資源簡介

圓中鬼魅，阿波羅尼斯圓
8.1 定義
引例 已知動點 P與兩定點 A、B的距離之比為 ( 0)，那么點 P的軌跡是什么？
證 明 不 妨 設 A( c , 0) 、 B(c , 0)(c 0) ， P(x , y) PA， 由 ( 0) 得 ：
PB
(x c)2 y2
，即
(x c)2 y2
(1 2 )x2 2c(1 2 )x c2 (1 2 ) (1 2 )y2 0，
2
1 x2 2c(1
2 ) 2 2 x c y 0 x
2 1 c y2 2 c
2
①當 時，即為
1 2
，整理得： ，
2 1 2 1
2 1 2 c
即點 P的軌跡是以 2 c , 0 為圓心， 為半徑的圓； 1 2 1
②當 1時，化簡得 x 0，即點 P的軌跡為 y軸．
定理 一般地，平面內到兩個定點距離之比為常數 ( 0 , 1)的點的軌跡是圓，此
圓被叫做“阿波羅尼斯圓”．特殊地，當 1時，點 P的軌跡是線段 AB的中垂線．
起名背景 阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時
期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐
曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一．
注 在研究完橢圓和雙曲線的標準方程后，對于 PA PB 2a， PA PB 2a，我
PA
們可以清楚地了解點 P的軌跡；類似地，如果改成： 2a或 PA PB 2a，點 P的軌
PB
跡方程又當如何？
PA
顯然，本專題就是對 2a進行的探究，對于 PA PB 2a的探究，可參見后續圓
PB
錐曲線之卡西尼卵形線專題．
8.2 調和點列 vs 阿波羅尼斯圓
如圖，①A、C、B、D為調和點列；②PC、PD分別為∠APB的內、外角平分線；③PC
⊥PD；以上三個條件中，知道任意兩個都可以推得第三個！
P
A C B D
設阿波羅尼斯圓的圓心為 O OC PA AC AD，半徑 OD r，則有 ， 即
PB CB DB
OA r OA r OA r OA r OA r (OA r)
OA r， 即 ， 即 ， 即
r OB OB r r OB r OB r OB (r OB) r OB
OA OB r 2 （反演）．
OA
OA r

r OA OB AB 1 AB同時，
r OB
，即 r ．
OB 1 r r r
1

r
P
A C B O D
已知兩個定點及定比，求阿波羅尼斯圓
半徑公式 已知動點 P與兩定點 A、B的距離之比為 ( 1)，則已知兩個定點 A、B，
及定比 ，則．【最好熟記！】
PA OA r AB
注 菠蘿圓的常用公式 ，OA OB r2 ，菠蘿圓的半徑為：r 1
PB r OB

