資源簡介

第一講 函數(shù)與方程
一 【考點提示】
知識點一 映射與函數(shù)
考點1 映射與函數(shù)的概念
考點2 同一函數(shù)的判斷
知識點二 函數(shù)的三要素
考點3 函數(shù)定義域的求解
考點4 函數(shù)解析式的求法
考點5 函數(shù)值域的求解
考點6 分段函數(shù)
知識點三 函數(shù)的基本性質(zhì)
考點7 函數(shù)單調(diào)區(qū)間（性）的判斷
考點8 函數(shù)奇偶性的判斷
考點9 函數(shù)周期性的判斷
考點10 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
知識點四 二次函數(shù)
考點11 二次函數(shù)、一元二次方程、二次不等式的關(guān)系
考點12 二次方程的實根分布及條件
考點13 二次函數(shù)“動軸定區(qū)間，定軸動區(qū)間”問題
知識點五 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
考點14 指數(shù)運算及指數(shù)方程，指數(shù)不等式
考點15 指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)
考點16 指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
考點17 比較大小問題
知識點六 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
考點18 對數(shù)運算及對數(shù)方程，對數(shù)不等式
考點19 對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)
考點20 對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
考點21 比較大小問題
知識點七 冪函數(shù)
考點22 冪函數(shù)的概念
考點23 冪函數(shù)的圖像應(yīng)用
考點24 冪函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用
知識點八 函數(shù)的圖像
考點25 函數(shù)圖像的應(yīng)用
知識點九 函數(shù)與方程
考點26 求函數(shù)零點或零點所在區(qū)間
考點27 利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍
考點28 方程的個數(shù)與零點的存在性問題
二 【典例分析】
1.函數(shù)定義域
例1．【2009年江西理】函數(shù)的定義域為
A． B． C． D．
練習(xí)：求函數(shù)的定義域.
例2.【2006年湖北理】設(shè)，則的定義域為
A. B.
C. D.
練習(xí)：已知，函數(shù)的定義域是，求函數(shù)
的定義域.
例3 若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍__________.
練習(xí)：1.當(dāng)k為________時，函數(shù)的定義域為R.
2.已知函數(shù)，若集合，則中所含的元素個數(shù)為_________________.
2.函數(shù)的值域
例4 函數(shù)的值域是_________________.
例5 求函數(shù)的值域.
練習(xí)：設(shè)函數(shù)的定義域為，若所有點構(gòu)成一個正方形區(qū)域，則的值為
A． B． C． D．不能確定
例6 求函數(shù)的值域.
練習(xí)：（10）函數(shù) 的值域是
A． [] B． C．[] D．[]
例6 求函數(shù)的值域.
練習(xí)： 求函數(shù)的值域.
例7求函數(shù)的值域.
練習(xí)：求下列函數(shù)的值域

