資源簡介

高考數學典型題集錦
目錄
專題 1 一網打盡 7→ 數列求和之錯位相減 23 題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1
專題 2 一網打盡 7→ 線性規劃題型分類 84 題· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5
類型 1 截距問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5
類型 2 面積問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6
類型 3 最優解問題· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7
類型 4 斜率問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8
類型 5 距離問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8
類型 6 整點問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9
類型 7 含參數問題· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10
類型 8 非線性問題· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11
類型 9 其它有關問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12
專題 3 一網打盡 7→ 均值不等式的應用 81 題· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15
專題 4 挑戰壓軸題 7→ 導數中的構造函數 (選擇填空) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23
專題 5 挑戰壓軸題 →7 導數中的數列不等式· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 25
專題 一 一網打盡 7→ 數列求和之錯位相減 23 題
本文收集整理了 23 道數列求和中有關錯位相減的題目, 這些題目均來自于近年各省高考真題, 試題質量
好, 導向好, 對同學們應該能有所幫助.
所選題目總體上以先易后難的次序排列, 便于同學們循序漸進地掌握這一重要的題型.
錯位相減, 都是套路, 熟練即可.
另外, 錯位相減并非只適用于等差乘以等比型的數列求和.
題目 1. 已知等差數列 {an} 滿足 a2 = 0, a6 + a8 = 10.
(1) 求數列 {{an} 的}通項公式;
(2) an求數列
2n
的前 n 項和.
1
解析 (1)an = 2 n. (2)
n
Sn = .
2n 1
題目 2. 已知 {an} 是遞增的等差數列, a2, a4 是方程 x2 5x+ 6 = 0 的根.
(1) 求 {an}{的通a }項公式;(2) n求數列 的前 n 項和.
2n
n+ 2 n+ 4
解析 (1)an = . (2)Sn = 2 .
2 2n+1
題目 3. 已知 {an} 是各項均為正數的等比數列,{bn} 是等差數列, 且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3, a5 3b2 = 7.
(1) 求 {an} 和 {bn} 的通項公式;
(2) 設 cn = anbn, 求數列 {cn} 的前 n 項和 Sn.
解析 (1)a = 2n 1n , bn = 2n 1. (2)Sn = (2n 3) · 2n + 3.
(2) 由 (1) 可知 cn = (2n 1) · 2n 1, 所以
Sn = c1 + c2 + c3 + · · ·+ cn 1 + cn
= 1 · 20 + 3 · 21 + 5 · 22 + · · ·+ (2n 3) · 2n 2 + (2n 1) · 2n 1
所以 2Sn = 1 · 21 + 3 · 22 + · · ·+ (2n 5) · 2n 2 + (2n 3) · 2n 1 + (2n 1) · 2n
所以 S = 1 + 2(21n + 22 + · · ·+ 2n 2 + 2n 1) (2n 1) · 2n
= · 2(1 2
n 1)
1 + 2 (2n 1) · 2n
1 2
= 1 + 2 · (2n 2) (2n 1) · 2n
= (3 2n) · 2n 3
所以 Sn = (2n 3) · 2n + 3
題目 4. 設 {an} 是等差數列,{bn} 是各項都為正數的等比數列, 且 a1 = b1 = 1, a3 + b5 = 21, a5 + b3 = 13.
(1) 求 {an}{, {bn}}的通項公式;
(2) an求數列 的前 n 項和 Sn.
bn
解析 (1)a = 2n 1, b = 2n 1n n . (2)
2n+ 3
Sn = 6 .
2n 1
1
題目 5. 設正項等比數列 {an} 的首項 a1 = , 前 n 項和為 S , 且 210S (210n 30 + 1)S20 + S10 = 0.
2
(1) 求 {an} 的通項;
(2) 求 {nSn} 的前 n 項和 Tn.
(1) 1 n(n+ 1) n+ 2解析 an = . (2)Tn n = + 2.2 2 2n
1.
題目 6. 設等差數列 {an} 的公差為 d, 前 n 項和為 Sn, 等比數列 {bn} 的公比為 q. 已知 b1 = a1, b2 = 2, q =
d, S10 = 100.
(1) 求數列 {an}, {bn} 的通項公式;
(2) an當 d > 1 時, 記 cn = , 求數列 {cn} 的前 n 項和 Tn.
bn ( )n 1
解析 (1) 1 2 2n+ 3an = 2n 1, b = 2n 1n 或 an = (2n+ 79), bn = 9 · . (2)Tn = 6 .
9 9 2n 1
題目 7. 設數列 {an} 的前 n 項和為 Sn = 2n2, {bn} 為等比數列, 且 a1 = b1, b2(a2 a1) = b1.
(1) 求數列 {an} 和 {bn} 的通項公式;
(2) an設 cn = , 求數列 {cn} 的前 n 項和 Tn.
bn
2 (6n 5) · 4n + 5
解析 (1)an = 4n 2, bn =
4n
. (2)T
1 n
= .
9
題目 8. 數列 {an} 的前 n 項和為 Sn, a1 = 1, an+1 = 2Sn.
(1) 求數列 {an} 的通項 an;
(2) 求數列{ {nan} 的前 n 項和 Tn. ( )
1, n = 1, 1 1
解析 (1)an = (2)Tn = + n · 3
n 1.
2 · 3n 2, n > 2. 2 2
題目 9. 已知數列 {an} 的前 n 項和 Sn = 3n2 + 8n, {bn} 是等差數列, 且 an = bn + bn+1.
(1) 求數列 {bn} 的通項公式;
(2) (a + 1)
n+1
n
令 cn = , 求數列 {cn} 的前 n 項和 Tn n.(bn + 2)
解析 (1)an = 6n+ 5, bn = 3n+ 1. (2)cn = (3n+ 3)2n+1, T = 3n · 2n+2n .
題目 10. 設數列 {an} 的前 n 項和為 Sn. 已知 2S = 3nn + 3.
(1) 求 {an} 的通項公式;
(2) 若數列{ {bn} 滿足 anbn = log3 an, 求 {bn} 的前 n 項和 Tn.
3, n = 1,
解析 (1) 13 6n+ 3an =
3n
(2)T = .
1 n, n > 1. 12 4 · 3n
題目 11. 在數列 {an} 中,a1 = 1, an+1 = 2a nn + 2 .
(1) an設 bn = . 證明: 數列 {bn} 是等差數列;2n 1
(2) 求數列 {an} 的前 n 項和 Sn.
解析 (2)an = n · 2n 1, S nn = (n 1) · 2 + 1.
題目 12. { } 2 2a{ n已知數列 an 的首}項 a1 = , an+1 = .3 an + 1
(1) 證明: 1{數列} 1 是等比數列;an
(2) n數列 的前 n 項和 Sn.
an
解析 (2) n+ 2Sn = .
2n
2.
( )
題目 13. 在數列 { 1 n+ 1an} 中,a1 = 1, an+1 = 1 + an + .
n 2n
(1) an設 bn = , 求數列 {bn} 的通項公式;
n
(2) 求數列 {an} 的前 n 項和 Sn.
解析 (1)bn = 2
1
. (2)
n+ 2
Sn = n(n+ 1) + 4.
2n 1 2n 1
題目 14. 設數列 {a } 滿足 a = 2, a a = 3 · 22n 1n 1 n+1 n .
(1) 求數列 {an} 的通項公式;
(2) 令 bn = nan, 求數列的前 n 項和 Sn
(1) 2n 1. (2) (3n 1)2
2n+1 + 2
解析 an = 2 Sn = .
9
1
題目 15. 已知數列 {an} 的前 n 項和 Sn = n2 + kn(k ∈ N ), 且 Sn 的最大值為 8.
2
(1) 確定常數{ k, 并求}an;
(2) 9 2an求數列 的前 n 項和 Tn.
