = ，求 f ( x)的值域。
x +1
答案： ( , 2)∪(2,+ )
解析： 第一步，將2x+3轉(zhuǎn)化為 2( x +1) +1；
2x + 3 2(x +1) +1 1
第二步，將 f ( x) = 轉(zhuǎn)化為 f (x) = = 2+ ；
x +1 x +1 x +1
第三步，顯然， f ( x)的值域為 ( , 2)∪(2,+ )。
9
方法三：分式函數(shù)構(gòu)造對勾/飄帶函數(shù)求值域
常用于不齊次的分式函數(shù)求值域，諸如分子一次，分母二次、或是分子二次，分母一次的分式
函數(shù)。此時需要將分子或者分母中的一次式進行整體換元，再約分構(gòu)造對勾或飄帶函數(shù)求值
域。
2x2 + x
例3. 已知函數(shù) f (x) = ，求 f ( x)的值域。
x +1
答案： 2 2 3,+ )∪( , 2 2 3
2(t 1)2 + t 1
解析： 第一步：換元，令 x +1= t (t 0)，有 x = t 1，則 f (t ) = ；
t
2
( ) 2(t 1) + t 1
2
第二步，約分，可得 f t 2t 3t +1= = = 2t 1+ 3；
t t t
1
第三步，利用對勾函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)值域，當(dāng) t 0時， f (t ) = 2t + 3 2 2 3，當(dāng)
t
t 0時， f (t ) = 2t 1+ 3 2 2 3，
t
則函數(shù) f ( x)的值域為 2 2 3,+ )∪( , 2 2 3 。
方法四：換元法求單根式函數(shù)值域
對于單調(diào)性不明確的單根式函數(shù)，可以將根式換元，結(jié)合二次函數(shù)判斷值域。
例4. 已知函數(shù) f (x) = x 2+ x，求 f ( x)的值域。
9
答案： ,+
4
解析： 令 2+ x = t (t 0)，有 x = t2 2，得函數(shù) f (t ) = t 2 t 2，開口向上，在 t 0,+ )上，
1 9 9
最小值為 f = ，則 f ( x)的值域為 ,+ 。
2 4 4
10
方法五：雙根式函數(shù)求值域
1.對于 y = x + a + b x形式的函數(shù)，可采用平方的形式，得
y2 = (x + a + b x) + 2 x2 + (b a) x + ab = a + b+ 2 x2 + (b a) x + ab，先求 y2的值域，再判
斷 y的值域；
2.對于 y = x + a x + b形式的函數(shù)，可采用分子有理化，得
( x + a x +b )( x + a + x +b )
y a b= = ，再判斷 y的值域。
x + a + x +b x + a + x +b
例5. 已知 y = x 3 + 5 x，求函數(shù)值域。
答案： 2, 2
解析： 將函數(shù)平方，得 y2 = 5 3+ 2 x2 +8x 15 = 2+ 2 x2 +8x 15。因為函數(shù)的定義域為
3,5 ，所以 x2 +8x 15 0,1 ，則 y2 2, 4 ，得函數(shù)值域為 2, 2 。
例6. 已知 y = x 1 x 3，求函數(shù)值域。
答案： (0, 2
2
解析： 將函數(shù)分子有理化，得 y = 。顯然分母在 3,+ )上單調(diào)遞增，所以函數(shù)
x 1+ x 3
的值域為 (0, 2 。
11
方法六：分段函數(shù)求值域
對于分段函數(shù)，在求值域的時候需要在每個分段的定義域上求值域，之后求各段值域的并集得
到原函數(shù)的值域，絕對值函數(shù)也可分類討論去絕對值之后，用分段函數(shù)求值域的方法判斷值
域。
例7. 已知函數(shù) f (x) = x 1 + x + 2 ，求 f ( x)的值域。
答案： 3,+ )
解析： 先進行分類討論，將絕對值函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式：
2x 1, x 2
f (x) = 3, 2 x 1 ，顯然函數(shù)在 x 2時單調(diào)遞減，在 x 1時單調(diào)遞增，故 f ( x)的
2x +1, x 1
值域為 3,+ )。
披荊斬棘
一.根據(jù)值域求參
利用二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)以及值域的求解方法，判斷含參問題的參數(shù)取值范圍。
例1. 若函數(shù) y = x2 + ax + 4的值域為 0,+ )，求 a的取值范圍。
答案： 4,+ )∪( , 4
解析： 要使函數(shù)值域為 0,+ )，需滿足 g (x) = x2 + ax + 4的值域包含 0,+ )，根據(jù)二次函數(shù)的
性質(zhì)有a2 16 0，解得a 4或a 4。
12
二.反解法利用判別式求值域
針對分子與分母的最高次項均為二次的分式函數(shù)，除了用常數(shù)分離外，也可用反解法求函數(shù)值
ax2 +bx + c
域。如求解函數(shù) y = 2 的值域。（注：盡量用于定義域為 R的分式函數(shù)） dx + ex + f
第一步：由于分式分母不為0，式子左右兩邊同乘分母 dx2 + ex + f ，得到
(dx2 + ex + f ) y = ax2 +bx + c；
第二步：由于函數(shù)中 x與 y存在對應(yīng)關(guān)系，所以對于值域中的 y值，關(guān)于 x的一元二次方程一定
有解，反之則無解，整理關(guān)于 x的一元二次方程得到 (a dy) x2 + (b ey) x + c fy = 0；
第三步：利用判別式 0判斷方程有解，便會得到關(guān)于 y的一元二次不等式，解不等式即得原
函數(shù)值域。
y x
2 +1
例2. 已知函數(shù) = 2 ，試用反解法求函數(shù)的值域。 x + x +1
2
答案： , 2
3
解析： 先判斷定義域， x2 + x+1 0，解得定義域為 R。
第一步：等式兩邊同乘以 x2 + x+1，得到 (x2 + x +1) y = x2 +1；
第二步：整理得到關(guān)于 x的一元二次方程 (1 y) x2 yx +1 y = 0；
第三步：因為方程要有解，即 0，得關(guān)于 y的一元二次不等式 y2 4(1 y)2 0，解
2 y 2 2得 ，即函數(shù)值域為 , 2 。
3 3
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本章知識框架
第三節(jié) 對應(yīng)法則
撥云見日
解析式：
表示函數(shù)兩個變量之間的數(shù)學(xué)表達式即稱為函數(shù)的解析式。
14
柳暗花明
方法一：待定系數(shù)法
對于諸如一次函數(shù)，二次函數(shù)等解析式的一般形式已熟知的函數(shù)，可以利用待定系數(shù)法設(shè)函數(shù)
的解析式，然后根據(jù)題目已知信息求解系數(shù)，從而得到對應(yīng)函數(shù)的解析式。
例1. 已知 f ( x)為一次函數(shù)，且函數(shù)圖像經(jīng)過點 (1, 2)與 (3, 4)，求 f ( x)的解析式。
答案： f (x) = x +1
解析： f ( x)為一次函數(shù)，可設(shè) f ( x) = kx + b，根據(jù)圖像過點 (1, 2)與 (3, 4)，得方程組
k +b = 2 k =1
，解得 。 f ( x)的解析式為 f (x) = x +1。
3k +b = 4 b =1
方法二：換元法
對于形如 f (g (x))的函數(shù)，根據(jù)解析式的特點可以采用換元法，將函數(shù)記為 f (t )，注意換元時
t的范圍，根據(jù)題目條件求出對應(yīng)的解析式，再將 f (t )記為 f ( x)，即得 f ( x)的解析式。
例2. 已知 f ( x + 2) = x，求 f ( x)的解析式。
答案： f (x) = (x 2)2 (x 2,+ ))
解析： 令 x + 2 = t (t 2)，可得 x = (t 2)2， f ( x + 2) = x2， f (t ) = (t 2)2 (t 2)，這里的
t 2只是一個符號，可以直接將 t寫成 x，即得 f ( x)的解析式為 f ( x) = (x 2) ，定義域為
2,+ )。
方法三：配湊法
在使用換元法時，會碰到無法用 t唯一表示 x的時候，可以根據(jù)題目特點運用已學(xué)的公式進行配
湊求解析式。
15
f x 1 x2 1例3. 已知 = + 2 ，求 f ( x)的解析式。 x x
答案： f ( x) = x2 + 2
1 t t 2 + 4
解析： 若此時采用方法二換元法，令 x = t (t R)，可得 x = ，無法用 t唯一表示
x 2
x，后續(xù)操作無法順利進行。
1 2 1
我們觀察到 x = x2 + 2 2，利用完全平方公式配湊出了括號內(nèi)和最后形式之間x x
的關(guān)系，很快就可以得到 f ( x)的解析式為 f ( x) = x2 + 2。
1
注：最后一步也可寫為，令 x = t (t R)，這里不用 t去表示 x，而是根據(jù)
x
1 2x = x2 1+ 2 2，得到 f (t ) = t 2 + 2，即得 f ( x) = x2 + 2。 x x
方法四：解方程組法
題目條件中出現(xiàn) f (g (x))與 f (h ( x))的和的式子，同時滿足 g ( x)與 h ( x)之和或之積為定值時，
可以將 g ( x)與 h ( x)互換構(gòu)造類似形式的新的式子，然后構(gòu)造方程組求解函數(shù)解析式。
例4. 已知 f (x) + 2 f (1 x) = 2x，求 f ( x)的解析式。
4
答案： f (x) = 2x
3
解析： 觀察到 x與1 x之和為定值1，將兩者互換位置可以得到
f (1 x) + 2 f (x) = 2(1 x)。將新得到的式子與題目條件聯(lián)立即得方程組
f (x) + 2 f (1 x) = 2x
，解方程組的時候消去 f (1 x)，就可以得到 f ( x)的解析
f (1 x) + 2 f (x) = 2(1 x)
4
式。解得 f (x) = 2x。
3
16
披荊斬棘
分段函數(shù)求解析式
若題中的分段函數(shù)解析式中存在周期，對稱或偽周期等的關(guān)系時，可以先將要求部分解析式中的
自變量采取相應(yīng)的變化方式轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎侄谓馕鍪街凶宰兞康姆秶俑鶕?jù)題中的關(guān)系得到所要
求自變量范圍的函數(shù)解析式。
例 1. 已知函數(shù) f ( x)滿足 f (x) = f (x +1)，當(dāng) x (0,1 時， f (x) = 2x。求當(dāng) x ( 1,0 時， f ( x)
的解析式。
解析： 觀察到當(dāng) x ( 1,0 時， x +1 (0,1 ，此時 x+1整體是符合題目給的分段的自變量范圍
的，可得 f (x +1) = 2(x +1)，根據(jù)題目給的條件 f (x) = f (x +1)，可得當(dāng) x ( 1,0 時，
f ( x)的解析式即 f (x) = 2(x +1)。
17
本章知識框架
第四節(jié) 單調(diào)性
撥云見日
一.單調(diào)性的定義：
一般地，設(shè)函數(shù) f ( x)的定義域為 I ，區(qū)間D I；
如果 x1， x2 D，當(dāng) x1 x2時，都有 f ( x1 ) f (x2 )，那么就稱函數(shù) f ( x)在區(qū)間D上單調(diào)遞
增。
特別地，當(dāng)函數(shù) f ( x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)。
如果 x1， x2 D，當(dāng) x1 x2時，都有 f ( x1 ) f (x2 )，那么就稱函數(shù) f ( x)在區(qū)間D上單調(diào)遞
減。
特別地，當(dāng)函數(shù) f ( x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)。
如果函數(shù) y = f (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴格的）
單調(diào)性，區(qū)間D叫做 y = f (x)的單調(diào)區(qū)間。
18
二.常見初等函數(shù)的單調(diào)性：
1.一次函數(shù)： f ( x) = kx + b，當(dāng) k 0時，為增函數(shù)；當(dāng) k 0時，為減函數(shù)；
k
2.反比例函數(shù)： f (x) = ，當(dāng) k 0時， f ( x)在 (0,+ ) ,( ,0)上分別都為減函數(shù)；當(dāng) k 0
x
時， f ( x)在 (0,+ ) ,( ,0)上分別都為增函數(shù)；
b
3.二次函數(shù)： f (x) = ax2 + bx + c (a 0)，當(dāng)a 0時，單調(diào)遞增區(qū)間為 ,+ ，單調(diào)遞減區(qū)
2a
b b b
間為 , ；當(dāng)a 0時，單調(diào)遞增區(qū)間為 , ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ,+ 。
2a 2a 2a
柳暗花明
方法一：定義法判斷單調(diào)性
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷一個具體函數(shù)的單調(diào)性通常需要如下四步：
①取值：在定義域或給定區(qū)間內(nèi)任取 x1， x2，不妨設(shè) x1 x2；
②做差變形：將 f ( x1 ) f ( x2 )進行化簡變形，直至出現(xiàn) x1 x2這一項；
③定號：對變形的差進行判斷，確定 f ( x1 ) f ( x2 )的正負號；
④判斷：判斷函數(shù)是否符合增、減函數(shù)的定義。
19
1
例 1. 用定義法判斷函數(shù) f (x) = x2 + 在 ( , 0)上的單調(diào)性。
x
答案： 單調(diào)遞減
解析： ①取值：在 ( , 0)任取 x1， x2，不妨設(shè) x1 x2；
②做差變形： f (x1 ) f (x2 ) = x 2
1 x 2 1 (x 2 x 2 ) 1 11 + 2 + = 1 2 + x1 x2 x1 x2
= (x1 x2 )(
1
x x x1 + x2 ) + 2 1 = (xx x 1 x2 ) x1 + x2 ； 1 2 x1x2
③定號： x1 x2， x1 x2 0， x1 ( ,0)
1
，x2 ( ,0)， x1x2 0，x1 + x2 0，x1x2
即 f (x1 ) f (x2 ) 0；
1
④判斷： x1 x2， f (x1 ) f (x2 ) 0，函數(shù) f ( x) = x2 + 在 ( , 0)上單調(diào)遞減。 x
方法二：組合函數(shù)單調(diào)性
在熟知基本初等函數(shù)的單調(diào)性之后，根據(jù)以下四個性質(zhì)可以快速判斷函數(shù)單調(diào)性：
①增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；②減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；
③增函數(shù) 減函數(shù)=增函數(shù)；④減函數(shù) 增函數(shù)=減函數(shù)。
（注意增減函數(shù)之間的乘除法單調(diào)性不能確定）
1
例 2. 判斷函數(shù) f (x) = x2 + 在 ( , 0)上的單調(diào)性。
x
答案： 單調(diào)遞減
1
解析： 由于 y = x2在 ( , 0)上單調(diào)遞減，y = 在 ( , 0)上也單調(diào)遞減。根據(jù)減函數(shù)+減函數(shù)仍
x
f (x) x2 1為減函數(shù)，可以快速得出函數(shù) = + 在 ( , 0)上單調(diào)遞減。
x
20
方法三：復(fù)合函數(shù)“同增異減”
復(fù)合函數(shù) f g (x) 的單調(diào)性遵循“同增異減”的法則。即先判斷函數(shù)的復(fù)合形式，再根據(jù)各自在
定義域或給定區(qū)間上的單調(diào)性，如果相同，則復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上單調(diào)遞增，反之則單調(diào)遞減。
1
例 3. 函數(shù) y = 的單調(diào)遞增區(qū)間是__________
x2 2x + 3
答案： ( 1,1)
解析： 首先我們先求出函數(shù)的定義域，根據(jù) x2 2x+3 0解得 x ( 3,1)，再觀察到題目給的
1
函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，令 f (x) = ，g (x) = x2 2x + 3，則 f g (x) 1= 。顯然
x x2 2x +3
1
對于 f (x) = ，在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，而對于 g (x) = x2 2x + 3，在 ( 3, 1)上
x
遞增，在 ( 1,1)上遞減。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的“同增異減”，題目要求單調(diào)遞增區(qū)間，所以兩
個函數(shù)的單調(diào)性要一致，可得單調(diào)遞增區(qū)間為 ( 1,1)。
方法四：分段函數(shù)單調(diào)性
如果一個連續(xù)的分段函數(shù)單調(diào)遞增，我們需要保證它每一段都
單調(diào)遞增，且在分段的區(qū)間端點處，保證端點在左邊的函數(shù)值
不大于在右邊的函數(shù)值，如右圖。
如果一個連續(xù)的分段函數(shù)單調(diào)
遞減，我們需要保證它每一段都單調(diào)遞減，且在分段的區(qū)間端點
處，保證端點在左邊的函數(shù)值不小于在右邊的函數(shù)值，如左圖。
21
2b 1
+b+3, x 1
例 4. 若函數(shù) f (x) = x 在 R上為增函數(shù)，求b的取值范圍。
x2 + (2 b) x, x 1
1
答案： b 0
4
解析： 對于分段函數(shù) f ( x)，要滿足在 R上為增函數(shù)，則每一段都單調(diào)遞增。要使得函數(shù)
y 2b 1 1= +b+3在 (1,+ )上單調(diào)遞增，則2b 1 0，即b ；要使得 y = x2 + (2 b) x在
x 2
( ,1 2 b上單調(diào)遞增，則 1，即b 0。在滿足每一段都單調(diào)遞增的前提下，由于分
2
段區(qū)間的端點為 x =1，還要滿足把 x =1代入左邊函數(shù)中的值不大于代入右邊函數(shù)中的值，
即 1+ (2 b) 1 2b 1 b 3 b 1 1+ + ，解得 ，綜上，b的取值范圍為 b 0。
1 4 4
披荊斬棘
一.抽象函數(shù)單調(diào)性
若題給的函數(shù)解析式不能求，我們首先需要根據(jù)題目條件代入自變量的特殊值求出某些特定自變
量的函數(shù)值，再根據(jù)題目條件構(gòu)造出用定義法可以證明的函數(shù)單調(diào)性。
例 1. 已知定義在 (0,+ )函數(shù) f ( x)，滿足 f (mn) = f (m) + f (n) ,(m,n 0)。且當(dāng) x 1時，
f (x) 0。求證： f ( x)在 (0,+ )上是增函數(shù)。
答案： 略
解析： 首先代入特殊值，這里我們可以令m = n =1，根據(jù)題目條件可得 f (1) = f (1) + f (1)，即
f (1) = 0。接下來就要利用定義法去證明當(dāng) x1 x2時， f (x1 ) f (x2 ) 0。先在 (0,+ )上
任取 x1，x
x
2，不妨設(shè) x1 x2，由題可得 f (mn) f (m) = f (n)，所以 f (x1 ) f (x 12 ) = f ，x2
x1 x
x1 f x， 1，則 12 0，即 f (x1 ) f (x2 ) 0，得證。 x2 x2
22
二.增減函數(shù)的等價形式
有時候題目中并沒有直接給出函數(shù)的單調(diào)性，但是可以一些常見的條件等同于告訴了單調(diào)性，下
面列舉幾個常見的增函數(shù)的等價形式：
①若函數(shù) f ( x)滿足 x1 x2 0， f (x1 ) f (x2 ) 0，則 f ( x)為增函數(shù)；
②若函數(shù) f ( x)滿足 (x1 x2 )( f (x1 ) f (x2 )) 0，則 f ( x)為增函數(shù)；
③若函數(shù) f ( x) x1 x滿足 2 0，則 f x 為增函數(shù)；
f (x1 ) f (x2 )
( )
④若函數(shù) f ( x)滿足 x1 f (x1 ) + x2 f (x2 ) x1 f (x2 ) + x2 f (x1 )，則 f ( x)為增函數(shù)。
其中可以簡單證明一下④：
移項可得 x1 f (x1 ) x1 f (x2 ) x2 f (x1 ) x2 f (x2 )
x1 ( f ( x1 ) f (x2 )) x2 ( f (x1 ) f (x2 ))
再移項可得 (x1 x2 )( f (x1 ) f (x2 )) 0，即②，得證。
