資源簡介

工程問題
學生姓名 授課日期
教師姓名 授課時長
知識定位
工程問題是小學數學應用題教學中的重點，是分數應用題的引申與補
充，是培養學生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看
成單位“1”的應用題，它具有抽象性，學生認知起來比較困難。在教學中，
讓學生建立正確概念是工程應用題的關鍵。本節課從始至終都以工程問題
的概念來貫穿，目的在于使學生理解并熟練掌握概念。
知識梳理
1.工程問題在主要概念
定義 ： 工程問題是指用分數來解答有關工作總量、工作時間和工作效率之間的相
互關系的問題。在工程問題中，一般要出現三個量：工作總量、工作時間（完成工
作總量所需的時間）和工作效率（單位時間內完成的工作量）。工程問題是小升初
的常見考題，題型復雜多變，但是核心不變，
即：工作總量=工作效率×工作時間，
工作效率=工作總量÷工作時間，
工作時間=工作總量÷工作效率；
在分數應用題中，經常將工作總量抽象成單位“1”；例如：一項工程，甲 5 天
完成，則甲每天完成全部的幾分之幾？分析：這道題中，我們將一項工程抽象
1
成單位“1”，5 為工作時間，所以每天完成整個工程的 1÷5= ，即為所求，同
5
1 1
時 也是甲完成這項工作的速度，所以 就是這道題中甲的工作效率。
5 5
在解決工程問題時，對于題中已知條件給出的每一個數字或字母表示的具
體含義必須在讀完題后，清晰明了，然后通過所求與已知的邏輯關系，再進一
步求解。常用方法：列表法，條件轉換法，整體法；每一種方法的使用要在具
體題目中用心體會。
2.解決工程問題的基本思路
(1) 工作量看作“1”，用完成工作總量所需的時間的倒數作為工作效率，用工作
總量除以工作效 率和，就可以求出完成這項工程所需的時間。工程問題一般采
用這種方法求解。
(2) 先求出獨做的隊或個人的工作效率 ，然后用工作總量“1”除以一個隊或個
人的工作效率，就可以求出一個隊或個人獨做的工作時間。
(3) 求剩余部分的工作量完成的時間。關鍵是正確求出剩余部分的工作量。從工
作總量“1”中 減去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。
3.劃分工程問題的基本題型
(1) 水管問題：從數學的內容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水
或排水相當于一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排
水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.
因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.
(2) 工資問題
從數學本質解法來看，工資問題與工程問題是一樣的，抓住每個人發放的工資
與發放總工資之間的關系就能找到相應量與率的關系進而轉換成工程問題來解
決了。
(3) 牛吃草問題
從數學本質解法來看，牛吃草問題與工程問題是一樣的，抓住牛頭數與牛吃草
的總數及吃的天數之間的關系就能找到相應量與率的關系進而轉換成工程問題
來解決了。
(4) 周期問題問題
從數學本質解法來看，同上。
4.重點難點解析
（1）. 明確題目中的工作總量、工作效率、和工作時間具體指向
（2）. 根據題目中的實際情況能夠正確進行單位“1”的轉換。
5.競賽考點挖掘
（1）. 工程問題的基本數量關系是：工作總量=工作效率×工作時間。解題時，
要抓住這一關系，靈活地運用這一數量關系提高解題能力。
（2）. 抓住完成工作的幾個過程或幾種變化，工程問題中常出現單獨做，幾人
合作或輪流做，分析時一定要對應工作每一階段的工作量、工作時間來確定單
獨做或合作的工作效率。
6.要想解決好工程問題，一定要求學生充分理解掌握多個單位“1”轉換為統一
單位“1”的方法，這是用算術方法解決分數應用題的基本思路也是重點難點，
教師應該在授課過程中有耐心的將轉換過程一一展示給學生。
例題精講
【試題來源】
【題目】
一件工作，甲、乙兩人合作 30 天可以完成，共同做了 6天后，甲離開了，由乙繼續做了 40
天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？
【答案】75，,50
【解析】
共做了 6 天后，原來，甲做 24 天，乙做 24 天， 現在，甲做 0 天，乙做 40=（24+16）天.
這說明原來甲 24 天做的工作，可由乙做 16 天來代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的
2
16/24=2/3。 如果乙獨做，所需時間是50 75天
3
2
如果甲獨做，所需時間是30 30 50天
3
答：甲或乙獨做所需時間分別是 75 天和 50 天.