很常用，形式也很簡單，最好熟記！！

圓心坐標 利用定比分點求內外分點的坐標，即 AD DB，D包括 D內、D外，由于
內外分點也是圓直徑的兩個端點，故圓心坐標和半徑可以一起確定．
已知一個定點和阿波羅尼斯圓，求另一個定點和定比
如圖，已知其中一個定點 A，以及動點 P對應的阿波羅尼斯圓，如何快速確定另一個定
點 B和定比 的位置？
注 圓心 O在線段的延長線上！！有些粗心的同學在數形結合畫草圖的時候，肯定會犯
模糊？
1
例 已知動點 P 與兩定點 A(0 , 0)、 B(3 , 0)的距離之比為 ，則動點 P 的軌跡方程
2
為 ．
法一 直譯法
x2 y2
設點 P(x , y) 1是曲線上任意一點，則 ，化簡整理可得：(x 1)2 y2 4．
(x 3)2 y2 2
法二 利用定比分點，確定內外分點法
1
設 D為分點，則 AD DB，可得： D (1 , 0)， D外( 3 , 0)，由于內外分點也是圓直2 內
徑的兩個端點，易得圓心坐標為 ( 1 , 0)，半徑為 2．
法三 設圓心為 C AB 3 PA CA r 1，半徑為 r，則 r 2，又 ，即CA 1，
1 2 1 PB r CB 2
2
由定比可知圓心 C在定點 A的左側，故C( 1 , 0)．
例 (1)(2006 四川文理)已知兩定點 A( 2 , 0)，B(1 , 0)，如果動點 P滿足條件 PA 2 PB ，
則點 P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( )．
A． B．4 C．8 D．9
(2)在平面直角坐標系中，圓 x2 y2 1交 x軸于 A、B兩點，且點 A在點 B左邊，若直
線 x 3y m 0 上存在點 P，使得 PA 2 PB ，則 m的取值范圍為 ．
(1) B r AB 3
13
解 選 ； 1 1 2
；(2) , 1 ．
2 3
2
例 (1)(2008 江蘇)滿足條件 AB 2， AC 2BC的△ABC 的面積的最大值是______．
(2)已知等腰三角形腰上的中線長為 3，則該三角形面積的最大值是______．
解 (1) AB 2法一 易知 C的軌跡為圓 O，且半徑 r 2 2 ，分析易得：
1 2 1
2
當且僅當 CO⊥AB時，面積取最大，即為 2 2．
法二 作高法；作 CD⊥AB于點 D，設 AD x，CD h，則 BD 2 x ，由 AC 2BC
可得：
x2 h2 2((x 2)2 h2 )，即 h2 x2 8x 8，
故 h2 8，易知面積最大為 2 2．
A A
D E DG
B C B C
(2)法一 如圖所示， AB AC，中線 BD 3， S△ABC 2S△ABD，又 AB 2AD，A的
BD 3 2 3
軌跡是以 B、D 為定點的菠蘿圓，其半徑 r ，故△ABC 最大值為
1 2 1 3
2
2 1 BD r 2．
2
G CG BG 2法二 借助重心的性質：如圖所示，設重心為 ，則 BD，故
3
S 1 4 2△ABC 3S△BGC 3 BD sin BGC 2，2 9

當且僅當 BGC 時取等號．
2
例 (2014 湖北文壓軸)已知圓O：x2 y2 1和點 A( 2 , 0)，若定點 B(b , 0)(b 2)和常
數 滿足：對圓 O 上任意一點 M，都有 MB MA ，則 (1) b ；
(2) ．
解 此題的背景是阿波羅尼斯圓，熟悉背景的話，此題可以直接口算，是送分題！
2 1 r x 1由于 xAxB r ，故 b ，結合圖形可知 MB MA ，即 1，即
B ．
2 xA r 2
r
例 在平面坐標系 xOy 中，已知圓 x2 y2 r 2 (r 0) ，兩個定點 A , 0

和
3
PA
B(a , 0) a
r
，且 P為圓上任意一點，若 為定值 k，則 a ，k ．
3 PB
r
解 結合草圖必有 a 0 且 0 k 1 ，由 OA OB r2 ，即 a r2 a 3r ，
3
k r OB 3．
OA r
例 (2015 湖北理壓軸)如圖，圓 C與 x軸相切于點T (1 , 0)，與 y軸正半軸交于兩點 A、
B（B在 A的上方），且 AB 2．
(1)圓 C的標．準．方程為 ；
(2)過點 A任作一條直線與圓O：x2 y2 1相交于 M、N兩點，下列三個結論：
NA MA NB MA NB MA
① ；② 2；③ 2 2．
NB MB NA MB NA MB
其中正確結論的序號是 ．（寫出所有正確結論的序號）
y
B
C
N
M A
O x
解 (1) (x 1)2 (y 2)2 2；
(2) 顯然圓 O是以 A、B為定點的阿波羅尼斯圓，易得 A(0 , 2 1)， B(0 , 2 1)，阿
NA MA OA r NB
波羅尼斯圓的半徑 r 1，故 2 1， 2 1，因此，①②
NB MB r OB NA
③都正確．
例 (1)已知點 P在邊長為 2的正方形 ABCD的內切圓上運動，則 AP 2BP的最小值
是_______．
(2) 已知 P 在邊長為 2 的正三角形 ABC 的內切圓上運動，則 AP 2BP 的最小值是
_______．
解 (1)有圓 O和一個定點（A或 B），由于OA OB，故不妨取 A為定點，設另一個