例8 【2011年湖南文，8】已知函數(shù)，若有，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例9 已知，求函數(shù)的值域.
練習(xí):已知，求函數(shù)的值域.
3.函數(shù)的性質(zhì)
例10 下列函數(shù)：
①f(x)＝ ＋ ；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝；⑤f(x)＝lg.其中奇函數(shù)的個數(shù)是( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
練習(xí)： 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.
例11 設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間上只有，試判斷函數(shù)的奇偶性.
練習(xí)：
（2011山東理，5）對于函數(shù)，“的圖像關(guān)于y軸對稱”是“是奇函數(shù)”的（ ）
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
例12 定義在實數(shù)集上的函數(shù)，對任意都有
，且，試判斷的奇偶性.
練習(xí)：
若定義在R上的函數(shù)滿足對任意都有，則下列說法一定正確的是（ ）
A.為奇函數(shù) B.為偶函數(shù)
C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)
例13 已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[－2,2]，且在區(qū)間[－2,0]內(nèi)遞減，求滿足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的實數(shù)m的取值范圍．
練習(xí)：
設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)時是單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有x的和為（ ）
A. B. C. D.8
例14 若函數(shù) 為奇函數(shù),則a=
A. B. C. D. 1
練習(xí)：【2011廣東理，4】設(shè)函數(shù)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是
A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)
C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)
例15 【2011年福建理，9】對于函數(shù)(其中，a,bR,cZ),選取a,b,c的一組值計算和，所得出的正確結(jié)果一定不可能是
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
練習(xí)：
【2011湖北理，6】已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(＞0,且).若，則=
A．2 B. C. D. [來源:學(xué)§科§網(wǎng)]
例16 【2007年上海理】已知函數(shù)，常數(shù)．
（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．
練習(xí)：
設(shè)是函數(shù)的一個減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍___________.
例17 【2010年重慶理，15】（15）已知函數(shù)滿足：，
，則=_____________.
練習(xí)：
【2009四川理，12】已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則的值是
A.0 B. C.1 D.
【】
例18 【2009年陜西理，12】定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則當(dāng)時,有
(A) (B) (C) (D)
練習(xí)：
【2007年重慶理，9】已知定義域為的函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
例19 【2009年全國1理，11】函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則
A 是偶函數(shù) B 是奇函數(shù)
C D 是奇函數(shù)
練習(xí)：【2009年山東文，12】已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則( ).
A. B.
C. D.
例20【2011年陜西理，12】設(shè),一元二次方程有正數(shù)根的充要條件是=
練習(xí)：
已知函數(shù)，若，則（ ）
A. B.
C. D. 大小不能確定
例21【2007廣東理】已知是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍．
4.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
例22 【2007年上海理】方程 的解是 ．
練習(xí)：關(guān)于x的方程有負實數(shù)根，則a的取值范圍是____________.
例23 【2011年上海理，20】已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足
（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，求時的的取值范圍．
例24 【2007年山東文，14】函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為 ．
例25 【2009年湖南文，7】設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義.對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù) ,取函數(shù).若對任意的，恒有，則（ ）
A．K的最大值為2 B．K的最小值為2
C．K的最大值為1 D．K的最小值為1
5.對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
例26【2008年山東文，15】已知,則f(2)+(4)+f(8)+…+f(28)的值等于 .
例27【2009年全國二，理】設(shè)，則
A. B. C. D.
練習(xí)：【2009年天津文5】設(shè)，則
A a例28 【2010年浙江理，10】設(shè)函數(shù)的集合
，
平面上點的集合，
則在同一直角坐標系中，中函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過中兩個點的函數(shù)的個數(shù)是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
例29 【2010年全國1理，10】已知函數(shù)F(x)=|lgx|,若0 (A) (B) (C) (D)
6.函數(shù)圖像
例30 函數(shù)的圖象是
練習(xí)：（ ）
A、 B、 C、 D、
例31 函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（ ）



A B C D
練習(xí)：【2009聊城一模】已知函數(shù)上的奇函數(shù)， 當(dāng)x>0時，的大致圖象為（ ）
例32【2011山東】函數(shù)的圖象大致是（ ）
練習(xí)：（2008山東）函數(shù)的圖象是（ ）
例33 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則（ ）
A B. C. D.

練習(xí)：下面四圖都是同一坐標系中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，其中一定不正確的個數(shù)為 個

例34.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程在區(qū)間上有四個不同的根,則
練習(xí)：【2009廣東】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像如圖所示，對于滿足的任意的，給出下列結(jié)論：1；2；
3
其中正確結(jié)論的序號是_____________.
7.函數(shù)零點
例35【2010年上海，文】若是方程的解，則屬于區(qū)間（ ）
（A）（0,1） （B）（1,1.25） （C）（1.25,1.75） （D）（1.75,2）
練習(xí)：【2010年天津理，2】函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（ ）
（A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）
例36 【2009年山東理，14】若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是
學(xué)科網(wǎng)
練習(xí)：【2011年山東理，16】（16）已知函數(shù)，當(dāng) 2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)的零點 .
例37 【2011新課標全國文，12】 已知函數(shù) 的周期為2，當(dāng)x時 ,那么函數(shù) 的圖像與函數(shù)y =的圖像的交點共有
（A）10個 （B）9個 （C）8個 （D）1個
三【題型匯總1】（2012年高考題）
（一）函數(shù)的概念
1.【2012高考真題安徽理2】下列函數(shù)中，不滿足：的是（ ）

2.【2012高考真題江西理2】下列函數(shù)中，與函數(shù)定義域相同的函數(shù)為
A． B. C.y=xex D.
3.【2012高考真題江西理3】若函數(shù)，則=
A.lg101 B.2 C.1 D.0
4.【2012高考江蘇5】函數(shù)的定義域為 ．
（二）函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用
5.【2012高考真題重慶理7】已知是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“為上的增函數(shù)”是“為上的減函數(shù)”的
（A）既不充分也不必要的條件 （B）充分而不必要的條件
（C）必要而不充分的條件 （D）充要條件

