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冬奧專題01 集合與常用邏輯用語
一、單選題
1.【原創】(多選)下列各組對象能組成集合的是(　　)
A．2022年北京冬奧會的5個冰上項目和10個雪上項目
B．喜歡冰墩墩的人
C．被3除余2的所有整數
D．函數y＝圖象上所有的點
【答案】ACD
【解析】選項A、C、D中的元素符合集合中元素的確定性；而選項B中，“喜歡”沒有明確標準，不符合集合中元素的確定性，不能構成集合.
2．（2020·全國·高三專題練習（文））短道速滑隊組織6名隊員（含賽前系列賽積分最靠前的甲乙丙三名隊員在內）進行冬奧會選拔，記“甲得第一名”為，“乙得第二名”為，“丙得第三名”為，若是真命題，是假命題， 是真命題，則選拔賽的結果為
A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名
B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名
C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名
D．甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名
【答案】D
【解析】由“是真命題”、“是假命題”知，命題一真一假；由“ 是真命題”可得為真命題，為真命題，故為假命題．綜上可得為真命題，為假命題，為真命題，從而可得到結論“甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名”．選D．
3.【原創】北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷.某班共30人，其中26人喜愛冰墩墩，20人喜愛雪容融，1人對這兩個吉祥物都不喜愛，則喜愛冰墩墩但不喜愛雪容融的人數為________．
A．16 B．17
C．26 D．27
【答案】B
【解析】 設所求人數為x，則只喜愛乒乓球運動的人數為(26－x)+(20－x)+x+1=30，解得x＝17.
二、填空題
4．（2021·黑龍江·佳木斯市第二中學高三階段練習（理））為迎接2022年北京冬奧會，短道速滑隊組織甲 乙 丙等6名隊員參加選拔賽，比賽結果沒有并列名次.記“甲得第一名”為p，“乙得第一名”為q，“丙得第一名”為r，若是真命題，是真命題，則得第一名的是__________.
【答案】甲
【解析】由是真命題，可知p，q中至少有一個是真命題，
又比賽結果沒有并列名次，說明第一名要么是甲，要么是乙，則r是假命題，
又是真命題，則是真命題，即 q為假命題，故得第一名的是甲，故答案為：甲．
5．（2021·全國·高一單元測試）短道速滑隊組織6名隊員(包括賽前系列賽積分最靠前的甲乙丙三名隊員)參加冬奧會選拔賽，記“甲得第一名”為，“乙得第二名”為，“丙得第三名”為，若是真命題，是假命題，是真命題，則選拔賽的第一名為______．（請用“甲，乙，丙”作答）
【答案】甲
【解析】因為是真命題，是假命題，
所以，一真一假，
因為是真命題，
所以假，真，真，
即“甲得第一名”為為真，“乙得第二名”為假，“丙得第三名為真”
則選拔賽的第一名為甲．
故答案為：甲．
冬奧專題02 函數與導數
一、單選題
1.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設計，但整個系統的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館、綠色場館.并且為了倡導綠色可循環的理念，場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統.已知過濾過程中廢水的污染物數量與時間的關系為（為最初污染物數量）.如果前小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（ ）小時.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可得，可得，設，
可得，解得.
因此，污染物消除至最初的還需要小時.故選：C.
三、解答題
2．（2022·四川綿陽·高一期末）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬奧會計劃于2022年2月4日開幕．冬奧會吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已經衍生出很多不同品類的吉祥物手辦．某企業承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產，已知生產此玩具手辦的固定成本為400萬元．每生產萬盒，需投入成本萬元，當產量小于或等于50萬盒時；當產量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業生產的玩具手辦可以全部銷售完．（利潤銷售總價成本總價，銷售總價銷售單價銷售量，成本總價固定成本生產中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關于產量（萬盒）的函數關系式；
(2)當產量為多少萬盒時，該企業在生產中所獲得利潤最大．
【答案】(1)
(2)60萬盒
【解析】 (1)由題意，
當產量小于或等于50萬盒時，；
當產量大于50萬盒時，.
所以利潤（萬元）關于產量（萬盒）的函數關系式是：.
(2)由（1）：當時，，當有最大值，其最大值為（萬元）；
當時，，當有最大值，其最大值為（萬元）.
綜上可知，當產量為60萬盒時，該企業在生產中所獲得利潤最大．
3．（2022·廣東清遠·高一期末）冰雪裝備器材產業是冰雪產業的重要組成部分，加快發展冰雪裝備器材產業，對籌辦好北京2022年冬奧會、冬殘奧會，帶動我國3億人參與冰雪運動具有重要的支撐作用.某冰雪裝備器材生產企業，生產某種產品的年固定成本為300萬元，每生產千件，需另投入成本（萬元）.當年產量低于60千件時，；當年產量不低于60千件時，.每千件產品售價為60萬元，且生產的產品能全部售完.
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；
(2)當年產量為多少千件時，企業所獲得利潤最大？最大利潤是多少？
【解析】 (1)當時，；
當時，.
所以；
(2)當時，.
當時，取得最大值，且最大值為950.
當時，
當且僅當時，等號成立.
因為，
所以當該企業年產量為50千件時，所獲得利潤最大，最大利潤是950萬元.
4（2022·山西大同·高一期末）第24屆冬奧會計劃于2022年2月4日在北京召開，隨著冬奧會的臨近，中國冰雪運動也快速發展，民眾參與冰雪運動的熱情不斷高漲．盛會的舉行不僅帶動冰雪活動，更推動冰雪產業快速發展．某冰雪產業器材廠商，生產某種產品的年固定成本為200萬元，每生產x千件，需另投入成本為萬元，其中與x之間的關系為：，通過市場分析，當每千件產品售價為40萬元時，該廠年內生產的商品能全部銷售完．
(1)寫出年利潤L(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式；
(2)年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？
【解析】 (1)當，時，；
當，時，，
所以.
(2)
當，時，，對稱軸為，
所以當時，取得最大值；
當，時，
，當且僅當，即時取等號
所以取得最大值，
綜上所述，當時，取得最大值
即年產量為72千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大為360萬元.
冬奧專題03 三角函數與解三角形
一、單選題
1．（2021·重慶九龍坡·高二期末）第24屆冬奧會將于2022年在中國北京舉辦，單板滑雪的U型場地近似為圓柱體的一部分（如圖），現一名運動員從頂端A點滑行到另一頂端B點，則滑行的最短距離約為（ ）
（注：，）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設圓柱的底面半徑為，則在中，
，解得，設，則，
所以，所以，所以弧的長為，
U型場地側面展開圖如圖2所示，
則從頂端A點滑行到另一頂端B點，則滑行的最短距離約為
故選：A
二、解答題
2．（2022·重慶市天星橋中學一模）北京2022年冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家口開幕，運動員休息區本著環保，舒適，溫馨這一出發點，進行精心設計，如圖，在四邊形休閑區域，四周是步道，中間是花卉種植區域，為減少擁堵，中間穿插了氫能源環保電動步道，且.
(1)求氫能源環保電動步道的長；
(2)若，求花卉種植區域總面積（電動步道的面積忽略不計）.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)因為，，所以，
因為，，所以由余弦定理得，
因為，所以；
(2)解：因為，
所以在ABC中，由余弦定理得，解得或（舍去），
因為，所以，
所以，
因為，所以，
故，
所以花卉種植區域總面積為.
3．（2021·河南·高三階段練習（理））北京2022年冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家口開幕，運動員休息區本著環保、舒適、溫馨這一出發點，進行精心設計．如圖，道路長為百米，現在的同一側設計四邊形，，在以為直徑的半圓上設，（為圓心）．
(1)若在四邊形內種植花卉，且，當為何值時，花卉種植面積最大？
(2)若為了景觀錯落有致，沿著，和設置景觀花帶，且，則當為何值時，景觀花帶總長最長？并求的最大值．
【答案】(1)
(2)當時，景觀花帶總長最長，的最大值為百米
【解析】（1）因為長為百米，所以圓的半徑為百米，即，
當時，
．
又，所以當，即時，，
即當時，花卉種植面積最大．
(2)
因為，所以，且，
由余弦定理得，，
所以，所以，
所以當，即時，取得最大值．即當時，景觀花帶總長最長，的最大值為百米．
冬奧專題04 數列
一、單選題
1．（2021·天津西青·高二期末）年月日時分，國際奧委會第次全會在吉隆坡舉行，投票選出年冬奧會舉辦城市為北京.某人為了觀看年北京冬季奧運會，從年起，每年的月日到銀行存入元的定期儲蓄，若年利率為且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動轉為新的一年的定期，到年的月日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢(元)的總數為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意，2016年1月1日，存入的元，一年后存款及利息為，二年后存款及利息為，，依次類推，
由此可得，從2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息為：
.故選：D.
二、填空題
2．（2021·全國全國·高二課時練習）為了參加冬奧會的比賽，李強給自己制訂了10天的訓練計劃：第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m．李強10天一共跑________m.
【答案】68000
【解析】由題意可知，李強每天跑的距離數構成一個等差數列，把李強第天跑的距離記為，且公差為，則李強天跑的距離為該等差數列的前項和．由.
三、雙空題
3．（2021·吉林吉林·高三階段練習（文））2015年7月31日，國際奧委會正式確定2022年冬奧會的舉辦權為北京——張家口.小明為了去現場觀看2022年的冬奧會，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某銀行存入元的一年期定期存款，若該銀行的年利率為，且年利率保持不變，并約定每年到期存款本息均自動轉為新一年的定期.那么2017年1月1日，小明去銀行繼續存款元后，他的賬戶中一共有___________元存款；到2022年1月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，則小明一共約可取回___________元.
（參考數據：，，）
【答案】
【解析】由題意，小明每年的1月1日都到某銀行存入元的一年期定期存款，且銀行的年利率為，且年利率保持不變，2017年1月1日，小明去銀行繼續存款元后，
他的賬戶中一共有元，
到2022年1月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，
則共取回
元.