2n
解析 (1) 9 n+ 2k = 4, an = n. (2)Tn = 4 .2 2n 1
題目 16. 已知數列 {an} 的前 n 項和 Sn = kcn k(其中 c, k 為常數), 且 a2 = 4, a6 = 8a3.
(1) 求 an;
(2) 求數列 {nan} 的前 n 項和 Tn.
解析 (1)an = 2n. (2)Tn = 2 + (n 1)2n+1.
題目 17. 已知數列 {an} 的前 n 項和為 S 2n, 且 Sn = 2n + n, 數列 {bn} 滿足 an = 4 log2 bn + 3.
(1) 求 an, bn;
(2) 求數列 {anbn} 的前 n 項和 Tn.
解析 (1)an = 4n 1, b = 2n 1n . (2)Tn = (4n 5)2n + 5.
題目 18. 已知首項都是 1 的兩個數列 {an}, {bn}(bn = 0, n ∈ N ), 滿足 anbn+1 an+1bn + 2bn+1bn = 0.
(1) an令 cn = , 求數列 {cn} 的通項公式;
bn
(2) 若 bn = 3n 1, 求數列 {an} 的前 n 項和 Sn.
解析 (1)cn = 2n 1. (2)Sn = (n 1)3n + 1.
題目 19. 數列 {an}{滿足} a1 = 1, nan+1 = (n+ 1)an + n(n+ 1).
(1) an證明: 數列 是等差數列;
n
(2) √設 bn = 3n · an, 求數列 {bn} 的前 n 項和 Sn.
n+1
解析 (2) n (2n 1) · 3 + 3bn = n · 3 , Sn = .
4
題目 20. 已知數列 {an}滿足 an+2 = qan(q為實數,且 q = 1, n ∈ N ), a1 = 1, a2 = 2,且 a2+a3, a3+a4, a4+a5
成等差數列.
(1) 求 q 的值和 {an} 的通項公式;
(2) log2 a2n設 b = (n ∈ N n ), 求數列 {bn} 的前 n 項和.
a2n 1
3.
{
n 1
2 2 , n為奇數,
(1) n+ 2解析 an = n (2)Sn = 4 .
2 2 , n為偶數. 2n+1 { }
題目 21. 1 n已知數列 {an} 是首項為正數的等差數列, 數列 的前 n 項和為 .
an · an+1 2n+ 1
(1) 求數列 {an} 的通項公式;
(2) 設 bn = (an + 1) · 2an , 求數列 {bn} 的前 n 項和 Tn.
n+1
解析 (1)an = 2n 1. (2)
4 + (3n 1) · 4
Tn = .
9
題目 22. n設數列 {a } 滿足 a + 3a + 32a + · · ·+ 3n 1a = , n ∈ N n 1 2 3 n .
3
(1) 求數列 {an} 的通項;
(2) n設 bn = , 求數列 {bn} 的前 n 項和 Sn.
an
1
解析 (1)an = . (2)
2n 1
S = · 3n+1 3n + .
3n 4 4
1 1 1
題目 23. 已知數列 {an}和 {bn}滿足 a1 = 2, b1 = 1, a n+1 = 2an, b1+ b2+ b3+· · ·+ bn = bn+1 1(n ∈ N ).
2 3 n
(1) 求 an 與 bn;
(2) 記數列 {anbn} 的前 n 項和為 Tn, 求 Tn.
解析 (1)an = 2n, bn = n. (2)Tn = (n 1) · 2n+1 + 2.
4.
專題 二 一網打盡 7→ 線性規劃題型分類 84 題
類型 一 截距問題
x+ 2y 4 6 0
題目 24. 若實數 x, y 滿足 x y 1 6 0 , 則 x+ y 的取值范圍是
x > 1 2x+ y 12 6 0
題目 25. 若 x, y 滿足條件 3x 2y + 10 > 0 , 則 x+ 2y 的取值范圍是
x 4y + 10 6 0 x+ 2y 4 6 0
題目 26. 若實數 x, y 滿足 x y 1 6 0 , 則 2x+y 的取值范圍是
x{> 1
6 ( )x ( )2x y 0 y
27. 1 1題目 已知正數 x, y 滿足 , 則 z = · 的最小值為
x 3y + 5 > 0 4 2
題目 28. 設等差數列 {an} 的前 n 項和為 Sn, 已知 a5 ∈ [1, 4], a6 ∈ [2, 3], 則 S6 的取值范圍是
題目 29. 設等差數列 {an} 的前 n 項和為 Sn, 若 S4 > 10, S5 6 15, 則 a4 的最大值為
題目 [30. 各] 項均為正數的等比數列 {an} 中, 若 a1 > 1, a2 6 2, a3 > 3, 則 a4 的取值范圍是
9
解析 , 8 .
2
題目 31. 已知數列 {an} 是等差[數列,]且 a1 ∈ [0, 1], a2 ∈ [1[, 2] , a]3 ∈ [2, 3], 則 a4 的取值范圍是 ( )
A. 8 13 5 9[3, 4] B. , C. , D. [2, 5]
3 3 2 2
解析C. x+ 2y 4 6 0
題目 32. 若實數 x, y 滿足 x y 1 6 0 , 則 |x 2y + 1| 的取值范圍是
x > 1 a b+ 1 > 0
題目 33. 已知實數 a, b 滿足 2a b 1 < 0 , z = |a b 1|, 則 z 的取值范圍是
[ ] 2a+ 2b 1 > 0
1
解析 , 2 .
2
題目 34. (2012 年上海文) 滿 足約束條件 |x|+ 2|y| 6 2 的目標函數 z = y x 的最小值是 x+ 2y > 2
題目 35. 若實數 x, y 滿足 2x+ y 6 4 , 則目標函數 z = 3|x|+ |y 3| 的取值范圍是 ( )[ ] 4x[ y >] 1
A. 3 , 9 B. 3 , 6 C. [ 2, 3] D. [1, 6]
2 2
5.
解析A. x y 6 0
題目 36. 已知實數 x, y 滿足 x+ y 4 6 0 , 則 |3x+ y 4|+ |x+ 2y + 8| 的最小值是 ( )
x > 0
A. 11 B. 12 C. 16 D. 18 x+ 2y 4 6 0
# #
題目 37. 若 P (a, b) 是約束條件 x y 1 6 0 所表示的平面區域內的點, Q(3, 2), 則 OP · OQ 的取值范
x > 1
圍是 {
2x+ y 4 6 0
38. # # 題目 設 O 為坐標原點, M (1, 2), 若 N (x, y) 滿足 , 則 OM ·ON 的最大值為 ( )
x y + 2 > 0
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
解析B.
x 4y + 3 6 0 # #
題目 39. 已知 A (2, 0), 點 P 的坐標 (x, y) 滿足 OP ·OA3x+ 5y 6 25 , 則 ∣∣∣ ∣∣∣ 的最大值是# x 1 > 0 OA
x 4y 6 3 ∣ ∣
題目 40. ∣ # ∣已知O是坐標原點, M(2, 1), N(x, y)滿足 3x+ 5y 6 25 ,則 ∣ON ∣ cos∠MON 的最大值為
x > 1
√
12 5
解析 .
5
2x y + 2 > 0
題目 41. 若實數 x, y 滿足 2x+ y 4 < 0 , 則 (x 2)2 + (y 2)2 的取值范圍是 ( )
[ ) x+ y 2 > 0√ [ ) ( ] [ ]
A. 2 5 4 4 4, 2 B. , 4 C. , 4 D. , 4
5 5 5 5
解析C.
類型 二 面積問題
x+ y 1 > 0
題目 42. 若不等式組 x 1 6 0 表示的平面區域面積等于 2, 則 a =
ax y + 1 > 0
解析 a = 3. x > 0
43. 4題目 在平面直角坐標系中, 不等式組 x+ 3y > 4 所表示的平面區域被直線 y = kx + 分為面積相等3
3x+ y 6 4
的兩部分, 則 k=
7
解析 k = .