例 2. 設(shè)函數(shù) f ( f x f xx) = x x a ( ) ( )，若對任意 x1，x2 3,+ )，x1 x2，不等式 1 2 0恒成x1 x2
立，求實數(shù) a的取值范圍。
答案： a 3
f (x ) f (x )
解析： 由題中 1 2 0這個條件可得函數(shù)在 3,+ )為增函數(shù)，去絕對值后可以得到
x1 x2
f ( x)在 a,+ ) , a a， 上單調(diào)遞增，在 ,a 上單調(diào)遞減，即得a 3。
2 2
23
三.利用函數(shù)增減性解不等式
解題思路為將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榕袛嗪瘮?shù)值的大小關(guān)系，繼而通過函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為判斷自變量的
大小關(guān)系，從而化簡題目。
x2 , x 0
例 3. 函數(shù) f (x) = ，若對任意的 x t, t + 2 ，不等式 f (x + t ) 2 f (x)恒成立，求實
x2 , x 0
數(shù) t的取值范圍。
答案： t 2
解析： 根據(jù)函數(shù)解析式可得 2 f (x) = f ( 2x)，而 f ( x)顯然在定義域上為增函數(shù)，所以不等式
f (x + t ) 2 f (x)等價于 f (x + t ) f ( 2x)，也等價于 x+ t 2x恒成立，參變分離可得
t ( 2 1) x恒成立，因為 x t, t + 2 ，所以有 t ( 2 1)(t + 2)，解得 t 2。
24
本章知識框架
第五節(jié) 奇偶性
撥云見日
一.函數(shù)奇偶性的定義：
一般地，設(shè)函數(shù) f ( x)的定義域為 I ，如果 x I，都有 x I，且 f ( x) = f (x)，那么函數(shù)
f ( x)就叫做偶函數(shù)。
一般地，設(shè)函數(shù) f ( x)的定義域為 I ，如果 x I，都有 x I，且 f ( x) = f (x)，那么函數(shù)
f ( x)就叫做奇函數(shù)。
二.常見函數(shù)的奇偶性：
1
1.常見的奇函數(shù)： f ( x) = x2n 1 (n Z )， f (x) = x 2n 1 (n Z )；
2.常見的偶函數(shù)： f (x) = x2n (n Z )， f (x) = x ；
25
三.奇偶函數(shù)的簡單性質(zhì)：
奇函數(shù) 偶函數(shù)
定義域 關(guān)于原點對稱
圖像對稱性 關(guān)于原點對稱 關(guān)于 y軸對稱
函數(shù)值特征 f ( x) = f (x) f ( x) = f (x)
關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間 關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間
單調(diào)性
內(nèi)，單調(diào)性相同 內(nèi)，單調(diào)性相反
若定義域包含0，則
其他特征
f (0) = 0
柳暗花明
方法一：定義法判斷奇偶性
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷一個具體函數(shù)的奇偶性通常需要如下兩步：
①判斷定義域：奇偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱，如果定義域不關(guān)于原點對稱，那么函數(shù)
一定為非奇非偶函數(shù)；
②判斷 f ( x)和 f ( x)的關(guān)系：在確保函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱之后，比較 f ( x)和 f ( x)的
關(guān)系。這里常將 f ( x)的表達式進行化簡，如果最后的化簡結(jié)果顯示 f ( x) = f (x)，則 f ( x)為
偶函數(shù)；如果最后的化簡結(jié)果顯示 f ( x) = f (x)，則 f ( x)為奇函數(shù)。如果化簡比較復(fù)雜，可
以嘗試對 f ( x)和 f ( x)進行求和，若有 f ( x) + f (x) = 0，則 f ( x)為奇函數(shù)；也可對 f ( x)和
f ( x)進行求差，若有 f ( x) f (x) = 0，則 f ( x)為偶函數(shù)。
26
x x , x 0 1, x 0
例1. 現(xiàn)有三個函數(shù)： f (x) (x 2) 2+ x1 = ， f2 (x) = ， f3 (x) = ，在這2 x x x , x 0 1.x 0
三個函數(shù)中，下面說法正確的是（ ）
A.有一個是偶函數(shù)，兩個是非奇非偶函數(shù) B.有一個是偶函數(shù)，兩個是奇函數(shù)
C.有兩個是偶函數(shù)，一個是奇函數(shù) D.有兩個是奇函數(shù)，一個是偶函數(shù)
答案： A
解析： ①判斷定義域：先求定義域， f1 ( x)的定義域為 2, 2)，不關(guān)于原點對稱，所以一定是
非奇非偶函數(shù)； f2 ( x)的定義域為 ( ,0) (0,+ )，關(guān)于原點對稱； f3 ( x)的定義域為
R，關(guān)于原點對稱；
②判斷 f ( x)和 f ( x)的關(guān)系：對于 f2 ( x)，不妨取 x 0，此時 f2 (x) = x x，且
f2 ( x) = ( x) ( x) = x x，滿足 f ( x) = f (x)，所以為偶函數(shù)；對于 f3 ( x)，不妨
取 x 0，此時 f3 (x) =1，且 f3 ( x) = 1，滿足 f ( x) = f (x)，但 f3 (0) =1 0，所以
為非奇非偶函數(shù)。故選A。
方法二：組合函數(shù)奇偶性
在熟知常見函數(shù)的奇偶性之后，根據(jù)以下性質(zhì)可以快速判斷函數(shù)單調(diào)性：
①奇函數(shù) 奇函數(shù)=奇函數(shù)；②偶函數(shù) 偶函數(shù)=偶函數(shù)；
③奇函數(shù) 奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù) 偶函數(shù)=偶函數(shù)；
⑤奇函數(shù) 偶函數(shù)=奇函數(shù)。
（注意奇偶函數(shù)相加減奇偶性不能確定）
27
例2. 已知 y = f (x)是定義在 R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
① y = f 2 (x)；② y = f ( x)；③ y = xf (x)；④ y = f (x) + x
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
答案： D
解析： ① f 2 ( 2 x) = f (x) = f 2 (x)，為偶函數(shù)；② f ( ( x)) = f (x) = f ( x)，為奇函數(shù)；
③中 y = x為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù) 奇函數(shù)為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)；④根據(jù)奇函數(shù)+
奇函數(shù)仍為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，故選D。
方法三：復(fù)合函數(shù)“同奇則奇，有偶則偶”
復(fù)合函數(shù) f g (x) 的奇偶性遵循“同奇則奇，有偶則偶”的法則。即先判斷函數(shù)是怎么復(fù)合
的，再根據(jù)各自在定義域或給定區(qū)間上的奇偶性，兩個函數(shù)都為偶函數(shù)，或為一奇一偶，整體
就為偶函數(shù)，只有都是奇函數(shù)的時候才會是奇函數(shù)，如奇函數(shù)加絕對值后為偶函數(shù)。
證明：①：若 f ( x)和 g ( x)均為奇函數(shù)，即滿足 f ( x) = f (x)， g ( x) = g (x)。此時，
f g ( x) = f g (x) = f g (x) ，可得 f g (x) 為奇函數(shù)；
②：若 f ( x)為偶函數(shù) g ( x)為奇函數(shù)，即滿足 f ( x) = f (x)， g ( x) = g (x)。此時，
f g ( x) = f g (x) = f g (x) ，可得 f g (x) 為偶函數(shù)。
3
例3. 判斷函數(shù) y = ( x ) 的奇偶性。
答案： 偶函數(shù)
解析： 首先我們先求出函數(shù)的定義域，顯然函數(shù)定義域為 R，再觀察到題目給的函數(shù)是復(fù)合函
數(shù)，令 f (x) = x3， g (x) 3= x ，則 f g (x) = ( x ) 。顯然對于 f (x) = x3，在定義域內(nèi)為
奇函數(shù)，而對于 g (x) = x ，在定義域為為偶函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的“同奇則奇，有偶
3
則偶”， y = ( x ) 為偶函數(shù)。（當(dāng)然，直接用定義法判斷也相當(dāng)簡單）
28
方法四：分段函數(shù)的奇偶性
這類題的解答過程可以參考函數(shù)第二節(jié)課分段函數(shù)求解析式的方法，可以先將要求部分解析式
中的自變量采用取相反數(shù)的方法轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎侄谓馕鍪街凶宰兞康姆秶俑鶕?jù)奇偶函數(shù)的關(guān)
系得到所要求自變量范圍的函數(shù)解析式，注意如果題給函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域中包含0，則
一定有 f (0) = 0。
例4. 已知 f ( x) 2是定義域為 R的偶函數(shù)，當(dāng) x 0時， f (x) = 1。求當(dāng) x 0時函數(shù)的解析
x
式。
2
答案： f ( x) = 1
x
解析： 取 x 0，此時 x 0 2，從而有 f ( x) = 1 2= 1。
x x
根據(jù)偶函數(shù)的定義 f ( x) = f ( x)，此時有 f (x) = f ( x) 2= 1。
x
方法五：奇偶函數(shù)的單調(diào)性
根據(jù)奇偶函數(shù)圖像的性質(zhì)，顯然有如下性質(zhì)：奇函數(shù)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性相
同；偶函數(shù)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性相反。
29
1
例5. 已知 f ( x)為偶函數(shù)，且 f ( x)在 0,+ )上是增函數(shù)，若 f (ax +1) f (x 2)在 ,1 是
2
恒成立的，則實數(shù) a的取值范圍是（ ）
A. 2,0 B. 2,1 C. 5,0 D. 5,1
答案： A
解析： 因為 f ( x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在大于0和小于0兩個區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反，由題意得
f ( x)在 ( , 0 上是減函數(shù)， f (ax +1) f (x 2)即 ax 1+1 x 2 在 ,1 恒成立。當(dāng)
2
x 1 ,1 3 1時， x 2 , 1 ，故 f (x 2) f ( 1) = f (1)，所以有當(dāng) x ,1 時，
2 2 2
ax +1 1恒成立，有 1 ax+1 1，解得 2 a 0，故選A。
披荊斬棘
一.抽象函數(shù)奇偶性
若題給的函數(shù)解析式不能求，我們首先需要根據(jù)題目條件代入自變量的特殊值求出某些特定自變
量的函數(shù)值，再根據(jù)題目條件構(gòu)造出用定義法可以證明的函數(shù)奇偶性。
例 1. 已知 f ( x)的定義域為 R，且當(dāng) x, y R時，恒有 f (x + y) = f (x) + f ( y )。判斷 f ( x)的奇
偶性并證明。
答案： 略
解析： 首先代入特殊值，這里我們可以令m = n = 0，根據(jù)題目條件可得 f (0) = f (0) + f (0)，即
f (0) = 0。此時有 f (0) = f ( x + x) = f ( x) + f (x)，滿足奇函數(shù)性質(zhì)，所以 f ( x)為奇函
數(shù)。
30
二.含參函數(shù)的奇偶性
原則上我們還是要根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義來求參數(shù)值，在保證定義域關(guān)于原點對稱的前提下，盡
量根據(jù) f ( x) + f (x) = 0或者 f ( x) = f (x)這兩個式子的恒成立的關(guān)系來求出參數(shù)的值。
在求參問題上，還有一個相對簡單的方法，我們可以取在定義域內(nèi)互為相反數(shù)的兩個自變量 x0與
x0，利用 f ( x0 ) + f (x0 ) = 0或者 f ( x0 ) = f (x0 )，直接求得參數(shù)值。然后再代入原式證明奇偶
性的確成立，注意一定要代入證明保證充分性。
x
例 2. 若函數(shù) f (x) = 是奇函數(shù)，求實數(shù) a的取值。 (2x +1)(x + a)
1
答案： a =
2
解析： 法一：因為 f ( x)是奇函數(shù)，所以有 f ( x) + f (x) = 0，得
x x
+ = 0，化簡得 2(2a +1) x = 0恒成立，即2a+1= 0，解
( 2x +1)( x + a) (2x +1)(x + a)
得 a 1= 。
2
法二：先求函數(shù)定義域有 (2x +1)(x + a) 0 1，解得定義域為 x x , x a ，因為
2
f ( x) 1是奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱，則 a = ，解得a 1= 。接下去需要代入
2 2
證明此時 f ( x)是奇函數(shù)。 f (x) x x= = ，有
(2x +1) x 1 2 x2 1
2 4
f ( x) x 2 1 = = = f (x)，可得 f1 1 ( x)是奇函數(shù)，所以a = 。 2 ( x)2 2 x2 2
4 4
31
三.奇偶函數(shù)對稱性應(yīng)用
根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，我們可以得到如下性質(zhì)：
①如果 f ( x)為奇函數(shù)，一定有 f ( x a) = f (x + a)；
如果 f ( x)為偶函數(shù)，一定有 f ( x a) = f (x + a)；
②如果 f ( x + a)為奇函數(shù)，一定有 f ( x + a) = f (x + a)，此時可以得到 f ( x)的圖像關(guān)于 (a, 0)對
稱；
如果 f ( x + a)為偶函數(shù)，一定有 f ( x + a) = f (x + a)，此時可以得到 f ( x)的圖像關(guān)于 x = a對
稱。
例 3. 若函數(shù) f ( x 1)為奇函數(shù)，且滿足 f (2) = 3，求 f ( 4)的值。
答案： 3
解析： 因為函數(shù) f ( x 1)為奇函數(shù)，有 f ( x 1) = f ( x 1)。因為 f (2) = f (3 1) = 3，所以有
f (3 1) = f ( 3 1) = f ( 4)，即 f ( 4) = f (2) = 3。
32
本章知識框架
第六節(jié) 冪函數(shù)
撥云見日
一.冪函數(shù)的定義：
一般地，函數(shù) y = x 叫做冪函數(shù)，其中 x是自變量， 是常數(shù)。
二.冪函數(shù)的圖像：
33
三.常見冪函數(shù)的性質(zhì)：
y = x y = x2
1
y = x3 1y = x 2 y = x
定義域 R R R 0,+ ) x x 0
值域 R 0,+ ) R 0,+ ) y y 0
非奇非偶函
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù)
數(shù)
在 0,+ )上 在 (0,+ )上
單調(diào)遞增； 單調(diào)遞減；
單調(diào)性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增
在 ( , 0)上 在 ( , 0)上
單調(diào)遞減 單調(diào)遞減
過定點 (1,1)
定點
過定點 (0,0)
柳暗花明
方法一：根據(jù)具體函數(shù)值求解析式
冪函數(shù) y = x 解析式中只有一個參數(shù) ，所以只要知道其中一個對應(yīng)的函數(shù)值，或者知道圖像
經(jīng)過的一個 (1,1)， (0,0)以外的點，就可以列方程求出 ，從而求出函數(shù)解析式。
y k x 1 2例1. 冪函數(shù) = 的圖像過點 , ，則 k + =_______
2 2
3
答案：
2
2 1 1 3
解析： 因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以 k =1。所以得 = ，解得 = ，所以 k + = 。
2 2 2 2
34
方法二：根據(jù)單調(diào)性確定冪函數(shù)
對于冪函數(shù) y = x ，當(dāng) 0時，函數(shù)經(jīng)過定點 (0,0)， (1,1)，且在 (0,+ )上單調(diào)遞增；當(dāng) 0
時，函數(shù)經(jīng)過定點 (1,1)，且在 (0,+ )上單調(diào)遞減。
2
例2. 當(dāng) x 0時，冪函數(shù) y = (m2 m 1) xm 2m 3為減函數(shù)，求實數(shù)m的值。
答案： m = 2
解析： 由于題目已知函數(shù)為冪函數(shù)，所以m2 m 1=1。又有函數(shù)在 (0,+ )上為減函數(shù)，得
2
2 m m 1=1m 2m 3 0。聯(lián)立得到 ，解得m = 2。
m2 2m 3 0
方法三：根據(jù)奇偶性確定冪函數(shù)
對于冪函數(shù) y = x ，當(dāng) 為奇數(shù)或者奇數(shù)的倒數(shù)時，函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng) 為偶數(shù)時，函數(shù)為偶
函數(shù)。
例3. 下列函數(shù)中，在 (0,+ )上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)的是（ ）
1 1
A. y = x 2 B. y = x4 C. y = x 2 D. y = x3
答案： C
解析： A.函數(shù)定義域為 0,+ )，為非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；
B. 為偶數(shù)，為偶函數(shù)， 0，在 (0,+ )上單調(diào)遞增，不滿足題意；
C. 為偶數(shù)，為偶函數(shù)， 0，在 (0,+ )上單調(diào)遞減，滿足題意；
D. 為奇數(shù)的倒數(shù)，為奇函數(shù)，不滿足題意。
故選C。
35
披荊斬棘
利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小
當(dāng)題中所給兩個數(shù)均含有冪形式時，先觀察冪是否相同，冪相同時可以直接根據(jù)先前學(xué)習(xí)的冪
函數(shù)的單調(diào)性來比較數(shù)與數(shù)之間的大小。
如果冪不同，而底數(shù)相同時，兩數(shù)大小遵循如下法則：
設(shè) f (x0 ) = x 10 ， g (x0 ) = x 20 ， 1 2
① 1 0， 2 0，且 1 2， x0 1，則 f ( x0 ) g (x0 )；
② 1 0， 2 0，且 1 2，0 x0 1，則 f ( x0 ) g (x0 )；
③ 1 0， 2 0，且 1 2， x0 1，則 f ( x0 ) g (x0 )；
④ 1 0， 2 0，且 1 2，0 x0 1，則 f ( x0 ) g (x0 )。
2 3 2
3 5 2 5 2 5
例1. 設(shè) a = ，b = ， c = ，則a,b,c的大小關(guān)系是________。
5 5 5
答案： b c a
a,c 2 2
2
解析： 先找是否有冪相同的兩數(shù)，觀察發(fā)現(xiàn) 的冪均為 ，因為 0，所以函數(shù) y = x 5在
5 5
(0,+ )上單調(diào)遞增，得a c。再找是否有冪不同但底數(shù)相同的兩數(shù)，觀察發(fā)現(xiàn)b,c的
3 0 3 3 2底數(shù)均為 ，因為 1，且 0，得b c。綜上，a,b,c的大小關(guān)系是為
5 5 5 5
b c a。
36
例2. 比較下列各組數(shù)的大小：
2 2
5 5
3 3
（1）3 2 ________3.1 2 2 （2） ________
3 6
7
7
1 8 5 5
（3） 8 8 ________ （4）42 ________52
9
5 5