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數:1
【試題來源】
【題目】
甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時司以完成任務．如果甲單獨加工，便需要 12小時完
2
成．現在甲、乙兩人共同生產了 2 小時后，甲被調出做其他工作，由乙繼續生產了
5
420 個零件才完成任務．問乙一共加工零件多少個
【答案】480
【解析】
1 1 1
乙單獨加工，每小時加工
8 12 24
2 1 1 84
甲調出后，剩下工作乙需做 (1 2 )
5 8 24 5
84 2 2
所以乙每小時加工零件 420 25 (個)，則 2 小時加工 25 2 60 (個)，
5 5 5
所以乙一共加工零件 420+60＝480(個)．
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】1
【試題來源】
【題目】
某工程先由甲獨做 63 天，再由乙單獨做 28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需 48 天
完成.現在甲先單獨做 42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？
【答案】56
【解析】
先對比如下：甲做 63 天，乙做 28天；甲做 48 天，乙做 48 天.就知道甲少做 63-48=15（天），
乙要多做 48-28=20（天），由此得出甲的工作效率的 20/15=2/3(倍)甲先單獨做 42 天，比
4
63 天少做了 63-42=21（天），相當于乙要做21 28天
3
因此，乙還要做 28+28= 56 （天）
答：乙還需要做 56天.
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】1
【試題來源】
【題目】
一件工程，甲隊單獨做 10天完成，乙隊單獨做 30 天完成.現在兩隊合作，其間甲隊休息了
2天，乙隊休息了 8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？
【答案】11
【解析】
1 8 1 2 13甲隊單獨做 8 天，乙隊單獨做 2 天，共完成工作量 余下的工作量是兩
10 30 16
13 1 1
隊共同合作的，需要的天數是 (1 ) ( ) 12+8+ 1= 11（天）.答：從開始到完
15 10 30
工共用了 11天.
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】2
【試題來源】
【題目】
一項工作甲先做6小時，乙接著做 12 小時可以完成。甲先做8小時，乙接著做 6小時也可
以完成，如果甲做 3小時后，乙接著做，還需幾小時完成？
【答案】21
【解析】
同一件工作，甲先做 6 小時，乙接著做 12 小時，或者甲先做 8 小時，乙接著做 6 小時都可
完成，比較發現甲多做 2 個小時，乙少做了 6 小時，所以甲 2 小時的工作量 乙 6 小時的
工作量。即甲 1 小時的工作量 乙 3 小時的工作量。
若甲單獨做需要6 12 3 10（小時）
若乙單獨做需要6 3 12 30（小時）
所以甲先做 3 小時后，乙接著做: (10 3) 3 21（小時）
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】
一件工作，甲、乙兩人合作 36 天完成，乙、丙兩人合作 45 天完成，甲、丙兩人合作要 60
天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？
【答案】90
【解析】
1 1
設這件工作的工作量是 1。甲乙兩人合作每天完成 ，甲丙兩人合作每天完成 ，乙丙
36 60
1 1 1 1 6
兩人合作每天完成 ，甲、乙、丙三人合作每天完成 ( ) 2 減去乙、
45 36 45 60 180
6 1 1 1
丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成 ，甲獨做需要1 90天 答：
180 45 90 90
甲一人獨做需要 90天完成.
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】2
【試題來源】
【題目】
某工程如果由第一、二、三小隊合干需要 12天才能完成；如果由第一、三、五小隊合干需
要 7天完成；如果由第二、四、五小隊合干需要 8天才能完成；如果由第一、三、四小隊
合干需要 42天才能完成。那么五個小隊一起合作需多少天才能完成這項工程？
【答案】6
【解析】
這道題采用列表法，題中所給的數字都是工作時間，所以先轉換成工作效率。
第一小隊 第二小隊 第三小隊 第四小隊 第五小隊 工作效率和
√ √ √ 1 1 12
12
√ √ √ 1 7 1
7
√ √ √ 1 8 1
8
√ √ √ 1 42 1
42
根據觀察，第一小隊與第三小隊出現三次，第二、四、五小隊只出現兩次，我們應將五個
小隊構造成出現次數一樣多的情況，然后求出五個小隊的效率和，然后對應求出工作時間。
因為第二、四、五小隊少出現一次，而且在已知條件中，我們還能求出這三個隊的工效和，
所以可以讓五個小隊都出現三次。
1 1 1 1 1 1
五個小隊的效率和： 3
12 7 8 42 8 6
1
所以五個小隊完成這項工程需：1 6（天）
6
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】
有一條公路，甲隊獨修需10 天，乙隊獨修需 12 天，丙隊獨修需 15 天．現在讓 3個隊合修，
但中途甲隊撤出去到另外工地，結果用了 6天才把這條公路修完．當甲隊撤出后，乙、丙