3
6.
{ x+ 2y 3 6 00 6 x 6 3
題目 44. 已知點 P (m,n) 在不等式組 所表示的平面區域內, 不等式組 x > 0 表示的0 6 y 6 4
y > 0
平面區域為 A, 則 P ∈ A 的概率是
3
解析 .
16
類型 三 最優解問題
x+ 2y 4 6 0
題目 45. 已知實數 x, y 滿足 x y 1 6 0 ,
x > 1
(1) 若 z = ax+ y 的最小值是 1, 則實數 3a+ b 的值是
(2) 若 z = ax+ y 僅在 (2, 1) 處取得最大值, 則實數 3a+ b 的取值范圍是
(3) 若 z = ax+ y 取得最大值的最優解有無窮多個解, 則實數 3a+ b 的值是
(4) 若 x ∈ [ 1, 1] 恒成立, 則 3a+ b 的取值范圍是 x+ y > 5
題目 46. 已知 x, y 滿足以下約束條件 x y + 5 6 0 , 使 z = x+ ay (a > 0) 取得最小值的最優解有無數個,
x 6 3
則 a 的值為 ( )
A. 3 B. 3 C. 1 D. 1
解析D. {
1 6 x+ y 6 4
題目 47. 已知 x, y 滿足約束條件 6 6 , 若目標函數 z = ax+ y (a > 0) 僅在點 (3, 1) 處取得最大 2 x y 2
值, 則 a 的取值范圍為
解析 (1,+∞).
x+ 2y 3 6 0
題目 48. 已知變量 x, y 滿足約束條件 x+ 3y 3 > 0 , 若目標函數 z = ax+ y 僅在點 (3, 0) 處取到最大值,
y 1 6 0
則實數 a 的取值范圍
x+ y 3 6 0
題目 49. 若線性目標函數 z = x+ y 在線性約束條件 2x y 6 0 下取得最大值時的最優解只有一個, 則
y 6 a
a 的取值范圍是
解析 ( ∞, 2].
題目 50. 已知點 A (5, 3) , B (2, 1) , C (1, 5),設 ABC 圍成的平面區域為M . 若使目標函數 z = ax+y (a > 0)
取得最小值的最優解有無窮多個, 則 a 的值是 ( )
A. 4 B. 2 C.
1 D. 2
2 3 y 6 x
題目 51. 如果實數 x, y 滿足 3y > x , 則目標函數 z = ax+ by(ab = 0), 在 x = 2, y = 2 取得最大值的充
x+ y 6 4
要條件是 ( )
A. |a| 6 b B. |a| 6 |b| C. |a| > b D. |a| > |b|
7.
類型 四 斜率問題
x y 2 6 0
題目 52. y設實數 x, y 滿足 x+ 2y 4 > 0 , 則 的最大值是x 2y 3 6 0 x+ 2y 4 6 0
53. 6 , x+ 2y + 3題目 若實數 x, y 滿足 x y 1 0 則 的取值范圍是x+ 1 x > 1 x+ 2y 4 6 0
題目 54. x+ 2y若實數 x, y 滿足 x y 1 6 0 , 則 的取值范圍是3x+ y
x > 1
x+ 2y 4 6 0
題目 55. 若實數 x, y 滿足 x y 1 6 0 , x+ 1則 的取值范圍是y 2{x > 1
x2 + y2 6 4
題目 56. y + 3若實數 x, y 滿足 > , 則 的取值范圍x 0 x+ 1
類型 距離問題 x+ 2y 4 6 0
題目 57. 若實數 x, y 滿足 x y 1 6 0 , 則 x2 4x+ y2 的取值范圍是 x > 1 2x+ y 2 > 0
題目 58. 已知 x, y 滿足 x 2y + 4 > 0 , 則 z = x2 + y2 的最大值和最小值分別是 ( )
3x y 3 6 0
√ √
A. 13,1 B. 13,2 C. 4 D. 2 5 13, 13, 5 5 x y + 2 > 0
題目 59. 不等式組 x+ y + 2 > 0 表示的平面區域為 D, 若圓 O : x2 + y2 = r2 上所有的點都在區域 D 內,
2x y 2 6 0
則圓 O 面積的最大值是
4π
解析 .
5 x+ y 6 4
2 2
題目 60. 設不等式組 y x > 0 表示的平面區域為 D. 若圓 C : (x+ 1) + (y + 1) = r2 (r > 0) 不經過區
x 1 > 0
域 D 上的點, 則 r 的取值范圍是 ( )
√ √ √ √ √ √ √ √
A. [2 2, 2 5] B. (2 2, 3 2] C. (3 2, 2 5] D. (0, 2 2) ∪ (2 5,+∞)
解析D. 4x+ 3y 12 > 0
題目 61. 已知不等式組 k x > 0 (x, y, k ∈ R,且k > 0) 所表示的平面區域在圓 (x 3)2 + y2 6
x+ 3y 6 12
25(x, y ∈ R) 的內部, 則 k 的取值范圍是 ( )
8.
A. (0, 3] B. (0, 6] C. (0, 5] D. [1, 6]
解析B.
2x y + 2 > 0
題目 62. 點 P 在平面區域 x+ y 2 6 0 上, 點 Q 在 x2 + (y + 2)2 = 1 上, 則 |PQ| 的最小值為 ( )
2y 1 > 0
√ √
A. 3 B. √4 1 C. 2 2 1 D. 2 1
2 5 x+ 2y 4 > 0
題目 63. 如果實數 x, y 滿足條件 x y2 > 0 , 且 (x+ a)2 + y2 的最小值為 6, 則正數 a =
2x+ y 3 6 0
√
解析 2
x > 2,
題目 64. 平面上滿足約束條件 x+ y 6 0, 的點 (x, y) 形成的區域為 D, 區域 D 關于直線 y = 2x 對稱
x y 10 6 0
的區域為 E, 則這兩個區域中距離最近的兩個點之間的距離為
類型 整點問題
題目 65. 滿足 |x|+ |y| 6 2 的點 (x, y) 中整點 (橫縱坐標都是整數) 有 ( )
A. 9 個 B. 10 個 C. 13 個 D. 14 個 2x y 3 > 0
題目 66. 已知整數 x, y 滿足 2x+ 3y 6 < 0 , 則 x+ y 取得最大值時的 (x, y) 是
3x 5y 15 < 0
解析 (2, 0) 或 (3, 1). 5x 11y > 22
題目 67. 已知整數 x, y 滿足 2x+ 3y > 9 , 則 z = x+ y 的最大值是 ( )
2x 6 11
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
14x+ 9y 6 51
題目 68. 已知 x, y 滿足 6x+ 3y 6 1 , 則 x+ y 取得最大值時的 (x, y) 是
x, y ∈ N
解析 (2, 2) 或 (3, 1).
x > 0
題目 69. 設 n ∈ N , 已知不等式組 y > 0 所表示的平面區域為 Dn, 若 Dn 內的整點個數為 an, 則
y 6 nx+ 3n
an 的解析式是
解析 an = 3n.
9.
