資源簡介

立體幾何
1 立體幾何圖形
一、空間幾何體的相關概念
1、空間幾何體：在我們的周圍存在著各種各樣的物體，他們都占據著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體。
例如：我們日常接觸到的足球、籃球等，吐過只考了他們的形狀和大小，他們都是球體，還有其他幾何體如長方體、正方體等。
2、多面體：一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.
（1）多面體的面：圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；
（2）多面體的棱：兩個面的公共邊叫做多面體的棱；
（3）多面體的頂點：棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。
3、旋轉體：一條平面曲線（包括直線）繞它所在的平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸。
二、棱柱
1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體叫棱柱。
（1）有兩個互相平行的面叫做棱柱的地面，它們是全等的多邊形；
（2）其余各面叫做棱柱的側面，他們都是平行四邊形；
（3）相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；
（4）側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。
【注意】
（1）有兩個面互相平行，并不代表只有兩個面互相平行，如長方體有三組對面互相平行，其中任意一組對面都可以作為底面。
（2）棱柱的另外一種定義一般地，由一個平面沿著某一方向平移形成的空間幾何體叫做柱體，平移起止位置的兩個面叫做柱體的底面，縮變形的邊平移所形成的的面叫做柱體的側面
2、棱柱的分類：
（1）按底面多邊形的邊數：可以把棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；
（2）按側棱與底面的位置關系：可以把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；
其中直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱．
斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱．
正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱．
平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱．
三、棱錐
1、定義：一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。
（1）這個多邊形面叫做棱錐的底面；
（2）有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；
（3）相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱；
（4）各個側面的公共頂點叫做棱錐的頂點。
【注意】有一個面是多邊形，其余各面都使三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖。
棱錐還需要滿足各三角形有且只有一個公共頂點。
2、棱錐的分類：
按底面多邊形的邊數，可以把棱錐分成三棱錐、四棱錐和五棱錐。
【注意】底面為正多邊形的棱錐叫做正棱錐，如正三棱錐、正四棱錐……
四、棱臺
1、定義：用一個平行與棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面與截面之間的部分叫做棱臺。
（1）原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；
（2）其他各面叫做棱臺的側面；
（3）相鄰側面的公共邊叫做棱臺的側棱；
（4）側面與底面的公共頂點叫做棱臺的定點。
【注意】（1）棱臺上下底面是互相平行且相似的多邊形；
（2）側面都是梯形；
（3）各側棱的延長線交于一點。
2、棱臺的分類：
由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……
五、圓柱
定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成的旋轉體角圓柱。
（1）旋轉軸叫做圓柱的軸；
（2）垂直于軸的變旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；
（3）平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；
（4）無論轉到什么位置，平行與軸的邊都叫做圓柱側面的母線。
【注意】（1）底面是互相平行且全等的圓面；
（2）母線有無數條，都平行與軸；
（3）軸截面為矩形。
六、圓錐
定義：以直角三角形的一條所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐。
（1）垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓錐的底面；
（2）直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面；
（3）無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓錐側面的母線。
【注意】（1）底面是圓面，橫截面是比底面更小的圓面，軸截面是等腰三角形；
（2）圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是圓錐的母線；
（3）母線有無數條，且長度相等，側面由無數條母線組成。
（4）直角三角形繞其任意一邊所在的直線旋轉一周所形成的幾何體不一定是圓錐。
七、棱臺
1、第一種定義：用平行與圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺。
2、第二種定義：以直角題型處置與底面的腰所在的的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體。
【注意】（1）圓臺上、下底面是半徑不相等且互相平行的圓面；
（2）母線有無數條且長度相等，各母線的延長線交于一點；
（3）軸截面為等腰梯形。
八、球
定義：半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球。
（1）球心：半圓的圓心叫做球的球心；
（2）半徑：連接圓心與球面上任意一點的線段叫做球的半徑；
（3）直徑：連接球面上兩點并且經過球心的線段叫做球的直徑。
九、組合體的定義
現實世界中物體表示的是幾何體，除了柱體、錐體、臺體和球等簡單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡單幾何體組合而成，這些幾何體稱作組合體。
組合體可以由幾何體拼接、截去或挖去一部分形成。
2 立體圖形的直觀圖
一、空間幾何體的直觀圖的概念
直觀圖是觀察者在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形；
直觀圖是把空間圖形畫在平面內，既富有立體感，又能表達出圖形各主要部分的位置關系和度量關系的圖形。
二、立體圖形的直觀圖的畫法
1、斜二測畫法：我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．
斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法．
（1）“斜”：在已知圖形的平面內與軸垂直的線段，在直觀圖中均與軸承或
