資源簡介

目錄
1.函數的單調性與導數之間的關系…
…03
2.也談指數找基友、對數單身狗…
…05
3.“指數找基友”和“對數單身狗”的幾種類型…07
4.從穿針引線法淡極值點的那些事兒…12
5.導數中常見不等式之間的關系…
…16
6.由切線不等式衍生的一系列不等式。
…21
7.揭秘導數壓軸題的命制策略…
…24
8.零點問題之命題轉化
…27
9.找點速成一“2十3找點秘籍”…
.…29
10.極值點方程代換（隱零，點代換)的幾種情況…
…33
11.恒成立問題中參數的最大（小）整數解問題…41
12.導數壓軸題中無1十2≥2x型不等式的證明…47
13.對數平均不等式及其應用…56
14函數不等式證明之隱零，點顯化策略…
…62
15.導數放縮入門不得不知的幾點…67
16.三次函數的幾種解析式及其應用…
…71
17.對互化及其應用
…75
18.一道導數題的命制與解…
…79
19.例談解決導數壓軸題的若千重要意識…
81
20對一道函數不等式的探索…87
·2·
01函數的單調性與導數之間的關系
在初學導數時，我們就知道這么一個事實：
【結論1】對于可導函數f(x),記其導函數為f"(x).若在區間D上有f'(x)<0,則區間D是函數
f(x)的一個減區間；若在區間D上有f(x)>0,則區間D是函數f(x)的一個增區間.
這是最原始的關系，想必大家都不陌生，后面的討論都是建立在這個基礎上的，
首先來看一組簡單問題：
①求函數f)=立的單調減區間。
②求函數g(x)=一x3的單調減區間.
根據結論1，我們分別令fa)=是=-子<0和g(a)=-3x<0,都是解得x<0或x>0,所以這
兩個函數在（一0,0）和(0，+)上都是單調遞減的.但是這兩個函數有著明顯的區別，f)=在x=0
處無定義，g(x)=一x3在x=0處有定義且連續，因此這個問題的答案就是：
f)=2的減區間是(-0,0)和(0.+0)，g)=-x2的減區間是(-0，+60).
我們可以看到，導函數為負的時候，原函數一定遞減，但是反過來，原函數遞減，不見得導函數要恒
小于0，因為一個大的單調減區間可以由若干個小的單調減區間首尾相連得到的
由此，我們可以得到下面這個引申結論：
【結論2】對于可導函數(x),記其導函數為f"(x).若在區間D上有f"(x)≤0，且f(x)=0的根是
離散的（即在D的任意子區間上f'(x)不恒等于0），則區間D是函數f(x)的一個減區間；若在區間D上
有f'(x)≥0，且'(x)=0的根是離散的（即在D的任意子區間上f(x)不恒等于0），則區間D是函數
f(x)的一個增區間.
再來看一組問題：
③若函數f(x)=x3+ac是增函數，求實數a的取值范圍.
④若函數f(x)=ac是增函數，求實數α的取值范圍
第③題，由f'(x)=3x2+a≥0恒成立可知a≥0，經過檢驗發現并沒有問題.第④題，由f'(x)
=a≥0恒成立可知a≥0，經檢驗發現a=0不符合題意.兩者的區別又體現出來了，出現這種差別的原因
在于條件轉化的“不等價”.
事實上，根據前面的結論1和結論2，我們知道∫"(x)>0是f(x)單調遞增的充分條件，但不是必要
條件.通過這組題，我們又發現∫'(x)≥0恒成立是(x)單調遞增的必要條件，而非充分條件.
綜合考慮，可得到如下終極結論：
【結論3】對于可導函數f(x),記其導函數為f'(x).
①f(x)在區間D上單調遞減臺f"(x)≤0在區間D上恒成立，且f"(x)=0無實根，或它的實根是離散的
·3

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