類型 含參數問題
x > 0, y > 0
題目 70. 在約束條件 y + x 6 s 下, 當 3 6 s 6 5 時, z = 3x+ 2y 的最大值的變化范圍是 ( )
y + 2x 6 4
A. [6, 15] B. [7, 15] C. [6, 8] D. [7, 8]
解析D. x > 0
題目 71. 已知點 P (x, y) 滿足 y 6 x , 若 z = x+ 3y 的最大值是 8, 則實數 k =
2x+ y + k 6 0
解析 k = 6. x > 0, y > 0
題目 72. y + 3已知 x, y 滿足 x y , 若目標函數 z = 的最小值為 1, 則 a =+ 6 1 x
3a 4a
解析 a = 1. 2x+ y 2 > 0
題目 73. 已知不等式組 x 2y + 4 > 0 所表示的平面區域為 M , 若函數 y = k(x+ 1) + 1 的圖象經過區域
3x y 3 6 0
M , 則實數 k 的取值范圍 x 2y + 1 > 0
題目 74. 已知不等式組 x 6 2 表示的平面區域為 D, 若函數 y = |x 1|+m 的圖像上存在區域 D
x+ y 1 > 0
上的點, 則實數 m 的取值 范圍是 x > 1 a+ b+ c
題目 75. 已知 x, y 滿足 x+ y 6 4 , 且 2x+ y 的最大值 7, 最小值 1, 則 =a
ax+ by + c 6 0 x 6 2
題目 76. 已知實數 x, y 滿足 2x y > 0 , 且目標函數 z = y 3x 的最大值為 1, 最小值為 5, 則
ax+ by + c > 0
a+ 2b+ 3c
的值為
a
解析 6. x 6 2
題目 77. 已知實數 x, y 滿足 2x y > 0 , 且目標函數 z = y 3x 的最大值為 1, 最小值為 5, 則
ax+ by + c 6 0
a+ 2b+ 3c
的值為
a+ b
解析 3. x > 0
題目 78. (08 浙江卷 17) 若 a > 0, b > 0, 且當 y > 0 時, 恒有 ax+ by 6 1, 則以 (a, b) 為坐標點 P (a, b)
x+ y 6 1
所形成的平面區域的面積等于
解析 1.
10.
類型 八 非線性問題 x+ 2y 4 6 0
題目 79. 若函數 y = 2x + h 圖象上存在點 (x, y) 滿足約束條件 x y 1 6 0 , 則實數 h 的取值范圍
x > 1
是 x+ y 3 6 0
題目 80. (2012 年福建理) 若直線 y = 2x 上存在點 (x, y) 滿足約束條件 x 2y 3 6 0 , 則實數 m 的最大
x > m
值為 ( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
2 2
解析B.
2x+ y 2 > 0
題目 81. 已知實數 x, y 滿足 x 2y + 4 > 0 , 則 z = xy 的最大值
3x y 3 6 0 x+ 2y 4 6 0
題目 82. 已知實數 x, y 滿足 x y 1 6 0 , 則 x2 + y 的取值范圍是

x > 1
y 6 x+ 3
2
題目 83. x已知實數 x, y 滿足 x 6 3 , 則 的取值范圍是y
x+ 5y > 4
解析 [2, 45].
x y + 2 > 0
題目 84. 已知不等式組 x+ y 4 > 0 , 求下列目標函數的最值或取值范圍.
2x y 5 6 0
(1) 求 z = x+ 2y 4 的最大值.
(2) 求 z = x2 + y2 10y + 25 的最小值.
(3) 2y + 1求 z = 的取值范圍.
x+ 1[ ]
解析 (1)21. (2)9 .(3) 3 7, .
2 4 2 5x+ 3y 6 15
題目 85. 已知 x, y 滿足約束條件 y 6 x+ 1 .
x 5y > 3
(1) 求 u = x2 + y2 + 4x 8y + 20 的最小值.
(2) y + 2求 w = 的最大值.
x 2
解析 (1)25 . (2)2 .
2
11.
類型 其它有關問題
題目 86. 關于 x 的方程 x2 b 2+ ax + 2b = 0 的兩個實數根分別位于區間 (0, 1), (1, 2) 內, 且 a, b ∈ R, 則
a 1
的取值范圍是 ( ) ( ) ( ) ( )
A. 1 B. 1 C. 1 1( , 1) , 1 , D. 1 1,
2 4 2 4 2 2
解析B.
2 3
題目 87. x設實數 x, y 滿足 3 6 xy2 6 8, 4 6 6 9, x則 的最大值是
y y4
解析 27.
題目[88. ]三個正數 a, b, c 滿足 [a 6 6 , 6 6 ,
b
b]+ c 2a b a+ c [2b 則] 的取值范圍是 ( )a
A. 2 3 B. 2 3, , 2 C. 1, D. [1, 2]
3 2 3 2
b
題目 89. 已知正數 a, b, c 滿足:5c 3a 6 b 6 4c a, c ln b > a+ c ln c, 則 的取值范圍是
a
解析 [e, 7].
x+ 2y 4 6 0
題目 90. 若 P (a+ b, a b) 是約束條件 x y 1 6 0 所表示的平面區域內的點, 則 2a + b 的取值范圍
x > 1
是
題目 91. 在平面直角坐標系 xOy 中, 已知平面區域 A = {(x, y)|x + y 6 1, x > 0, y > 0}, 則平面區域
B = {(x+ y, x y)|(x, y) ∈ A} 的面積為
解析 1. m+ n 1 6 0
題目 92. 已知實數 m,n 滿足條件 1 6 m < 1 , 則函數 y = mx+ n 的圖像經過第一, 二, 三象限的概率 1 6 n 6 1
是
1
解析 .
7 2x y + 1 > 0
題目 93. (2013 年北京理) 設關于 x, y 的不等式組 x+m < 0 表示的平面區域內存在點 P (x0, y0) 滿
y m > 0
足 x(0 2y0 =)2, 則 m 的取值范(圍是 ) ( ) ( ) ( )
A. ∞, 4 B. ∞ 1, C. ∞ 2, D. ∞, 5
3 3 3 3
解析C.
題目 94. 函數 y = f(x) 為定義在 R 上的減函數, 函數 y = f(x 1) 的圖像關于點 (1,0) 對稱, 已知實數 x, y
滿足不等式 f(x2 # # 2x) + f(2y y2) 6 0, M(1, 2), N(x, y), O 為坐標原點, 則當 1 6 x 6 4 時, OM ·ON 的取
值范圍為 ( )
12.
A. [12,+∞) B. [0, 3] C. [3, 12] D. [0, 12]
解析D.
題目 95. 設關于的一元二次方程為 x2 + 2ax+ b2 = 0, 若 a 是從區間 [0, 3] 任取一個數,b 是從區間 [0, 2] 任取
的一個數, 求上述方程有實根的概率.
2
解析 .
3
x 6 my + n√ √√
題目 96. 14 3已知直線 l : x = my + n (n > 0) 過點 A(4, 4 3), 若可行域 3x y > 0 的外接圓直徑為 ,3
y > 0
則 n =
解析 3 或 5. 2x y > 0
題目 97. 已知實數 x, y 滿足不等式 x+ y 4 > 0 .
x 6 3
(1) y則 的取值范圍是
x
(2) 2x+ y則 的取值范圍是
x
3 3
(3) 2x + y則 的取值范圍是
x2y
∣∣∣∣
題目 98. 已知 A = (x, y) ∣∣∣
x 2y + 5 > 0

3 x > 0 , B = {(x, y)|x2 + y2 6 25}, A B, 則實數 m 的取值范圍
mx+ y > 0
是 [ ]
4
解析 0, .
3
題目 99. x+ y 2已知點 P (x, y) 到原點的距離為 1, 則 的最大值為
x y + 2
題目 100. 在平面直角坐標系中, 設 A,B,C 是圓 x2 + y2 = 1 上相異三點, 若存在正實數 λ, , 使得
# # #
OC = λOA+ OB, 則 λ2 + ( 3)2 的取值范圍
解析 (2,+∞).
題目 101. 已知 A = {(x, y) |x+ y 6 2, x > 0, y > 0}, B = {(x y, x + 2y)|(x, y) ∈ A}, 若 (m,n) ∈ B, 則
2m n 的最小值為
解析 zmin = 8. x+ y 6 4
題目 102. > , 1 1已知實數 x, y 滿足 x 1 則 + 的取值范圍是x y
y > 1
題目 103. 1 a已知函數 f(x) = x2 + ax+ + + b 存在零點, 則 a2 + b2 的最小值是
x2 x
13.