（2）“二測”：兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于軸或軸的線段長度不變；
平行于軸的長度變成原來的一半，
2、平面圖形直觀圖的畫法及要求
第一步建系：在已知圖中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點，
畫直觀圖時，把他們弧長對應的軸和軸，兩軸相交于，
且使（或），它們確定的平面表示水平面；
第二步平行不變：已知圖形中平行與軸和軸的線段，
在直觀圖中分別畫出平行與軸或軸的線段；
第三步長度規則：已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，
平行于軸的線段，長度變為原來的一半，
3、空間幾何體直觀圖的畫法
（1）與平面圖形的直觀圖相比，多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，直觀圖中與之對應的是z′軸；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面；
（3）已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．
（4）成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．
4、直觀圖與原圖之間的“變”與“不變”
“三變”：（1）坐標軸的夾角改變；
（2）與軸平行的線段長度變為原來的一半；
（3）圖形改變。
“三不變”：（1）平行性不改變；
（2）與軸和軸平行的線段長度不改變；
（3）相對位置不改變。
三、直觀圖與原圖多邊形面積之間的關系
若一個多邊形的面積為，它的直觀圖的面積為，則有，
舉個例子：以三角形為例，如圖，設元三角形的底為，高為，
則其面積為，
在直觀圖中，，，
在直觀圖中，
3 圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積
一、圓柱、圓錐、圓臺的表面積
1、側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
2、圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟;
解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖，借助平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：
(1)得到空間幾何體的平面展開圖．
(2)依次求出各個平面圖形的面積．
(3)將各平面圖形的面積相加．
二、圓柱、圓錐、圓臺的體積
1、圓柱、圓錐、圓臺的體積公式：
（1）圓柱的體積公式：
（2）圓錐的體積公式：
（3）圓臺的體積公式：V＝(S上＋S下＋)h
2、柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系
三、球的表面積和體積
1、球的體積公式：
2、球的表面積公式：
四、球的截面的性質
（1）球的軸截面（過球心的截面）是將球的問題（立體幾何問題）轉化為平面問題（圓的問題）的關鍵，因此在解決球的有關問題時，我們必須抓住球的軸截面，并充分利用它來分析解決問題．
（2）用一個平面去截一個球，截面是圓面，如圖，球的截面有以下性質：
①球心和截面圓圓心的連線垂直于截面；
②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r滿足關系d＝.
4 空間點、直線、平面的位置關系
一、平面
1、平面的表示：
（1）在立體幾何中，通常以用平行四邊形來表示平面。
（2）可寫成平面，平面，平面或平面（對角線）
2、平面的畫法：
（1）當平面水平放置時，平行四邊形的銳角一般畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍；
（2）當平面豎直放置時，平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線。
3、特點：
（1）平面是平的；
（2）平面是無限延展的沒有邊界的；
（3）平面是沒有厚度的。
4、點與直線（平面）、直線與平面的位置關系
（1）點與直線（平面）的位置關系只能用“∈”或“ ”，
（2）直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”．
二、平面的基本事實
1、基本事實1
（1）內容：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面
（2）圖形：
（3）符號表示：A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
（4）作用：確定一個平面或判斷“直線共面”的方法
2、基本事實：
（1）內容：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內
（2）圖形：
（3）符號表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
（4）作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內；③由直線在平面內判斷直線上的點在平面內
3、基本事實：
（1）內容：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
（2）圖形：
（3）符號表示：P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l
（4）作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點共線
4、三個推論：
推論1：經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
三、空間點、直線、平面位置關系
1．直線與直線的位置關系
（1）共面與異面直線
定義：不同在任何一個平面內的兩條直線．
異面直線的畫法：
① ②
（2）空間兩條直線的位置關系
位置關系 特點
相交 同一平面內，有且只有一個公共點
平行 同一平面內，沒有公共點
異面直線 不同在任何一個平面內，沒有公共點
2、直線與平面的位置關系
位置關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 無數個公共點 一個公共點 沒有公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
3、兩個平面的位置關系
位置關系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 沒有公共點 有無數個公共點(在一條直線上)
符號表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
5 空間點、直線、平面的位置關系
一、平面
1、平面的表示：
（1）在立體幾何中，通常以用平行四邊形來表示平面。
（2）可寫成平面，平面，平面或平面（對角線）
2、平面的畫法：
（1）當平面水平放置時，平行四邊形的銳角一般畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍；
（2）當平面豎直放置時，平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線。
3、特點：
（1）平面是平的；
（2）平面是無限延展的沒有邊界的；
（3）平面是沒有厚度的。
4、點與直線（平面）、直線與平面的位置關系
（1）點與直線（平面）的位置關系只能用“∈”或“ ”，
（2）直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”．
二、平面的基本事實
1、基本事實1
（1）內容：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面
（2）圖形：