OA 2 PA
定點為 A ，定比為 （結合圖形，必有 1），則OA OA r2 2 ，則 2 ．
PA
2
因 此 ， AP 2BP 2(AP BP) 2A B ， 又 A B OA 2 OB2 5 ， 故
2
AP 2BP 5 ．
C
D C
O
A OA
P
A B A P B
3
(2) OA 和上題分析類似，OA OA r2 6 ，AP 2BP 2(AP BP) 2A B 7．
2
例 (1)已知 A、B分別為 x、y軸上的兩個動點，且 AB 10，M為 AB的中點，P(10 , 0)，
Q 13
1
, 3 ，則 PM QM 的最小值為 ．
2 2
(2)設點 M在圓C：(x 4)2 ( y 4)2 8上運動，點 A(6 , 1)，O為原點，則MO 2MA
的最小值為 ．
(3)如圖所示，直角扇形 AOB的半徑為 6，C、D分別為 OA、OB上的點，其中OC 3，
OD 5，點 P為弧 AB上任意一點，則 2PC PD的最小值為 ．
A
P
C
O BD
解 (1)易知M的軌跡方程為： x2 y2 25，即 r 5；
1
根據“ PM QM 1 OP”可以確定菠蘿圓的定比必為 2或 ，又OP 10， 2，顯然
2 2 r
菠蘿圓的一個定點必定可以是 P，設另一個定點為 N(n , 0)，利用OP ON r 2 ON 5 ，
2
即 N 5 , 0

；
2
MP 1
結合圖形可知 2，故 PM QM MN QM QN 5．
MN 2
y y
Q
C
P
O N P x
M M
O A x
(2)根據“MO 2MA 1”可以確定菠蘿圓的定比必為 2或 ，又 r 2 2 ，OC 4 2 ，
2
OC
2 ，顯然菠蘿圓的一個定點必定可以是原點 O，設另一個定點為 P ，利用
r
CP CO r 2 CP 2 ，點 P 在直線 y x上，易得 P MO3 , 3 ，結合圖形可知 2，故
MP
MO 2MA 2MP 2MA 2PA 10．
(3) 13；方法類似，具體過程略．
8.3 角平分線 vs 阿波羅尼斯圓

例 (1)(2016 臺州一模) MA MC MB MC已知 C是線段 AB上的一點，AC 2CB， ，
MA MB

MA MB
則 2 的最小值范圍為 ．
AB
1 r
(2)(2016 杭州一模)已知OA、OB是非零不共線的向量，設OC OA OB，定
r 1 r 1

KA KC KB KC
義點集M K , KA KB

，當 K1 、K2 M 時，若對于任意的 r 2，
KA KB

不等式 K1K2 c AB 恒成立，則實數 c的最小值為 ．

(1) 2 MA MC MB MC解 ； BMC AMC ，故點 M 軌跡是以 A、B為定
9 MA MB
點的菠蘿圓．
設 AB的中點為 D，利用極化恒等式：
2 2
AB AB2 2 2 2
MA MB MD AD CD AD
6 2 2 2 2 2 2 ．
AB AB AB AB 9