題目 104. 已知函數 f(x) = ax2 + bx (a = 0) 滿足 1 6 f ( 1) 6 2 6 f (1) 6 4 且 ac2 + bc b = 0, 則實數 c
的取值范圍是
3x y 6 6 0
題目 105. 2 3已知實數 x, y 滿足 x y + 2 > 0 , 目標函數 z = ax+ by (a > 0, b > 0)的最大值為 12, 則 +a b
x > 0, y > 0
的最小值為 ( )
A. 25 B. 8 C. 11 D. 4
6 3 3
m nx+ y > 0
題目 106. 若點 (1, 1) 在關于 x, y 的不等式組 2mx ny 4 6 0 所表示的平面區域內, 則 m2 + n2 的取值
nx > 3y 3m
范圍[是 ] [ ] [ ] [ ] ( )
A. 9 B. 17, 61 , 85 C. 16 , 64 D. 1 , 63
10 5 5 2
解析A.
107. . # # # 題目 已知點 A(1, 1), B(3, 0), C(2, 1) 若平面區域 D 由所有滿足 AP = λAB + AC(0 6 6 1 6 λ 6
2) 的點 P 組成, 則 D 的面積為
解析 3.
14.
專題 三 一網打盡 7→ 均值不等式的應用 81 題
題目 108. 9已知 x > 0, 則 y = x+ 的最小值是
x
解析 6.
x 2
題目 109. 函數 y = 8 (x > 0) 的最大值是
2 x
解析 6.
2
題目 110. , t 4t+ 1已知 t > 0 則函數 y = 的最小值為
t
解析 2.
2
111. , a + 3ab+ 4b
2
題目 已知 ab > 0 則 的最小值是
ab
解析 7.
題目 112. 2 3已知 + = 2(x > 0, y > 0), 則 xy 的最小值是
x y
解析 6.
題目 113. 5 3已知 x, y > 0, + = 1, 則 xy 的最小值
x y
解析 60.
題目 114. 729已知 m > 0, n > 0, 則 81m2 + n2 + 取得最小值時, m n 的值等于 ( )
8mn
A. 4 B. 4 C. 8 D. 8
解析A.
題目 115. 1 |a|設 a+ b = 2, b > 0, 則 + 的最小值是
2|a| b
3
解析 .
4
2
題目 116. x + 13函數 y = √ 的最小值是
x2 + 4
解析 6.
2
題目 117. x + 15函數 y = √ 的最小值是
x2 + 9
解析 5.
題目 118. , 4x當 x > 0 時 則 y = 的最大值為
x2 + 1
解析 2.
x2 + 5
題目 119. 函數 y = √ 的最小值為
x2 + 4
15.
5
解析 .
2
√
2
題目 120. 6 x + 1函數 y = 的最大值是
x2 + 4
√
解析 3.
x2 + 8
題目 121. 函數 y = (x > 1) 的最小值是
x 1
解析 8
√
題目 122. 2 x函數 y = 的最大值是
x+ 4
1
解析 .
2
123. 3x題目 函數 y = (x < 0) 的值域是 ( )
x2 + x+ 1
A. ( 1, 0) B. [ 3, 0) C. [ 3, 1] D. ( ∞, 0)
解析B. ( ]
題目 124. 1若不等式 x2 + ax+ 1 > 0 對一切 x ∈ 0, 恒成立, 則 a 的最小值為
2
解析 2.
題目 125. (1) 若 x > 0, 4則 y = x+ 的最小值是
x+ 1
(2) 1若 x > 1, 則 y = 2x 1 + 的最小值是
x 1
(3) 2若 x > 1, 則 y = x+ 的最小值是
2x 1
(4) 1若 y = x+ (x > 2) 在 x = n 處取得最小值, 則 n =
x 2
(1)3. (2)5. (3)5解析 . (4)3.
2
題目 126. 5 1已知 x < , 求 y = 4x 2 + 的最大值為
4 4x 5
解析 1.
題目 127. 4函數 y = x2 + 的最小值是
x2 + 1
解析 3.
4
題目 128. 已知 x > y > 0, 則 x2 + 的最小值為
y(x y)
解析 8.
題目 129. 1 1設 a > b > 0, 則 a2 + + 的最小值為 ( )
ab a(a b)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
16.
解析D.
√
130. √ √題目 若正(數 x, y 滿)足 x+ y 6 a x+ y 恒成立, 則實數 a 的最小值是√ √ √ 2 √ √x+ y
. 6 x+ y x+ y
√
解析 2 由 可得 √ 6 2.
2 2 x+ y
題目 131. (1) 1 4已知 x, y > 0, x+ y = 1, 則 + 的最小值是
x y
(2) 1 4已知 x, y > 0, + = 1,(則 x+)y 的最小值是x y
(3) 1 4已知 x, y > 0, 則 (x+ y) + 的最小值是
x y
(4) 4 1設 0 < x < 1, 則 + 的最小值是
x 1 (x )
(5) 2 9 1函數 f(x) = + 0 < x < 的最小值為
x 1 2x 2
(5) 1 9函數 y = 2 + cos 的最小值是sin x 2 x
解析 (1)9. (2)9. (3)9. (4)9. (5)25. (4)16.
1 4
題目 132. 已知 a > 0, b > 0, a+ b = 2, 則 y = + 的最小值是 ( )
a b
A. 7 B. 4 C. 9 D. 5
2 2
題目 133. 2 3設 x, y > 0 且 + = 1, 則 2x+ 3y 的最小值為
x y
解析 25
題目 134. 1 3設 a, b 均為正數, 且 3a+ b = 2, 則 + 的最小值是
a b
解析 6.
題目 135. 2 1已知 x > 0, y > 0, 且 + = 1, 若 x+ 2y > m2 + 2m 恒成立, 則實數 m 的取值范圍是 ( )
x y
A. m > 4 或 m 6 2 B. m > 2 或 m 6 4 C. 2 < m < 4 D. 4 < m < 2
解析D. ( )
題目 136. 1 a已知不等式 (x+ y) + > 9 對任意正數 x, y 恒成立, 則正數 a 的最小值為 ( )
x y
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析B. ( )( )
題目 137. 1 1已知 x, y ∈ R, 且 xy = 0, 則 x2 + + 4y2 的最小值為
y2 x2
解析 9.
題目 138. 1 1已知 x > 0, y > 0, x+ y = 1, 則 x2 + y2 + + 的最小值是
x2 y2
17.
17
解析 .
2 ( )2 ( )2
題目 139. 1 1已知 x > 0, y > 0, 則 x+ + y + 的最小值是
2y 2x
解析 4.
1 1 n
題目 140. 設 x > y > z, n ∈ N , 且 + > 恒成立, 則 n 的最大值為 ( )
x y y z x z
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析C. ( )
題目 141. 2 1如果對 x > 0, y > 0, 有 (x+ 4y) + > m 恒成立, 那么實數 m 的取值范圍是 ( )
x 2y
A. ( ∞, 4] B. (8,+∞) C. ( ∞, 0) D. ( ∞, 8]
解析D.
題目 142. (1) 已知 x, y, a, b 是正數, a ba, b 是常數, 且 + = 1, 則 x+ y 的最小值為
x y
(2) a b已知 x, y, a, b 是正數, a, b 是常數, 且 + = 1, 則 bx+ ay 的最小值為
x y
√ √
解析 (1)( a+ b)2. (2)4ab.
題目 143. (1) 已知 x > 0, y > 0, x+ y + xy = 24, 則 xy 的最大值為
(2) 已知 x > 0, y > 0, x+ 3y + xy = 9, 則 x+ 3y 的最小值為
(3) 已知 x > 0, y > 0, 4xy x 2y = 4，則 xy 的最小值為
解析 (1)16. (2)6. (3)2.