6.【2012高考真題陜西理2】下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（ ）
A. B. C. D.
7.【2012高考真題山東理3】設(shè)且，則“函數(shù)在上是減函數(shù) ”，是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
8.【2012高考真題山東理8】定義在上的函數(shù)滿足.當(dāng)時，，當(dāng)時，。則
（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012
9.【2012高考真題廣東理4】下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是
A. B. C. D.
10.【2012高考真題福建理7】設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論錯誤的是
A. D（x）的值域為{0,1}
B. D（x）是偶函數(shù)
C. D（x）不是周期函數(shù)D.
D. D（x）不是單調(diào)函數(shù)
11.【2012高考真題上海理7】已知函數(shù)（為常數(shù)）.若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是 。
12.【2012高考真題上海理9】已知是奇函數(shù)，且，若，則 。
13.【2012高考江蘇10】（5分）設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，
其中．若，
則的值為 ．
（三）函數(shù)的零點
14.【2012高考真題天津理4】函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
15.【2012高考真題遼寧理11】設(shè)函數(shù)f(x)滿足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且當(dāng)時，f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xcos|，則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在上的零點個數(shù)為
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
16.【2012高考真題湖北理9】函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為
A．4 B．5
C．6 D．7
（四）函數(shù)圖像的應(yīng)用
17.【2012高考真題新課標理10】 已知函數(shù)；則的圖像大致為（ ）

18.【2012高考真題四川理5】函數(shù)的圖象可能是（ ）

19.【2012高考真題山東理9】函數(shù)的圖像大致為
20.【2012高考真題山東理12】設(shè)函數(shù)，若的圖象與圖象有且僅有兩個不同的公共點,則下列判斷正確的是
A.當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，
C. 當(dāng)時，
D. 當(dāng)時，
21．【2012高考真題湖南理8】已知兩條直線 ：y=m 和： y=(m＞0)，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點A，B ，與函數(shù)的圖像從左至右相交于C,D .記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a ,b ,當(dāng)m 變化時，的最小值為
A． B. C. D.
22.【2012高考真題天津理14】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是_________.
（五）函數(shù)綜合問題
23.【2012高考真題全國卷理9】已知 ，則
(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x
24.【2012高考真題重慶理10】設(shè)平面點集
，則所表示的平面圖形的面積為
（A） （B） （C） （D）

25.【2012高考真題四川理3】函數(shù)在處的極限是（ ）
A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于

26.【2012高考真題北京理14】已知，，若同時滿足條件：
①，或；
②, 。
則m的取值范圍是_______.
【題型匯總2】（2013年高考題）
一 函數(shù)的基本概念
題型1 給定函數(shù)解析式求解定義域
1.（2013年高考江西卷（理））函數(shù)的定義域為
A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
2.（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）函數(shù)的定義域是_______________
3.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對））已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為
(A) (B) (C) (D)
4.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））的最大值為( )
A.9 B. C. D.
5.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））已知函數(shù)設(shè)表示中的較大值,表示中的較小值,記得最小值為得最大值為,則
(A) (B) (C) (D)
6.（2013年高考新課標1（理））若函數(shù)=的圖像關(guān)于直線對
稱,則的最大值是______.
7.（2013年高考重慶卷（文））已知函數(shù),,則（ ）
A． B． C． D．
8.（2013年高考遼寧卷（文））已知函數(shù)（ ）
A． B． C． D．
9.（2013年高考天津卷（文））設(shè)函數(shù). 若實數(shù)a, b滿足, 則（ ）
A． B．
C． D．
10.（2013年高考安徽（文））定義在上的函數(shù)滿足.若當(dāng)時.,則當(dāng)時,=________________.
11.（2013年高考北京卷（文））函數(shù)的值域為_________.
12.（2013年高考福建卷（文））已知函數(shù),則________
二 基本初等函數(shù)
1.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知為正實數(shù),則
A. B. C. D.
2.（2013年高考上海卷（理））方程的實數(shù)解為________
3.（2013年高考浙江卷（文））已知a.b.c∈R,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),則（ ）
A．a(chǎn)>0,4a+b=0 B．a(chǎn)<0,4a+b=0 C．a(chǎn)>0,2a+b=0 D．a(chǎn)<0,2a+b=0
三 函數(shù)的基本性質(zhì)
1.（2013年高考四川卷（理））設(shè)函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).若曲線上存在使得,則的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
2.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時,,則
(A) (B) 0 (C) 1 (D) 2
3.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對））若函數(shù)在是增函數(shù),則的取值范圍是
(A) (B) (C) (D)
4.（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））已知是定義在上的奇函數(shù).當(dāng)時,,則不等式的解集用區(qū)間表示為___________.
5.（2013年高考上海卷（理））設(shè)為實常數(shù),是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時,,若對一切成立,則的取值范圍為________
6.（2013年高考湖北卷（文））x為實數(shù),表示不超過的最大整數(shù),則函數(shù)在上為（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．周期函數(shù)
7.（2013年高考天津卷（文））已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù), 且在區(qū)間單調(diào)遞增. 若實數(shù)a滿足, 則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8.（2013年高考陜西卷（文））設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù), 則對任意實數(shù)x, y, 有（ ）
A． B．
C． D．
四 分段函數(shù)
1.（2013年高考新課標1（理））已知函數(shù),若||≥,則的取值范圍是
A. B. C. D.
五 函數(shù)與零點
1.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））若,則函數(shù)的兩個零點分別位于區(qū)間( )
A.和內(nèi) B.和內(nèi)
C.和內(nèi) D.和內(nèi)
2.（2013年高考湖南卷（理））函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為
A.3 B.2 C.1 D.0