4
(2) ；OC 1 OA r OB AC rCB KA KC KB KC， AKC BKC ，
3 r 1 r 1 KA KB

K K
故點 K的軌跡為圓，又不等式 K K c AB 恒成立，故 c 1 21 2 ，
AB max

K K
顯然，當 K1K2為圓的直徑時取得最大值，故K K
AB 1 2
1 1 41 2 ，即 ．
r 1 AB r 1 2 1 3
r r 2
例 在△ABC中， AC 2， AB mBC(m 1) ，若恰好當 B 時，△ABC面積最大，
3
則m ．
y
B
O C M A x
答案 2 3 ；如圖所示，點 B的軌跡為菠蘿圓 O，因此，當△ABC面積最大時，OB r，

由于 ABC ，故 ABM CBM ，又 BMC ，則
3 6 4
m BA OA r OB tan OCB tan 75 2 3 ．
BC r OC OC
MP
例 P、Q是兩個定點，點 M為平面內的動點，且 ( 0且 1)，點 M的軌
MQ
跡圍成的平面區域的面積為 S，設 S f ( )，則以下判斷正確的是( )．
A． f ( )在 (0 ,1)上是增函數，在 (1 , )上是減函數
B． f ( )在 (0 ,1)上是減函數，在 (1 , )上是減函數
C． f ( )在 (0 ,1)上是增函數，在 (1 , )上是減函數
D． f ( )在 (0 ,1)上是減函數，在 (1 , )上是增函數
d 2
解 設 PQ d r d S f ( ) r2，則 ，故 1 ，結合對勾函數的性質，
1 2 2
2
顯然選 A．
例 已知點 A(0 ,1)， B(1 , 0)，C(t , 0)，點 D是直線 AC上的動點，若 AD 2BD恒成
立，則實數 t的取值范圍是___________．
4 2AD 2BD D x y 1
2
8
解 對 直譯可得點 的軌跡是： ，
3 3 9
x 2 2 x 4 y 1 8依題意，只須直線 AC： y 1與圓 相切或相離即可，即t 3 3 9
4 1
t t
3 3 2 2 ，解得 t 2 3或 t 2 3．
1 t 2 3
例 過△ABC的重心G作直線MN分別交邊AB、AC于點M、N，若 AB 2，AC 3BC，
則當△ABC的面積最大時，四邊形 MNCB面積的最大值為( )．
A 5 6 B 5 6 C 5 3 D 5 3． ． ． ．
18 9 9 18
解 選 D ； 由 “ AB 2 ， AC 3BC ” 可 知 點 C 的 軌 跡 為 圓 ， 且 半 徑
r AB 2 6 ．
1 1 3 2
3
當 △ ABC 的 面 積 最 大 時 ， 則 此 時 的 點 C 到 AB 的 距 離 為 半 徑 r ， 此 時
S 1△ABC AB r
3
．欲使得四邊形 MNCB面積最大，則等價于△AMN的面積最小，
2 2

直線 MN過△ABC的重心 G，設 AM xAB， AN yAC，其中 0 x、y 1，
1

1 AM AN AG AB AC M N G 3 1 1則 ， 、 、 三點共線可得： ，3 3 x y x y
由于3 1 1 1 4 2 ，故 xy ，S△AMN xy S
4
△ABC S△ABC ，因此，四邊形 MNCBx y xy 9 9
5 5 3
面積的最大值為 S
9 △ABC
，此時的直線 MN恰好和直線 BC平行．
18
例 已知△ABC的面積為 1，∠A的平分線交對邊 BC于 D，AB 2AC ，且 AD kAC，
k R ，則當 k 時，邊 BC的長度最短．
y
A
O C D B x
2 10
解 ；由 AB 2AC OC R 1可知：點 A的軌跡為阿氏圓，設其半徑為 R，則 ，
5 R OB 2
R
故OC ，OB 2R，如圖所示，作出相應的幾何圖形．
2
由于△ABC的面積為定值，欲使得邊 BC的長度最短，則 BC邊上的高必須最大，即為
半徑 R，即在阿氏圓與 y軸的交點處，此時 AD2 OD2 R2 2R2 ，AC 2 OC 2 5 R2 R2．
4
例 在△ABC中，點 D在邊 BC上，且 DC 2BD， AB：AD：AC 3：k：1，則實數 k
的取值范圍為 ．