題目 144. 已知 x > 0, y > 0, x+ 2y + 2xy = 6, 則 x+ 2y 的最小值是
解析 4.
題目 145. 若正實數 x, y 滿足 2x+ y + 6 = xy, 則 xy 的最小值是
解析 18.
題目 146. 若正數 x, y 滿足 x+ 3y = 5xy, 則 3x+ 4y 的最小值是 ( )
A. 24 B. 28 C. 5 D. 6
5 5
解析C.
題目 147. 已知 a+ 4b = ab, a, b 均為正數, 則使 a+ b > m 恒成立的 m 的取值范圍是 ( )
A. m < 9 B. m 6 9 C. m < 8 D. m 6 8
解析A
題目 148. 1 1已知正整數 a, b 滿足 4a+ b = 30, 使得 + 取最小值時, 則實數對 (a, b) 是 ( )
a b
A. (5, 10) B. (6, 6) C. (10, 5) D. (7, 2)
解析A.
18.
2
題目 149. y已知 x, y, z > 0, 且 x 2y + 3z = 0, 則 的最小值是 .
xz
解析 3.
題目 150. 若正數 x, y 滿足 x2 + 3xy 1 = 0, 則 x+ y 的最小值是
1 x2 1 x 2x 1
解析由 y = 可得 x+ y = x+ = + .
3x 3x 3 3 3x
題目 151. 若實數 x, y 滿足 x2 + xy + y2 = 1, 則 x+ y 的最大值是
√
2 3
解析
3
題目 152. 已知 x, y ∈ R, 若 4x2 + y2 + xy = 1, 則 2x+ y 的最大值為
√
2 10
解析 .
5
題目 153. 若 a, b, c > 0 且 a2 + 2ab+ 2ac+ 4bc = 12, 則 a+ b+ c 的最小值是
√
解析 2 3
√
題目 154. 若 a, b, c > 0 且 a(a+ b+ c) + bc = 4 2 3, 則 2a+ b+ c 的最小值為
√
解析 2 3 2.
題目 155. 已知 m,n, k 是正數, 且滿足 mnk(m+ n+ k) = 4 , 則 (m+ n)(m+ k) 的最小值是
解析 4
√
題目 156. √設 x > 0, y > 0, x+ y = 1, 則 x+ y 最大值是
√
解析 2.
題目 157. 設 x > 0, y > 0, x+ y = 6, 則 x2 + y2 最小值是
解析 18.
題目 158. 設 x > 0, y > 0, x2 + 2y2 = 2, 則 2x+ y 最大值是
解析 3.
1 x2 4y2
題目 159. 對任意實數 x > 1, y > , 不等式 + > 1 恒成立, 則實數 a 的最大值是 ( )
2 a2(2y 1) a2(x 1)
√ √
A. 142 B. 4 C. D. 2 2
2
解析D.
題目 160. 一個直角三角形的周長是 2, 則其斜邊長的最小值為 ( )
A. √ 2 B. √ 2 C. 2√ D. 2√
2 + 1 2 1 3 + 3 3 3
解析A.
設兩直角邊為 a, b, 斜邊為 c, 則 c2 = a2√+ b2.
a2 + b2 √ √ 2
由 a+ b+ c = 2 可得 2 c = a+ b 6 2 = 2c, 可化為 c+ 2c 2 > 0, 解得 c > √ .
2 2 + 1
19.
√
題目 161. 如果 a > b > 1, A = lg · lg lg a+ lg b a+ ba b,B = , C = lg , 那么 ( )
2 2
A. C < A < B B. A < B < C C. B < A < C D. A < C < B
解析B. √
題目 162. 已知 x 為正實數且 x2 + y2 = 2, 則 x 1 + y2 的最大值為
3
解析 .
2
y2 √
題目 163. 已知 x 為正實數且 x2 + = 1, 則 x 1 + y2 的最大值為
2
√
3 2
解析 .
4
√
題目 164. 已知 a, b > 0, 且 2a+ b = 1, 則 t = 2 ab 4a2 b2 的最大值為 ( )
√ √ √ √
A. 2 1 B. 2 C. D. 2 + 11 2 + 1
2 2
√ √ √
解析A. t = 2 ab 4a2 b2 = 2 ab (2a+ b)2 + 4ab = (2 ab+ 1)2 2
165. π題目 當 0 < x < 時, 函數 y = cos2 x sinx 的最大值是
2 ( √
1 2 2 2
)3
解析由 y2 = cos4 x sin2 x = · cos2 x · cos2 · sin2 6 1 · cos x+ cos x+ 2 sin x 4 2 3x 2 x = 可得 y 6 .
2 2 3 27 9
題目 166. 若不等式 x2 + 2xy 6 a(x2 + y2) 對于一切正數 x, y 恒成立, 則實數 a 的最小值為
√
5 + 1
解析 .
2
題目 167. 1 1 1設 a, b, c 都是正數, 那么三個數 a+ , b+ , c+ ( )
b c a
A. 都不大于 2 B. 都不小于 2 C. 至少有一個不大于 2 D. 至少有一個不小于 2
解析D.
題目 168. 設 a, b是兩個不相等的實數,在① a2+3ab > 2b2; ② a5+b5 > a3b2+a2b3;③ a2+b2 > 2(a b 1);
a b
④ + 這四個式子中, 恒成立的有 ( )
b a
A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
解析A.
√
題目 169. 1 1設 a > 0, b > 0, 若 3 是 3a 與 3b 的等比中項, 則 + 的最小值為 ( )
a b
A. 8 B. 4 C. 1 D. 1
4
解析B.
題目 170. 已知正項等比數列 {an} :
√ 1 4
滿足 a7 = a6 +2a5, 若存在兩項 am, an 使得 aman = 4a1, 則 + 的
m n
最小值為
20.
3
解析 .
2
題目 171. 4 1已知直線 ax + by + c 1 = 0(bc > 0) 經過圓 x2 + y2 2y 5 = 0 的圓心, 則 + 的最小值
b c
是
解析 9
題目 172. 1 2若直線 ax+ 2by 2 = 0(a > 0, b > 0) 始終平分圓 x2 + y2 4x 2y 8 = 0 的周長, 則 + 的
a b
最小值為 ( )
√ √
A. 1 B. 5 C. 4 2 D. 3 + 2 2
解析D.
題目 173. x+ 2已知不等式 < 0 的解集為 {x|a < x < b}, 點 A(a, b) 在直線 mx + ny + 1 = 0 上, 其中
x+ 1
mn > 0, 2 1則 + 的最小值為
m n
解析 9.
題目 174. 已知點 P (x, y) 在經過 A(3, 0), B(1, 1) 兩點的直線上, 則 2x + 4y 的最小值為 ( )
√ √
A. 2 2 B. 4 2 C. 16 D. 不存在
解析A.
題目 175. 函數 y = loga(x+ 3) 1(a > 0, a = 1) 的圖象恒過點 A, 若點 A 在直線 mx+ ny + 1 = 0 上, 其中
, 1 2mn > 0 則 + 的最小值為
m n
解析 8
題目 176. 設函數 f(x) = |2 x2|, 若 0 < a < b, 且 f(a) = f(b), 則 ab 的取值范圍是 ( )
√ √
A. (0, 2] B. (0, 2) C. (0, 2 2] D. (0, 2 2)
解析B.
2
題目 177. 已知 x > 0, y > 0, x, a, b, y 成等差數列, , (a+ b)x, c, d, y 成等比數列 則 的最小值是 ( )
cd
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
解析D.
題目 178. 若 2x + 2y = 1, 則 x+ y 的取值范圍是 ( )
A. [0, 2] B. [ 2, 0] C. [ 2,+∞) D. ( ∞, 2]
解析D.