3.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））若函數(shù)有極值點,,且,則關(guān)于的方程的不同實根個數(shù)是
(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6
4.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））函數(shù)的零點個數(shù)為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
六 函數(shù)的圖像
1.（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）函數(shù)的大致圖像是( )
2.（2013年高考四川卷（理））函數(shù)的圖象大致是( )
3.（2013年高考北京卷（理））函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度,所得圖象與y=ex關(guān)于y軸對稱,則f(x)=
A. B. C. D.
4.（2013年高考福建卷（文））函數(shù)的圖象大致是 （ ）
A． B． C． D．

第七講 不等式
一 【考點提示】
不等式的性質(zhì)：
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
幾個重要不等式：
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
其他重要不等式及結(jié)論
（1）均值不等式的一般形式：
____________________________________________________________
（2）柯西不等式：
____________________________________________________________
（3）三角不等式：
____________________________________________________________
不等式的解法
一元一次不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
一元二次不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
高次不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
分式不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
無理不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
絕對值不等式
____________________________________________________________
____________________________________________________________
簡單的線性規(guī)劃問題
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
二【典例分析】
不等式的性質(zhì)
例1 若，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
和均不能成立
B.和均不能成立
C.不等式和均不能成立
D.不等式和均不能成立
例2（2006年江蘇理，8）設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是
（A）　　　（B）
（C）　　　　　（D）
例3 （2008年江西理，9）9．若，則下列代數(shù)式中值最大的是
A． B． C． D．
比較數(shù)（式）的大小與比較證明不等式
方法提示：（1）比較法（作差，做商）；（2）直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)或基本不等式；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性
例4 若，試比較與的大小.
例5 已知均為正數(shù)，
求證：（1）；（2）.
例6 在銳角中，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列命題正確的是（ ）
B.
C. D.
例7（2008年，天津理，9）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù).令，則
(A) (B) (C) (D)
例8已知函數(shù)，那么的值（ ）
一定大于0 B.一定小于0 C.等于0 D.不能確定
求取值范圍
例9（2010年遼寧理，14）已知且，則的取值范圍是_______（答案用區(qū)間表示）
例10 已知且，求的范圍.
4.均值不等式及其應(yīng)用
例11 下列結(jié)論正確的是（ ）
當(dāng)且時，
當(dāng)時，
C.當(dāng)時，的最小值是2
D.當(dāng)時，無最大值
例12 （2010年安徽文，15）若，則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是 （寫出所有正確命題的編號）。
① ②； ③；
④; ⑤
例13 （2007年北京理，7）如果正數(shù)滿足，那么（　　）
Ａ．，且等號成立時的取值唯一
Ｂ．，且等號成立時的取值唯一
Ｃ．，且等號成立時的取值不唯一
Ｄ．，且等號成立時的取值不唯一
利用均值不等式求函數(shù)最值
注意點提示：
（1）利用均值不等式求最值要注意條件的驗證
例14 （1）求函數(shù)的值域；
（2）求函數(shù)的最小值.
（2）通過代數(shù)變換配湊成使用均值不等式的形式
例15 求函數(shù)的最小值.
例16 若且，則的最小值是__________.
（3）注重“1”的變換
例17 求函數(shù)的最小值.
例18 已知，求的最小值.
（4）注意轉(zhuǎn)化思想和方程消元思想在求二元函數(shù)最值中的應(yīng)用
例19 （2010年浙江文，15）若正實數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是　　　　　　　.[來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K]
例20 （2010年重慶理，7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是
A. 3 B. 4 C. D.
（5）靈活選擇和運用均值不等式的變形形式
例21 設(shè)，則的最大值為_________.
例22（2011年浙江理，16）設(shè)為實數(shù)，若則的最大值是 .
（6）合理配組，反復(fù)應(yīng)用均值不等式
例23（2010年四川理，12）設(shè)，則的最小值是
（A）2 （B）4 （ C） （D）5
例24 （2005年重慶理，5）若是正數(shù)，則的最小值（ ）
A. 3 B. C. 4 D.
例25 證明：若，則.
不等式的證明
方法提示：（1）比較法；（2）函數(shù)的單調(diào)性；（3）分析法與綜合法；（4）反證法；（5）放縮法；（6）三角換元法；（7）構(gòu)造法
例26 已知，且，求證：.
例27 已知，求證：.
例28設(shè)，求證：.
例29若，且，求證：
例30 已知為不小于1的正數(shù)，求證：不可能同時大于.
例31 已知正數(shù)滿足，求證：.