故答案為：； .
冬奧專題05 等式與不等式
一、填空題
1．（2021·北京·北師大實驗中學高三階段練習）北京2022年冬奧會將于2022年2月4日開幕.某社區為了宣傳冬奧會，決定在辦公樓外墻建一個面積為8的矩形展示區，并計劃在該展示區內設置三個全等的矩形宣傳欄（如圖所示）.要求上下各空0.25，左右各空0.25，相鄰宣傳欄之間也空0.25.設三個宣傳欄的面積之和為S（單位：），則S的最大值為___________.
【答案】
【解析】設矩形展示區的長為，則寬為，
因為該展示區內設置三個全等的矩形宣傳欄，要求上下各空0.25，左右各空0.25，相鄰宣傳欄之間也空0.25，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以S的最大值為故答案為：
二、解答題
2．（2021·云南·玉溪市江川區第二中學高一期中）北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發布會，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估．該商品原來每件售價為元，年銷售萬件．據市場調查，若價格每提高元，銷售量將相應減少件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
【答案】每件定價最多為元．
【解析】設每件定價為元，依題意得，整理得
，解得：．
所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為元．
3．（2022·江西新余·高二期末（文））北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發布會，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.
（1）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
（2）為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入萬作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.
【答案】（1）40；（2）a至少達到10.2萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.
【解析】（1）設每件定價為t元,依題意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價最多為40元.
（2）依題意知：當x>25時,不等式有解，等價于
x>25時,有解.
由于,當且僅當,即x=30時等號成立,所以a≥10.2.
當該商品改革后的銷售量a至少達到10.2萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.
冬奧專題06 立體幾何
一、填空題
1．（2022·江蘇·泰州中學高一月考）冬奧會將至，回顧起2008年北京奧運會游泳中心（水立方）的設計靈感來于威爾·弗蘭泡沫，威爾弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進，開爾文體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六邊形），已知該多面體共有24個頂點，且棱長為1，則該多面體表面積是__________.
【答案】
【解析】棱長為1的正方形的面積為，正六邊形的面積為，
又正方形有4個頂點，正六邊形有6個頂點，該多面體共有24個頂點，
所以最多有6個正方形，最少有4個正六邊形，1個正六邊形與3個正方形相連，
所以該多面體有6個正方形，正六邊形有個，
所以該多面體的表面積為.故答案為：.
2．（2022·全國·高一課時練習）冬奧會很多項目都在冰面上進行，現湖面上漂著一個小球，湖水結冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm，深為1cm的空穴，則該球的體積是 ___cm3．
【答案】
【解析】設球的半徑為，則，解得.
所以球的體積為.
故答案為：
二、解答題
3．（2022·全國·高三專題練習）2022年北京冬奧會標志性場館——國家速滑館的設計理念來源于一個冰和速度結合的創意，沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運動員高速滑動時留下的一圈圈風馳電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會.其中“冰絲帶”呈現出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，這種造型富有動感，體現了冰上運動的速度和激情這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間幾何體，其設計參數包括曲率、撓率、面積體積等對幾何圖形的面積、體積計算方法的研究在中國數學史上有過輝煌的成就，如《九章算術》中記錄了數學家劉徽提出利用牟合方蓋的體積來推導球的體積公式，但由于不能計算牟合方蓋的體積并沒有得出球的體積計算公式直到200年以后數學家祖沖之、祖眶父子在《綴術》提出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，才利用牟合方蓋的體積推導出球的體積公式原理的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.
（Ⅰ）利用祖暅原理推導半徑為的球的體積公式時，可以構造如圖②所示的幾何體，幾何體的底面半徑和高都為，其底面和半球體的底面同在平面內.設與平面平行且距離為的平面截兩個幾何體得到兩個截面，請在圖②中用陰影畫出與圖①中陰影截面面積相等的圖形并給出證明；
（Ⅱ）現將橢圓所圍成的橢圓面分別繞其長軸、短軸旋轉一周后得兩個不同的橢球，（如圖），類比（Ⅰ）中的方法，探究橢球的體積公式，并寫出橢球，的體積之比.
【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ），體積之比為.
【解析】（Ⅰ）由圖可知，圖①幾何體的為半徑為的半球，圖②幾何體為底面半徑和高都為的圓柱中挖掉了一個圓錐，與圖①截面面積相等的圖形是圓環（如陰影部分）
證明如下：
在圖①中，設截面圓的圓心為，易得截面圓的面積為，
在圖②中，截面截圓錐得到的小圓的半徑為，所以，圓環的面積為，所以，截得的截面的面積相等
（Ⅱ）類比（Ⅰ）可知，橢圓的長半軸為，短半軸為，構造一個底面半徑為，高為的圓柱，把半橢球與圓柱放在同一個平面上（如圖），在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，即挖去的圓錐底面半徑為，高為；
在半橢球截面圓的面積，
在圓柱內圓環的面積為
∴距離平面為的平面截取兩個幾何體的平面面積相等，
根據祖暅原理得出橢球的體積為：
，
同理：橢球的體積為
所以，兩個橢球，的體積之比為.
冬奧專題07 平面解析幾何
一、單選題
1．（2022·山東菏澤·高二期末）第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月4日在北京市和張家口市聯合舉行．北京將成為奧運史上第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．根據安排，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是兩個“相似橢圓”（離心率相同的兩個橢圓我們稱為“相似橢圓”）．如圖，由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內層橢圓引切線AC，BD，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設內層橢圓的方程為，
因為內外層的橢圓的離心率相同，可設外層橢圓的方程為，
設切線的方程為，
聯立方程組，整理得，
由，整理得，
設切線的方程為，同理可得，
因為兩切線斜率之積等于，可得，
可得，所以離心率為.故選：C.
2．（2022·湖南·長郡中學高二期末）第24屆冬季奧林匹克運動會，又稱2022年北京冬季奧運會，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，運用中國書法的藝術形態，將厚重的東方文化底蘊與國際化的現代風格融為一體，呈現出新時代的中國新形象 新夢想.會徽圖形上半部分展現滑冰運動員的造型，下半部分表現滑雪運動員的英姿.中間舞動的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒 賽場 冰雪滑道和節日飄舞的絲帶，下部為奧運五環，不僅象征五大洲的團結，而且強調所有參賽運動員應以公正 坦誠的運動員精神在比賽場上相見.其中奧運五環的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設五個圓的圓心分別為O1，O2，O3，O4，O5，若雙曲線C以O1，O3為焦點 以直線O2O4為一條漸近線，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
如圖建立直角坐標系，過向x軸引垂線，垂足為A，易知，
故選：A
3．（2021·重慶市育才中學高二期中）萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為（ ）cm
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由大橢圓和小橢圓扁平程度相同，可得兩橢圓的離心率相同，
由大橢圓長軸長為40cm，短軸長為20cm，
可得焦距長為cm，故離心率為，所以小橢圓離心率為，
小橢圓的短軸長為10cm，即cm，
由，可得：cm，所以長軸為cm.故選：B.
冬奧專題08 統計與統計案例
一、單選題
1．（2022·江西撫州·高二期末（理））為迎接2022年冬奧會，某校在體育冰球課上加強冰球射門訓練，現從甲、乙兩隊中各選出5名球員，并分別將他們依次編號為1，2，3，4，5進行射門訓練，他們的進球次數如折線圖所示，則在這次訓練中以下說法正確的是（ ）
A．甲隊球員進球的中位數比乙隊大 B．乙隊球員進球的中位數比甲隊大
C．乙隊球員進球水平比甲隊穩定 D．甲隊球員進球數的極差比乙隊小
【答案】C
【解析】由題圖，甲隊數據從小到大排序為，乙隊數據從小到大排序為，所以甲乙兩隊的平均數都為5，甲、乙進球中位數相同都為5，A、B錯誤；
甲隊方差為，乙隊方差為，即，故乙隊球員進球水平比甲隊穩定，C正確.
甲隊極差為6，乙隊極差為4，故甲隊極差比乙隊大，D錯誤.故選：C
2．（2022·全國·高三專題練習）隨著2022年北京冬奧會臨近，中國冰雪產業快速發展，冰雪運動人數快速上升，冰雪運動市場需求得到釋放，將引領相關戶外用品行業市場增長．下面是2013年至2020年中國雪場滑雪人次（萬人次）與同比增長率（與上一年相比）的統計情況，則下面結論中正確的是（ ）
A．2013年至2020年，中國雪場滑雪人次的同比增長率逐年減少
B．2013年至2020年，中國雪場滑雪人次逐年增加
C．2013年至2020年，中國雪場滑雪人次的年增加量相近
D．2013年到2020年，中國雪場滑雪人次在2020年首次出現負增長
【答案】D
【解析】對于A，由折線圖可知，2013年至2020年，中國雪場滑雪人次的同比增長率先增長再減小，故A錯誤；
對于B，由條形統計圖知，2013年至2019年，中國雪場滑雪人次逐年增加，但2020年減少了，故B錯誤；
對于C，由條形圖知，2013年至2020年，中國雪場滑雪人次的年增加量不相近，故C錯誤；對于D，由條形圖和折線圖，明顯看出2013年到2020年，中國雪場滑雪人次在2020年首次出現負增長，故D正確．故選：D
3．（2021·重慶·高一期末）為迎接北京2022年冬奧會，推廣冰上運動，某班體育老師調查了全班同學對冰上運動項目的了解程度，調查結果分為三個等級：“不了解”“基本了解”和“非常了解”，其中等級為“基本了解”的人數比等級為“不了解”的人數多8人.接下來，該體育老師采用分層抽樣的方法從全班同學中抽取部分同學參加冰壺運動的體驗活動，參加體驗活動的同學中對冰上運動項目“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，“非常了解”的有6人，那么該班全體同學中對冰上運動項目“非常了解”的人數為（ ）
A．10人 B．12人 C．18人 D．24人
【答案】D
【解析】等價為“基本了解”的分數比等級為“不了解”的人數多8人，采用分層抽樣的方法抽取“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，所以“基本了解”的人數比“不了解”的人數多抽取了2人，抽樣比例為，
因為樣本中“非常了解”的有6人，
所以該班全體同學中對冰上運動項目“非常了解”的人數為人.故選：D.