√
題目 179. 設 x, y ∈ R 1 1, a > 1, b > 1, 若 ax = by = 3, a+ b = 2 3, 則 + 的最大值為 ( )
x y
A. 2 B. 3 C. 1 D. 1
2 2
解析C.
題目 180. 設 x, y 是滿足 2x+ y = 20 的正數, 則 lgx+ lg y 的最大值是 ( )
21.
A. 50 B. 2 C. 1 + lg 5 D. 1
解析A.
題目 181. 1 9已知二次函數 f(x) = ax2 4x+ c 的值域是 [0,+∞), 則 + 的最小值是 ( )
c a
A. 3 B. 9 C. 5 D. 6
2
解析B.
題目 182. c a已知二次函數 f(x) = ax2 + 2x+ c 的值域是 [0,+∞), 則 + 的最小值是 ( )
a2 + 1 c2 + 1
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
2
解析B.
題目 183. 若實數 a, b, c 滿足 2a + 2b = 2a+b, 2a + 2b + 2c = 2a+b+c, 則 c 的最大值是
4
解析 log2 .3
題目 184. 過點 P (1, 2) 的直線 l 與 x 軸, y 軸的正半軸交于 A,B 兩點, 當 △AOB 的面積最小時, 求 l 的方
程.
解析 2x+ y 4 = 0.
題目 185. 在 △ a+ bABC 中, 角 A,B,C 的對邊分別是 a, b, c,∠C = 90 , 則 的取值范圍是 ( )
c
√ √ √
A. (1, 2) B. (1, 2) C. (1, 2] D. [1, 2]
解析C.
# # √
題目 186. 已知 P 是 △ABC 內一點, 且 AB ·AC = 2 3,∠BAC = 30 , 若 △PBC,△PCA 和 △PAB 的面
1
積分別為 , x, y, 1 4則 + 的最小值是 ( )
2 x y
A. 9 B. 16 C. 18 D. 24
解析C.
√
題目 187. # # 已知 P 是 △ABC 內一點, 且 AB ·AC = 2 3,∠BAC = 30 , 若 △PBC,△PCA 和 △PAB 的面
積分別為 x, y, z, 1 4 9則 + + 的最小值是
x y z
解析 36.
題目 188. 已知點 P 是 △ABC 的中位線 EF 上任意一點, 且 EF //BC. 設 △ABC,△PBC,△PCA,△PAB
的面積分別為 S, S1, S2, S3, 記 S1 = λ1 · S, S2 = λ2 · S, S3 = λ3 · S, 定義 M(P ) = (λ1, λ2, λ3). 當 λ2 · λ3 取得
最大(值時, M)(P ) 等于 ( ) ( ) ( ) ( )
A. 1 1 1 B. 1 1 1 C. 1 1 1 D. 1 1 1, , , , , , , ,
2 4 4 4 4 2 3 3 3 4 2 4
解析A.
22.
專題 四 挑戰壓軸題 7→ 導數中的構造函數 (選擇填空)
題目 189. 已知定義在 R 上函數 f(x) 的導函數為 f ′(x) 滿足 f(1) = 0, 且當 x > 0 時總有 xf ′(x) < f(x), 則
不等式 f(x) > 0 的解集是
解析 ( ∞, 1) ∪ (0, 1).
題目 190. 已知定義在 R 上函數 f(x) 的導函數為 f ′(x) 滿足 f ′(x) < f(x), 且 f(x+ 2) 是偶函數, f(4) = 1,
則不等式 f(x) < ex 的解集是
解析 (0,+∞).
題目 191. 已知定義在 R 上函數 f(x) 的導函數為 f ′(x) 滿足 f ′(x) < f(x), 且 f(x+ 1) 是偶函數, f(2) = 1,
則不等式 f(x) < ex 的解集是
解析 (0,+∞).
題目 192. 已知函數 f(x) 的定義域是 (0,+∞), 滿足 f ′(x) f(x) > ex lnx 恒成立, 且 f(2) = e2 2, 則不
等式 f(x) > ex 2 的解集是
解析 [2,+∞).
題目 193. 已知奇函數 f(x)的導函數為 f ′(x),當 x ∈ (0,+∞)時, xf ′(x) f(x) = x. 若 f(e) = e,則 f(x) > 0
的解集是 ( )
A. ( ∞, e) ∪ (0, e) B. ( e, 0) ∪ (e,+∞) C. ( ∞, 1) ∪ (0, 1) D. ( 1, 0) ∪ (1,+∞)
解析C.
2
題目 194. x已知定義在 R 上的函數 f(x) 的導函數是 f ′(x), 對于任意的 x ∈ R, 都有 f( x) + f(x) = , 且
2
當 x > 0 時, f ′(x) > x, 則不等式 f(2 x) f(x) > 2 2x 的解集是
解析 ( ∞, 1].
題目 195. 已知定義在 (0,+∞) 上的函數 f(x) 滿足 2f(x) < xf ′(x) < 3f(x) 恒成立, 則 ( )
A. f(2) f(2)2 < < 3 B. 3 < < 4 C. f(2)4 < < 8 D. f(2)8 < < 16
f(1) f(1) f(1) f(1)
解析選 C.
題目 196. lnx 1已知函數 f(x) 的導函數為 f ′(x), 滿足 xf ′(x) + f(x) = , 且 f(e) = e , 則函數 f(x) ( )x
A. 有極大值, 無極小值 B. 有極大值, 無極小值
C. 既有極大值, 又有極小值 D. 無極值
解析D.
x 2
題目 197. e e已知函數 f(x) 的導函數為 f ′(x), 滿足 x2f ′(x) + 2xf(x) = , 且 f(2) = , 則 x > 0 時, 函數
x 8
f(x) ( )
A. 有極大值, 無極小值 B. 有極大值, 無極小值
C. 既有極大值, 又有極小值 D. 無極值
解析D.
題目 198. f(x)已知定義在 (0,+∞) 上的函數 f(x) 滿足 f ′(x) lnx = x , 則函數 f(x) ( )
x
23.
A. 有極大值, 無極小值 B. 有極大值, 無極小值
C. 既有極大值, 又有極小值 D. 無極值
解析選 D.
題目 199. 函數 f(x) 的導函數為 f ′(x), lnx滿足 xf ′(x) + 2f(x) = , 且 f(e 1) = , 則 f(x) 在 (0,+∞) 上的
x 2e
單調性為 ( )
A. 先增后減 B. 單調遞增 C. 單調遞減 D. 先減后增
解析C. ( π)
題目 2(00). 定義在( 0,) 上的函(數)f(x) 滿足(f()x) < f ′(x) tan(x 恒)成立(, 則有 ( )2π √ π π √ π √ π π) √ ( ) (A. B. π π)f > 3f f < 3f C. 3f > f D. 3f < f
6 3 6 3 6 3 6 3
解析D.
題目 201. 已知 f(x) 是定義在 R 上的可導函數, f(x) > f ′(x) 對于 x ∈ R 恒成立. 則 ( )
A. e2017f(2018) < e2018f(2017) B. e2017f(2018) = e2018f(2017)
C. e2017f(2018) > e2018f(2017) D. e2017f(2018) 與 e2018f(2017) 的大小不能確定
解析A.
題目 202. 設函數 f(x) 在 R 上的導函數是 f ′(x), 且 2f(x) + xf ′(x) > x2, 則下列不等式在 R 上恒成立的是
( )
A. f(x) > 0 B. f(x) < 0 C. f(x) > x D. f(x) < x
解析A.
題目 203. 若定義在 R 上的函數 f(x) 滿足 f(0) = 1, 其導函數 f ′(x) 滿足 f ′(x) > k > 1, 則下列結論中一
定錯誤(的)是 ( ) ( ) ( ) ( )
A. 1 1 B. 1 1 1 1 1 1f < f > C. f < D. f >
k k k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1
解析C.
