資源簡(jiǎn)介

隨機(jī)變量及其分布
01 條件概率與全概率公式
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
1．條件概率的概念
條件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之間“知二求一”的關(guān)系
一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．
2．概率的乘法公式
由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)．我們稱上式為概率的乘法公式．
3．條件概率的性質(zhì)
設(shè)P(A)>0，則
(1)P(Ω|A)＝1；
(2)如果B與C是兩個(gè)互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
(3)設(shè)和B互為對(duì)立事件，則P( )＝1－P(B)．
4．全概率公式
在全概率的實(shí)際問(wèn)題中我們經(jīng)常會(huì)碰到一些較為復(fù)雜的概率計(jì)算，這時(shí)，我們可以用 “化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮
一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B.
我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．
5．貝葉斯公式
設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意事件B Ω，P(B)>0，
有P(Ai＝
i＝1，2，…，n.
6．在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱為先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率．
02 離散型隨機(jī)變量及其分布列
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
1．隨機(jī)變量
隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件．
定義：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．
2．離散型隨機(jī)變量
可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨機(jī)變量，通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值.
3.隨機(jī)變量和函數(shù)的關(guān)系
隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點(diǎn)ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集．
4．離散型隨機(jī)變量的分布列
離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之和
(1)離散型隨機(jī)變量的分布列
一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 x1，x2，…，xn ，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為分布列．
(2)可以用表格來(lái)表示X的分布列，如下表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗(yàn)中擲出的點(diǎn)數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖．
5．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；
(2) p1＋p2＋…＋pn＝1.
6．兩點(diǎn)分布
對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義X＝如果P(A)＝p，則P()＝1－p，那么X的分布列如表所示
X 0 1
P 1－p p
我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布．
03 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
1．離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望
正確地求出離散型隨機(jī)變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望．均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．
2．兩點(diǎn)分布的期望
一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p；
3．離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
設(shè)X的分布列為P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n.
一般地，下面的結(jié)論成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
4．離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
正確求解隨機(jī)變量的方差的關(guān)鍵是正確求解分布列及其期望值
設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來(lái)度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱
D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi
為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var(X)，并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)．
5．幾個(gè)常見的結(jié)論
(1)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(2)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．
04 二項(xiàng)分布與超幾何分布
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
1．n重伯努利試驗(yàn)的概念
只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．
2．n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征
(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；
(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．
3．二項(xiàng)分布
一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．
4．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
1．超幾何分布
超幾何分布模型是一種不放回抽樣
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為
，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．
2．超幾何分布的期望
E(X)＝＝np(p為N件產(chǎn)品的次品率)．
05正態(tài)分布
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
1．正態(tài)曲線
正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)只能改變對(duì)稱軸的位置，曲線的形狀沒(méi)有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線
函數(shù)f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)．
顯然對(duì)于任意x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1．我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．
若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)，特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．
2．由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn)
(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；
(2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值；
(3)當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸．
3．正態(tài)分布的期望與方差
若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
4．正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．
在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.

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