答案： （1）3 2 3.1 2
2 2
2 3 3
（2）
3 6
7
7
1 8
（3） 8 8
9
5 5
（4） 42 52
5
5 5
解析： （1）觀察到兩數(shù)冪相同，函數(shù) y = x 2在 (0,+ )上單調(diào)遞減，所以3 2 3.1 2；
2

（2）觀察到兩數(shù)冪相同，函數(shù) y = x 3為偶函數(shù)在 ( , 0)上單調(diào)遞增，所以
2 2
2 3 3
；
3 6
7 7
7 1 7 8 1 8
（3）觀察到兩數(shù)冪雖不相同，但 8 8 = ，與 冪相同。函數(shù) y = x 8在
8 9
7
7 7
(0,+ ) 8上單調(diào)遞增，所以 y = x 8在 (0,+ )上單調(diào)遞減，得 8 8 1 ；
9
5 5 5
（4）觀察兩數(shù)冪不相同，但底數(shù)相同，因為 1，且5 4 0，得 42 52。
2
37
本章知識框架
第七節(jié) 指數(shù)函數(shù)
撥云見日
一.分數(shù)指數(shù)冪：
我們規(guī)定，正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是
m
a n = n am (a 0,m,n N ,n 1)。
于是，在條件a 0，m,n N ，n 1下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式。
正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，
m