4．（2021·江西新余·二模（文））隨著2022年北京冬奧會的臨近，中國冰雪產業快速發展，冰雪運動人數快速上升，冰雪運動市場需求得到釋放，如圖是2012-2018年中國滑雪場滑雪人數（單位：萬人）與同比增長情況統計圖，則下面結論中正確的是（ ）
①2012-2018年，中國滑雪場滑雪人數逐年增加；
②2013-2015年，中國滑雪場滑雪人數和同比增長率均逐年增加；
③中國滑雪場2015年比2014年增加的滑雪人數和2018年比2017年增加的滑雪人數均為220萬人，因此這兩年的同比增長率均有提高；
④2016-2018年，中國滑雪場滑雪人數的增長率約為23.4%．
A．①②③ B．①②④ C．①② D．③④
【答案】C
【解析】對①，由條狀圖可知，中國雪場滑雪人數逐年增加正確，故①正確；
對②， 2013-2015年，中國雪場滑雪人數和同比增長率均逐年增加正確， 故②正確；
對③，中國雪場2015年比2014年增加的滑雪人數和2018年比2017年增加的滑雪人數均為220萬人，
但2018年同比增長率為，相比 2017年同比增長率為有所下降，故③錯誤；
對④， 2016-2018年，中國雪場滑雪人數的增長率為，故④錯誤．
故①②正確．故選：C
5．（2021·全國·高一單元測試）2020年冬奧會申辦成功，讓中國冰雪項目迎來了新的發展機會，“十四冬”作為北京冬奧會前重要的練兵場，對冰雪運動產生了不可忽視的帶動作用．某校對冰雪體育社團中甲、乙兩人的滑輪、雪合戰、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯臥式爬犁6個冬季體育運動項目進行了指標測試（指標值滿分為5分，分高者為優），根據測試情況繪制了如圖所示的指標雷達圖．則下面敘述正確的是（ ）
A．甲的輪滑指標高于他的雪地足球指標
B．乙的雪地足球指標低于甲的冰尜指標
C．甲的爬犁速降指標高于乙的爬犁速降指標
D．乙的俯臥式爬犁指標低于甲的雪合戰指標
【答案】C
【解析】由指標雷達圖可知：
對于A，甲的輪滑指標為4，雪地足球指標為4，所以A錯誤；
對于B，乙的雪地足球指標為4，甲的冰尜指標3，所以B錯誤；
對于C，甲的爬犁速降指標為5，乙的爬犁速降指標為4，所以C正確；
對于D，乙的俯臥式爬犁指標為5，甲的雪合戰指標為5，所以D錯誤；
綜上可知，正確的為C，故選：C.
6．（2021·貴州·貴陽六中高二期中）隨著2020年北京冬奧會臨近，中國冰雪產業快速發展，冰雪運動人數快速上升，冰雪運動市場需求得到釋放，將引領戶外用品行業市場增長．下面是2012年至2018年中國雪場滑雪人次（萬人次）與同比增長率的統計圖，則下面結論中不正確的是（ ）
A．2013年至2018年，中國雪場滑雪人次逐年增加
B．2013年至2015年，中國雪場滑雪人次和同比增長率均逐年增加
C．2018年與2013年相比，中國雪場滑雪人次的同比增長率近似相等，所以同比增長人數也近似相等
D．2018年與2016年相比，中國雪場滑雪人次增長率約為30.5%
【答案】C
【解析】由2012年至2018年中國雪場滑雪人次（萬人次）與同比增長率的統計圖可知：
對于A，由條狀圖可知，2013年至2018年，中國雪場滑雪人次逐年增加，故A正確；
對于B，2013年至2015年，中國雪場滑雪人次和同比增長率均逐年增加，故B正確；
對于C，2018年與2013年相比，中國雪場滑雪人次的同比增長率近似相等，但是同比增長人數也不相等，2018年比2013年增長人數多，故C錯誤；
對于D，2018年與2016年相比，中國雪場滑雪人次增長率約為
故D正確．故選：C．
7．（2021·遼寧葫蘆島·高二期末）某高中調查學生對2022年北京冬奧會的關注是否與性別有關，抽樣調查150人，得到如下數據：
不關注 關注 總計
男生 54 18 72
女生 36 42 78
總計 90 60 150
根據表中數據，通過計算統計量并參考以下臨界數據：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
若由此認為“學生對2022年北京冬奧會的關注與性別有關”，則下列結論正確的（ ）
A．有的把握認為“學生對2022年北京冬奧會的關注與性別無關”
B．有的把握認為“學生對2022年北京冬奧會的關注與性別有關”
C．學生對2022年北京冬奧會的關注與性別有的關系
D．學生對2022年北京冬奧會的關注與性別有的關系
【答案】B
【解析】根據列聯表，計算可得，
所以有的把握認為“學生對2022年北京冬奧會的關注與性別有關”.故選：B
二、多選題
8．（2020·全國·高一課時練習）隨著2022年北京冬奧會的臨近，中國冰雪產業快速發展，冰雪運動人數快速上升，冰雪運動市場需求得到釋放.如圖是2012-2018年中國雪場滑雪人數（單位：萬人）與同比增長情況統計圖則下面結論中正確的是（ ）.
A．2012-2018年，中國雪場滑雪人數逐年增加；
B．2013-2015年，中國雪場滑雪人數和同比增長率均逐年增加；
C．中國雪場2015年比2014年增加的滑雪人數和2018年比2017年增加的滑雪人數均為220萬人，因此這兩年的同比增長率均有提高；
D．2016-2018年，中國雪場滑雪人數的增長率約為23.4%.
【答案】AB
【解析】根據條形圖知，2012-2018年，中國雪場滑雪人數逐年增加，所以A正確；
根據條形圖知，2013-2015年，中國雪場滑雪人數逐年增加，
根據折線圖知，2013-2015年，中國雪場滑雪人數同比增長率逐年增加，所以B正確；
根據條形圖知，中國雪場2015年比2014年增加的滑雪人數為萬人，2018年比2017年增加的滑雪人數為萬人，根據折線圖知，2015年比2014年同比增長率上升，但2018年比2017年同比增長率有下降，故C錯誤；
2016-2018年，中國雪場滑雪人數的增長率約為，故D錯誤；
故選：AB
三、雙空題
9．（2022·山東濰坊·高三期末）單板滑雪U型池比賽是冬奧會比賽中的一個項目，進入決賽階段的12名運動員按照預賽成績由低到高的出場順序輪流進行三次滑行，裁判員根據運動員的騰空高度、完成的動作難度和效果進行評分，最終取每站三次滑行成績的最高分作為該站比賽成績．現有運動員甲、乙二人在2021賽季單板滑雪U型池世界杯分站比賽成績如下表：
分站 運動員甲的三次滑行成績 運動員乙的三次滑行成績
第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次
第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0
第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60
第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10
第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01
第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70
假如從甲、乙2人中推薦1人參加2022年北京冬奧會單板滑雪U型池比賽，根據以上數據信息，你推薦______運動員參加，理由是______．
附：方差，其中為的平均數．
【答案】 乙； 甲乙兩人水平相當，但乙的發揮比甲更穩定.
【解析】甲5站的平均成績為：
，
乙5站的平均成績為：
，
甲5站成績的方差為：
乙5站成績的方差為：
，＞，
推薦乙運動員參加，理由是：甲乙兩人水平相當，但乙的發揮比甲更穩定．
故答案為：乙；甲乙兩人水平相當，但乙的發揮比甲更穩定．
四、解答題
10．（江西省六校2021-2022學年高二上學期期末聯考數學（文）試題）2022北京冬奧會即將開始，北京某大學鼓勵學生積極參與志愿者的選拔．某學院有6名學生通過了志愿者選拔，其中4名男生，2名女生．
(1)若從中挑選2名志愿者，求入選者正好是一名男生和一名女生的概率；
(2)若從6名志愿者中任選3人負責滑雪項目服務崗位，那么現將6人分為A B兩組進行滑雪項目相關知識及志愿者服務知識競賽，共賽10局．A B兩組分數（單位：分）如下：
A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142
B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139
從統計學角度看，應選擇哪個組更合適？理由是什么？
【解析】 (1)設4名男生分別用A，B，C，D表示：2名女生分別用1，2表示.
基本事件為：，，，，
，，，，
，，，，共15種，
所以所求概率為；
(2)A組數據的平均數，
B組數據的平均數，
A組數據的方差，
B組數據的方差，
所以選擇A隊．理由：A B兩隊平均數相同，且，A組成績波動小．
11．（2022·山西太原·高三期末（理））2022年2月4日，第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳北京冬奧會，某大學從全校學生中隨機抽取了110名學生，對是否喜歡冬季體育運動情況進行了問卷調查，統計數據如下：
喜歡 不喜歡
男生 50 10
女生 30 20
(1)根據上表說明，能否有的把握認為，是否喜歡冬季體育運動與性別有關？
(2)現從這110名喜歡冬季體育運動的學生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取8人參加2022年北京冬奧會志愿者服務前期集訓，且這8人經過集訓全部成為合格的冬奧會志愿者.若從這8人中隨機選取3人到場館參加志愿者服務，設選取的3人中女生人數為，寫出的分布列，并求.
附：，其中.
【解析】 (1)因為，
所以有的把握認為，是否喜歡冬季體育運動與性別有關.
(2)根據分層抽樣方法得，選取的8人中，男生有5人，女生有3人.
由題意知，的可能取值有.
的分布列是：
0 1 2 3
所以.