兩隊又共同合修了多少天才完成
【答案】5
【解析】
1 1 1 1 1 1
甲、乙、丙三個隊合修的工作效率為 6 天完成的工程量為 6 1 ，而實
10 12 15 4 4 2
1 1 1 1
際 6 天完成了的工程量為 1，即 甲隊少做了 ，甲隊完成 ，需 5 (天)，所以 甲隊
2 2 2 10
只修了 1 天，即 當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又合修了 6-1=5 天．
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】
一件工作，甲獨做要 12 天，乙獨做要 18 天，丙獨做要 24 天.這件工作由甲先做了若干天，
然后由乙接著做，乙做的天數是甲做的天數的 3倍，再由丙接著做，丙做的天數是乙做的
天數的 2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？
【答案】20
【解析】
1
解法一：甲做 1 天，乙就做 3 天，丙就做 3×2=6（天），甲做 1 天，完成工作量的 ，乙
12
1 1 1 1 1 1
就完成工作量的 3，丙就完成工作量的 6。共完成 3 6 。
18 24 12 18 24 2
1 1 2天說明甲做了 2 天，乙做了 6 天，丙做了 12 天，三人共做了 20 天說明甲做了 2
2
天，乙做了 2×3=6（天），丙做 2×6=12(天），三人一共做了 2+6+12=20（天）.答：完成這
項工作用了 20天.
解法二：本題整數化會帶來計算上的方便.12，18，24 這三數有一個易求出的最小公倍數
72.可設全部工作量為 72.甲每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成 3.總共用了
72 1 3 6 20天。
6 1 4 3 3 6
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】
一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13 天完成.如果丙休息 2天，乙就要多做 4天，或者由
甲、乙兩人合作 1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？
【答案】26
【解析】
丙 2 天的工作量，相當乙 4 天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 4÷2=2（倍），甲、
乙合作 1 天，與乙做 4 天一樣.也就是甲做 1 天，相當于乙做 3 天，甲的工作效率是乙的工
13 26
作效率的 3 倍.乙做 13 天，甲只要 天，丙做 13 天，乙要 26 天，而甲只要 天他們共
3 3
13 13 26同做 13 天的工作量，由甲單獨完成，甲需要 26天
3 3
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】
搬運一個倉庫的貨物，甲需要 10 小時，乙需要 12 小時，丙需要 15 小時.有同樣的倉庫 A
和 B，甲在 A倉庫、乙在 B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助
乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？
【答案】3，5
【解析】
設搬運一個倉庫的貨物的工作量是 1.現在相當于三人共同完成工作量 2，所需時間是
2 ( 1 1 1 ) 8 8 1 8小時。甲 8 小時能完成 ，尚需要丙幫助搬運 (1 ) 3小時，
10 12 15 10 10 15
8 8 1
乙 8 小時能完成 ，尚需要丙幫助搬運（1 ） 5小時。
12 12 15
解本題的關鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.本題計算當然也可以整數化，設搬
運一個倉庫全部工作量為 60.甲每小時搬運 6，乙每小時搬運 5，丙每小時搬運 4.三人共
同搬完，需要 60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小時）.甲需丙幫助搬運（60- 6× 8）÷ 4= 3
（小時）。乙需丙幫助搬運（60- 5× 8）÷4= 5（小時）
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】
1 1
一項工程，甲 15 天做了 后，乙加入進來，甲、乙一起又做了 ，這時丙也加入進甲、
4 4
乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比為3：5，整個過程中，乙、丙工作的天數之
比為2：1，問題中情形下做完整個工程需多少天
【答案】27
【解析】
方法一：
1
先把整個工程分為三個階段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率為 .有乙、丙工作的天
60
數之比為(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ階段和Ⅲ階段所需的時間相等．即甲、乙合作完成
1 1 1 1
的 的工程與甲、乙、丙合作完成1 的工程所需的時間相等．所以對于工作效
4 4 4 2
1
率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙= .又有乙、丙的工作效率的比
60
3 5
為 3：5．易知乙的工作效率為 ,丙的工作效率為南 .那么這種情形下完成整個工程
120 120
1 1 3 1 1 8
所需的時間為：15 ( ) ( ) 15 6 6 27天.
