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復數
01 復數的概念
一、復數的有關概念
1、復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，
滿足，實部是，虛部是.
2、虛數單位：把平方等于－1的數用符號i表示，規定i2＝－1.我們把i叫作虛數單位．
3、表示方法：復數通常用字母z表示，代數形式為z＝a＋bi(a，b∈R)．
4、復數集
①定義：全體復數所成的集合．
②表示：通常用大寫字母C表示．
【注意】復數概念說明：
（1）復數集是最大的數集，任何一個數都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，
其中0＝0＋0i.
（2）復數的實部是a，虛部是實數b而非bi.
（3）復數z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復數的代數形式，否則不是代數形式．
二、復數的分類
對于復數a＋bi，
（1）當且僅當b＝0時，它是實數；
（2）當且僅當a＝b＝0時，它是實數0；
（3）當b≠0時，叫做虛數；
（4）當a＝0且b≠0時，叫做純虛數．
這樣，復數z＝a＋bi可以分類如下：
.
【注意】復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系
三、復數相等
在復數集C＝中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我們規定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.
四、復數的集合意義
1、復平面
當用直角坐標平面內的點來表示復數時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．
2、復數的幾何意義
（1）任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．
（2）一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量是一一對應的．
【注意】實軸、虛軸上的點與復數的對應關系
實軸上的點都表示實數；
除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，
原點對應的有序實數對為(0，0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數．
3、復數的模
（1）定義：向量的r叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對值
（2）記法：復數z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
五、共軛復數
如果兩個復數的實部相等，而虛部互為相反數，則這兩個復數叫做互為共軛復數．
復數z的共軛復數用表示，即當z＝a＋bi(a，b∈R)時，＝a－bi.
示例：z＝2＋3i的共軛復數是＝2－3i.
【注意】（1）當復數z＝a＋bi的虛部b＝0時，有z＝，
也就是，任一實數的共軛復數是它本身．
（2）在復平面內，表示兩個共軛復數的點關于實軸對稱，并且它們的模相等．
02 復數的四則運算
一、復數的加法
1、加法法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意兩個復數，
規定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即兩個復數相加，就是實部與實部、虛部與虛部分別相加，顯然兩個復數的和仍然是復數．
注意：對于復數的加法可以推廣到多個復數相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
則z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、加法運算律：復數的加法滿足交換律、結合律，即對任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、復數的減法
1、相反數：已知復數a＋bi(a，b∈R)，根據復數加法的定義，
存在唯一的復數－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反數．
2、減法法則：規定兩個復數的減法法則，設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即兩個復數相減，就是實部與實部、虛部與虛部分別相減，顯然兩個復數的差仍是一個復數．
三、復數加法與減法的幾何意義
1、復數可以用向量來表示，已知復數z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，
其對應的向量，，
如圖1，且和不共線，
以OZ1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，
根據向量的加法法則，對角線OZ所對應的向量，
而所對應的坐標是(x1＋x2，y1＋y2)，
這正是兩個復數之和z1＋z2所對應的有序實數對．
2、復數的減法是加法的逆運算，如圖2，
復數與向量等于）對應，
這就是復數減法的幾何意義．
【注意】（1）根據復數加減法的幾何意義知，兩個復數對應向量的和向量所對應的復數就是這兩個復數的和；兩個復數對應向量的差向量所對應的復數就是這兩個復數的差．
（2）求兩個復數對應向量的和，可使用平行四邊形法則或三角形法則．
（3）在確定兩復數的差所對應的向量時，應按照三角形法則進行．
拓展：由復數加減運算的幾何意義可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
四、復數的乘法
1、運算法則：兩個復數的乘法可以按照多項式的乘法運算來進行，只是把i2換成－1，
并把最后結果寫成a＋bi(a、b∈R)的形式．
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，則
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
顯然兩個復數的積仍是復數．
2、復數乘法的運算律：對于任意z1、z2、z3∈C，有
（1）z1·z2＝z2·z1(交換律)；
（2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(結合律)；
（3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
【注意】實數范圍內的乘法公式在復數范圍內仍然成立．
3、復數的乘方：復數的乘方也就是相同復數的乘積，根據乘法的運算律，實數范圍內正整數指數冪的運算律在復數范圍內仍然成立．即對復數z1、z2、z和自然數m、n有
zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．
【注意】實數范圍內的乘方公式、運算律在復數范圍內仍然成立．
4、虛數單位i的乘方
計算復數的乘積要用到虛數的單位i的乘方，in有如下性質：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
從而對于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
由此可進一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.