12．（2022·安徽合肥·高三期末（文））第24屆冬奧會將于2022年2月4日在北京國家體育場開幕，“冬奧熱”在國民中迅速升溫．為了解冬奧會知識在某校高中生中的普及程度，該校按性別分層抽樣，隨機從高中生中抽取了50人參加測試，成績統計圖：
(1)估計該校高中生男生和女生哪個群體掌握冬奧會知識的平均水平更高？
(2)該校計劃從得分為100分的高中生中隨機抽取兩名學生參加市級比賽，抽取的兩名學生性別不同的概率．
【解析】 (1)設男生和女生的平均得分分別為、，則
，
．
∵，∴該校高中生男生群體掌握冬奧會知識的平均水平高于女生．
(2)由統計圖可知，得分為100分的人數為6人，
設男生中滿分學生分別為，，，，女生滿分學生分別為A，，共6人，現從6人中隨機抽取兩人，共有如下15種可能：
，，，，，
，，，，
，，，
，，
，
其中性別不同的有如下8種可能：
，；，；，；，．
∴抽取的兩名學生性別不同的概率為．
13．（2022·四川廣安·高二期末（文））冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會，是世界規模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行．為了弘揚奧林匹克精神，增強學生的冬奧會知識，廣安市某中學校從全校隨機抽取50名學生參加冬奧會知識競賽，并根據這50名學生的競賽成績，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），
其中樣本數據分組區間．
(1)求頻率分布直方圖中a的值：
(2)求這50名學生競賽成績的眾數和中位數．（結果保留一位小數）
【解析】 (1)
由,得
(2)50名學生競賽成績的眾數為
設中位數為,則
解得所以這50名學生競賽成績的中位數為76.4
14．（2021·山東·高三階段練習）購買盲盒，是當下年輕人的潮流之一.每個系列的盲盒分成若干個盒子，每個盒子里面隨機裝有一個動漫 影視作品的圖片，或者設計師單獨設計出來的玩偶，消費者不能提前得知具體產品款式，具有隨機屬性.某禮品店2021年1月到8月出售的盲盒數量及利潤情況的相關數據如下表所示：
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月
月銷售量/千個 3 4 5 6 7 9 10 12
月利潤/萬元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求出月利潤（萬元）關于月銷售量（千個）的回歸方程（精確到0.01）；
(2)2022年冬奧會臨近，該店售賣裝有奧運吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的兩款盲盒，小明同學購買了4個裝有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4個裝有“雪容融”玩偶的盲盒，從中隨機選出3個作為元旦禮物贈送給同學.用表示3個中裝有“冰墩墩”玩偶的盲盒個數，求的分布列和數學期望.
參考數據：，，附：線性回歸方程中，，.
【解析】 (1)，根據參考數據可得，
所以
故月利潤) (萬元)關于月銷售量x (千個)的回歸方程為；
(2)由題中數據可知， X的所有可能取值為0,1,2,3，
，
故X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
15．（2022·全國·高三專題練習（文））北京冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京、張家口同為主辦城市，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬奧組委對報名參加北京冬奧會志愿者的人員開展冬奧會志愿者的培訓活動，并在培訓結束后進行了一次考核.為了解本次培訓活動的效果，從中隨機抽取80名志愿者的考核成績，根據這80名志愿者的考核成績，得到的統計圖表如下所示.
女志愿者考核成績頻率分布表
分組 頻數 頻率
2 0.050
13 0.325
12 0.3
0.075
若參加這次考核的志愿者考核成績在內.則考核等級為優秀.
（1）分別求這次培訓考核等級為優秀的男、女志愿者人數；
（2）補全下面的列聯表，并判斷是否有的把握認為考核等級是否是優秀與性別有關.
優秀 非優秀 合計
男志愿者
女志愿者
合計
參考公式：，其中.
參考數據：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【解析】（1）由頻率分布直方圖可得，培訓考核等級為優秀的男志愿者人數為，
由頻率分布表可得，，，，
培訓考核等級為優秀的女志愿者人數為.
（2）列聯表如下：
優秀 非優秀 合計
男志愿者 5 35 40
女志愿者 13 27 40
合計 18 62 80
∵，
∴有的把握認為考核等級是否是優秀與性別有關.
16．（2021·福建省寧化第一中學高一階段練習）第屆冬奧會將于2022年在北京市和張家口市聯合舉行，冬奧會志愿者的服務工作是成功舉辦的重要保障.在冬奧會的志愿者選拔工作中，某高校承辦了冬奧會志愿者選拔的面試工作，面試成績滿分分，現隨機抽取了名候選者的面試成績分五組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右后三個組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.
（1）求的值
（2）并估計這名候選者面試成績平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）和中位數（中位數精確到）；
【解析】（1）由題意可知：，
解得，，
（2）平均值等于
中位數等于
17．（2021·新疆·哈密市第十五中學高二期末（文））第24屆冬奧會將于2022年在北京市和張家口市聯合舉行，冬奧會志愿者的服務工作是成功舉辦的重要保障.在冬奧會的志愿者選拔工作中，某高校承辦了冬奧會志愿者選拔的面試工作，面試成績滿分100分，現隨機抽取了名候選者的面試成績分五組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右前三個組的頻率成等差數列，第一組和第五組的頻率相同.
（1）求，的值，并估計這名候選者面試成績的中位數（中位數精確到0.1）；
（2）已知抽取的名候選人中，男生和女生各人，男生希望參加張家口賽區志愿服務的人數有人，女生希望參加張家口賽區志愿服務的人數有人，補全下面列聯表，問是否有的把握認為希望參加張家口賽區志愿者服務的候選人與性別有關？
男生 女生 總計
希望去張家口賽區
不希望去張家口賽區
總計
參考數據即公式：，.
【答案】（1），，；（2）列聯表見解析，有.
【解析】（1）由題意可知：，，
解得，，所以中位數等于
（2）補全列聯表：
男生 女生 總計
希望去張家口賽區
不希望去張家口賽區
總計
所以有的把握認為希望參加張家口賽區志愿者服務的候選人與性別有關.
18．（2020·湖北武漢·模擬預測（文））第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月22日在北京市和河北省張家口市聯合舉行，這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會.為了宣傳冬奧會，讓更多的人了解、喜愛冰雪項目，某校高三年級舉辦了冬奧會知識競賽（總分100分），并隨機抽取了名中學生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知前三組的頻率成等差數列，第一組和第五組的頻率相同.
（Ⅰ）求實數，的值，并估計這名中學生的成績平均值；（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）
（Ⅱ）已知抽取的名中學生中，男女生人數相等，男生喜歡花樣滑冰的人數占男生人數的，女生喜歡花樣滑冰項的人數占女生人數的，且有95%的把握認為中學生喜歡花樣滑冰與性別有關，求的最小值.
參考數據及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
，.
【解析】（Ⅰ）由題意可知：，
解得.
各組頻率依次為0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
（分）
（Ⅱ）設男生人數為，依題意可得列聯表如下：
喜歡花樣滑冰 不喜歡花樣滑冰 合計
男生
女生
合計
，.
又，，且各組的頻數為正整數，故，.
19．（2020·安徽·屯溪一中高二開學考試（文））第24屆冬季奧林匹克運動會（簡稱“北京張家口冬奧會”）將于2022年2月4日～2月20日在中國北京市和張家口市聯合舉行，這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，也是中國繼“北京奧運會”、“南京青奧會”后，中國第三次舉辦的奧運賽事．某電視傳媒公司為了解本地區觀眾對體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查．下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看體育節目時間的頻率分布直方圖（將日均收看體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”）．
（1）根據已知條件完成下面的列聯表：
非體育迷 體育迷 合計
男
女 10 55
合計
（2）根據此調查結果，是否有95﹪的把握認為“體育迷”與性別有關？
（3）已知在被調查的女性“非體育迷”中有5名學生，其中2位是小學生．現從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1位小學生的概率．
參考公式和數據：
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
【解析】（1）根據頻率分布直方圖，可知體育迷人數為，則非體育迷人數為.
完成下面的列聯表：
非體育迷 體育迷 合計
男 30 15 45
女 45 10 55
合計 75 25 100
（2）
所以我們沒有的把握認為“體育迷”與性別有關．
（3）記5人為abcde，其中ab表示小學生，從5人任意抽3人的所有可能事件是：
abc、abd、abe、acd、ace、ade、bcd、bce、bde、cde共10個，
其中至多1位小學生有7個基本事件：
acd、ace、ade、bcd、bce、bde、cde，所以所求概率．
冬奧專題09 計數原理
一、單選題
1．（福建省三明市普通高中2022屆高三上學期期末質量檢測數學試題）北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，4名大學生將參加冬奧會志愿者服務，他們被隨機安排到3個場館工作，每人只能去一個場館，每個場館至少一人，則不同的安排方案有（ ）
A．16種 B．36種 C．48種 D．60種
【答案】B
【解析】先將4人分成3組，然后再分配到3個場館，一共有種不同的方案.故選：B.
2．（2022·江西九江·一模（理））第24屆冬季奧林匹克運動會（北京冬奧會）計劃于2022年2月4日開幕，共設7個大項．現將甲、乙、丙3名志愿者分配到7個大項中參加志愿活動，每名志愿者只能參加1個大項的志愿活動，則有且只有兩人被分到同一大項的情況有（ ）．A．42種 B．63種 C．96種 D．126種
【答案】D
【解析】先將3人分成兩組，共種，再在7個大項種選擇2個項目安排這兩組，共種，所以有且只有兩人被分到同一大項的情況共有種.故選：D．
3．（2022·北京通州·高三期末）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝．若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數為（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【解析】由題意可知應將志愿者分為三人組和兩人組.
先將小李、小明之外的三人分為兩組，有種分法，
再將小李、小明分進兩組，有種分法，
再將兩組分配安裝兩個吉祥物，有種分法，
所以共計有種，故選：C.