a n 1 1= m = (a 0,m,n N ,n 1)。 n ama n
與0的整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，
0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0。0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。
38
二.指數(shù)運算法則：
① aras = ar+s (a 0, r, s Q)；
s
② (ar ) = ars (a 0, r, s Q)；
③ (ab)r = arbr (a 0,b 0,r Q)。
三.指數(shù)函數(shù)：
一般地，函數(shù) y = ax（a 0，且a 1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù) x是自變量，定義域是R。
四.指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)：
a 1 0 a 1
圖像
定義域 R
值域 (0,+ )
過定點 (0,1)
當(dāng) x 0時， f ( x) 1； 當(dāng) x 0時， f ( x) 1；
性質(zhì)
當(dāng) x 0時， f ( x) 1。 當(dāng) x 0時， f ( x) 1。
增函數(shù) 減函數(shù)
39
柳暗花明
方法一：實數(shù)指數(shù)運算
計算時把底數(shù)相同的數(shù)放在一起，利用指數(shù)運算的法則以及分數(shù)指數(shù)冪的意義進行計算。
例1. 計算2 3 3 3 1.5 6 12。
答案： 18
解析： 先將題中的所有根式化成指數(shù)形式
1
1 3 3 3 33 1 1 1 1 3 = 32， 3 1.5 = 3 = = = 33 2 3， 6 12 = 6 4 3 = 6 22 61 3 = 23 36， 2 3 2 23
1 1
1 1 1
原式= 2 3 2 3 23 32 33 36 = 6 20 31 =18。
方法二：代數(shù)式指數(shù)運算
與實數(shù)的指數(shù)運算方法類似，計算時把底數(shù)相同的代數(shù)式放在一起，利用指數(shù)運算的法則以及
分數(shù)指數(shù)冪的意義進行計算。
2 1 1 1 1 5
例2. 計算 2a 3b2 6a 2b3 3a6b6 。
答案： 4a
解析： 觀察題中存在的底數(shù)只有 a和b，先將底數(shù)相同的代數(shù)式放在一起，其中除法轉(zhuǎn)化成負
2 1 1 2 1 1+
指數(shù)冪進行計算。以 a為底數(shù)的有 a 3 a 2 a 6 = a 3 2 6 = a1 = a，以b為底數(shù)的有
1 1 5 1 1 5+
b2 b3 b6 = b2 3 6 = b0 =1， 原式 2 ( 6) ( 3) a = 4a。
40
方法三：解方程
方程中通常會出現(xiàn)兩個底數(shù)正好是二次方的關(guān)系，可以使用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)來求解方程
的根。
例3. 解方程4x 2x+1 8 = 0。
答案： x = 2
x 2
解析： 觀察到4x = (22 ) = 22x = (2x ) ，2x+1 = 2x 21 = 2 2x，采用換元法，令 2x = t (t 0)，可將
原方程轉(zhuǎn)化為 t2 2t 8 = 0，解得 t = 4或 t = 2（舍去），所以2x = 4解得 x = 2。
方法四：利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解
指數(shù)函數(shù)需要注意的性質(zhì)有值域，過定點，以及單調(diào)性。
例4. 函數(shù) f ( x) = a1 x + 5（a 0，且a 1）的圖像必過定點_________。
答案： (1,6)
解析： 由于當(dāng)a 0時，a0 =1，所以指數(shù)函數(shù)圖像必過定點 (0,1)。所以對于題給函數(shù)而言，當(dāng)
1 x = 0即 x =1時，a1 x =1，此時 f (1) =1+ 5 = 6，所以圖像必過定點 (1,6)。
1 2x x
2
例5. 求函數(shù) y = 的值域。
2
1
答案： ,+
2
解析： 觀察到函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，需要依次判斷值域。首先判斷指數(shù)中2x x2的范圍，這是一
1
個開口向下的二次函數(shù)，范圍為 ( ,1 。而因為0 1，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，所以函
2
1 1 1
數(shù)的最小值為 = 1，最大值為+ ，即函數(shù)值域為 ,+ 。
2 2 2
41
披荊斬棘
底數(shù)相同的指數(shù)式比大小
底數(shù)相同的指數(shù)式比大小，其操作步聚如下：
1. 構(gòu)造對應(yīng)指數(shù)函數(shù);
2. 轉(zhuǎn)化為比較不同自變量情況下函數(shù)值問題;
3. 用單調(diào)性比較大小。
1 1.2
例1. 設(shè) a = 40.8，b = 80.46，c = ，則 a，b， c 的大小關(guān)系為( )
2
A．a(chǎn) b c B．b a c C．c a b D．c b a
答案： A
1 1.2
解析： 由題可知：a = 40.8 = 21.6，b =80.46 = 21.38，c = = 21.2，
2
由函數(shù) y = 2x 是增函數(shù)且 1.6 1.38 1.2，可得：a b c。故選 A。
底數(shù)不同的指數(shù)式比大小
(1) 底數(shù)不同指數(shù)相同的指數(shù)式比大小, 用作商法和1比較。
(2) 底數(shù)和指數(shù)都不同，用中間值法，結(jié)合函數(shù)圖像和去比。
(3) 底數(shù)指數(shù)都不同, 且都大于, 于是同時次方，化為整數(shù)。
例2. 已知 a = 20.2，b = 0.40.2， c = 0.40.6，則( )
A．b c a B．a(chǎn) c b C．c a b D．a(chǎn) b c
答案： D
解析： 根據(jù)題意可得 20.2 20 =1，1= 0.40 0.40.2 0.40.6 0，進而即可求得結(jié)果。
20.2 20 =1，1= 0.40 0.40.2 0.40.6 0。因此 a b c。故選 D。
42
本章知識框架
第八節(jié) 對數(shù)函數(shù)
撥云見日
一.對數(shù)：
一般地，如果ax = N（a 0，且a 1），那么數(shù) x叫做以 a為底N 的對數(shù)，記作
x = loga N，其中 a叫做對數(shù)的底數(shù)，N 叫做真數(shù)。
通常，我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把 log10 N記為 lgN。另外，在科技、經(jīng)濟以及
社會生活中經(jīng)常使用以無理數(shù)e = 2.71828 為底數(shù)的對數(shù)，以 e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并
把 loge N記為 lnN。
二.對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：
當(dāng)a 0，a 1時， ax = N x = loga N。
由指數(shù)與對數(shù)的這個關(guān)系，可以得到關(guān)于對數(shù)的如下結(jié)論：
負數(shù)和0沒有對數(shù)；
log 1= 0， log a =1； log ax = x，aloga xa a a = x。
43
三.對數(shù)運算法則：
如果a 0，且a 1，M 0，N 0，那么
① loga (MN ) = loga M + loga N；
② log Ma = loga M loga N； N
③ log M na = n loga M (n R)；
log M 1④ n = loga M (n 1a )； n
log b logc b⑤對數(shù)換底公式： a = （a 0，且a 1；b 0；c 0，且c 1） logc a
四.對數(shù)函數(shù)：
一般地，函數(shù) y = loga x（a 0，且a 1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中指數(shù) x是自變量，定義域是
(0,+ )。
44
五.指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)：
a 1 0 a 1
圖像
定義域 (0,+ )
值域 R
過定點 (1,0)
當(dāng) x 1時， f (x) 0； 當(dāng) x 1時， f (x) 0；
性質(zhì)
當(dāng)0 x 1時， f (x) 0。 當(dāng)0 x 1時， f (x) 0。
增函數(shù) 減函數(shù)
45
柳暗花明
方法一：實數(shù)對數(shù)運算
計算時把底數(shù)相同的數(shù)放在一起，利用對數(shù)運算的法則以進行計算。
如果a 0，且a 1，M 0，N 0，令 loga M = x， loga N = y，那么
① loga (MN ) = loga M + loga N
證明： loga (MN ) = loga (ax ay ) = log ax+ ya = x + y = loga M + loga N
② log Ma = logN a
M loga N
M
證明： loga = loga (ax ay ) = log x ya a = x y = loga M loga N N
③ loga M
n = n loga M (n R)
證明： log M na = log (axna ) = xn = n loga M (n R)
1
④ log n M = loga M (n 1a ) n
x
證明： log M = log ax = log (an )n x 1n n n = = log M n 1a a a ( ) n n a
log 1
例 1. 計算 log2 8 + lg 25+ lg 4+ 6
6 2。
答案： 4
解析： 先將題中的所有根式化成指數(shù)形式
1 3 3 3
8 = 82 = (2)2 ， log 22 8 = log2 2 = ，而 lg 25+ lg 4 = log (25 4) = lg100 = 2 ，2
log 1
6 6 2 1 3 1= ， 原式= + 2+ = 4。
2 2 2
46
方法二：換底公式
log b
對數(shù)換底公式： log ca b = （a 0，且a 1；b 0；c 0，且c 1） logc a
證明：令 loga b = x， log xc a = y， logc b = z，根據(jù)指對數(shù)的關(guān)系可得a = b，c
y = a，cz = b，顯
x
然有 (cy ) = ax = b = cz，即 xy = z z，有 x = ，得證。 y
1 1 1 1
例 2. 設(shè)P = + + + ，則（ ）
log2 11 log3 11 log4 11 log5 11
A. 0 P 1 B.1 P 2 C. 2 P 3 D.3 P 4
答案： B
log 11 ln11 log 11 ln11 log 11 ln11 log 11 ln11解析： 由換底公式可得 2 = ， 3 = ， 4 = ， = ，即得ln 2 ln 3 ln 4 5 ln 5
P ln 2+ ln 3+ ln 4+ ln 5 ln120= = = log11120， log1111 log11120 log 121，ln11 ln11 11
1 log11120 2，故選 B。
47
方法三：利用對數(shù)求值
在實數(shù)對數(shù)運算的基礎(chǔ)上引入?yún)?shù)，計算方法與實數(shù)計算類似，也要把底數(shù)相同的對數(shù)放在一起
進行四則運算。
例 3. 已知2a = 5b
2 1
=M ，且 + = 2，則M的值是（ ）
a b
A. 20 B. 2 5 C. 2 5 D. 400
答案： B
a = log M
解析： 2a = 5b =M 2 2 1， ，可得 + = 2，所以
b = log5 M log2 M log5 M
2logM 2+ logM 5 = logM 20 = 2，顯然M 0，則M = 2 5，故選 B。
方法四：利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解
對數(shù)函數(shù)需要注意的性質(zhì)有定義域，過定點，以及單調(diào)性。
例 4. 函數(shù) f ( x) = loga (1 x) + 3（a 0，且a 1）的圖像必過定點_________。
答案： (0,3)
解析： 由于當(dāng)a 0，且a 1時，loga 1=0，所以對數(shù)函數(shù)圖像必過定點 (1,0)。所以對于題給函
數(shù)而言，當(dāng)1 x =1即 x = 0時，loga (1 x) = 0，此時 f (0) = 0+3 = 3，所以圖像必過定點
(0,3)。
48
3x2
例 5. 若函數(shù) f (x) = + lg (3x +1)的定義域為_______
1 x
1
答案： ,1
3
解析： 因為對數(shù)函數(shù) f ( x) = loga x具備定義域 (0,+ )，所以有3x+1 0，綜合可得關(guān)于 x的不等
1 x 0 1
式組 。解得 x 1 1，即定義域為 ,1 。
3x +1 0 3 3
例 6. 若函數(shù) y = loga (2 ax)在區(qū)間 (0,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為_______
答案： (1, 2)
解析： 觀察到函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，需要依次判斷單調(diào)性。首先判斷對數(shù)函數(shù) y = loga t的單調(diào)性：
當(dāng)a 1時，對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，此時 y = 2 ax單調(diào)遞減，利用同增異減的性質(zhì)，題給函
數(shù)單調(diào)遞減，滿足，再考慮函數(shù)的定義域，顯然 (0,1)應(yīng)為定義域的子集，所以應(yīng)滿足
2 a 0，解得1 a 2；當(dāng)0 a 1時，對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，此時 y = 2 ax單調(diào)遞減，
利用同增異減的性質(zhì)，題給函數(shù)單調(diào)遞增，不滿足。綜上， a的取值范圍為 (1, 2)。
披荊斬棘
比較對數(shù)式的大小，主要依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。
1. 若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行比較。
2. 若底數(shù)為同一字母，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進行分類討論。
3. 若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較，也可以利用順時針
方向底數(shù)增大的規(guī)律畫出函數(shù)的圖象，再進行比較。
4. 若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助0，1等中間量進行比較。
49
例 1. 設(shè)a = log0.60.4，b = log0.60.7， c = log1.5 0.6，則 a，b， c的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn) c b B．a(chǎn) b c C．c a b D．c b a
答案： B
解析： a = log0.60.4 b = log0.60.7 0， c = log1.5 0.6 0， a b c，故選：B。
50定義域 值域 對應(yīng)法則 單調(diào)性
PAGE 01 PAGE 03 PAGE 05 PAGE 07
奇偶性 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)
PAGE 09 PAGE 12 PAGE 15 PAGE 18
立竿見影
x
1.求 f (x) = 的定義域。
x 1
2.求 f (x) = x2 + 2x +8的定義域。
3.求 f (x) = log 2 (2x 1)的定義域。
3
1
4.求 f (x) = 的定義域。

tan 2x
4

5.求 f (x) = tan 2x + 的定義域。
6
1 0
6.求 f (x) = + (x + 2) 的定義域。
x2 2x +1
0
(x +1)
7.求 f (x) = + x2 + x +1的定義域。
x 1
1 0
8.求 f (x) = + (x2 x) 的定義域。
lg (3 x )
9.求 f (x) = x +1 + x + 2 5 的定義域。
1
10.若 f (x) = x2 2x 3的圖像恒在 x軸下方，則 f ( x)的定義域可以為（ ）
A. ( 1,3) B. ( 3,3) C. ( 3,1) D. 1,3
披荊斬棘
1.已知 f (3 2x)的定義域是 1, 2 ，求 f ( x)的定義域。
x
2.已知 ，求
4
f ( x) = x 1 f + f 的定義域。
2 x
3.已知函數(shù) f (x) = x2 + ax +1的定義域為 R，求a的取值范圍。
x 4
4.已知函數(shù) f (x) = 的定義域為 R，求m的取值范圍。
mx2 + 4mx +3
5.已知函數(shù) f (x) = (1 a) x2 + 3(1 a) x + 6 的定義域為 2,1 ，求 a的取值范圍。
2
立竿見影
1.已知函數(shù) f (x) = 2x2 + 6x +1，求函數(shù)在 ( 2,5)上的值域。
x 1
2.已知函數(shù) f ( x) = ，求函數(shù) 1,3 的值域。
2x +1
x2 +5x 6
3.已知函數(shù) f (x) = ，求函數(shù)的值域。
x2 + 2x 3
x2 + 2x +3
4.已知函數(shù) f (x) = ，求函數(shù)的值域。
x +1
x +1
5.已知函數(shù) f (x) = ，求函數(shù)的值域。
x2 +5x 6
m
6.已知函數(shù) y = 1 x + x + 3的最大值為M ，最小值為m，則 的值為（ ）
M
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 2 2 2
7.已知函數(shù) f (x) = 3x2 12x +18 4x x2 23，求函數(shù)的值域。
1
8.已知函數(shù) f (x) = x + 2 4x +1，求函數(shù)的值域。
2
9.已知函數(shù) f (x) = x 3 3x +1，求函數(shù)的值域。
3
2x x
2 ,0 x 3
10.已知函數(shù) f (x) = ，函數(shù)的值域為（ ）
x2 + 6x, 2 x 0
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 2 2 2
披荊斬棘
1.已知函數(shù) f (x) = (a2 2a 3) x2 + (a 3) x +1的定義域和值域都為 R，求 a的值。
2.若函數(shù) f (x) = x2 + 2(m +1) x +1的值域為 1,+ )，求實數(shù)m的取值范圍。
1
3.若函數(shù) f (x) = 的值域為 (0,+ )，求實數(shù)m的取值范圍。
mx2 + 2(m 2) x +1
2x2 +3x +1
4.已知函數(shù) y = ，求函數(shù)的值域。
x2 +3x + 4
5.已知函數(shù) y = x + x2 2x + 3 ，求函數(shù)的值域。
4
立竿見影
1.已知 f ( x)為二次函數(shù)，且滿足 f (0) = 0， f (x +1) = f (x)+ 2x +8，求 f ( x)的解析式。
2.已知 f ( x)為二次函數(shù)，函數(shù)最小值為1，且 f (0) = f (2) = 3，求 f ( x)的解析式。
3.已知 f (3x + 2) = 9x +8，求 f ( x)的解析式。
4.已知 f ( x +1) = x + 2 x ，求 f ( x)的解析式。
5.已知 f (2x 1) = 2x，求 f ( x)的解析式。
1 16.已知 f x + 2 = x + +1，求 f ( x)的解析式。
x x2
1 1
7.已知 f x = x
3 3，求 f ( x)的解析式。
3
x x
1
8.已知 滿足 f ( x) f (x)+ 2 f = 3x (x 0)，求 f ( x)的解析式。
x
1
9.設(shè)定義域為 (0,+ )的函數(shù) f ( x)滿足