（3）符號表示：A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
（4）作用：確定一個平面或判斷“直線共面”的方法
2、基本事實：
（1）內容：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內
（2）圖形：
（3）符號表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
（4）作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內；③由直線在平面內判斷直線上的點在平面內
3、基本事實：
（1）內容：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
（2）圖形：
（3）符號表示：P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l
（4）作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點共線
4、三個推論：
推論1：經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
三、空間點、直線、平面位置關系
1．直線與直線的位置關系
（1）共面與異面直線
定義：不同在任何一個平面內的兩條直線．
異面直線的畫法：
① ②
（2）空間兩條直線的位置關系
位置關系 特點
相交 同一平面內，有且只有一個公共點
平行 同一平面內，沒有公共點
異面直線 不同在任何一個平面內，沒有公共點
2、直線與平面的位置關系
位置關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 無數個公共點 一個公共點 沒有公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
3、兩個平面的位置關系
位置關系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 沒有公共點 有無數個公共點(在一條直線上)
符號表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
6 空間點、直線、平面的位置關系
一、平面
1、平面的表示：
（1）在立體幾何中，通常以用平行四邊形來表示平面。
（2）可寫成平面，平面，平面或平面（對角線）
2、平面的畫法：
（1）當平面水平放置時，平行四邊形的銳角一般畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍；
（2）當平面豎直放置時，平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線。
3、特點：
（1）平面是平的；
（2）平面是無限延展的沒有邊界的；
（3）平面是沒有厚度的。
4、點與直線（平面）、直線與平面的位置關系
（1）點與直線（平面）的位置關系只能用“∈”或“ ”，
（2）直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”．
二、平面的基本事實
1、基本事實1
（1）內容：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面
（2）圖形：
（3）符號表示：A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
（4）作用：確定一個平面或判斷“直線共面”的方法
2、基本事實：
（1）內容：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內
（2）圖形：
（3）符號表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
（4）作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內；③由直線在平面內判斷直線上的點在平面內
3、基本事實：
（1）內容：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
（2）圖形：
（3）符號表示：P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l
（4）作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點共線
4、三個推論：
推論1：經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
三、空間點、直線、平面位置關系
1．直線與直線的位置關系
（1）共面與異面直線
定義：不同在任何一個平面內的兩條直線．
異面直線的畫法：
① ②
（2）空間兩條直線的位置關系
位置關系 特點
相交 同一平面內，有且只有一個公共點
平行 同一平面內，沒有公共點
異面直線 不同在任何一個平面內，沒有公共點
2、直線與平面的位置關系
位置關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 無數個公共點 一個公共點 沒有公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
3、兩個平面的位置關系
位置關系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 沒有公共點 有無數個公共點(在一條直線上)
符號表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
7 直線與平面平行
一、空間直線與平面的位置關系有以下三種：
1、直線在平面內：如果一條直線a與平面α有兩個不同的公共點，那么這條直線就在這個平面內，記作a α.
2、直線與平面相交：直線a與平面α只有一個公共點A，叫做直線與平面相交，記作a∩α＝A，公共點A叫做直線a與平面α的交點．
3、直線與平面平行：如果一條直線a與平面α沒有公共點，叫做直線與平面平行，記作a∥α.
二、直線與平面平行的判定定理：
1、文字語言：如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，該直線與此平面平行
2、符號： l∥α
3、圖形：
三、直線與平面平行的性質定理
1、文字語言：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行．
2、符號語言：l∥α，l β，β∩α＝m l∥m.
3、圖形語言：
8 平面與平面平行
一、平面與平面平行的判定定理
1、文字語言：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行
(簡記為“線面平行 面面平行”)
2、符號語言：∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α∴α∥β
3、圖形：
4、判定定理推論：如果一個平面內兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，
則這兩個平面平行．
二、平面與平面平行的性質定理
1、文字語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行
2、符號語言：∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
3、圖形：
4、性質定理推論：
推論1：如果兩個平面平行，其中一個平面內的任一直線平行于另一個平面．
推論2：兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例
9 直線與直線垂直
一、兩條直線所成的角
1、兩條直線所成的角：平面內兩條直線相交形成4個角，
其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角（或夾角）.
