資源簡介

數列
01 數列的概念
一、數列及相關概念
1、定義：按一定順序排成的一列數叫做數列。數列中的每一個數都叫做這個數列的項，數列中的每一項都和項的序數有關，各項依次叫做這個數列的第1項，第2項，… ，第項，…
注：數列與數集的區別：數集中的元素具有無序性和互異性，而數列的主要特征是有序性，而且數列的項可以重復出現。
2、數列的一般形式可以寫成：其中是數列的第項，是的序數，上面的數列可簡單記作。
3、函數思想：數列可以看成是定義在自然數集或其子集上的函數。
函數與數列的聯系與區別：
一方面，數列是一種特殊的函數，因此在解決數列問題時，要善于利用函數的知識、函數的觀點、函數的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題．
另一方面，還要注意數列的特殊性(離散型)，由于它的定義域是,因而它的圖象是一系列孤立的點，而不像我們前面所研究過的初等函數一般都是連續的曲線，因此在解決問題時，要充分利用這一特殊性，如研究單調性時，由數列的圖象可知，只要這些點每個比它前面相鄰的一個高(即)，則圖象呈上升趨勢，即數列遞增，即遞增 對任意的都成立．類似地，有遞減 對任意的都成立.
二、數列的表示方法
解析法、圖像法、列舉法、遞推法.
三、數列的分類
有窮數列，無窮數列；遞增數列，遞減數列,擺動數列，常數數列；
1. 有窮數列:項數有限.
2. 無窮數列：項數無限.
3. 遞增數列:對于任何,均有.
4. 遞減數列:對于任何,均有.
5. 擺動數列:例如: -1,1,-1,1,-1,1, …….
6. 常數數列:例如:6,6,6,6,…….
四、數列的通項公式
定義：如果數列的第項與之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式.
注：⑴并不是所有數列都能寫出其通項公式，如數列1，1.4，1.41，1.414，….；
⑵一個數列的通項公式有時是不唯一的，如數列：1，0，1，0，1，0，…它的通項公式可以是
，也可以是.
02 等差數列
一、等差數列概念
概念：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列．這個常數叫做等差數列的公差，常用字母表示．即等差數列有遞推公式：．
二、等差數列的通項公式及推導
1.等差數列的通項公式為：．
2.等差數列的公式的推導：累加法
3.等差數列通項公式的推導：，將這個式子的等號兩邊分別相加得：，即．由等差數列的通項公式易知：．
三、等差中項
定義：如果三個數組成等差數列，那么叫做和的等差中項，即
四、等差數列的常用性質
1.在等差數列中，若，則，
若，則；
該性質推廣到三項，即，，，，，,．
推廣到一般形式，只要兩邊項數一樣，且下標和相等即可．
2.若均為等差數列，且公差分別為，則數列也為等差數列，且公差分別為．
3.如果等差數列的公差為，則是遞增數列；是遞減數列；
是常數列．
4.在等差數列中，等距離取出若干項也構成一個等差數列，即，．．．．，為等差數列，公差為．
五、等差數列的前項和及推導過程
1.等差數列前項和公式：．
2.等差數列前項和公式的推導：
倒序相加
，
把項的順序反過來，可將寫成：
，
將這兩式相加得：
，
從而得到等差數列的前項和公式，又，
得．
六、等差數列前項和的性質
1.在等差數列的前項和也構成一個等差數列，即，，．．．為等列，公 差為．
2.為等差數列
①當項數為奇數時，由得，，
②當項數為偶數時，由得， .
3.通項公式是 是一次函數的形式；前項和公式 是不含常數項的二次函數的形式．（注：當時，，）
4.為等差數列，，則也成等差數列
5.等差數列的公差為，分別代表數列奇數項和、偶數項和，如果數列有
項，則 ；如果數列有項，則.