例32 求證：.
例33 設(shè)，且滿足，問為何值時，以為邊可構(gòu)成三角形，并判斷該三角形的形狀.
例34 設(shè)實數(shù)滿足，求證：.
例35 設(shè)，若，求證：.
例36 證明：當(dāng)時，有.
例37 設(shè)，求證：.
有理不等式的解法
例38 若不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍__________.
例39（2008年海南，寧夏理，6）已知，則使得都成立的取值范圍是（ ）
B. C. D.
例40 （2009年天津理，10）,若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，則（ ）
（A） （B） （C） （D）
例41 已知，則關(guān)于的不等式的解集_________.
例42 （2011年江西理，4）若，則的解集為
A. B. C. D.
8.絕對值不等式的解法
例43 （2010年江西理，3）不等式的解集是
A． B．
C． D．
例44 （2008年山東理，16）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則b的取值范圍為________.
9.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域
例45（2008年湖北文，5）5．在平面直角坐標系中，滿足不等式組的點的集合用陰影表示為下列圖中的
例46 （2007年北京理，6）6．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則的取值范圍是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
例47 （2007年浙江理，17）設(shè)為實數(shù)，若
，則的取值范圍是 ．
10.平面區(qū)域的面積
例48 （2009年安徽理，7）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是學(xué)科網(wǎng)
（B） （C） （D） 學(xué)科網(wǎng)
例49 （2008年浙江理，17）若，且當(dāng)時，恒有，則以,b為坐標點P（，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于____________.
例50 （2007年江蘇，10）在平面直角坐標系中，已知平面區(qū)域，則平面區(qū)域的面積為（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11.求解目標函數(shù)的最值
例51 如果實數(shù)滿足約束條件，則的取值范圍是__________.
例52 已知實數(shù)滿足，則的最大值____________.
求解目標函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
例53 （2011年湖南理，7）7.設(shè)m＞1，在約束條件下，目標函數(shù)Z=x+my的最大值小于2，則m 的取值范圍為
A.（1，） B.（，） C.（1,3 ） D.（3，）
例54 （2010年北京理，7）設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=的圖像上存在區(qū)域D上的點，則a 的取值范圍是
（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]
三【2012年高考題選講】
1.【2012高考真題重慶理2】不等式的解集為
A. B. C. D. 對
2.【2012高考真題浙江理9】設(shè)a大于0，b大于0.
A.若，則 B.若，則
C.若，則 D.若，則
3.【2012高考真題四川理9】某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
4.【2012高考真題福建理5】下列不等式一定成立的是
A.
B.
C.
D.
5.【2012高考真題湖北理6】設(shè)是正數(shù)，且，
，，則
A． B． C． D．
6.【2012高考真題福建理9】若函數(shù)圖像上存在點滿足約束條件，則實數(shù)m的最大值為
A． B.1 C. D.2
7.【2012高考真題山東理13】若不等式的解集為，則實數(shù)__________.
8.【2012高考江蘇13】已知函數(shù)的值域為，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)c的值為 ．
9.【2012高考江蘇14】已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是 ．
10.【2012高考真題浙江理17】設(shè)，若時均有，則a＝______________．
11.【2012高考湖南文7】設(shè) a＞b＞1， ，給出下列三個結(jié)論：[www.z#zste&*p~.c@om]
＞ ；② ＜ ； ③ ，
其中所有的正確結(jié)論的序號是.[中*國教育@^出~版網(wǎng)#]
A．① B.① ② C.② ③ D.① ②③
12.【2012高考上海文10】滿足約束條件的目標函數(shù)的最小值
是
13.【2102高考福建文15】已知關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________.
14.【2012高考四川文16】設(shè)為正實數(shù)，現(xiàn)有下列命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④若，則。
其中的真命題有____________。（寫出所有真命題的編號）
四 【參考答案】
【典例分析答案】
B
C
A
作差法
作差或取對數(shù)
D
A
B
B
①③⑤
A
（1）；（2）
1
9
36
18
B
B
C
分析法
作差法
函數(shù)單調(diào)性
綜合法
分析法
反證法
放縮法
放縮法
冪函數(shù)性質(zhì)
三角換元
構(gòu)造法
構(gòu)造法
構(gòu)造法
B
C
C
A
C
D
A
1
B
9
A
A
【高考題選講答案】
1.A
2.A
3.C
4.C
5.C
6.Ｂ
7.
8.9
9.
10.
11.D
12.－2
13.
14.①④
第三講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（2012年高考題選講）
1.【2102高考福建文12】已知，且.現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①；②；③；④.
其中正確結(jié)論的序號是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
2.【2012高考遼寧文12】已知P,Q為拋物線上兩點，點P,Q的橫坐標分別為4，2，過P,Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8
3.【2012高考真題重慶理8】設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是
（A）函數(shù)有極大值和極小值
（B）函數(shù)有極大值和極小值
（C）函數(shù)有極大值和極小值
（D）函數(shù)有極大值和極小值
4.【2012高考真題新課標理12】設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ）