法 一 根 據 題 意 有 DC 2BD ， 即 AD 2 AB 1 AC ， 兩 邊 平 方 整 理 得 ：
3 3
37 12 k 2 cos 5 7 ，其中 為 AB和 AC的夾角，故 (0 , )，注意到 k 0，易解得 k , ．
9 9 3 3
y
A
O C D B x
AB 3 OB R
法二 由于 ，如圖所示，構造菠蘿圓模型，設菠蘿圓的半徑為 R，則 3，
AC 1 R OC
R
即OC ，OB 3R CD 2 BC 16 ， R．
3 3 9
不妨令 R 9，則菠蘿圓方程為： x2 y2 81，C(3 , 0)， D(19 , 0)，故
k AD (x 19)
2 y2 442 38x
， x ( 9 , 9)，
AC (x 3)2 y2 90 6x
5 7
注意到15 ( 9 , 9) ，故 k在區間端點處取得最值，易得 k , ．
3 3
注 法一中的向量手法，可以積累一下，在解三角形中，與線段分點有關的題，可以嘗
試使用！
法二利用了阿氏圓的背景，相對法一，思路也很簡單，就是計算量是硬傷！！
例 已知共面向量 a 、 b 、 c 滿足 a 3， b c 2a ，且 b b c ．若對每一個確定
的向量 b ，記 b ta (t R)的最小值為 dmin，則當 b 變化時， dmin的最大值為( )．
A 4． B．2 C．4 D．6
3
答案 選 B．
B
b A
a
O c C
3
解 如圖所示，易知點 B的軌跡為阿氏圓，dmin的最大值即為阿氏圓的半徑 r 2．
2 1
2
x2 y2
例 已知橢圓 2 2 1 a b 0 ，A、F是其左頂點和左焦點，P是圓 x
2 y2 b2 上
a b
PA
的動點，若 （ 為常數），則此橢圓的離心率為 ．
PF
解 點 P的軌跡是菠蘿圓，故 OA OF r2 ，即 ac b2 5 1，解得 e ．
2
例 (2013 江蘇)如圖，在平面直角坐標系中，已知點 A(0 , 3)，直線 l：y 2x 4，設圓
C的半徑為 1，圓心在直線 l上．
(1)若圓心 C在直線 y x 1上，過點 A作圓 C的切線，求切線的方程．
(2)若圓 C上存在點 M，使MA 2MO ，求圓心 C的橫坐標 a的取值范圍．
y
A l
O x
解 (1)圓心 C為直線 y 2x 4和 y x 1的交點，解得C(3 , 2)，易知切線的斜率必存
3k 1
在，故設切線為 y kx 3，則 1 3，解得 k 0或 k ，故切線的方程為 y 3或
k 2 1 4
3x 4y 12 0．
(2)圓心 C在直線 y 2x 4上，故圓 C的方程為： (x a)2 y 2(a 2) 2 1，
設M (x , y)，由MA 2MO 得： x2 ( y 3)2 2 x2 y2 ，即 x2 (y 1)2 4，因此，
點 M的軌跡是以圓心D(0 , 1)，半徑為 2的圓．
由題意可知點 M也在圓 C上，因此，只需要圓 C和圓 D有公共點即可，故
2 1 CD 2 1，即1 a2 (2a 3)2 3，
12 C a 0 , 12 解得 0 a ，故圓心 的橫坐標 的取值范圍為 ．
5 5
例 (2002 全國文)已知點 P到兩定點M ( 1 , 0)、N (1 , 0)距離的比為 2 ，點 N到直線
PM的距離為 1，求直線 PN的方程．
解 設 P的坐標為 (x, y) PM，由題意有 2 ，即 (x 1)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，
PN
整理得 x2 y2 6x 1 0，因為點 N到 PM 的距離為 1，MN 2，所以 PMN 30 ，直線 PM
3 3 3
的斜率為 ，直線 PM 的方程為 y (x 1)，將 y (x 1)代入 x2 y2 6x 1 0