2、異面直線所成角：
（1）定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，
我們把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
（2）角的范圍：異面直線所成的角θ的取值范圍：0°＜θ≤90°.
（3）當θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b.
垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直．
3、判定兩條直線是異面直線的方法
①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內
②重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為A α，B∈α，l α，B l AB與l是異面直線(如圖)．
二、求兩異面直線所成的角的步驟
1、作角：根據異面直線所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角；
2、證角：證明作出的角就是要求的角，即證明所作角的兩邊分別與兩條異面直線平行
3、計算：求角的值，常利用解三角形得出。
可用“一作二證三計算”來概括．同時注意異面直線所成角范圍是0°＜θ≤90°.
4、結論：若求出的角時銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；
若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角。
三、證明異面直線垂直的步驟：
1、作出兩異面直線所成的角；
2、求出兩異面直線所成角的余弦值或在特殊在三角形中說明垂直關系；
3、得出結論，
10 直線與平面垂直
一、直線與平面垂直的定義
1、文字語言：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
2、符號語言：l⊥α
3、有關概念：直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們唯一的公共點P叫做垂足
4、圖形語言：
5、畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.
6、點到平面的距離：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點到垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做叫做這個點到該平面的距離。
【注意】過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.
二、直線與平面垂直的判定定理
1、文字語言：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
2、符號語言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
3、圖形語言：
5、作用：證明線面垂直
三、直線與平面垂直的性質定理
1、文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行.
2、符號語言： a∥b
3、圖形語言：
4、作用：①線面垂直 線線平行 ②作平行線
5、推論：
（1）一條直線垂直于一個平面，它就和平面內的任意一條直線垂直．
（2）若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直這個平面.
（3）若一條之心垂直于兩個平行平面中的一個，則它必垂直于另外一個平面/
（4）垂直于同一條直線的兩個平行平行.
四、直線和平面所成的角
1、有關概念：
（1）斜線：與平面α相交，但不和平面α垂直，圖中直線PA
（2）斜足：斜線和平面的交點，圖中點A
（3）射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，
過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影，
圖中斜線PA在平面α上的射影為AO
2、直線與平面所成的角
（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角.
（2）規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；
一條直線和平面平行或在平面內，它們所成的角是0°的角
3、取值范圍：[0°，90°]
五、三心問題結論
設P是三角形ABC所在平面α外一點，O是P在α內的射影
（1）若PA＝PB＝PC，則O為△ABC的外心．
特別地當∠C＝90°時，O為斜邊AB的中點．
（2）若PA、PB、PC兩兩垂直，則O為△ABC的垂心．
（3）若P到△ABC三邊距離相等，則O為△ABC的內心．
11 直線與平面垂直
一、直線與平面垂直的定義
1、文字語言：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
2、符號語言：l⊥α
3、有關概念：直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們唯一的公共點P叫做垂足
4、圖形語言：
5、畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.
6、點到平面的距離：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點到垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做叫做這個點到該平面的距離。
【注意】過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.
二、直線與平面垂直的判定定理
1、文字語言：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
2、符號語言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
3、圖形語言：
5、作用：證明線面垂直
三、直線與平面垂直的性質定理
1、文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行.
2、符號語言： a∥b
3、圖形語言：
4、作用：①線面垂直 線線平行 ②作平行線
5、推論：
（1）一條直線垂直于一個平面，它就和平面內的任意一條直線垂直．
（2）若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直這個平面.
（3）若一條之心垂直于兩個平行平面中的一個，則它必垂直于另外一個平面/
（4）垂直于同一條直線的兩個平行平行.
四、直線和平面所成的角
1、有關概念：
（1）斜線：與平面α相交，但不和平面α垂直，圖中直線PA
（2）斜足：斜線和平面的交點，圖中點A
（3）射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，
過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影，
圖中斜線PA在平面α上的射影為AO
2、直線與平面所成的角
（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角.
（2）規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；
一條直線和平面平行或在平面內，它們所成的角是0°的角
3、取值范圍：[0°，90°]
五、三心問題結論
設P是三角形ABC所在平面α外一點，O是P在α內的射影
（1）若PA＝PB＝PC，則O為△ABC的外心．
特別地當∠C＝90°時，O為斜邊AB的中點．
（2）若PA、PB、PC兩兩垂直，則O為△ABC的垂心．
（3）若P到△ABC三邊距離相等，則O為△ABC的內心．

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