4 60 120 2 60 120
方法二：
1
顯然甲的工作效率為 ，設乙的工作效率為3x，那么丙的工作效率為5x ．所以有乙工作
60
1
的 天 數 為 ( 1 3x) 1 ( 1 8x), 1 1 丙 工 作 的 天 數 為 ( 8x). 且 有
4 60 2 60 2 60
1 ( 1 3x) 1 ( 1 1 1 8x) 2 ( 8x). 1 ( 1 3x) 1 ( 1即 8x), 解得
4 60 2 60 2 60 4 60 2 60
x 1 . 3 5 所以乙的工作效率為 ,丙的工作效率為高 .那么這種情形下完成整個工程
120 120 120
15 1 ( 1 3 1所需的時間為： ) ( 1 8 ) 15 6 6 27天.
4 60 120 2 60 120
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】
抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當甲、
乙每天工作效率和的 1 ．如果 3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨抄需要多少天
5
才能完成？
【答案】24
【解析】
1
已知甲、乙、丙合抄一天完成書稿的 ，又已知甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量
8
1 1
之和，因此甲兩天抄寫書稿的 ，即甲每天抄寫書稿的 ；由于丙抄寫 5 天相當于甲乙合
8 16
1 1
抄一天，從而丙 6 天抄寫書稿的 ，即丙每天抄寫書稿的 ；于是可知乙每天抄寫書稿的
8 48
1 1 1 1 1
- - ＝ .所以乙一人單獨抄寫需要 1÷ =24 天才能完成．
8 16 48 24 24
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】
一件工程，甲、乙兩人合作 8天可以完成，乙、丙兩人合作 6天可以完成，丙、丁兩人合
作 12天可以完成．那么甲、丁兩人合作多少天可以完成
【答案】24
【解析】
1 1 1
甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 、 、 .對于工作效率有(甲，乙)+(丙，
8 6 12
1 1 1 1 1
丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．即 + － = ，所以甲、丁合作的工作效率為 ．所以，
8 12 6 24 24
甲、丁兩人合作 24天可以完成這件工程．
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】
一項工作，甲、乙兩人合做 8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做 18 天完
成．那么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天
【答案】48
【解析】
方法一：
1 1 1 13
對于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2 乙，即 + － = 為兩倍乙的工
8 9 18 72
21
作效率，所以乙的工作效率為 ．而對于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作
144
1 13 1 1
效率為 － ＝ 那么丙一個人來做，完成這項工作需 1÷ =48 天．
9 144 48 48
方法二：
1 1 1 21 21
2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝ ＋ ＋ ＝ ，所以(甲，乙，丙)=
8 9 18 72 72
21 21 21
÷2＝ ，即甲、乙、丙 3 人合作的工作效率為 ．那么丙單獨工作的工作效率為
144 144 144
1 1
－ ＝ ，那么丙一個人來做，完成這項工作需 48天．
8 48
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】
一項工程，甲獨做需 10 天，乙獨做需 15 天．如果兩人合做，甲的工作效率就要降低，只
4 9
能完成原來的 ，乙只能完成原來的 ．現在要 8天完成這項工程，兩人合做天數盡可能
5 10
少，那么兩人要合做多少天
【答案】5
【解析】
因為甲比乙的工作效率高，又要求合做的天數盡可能的少，所以除了兩人合作之外，其余
1
工程應由甲單獨完成．現設兩人合作 x天，則甲單獨做 8- x天，于是得到方程( ×80％
10
1 1
+ ×90％) × x+ ×(8- x)=l，解出 x=5.所以，在滿足條件下，兩人至少要合作 5 天．
15 10
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】4
【試題來源】
【題目】
甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成．在晴天，一隊完成甲工程需要 12天.二隊完成乙工
程需要 15 天；在雨天，一隊的工作效率要下降40％，二隊的工作效率要下降 10％．結果
兩隊同時完成這兩項工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天
【答案】10
【解析】
1 1 1 1 1
晴天時，一隊、二隊的工作效率分別為 和 ，一隊比二隊的工作效率高 - = ；
12 15 12 15 60
1 1 1 3
雨天時，一隊、二隊的工作效率分別為 ×(1-40%)= 和 ×(1-10%)= ,這時二隊的
12 20 15 50
3 1 1 1 1
工作效率比一隊高 - = .由 : =5:3 知，要兩個隊同時完工，必須是 3 個晴
50 20 100 60 100
1 1 1
天，5 個雨天，而此時完成了工程的 ×3+ ×5= ，所以，整個施工期間共有 6 個晴
12 20 2
天,10 個雨天.