f (x) = 2 x f 1，求 f ( x)的解析式。
x
x 1
10.已知 ( )滿足 f x f (x)+ f = x +1(x 0,1)，求 f ( x)的解析式。
x
5
披荊斬棘
1
1.已知函數(shù) f ( x)滿足 f ( x) = f ( x)，當(dāng) x (0,1)時， f (x) = 。求當(dāng) x ( 1,0)時， f ( x)的解
x +1
析式。
2.已知函數(shù) f ( x)滿足 f (x) = f (2 x)，當(dāng) x (0,1)時，f (x) = x2 + x +1。求當(dāng) x (1, 2)時，f ( x)
的解析式。
3.已知函數(shù) f ( x)滿足 f (x) = f (x + 2)，當(dāng) x (2,3)時， f (x) = x2 x 。求當(dāng) x (4,5)時， f ( x)
的解析式。
4.已知函數(shù) f ( x)滿足 f ( x) = f (2x)，當(dāng) x (2, 4 時， f (x) = x +1。求當(dāng) x (1, 2 時， f ( x)的解
析式。
1
5.已知函數(shù) f ( x)滿足 f (x)+1= ，當(dāng) x (0,1)時， f (x) = x，則當(dāng) x ( 1,0)時，求 f ( x)
f (x +1)
的解析式；當(dāng) x (1, 2)時，求 f ( x)的解析式。
6
立竿見影
1.如圖是函數(shù)的圖像，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A. ( 1,0) B. (1,+ ) C. ( 1,0)∪(1,+ ) D. ( 1,0)和 (1,+ )
1
2.用定義法證明 f (x) = x 在區(qū)間 (0,+ )上是增函數(shù)。
x
ax
3.討論函數(shù) f (x) = 在 ( 1,1)上的單調(diào)性。
x2 1
4.已知函數(shù) f (x) = x2 + 2(a 1) x + 2在區(qū)間 ( , 4 上是減函數(shù)，則實數(shù) a的取值范圍是（ ）
A. a 3 B. a 3 C. a 5 D. a 3
1
5.求函數(shù) f ( x) = 的單調(diào)遞增區(qū)間。
x2 2x
6.求函數(shù) f (x) = x2 5x + 4的單調(diào)遞減區(qū)間。
7.求函數(shù) f (x) = x +1 x 1的單調(diào)區(qū)間。
x
8.求函數(shù) f (x) = 的單調(diào)遞減區(qū)間。
x + 2
7
ax, x 1
9.若函數(shù) f (x) = a 在 R上為增函數(shù)，求a的取值范圍。
4 x + 2, x 1
2
ax2 + x 1, x 2
10.若函數(shù) f (x) = 在 R上為減函數(shù)，求 a的取值范圍。
ax 1, x 2
披荊斬棘
1.已知函數(shù) f ( x)對任意的a,b R，滿足 f (a + b) = f (a)+ f (b) 1。且當(dāng) x 0時， f ( x) 1。判
斷并證明 f ( x)的單調(diào)性。
2.已知函數(shù) f ( x) = 2x2 mx + 5，對于任意的 x1， x2 ( , 2 ，均滿足
x1 f (x1 )+ x2 f (x2 ) x1 f (x2 )+ x2 f (x1 )，求 f (1)的取值范圍。
3.已知函數(shù) f ( x)是定義在 2,+ )的單調(diào)遞增函數(shù)，
若 f (2a2 5a + 4) f (a2 + a + 4)，求實數(shù) a的取值范圍。
x2 + 4x, x 0
4.已知函數(shù) f (x) = ，若 f (2 a2 ) f (a)，求實數(shù) a的取值范圍。
4x x
2 , x 0
5. f ( x)是定義 (0,+ )在上的增函數(shù)，對任意的 x, y (0,+ )都有
f (x + y) = f (x)+ f ( y ) 1且 f (4) = 5。
（1）求 f (2)的值；
（2）解不等式 f (m 2) 3。
8
立竿見影
1 x2
1.函數(shù) f (x) = 是（ ）
x +1 + x 2
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.奇函數(shù)又是偶函數(shù)
2.函數(shù) f (x) = x x 2 px, x R 是（ ）
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.奇偶性與 p有關(guān)
1
x2 +1, x 0
3.判斷分段函數(shù) f (x) 2= 的奇偶性。
1 x2 1, x 0
2
4.設(shè)函數(shù) f ( x)和 g ( x)分別是 R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是（ ）
A. f (x) g (x)是奇函數(shù) B. f (x) g (x) 是奇函數(shù)
C. f (x) + g (x)是偶函數(shù) D. f (x)+ g (x) 是偶函數(shù)
5.已知 f (x) = ax3 + bx 2，若 f (2017) = 6，求 f ( 2017)的值。
6.定義在R上的奇函數(shù) f ( x)，當(dāng) x (0,+ )時， f (x) = x (1+ 3 x )，則 f ( x)的解析式為。
7.已知 f ( x)是偶函數(shù)，g ( x)是奇函數(shù)，且 f (x) 2g (x) = 2x3 4x 4，求 f ( x)和 g ( x)的解析式。
9
8.已知 f ( x)是定義在 1,1 上的增函數(shù)，且 f ( x 1) f (1 3x)，求 x的取值范圍。
1
9.設(shè) f ( x)為定義在 R上的奇函數(shù)， f (1) = ， f (x + 2) = f (x)+ f (2)，則 f (5)的值為。
2
10. 定義在 R 上的奇函數(shù) f ( x) ， f (5) = 0 ，且對任意不等的正實數(shù) x1 ， x2 都滿足
f (x1 ) f (x2 ) (x2 x1 ) 0，則不等式 xf ( x) 0的解集為（ ）
A. ( 5,0) (0,5) B. ( , 5) (5,+ )
C. ( , 5) (0,5) D. ( 5,0) (5,+ )
10
披荊斬棘
1.已知 f ( x)是定義在 R上的函數(shù)，對任意 x, y R，都有 f (x + y)+ f (x y) = 2 f (x) f ( y)，且
f (0) 0。判斷并證明 f ( x)的奇偶性。
2a 1
2.若函數(shù) f (x) = 2x + 是奇函數(shù)，求 a的值。
x2
x
2 + 2x, x 0
3.已知 f (x) = ，若 f ( a)+ f (a) 2 f (1)，則a的取值范圍為（ ）
2
x 2x, x 0
A. 1,0) B. 0,1 C. 1,1 D. 2, 2
4.函數(shù) f ( x)在 (0, 2)上是減函數(shù)，且關(guān)于 x的函數(shù) y = f (x + 2)是偶函數(shù)，那么（ ）
1 5A.
5 1
f f f (3) B. f (3) f f
2 2 2 2
1
C.
5 5 1
f (3) f f D.

f f (3) f
2 2 2 2
5.已知函數(shù) f (x) = ax2 +bx + c (a,b,c R)，滿足 f (0) =1， f (1) = 0，且 f ( x +1)是偶函數(shù)。
（1）求函數(shù) f ( x)的解析式；
f (x) , x 1
（2）設(shè)h (x) = ，若對任意的 x t, t + 2 ，不等式h (x + t ) h (x2 )恒成立，求實數(shù)
f (2 x) , x 1
t的取值范圍。
11
立竿見影
1
1.冪函數(shù)求 f ( x)的圖像過點 (4, 2)，則

f =_______。
8
2
2.已知冪函數(shù) y = f (x)的圖像過點 2, ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
2
A. y = f (x)是偶函數(shù) B. y = f (x)是奇函數(shù)
C. y = f (x)在定義域上為減函數(shù) D. y = f (x)的定義域為 0,+ )
3.設(shè) 1,1, 2,3 ，則使 y = x 的定義域為 R且為奇函數(shù)的所有 的值為（ ）
A.1,3 B. 1,1 C. 1,3 D.1,2,3
f (4)
4.若 f ( x)是冪函數(shù)，且滿足 = 3，則 f (2) =_______。
f (2)
4

5.函數(shù) y = x 3 的圖像是（ ）
A. B.
C. D.
12
6.已知冪函數(shù) y = (m2 2m 2) xm的圖像不過原點，求實數(shù)m的值。
7.已知冪函數(shù) f (x) = x3m 6 (m N )在區(qū)間 (0,+ )上是減函數(shù)，且 f ( x) = f ( x)，則實數(shù)m的最大
值為________
8.已知 的圖像經(jīng)過點
1
y = f (x) 4, ，且 f (a +1) f (10 2a)，求實數(shù)a的取值范圍。
2
9.已知冪函數(shù) y = (m2 3m + 3) xm+1為偶函數(shù)，求實數(shù)m的值。
2
10.已知冪函數(shù) y = x p 2 p 3 ( p N )的圖像關(guān)于 y 軸對稱，且在 (0,+ )上是減函數(shù)，實數(shù) a滿足
p p
(a2 1) 3 (3a +3) 3 ，則 a的取值范圍為（ ）
A. ( 1, 4) B. (1, 4) C. (1, 4) D. ( 4,1)
13
披荊斬棘
3 3 3

1.比較下列各數(shù)的大小.1.75 ，0.7 5 ，0.75 。
3 3 2
2.比較下列各數(shù)的大小.1.14 ，1.44 ，1.13 。

n 3 2 3.已知點 (m,8)在冪函數(shù) f (x) = (m 1) x 的圖像上，設(shè) a = f ，b = f ln ， a = f ， ( ) 3 2
則a,b,c的大小關(guān)系為________。
1 1 1

3 3 3
4.若 ，
4 3 4
a = b = ，c = ，則a,b,c的大小關(guān)系為________。
4 4 2
m 1


2 m 2
6 2 m
5.已知冪函數(shù) f (x) = (m m 5) x (m Z )在 (0,+ )上單調(diào)遞減，若a = ，b = ， 2 2
m
1
c = ，則a,b,c的大小關(guān)系為________。
2
14
立竿見影
1 3
0 2
1.計算0.0064 3 ( ) +164 + (3 ) 。
x2 x 2
2.已知 x+ x 1 = 4， (0 x 1)，求 的值。 1 1

x 2 + x 2
3.方程4x+1 +7 2x 2 = 0的解為_________。
4.已知函數(shù) f ( x) = a x 2 +1（a 0，且a 1）恒過定點M (m,n)，則函數(shù) g ( x) = n mx 不經(jīng)過
（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
x2 2x+6
1
5.函數(shù) f (x) = 的單調(diào)遞增區(qū)間是__________。
2
6.若函數(shù) y = ax（a 0，且a 1）在區(qū)間 1, 2 上的最大值是最小值的3倍，則實數(shù)a的值為
（ ）
1 1
A. B. 2 C.3 D. 或3
3 3
x 2
7.若 2x
2+1 1 ，則函數(shù) y = 2
x 的值域是（ ）
4
1 1 1A. , 2 B.
C. , 2 , D. 2,+ )
8 8 8
15
2
8.已知函數(shù) f ( x) = 2x 2x 在區(qū)間 1, t 上的最大值為8，則實數(shù) t的取值范圍為__________。
2x 1
9.已知函數(shù) f (x) = ，下面說法正確的是（ ）
2x +1
A. f ( x)的定義域不為 R B. f ( x)的圖像關(guān)于 y 軸對稱
f (x ) f (x )
C. f ( x)的值域為 ( 1,1) D. x ，且 x x 1 21, x2 R 1 2 ， 0恒成立
x1 x2
10.已知函數(shù) f (x) = b a x（b,a R且a 0，且a 1）的圖像經(jīng)過點 A(1,8)， B (3,32)，
（1）試求 a，b的值；
x x
1
（2）若不等式
1
+ m 0在 x ( ,1 時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。
a b
16
披荊斬棘
1.1
1.已知
1
a = ，b = 0，c = 30.9 ，則 a，b， c 三者的大小關(guān)系是( )
3
A.c b a B. c a b C.b a c D.b c a
1.5
0.9 0.48 1 2.設(shè) y1 = 4 ， y2 = 8 ， y3 = ，則( )
2
A. y y y B. y y y C. y y y D.3 1 2 2 1 3 1 2 3 y1 y3 y 2
1 1 3

3 3 3 4 3 4
3.設(shè) a = ，b = ， c = ， 則 a，b， c 的大小關(guān)系為( )
5 5 2
A.c a b B. a c b C. a b c D.c b a
3 5 3
5 74.設(shè)
3 7 3 7
a = ，b = ， c = ，則 a，b， c 的大小關(guān)系為( )
7 7 7
A. a b c B.b c a C. a c b D.c a b
0.3 0.2
1 1
5.已知 a = 0.3 2，b = ， c = ，則a，b， c的大小關(guān)系是( )
2 2
A. a b c B. a c b C.c b a D.b a c
17
立竿見影
1

2 lg1
1.計算2log2 4
9
+ (
2
2 1) + (lg5) + lg 2 lg50 =_________。
4
2.若 lg 2 = a， lg3= b，則 log12 5可以用 a，b表示為（ ）
1 a 1 a 1 a a
A. B. C. D.
2a + b a2 + b 2ab 2a + b
2x +3
3.函數(shù) f (x) = loga + 2（a 0，且a 1）的圖像必過定點_________。
x +1
4.函數(shù) f (x) = log1 (2x 1)的定義域為__________。
3
5.函數(shù) f (x) = log1 (x2 2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
2
A. (1,+ ) B. (2,+ ) C. ( ,1) D. ( , 0)
1
6.已知函數(shù) f (x) = loga x + 2（a 0，且a 1）的圖像恒過定點P (m,n)，則函數(shù)
2
g (x) = log (x2m 2nx 5)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A. ( ,1) B. ( , 2) C. (2,+ ) D. (5,+ )
7.已知函數(shù) f (x) = lg (ax2 2x + a)的值域為 R，則實數(shù) a的取值范圍為________。
18
4
8.已知函數(shù) f (x) = ln x + t ，若對任意m R，均存在 x0 0使得 f (x0 ) = m，則實數(shù)m的
x
取值范圍為_________。
9.若函數(shù) f (x) = lg (ax 1) lg (x 1)在區(qū)間 2,+ )上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為
________。
1 ax
10.設(shè)函數(shù) f (x) = log1 為奇函數(shù)， a為常數(shù)。
x 1
2
（1）試求 a的值；
（2）求證. f ( x)是 (1,+ )上的增函數(shù)；
x
1
（3）若對于區(qū)間 3, 4 上的每一個 x值，不等式 f (x) +m恒成立，求實數(shù)m的取值范
2
圍。
19
披荊斬棘
1.設(shè)a = log ，43 b = log 5，c = log 3，則( ) 4 5
A. a b c B.b a c C.b c a D. a c b
2
2.若實數(shù)a，b滿足 2a b 1，m = log (log b)，n = (log b) ， l = log ba a a a ，則m， n， l的大小
關(guān)系為( )
A. m l n B. l n m C. n l m D. l m n
a b
3.比較大小： loga 、 logb 、 log b 與 a log a（其中 a
2
b b a 1）。
b a
ln 3 ln 2
4.若a = ，b = ，則 a與b的大小關(guān)系為 ________ 。
3 2
log2 0.3
1
5.已知 a = 5log2 3.4，b = 5log4 3.6 ，c = ，則 a，b，c 的大小關(guān)系是_______________。
5
20
定義域 參考答案
立竿見影
1. 答案： 0,1)∪(1,+ )
x 0
解析： 由題意得 ，解得 x 1且 x 0，所以 f ( x)的定義域為 0,1)∪(1,+ )。
x 1 0
2. 答案： R
解析： 由題意得 x2 + 2x+8 0，解得 x R，所以 f ( x)的定義域為R。
1
3. 答案： ,1
2


log 2 (2x 1) 0 1 1
解析： 由題意得 3 ，解得 x 1，所以 f ( x)的定義域為 ,1 。
2 2 2x 1 0

k 3 k
4. 答案： + , + (k Z )
8 4 8 4

tan 2x 0
解析： 由題意得 4
k 3 k
，解得 x + 且 x + (k Z )，所以
8 2 8 22x + k (k Z )
4 2
k 3 k
f ( x)的定義域為 + , + (k Z )。
8 4 8 4
21
k k
5. 答案： + , + (k Z )
12 2 6 2

tan 2x + 0 k k
解析： 由題意得 6 ，解得 + x + (k Z )，所以 f ( x)
12 2 6 22x + + k (k Z )
6 2
k k
的定義域為 + , + (k Z )。
12 2 6 2
6. 答案： ( , 2)∪( 2,1)∪(1,+ )
x2 2x +1 0
解析： 由題意得 ，解得 x 2且 x 1，所以 f ( x)的定義域為
x + 2 0
( , 2)∪( 2,1)∪(1,+ )。
7. 答案： ( , 1)∪(1,+ )
x +1 0