4．（2022·安徽宣城·高三期末（理））2022年冬季奧林匹克運動會，計劃于2022年2月4日在北京開幕，北京將成為第一個舉辦過夏奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市，這也是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會．近期，冬奧會組委會招募6名志愿者為四個館區提供志愿服務，要求A，B兩個館區各安排一人，剩下兩個館區各安排兩人，不同的安排方案共有（ ）
A．90種 B．180種 C．270種 D．360種
【答案】B
【解析】先安排兩個館，然后安排其余兩個館，所以不同的安排方案有種.故選：B
5．（2022·安徽馬鞍山·一模（理））志愿服務是辦好2022年北京冬奧會的重要基礎和保障，冬奧會城市志愿者已于2021年12月5日在主要服務站點開始上崗，預計2022年1月25日開始全面上崗服務．現有4名志愿者要安排到3個服務站點參加服務，每名志愿者只能安排到一個站點，每個站點至少安排一名志愿者，則不同的安排方案共有（ ）
A．48種 B．36種 C．24種 D．12種
【答案】B
【解析】先將4名志愿者分成3組，其中3組1人，1組2人，由種分法，
再將3組人分給3個服務站有種安排方案.故選：B.
6．（2021·新疆石河子一中高三階段練習（理））將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球3個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．150種 C．120種 D．240種
【答案】B
【解析】將5人分成3組有兩種情況：
一、3人一組，其他2人各一組，種，
二、有2組各兩人，剩余1組一人，種，
綜上所述，共種，故選：B.
7．（2021·山東·高三階段練習）北京2022年冬奧會即將開幕，北京某大學5名同學報名到甲 乙 丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，每個場館至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A．90種 B．125種 C．150種 D．243種
【答案】C
【解析】把5名同學分為3組，各組人數可為3，1，1或2，2，1.
各組人數為3，1，l時，有種；
各組人數為2，2，l時，有種;
故不同的安排方法共有種，故選：C
8．（2021·湖南·雅禮中學高三階段練習）“冰墩墩”是2022年北京冬奧會吉祥物，在冬奧特許商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包裝上標注隱藏款抽中的概率為，出廠時每箱裝有6個盲盒．小明買了一箱該款盲盒，他抽中k(0≤k≤6，k∈N)個隱藏款的概率最大，則k的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由題意可得小明抽中個隱藏款的概率為，其中，要使得最大，只需要最大，則，即，則，又因為，則，故選：B.
9．（2022·全國·高三專題練習）第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日在北京開幕．為保證冬奧會順利進行，組委會需要提前把各項工作安排好．現要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服務，每天一人，甲兩天，乙三天，丙和丁各一天，則不同的安排方法有（ ）
A．840種 B．140種
C．420種 D．210種
【答案】C
【解析】由題可知：甲兩天，乙三天，丙和丁各一天
所以不同的安排方法有種故選：C
10．（2020·廣東·汕頭市澄海中學高三開學考試）在冬奧會志愿者活動中，甲、乙等5人報名參加了A，B，C三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，且甲不能參加A，B項目，乙不能參加B，C項目，那么共有（ ）種不同的志愿者分配方案．
A．18 B．21 C．27 D．33
【答案】B
【解析】若甲，乙都參加，則甲只能參加項目，乙只能參見項目，項目有3種方法，若甲參加，乙不參加，則甲只能參加項目，，項目，有種方法，
若乙參加，甲不參加，則乙只能參加項目，，項目，有種方法，
若甲不參加，乙不參加，有種方法，
根據分類計數原理，共有種．
故選：B.
11．（2021·福建南平·高二期末）國際冬奧會和殘奧會兩個奧運會將于2022年在北京召開，這是我國在2008年成功舉辦夏季奧運會之后的又一奧運盛事．某電視臺計劃在奧運會期間某段時間連續播放6個廣告，其中3個不同的商業廣告和3個不同的奧運宣傳廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是奧運宣傳廣告，且3個奧運宣傳廣告不能兩兩相鄰播放，則不同的播放方式有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B
【解析】先考慮第一個和最后一個位置必為奧運宣傳廣告，有種，
另一奧運廣告插入3個商業廣告之間，有種；
再考慮3個商業廣告的順序，有種，故共有種.故選：B.
12．（2021·山西呂梁·高二期末（理））北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合，是一次現代設計理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等6名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝同一個吉祥物，且每個吉樣物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數為（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【解析】小明和小李安裝同一個吉祥物，剩余4人安裝另一個，共有2種方案；
小明和小李和另外1人安裝同一個吉祥物，剩余3人安裝另一個，共有種方案；
小明和小李和另外2人安裝同一個吉祥物，剩余2人安裝另一個，共有種方案；
則不同的安裝方案種數為種故選：C
13．（2021·全國·高三專題練習（理））第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市聯合舉行，本次冬奧會設有冬季兩項、雪車、冰壺、冰球、雪橇、滑冰、滑雪7個大項．為確保冬奧會順利舉辦，奧組委欲招募一批志愿者，甲、乙兩名大學生審請報名時，計劃在7個大項的服務崗位中隨機選取3項，則兩人恰好選中相同2項的不同報名情況有（ ）
A．420種 B．1225種 C．441種 D．735種
【答案】A
【解析】根據題意可知，可分三步考慮：
第一步，在7項中選取2項，共有種不同的方法；
第二步，甲在剩下5項中選取1項，共有種不同的方法；
第三步，乙在剩下4項中選取1項，共有種不同的方法．根據分步乘法計數原理可知，兩人恰好選中相同2項的不同報名情況有（種），故選：A．
14．（2022·重慶市求精中學校一模）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合，是一次現代設計理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝同一個吉祥物，且每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知應將志愿者分為三人組和兩人組，
當三人組中包含小明和小李時，安裝方案有種；
當三人組中不包含小明和小李時，安裝方案有種，共計有種，故選：A.
15．（2020·湖南·長沙一中高三階段練習）北京2022年冬奧會和冬殘奧會色彩系統的主色包括霞光紅 迎春黃 天霽藍 長城灰 瑞雪白；間色包括天青 梅紅 竹綠 冰藍 吉柿；輔助色包括墨 金 銀.若各賽事紀念品的色彩設計要求：主色至少一種 至多兩種，間色兩種 輔助色一種，則某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白 冰藍 銀色這三種顏色的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當主色只選一種時，共有種
當主色選兩種時，共有種
其中，若主色只選一種時，某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白 冰藍 銀色這三種顏色的共有種；
若主色選兩種時，某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白 冰藍 銀色這三種顏色的共有種；
則某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白 冰藍 銀色這三種顏色的概率為故選：B
16．（2022·北京昌平·高一期末）北京2022年冬奧會新增了女子單人雪車 短道速滑混合團體接力 跳臺滑雪混合團體 男子自由式滑雪大跳臺 女子自由式滑雪大跳臺 自由式滑雪空中技巧混合團體和單板滑雪障礙追逐混合團體等個比賽小項，現有甲 乙兩名志愿者分別從個比賽小項中各任選一項參加志愿服務工作，且甲 乙兩人的選擇互不影響，那么甲 乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進行志愿服務工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知甲 乙兩名志愿者分別從個比賽小項中各任選一項參加志愿服務工作共有種情況，
其中甲 乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進行志愿服務工作共種，
所以甲 乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進行志愿服務工作的概率是，
故選：C.
17．（2021·北京·高二學業考試）《北京2022年冬奧會——冰上運動》紀念郵票一套共有5枚，郵票圖案名稱分別為：短道速滑、花樣滑冰、速度滑冰、冰壺、冰球.小冬買了一套該種紀念郵票，準備隨機送給小冰等5位同學，每人1枚，則小冰收到郵票的圖案名稱是短道速滑的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意，任何一位同學收到短道速滑圖案的郵票概率都為，故選：C
18．（2021·河南·新鄉縣一中高三階段練習（文））某高校計劃派出甲、乙、丙名男生和，，名女性共名志愿者參與北京冬奧會志愿者工作，現將他們分配到北京、延慶個賽區進行培訓，其中名男性志愿者和名女性志愿者去北京賽區，其他都去延慶賽區，則甲和被選去北京賽區培訓的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，分配名男性志愿者和名女性志愿者去北京賽區共有
(甲，A), (甲，B), (甲，C), (乙，A), (乙，B), (乙，C)，(丙，A), (丙，B), (丙，C)，9中不同的分配方法，
其中甲和被選去北京賽區培訓是其中一種分配方法，
所以甲和被選去北京賽區培訓的概率為.故選：C
19．（2021·福建·三明一中高二期中）北京冬奧會將于2022年2月4日到20日在北京和張家口舉行．為紀念申奧成功，中國郵政發行《北京申辦2022年冬奧會成功紀念》郵票，圖案分別為冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”及“志愿者標志”．現從一套5枚郵票中任取3枚，則恰有1枚吉祥物郵票的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】從一套5枚郵票中任取3枚的不同取法有種，
恰有1枚吉祥物郵票的情況有種，
則恰有1枚吉祥物郵票的概率，故選：C
二、多選題
20．（2022·遼寧·大連八中高二期末）現安排甲、乙、丙、丁、戊名同學參加年冬奧會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是（ ）
A．每人都安排一項工作的不同方法數為
B．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數為
C．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這名同學全部被安排的不同方法數為
D．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是
【答案】CD
【解析】對于A選項，每人各有種選擇，每人都安排一項工作的不同方法數為，A錯；
對于B選項，每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則必有人參加一份工作，其余人都參加一份工作，
可先將人分為組，有一組為人，然后將這四組分配給四種工作即可，共有種安排方法，B錯；
對于C選項，如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，有兩種情況：
①有人選同一種工作，其余人只安排一種工作；
②有種工作只有人，其余種工作都只有人.
所以，不同的安排方法種數為，C對；
對于D選項，每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，
甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，分兩種情況討論：
①開車這份工作有人參與，其余工作各分配人，共有種安排方法；
②開車這份工作只有人參與，有人參與同一份工作，其余人各參與一份工作，共有.
綜上所述，共有不同安排方案的種數是，D對.故選：CD.
