資源簡介

計數原理
01 分類加法計數原理與分步乘法計數原理
知識點一：分類加法計數原理(也稱加法原理)
1．分類加法計數原理：
完成一件事,有類辦法.在第1類辦法中有種不同方法,在第2類辦法中有種不同的方法,……,在第類辦法中有種不同方法,那么完成這件事共有種不同的方法.
2．加法原理的特點是：
① 完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類；
② 用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；
③ 把每一類的方法數相加，就可以得到完成這件事的所有方法數．
知識點詮釋：
使用分類加法計數原理計算完成某件事的方法數，第一步是對這件事確定一個標準進行分類，第二步是確定各類的方法數，第三步是取和。
知識點二、分步乘法計數原理
1.分步乘法計數原理
“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟，要完成這件事必須并且只需連續完成這n個步驟后，這件事才算完成．
2．乘法原理的特點：
① 完成一件事需要經過n個步驟，缺一不可；
② 完成每一步有若干種方法；
③ 把每一步的方法數相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數．
知識點詮釋：
使用分步乘法計數原理計算完成某件事的方法數，第一步是對完成這件事進行分步，第二步是確定各步的方法數，第三步是求積。
知識點三、分類計數原理和分步計數原理的區別：
1．分類計數原理和分步計數原理的區別：
兩個原理的區別在于一個和分類有關，一個和分步有關.
完成一件事的方法種數若需“分類”思考，則這n類辦法是相互獨立的，且無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事，則用加法原理；
若完成某件事需分n個步驟，這n個步驟相互依存，具有連續性，當且僅當這n個步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數需用乘法原理計算．
知識點四、分類計數原理和分步計數原理的應用
1.利用兩個基本原理解決具體問題時的思考程序：
（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？
（2）然后考慮如何完成？主要有三種類型
①分類或分步。
②先分類，再在每一類里再分步。
③先分步，再在每一步里再分類，等等。
（3）最后考慮每一類或每一步的不同方法數是多少？
02 排列與組合
知識點一、排列的概念
1.排列的定義：
一般地，從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
要點詮釋:
（1）排列的定義中包括兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．
（2）從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列．
（3）如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從n個不同元素中取出m個元素后，再安排這m個元素時是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．
知識點二：排列數
1.排列數的定義
從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示.
要點詮釋:
“排列”和“排列數”是兩個不同的概念，一個排列是指“從n個不同的元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）；
2．排列數公式
，其中n，m∈N+，且m≤n．
要點詮釋:
公式特征：第一個因數是，后面每一個因數比它前面一個少1，最后一個因數是，共有個因數。
知識點三：階乘表示式
1．階乘的概念：
把正整數1到的連乘積，叫做的階乘.表示：，即.
規定：．
2.排列數公式的階乘式：
所以．
知識點四：排列的常見類型與處理方法
1.相鄰元素捆綁法
2.相離問題插空法
3.元素分析法
4.位置分析法
知識點五：組合
1.定義：
一般地，從個不同元素中取出（）個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．
要點詮釋：
（1）從排列與組合的定義可知，一是“取出元素”；二是“并成一組”，“并成一組”即表示與順序無關．
排列與元素的順序有關，而組合與元素的順序無關，這是它們的根本區別．
（2）如果兩個組合中的元素相同，那么不管元素的順序怎樣都是相同的組合；只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合.因此組合問題的本質是分組問題，它主要涉及元素被取到或未被取到.
知識點六：組合數及其公式
1.組合數的定義：
從個不同元素中取出（）個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數．記作．
要點詮釋：
“組合”與“組合數”是兩個不同的概念：
一個組合是指“從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素并成一組”，它不是一個數，而是具體的一件事；組合數是指“從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數”，它是一個數．
2．組合數公式：
(1)（、，且）
(2)（、，且）
要點詮釋：
上面第一個公式一般用于計算，但當數值、較大時，利用第二個式子計算組合數較為方便，在對含有字母的組合數的式子進行變形和論證時，常用第二個公式．
知識點七：組合數的性質
性質1：（、，且）
性質2：（、，且）
要點詮釋：
規定：.
知識點八、組合問題常見題型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：
“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．
（2）“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：
解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，但通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．
（3）分堆問題
①平均分堆，其分法數為：．
②分堆但不平均，其分法數為．
（4）定序問題．
對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進行排列．
（5）相同元素分組問題用“隔板法”：
03 二項式定理
知識點一：二項式定理
1.定義
一般地,對于任意正整數,都有：
()，
這個公式所表示的定理叫做二項式定理， 等號右邊的多項式叫做的二項展開式。
式中的做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：，
其中的系數（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數
2．二項式(a+b)n的展開式的特點：
(1)項數：共有n+1項，比二項式的次數大1；
(2)二項式系數：第r+1項的二項式系數為，最大二項式系數項居中；
(3)次數：各項的次數都等于二項式的冪指數n．字母a降冪排列，次數由n到0；字母b升冪排列，次數從0到n，每一項中，a，b次數和均為n；
知識點二、二項展開式的通項公式
二項展開式的通項：
（）
公式特點：
①它表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數是；
②字母b的次數和組合數的上標相同；
知識點三：二項式系數及其性質
1.的展開式中各項的二項式系數、、…具有如下性質：
①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即；
②增減性與最大值：二項式系數在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當n為偶數時，二項展開式中間一項的二項式系數最大；當n為奇數時，二項展開式中間兩項的二項式系數，相等，且最大.
③各二項式系數之和為，即；
④二項展開式中各奇數項的二項式系數之和等于各偶數項的二項式系數之和，
即。
知識點詮釋：
二項式系數與展開式的系數的區別
二項展開式中，第r+1項的二項式系數是組合數，展開式的系數是單項式的系數，二者不一定相等。
2.展開式中的系數求法（的整數且）
知識點詮釋：
三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結合為一項，利用二項式定理解決。
知識點四：二項式定理的應用
1.求展開式中的指定的項或特定項（或其系數）.
2.利用賦值法進行求有關系數和。
3.利用二項式定理證明整除問題及余數的求法：
4.證明有關的不等式問題：
5.進行近似計算

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