解析： 由題意得 x 1 0 ，解得 x 1且 x 1，所以 f ( x)的定義域為

x2 + x +1 0
( , 1)∪(1,+ )。
8. 答案： ( 3, 2)∪( 2,0)∪(0,1)∪(1,2)∪(2,3)
3 x 0

解析： 由題意得 3 x 1 ，有 x 3且 x 2且 x 1且 x 0，所以 f ( x)的定義域為

x
2 x 0
( 3, 2)∪( 2,0)∪(0,1)∪(1,2)∪(2,3)。
22
9. 答案： ( , 4 ∪ 1,+ )
解析： 由題意得 x +1 + x + 2 5 0，在同一直角坐標(biāo)系中做出函數(shù) y1 (x) = x +1 + x + 2 與
y2 ( x) = 5的圖像，由圖像可得定義域為 ( , 4 ∪ 1,+ )。
10. 答案： A
解析： 由題意得， f (x) 0，解得 1 x 3，所以 f ( x)的定義域可以為 ( 1,3)，故選A。
披荊斬棘
1. 答案： 1,5
解析： 首先求括號的范圍，由于 f (3 2x)的定義域是 1, 2 ，所以此時 x 1,2 ，解得括
號內(nèi)范圍3 2x 1,5 。括號范圍不變，所以 x 1,5 ，即 f ( x)的定義域為
1,5 。
2. 答案： 2, 4
x

1
解析： 可以求得 f ( x)的定義域為 ，所以有
2
1,+ ) ，求得新函數(shù)的定義域為 2, 4 。
4 1
x
3. 答案： 2, 2
解析： 即 x2 +ax+1 0對于任意實數(shù)恒成立，有 0，解得 2 a 2。
23
3
4. 答案： 0,
4
解析： 觀察到函數(shù)有分母，可得mx2 +4mx+3 0對于任意實數(shù)恒成立，當(dāng)m = 0時，顯然
3 3
成立；當(dāng)m 0時，有 0，解得0 m ，綜上，m的取值范圍為 0, 。 4 4
5. 答案： a = 2
解析： 由題意得， g (x) = (1 a) x2 + 3(1 a) x + 6為開口向下的拋物線，且與 x軸的兩個交
6
= 2
1 a
2
點為 ( 2,0)和 (1,0)，根據(jù)韋達定理有 ，解a = 2。 3(1 a)
= 1
2
1 a ( )
24
值 域 參考答案
立竿見影
7
1. 答案： ,81
2
3
解析： 二次函數(shù)開口向上，圖像對稱軸為 x = ，易得在 ( 2,5)上，函數(shù)最大值趨向于
2
3 7 7
f (5) = 81，最小值為 f = ，故函數(shù)值域為 ,81 。
2 2 2
2
2. 答案： 0,
7
1 3
(2x +1) 1 3 3
解析： 常數(shù)分離可得， f (x) = 2 2 = ，因為定義域為 1,3 ，判斷
2x +1 2 4x + 2 4x + 2
3 1 2
的取值范圍為 , ，故函數(shù)值域為 0, 。
14 2
7
7 7
3. 答案： ( ,1)∪ 1, ∪ ,+
4 4
x2 +5x 6 (x 1)(x + 6) x + 6
解析： 化簡函數(shù)得 f (x) = = = (x 1)，由于
x2 + 2x 3 (x 1)(x +3) x +3
x + 6 3 7 7
=1+ 1，而又因為 x 1，有函數(shù)值域為 ( ,1)∪ 1, ∪ ,+ 。
x +3 x +3 4 4
25
4. 答案： 2,+ )∪( , 2
解析： 令 x +1= t (t 0)，有 x = t 1，則函數(shù)可化簡為
2
(t 1) + 2(t 1)+3 t2 + 2 2
f (t ) = = = t + ，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得
t t t
2
t + 2,+ )∪( , 2 ，故函數(shù)值域為 2,+ )∪( , 2 。
t
5. 答案： R
t t
解析： 令 x+1= t，有 x = t 1，則函數(shù)可化簡為 f (t ) = = ，2 2
(t 1) +5(t 1) 6 t +3t 10
t 1 10
當(dāng) t 0時， = ，利用飄帶函數(shù)性質(zhì)有 t R，可得
t2 +3t 10 10
t +3 t
t
1
( ,0)∪(0,+ )，當(dāng) t = 0時， f (t ) = 0，故函數(shù)值域為 R。
10
t +3
t
6. 答案： C
解析： 利用平方，可得 y2 = 4+ 2 x2 2x +3 ，判斷 f (x) = x2 2x + 3的值域。易得值域
為 ( , 4 ，所以 x2 2x + 3 0,2 ，即M = 8 = 2 2，m = 4 = 2，則
m 2 2
= = ，故選C。
M 2 2 2
7. 答案： 23,1
解析： 利用換元法，令 4x x2 = t (0 t 2)，此時我們不需要用 t直接表示 x，因為函數(shù)
中3x2 12x的即為 3t2，故函數(shù)可表示為 y = 3t2 +18t 23，開口向下，圖像對稱
軸為 t = 2，在 0, 2 上有最大值1，最小值 23，即函數(shù)值域為 23,1 。
26
3
8. 答案： 0,
2


1 1
解析： f (x) = x + 2 4x +1 = x + 2 x + ，將函數(shù)分子有理化，得
2 4
7
4 1 y = 。顯然分母在 ,+ 上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域為
1 4
x + 2 + x +
4
3
0, 。
2
10
9. 答案： ,
3

2x 4, x 3

1
解析： 去絕對值后把函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式，得 f (x) = 4x + 2, x 3，觀察函
3
1
2x + 4, x 3
1 10 10
數(shù)單調(diào)性可得，函數(shù)最大值為 g = ，無最小值，即值域為 , 。
3 3

3
10. 答案： C
解析： 當(dāng)0 x 3時， g ( x) = 2x x2，為開口向下，圖像對稱軸為 x =1的二次函數(shù)，此時
最大值為 g (1) =1，最小值為 g (3) = 3，即值域為 3,1 ；當(dāng) 2 x 0時，
g ( x) = x2 + 6x，為開口向上，圖像對稱軸為 x = 3的二次函數(shù)，此時最大值為
g (0) = 0，最小值為 g ( 2) = 8，即值域為 8,0 。求并集得函數(shù)的值域為 8,1 ，
故選C。
27
披荊斬棘
1. 答案： 1
解析： 由于二次函數(shù)的值域一定不會是 R，故a2 2a 3= 0，解得a = 3或 1。當(dāng)a = 1時，
f ( x) = 4x +1，滿足條件；當(dāng)a = 3時， f ( x) =1，值域為 1 ，不滿足條件，故 a的
值為 1。
2. 答案： m = 1
2
4 4(m+1)
解析： g (x) = x2 + 2(m +1) x +1的值域應(yīng)為 1,+ )，有 =1，解得m = 1。
4
3. 答案： 0,1 ∪ 4,+ )
解析： 由題意得，g (x) = mx2 + 2(m 2) x +1的值域能取到 (0,+ )。當(dāng)m = 0時，g ( x) = 4x +1，
m 0
值域為 R，滿足條件；當(dāng)m 0時，要滿足條件，有 2 ，解得0 m 1
4(m 2) 4m 0
或m 4。綜上，m的取值范圍為 0,1 ∪ 4,+ )。
4. 答案： ( , 4 5 9 ∪ 4 5 9,+ )
解析： 先判斷定義域， x2 +3x+ 4 0，解得定義域為 R。
第一步：等式兩邊同乘以 2 2x +3x+4，得到 (x + 3x + 4) y = 2x2 + 3x +1；
第二步：整理得到關(guān)于 x的一元二次方程 (2 y) x2 (3 3y) x +1 4y = 0；
第 三 步 ： 因 為 方 程 要 有 解 ， 即 0 ， 得 關(guān) 于 y 的 一 元 二 次 不 等 式
2
(3 3y) 4(2 y)(1 4y) 0 ，解得 y 4 5 9 或 y 4 5 9 ，即函數(shù)值域為
( , 4 5 9 ∪ 4 5 9,+ )。
28
5. 答案： (1,+ )
解析： 此題也可以采用反解法的思路求解值域。
2
先判斷定義域， x2 2x + 3 = (x 1) + 2，易知定義域為 R。
第一步：移項，得到 y x = x2 2x + 3 ；
y2 3
第二步：平方整理得到關(guān)于 x的方程 x2 2xy+ y2 = x2 2x+3，有 x = ；
2y 2
y2
第三步： y x = x2
3
2x + 3 0， y 0，解得 y 1，即函數(shù)值域為 (1,+ )。
2y 2
29
對應(yīng)法則 參考答案
立竿見影
1. 答案： f ( x) = x2 + 7x
解析： f ( x)為二次函數(shù)，設(shè) f (x) = ax2 + bx + c (a 0)，由題意得：
( a =1 f 0) = c = 0