5.【2012高考真題遼寧理12】若，則下列不等式恒成立的是
A (B)
(C) (D)
6.【2012高考真題陜西理14】設(shè)函數(shù)，是由軸和曲線及該曲線在點處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則在上的最大值為 .
7.【2012高考四川文22】(本小題滿分14分)
已知為正實數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點，設(shè)為該拋物線在點處的切線在軸上的截距.
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)時，比較與
的大小，并說明理由.
8.【2012高考遼寧文21】(本小題滿分12分)
設(shè)，證明：
(Ⅰ)當(dāng)時，;
(Ⅱ)當(dāng)時，.
9.【2012高考陜西文21】 （本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)
（1）設(shè)，，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；
（2）設(shè)n為偶數(shù)，，，求b+3c的最小值和最大值；
（3）設(shè)，若對任意，有，求的取值范圍.
10.【2012高考真題廣東理21】（本小題滿分14分）
設(shè)a＜1，集合，，。
（1）求集合D（用區(qū)間表示）；
（2）求函數(shù)在D內(nèi)的極值點．
集合，極值點問題
11.【2012高考真題安徽理19】（本小題滿分13分）
設(shè)。
（I）求在上的最小值；
（II）設(shè)曲線在點的切線方程為；求的值。
12.【2012高考真題福建理20】（本小題滿分14分）已知函數(shù).
（Ⅰ）若曲線在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）試確定a的取值范圍，使得曲線上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P.
13.【2012高考真題全國卷理20】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)，求a的取值范圍.
14【2012高考真題北京理18】（本小題共13分）
已知函數(shù).
若曲線與曲線在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求的值；
當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間上的最大值.
15.【2012高考真題新課標理21】（本小題滿分12分）
已知函數(shù)滿足滿足；
（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）若，求的最大值.
16.【2012高考真題天津理20】本小題滿分14分）
已知函數(shù)的最小值為0，其中
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若對任意的有≤成立，求實數(shù)的最小值；
（Ⅲ）證明（）.
17.【2012高考江蘇18】（16分）若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點.已知是實數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點．
（1）求和的值；
（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點；
（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)．
18.【2012高考真題遼寧理21】本小題滿分12分)
設(shè)，曲線與
直線在(0，0)點相切。
(Ⅰ)求的值。
(Ⅱ)證明：當(dāng)時，。
19.【2012高考真題重慶理16】（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分.）
設(shè)其中，曲線在點處的切線垂直于軸.
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值.