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】4
【試題來源】
【題目】
甲、乙、丙 3隊要完成 A，B兩項工程．B工程的工作量比A工程的工作量多丟．甲、乙、
丙 3隊單獨完成 A工程所需時間分別是 20 天、24天、30 天.為了同時完成這兩項工程，先
派甲隊做 A工程，乙、丙兩隊共同做 B工程；經過幾天后，又調丙隊與甲隊共同完成A工
程．那么，丙隊與乙隊合作了多少天
【答案】15
【解析】
5
設 A 項工程的工程總量為“1”，那么 B 工程的工程總量為 ，A、B 兩項工程的工程總量為
4
5 9 1 1 1 1
1+ = ．而甲、乙、丙合作時的工作效率為 + + = ，甲、乙、丙始終在同時工
4 4 20 24 30 8
9 1 1 3
作，所以兩項工程同時完成時所需的時間為 ÷ =18(天)．在這 18天，乙完成 18× =
4 8 24 4
5 3 1 1
的工程量，則 B 工程中剩下的 - = 的工程量是由丙幫助完成，所以需丙 ÷
4 4 2 2
1
=15(天)．即丙隊與乙隊合作了 15天．
30
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】4
【試題來源】
【題目】
一項挖土萬工程，如果甲隊單獨做，16 天可以完成，乙隊單獨做要20 天能完成．現在兩隊
同時施工，工作效率提高20％．當工程完成 1 時，突然遇到了地下水，影響了施工進度，
4
使得每天少挖了 47.25 方土，結果共用了 10天完成工程．問整工程要挖多少方土
【答案】1100
【解析】
1 1 27 1 1 27 50
甲、乙合作時工作效率為( + )×(1+20%)= ．則 的工程量需 ÷ = (天)，
16 20 200 4 4 200 27
50 220
則遇到地下水后，甲、乙兩隊又工作了 10- = (天)．則此時甲、乙合作的工作效率
27 27
3 220 81 27 81 189
為 ÷ = ．遇到地下水前后工作效率的差為: - = ，則總工作量為
4 27 880 200 880 4400
189
47.25÷ =1100 方土.
4400
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】4
【試題來源】
【題目】
甲、乙、丙 3名搬運工同時分別在 3個條件和工作量完全相同的倉庫工作，搬完貨物甲用
10 小時，乙用12 小時，丙用 15小時．第二天3人又到兩個較大的倉庫搬運貨物，這兩個
倉庫的工作量也相同．甲在 A倉庫，乙在B倉庫，丙先幫甲后幫乙，結果干了 16小時后同
時搬運完畢．問丙在 A倉庫做了多長時間
【答案】6
【解析】
1 1 1 1
設第一天的每個倉庫的工作量為“1”，那么甲、乙、丙的合作工作效率為 =
10 12 15 4
1
第二天，甲、乙、丙始終在同時工作，所以第二天兩個倉庫的工作總量為 ×16=4，即第
4
1 8
二天的每個倉庫的工作總量為 4÷2=2．于是甲工作了 16 小時只完成了 16× = 的工程
10 5
8 2 2 1
量，剩下的 2- = 的工程量由丙幫助完成，則丙需工作 ÷ =6(小時).丙在 A 倉庫做
5 5 5 15
了 6 小時．
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】4
【試題來源】
【題目】
甲、乙兩個工程隊修路，最終按工作量分配 8400 元工資．按兩隊原計劃的工作效率，乙隊
應獲5040 元．實際從第 5天開始，甲隊的工作效率提高了 1倍，這樣甲隊最終可比原計劃
多獲得 960 元．那么兩隊原計劃完成修路任務要多少天
【答案】12
【解析】
開始時甲隊拿到 8400—5040=3360 元，甲乙的工資比等于甲乙的工效比，即為 3360：
5040＝2：3；甲提高工效后，甲乙的工資及工效比為(3360+960)：(5040—960)=18：
17；設甲開始的工效為“2”，那么乙的工效為“3”，設甲在提高工效后還需 x天完成
40
任務．有(2×4+4 x)：(3×4+3 x )=18：17，化簡為 216+54 x =136+68 x，解得 x .
7
40
于是共有工程量為 4 5 7 60,所以原計劃 60÷(2+3)＝12天完成．
7
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】4
【試題來源】
【題目】
一個蓄水池，每分鐘流入 4立方米水.如果打開 5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如
果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現在打開 13個水龍頭，問要多少時間才能把
水放空？
【答案】54
【解析】
先計算 1 個水龍頭每分鐘放出水量.2 小時半比 1 小時半多 60 分鐘，多流入水 4 × 60= 240
（立方米）.時間都用分鐘作單位，1 個水龍頭每分鐘放水量是 240 ÷（ 5× 150- 8 × 90）
= 8（立方米），8 個水龍頭 1 個半小時放出的水量是 8 × 8 × 90，其中 90分鐘內流入水
量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打開 13
個水龍頭每分鐘可以放出水 8×13，除去每分鐘流入 4，其余將放出原存的水，放空原存的
5400，需要 5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）.