6.若，，此時二次函數開口向下，對稱軸在軸的右側，有最大值，可由不等式組來確定．
若，，此時二次函數開口向上，對稱軸在軸的右側，有最小值，可由不等式組來確定．
七、等差數列的前項和公式與二次函數
1.區別和聯系
區別 聯系
定義域為 圖像是一系列的額孤立點 （1）解析式都是二次式；（2）圖像是拋物線上的圖像的一系列的點．
定義域為 圖像是一條光滑的拋物線
2.觀察可得：由和得；
3.特殊性：當，達到最大或最小．而當時，取與最近的正整數即可．
4.由二次函數的性質可得：當時，有最小值，：當時，有最大值．
03 等比數列
一、等比數列概念
概念：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比，常用字母表示．即數列的遞推公式為（常數）（）．
【注意】（1）由于等比數列每一項都可能作為分母，故每一項均不為0，因此也不為0；
（2）從第二項開始，因此首項沒有前一項；
（3）均為同一個常數，即比值相等；
（4）常數列都是等差數列，但不一定是等比數列．若常數列各項都為0的數列，它就不是等比數
列，當常數列各項不為0時，是等比數列．
二、等比數列的通項公式及推導
1.等比數列的通項公式為：．
2.等比數列的公式的推導：累乘法
3.等比數列通項公式的推導：，將這個式子的等號兩邊分別相乘得：，即．由等差數列的通項公式易知：．
三、等比中項
定義：如果三個數組成等比數列，那么叫做和的等比中項，即．兩個正數（或兩個負數）的等比中項有兩個，它們互為相反數；一個正數與一個負數沒有等比中項．
四、等比數列的常用性質
1.公比為的等比數列的各項同乘以一個不為零的數，所得數列仍為等比數列，公比仍為；
2.若，則有；若，則有；
3.等距離取出若干項也構成一個等比數列，即，，，為等比數列，公比為．
4.若等比數列的公比為，則是以為公比的等比數列；
5.若與均為等比數列，則也為等比數列；
6.或遞增；或遞減；為常數列；為擺動數列．
五、等比數列的前項和及推導過程
1.等比數列前項和公式：
2.等比數列由等比數列的定義知公式的推導：
方法一：由等比數列的定義知，
將這個等式的兩邊分別相加得：，
即，整理得，
當時，，顯然此式對也成立；
當時，．
方法二：由前項定義知，
將上式兩邊同乘以得：
兩式相減得： ，
以下討論同法一．
注：方法二稱為錯位相減法，是數列求和中常用的一種方法．
錯位相減求和法：非零的等差數列、等比數列構造數列，數列稱為差比數列，求它的前項和可用錯位相減法．
六、等比數列前項和的性質
1.公比為的等比數列，按項分組，每項之和組成一個新數列，認為等比數列，其公比為（也就是說：，為等比數列，公比為．
2.對于項數為的等比數列，有．
04 數列的通項公式
類型Ⅰ 觀察法：
已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從而根據規律寫出此數列的一個通項．
類型Ⅱ 公式法：
若已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式 構造兩式作差求解．
用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統一）．
類型Ⅲ 累加法：
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；
② 若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；
③若是關于的二次函數，累加后可分組求和；
④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和．
類型Ⅳ 累乘法：
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
類型Ⅴ 構造數列法：
（一）形如（其中均為常數且）型的遞推式：
（1）若時，數列{}為等差數列；
（2）若時，數列{}為等比數列；
（3）若且時，數列{}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求．方法有如下兩種：
法一：設，展開移項整理得，與題設比較系數（待定系數法）得，即構成以為首項，以為公比的等比數列．再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構成以為首項，以為公比的等比數列．求出的通項再轉化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的遞推式：
（1）當為一次函數類型（即等差數列）時：
法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當的公差為時，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉化為類型Ⅴ㈠求出 ，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）當為指數函數類型（即等比數列）時：
法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當的公比為時，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉化為類型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數）或（其中p，q， r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數列（其中），得：再應用類型Ⅴ㈠的方法解決．
（3）當為任意數列時，可用通法：
在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．
類型Ⅵ 對數變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對數得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數不一定要取10，可根據題意選擇）．
類型Ⅶ 倒數變換法：
形如（為常數且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．
類型Ⅷ 形如型的遞推式：
用待定系數法，化為特殊數列的形式求解．方法為：設，比較系數得，可解得，于是是公比為的等比數列，這樣就化歸為型．
總之，求數列通項公式可根據數列特點采用以上不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數列，可用歸納、猜想、證明方法求出數列通項公式
05 數列求和
一．公式法
（1）等差數列的前n項和，推導方法：倒序相加法．
（2）等比數列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數列的前n項和：
①；
②；
③；
④
二．幾種數列求和的常用方法
（1）分組轉化求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
（3）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前項和即可用錯位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個數列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可用倒序相加法求解．
【方法技巧與總結】
常見的裂項技巧
積累裂項模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項模型3：指數型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設，易得，
于是
（7）
積累裂項模型4：對數型
積累裂項模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項模型6：階乘
（1）
（2）
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
06 數學歸納法
一、數學歸納法的定義
定義：對于某些與自然數有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當取第一個值時命題成立；然后假設當(，≥)時命題成立，證明當命題也成立這種證明方法就叫做數學歸納法.