三、填空題
21．（2021·山東·德州市第一中學高二階段練習）2022年2月4日，冬季奧運會將在北京市和河北省張家口市聯合舉行.某冬奧會場館為安全起見，計劃將5個安保小組安排到指定的三個區域內工作，且每個區域至少有一個安保小組，至多有兩個安保小組，則這樣的安排方法共有______種.
【答案】90
【解析】先將保安小組進行分組，然后安排到三個區域，
所以不同的安排方法數有種.故答案為：
22．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）2022年北京冬奧會即將開幕，某校4名學生報名擔任志愿者.將這4名志愿者分配到3個比賽場館，每個比賽場館至少分配一名志愿者，則所有分配方案共有______種.（用數字作答）
【答案】36
【解析】將4名同學按2,1,1分成3組有種方法.
再將這3組分配到3個比賽場館，共有種
則所有分配方案共有種故答案為：36
23．（2021·北京市朝陽區人大附中朝陽分校高三階段練習）將5名北京冬奧會志愿者全部分配到花樣滑冰 短道速滑 高山滑雪3個項目進行培訓，每名志愿者只分配到一個項目，每個項目至少分配一名志愿者，并且甲 乙兩名志愿者必須分配在一起，則共有種不同的分配方式___________.
【答案】36
【解析】由題設，5名北京冬奧會志愿者分配到3個項目進行培訓的有兩類分組：
1、各組人數以分組，共有種；
2、各組人數以分組，共有種；
∴共有種分配方式.故答案為：.
24．（2021·湖南·雅禮中學高三階段練習）清華大學有6名同學準備在北京2022年冬奧會期間擔任志愿者，去A，B兩個場館進行工作.現需制定工作方案，將6人分成2組，每組3人，每組各指定一名組長，再將兩組分別指派到A，B兩個場館，則不同的工作方案數為___________.
【答案】
【解析】根據平均分組問題將6人分成兩組，每組3人，有種不同的分法；
再選各組的組長，有種情況，
最后將兩組分配到A，B兩個場館，則有種可能，
所以，根據乘法原理得共有種不同的方案.
故答案為：
25．（2021·上海松江·一模）第24屆冬奧會將于2022年2月4日20日在北京-張家口舉行，某大學從7名志愿者中選出4人分別從事對外聯絡 場館運行 文化展示 賽會綜合這四項服務中的某一項工作，則不同的選派方案共有___________種.
【答案】840
【解析】根據題意，由7人選4人從事不同工作，是排列問題，
故不同的選派方案共有，故答案為：840
26．（2022·全國·高三專題練習）為迎接2022年北京冬奧會，將名志愿者分配到花樣滑冰、速度滑冰個項目進行培訓，每名志愿者分配到個項目，每個項目至少分配到名志愿者，則不同的分配方案共有________種．（用數字作答）
【答案】14.
【解析】先將4名志愿者分成2組，分別是每組2個人或者一組3人，一組1人，
若每組2個人，分別分配給2個項目，則有種分法；
若一組3人，一組1人，分別分配給2個項目，則有種分法；
因此不同的分配方案共種，故答案為：14.
27．（2021·天津·南開中學高一期末）為迎接2022年北京冬奧會，某工廣生產了一批滑雪板，這批產品中按質量分為一等品，二等品，三等品.從這批滑雪板中隨機抽取一件滑雪板檢測，已知抽到不是三等品的概率為0.97，抽到一等品或三等品的概率為0.88，則抽到一等品的概率為___________.
【答案】0.85
【解析】設抽到一等品，二等品，三等品的事件分別為，，，
則，解得，
所以抽到一等品的概率為0.85．故答案為：0.85．
28．（2021·貴州六盤水·一模（文））小明在一個專用的郵票箱中，收藏了北京2022年冬奧會吉祥物和冬殘奧會吉祥物紀念郵票一套2枚，冬奧會會徽和冬殘奧會會徽紀念郵票一套2枚．現從這4枚郵票中隨機抽取2枚，恰好有一張是“冰墩墩”（圖案為大熊貓）的概率為________．
【答案】
【解析】設冬奧會吉祥物和冬殘奧會吉祥物紀念郵票一套2枚分別記為（為“冰墩墩”），，冬奧會會徽和冬殘奧會會徽紀念郵票一套2枚分別記為，，從這4枚郵票中隨機抽取2枚的基本事件分別是，，，，，，共6種，其中恰好有一張是“冰墩墩”的基本事件是，，，共3種，故所求概率為．故答案為：
四、解答題
29．（2021·北京豐臺·高二期中）某學校為普及2022年北京冬奧會知識，現從4名男同學和2名女同學中選出3名同學擔任宣講員．
（Ⅰ）共有多少種不同選法？（結果用數字作答）
（Ⅱ）如果至少有1名女同學參加，且這3名同學分別在周五、周六和周日進行宣講，那么共有多少種不同選法？（結果用數字作答）
【解析】（Ⅰ）所有不同選法種數，就是從6名同學中抽出3名的組合數，
所以選法種數為
（Ⅱ）根據題意，分2步進行分析：
①從6名同學抽出的3名同學，要求其中至少有1名女同學，包括1名女同學2名男同學和2名女同學1名男同學兩種情況，
所以選法種數為
②將這3名同學分別在周五、周六、周日進行宣講，有種情況，
則有種選法.
30．（2022·安徽合肥·高三期末（文））第24屆冬奧會將于2022年2月4日在北京國家體育場開幕，“冬奧熱”在國民中迅速升溫．為了解冬奧會知識在某校高中生中的普及程度，該校按性別分層抽樣，隨機從高中生中抽取了50人參加測試，成績統計圖：
(1)估計該校高中生男生和女生哪個群體掌握冬奧會知識的平均水平更高？
(2)該校計劃從得分為100分的高中生中隨機抽取兩名學生參加市級比賽，抽取的兩名學生性別不同的概率．
【解析】 (1)設男生和女生的平均得分分別為、，則
，
．
∵，∴該校高中生男生群體掌握冬奧會知識的平均水平高于女生．
(2)由統計圖可知，得分為100分的人數為6人，
設男生中滿分學生分別為，，，，女生滿分學生分別為A，，共6人，現從6人中隨機抽取兩人，共有如下15種可能：
，，，，，
，，，，
，，，
，，
，
其中性別不同的有如下8種可能：
，；，；，；，．
∴抽取的兩名學生性別不同的概率為．
試卷第1頁，共3頁
冬奧專題10 隨機變量及其分布
一、單選題
1．（2021·湖南·雅禮中學高三階段練習）“冰墩墩”是2022年北京冬奧會吉祥物，在冬奧特許商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包裝上標注隱藏款抽中的概率為，出廠時每箱裝有6個盲盒．小明買了一箱該款盲盒，他抽中k(0≤k≤6，k∈N)個隱藏款的概率最大，則k的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由題意可得小明抽中個隱藏款的概率為，其中，要使得最大，只需要最大，則，即，則，又因為，則，故選：B.
2．（2021·江蘇·鎮江崇實女子中學高二期中）為準備2022年北京—張家口冬奧會，某冰上項目組織計劃招收一批9—14歲的青少年參加集訓，以選拔運動員，共有10000名運動員報名參加測試，其測試成績X（滿分100分）服從正態分布，成績為90分及以上者可以進入集訓隊，已知80分及以上的人數為228人，請你通過以上信息，推斷進入集訓隊的人數為（ ）
附：，，
A．13 B．18 C．26 D．30
【答案】A
【解析】正態分布，可知
80分及以上的人數為228人，則，
由正態分布曲線的對稱性可得：
，故，
∴，
則分及以上的人數為人.故選：A.
3．（2021·全國·高三專題練習（理））為準備年北京-張家口冬奧會，某冰上項目組織計劃招收一批歲的青少年參加集訓，以選拔運動員，共有名運動員報名參加測試，其測試成績(滿分分)服從正態分布，成績為分及以上者可以進入集訓隊.已知分及以上的人數為人，請你通過以上信息，推斷進入集訓隊的人數為（ ）
附：，，.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正態分布，分及以上的人數為人，則，
由正態分布曲線的對稱性可得：
，
故，∴，
則分及以上的人數為人.故選C.
二、多選題
4．（2022·全國·高二課時練習）為了增強學生的冬奧會知識，弘揚奧林匹克精神，北京市多所中小學開展了冬奧會項目科普活動.為了了解學生對冰壺這個項目的了解情況，在北京市中小學中隨機抽取了10 所學校，10所學校中了解這個項目的人數如圖所示：
若從這10所學校中隨機選取2所學校進行這個項目的科普活動，記為被選中的學校中了解冰壺的人數在30以上的學校個數，則（ ）
A．的取值范圍為 B．
C． D．
【答案】BC
【解析】的取值范圍為，了解冰壺的人數在30以上的學校有4所.，，，，所以.
故選：BC.
三、解答題
5．（福建省漳州市2022屆高三畢業班第一次教學質量檢測數學試題）北京冬奧會某個項目招募志愿者需進行有關專業 禮儀及服務等方面知識的測試，測試合格者錄用為志愿者.現有備選題10道，規定每次測試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題者視為合格，已知每位參加筆試的人員測試能否合格是相互獨立的.若甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題.求：
(1)甲 乙兩人至多一人測試合格的概率；
(2)甲答對的試題數X的分布列和數學期望.
【解析】 (1)根據題意，甲測試合格的概率為；
乙測試合格的概率為；
故甲 乙兩人都測試合格的概率為，
則甲 乙兩人至多一人測試合格的概率為.
(2)由題可知，甲答對的試題數X可以取，
又，，
，，
故的分布列如下：
則.
6．（2021·遼寧·高二階段練習）2022年北京冬奧會的志愿者中，來自甲、乙、丙三所高校的人數分別為：甲高校學生志愿者7名，教職工志愿者2名；乙高校學生志愿者6名，教職工志愿者3名；丙高校學生志愿者5名，教職工志愿者4名.