所以打開 13個龍頭，放空水池要 54 分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，
就需要分開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】4
【試題來源】
【題目】
規定兩人輪流做一個工程，要求第一個人先做 1個小時,第二個人接著做一個小時，然后再
由第一個人做 1個小時，然后又由第二個人做 1個小時，如此反復，做完為止．如果甲、
乙輪流做一個工程需要 9．8 小時，而乙、甲輪流做同樣的程只需要 9．6 小時，那乙單獨
做這個工程需要多少小時
【答案】7.3
【解析】
即甲工作 2 小時，相當與乙 1 小時．所
以 ， 乙 單 獨 工 作 需
9.8 5 5 2 7.3小時．
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】
有 10 根大小相同的進水管給 A、 B 兩個水池注水，原計劃用 4根進水管給 A水池注水，
其余6根給B 水池注水，那么5小時可同時注滿．因為發現 A水池以一定的速度漏水，所
以改為各用 5根進水管給水池注水，結果也是同時注滿．(1)如果用 10 根進水管給漏水的 A
水池注水，需要多少分鐘注滿 (2)如果增加 4根同樣的進水管， A 水池仍然漏水，并且要
求在注水過程中每個水池的進水管的數量保持不變，那么要把兩個水池注滿最少需要多少
分鐘 (結果四舍五入到個位)
【答案】（1）144；（2）257；277
【解析】
設每只進水管的工效為“1”，那么 A 池容量為 4×5=20，B 池容量為 6×5=30．當用 5
根進水管給 B 池灌水時需 30÷5=6小時，而在 6 小時內 5 只其水管給 A 池也是灌有 30
5
的水，所以漏了 30—20=10，因此漏水的工效為10 6 .(1)用 10 根進水管給漏水
3
5
的 A 池灌水，那么需 20 (10 ) 2.4小時＝144分鐘. (2)設 A 池需 x根，那么
3
B 池需 14 x根，有 (x 5 ) : (14 x) 2 :3,所以有 28 2x 3x 5,化簡解得 x 6.6.
3
所以 A 池用 7 根或 6 根進水管，此時對應所需時間，分別為：①當 A 池用 7 根進水管
5 3
時：A：7 根水管，需時間 20 (7 ) 3 小時=225 分鐘；B：7 根水管，需時間
3 4
30 30 7 小時 257 分鐘．此時要把兩個水池注滿最少需要 257 分鐘；
7
5 60
②當 A 池用 6 根進水管時：A：6 根水管，需時間 20 (6 ) 小時 277 分鐘；B：
3 13
15
8 根水管，需時間 30÷8= 小時=225 分鐘．此時要把兩個水池注滿最少需要 277 分
4
鐘．所以，要把兩個水管都注滿，最少需 257 分鐘，7 根水管注 A 池，7 根水管注 B
池．
【知識點】工程問題
【適用場合】當堂例題
【難度系數】4
習題演練
【試題來源】
【題目】一項工程，由甲工程隊修建，需要 12天，由乙工程隊修建，需要 20 天，兩
隊共同修建需要多少 天？
【答案】15／2
【解析】15／2
【知識點】工程問題
【適用場合】隨堂課后練習
【難度系數】2
【試題來源】
【題目】一項工程，甲隊獨做 8 天完成，乙隊獨做 10天完成，兩隊合做，多少天完成
全部工程的 3／4？
【答案】10／3
【解析】10／3
【知識點】工程問題
【適用場合】隨堂課后練習
【難度系數】2
【試題來源】
1
【題目】甲、乙、丙三人生產一批玩具，甲生產的個數是乙、丙兩人生產個數之和的 ，
2
1
乙生產的個數是甲、丙兩人生產個數之和的 。丙生產了 50個。這批玩具共有多少個？
3
【答案】120
【解析】120
【知識點】工程問題
【適用場合】隨堂課后練習
【難度系數】3
【試題來源】
【題目】有一項工程，甲、乙合做需要 12 天完成，乙、丙合做需要 20 天完成，甲、丙合
作需要 15天完成。甲、乙、丙合做 3 天后，剩下的由甲單獨完成，那么還需多少天才能完
成？
【答案】14
【解析】14
【知識點】工程問題
【適用場合】隨堂課后練習
【難度系數】3工程問題
學生姓名 授課日期
教師姓名 授課時長
知識定位
工程問題是小學數學應用題教學中的重點，是分數應用題的引申與補充，是培養學生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應用題，它具有抽象性，學生認知起來比較困難。在教學中，讓學生建立正確概念是工程應用題的關鍵。本節課從始至終都以工程問題的概念來貫穿，目的在于使學生理解并熟練掌握概念。
知識梳理
1.工程問題在主要概念
定義 ： 工程問題是指用分數來解答有關工作總量、工作時間和工作效率之間的相互關系的問題。在工程問題中，一般要出現三個量：工作總量、工作時間（完成工作總量所需的時間）和工作效率（單位時間內完成的工作量）。工程問題是小升初的常見考題，題型復雜多變，但是核心不變，
即：工作總量=工作效率×工作時間，
工作效率=工作總量÷工作時間，
工作時間=工作總量÷工作效率；