五、復數的除法
規定兩個復數除法的運算法則：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）
在進行復數除法運算時，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成的形式，
再把分子、分母同乘分母的共軛復數c－di，把分母變為實數，化簡后就可得到所求結果．
【注意】（1）兩個復數相除(除數不為0)，所得的商仍是一個復數．
（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是復數除法運算中實現分母“實數化”的一個手段．
六、復數方程的解
在復數范圍內，實系數一元二次方程的求解方法：
（1）求根公式法：
①當時， ②當時，
（2）利用復數相等的定義求解，設方程的根為，
將此代入方程，化簡后利用復數相等的定義求解。
03 復數的三角表示
一、復數的輔角
1、輔角的定義：設復數的對應向量為，以軸的非負半軸為始邊，向量所在的射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輔角.
2、輔角的主值：根據輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數輔角有無限多個值，
且這些值相差的整數倍.
規定：其中在范圍內的輔角的值為輔角的主值，通常記作
【注意】因為復數0對應零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數0的輔角是任意的。
二、復數的三角形式
定義：任何一個復數都可以表示成的形式，其中是復數的模，是復數的輔角.
【注意】復數的三角形式必須滿足：模非負，角相同，余正弦，加號連。
三、復數的代數式與三角式互化
1、將復數化為三角形式時，要注意以下兩點：
（1），
（2），，其中終邊所在象限與點所在象限相同，
當，時，
2、每一個不等于零的復數有唯依的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輔角的主值分別相等。
四、復數乘法運算的三角表示及其幾何意義
1、復數乘法運算的三角表示：已知，，
則
這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輔角等于各復數的輔角的和。
2、復數乘法運算的幾何意義：兩個復數，相乘時，分別畫出與，對應的向量，，
然后把向量繞點按逆時針方向旋轉（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變成原來的倍，得到向量，表示的復數就是積，這就是復數乘法的幾何意義。
3、復數乘法運算三角表示推廣：
特別的，當時，
五、復數除法運算的三角表示及其幾何意義
1、復數除法運算的三角表示：已知，
則
這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，
商的輔角等于被除數的輔角減去除數的輔角所得的差.
2、兩個復數，相除時，先分別畫出與，對應的向量，，然后把向量繞點按順時針方向旋轉（如果，就要把繞點按逆時針方向旋轉角），再把它的模變成原來的倍，得到向量，表示的復數就是商，這就是復數除法的幾何意義。
04 復數專題：利用復數幾何意義求與模有關的最值問題
一、復數的幾何意義
每個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；
反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數與它對應.
復數集中的數與復平面內的點建立了一 一對應的關系，
復數在復平面內的對應點
二、復數模的幾何意義
1、向量的模叫做復數的模或絕對值，記作或，
即，其中、
表示復平面內的點到原點的距離；
2、的幾何意義：復平面中點與點間的距離，如右圖所示。
示例：表示：點到點的距離
小結：復數的幾何意義是復平面內兩點之間的距離公式，
若，則表示復平面內點與點之間的距離，
則表示以為圓心，以r為半徑的圓上的點.
三、圓外一點到圓上一點的距離最值問題
如圖所示，點在圓上運動，在圓上找一點使得最?。ù螅?br/>如圖，當為連線與圓交點時，最小，最小為；
當在延長線與圓交點時，最大，最大為

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