(1)從這三所高校的志愿者中各抽取一名，求這三名志愿者中既有學生又有教職工的概率；
(2)先從三所高校中任選一所，再從這所高校的志愿者中任取一名，求這名志愿者是教職工志愿者的概率.
【解析】 (1)設事件A為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者全是學生，則；
設事件B為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者全是教職工，則；
設事件C為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者中既有學生又有教職工，則.
(2)設事件D為這名志愿者是教職工志愿者，事件為選甲高校，事件為選乙高校，事件為選丙高校.
，，，.
所以這名志愿者是教職工志愿者的概率為：
7．（2022·重慶市天星橋中學一模）第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京舉行，冬季兩項是冬奧會的正式項目之一，冬季兩項是把越野滑雪和射擊兩種特點不同的競賽項目結合在一起進行的運動，要求運動員既要有由動轉靜的能力，又要有由靜轉動的能力.20km男子個人賽是冬季兩項中最古老的奧運項目，分成5個階段：第1圈滑行后臥射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后臥射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直達終點．比賽時，運動員單個出發，隨身攜帶槍支和20發子彈，每輪射擊發射5發子彈，每脫靶一次加罰1分鐘．成績的計算是越野滑雪的全程時間加被罰的時間，比賽結束所耗總時間少者獲勝．已知甲、乙兩名參賽選手在射擊時每發子彈命中目標的概率均為0.8．
(1)試求甲選手在一輪射擊中，被罰時間X的分布列及期望；
(2)若甲、乙兩名選手在滑道上滑行所耗時間相同，在前三輪射擊中甲選手比乙選手多罰了3分鐘，試求在四輪射擊結束后，甲選手所罰總時間比乙選手所罰總時間少的概率（保留小數點后4位）．
（參考數據：，．）
【解析】 (1)因為一輪射擊中，共發射5發子彈，脫靶一次罰時1分鐘，
所以一輪射擊中，被罰時間X的值可能為0，1，2，3，4，5．
，，
，，
，，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4 5
P 0.32768 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.00032
依題意，被罰時間X滿足二項分布，所以；
(2)依題意，甲選手所罰總時間比乙選手所罰總時間少，在第四輪射擊中，共有兩種可能，第一種情況，甲5發子彈都擊中，乙擊中0發或1發；第二種情況，甲擊中4發子彈，乙擊中0發，所以甲選手所罰總時間比乙選手所罰總時間少的概率為．
8．（2022·湖北·高三期末）由文化和旅游部會同國家體育總局共同編制的《滑雪旅游度假地等級劃分》（以下簡稱《標準》）日前發布實施．《標準》的發布得到旅游業界的廣泛關注，將有力推動我國冰雪旅游高質量發展，助力北京2022年冬奧會舉辦．為推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．促銷期間滑雪場的收費標準是：
滑雪時間x小時
收費標準 免費 80元/人 120元/人
不足1小時的部分按1小時計算．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，，兩人滑雪時間都不會超過3小時．
(1)求甲、乙兩人所付的滑雪費用相同的概率；
(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量X，求N的分布列和期望（結果用分數表示）．
【解析】 （1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為0、80、120元，
兩人都付0元的概率為；
兩人都付80元的概率為；
兩人都付120元的概率為．
則兩人所付費用相同的概率為；
（2）設甲、乙所付費用之和為X，X可能取值為0、80、120、160、200，240
則
所以，隨機變量X的分布列為：
X 0 80 120 160 200 240
P
元．
9．（2022·山西懷仁·高三期末（理））2022年第24屆冬季奧林匹克運動會，簡稱“北京張家口冬奧會”，將在2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和張家口市聯合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京將承辦所有冰上項目，延慶和張家口將承辦所有的雪上項目.下表是截取了2月5日和2月6日兩天的賽程表：
2022年北京冬奧會賽程表（第七版，發布自2020年11月）
2022年2月 北京賽區 延慶賽區 張家口賽區
開閉幕式 冰壺 冰球 速度滑冰 短道速滑 花樣滑冰 高山滑雪 有舵雪橇 鋼架雪車 無舵雪橇 跳臺滑雪 北歐兩項 越野滑雪 單板滑雪 冬季兩項 自由式滑雪 當日決賽數
5日 * * 1 1 * 1 1 * 1 1 6
6日 * * 1 * 1 1 1 1 1 1 7
說明：“*”代表當日有不是決賽的比賽；數字代表當日有相應數量的決賽.
(1)（i）若在這兩天每天隨機觀看一個比賽項目，求恰好看到冰球和跳臺滑雪的概率；
（ii）若在這兩天每天隨機觀看一場決賽，求兩場決賽不在同一賽區的概率；
(2)若在2月6日（星期日）的所有決賽中觀看三場，記為賽區的個數，求的分布列及期望.
【解析】 (1)記“在這兩天每天隨機觀看一個項目，恰好看到冰球和跳臺滑雪”為事件．
由表可知，在這兩天每天隨機觀看一個項目，共有種不同方法，
其中恰好看到冰球和跳臺滑雪，共有2種不同方法．
所以，恰好看到冰球和跳臺滑雪的概率（A）．
記“在這兩天每天隨機觀看一場決賽，兩場決賽恰好在同一賽區”為事件．
由表可知，在這兩天每天隨機觀看一場決賽共有種不同方法，
其中兩場決賽恰好在北京賽區共有2種不同方法，在張家口賽區共有．
所以（B）．
所以兩場決賽不在同一賽區得概率為
(2)隨機變量的所有可能取值為1，2，3．
根據題意，，
，
．
隨機變量的分布列是：
1 2 3
數學期望．
10．（2021·廣東·廣州市真光中學高三階段練習）為了增強學生的冬奧會知識，弘揚奧林匹克精神，北京市多所中小學校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動為了了解學生在越野滑輪和早地冰壺兩項中的參與情況，在北京市中小學學校中隨機抽取了10所學校，10所學校的參與人數如下：
(1)現從這10所學校中隨機選取2所學校進行調查求選出的2所學校參與越野滑輪人數都超過40人的概率；
(2)現有一名早地冰壺教練在這10所學校中隨機選取2所學校進行指導，記X為教練選中參加旱地冰壺人數在30人以上的學校個數，求X的分布列和數學期望；
(3)某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降 轉彎 八字登坡滑行這3個動作進行技術指導.規定：這3個動作中至少有2個動作達到“優”，總考核記為“優”在指導后，該校甲同學3個動作中每個動作達到“優”的概率為0.4.求在指導后的考核中，甲同學總考核成績為“優”的概率.
【解析】 (1)解：記“選出的兩所學校參與越野滑輪人數都超過40人”為事件，現從這10所學校中隨機選取2所學校進行調查，可得基本事件總數為種，
參與越野滑輪人數超過40人的學校共4所，隨機選擇2所學校共種，
所以；
(2)解：的所有可能取值為0，1，2，參加旱地冰壺人數在30人以上的學校共4所，
，，．
的分布列為：
0 1 2
；
(3)甲同學總考核成績為“優”的概率為.
11．（2021·廣東·高三階段練習）北京冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京、張家口同為主辦城市，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬奧組委對報名參加北京冬奧會志愿者的人員開展冬奧會志愿者的培訓活動，并在培訓結束后進行了一次考核.為了解本次培訓活動的效果，從中隨機抽取80名志愿者的考核成績，根據這80名志愿者的考核成績得到的統計圖表如下所示.
女志愿者考核成績頻率分布表
考核成績 頻數 頻率
2 0.050
13 0.325
18 m
a 0.100
b 0.075
若參加這次考核的志愿者考核成績在內，則考核等級為優秀.
(1)分別求出m，a，b的值，以及這次培訓考核等級為優秀的男志愿者人數；
(2)若從樣本中考核等級為優秀的志愿者中隨機抽取3人進行學習心得分享，記抽到男志愿者的人數為，求的分布列及數學期望.
【解析】 (1)由女志愿者考核成績的頻率分布表可知被抽取的女志愿者的人數為．因為，所以
所以，
因為被抽取的志愿者人數是80，所以被抽取的男志愿者人數是．
由男志愿者考核成績頻率分布直方圖可知男志愿者這次培訓考核等級為優秀的頻率為，
則這次培訓考核等級為優秀的男志愿者人數為；
(2)由（1）知，考核評定為優秀的女志愿者為7人，男志愿者為5人，
由題意可知X的可能取值為0，1，2，3．
，，
，
X的分布列為
X 0 1 2 3
P
故
12．（2022·廣東·執信中學高三階段練習）2021年5月12日，2022北京冬奧會和冬殘奧會吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展覽中心．為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某商場舉辦了一場贏取吉祥物掛件的“雙人對戰”游戲，游戲規則如下：參與對戰的雙方每次從裝有3個白球和2個黑球（這5個球的大小、質量均相同，僅顏色不同）的盒子中輪流不放回地摸出1球，摸到最后1個黑球或能判斷出哪一方獲得最后1個黑球時游戲結束，得到最后1個黑球的一方獲勝．設游戲結束時對戰雙方摸球的總次數為X．
(1)求隨機變量X的概率分布；
(2)求先摸球的一方獲勝的概率，并判斷這場游戲是否公平．
【解析】（1）由題可得，X的所有可能取值為2，3，4，
且，
，
，
X的分布列為
X 2 3 4
P
（2）先摸球的一方獲勝，包括以下幾種情況：雙方共摸3次球，出現白黑黑、黑白黑、白白白這三種情況，即，
雙方共摸4次球，出現的恰好是三白一黑且前三次必定出現一次黑球的情形，
概率為，
所以先摸球的一方獲勝的概率為．
因為，所以這場游戲是不公平的．
13．（2021·河南·輝縣市第一高級中學高二階段練習（理））在第24屆冬奧會的志愿者選拔工作中，某高校承辦了冬奧會志愿者選拔的面試工作，面試成績滿分100分，現隨機抽取了80名候選者的面試成績分五組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右前三個組的頻率成等差數列，第一組和第五組的頻率相同.