在分數應用題中，經常將工作總量抽象成單位“1”；例如：一項工程，甲5天完成，則甲每天完成全部的幾分之幾？分析：這道題中，我們將一項工程抽象成單位“1”，5為工作時間，所以每天完成整個工程的1÷5=，即為所求，同時也是甲完成這項工作的速度，所以就是這道題中甲的工作效率。
在解決工程問題時，對于題中已知條件給出的每一個數字或字母表示的具體含義必須在讀完題后，清晰明了，然后通過所求與已知的邏輯關系，再進一步求解。常用方法：列表法，條件轉換法，整體法；每一種方法的使用要在具體題目中用心體會。
2.解決工程問題的基本思路
(1) 工作量看作“1”，用完成工作總量所需的時間的倒數作為工作效率，用工作總量除以工作效 率和，就可以求出完成這項工程所需的時間。工程問題一般采用這種方法求解。
(2) 先求出獨做的隊或個人的工作效率 ，然后用工作總量“1”除以一個隊或個人的工作效率，就可以求出一個隊或個人獨做的工作時間。
(3) 求剩余部分的工作量完成的時間。關鍵是正確求出剩余部分的工作量。從工作總量“1”中 減去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。
3.劃分工程問題的基本題型
(1) 水管問題：從數學的內容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當于一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.
(2) 工資問題
從數學本質解法來看，工資問題與工程問題是一樣的，抓住每個人發放的工資與發放總工資之間的關系就能找到相應量與率的關系進而轉換成工程問題來解決了。
(3) 牛吃草問題
從數學本質解法來看，牛吃草問題與工程問題是一樣的，抓住牛頭數與牛吃草的總數及吃的天數之間的關系就能找到相應量與率的關系進而轉換成工程問題來解決了。
(4) 周期問題問題
從數學本質解法來看，同上。
4.重點難點解析
（1）. 明確題目中的工作總量、工作效率、和工作時間具體指向
（2）. 根據題目中的實際情況能夠正確進行單位“1”的轉換。
5.競賽考點挖掘
（1）. 工程問題的基本數量關系是：工作總量=工作效率×工作時間。解題時，要抓住這一關系，靈活地運用這一數量關系提高解題能力。
（2）. 抓住完成工作的幾個過程或幾種變化，工程問題中常出現單獨做，幾人合作或輪流做，分析時一定要對應工作每一階段的工作量、工作時間來確定單獨做或合作的工作效率。
6.要想解決好工程問題，一定要求學生充分理解掌握多個單位“1”轉換為統一單位“1”的方法，這是用算術方法解決分數應用題的基本思路也是重點難點，教師應該在授課過程中有耐心的將轉換過程一一展示給學生。
例題精講
【試題來源】
【題目】
一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？
【試題來源】
【題目】
乙兩人共同加工一批零件，8小時司以完成任務．如果甲單獨加工，便需要12小時完成．現在甲、乙兩人共同生產了小時后，甲被調出做其他工作，由乙繼續生產了420個零件才完成任務．問乙一共加工零件多少個
【試題來源】
【題目】
某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？
【試題來源】
【題目】
一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？
【試題來源】
【題目】
一項工作甲先做6小時，乙接著做12小時可以完成。甲先做8小時，乙接著做6小時也可以完成，如果甲做3小時后，乙接著做，還需幾小時完成？
【試題來源】
【題目】
一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？
【試題來源】
【題目】
某工程如果由第一、二、三小隊合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小隊合干需要7天完成；如果由第二、四、五小隊合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小隊合干需要42天才能完成。那么五個小隊一起合作需多少天才能完成這項工程？
【試題來源】
【題目】
有一條公路，甲隊獨修需10天，乙隊獨修需12天，丙隊獨修需15天．現在讓3個隊合修，但中途甲隊撤出去到另外工地，結果用了6天才把這條公路修完．當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又共同合修了多少天才完成
【試題來源】
【題目】
一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數是甲做的天數的3倍，再由丙接著做，丙做的天數是乙做的天數的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？
【試題來源】
【題目】
一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？
【試題來源】