題目 204. 函數 f(x) 和 g(x)(g(x) = 0) 分別是定義在 R 上的奇函數和偶函數, 當 x < 0 時, f ′(x)g(x)
f(x)g′
f(x)
(x) < 0, 且 f( 2) = 0, 則不等式 < 0 的解集為
g(x)
解析 ( 2, 0) ∪ (2,+∞).
題目 205. 已知定義域為 R的函數 f(x)滿足 f(x+y) = eyf(x)+exf(y),且 f ′(0) = 1,對于下列說法: ①函數
f(x) 有且僅有一個零點, ②函數 f(x) 是奇函數, ③函數 f(x) 存在極值, ④函數 f(x) 滿足 ex = f ′(x) f(x).
其中正確說法的序號是
解析①③④.
題目 206. 已知可導函數 f(x) 的定義域為 R, 對于任意的 x ∈ R, 都有 f(x) + f(2 x) = (x 1)2 + 1, 且當
x ∈ (1,+∞) 時, 總有 f ′(x) 6 x. 若 f(t) f(6 t) 6 6t 18, 則實數 t 的取值范圍是
解析 [3,+∞).
24.
專題 五 挑戰壓軸題 7→ 導數中的數列不等式
題目 207. (1) 1證明: 1 6 lnx 6 x 1.
x
(2) : 1 1 · · · 1 ln 1 1證明 + + + < (n+ 1) < 1 + (+ · · ·+ (n ∈ N
).
2 3 n+ 1 2 )n
(2) 1 ln ln 1
1
n ln 1 1 x解析 < (n+ 1) n < 1 < 1 + < < ln(1 + x) < x(x > 0).n+ 1 n 1 + n n 1 + x
n
題目 208. b已知函數 f(x) = ax+ + c(a > 0) 的圖像在點 (1, f(1)) 處的切線方程為 y = x 1 .
x
(1) 用 a 表示出 b, c ;
(2) 若 f(x) > lnx 在 [1,+∞) 上恒成立, 求 a 的取值范圍;
(3) : 1 1證明 1 + + + · · · 1 n+ > ln(n+ 1) + (n ∈ N ).
2 3 n ( )2(n+ 1() 1 ) ( )
(3) 1 ln ln 1 1 1 1 1 1解析 > (n+ 1) n+ + n
n 2 n n+ 1 2( n 1)+ 1 > ln 1 + nn
ln x(x+ 2) 1 1(x+ 1) < (0 < x 6 1) lnx < x (1 < x 6 2)
2(x+ 1) 2 x
題目 209. (1) 2 2 2證明: + + + · · · 2+ < ln(n+ 1)(n ∈ N ).
3 5 7 2n+ 1
(2) 1 1 1 1證明: + + + · · ·+ < lnn(n ∈ N ( ,)n > 2).3 4 5 2n
2 n+ 1 2 · 1
解析 (1) < ln n < ln 1 2x 2(x 1)1 + < ln(1 + x) < lnx(x > 1).
2n+ 1 n 2 + 1 n 2 + x 1 + x
n
(2)1 1 1+ + + · · · 1 2 2 2 2+ < + + + · · ·+ < lnn. 以下同 (1).
3 4 5 2n 3 5 7 2n 1
題目 210. 已知函數 f(x) = ln(x 1) k(x 1) + 1(k ∈ R).
(1) 求函數 f(x) 的單調區間;
(2) 若 f(x) 6 0 恒成立, 試確定實數 k 的取值范圍;
(3) : ln 2 ln 3 ln 4 · · · lnn n(n 1)證明 + + + + < (n ∈ N , n > 1).
3 4 5 n+ 1 4
解析 (3) lnn n 1< ln 1x < (x2 1) lnx2 < x2 1 lnx < x 1(x > 1).
n+ 1 2 2
題目 211. 已知函數 f(x) = a lnx ax 3(a = 0).
(1) 討論函數 f(x) 的單調性;
(2) 若 f(x) + (a+ 1)x+ 4 e 6 0 對于任意 x ∈ [e, e2] 恒成立, 求實數 a 的取值范圍;
(3) 證明: ln(22 + 1) + ln(32 + 1) + · · ·+ ln(n(2 + 1) <)1 + 2 lnn! (n ∈ N( , n > 2)).
解析 (3) ln 1 1 1 1 1 1(n2 + 1) < + 2 lnn ln 1 + < ln 1 + < ln(1 + x) < x.
n n 1 n2 n2 n n2 n2
題目 212. 證明: [(n+ 1)!]2 > (n+ 1) · en 1(n ∈ N ). ( )
解析 2 ln[(n+ 1)!] > n 1 + ln(n+ 1) 2 ln 1 1(n+ 1) > 1 + ln(n+ 1) lnn
n n+ 1
ln 1 1(n2 + n) > 1 lnx > 1 (x > 1).
n2 + n x
25.
題目 213. 已知函數 f(x) = ln ax, g(x) = x+ (a ∈ R).
x
(1) 若 x > 1 時, f(x) 6 g(x) 恒成立, 求實數 a 的取值范圍.
(2) : ln 2 × ln 3 × ln 4證明 × · · · × lnn 1< (n ∈ N , n > 2).
2 3 4 n n
ln 2 × ln 3 × ln 4 × · · · × lnn 1 × 2 × 3 × · · · × n 1解析 < lnn < n 1.
2 3 4 n 2 3 4 n
題目 214. 已知函數 f(x) = lnx+ x2 ax.
(1) 若函數 f(x) 在其定義域上為增函數, 求 a 的取值范圍;
(2) 1設 an = 1 + (n ∈ N ), 求證: 3(a1 + a2 + · · ·+ an() (a
2 + a2 + · · ·+ a21) 2 n) < ln(n+ 1) + 2n.n
解析 (2) 3a 2n an < ln(n+ 1) ln
1 1 1
n+ 2 < ln 1 + x x2 < ln(1 + x)(x > 0).
n n2 n
題目 215. 證明: ln 1 1 12 < + + · · ·+ < ln 3(n ∈ N ).
n+ 1 n+ 2 3n
解析先證左邊
1 1 1 1 1 1
設 f(n) = + + · · ·+ , 則 f(n+ 1) = + + · · ·+ .
n+ 1 n+ 2 3n n+ 2 n+ 3 3n+ 3
1 1 1 1 1 1 2所以 f(n+ 1) f(n) = + + = + > 0.
3n+ 1 3n+ 2 3n+ 3 n+ 1 3n+ 1 3n+ 2 3n+ 3
因此 f(n) 在 N 5上遞增, 則 f(n)min = f((1))= .63
5 ln 3> 2 > ln 82 16 < e3 16 < 16× 27 < 83 432 < 512.
6 4 3
再證右邊 ( )
lnx 6 1 x 1 1 1x 1 lnx > 1 ln(1 + x) > ln 1 + > 6 ln n+ k + 1
∑ ∑ x 1 + x x 1 + x 1 + n+ k n+ k2n 2n
1 6 ln n+ k + 1 ln 3n+ 1= < ln 3.
1 + n+ k n+ k n+ 1
k=1 k=1
216. : 1 1 1
n
題目 證明 1 + + + · · ·+ > ln e (n ∈ N ).
2 3 n n!
1 1
解析 lnx 6 x 1 lnx > 1 > 1 lnn, 累加即得.
x n
題目 217. 已知函數 f(x) = lnx x+ 1.
(1) 求 f(x() 的)最大值n ( ; )n
1 2 (n)n(2) e證明: + + · · ·+ < e (n ∈ N ).n n n 1 ( )n
(2)ln 6 ln k k k n k解析 x( x) 1 6 1 = (1 6 k 6 n) 6 e
k n
∑ ∑ n n n nn n n
k
n n
6 ek n = e n(e1 + e2 + · · ·+ en) = e n · e(1 e ) e(1 e ) e
n 1 e = e < . 1 e 1
k=1 k=1
26.

展開更多......

收起↑