，要使方程組恒成立，解得 b = 7，即2
a (x +1) +b (x +1)+ c = ax
2 +bx + c + 2x +8
c = 0
f ( x)的解析式為 f ( x) = x2 + 7x。
2. 答案： f (x) = 2x2 4x + 3
解析： 由題意得， f (0) = f (2)， 函數(shù)圖像對稱軸為 x =1，得圖像得頂點坐標(biāo)為 (1,1)。
2 2
設(shè) f (x) = a (x 1) +1(a 0)，得 f (0) = a (0 1) +1= 3，解得a = 2，則 f ( x)的解析
式為 f (x) = 2x2 4x + 3。
3. 答案： f ( x) = 3x + 2
t 2 t 2
解析： 令 3x + 2 = t (t R)，得 x = ，有 f (t ) = 9 +8 = 3t + 2 ，即 f ( x)的解析式為
3 3
f ( x) = 3x + 2。
4. 答案： f ( x) = x2 1(x 1)
2 2
解析： 令 x +1= t (t 1)，得 x = (t 1) ，有 f (t ) = (t 1) + 2(t 1) = t 2 1，即 f ( x)的解析式
為 f ( x) = x2 1(x 1)。
30
5. 答案： f ( x) = 2log2 ( x +1)
解析： 令 2x 1= t (t 1)，得 x = log2 (t +1)，有 f (t ) = 2log2 (t +1)，即 f ( x)的解析式為
f ( x) = 2log2 ( x +1)。
6. 答案： f (x) = x2 1(x 2,+ )∪( , 2 )
2
1 1 1
解析： 由完全平方公式有 x + = x
2 + + 2，令 x + = t (t 2,+ )∪( , 2 ，可得
x x2
)
x
2
f (t ) = t 2 1，即 f ( x)的解析式為 f (x) = x 1(x 2,+ )∪( , 2 )。
7. 答案： f (x) = x3 + 3x 3
3
1 3 3 1 3 1 1 1 解析： 由完全立方公式有 x = x 3x + = x 3 x ，令 x = t (t R)，3 3
x x x x x x
可得 f (t ) = t3 + 3t 3，即 f ( x)的解析式為 f (x) = x3 + 3x 3。
2
8. 答案： f (x) = x +
x
1 3
解析： 由題意得 f + 2 f (x) = ，和題給條件聯(lián)立方程，得方程組
x x
1
f (x)+ 2 f = 3x
x 1 2
，消去 f ，即可得 f ( x)的解析式為 f (x) = x + 。
1 3 x xf + 2 f (x) = x x
31
2 x +1
9. 答案： f (x) =
3
1 1
解析： 由題意得 f = 2 f (x) 1，和題給條件聯(lián)立方程，得方程組
x x
1
f (x) = 2 x f 1
x 1 2 x +1
，消去 f ，即可得 f ( x)的解析式為 f (x) = 。
1 1 x 3f = 2 f (x) 1
x x
x3 + x2 +1
10. 答案： f (x) =
2x (1 x)
x 1 x 1 1
解析： 已知 f (x)+ f = x +1，記為①式。令 t = ，則 x = ，代入①式有
x x 1 t
1 1 2 t 1 2 x
f + f (t ) = +1= ，即 f + f (x) = ，記為②式。再令
1 t 1 t 1 t 1 x 1 x
1 u 1 u 1 1 u 1 2u 1
u = ，則 x = ，代入①式有 f + f = +1= ，即
1 x u u 1 u u u
x 1 1 2x 1
f + f = ，記為③式。①+② ③得，化簡得
x 1 x x
2 x 2x 1 x3 + x2 +1 x3 + x2 +1
2 f (x) = x +1+ = ，即 f ( x)的解析式為 f (x) = 。
1 x x 2x (1 x) 2x (1 x)
披荊斬棘
1
1. 答案： f ( x) =
x +1
1
解析： 觀察到當(dāng) x ( 1,0)時， x (0,1)，此時可得 f ( x) = 。根據(jù)題目給的條件
x +1
1
f ( x) = f ( x)，當(dāng) x ( 1,0)時， f ( x)的解析式為 f ( x) = 。
x +1
32
2. 答案： f (x) = x2 + 5x 7
解析： 觀察到當(dāng) x (1, 2)時， 2 x (0,1)，此時可得
2
f (2 x) = (2 x) + (2 x)+1= x2 5x + 7 。根據(jù)題目給的條件 f (x) = f (2 x)，
當(dāng) x (1, 2)時， f ( x)的解析式為 f (x) = f (2 x) = (x2 5x + 7) = x2 + 5x 7。
3. 答案： f (x) = x2 5x + 6
解析： 觀察到當(dāng) x (4,5)時， x 2 (2,3)，此時可得
2
f (x 2) = (x 2) (x 2) = x2 5x + 6 。根據(jù)題目給的條件 f (x) = f (x + 2)，有
f (x 2) = f (x)，所以當(dāng) x (4,5)時，解析式為 f (x) = f (x 2) = x2 5x + 6 。
4. 答案： f ( x) = 2x +1
解析： 觀察到當(dāng) x (1, 2 時， 2x (2,4 ，此時可得 f (2x) = 2x +1。根據(jù)題目給的條件
f ( x) = f (2x)，可得當(dāng) x (1, 2 時， f ( x)的解析式為 f (x) = f (2x) = 2x +1。
x 1
5. 答案： 當(dāng) x ( 1,0)時，解析式為 f (x) = ；當(dāng) x (1, 2)時，解析式為 f (x) =
x +1 x
解析： 觀察到當(dāng) x ( 1,0)時， x +1 (0,1)，此時可得 f ( x +1) = x +1。根據(jù)題目給的條件
1
f (x)+1= ，可得當(dāng) x ( 1,0)時， f ( x)的解析式為
f (x +1)
1 x
f (x) = 1= 。同理，觀察到當(dāng) x (1, 2)時， x 1 (0,1)，此時可得
x +1 x +1
1 1
f ( x 1) = x 1。根據(jù)題目給的條件 f (x)+1= ，可得 f (x 1)+1= ，
f (x +1) f (x)
1 1
當(dāng) x (1, 2)時， f ( x)的解析式為 f (x) = = 。
x 1+1 x
33
單調(diào)性 參考答案
立竿見影
1. 答案： D
解析： 由圖像可得，在 ( 1,0)和 (1,+ )兩個區(qū)間上，當(dāng) x1 x2時，都有 f ( x ) f (x )，所1 2
以這兩個區(qū)間都為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。
2. 答案： 見解析
解析： ①取值：在 (0,+ )任取 x1， x2，不妨設(shè) x1 x2；
1 1 1
②做差變形： f (x1 ) f (x2 ) = x1 x2 = (x1 x2 ) 1+ ；
x1 x2 x1x2
1
③定號： x x ， x x 0， x x 0，1+ 01 2 1 2 1 2 ，即 f (x1 ) f (x2 ) 0；
x1x2
1
④判斷： x x ，1 2 f (x1 ) f (x ) 0，函數(shù) f (x) = x 在2 (0,+ )上單調(diào)遞增。
x
3. 答案： 當(dāng)a 0時，單調(diào)遞減；當(dāng)a 0時，單調(diào)遞增；當(dāng)a = 0時，函數(shù)為常數(shù)函數(shù)。
解析： 任取 x1， x ( 1,1)，不妨設(shè) x x ， 2 1 2
ax ax a (x2 x )(x x +1)
f (x ) f ( ) 1 1 2x = 1 2 = ， x x ， x1 x2 01 2 ，
x 2 1 x 2 1 (x 2 1)(x 2 1 21 2 1 2 1)
2 2
x1， x ， x 1 0， x2 ( 1,1) 1 2 1 0， x 。 1x2 +1 0
當(dāng)a 0時， f (x ) f (x ) 0，函數(shù)單調(diào)遞減； 1 2
當(dāng)a 0時， f (x ) f (x ) 0，函數(shù)單調(diào)遞增； 1 2
當(dāng)a = 0時， f (x1 ) f (x2 ) = 0，函數(shù)為常數(shù)函數(shù)。
34
4. 答案： B
解析： f (x) = x2 + 2(a 1) x + 2的圖像是開口向上，以 x =1 a為對稱軸的拋物線，由題意
得不等式1 a 4，解得a 3，故選 B。
5. 答案： ( , 0)， (0,1)
解析： 函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，根據(jù)“同增異減”，單調(diào)性相同時為遞增。先求函數(shù)定義域，
x2 2x 0，解得定義域為 ( ,0) (0,2) (2,+ )，由于反比例函數(shù)在分子為1時
在 ( , 0)， (0,+ )上單調(diào)遞減，所以需要求分母二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，與定義
域綜合易得原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( , 0)， (0,1)。
6. 答案： ( ,1
解析： 函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，根據(jù)“同增異減”，單調(diào)性相反時為遞增。先求函數(shù)定義域，
x2 5x+ 4 0，解得定義域為 ( ,1 4,+ )，由于 y = x 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
所以需要求根號內(nèi)二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，綜合定義域易得原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)
間為 ( ,1 。
7. 答案： 單調(diào)遞增區(qū)間為 1,+ )
2
解析： 將函數(shù)進行分子有理化，得 f (x) = x +1 x 1 = ，在定義
f (x) = x +1+ x 1
域 1,+ )上， y = x +1和 y = x 1均為單調(diào)遞增函數(shù)，故原函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)
遞增，所以 f (x) = x +1 x 1的單調(diào)遞增區(qū)間為 1,+ )，無單調(diào)遞減區(qū)間。
35
8. 答案： ( , 2)， ( 2,0)
x
, x 0 x + 2
f x =
解析： 去絕對值，得 ( ) x ， , x 2, 2 x 0
x + 2
2
1 , x 0 x + 2
f x =
變形得 ( ) 2 ，根據(jù)反比例函數(shù)圖像得平移可作出函數(shù) 1+ , x 2, 2 x 0
x + 2
圖像為。根據(jù)圖像得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ( , 2)， ( 2,0)。
9. 答案： 4 a 8
a
4 0 2
解析： 由題意得方程組 ，解得4 a 8。
a a 4 + 2
2
10. 答案： a 1
a 0

1
解析： 由題意得方程組 2 ，解得a 1。
2a
4a + 2 1 2a 1
36
披荊斬棘
1. 答案： 單調(diào)遞增
解析： 任取 x1， x2 R，不妨設(shè) x1 x2 ，由題意得 f (x1 ) f (x2 ) = f (x1 x2 ) 1。
x1 x2 0， f (x1 x2 ) 1，則 f (x ) f (x ) 0，即 f ( x)單調(diào)遞增。 1 2
2. 答案： f (1) 15
解析： 由條件 x1 f (x1 )+ x2 f (x2 ) x f (x )+ x f (x )，可得函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，二1 2 2 1
m
次函數(shù)開口向上時在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，有 2，解得m 8，
4
f (1) = 2 m+5 = 7 m 15。
1
3. 答案： 0, 2,6)
2
解析： 函數(shù) f ( x)是定義在 2,+ )的單調(diào)遞增函數(shù)，若 f (2a2 5a + 4) f (a2 + a + 4)，則
1
2 2a2 5a+4 a2 +a+4，解得0 a 或2 a 6。
2
4. 答案： ( 2,1)
解析： 易知 f ( x)為單調(diào)遞增函數(shù)， f (2 a2 ) f (a)等價于2 a2 a，解得 2 a 1。
5. 答案： （1） f (2) = 3（2） (2, 4
解析： （1）由題意得 f (2+ 2) = f (2)+ f (2) 1= 5，解得 f (2) = 3；
m 2 0
（2）可得關(guān)于m的方程組 ，解得2 m 4。
m 2 2
37
奇偶性 參考答案
立竿見影
1. 答案： B
1 x
2 0
解析： ①判斷定義域： ，解得 x 1,1 ，定義域關(guān)于原點對稱；
x +1 + x + 2 0
2
1 ( x)
②判斷 f ( x)和 f ( x)的關(guān)系： f ( x) = ， 1 x 1，
x +1 + x 2
1 x2
x +1 =1 x， x 2 = 2+ x ，則 f ( x) = ，
3
1 x2 1 x2
同理有 f (x) = = = f ( x)，所以 f ( x)為偶函數(shù)，故選 B。
x +1+ 2 x 3
2. 答案： A
解析： ①判斷定義域： x R，定義域關(guān)于原點對稱；
②判斷 f ( x)和 f ( x)的關(guān)系： f ( x) = x x 2 p ( x) = x x + 2 px = f (x)， 所
以 f ( x)為偶函數(shù)，與 p無關(guān)，故選 A。
3. 答案： 奇函數(shù)。
解析： ①判斷定義域：定義域為 ( ,0) (0,+ )，關(guān)于原點對稱；
②判斷 f ( x)和 f ( x)的關(guān)系：不妨設(shè) x 0，則 x 0，此時
1 2 1 1
f ( x) = ( x) 1= x2 1， f (x) = x2 +1= f ( x)，所以 f ( x)為奇函數(shù)。
2 2 2
38
4. 答案： D
解析： 根據(jù)復(fù)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，可得 f ( x) 為偶函數(shù)， g ( x) 也為偶函數(shù)，再根據(jù)組合
函數(shù)奇偶性，偶函數(shù)+偶函數(shù)仍為偶函數(shù)，偶函數(shù)+奇函數(shù)的奇偶性不能判斷，只
有 D 選項成立，故選 D。
5. 答案： 10
解析： f ( x) = ax3 + bx 2， f (x)+ 2 = ax3 + bx ，為奇函數(shù)。設(shè) g (x) = f (x)+ 2，有
g ( x) = g (x)。即 f ( x)+ 2 = f (x)+ 2 = 2 f (x)，可得 f ( x) = 4 f (x)。
f (2017) = 6， f ( 2017) = 4 6 = 10。
x (1 3 x ) , x 0
6. 答案： f (x) =
x (1+ 3 x ) , x 0
解析： 取 x ( ,0)，此時 x (0,+ )，從而有 f ( x) = ( x)(1+ 3 x ) = x (1 3 x )。根據(jù)
奇函數(shù)的定義 f (x) = f ( x)，有 f (x) = x (1 3 x ) = x (1 3 x )，又因為函數(shù)定
x (1 3 x , x 0 )
義域為 R，一定滿足 f (0) = 0，得 f ( x)解析式為 f (x) = 。
3
x (1+ x ) , x 0
7. 答案： f ( x) = 4； g (x) = x3 + 2x
解析： 由 f (x) 2g (x) = 2x3 4x 4可得 f ( x) 2g ( x) = 2x3 + 4x 4，
f (x) 2g (x) = 2x
3 4x 4
f ( x) = f (x)， g ( x) = g (x)， ，解得
f (x)+ 2g (x) = 2x
3 + 4x 4
f (x) = 4
。
g (x) = x
3 + 2x
39
1
8. 答案： 0,
2
1 x 1 1
1
解析： 由題意得方程組 1 1 3x 1，解得0 x 。
2
x 1 1 3x
5
9. 答案：
2
1
解析： 由題意得 f ( 1) = 。又有 f (5) = f (1)+ 2 f (2) = f ( 1)+ 3 f (2)，可得
2
1 1 1 5
+ 2 f (2) = + 3 f (2)，解得 f (2) =1，則 f (5) = + 2 = 。
2 2 2 2
10. 答案： A
解析： 由 f ( x)對任意不等的正實數(shù) x1， x2都滿足 f (x1 ) f (x2 ) (x2 x1 ) 0可得函數(shù)
f ( x)在 (0,+ )內(nèi)單調(diào)遞增， f (5) = 0， 當(dāng)0 x 5時， f (x) 0，當(dāng) x 5時，
f (x) 0。 f ( x)是定義在 R上的奇函數(shù)， f ( 5) = 0，且當(dāng) 5 x 0時，
f (x) 0，當(dāng) x 5時， f (x) 0。根據(jù)以上條件， xf ( x) 0即 xf (x) 0，要使
不等式成立，需 x與 f ( x)異號，解得 x ( 5,0) (0,5)，故選 A。
披荊斬棘
1. 答案： 偶函數(shù)
解析： 令 x = y = 0，可得 2 f (0) = 2 f 2 (0)，因為 f (0) 0，則 f (0) =1。任取 x R，由題
意得 f (0+ x)+ f (0 x) = 2 f (0) f (x)，即 f (x)+ f ( x) = 2 f (x)，移項可得
f ( x) = f (x)，即 f ( x)為偶函數(shù)。
40
1
2. 答案： a =
2
2a 1
解析： 因為函數(shù) f (x) = 2x + 是奇函數(shù)，所以 f ( x)+ f (x) = 0(x 0)，代入可得可得
x2
2a 1 2a 1 2a 1
2x + + 2x + = 0，即 2 = 0。要使得式子恒成立，必有2a 1= 0。
2
x2 x2( x)
1
解得 a = 。
2
3. 答案： C
2
解析： 不妨設(shè) x 0，由題意得 f ( x) = ( x) 2( x) = x2 + 2x = f (x)，所以函數(shù) f ( x)是
定義在 R上的偶函數(shù)，則不等式 f ( a)+ f (a) 2 f (1)即 2 f (a) 2 f (1)，則有
a 1，解得 1 a 1，故選 C。
4. 答案： D
解析： 因為 f ( x + 2)是偶函數(shù)，所以 f ( x)關(guān)于直線 x = 2對稱,由條件函數(shù) f ( x)在 (0, 2)上
是減函數(shù)易知 f ( x)在 (2, 4)上單調(diào)遞增，所以選項中的函數(shù)值大小比較即為自變量
與 2的差的絕對值大小比較，絕對值越大的函數(shù)值越大，故選 D。
41
5. 答案： （1） f (x) = x2 2x +1
1
（2） , 2,+ )
4
b
解析： （1）因為 f ( x +1)是偶函數(shù)，所以 f ( x)關(guān)于直線 x =1對稱，所以 =1，又
2a
a =1
f (

0) = c =1
，解得 b = 2，所以 f (x) = x
2 2x +1；
f (1) = a +b + c = 0
c =1
x
2 2x +1, x 1
（2）由題意得 h (x) = ，顯然有單調(diào)遞增。所以不等式
x2 + 2x 1, x 1
h (x + t ) h (x2 )即 x+ t x2，參變分離得 t x2 x在 x t, t + 2 上恒成立。
1
記 g ( x) = x2 x，當(dāng) t 時， g ( x) = x2 x在 x t, t + 2 上單調(diào)遞增，
2
g (x) = g (t ) t，此時 t 2；
min
3
當(dāng) t 時， g ( x) = x2 x在 x t, t + 2 上單調(diào)遞減， g ( x) = g (t + 2) t ，此時
2 min
3
t ；
2
3 1 1 3 1
當(dāng) t 時， g (x) = g t ，此時 t ；
2 2 min 2 2 4
1
綜上， t的取值范圍為 , 2,+ )。
4
42
冪函數(shù) 參考答案
立竿見影
2
1. 答案：
4
1
2
解析： 設(shè) f (x) = x
1 1 1 2
，由題意得4 = 2，解得 = ，所以 f = = 。
2 8 8 4
2. 答案： C
2 1 1
解析： 設(shè) f (x) = x ，由題意得 2
= ，解得 = ，所以 f (x) = ，定義域為
2 2 x
(0,+ )，且在定義域上為減函數(shù)，故選 C。
3. 答案： A
解析： 當(dāng) = 1時， y = x 1的定義域為 ( ,0)∪(0,+ )，不滿足題意；
當(dāng) =1時，定義域為 R，且為奇函數(shù)，滿足題意；
當(dāng) = 2時，定義域為 R，為偶函數(shù)，不滿足題意；
當(dāng) = 3時，定義域為 R，且為奇函數(shù)，滿足題意。故選 A。
4. 答案： 3