【題目】
搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？
【試題來源】
【題目】
一項工程，甲15天做了后，乙加入進來，甲、乙一起又做了，這時丙也加入進甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比為3：5，整個過程中，乙、丙工作的天數之比為2：1，問題中情形下做完整個工程需多少天
【試題來源】
【題目】
抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨抄需要多少天才能完成？
【試題來源】
【題目】
一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成．那么甲、丁兩人合作多少天可以完成
【試題來源】
【題目】
一項工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成．那么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天
【試題來源】
【題目】
一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天．如果兩人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原來的，乙只能完成原來的．現在要8天完成這項工程，兩人合做天數盡可能少，那么兩人要合做多少天
【試題來源】
【題目】
甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成．在晴天，一隊完成甲工程需要12天.二隊完成乙工程需要15天；在雨天，一隊的工作效率要下降40％，二隊的工作效率要下降10％．結果兩隊同時完成這兩項工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天
【試題來源】
【題目】
甲、乙、丙3隊要完成A，B兩項工程．B工程的工作量比A工程的工作量多丟．甲、乙、丙3隊單獨完成A工程所需時間分別是20天、24天、30天.為了同時完成這兩項工程，先派甲隊做A工程，乙、丙兩隊共同做B工程；經過幾天后，又調丙隊與甲隊共同完成A工程．那么，丙隊與乙隊合作了多少天
【試題來源】
【題目】
一項挖土萬工程，如果甲隊單獨做，16天可以完成，乙隊單獨做要20天能完成．現在兩隊同時施工，工作效率提高20％．當工程完成時，突然遇到了地下水，影響了施工進度，使得每天少挖了47.25方土，結果共用了10天完成工程．問整工程要挖多少方土
【試題來源】
【題目】
甲、乙、丙3名搬運工同時分別在3個條件和工作量完全相同的倉庫工作，搬完貨物甲用10小時，乙用12小時，丙用15小時．第二天3人又到兩個較大的倉庫搬運貨物，這兩個倉庫的工作量也相同．甲在A倉庫，乙在B倉庫，丙先幫甲后幫乙，結果干了16小時后同時搬運完畢．問丙在A倉庫做了多長時間
【試題來源】
【題目】
甲、乙兩個工程隊修路，最終按工作量分配8400元工資．按兩隊原計劃的工作效率，乙隊應獲5040元．實際從第5天開始，甲隊的工作效率提高了1倍，這樣甲隊最終可比原計劃多獲得960元．那么兩隊原計劃完成修路任務要多少天
【試題來源】
【題目】
一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？
【試題來源】
【題目】
規定兩人輪流做一個工程，要求第一個人先做1個小時,第二個人接著做一個小時，然后再由第一個人做1個小時，然后又由第二個人做1個小時，如此反復，做完為止．如果甲、乙輪流做一個工程需要9．8小時，而乙、甲輪流做同樣的程只需要9．6小時，那乙單獨做這個工程需要多少小時
【試題來源】
【題目】
有10根大小相同的進水管給、兩個水池注水，原計劃用4根進水管給水池注水，其余6根給水池注水，那么5小時可同時注滿．因為發現水池以一定的速度漏水，所以改為各用5根進水管給水池注水，結果也是同時注滿．(1)如果用10根進水管給漏水的水池注水，需要多少分鐘注滿 (2)如果增加4根同樣的進水管，水池仍然漏水，并且要求在注水過程中每個水池的進水管的數量保持不變，那么要把兩個水池注滿最少需要多少分鐘 (結果四舍五入到個位)
習題演練
【試題來源】
【題目】一項工程，由甲工程隊修建，需要12天，由乙工程隊修建，需要20天，兩隊共同修建需要多少 天？
【試題來源】
【題目】一項工程，甲隊獨做8天完成，乙隊獨做10天完成，兩隊合做，多少天完成全部工程的3／4？
【試題來源】
【題目】甲、乙、丙三人生產一批玩具，甲生產的個數是乙、丙兩人生產個數之和的，乙生產的個數是甲、丙兩人生產個數之和的。丙生產了50個。這批玩具共有多少個？
【試題來源】
【題目】有一項工程，甲、乙合做需要12天完成，乙、丙合做需要20天完成，甲、丙合作需要15天完成。甲、乙、丙合做3天后，剩下的由甲單獨完成，那么還需多少天才能完成？

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