3 3 3
整理得 x2 4x 1 0
解得 x 2 3 ， x 2 3 ，則點 P 坐標為 (2 3,1 3) 或 (2 3, 1 3) ，
(2 3, 1 3)或 (2 3,1 3)，直線 PN 的方程為 y x 1或 y x 1．
例 在 x軸正半軸上是否存在兩個定點 A、B，使得圓 x2 y2 4上任意一點到 A、B兩
1
點的距離之比為常數 ？如果存在，求出點 A、B坐標；如果不存在，請說明理由．
2
PA OA r 1
分析 設點 P為圓 O上任一點，半徑 r 2，假設 A在 B的左側，則 ，
PB r OB 2
即OA 1、OB 4，即 A(1,0)、 B(4,0)，顯然，利用背景很簡單，不過，對于解答題，需
要轉化為恒成立的問題．
解 假設在 x軸正半軸上是否存在兩個定點 A、B，使得圓 x2 y2 4上任意一點到 A、
B 1兩點的距離之比為常數 ，設 P(x , y)、 A(x1,0)、 B(x2 ,0)，其中 x2 x1 0．2
(x x1)
2 y2 1
即 對滿足 x2 y2 4的任何實數對 (x , y)恒成立，整理得：
(x x2)
2 y2 2
2x(4x x ) x21 2 2 4x
2
1 3(x
2 y2 )，
將 x2 y2 4代入上式得：2x(4x1 x2) x
2
2 4x
2
1 12，欲使得這個式子對任意 x [ 2,2]
4x1 x2 0
恒成立，所以一定有： ，因為 x2 x1 0，所以解得： x 1、 xx2 4x2 12 1 2
4．
2 1
因此，在 x軸正半軸上存在兩個定點 A(1,0)、 B(4,0)，使得圓 x2 y2 4上任意一點到
A、B 1兩點的距離之比為常數 ．
2
例 有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價格相同．某地居民從兩地之一購得商
品后運回的費用是：每單位距離 A地的運費是 B地的運費的 3 倍．已知 A、B兩地距離為
10公里，顧客選擇 A地或 B地購買這種商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低．求
A、B兩地的售貨區域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內、曲線外的居民應如何
選擇購貨地點．
分析：該題不論是問題的背景或生活實際的貼近程度上都具有深刻的實際意義和較強的
應用意識，啟示我們在學習中要注意聯系實際，要重視數學在生產、生活以及相關學科的應
用．解題時要明確題意，掌握建立數學模型的方法．
解 以 A、B所確定的直線為 x軸，AB的中點 O為坐標原點，建立如圖所示的平面直
角坐標系．
∵ AB 10，∴ A( 5 , 0)， B(5 , 0)．
設某地 P的坐標為 (x , y)，且 P地居民選擇 A地購買商品便宜，并設 A地的運費為 3a
元/公里，B地的運費為 a元/公里．因為 P地居民購貨總費用滿足條件：
價格＋A地運費≤價格＋B地的運費
即 3a (x 5)2 y2 a (x 5)2 y2 ． ∵ a 0 ， ∴
3 (x 5)2 y2 (x 5)2 y2
(x 25)2 y2 (15)2 ( 25 , 0) 15化簡整理得： ，∴以點 為圓心 為半徑的圓是兩地
4 4 4 4
購貨的分界線．
圓內的居民從 A地購貨便宜，圓外的居民從 B地購貨便宜，圓上的居民從 A、B兩地購
貨的總費用相等．因此可隨意從 A、B兩地之一購貨．
說明：實際應用題要明確題意，建議數學模型．

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