（1）求，的值，并估計這80名候選者面試成績平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）和中位數（中位數精確到0.1）；
（2）冰球項目的場地服務需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通過該項志愿服務的選拔，需要通過抽簽的方式決定最終的人選，現將5張寫有“中簽”和5張寫有“未中簽”字樣的字條隨機分配給每一位候選人，記男生中簽的人數為，求的分布列及數學期望.
【解析】（1）由題意可知：，
解得，，
所以平均值等于
中位數等于
（2）可能取值為
，，，
所以的分布列為：
所以數學期望.
14．（2022·全國·高三專題練習）水立方、國家體育館、五棵松體育館、首都體育館、國家速滑館是2022冬奧會的比賽場館. 現有8名大學生報名參加冬奧會志愿者比賽場館服務培訓，其中1人在水立方培訓，3人在國家體育館培訓，4人在五棵松體育館培訓.
（1）若從中一次抽調2名大學生志愿者到國家速滑館培訓，求所抽調的2人來自不同場館的概率；
（2）若從中一次抽調3名大學生志愿者到首都體育館培訓，要求這3人中來自水立方的人數和來自國家體育館的人數都不超過來自五棵松體育館的人數. 設從五棵松抽出的人數為，求隨機變量的概率分布列及數學期望.
【解析】（1）、設“從中一次抽調2名大學生志愿者到國家速滑館，所抽調2人來自不同場館”，在8名大學生一次抽調2名大學生志愿者到國家速滑館培訓，所有基本事件種情況. 若2人都來自國家體育館有種情況，若2人都來自五棵松體育館有種情況，所以抽調的2人來自不同場館的概率.
（2）由題意的所有可能取值為.及來自五棵松體育館的人數至少是1人，則滿足題設條件的情況共有：種.
當時，只有一種情況水立方、國家體育館、五棵松體育館各抽1人，共種，此；
當時，水立方1人、五棵松體育館2人或國家體育館各1人，五棵松體育館2人，共=24種，,
當時，3人都來自于五棵松體育館，共種.
的分布列如下：
.
15．（2021·黑龍江·哈九中高三階段練習（理））冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會，是世界規模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆.第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行，為了弘揚奧林匹克精神，增強學生的冬奧會知識，某市多所中小學校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動.為了了解學生在越野滑輪和旱地冰壺兩項中的參與情況，在全市中小學學校中隨機抽取了10所學校，10所學校的參與人數如下：
（1）現從這10所學校中隨機選取2所學校進行調查，求選出的2所學校參與旱地冰壺人數在30人以下的概率.
（2）某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉彎、八字登坡滑行這3個動作進行技術指導.規定：這3個動作中至少有2個動作達到“優”，總考核記為“優”.在指導前，該校甲同學3個動作中每個動作達到“優”的概率為0.1.在指導后的考核中，甲同學總考核成績為“優”.能否認為甲同學在指導后總考核達到“優”的概率發生了變化 請說明理由.
【解析】（1）記“選出的兩所學校參與旱地冰壺人數在30人以下”為事件，
參與旱地冰壺人數在30人以下的學校共6所，隨機選擇2所學校共種，
所以.
因此選出的2所學校參與旱地冰壺人數在30人以下的概率為.
（2）答案不唯一.
答案示例1：可以認為甲同學在指導后總考核為“優”的概率發生了變化.
理由如下：
指導前，甲同學總考核為“優”的概率為.…
指導前，甲同學總考核為“優”的概率非常小，一旦發生，就有理由認為指導后總考核達到“優”的概率發生了變化.
答案示例2：無法確定.理由如下：
指導前，甲同學總考核為“優”的概率為.…
雖然概率非常小，但是也可能發生，
所以，無法確定總考核達到“優”的概率發生了變化.
16．（2020·北京延慶·高二期中）為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核．記表示學生的考核成績，并規定為考核合格．為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如圖莖葉圖：
（Ⅰ）請根據圖中數據，寫出該考核成績的中位數、眾數，若從參加培訓的學生中隨機選取1人，估計這名學生考核為合格的概率；
（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學生中任取3人，設表示這3人中成績滿足的人數，求的分布列和數學期望．
【解析】（Ⅰ）由莖葉圖得：該考核成績的中位數為：，眾數為77，
30名學生中，合格學生人數為26人，從參加培訓的學生中隨機選取1人，估計這名學生考核為合格的概率為；
（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學生中任取3人，的學生共有7人，其中成績滿足的有3人，
設表示這3人中成績滿足的人數，則的可能取值為0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列為：
0 1 2 3
數學期望．
17．（2022·全國·高三專題練習（理））單板滑雪型池比賽是冬奧會比賽中的一個項目，進入決賽階段的12名運動員按照預賽成績由低到高的出場順序輪流進行三次滑行，裁判員根據運動員的騰空高度、完成的動作難度和效果進行評分，最終取單次最高分作為比賽成績．現有運動員甲、乙二人在2021賽季單板滑雪型池世界杯分站比賽成績如下表：
分站 運動員甲的三次滑行成績 運動員乙的三次滑行成績
第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次
第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0
第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60
第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10
第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01
第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70
假設甲、乙二人每次比賽成績相互獨立．
（1）從上表5站中隨機選取1站，求在該站運動員甲的成績高于運動員乙的成績的概率；
（2）從上表5站中任意選取2站，用表示這2站中甲的成績高于乙的成績的站數，求的分布列和數學期望；
（3）假如從甲、乙2人中推薦1人參加2022年北京冬奧會單板滑雪型池比賽，根據以上數據信息，你推薦誰參加，并說明理由．
（注：方差，其中為，，…，的平均數）
【解析】 (1)解：設“該站運動員甲的成績高于該站運動員乙的成績”為事件；
運動員甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為：
86.20、92.80、87.50、89.50、86.00，
運動員乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為：
88.40、88.60、89.10、88.20、87.70，
其中第2站和第4站甲的成績高于乙的成績，
∴；
(2)的可能取的值為0，1，2，
則，
，
，
所以的分布列為：
0 1 2
；
(3)答案一：推薦乙．
理由是：從2021賽季前5站的成績可以看出：任意1站運動員甲的成績高于該站運動員乙的成績的概率為，
乙的成績高于該站運動員甲的成績的概率為．因為，所以乙的成績好于甲的成績的可能性大．
答案二：推薦乙．
用“”表示任意1站運動員甲的成績高于乙的成績，
用“”表示任意1站運動員甲的成績低于乙的成績，
則，，
，，
用“”表示運動員乙的成績高于甲的成績，
用“”表示運動員乙的成績低于甲的成績，則，
，，
因為，所以乙的成績好于甲的成績．
答案三：推薦乙．
甲5站的平均成績為：，
乙5站的平均成績為：，
甲5站成績方差為：
，
乙5站成績方差為：
，
說明甲乙二人水平相當，表明乙的發揮比甲的更穩定，
所以預測乙的成績會更好．
答案四：推薦甲．
甲5站的平均成績為：，
乙5站的平均成績為：，
甲乙5站的平均成績雖然相同，但是甲成績的極大值為92.80，乙成績的極大值為89.10，
甲成績的極大值高于乙成績的極大值，所以甲的成績會比乙的更好．
18．（2021·河北衡水中學模擬預測）第24屆冬奧會將于2022年2月在中國北京市和張家口巿聯合舉行．某城市為傳播冬奧文化，舉行冬奧知識講解員選技大賽．選手需關注活動平臺微信公眾號后，進行在線答題，滿分為200分．經統計，有40名選手在線答題總分都在內．將得分區間平均分成5組，得到了如圖所示的頻率分布折線圖．
（1）請根據頻率分布折線圖，畫出頻率分布直方圖，并估計這40名選手的平均分；
（2）根據大賽要求，在線答題總分不低于190分的選手進入線下集訓，線下集訓結束后，進行兩輪考核．第一輪為筆試，考試科目為外語和冰雪運動知識，每科的筆試成績從高到低依次有，，，四個等級．兩科均不低于，且至少有一科為，才能進入第二輪面試，第二輪得到“通過”的選手將獲得“冬奧知識講解員”資格．已知總分高于195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；總分不超過195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；若兩科筆試成績均為，則無需參加“面試”，直接獲得“冬奧知識講解員”資格；若兩科筆試成績只有一個，則要參加面試，總分高于195分的選手面試“通過”的概率為，總分不超過195分的選手面試“通過”的概率為．若參加線下集訓的選手中有2人總分高于195分，求恰有兩名選手獲得“冬奧知識講解員”資格的概率．
【解析】（1）根據頻率分布直方圖的中位數的計算公式，可得數據的平均分為：
．
頻率分布直方圖如圖所示：
（2）由題意，可得總分不低于190分的選手有人，
其中有2人總分高于195分，2人總分不高于195分，
設高于195分的選手獲得“冬奧知識講解員”資格為事件，不超過195分的選手獲得“冬奧知識講解員”資格為事件，
則，
，
故．
19．（2021·全國·高三專題練習）第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京舉行實踐“綠色奧運、科技奧運、人文奧運”理念，舉辦一屆“有特色、高水平”的奧運會，是中國和北京的莊嚴承諾，也是全世界的共同期待.為宣傳北京冬奧會，激發人們參與冬奧會的熱情，某市開展了關于冬奧知識的有獎問答.從參與的人中隨機抽取100人，得分情況如下：
（1）得分在80分以上稱為“優秀成績”，從抽取的100人中任取2人，記“優秀成績”的人數為，求的分布列及數學期望；
（2）由直方圖可以認為，問卷成績值服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.
①求；
②用所抽取100人樣本的成績去估計城市總體，從城市總人口中隨機抽出2000人，記表示這2000人中分數值位于區間的人數，利用①的結果求.
參考數據：，，，，.
【解析】（1）得分80以上的人數為，可能取值為0，1，2
，，，
分布列為：
0 1 2
.
（2）
取，
①
②，
20．（2021·湖北·漢川市實驗高級中學高二期中）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時.
（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；
（2

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