資源簡介

空間向量與立體幾何
01 空間向量及其運算
【知識點梳理】
知識點一：空間向量的有關(guān)概念
1．空間向量
(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2)長度或模：空間向量的大小．
(3)表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：，其模記為|a|或||.
知識點詮釋：
（1）空間中點的一個平移就是一個向量；
（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。
2．幾類常見的空間向量
名稱 方向 模 記法
零向量 任意 0 0
單位向量 任意 1
相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量：
相等向量 相同 相等 a＝b
知識點二：空間向量的線性運算
(1)向量的加法、減法
空間向量的運算 加法 ＝＋＝a＋b
減法 ＝－＝a－b
加法運算律 ①交換律：a＋b＝b＋a ②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)空間向量的數(shù)乘運算
①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．
當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向相同；
當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向相反；
當(dāng)λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．
②運算律
結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知識點詮釋：
（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，可以將向量合并；
（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．
（3）空間向量加法的運算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，
即：
因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，
即：；
知識點三：共線問題
共線向量
(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．
(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．
規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.
(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.
(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得＝λa.
知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：
（1）存在唯一實數(shù)，使得；
（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．
注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．
（3）共線向量定理的用途：
①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）
②證明三點共線。
注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。
知識點四：向量共面問題
共面向量
(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使＝x＋y或?qū)臻g任意一點O，有＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①證明四點共面
②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。
知識點五：空間向量數(shù)量積的運算
空間向量的數(shù)量積
(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.
(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)
①a⊥b a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
(3)數(shù)量積的運算律
數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交換律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
知識點詮釋：
（1）由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．
（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．
（3）兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．
知識點六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系
當(dāng)a⊥b時，a·b＝0.
知識點七：夾角問題
1.定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。
根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：，
那么空間兩個向量、的夾角的余弦。
知識點詮釋：
（1）規(guī)定:
（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。
2.利用空間向量求異面直線所成的角
異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。
在求異面直線所成的角時，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角。
知識點八：空間向量的長度
定義：
在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：
將其推廣：
；。
2.利用向量求線段的長度。
將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解。
02 空間向量基本定理
【知識點梳理】
知識點01：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解
空間向量基本定理：
如果空間中的三個向量，，不共面，那么對空間中的任意一個向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底.此時，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.
知識點2：空間向量的正交分解
單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示.
正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.
知識點3：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題
用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點：
(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．
(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．
(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立
03 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
【知識點梳理】
知識點一、空間直角坐標(biāo)系
1.空間直角坐標(biāo)系
從空間某一定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點O叫做坐標(biāo)原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.
3.空間點的坐標(biāo)
空間一點A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo).
知識點二、空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)
1.空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的求法
通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點相應(yīng)的一個坐標(biāo).
特殊點的坐標(biāo)：原點；軸上的點的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)分別為.
2.空間直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系中，點，則有
點關(guān)于原點的對稱點是；
點關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點是；
點關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點是；
點關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點是；
點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；
點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；
點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是.
知識點三、 空間向量的坐標(biāo)運算
（1）空間兩點的距離公式
若，則
①
即:一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。
②，
或.
知識點詮釋：兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長公式推出。
（2）空間線段中點坐標(biāo)
空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標(biāo)為.
（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運算
若，則
①;
②;
③;
（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算
若，則
即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。
（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標(biāo)計算公式
若，則
(1).
(2).
知識點詮釋：
①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：
，其中的范圍是
②.
③用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補）。
（6）空間向量平行和垂直的條件
若，則
①
②
規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直
作用：證明線線平行、線線垂直.
04 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
【知識點梳理】
知識點一、空間直角坐標(biāo)系
1.空間直角坐標(biāo)系
從空間某一定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點O叫做坐標(biāo)原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.
3.空間點的坐標(biāo)
空間一點A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo).
知識點二、空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)
1.空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的求法
通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點相應(yīng)的一個坐標(biāo).
特殊點的坐標(biāo)：原點；軸上的點的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)分別為.
2.空間直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系中，點，則有
點關(guān)于原點的對稱點是；
點關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點是；
點關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點是；
點關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點是；
點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；
點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是；
點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是.
知識點三、 空間向量的坐標(biāo)運算
（1）空間兩點的距離公式
若，則
①
即:一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。
②，
或.
知識點詮釋：兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長公式推出。
（2）空間線段中點坐標(biāo)
空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標(biāo)為.
（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運算
若，則
①;
②;
③;
（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算
若，則
即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。
（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標(biāo)計算公式
若，則
(1).
(2).
知識點詮釋：
①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：
，其中的范圍是
②.
③用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補）。
（6）空間向量平行和垂直的條件
若，則
①
②
規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直
作用：證明線線平行、線線垂直.

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