20.【2012高考真題浙江理22】(本小題滿分14分)已知a＞0，bR，函數(shù)．
(Ⅰ)證明：當(dāng)0≤x≤1時，
(1)函數(shù)的最大值為|2a－b|﹢a；
(2) ；
(Ⅱ) 若對x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范圍．
21.【2012高考真題山東理22】(本小題滿分13分)
已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與軸平行.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意.
22.【2012高考真題湖南理22】（本小題滿分13分）
已知函數(shù)=，其中a≠0.
若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.
在函數(shù)的圖像上取定兩點，，記直線AB的斜率為K，問：是否存在，使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

第九講 直線與圓的方程
一 【考點提示】
直線的方程
直線的傾斜角：
定義：_______________________________________________;
范圍：_______________________________________________.
斜率：
公式：_______________________________________________；
斜率與傾斜角的關(guān)系：__________________________________.
直線的五種形式：
_______________________________________________；
_______________________________________________；
_______________________________________________；
_______________________________________________；
_______________________________________________.
兩條直線的位置關(guān)系
兩條直線平行與垂直的判定：
（1）平行：_______________________________________________；
（2）垂直：_______________________________________________；
2.三種距離：
（1）兩點間的距離：
_______________________________________________；
點到直線的距離：
_______________________________________________；
兩條平行線間的距離：
_______________________________________________；
二【典例分析】
傾斜角與斜率的計算
例1 設(shè)直線l與x軸的交點是P，且傾斜角是，若將此直線繞P點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線的傾斜角為，則的取值范圍_______.
例2直線xsinθ＋y＋2＝0(θ∈R)的傾斜角的取值范圍為________．
例3 直線l經(jīng)過A（2,1），B（1，）兩點（），那么直線l的傾斜角的取值范圍是____________.
例4 已知實數(shù)x，y滿足，試求的最大值與最小值.
2.直線的方程
例5 已知直線都經(jīng)過點（3,5），則經(jīng)過的直線方程是___________.
例6（2011年安徽理，15）在平面直角坐標系中，如果與都是整數(shù)，就稱點為整點，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果與都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點
③直線經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過兩個不同的整點
④直線經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：與都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線
例7（2008年江蘇）在平面直角坐標系中，設(shè)三角形的頂點分別為，點P（0，p）在線段AO上（異于端點），設(shè)均為非零實數(shù)，直線分別交于點，一同學(xué)已正確算的的方程：，請你求的方程： ( )
例8 過點做直線，使它被兩條直線所截的線段恰好被點M平分，求此直線的方程.
兩直線位置關(guān)系的判定
例9 （2007年天津文） “”是“直線平行于直線”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
例10 （2005年北京文）“m=”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的
（A）充分必要條件 （B）充分而不必要條件
（C）必要而不充分條件 （D）既不充分也不必要條件
有關(guān)距離的計算
例11
第三講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
一 【考點提示】
利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性：
_____________________________________________________________________________________________________________________________.
求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：
______________________________________________;
______________________________________________;
______________________________________________;
______________________________________________.
函數(shù)極值的概念：
_____________________________________________________________________________________________________________________________.
求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟：
（1）______________________________________________;
（2）______________________________________________;
（3）______________________________________________;
（4）______________________________________________.
函數(shù)的最大值、最小值：
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
求函數(shù)的最大值與最小值的一般步驟：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
不等式恒成立與存在性問題：
（1）分離參數(shù)：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

（2）分類討論：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
（3）確定主元：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

（4）利用集合與集合間的關(guān)系：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
（5）數(shù)形結(jié)合：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
二 【典例分析】
1.導(dǎo)數(shù)的概念與運算
例1、（2011江西）若，則的解集為
A. B. C. D.
練習(xí)：設(shè)函數(shù)，其中，則導(dǎo)數(shù)的取值范圍是學(xué)科網(wǎng)
（A）． （B）. （C） （D）學(xué)科網(wǎng)
例2設(shè)函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為,且,下面的不等式在R內(nèi)恒成立的是
A B C D
練習(xí)：1.設(shè)，若，則（ ）
B. C. D.
2.設(shè)P為曲線C：上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為，則P橫坐標的取值范圍為（ ）