二、數學歸納法的基本思想
基本思想：數學歸納法是完全歸納法的一種.它是一種歸納——演繹的推理方法.數學歸納法的理論依據是“自然數歸納原理”：設A(n)表示關于自然數n的一命題，如果滿足條件：(i)A（1）正確；(ii)假設A(k)成立，推斷A(k+1)也成立、那么A(n)對一切自然數n都成立.其中第(i)是驗證，它是證明的基礎；第(ii)是以假設A(k)成立，通過演繹推理，推證出A(k+1)也正確.即先驗證使結論有意義的最小的正整數，如果當時，命題成立，再假設當(，≥)時，命題成立.(這時命題是否成立不是確定的)，根據這個假設，如能推出 當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數，，…，命題都成立.
三、用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題的步驟：
1.證明：當取第一個值結論正確；
2.假設：假設當(，≥)時結論正確，證明當時結論也正確.
3.得出結論：由1，2可知，命題對于從開始的所有正整數都正確.
<注意點> 遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉.
用數學歸納法證題時，兩步缺一不可；（2）證題時要注意兩湊：一湊歸納假設，
二湊目標.
<重點> 數學歸納法大致可分為兩個步驟，第一步，驗證命題對某個自然數n=成立，（n∈N），一般取=1，第二步假設n=k（k∈N，k≥）的時候，命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.至此就可以得到結論，命題對于和比大的所有自然數都成立.
如果將證明數學命題用建筑高樓來比喻，這兩步中，第一部可以看作是奠基部分，第二步可以看作是建設部分，整個命題的基礎就在第一步，如果忽略第一步，或者是第一步錯誤的話，那么不管第二步的證明有多巧妙和精彩，都如大廈建在沙子上一樣，是不穩固的；而整個命題的遞推過程在于第二步，如果遞推過程出現了問題或者瑕疵，那么就如同建筑中的“爛尾樓”一般，得不到一個圓滿的結局.由此可見，這兩步都非常重要，缺一不可.
注：數學歸納法是證明有遞推性或可轉化為遞推性命題的有效手段，它的思路明晰，形式優美，但也要看到它的局限性，那就是并不具有普遍性，在無法轉化為遞推形式的命題中，數學歸納法一般是沒有用武之地的.
四、用數學歸納法證題的類型：
1.用數學歸納法證明與正整數有關的恒等式；
對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應及時把結論和推導過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的方法，以減小計算的復雜程度，從而發現所要證明的式子，使問題的證明有目的性．
2.用數學歸納法證明與正整數有關的整除性問題；
用數學歸納法證明整除問題時，由到時，首先要從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數）整除，這是數學歸納法證明問題的一大技巧。
3.用數學歸納法證明與正整數有關的幾何問題；
數學歸納法在高考試題中常與數列、平面幾何、解析幾何等知識相結合來考查，對于此類問題解決的關鍵往往在于抓住對問題的所劃分標準，例如在平面幾何中要抓住線段、平面、空間的個數與交點、交線間的關系等．
4.用數學歸納法證明與正整數有關的不等式.
用數學歸納法證明一些與n有關的不等式時，推導“n＝k＋1”時成立，有時要進行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等．
5.用數學歸納法證明與數列有關的命題.
由有限個特殊事例進行歸納、猜想、，從而得出一般性的結論，然后加以證明是科學研究的重要思想方法．在研究與正整數有關的數學命題中，此思想方法尤其重要．

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