2
解析： 設(shè) f (x) = x
4
，由題意得 = 3，因為4 ( = 2 ) ，解得2 = 3，所以 f (2) = 3。
2
43
5. 答案： C
4

解析： y = x 3 為定義域是 ( ,0)∪(0,+ )的偶函數(shù)，故選 C。
6. 答案： m = 1
解析： 由題意得m2 2m 2 =1，且m 0，解得m = 1。
7. 答案： 0
解析： 由函數(shù)為減函數(shù)得3m 6 0，解得m 2。又有偶函數(shù)的性質(zhì)有3m 6為偶數(shù)。所
以整數(shù)m的最大值為0。
8. 答案： (3,5)
1
1 1
解析： 設(shè) f (x) = x ，由題意得 4 = ，解得 = 0，所以 f (x) = x 2 的定義域為
2 2
a +1 0
(0,+ )且在定義域上單調(diào)遞減。由題意得

10 2a 0 ，解得3 a 5。

a +1 10 2a
9. 答案： m =1
解析： 由題意得，m2 3m+3=1且m+1為偶數(shù)，即得m =1。
10. 答案： A
解析： 由題意得 p2 2 p 3 0，解得 1 p 3， p N ， p =1或 2。當(dāng) p =1時，
y = x 4 為偶函數(shù)滿足條件；當(dāng) p = 2時， y = x 3為奇函數(shù)不滿足條件。不等式等價
1 1
為 (a2 2 1)3 (3a + 3)3 ，有a 1 3a+3，解得 1 a 4。故選 A。
44
披荊斬棘
3 3 3

1. 答案： 0.75 0.7 5 1.75
3
3
10 5 3 3 3
解析： 觀察發(fā)現(xiàn)0.7 5 = ，這樣三數(shù)的冪均為 ，因為 0，所以函數(shù) y = x5 在
7 5 5
3 3 3
10
(0,+ )上單調(diào)遞增，有1.7 0.7，得0.75 0.7 5 1.75 。
7
2 3 3
2. 答案： 1.13 1.14 1.44
3 3
3 3 3
解析： 觀察發(fā)現(xiàn)1.14 和1.44 的冪均為 ，因為 0，所以函數(shù) y = x 4 在 (0,+ )上單調(diào)遞
4 4
3 3 3 2
3 2
增，有1.44 1.14 。又因為1.1 1， 0，所以1.14 1.13 ，得
4 3
2 3 3
1.13 1.14 1.44 。
3. 答案： a c b
解析： 由題意得m 1=1，解得m = 2，將點 (2,8)代入函數(shù)中，解得n = 3。因為3 1，
2 3
ln ，所以a c b。
2 3
4. 答案： c b a
1 1 1
解析： 觀察發(fā)現(xiàn)b 和 c的冪均為 ，因為 0，所以函數(shù) y = x 4 在 (0,+ )上單調(diào)遞
4 4
3 1 1
減，有c b。又因為0 1， ，所以b a，得c b a。
4 4 3
45
5. 答案： c b a
1 1
2 3 2 2
解析： 由題意得m2 m 5 =1且m 0，解得m = 2。則有a = ，b = ， 2 2


2 4
1 2 2 1 1
c = = 。又因為0 1，4 0，所以c b a。
2 2 2 2 3
46
指數(shù)函數(shù) 參考答案
立竿見影
13
1. 答案： +
2
1 4 3 5 13 解析： 原式= 1+ 16 + 3 = 1+8+ 3 = + 。
3 0.0064 2 2
2. 答案： 4 2
解析： x2 x 2 = (x1 x 1 )(x1 + x 1 ) = 4(x1 x 1 )， ， x1 x 10 x 1 0，
2 2
(x1 x 1 ) = (x1 x 1 ) = (x1 + x 1
1
) 4 x = 2 3， x2 x 2 = 8 3，
x
2
1 1 1 1 2 2
1 x x 8 3x2 + x 2 = x2 + x 2 = x + x + 2 = 6 ，得 = = 4 2 。 1 1
6x2 + x 2
3. 答案： x = 1
2
解析： 令 x ( )，得 4x+1 = 4 4x = 4 (2x ) = 4t 2
1
2 = t t 0 ，有4t2 +7t 2 = 0，解得 t = 或 t = 2
2
1
（舍去）， 2x = ，即 x = 1。
2
4. 答案： C
解析： 由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng) x = 2時， f (2) = a2 2 +1= 2，即定點M (m,n)為
M (2, 2)，得 g ( x) = 2 2x ，函數(shù)經(jīng)過第一象限、第二象限以及第四象限，故選 C。
47
5. 答案： ( ,1)
t
1
解析： 由函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”， f (t ) = 為單調(diào)遞減函數(shù)，要求題給函數(shù)的單調(diào)
2
遞增區(qū)間，需要求 g (x) = x2 2x + 6的單調(diào)遞減區(qū)間，得此時遞減區(qū)間為 ( ,1)即
原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ,1)。
6. 答案： D
解析： 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，在區(qū)間 1, 2 上的最大值與最小值在區(qū)間端點取到，即
a a2 1
= 3或 = 3，解得 a = 或3，故選 D。
a2 a 3
7. 答案： B
x 2
1
解析：
x 2
2
= (2) = 2
4 2x，又 f ( x) = 2x 在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，可得
4
x2
1
+1 4 2x，解得 x 3 x 1。當(dāng) 3 x 1時， 2 1，故選 B。
8
8. 答案： ( 1,3
2
解析： 設(shè)函數(shù) x 2xg ( x) = x2 2x，已知 f ( x) = 2 在區(qū)間 1, t 上的最大值為8，則
g ( x) = x2 2x在區(qū)間 1, t 上的最大值為3。因為 g ( x) = x2 2x開口向上，有
g ( 1) = g (3) = 3，所以實數(shù) t的取值范圍為 ( 1,3 。
48
9. 答案： C
解析： 求解函數(shù)定義域需滿足2x +1 0，解得 x R，排除 A；由于
2 x 1 1 2x
f ( x) = = = f (x)，函數(shù)為奇函數(shù)，圖像不關(guān)于 y 軸對稱，排除 B；
2 x +1 1+ 2x
2x 1 2
由于 f (x) = =1 ，函數(shù)單調(diào)遞增，排除 D；已知2x 0，所以
2x +1 2x +1
2
f (x) =1 1,1 ，C 正確，故選 C。
2x
( )
+1
3
10. 答案： （1）a = 2，b = 4；（2）m
4
f (1) = 8 b a = 8
解析： （1）由圖像經(jīng)過點 A(1,8)，B (3,32)可得方程組 ，即 ，解得
f (3) = 32 b a
3
= 32
a = 2
；
b = 4
x x x x
1 1 1 1
（2）不等式 + m 0在 x ( ,1 時恒成立，得

+ m在
2 4 2 4
x x
1 1
x ( ,1 時恒成立，即求 g (x) = + 在 x ( ,1 上的最小值。令
2 4
x
1 1 1
= t，在 x ( ,1 上得 t ，即求 g (t ) = t + t
2 在 t ,+ 上的最小值。可得
2 2 2
1 1 3 3
當(dāng) t = 時，取到最小值 g = ，所以實數(shù)m的取值范圍為m 。
2 2 4 4
49
披荊斬棘
1. 答案： D
1.1
1
解析： 0 0.9 0a = ，b = ，c = 3 ,則 b =1，c 3 =1，且 ，a = 3
1.1
c 3 3，
3
即有 a c b，即 b c a。故選 D。
2. 答案： D
1.5
解析： y = 40.9 = 22 0.9 = 21.8， y = 80.48 = 23 0.48
1
1 2 = 2
1.44， y = = 21.53 ，
2
因為函數(shù) y = 2x 在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以 y 。故選 D。 1 y3 y2
3. 答案： C
x
3 1 1 解析： 函數(shù) y = 在定義域上單調(diào)遞減，因為 ，所以a b。
5 3 4
1 3
3 3 27
函數(shù) y = x 4 在 (0,+ )單調(diào)遞減，又因為

1 = ，所以 b c。
5 2 8
故選 C。
4. 答案： B
x
3 3
解析： 由函數(shù) y = 為減函數(shù)，可知b c，由函數(shù) y = x 7 為增函數(shù)，可知a c。即
7
b c a。故選 B。
5. 答案： B
0.3 0.2
1 1
解析： b = c = 1，a = 0.3
2 1， a c b，故選 B。
2 2
50
對數(shù)函數(shù) 參考答案
立竿見影
13
1. 答案： +
2
2 0
解析： 原式= 4 + ( ) 2 13 162 1 + (lg5) + lg 2 (lg5+1) = + lg5 (lg5+ lg 2)+ lg 2 = 。
3 3 3
2. 答案： A
lg5 1 lg 2 1 a
解析： 由換底公式可得 lg12 5 = = = ，故選 A。
lg12 lg 2+ lg 2+ lg3 2a +b
3. 答案： ( 2, 2)
2x +3
解析： 令 =1，解得 x = 2，此時有 f ( 2) = log 1+ 2 = 2，所以圖像過定點 ( 2, 2)。 a
x +1
1
4. 答案： ,1
2


2x 1 0
1 1
解析： 由題可得， log (2x 1) 0，解得 x 1，即定義域為 ,12 2
。
1
3
51
5. 答案： D
解析： 由函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”， f (t ) = log1 t為單調(diào)遞減函數(shù)，要求題給函數(shù)的單
2
調(diào)遞增區(qū)間，需要求 2g ( x) = x2 2x的單調(diào)遞減區(qū)間，且 x 2x 0。得此時遞增區(qū)
間為 ( , 0)，即原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( , 0)，故選 D。
6. 答案： D
1 3 3 3
解析： 令 x =1，解得 x = ，此時有 f = loga 1+ 2 = 2，所以圖像過定點 , 2 。
2 2 2 2
由函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”， f (t ) = log 3 t為單調(diào)遞增函數(shù)，要求題給函數(shù)的單
2
調(diào)遞增區(qū)間，需要求 g (x) = x2 4x 5的單調(diào)遞增區(qū)間，且 x2 4x 5 0。
得此時遞增區(qū)間為 (5,+ )，即原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (5,+ )，故選 D。
7. 答案： 0 a 1
解析： 由對數(shù)函數(shù)的值域為 R可得，在函數(shù) f (x) = lg (ax2 2x + a)中， g (x) = ax2 2x + a
的值域需包含區(qū)間 (0,+ )。
當(dāng)a = 0時，顯然成立；
當(dāng)a 0時，二次函數(shù)需開口向上且滿足判別式 0，綜上解得0 a 1。
8. 答案： 4,+ )
4
解析： 令n = x + t ，于是有函數(shù) y = ln n，n 4 t。由題意得，n需滿足能取遍所有正
x
數(shù)，即有4 t 0，解得 t 4。
52
1
9. 答案： ,1
2
1
ax 1 0 a 1 1 1
解析： 由題意得 ，有 x ，又因為 x 2，所以0 ，故a 。
x 1 0 x 2 2
x 1
ax 1 a 1
又 f (x) = lg = lg a + 在 2,+ )上是增函數(shù)，
x 1 x 1
a 1 1
需滿足 在上單調(diào)遞增，則a 1 0，即a 1。綜上， a 1。
x 1 2
53
9
10. 答案： （1）a = 1；（2）見解析；（3）m
8
1+ ax 1 ax 1 a2x2
解析： （1）由題意得 f ( x)+ f (x) = log1 + log1 = log1 = 0，解得
x 1 x 1 x2 +1
2 2 2
2 1 xa =1。而當(dāng)a =1時， f (x) = log1 = log1 ( 1)，舍去，故a = 1；
x 1
2 2
（2）證明：任取 x1， x (1,+ )，且 x1 x2。 2
1+ x 1+ x (1+ x1 )(x2 1) 有 f (x1 ) f (x2 ) = log
1 log 21 1 = log1 ，
x1 1 x2 1 x2 2 2 ( 1 1)(1+ x2 )
(1+ x1 )(x2 1) x x + x x 1
= 1 2 2 1 ， x1 x2，
(x1 1)(1+ x2 ) x1x2 + x1 x2 1
x1x2 + x2 x 1 (1+ x1 )(x2 11 ) 1， log1 0，即 f (x1 ) f (x2 ) 0，得證；
x1x2 + x1 x2 1 (x1 1)(1+ x2 2 )
x x
1+ x 1 1+ x 1
（3）不等式 log +m在 x 3, 4 時恒成立，得1 log 在1 m
x 1 2 x 12 2 2
x
1+ x 1
x 3, 4 時恒成立，即求 g (x) = log 在 x 3, 4 上的最小值。由（2）可1
x 1 22
x
1+ x 1得 log1 在 x 3, 4 上為增函數(shù)， 在 x 3, 4 上也為增函數(shù)，所以
x 1 2
2
x
1+ x 1
g (x) = log 在 x 3, 4 上為增函數(shù)，最小值為1
x 1 2
2
3
1+3 1 9 9
g (3) = log1 = ，所以實數(shù)m的取值范圍為m 。
3 1 2 8 8
2
54
披荊斬棘
1. 答案： B
解析： 因為 log5 4 log4， log 3 log 3，故b a c。 5 4
2. 答案： B
解析： 實數(shù) a，b 滿足a b 1，m = log (log b)， n = (log b)2a ， l = log b
2
a ， a a
0 = loga1 logab logaa =1，
m = log (log b) log 1= 0， a a a
0 n = (log 2ab) 1， l = logab
2 = 2logab n = (logab)
2。
m， n， l的大小關(guān)系為 l n m。故選：B。
a b
3. 答案： loga logb logba logab．
b a
解析： a2 b a 1，
b a
logab 1，0 log a 1，0 logb =1 logba 1， loga =1 logab 0。 b
a b
b b b b
再比較 log a和 logb ， logb logba = logb logb1= 0，故 logb logb 2 ba， a a a a
a b
loga logb logba logab。
b a
4. 答案： a b
ln 3 ln 2 a ln 3 2 2ln3 ln 9
解析： a = 0，b = 0。 = = = = log89 1。
3 2 b 3 ln 2 3ln2 ln8
55
5. 答案： a c b
解析： 實質(zhì)是比較指數(shù)部分得大小，指數(shù)部分分別是三個對數(shù)值，將底數(shù)化為相同之后易
得a c b。
56

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