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
例3曲線在點處的切線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
練習(xí)：已知點P在曲線y=上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是___________________.
例4 若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)的取值范圍是
練習(xí)：直線是曲線的一條切線，則實數(shù)b=_________________.
3.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
例5【2009年全國1文，21】已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)點P在曲線上，若該曲線在點P處的切線通過坐標原點，求的方程.
練習(xí)：【2011年遼寧理，11】函數(shù)的定義域為R，，對任意x∈R，，則的解集為
A（-1，1） B（-1，+） C（-，-1） D（-，+）
函數(shù)的極值與最值的求解
例6 【2004年天津文，21】已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時取得極值.
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）證明對任意不等式恒成立.
練習(xí)：【2011年湖南理，8】設(shè)直線x=t 與函數(shù)， 的圖像分別交于點M,N,則當(dāng)達到最小時t的值為（ ）
A.1 B. C. D.
5.討論含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例7【2011廣東文】設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性.
練習(xí)：1.【2009年重慶理，18】設(shè)函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線垂直于直線．
（1）求的值；
（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性．
2.【2010北京海淀期末理】已知函數(shù)（其中）.
（1）若函數(shù)在點處的切線為，求實數(shù)的值
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
3.【2010湖南】已知函數(shù)其中a<0,且a≠-1.
試討論函數(shù)的單調(diào)性.
例8【2011年安徽理】設(shè)其中為正實數(shù).
（1）當(dāng)時，求的極值點.
（2）若為R上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.
練習(xí)：1.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.
求的解析式；
是否存在實數(shù)a，使得當(dāng)時，的最小值是3，如果存在，求出a的值，如果不存在，說明理由.
2.【2009安徽】已知函數(shù)，a＞0.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)a=3，求在區(qū)間【1，】上值域.期中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).
例9 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上的最小值是，求a的值.
練習(xí)： 已知函數(shù)的定義域為.
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
求函數(shù)在上的最小值.
例10【2010新課標理】設(shè)函數(shù).
（1）若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.
6.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
例11【2011年江西】設(shè)函數(shù)
（1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍.
（2）當(dāng)時，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.
練習(xí)：設(shè)函數(shù), ,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
例12【2009年山東】已知函數(shù),其中
（1）當(dāng)滿足什么條件時,取得極值?
（2）已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.
練習(xí)：【2009年天津】已知函數(shù)其中
當(dāng)時，求曲線處的切線的斜率；w.
當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
例13（2010全國1）已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，求的極值;
（2）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍.
練習(xí)：已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（）內(nèi)是減函數(shù)，求α的取值范圍.
例14已知函數(shù)的圖像過點，且在點P處的切線方程恰好與直線垂直.，
求函數(shù)的解析式；
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.
練習(xí)：已知函數(shù) ．
（1）若函數(shù)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍．
7.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的交點和函數(shù)零點個數(shù)問題
例15 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù).
求的極值；
若方程有3個實數(shù)根，求a的取值范圍；
若恰好有兩個實數(shù)根，求a的值.
練習(xí)：已知（是常數(shù)，），且當(dāng)和時，函數(shù)取得極值.
求的解析式；
若曲線與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.
例16已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1） 求實數(shù)b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=1時，是否同時存在實數(shù)m和M（m練習(xí)：已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）設(shè)，如果過點可作曲線的三條切線，證明：．
8.不等式恒成立與存在性問題
例17【2007年全國】設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）證明：的導(dǎo)數(shù)；
（Ⅱ）若對所有都有，求的取值范圍．
練習(xí)：【2011年浙江理】設(shè)函數(shù)＝，∈R
（Ⅰ）若＝為的極值點，求實數(shù)；
（Ⅱ）求實數(shù)的取值范圍，使得對任意的∈（0,3]，恒有≤4成立.
注：為自然對數(shù)的底數(shù).
例18已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于任意的，都有≤，求的取值范圍.
練習(xí)：1.【2008山東理】已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)n=2時，求函數(shù)f(x)的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時，有f(x)≤x-1.
2.已知函數(shù).
求的最小值；
若對于所有都有，求實數(shù)a的取值范圍.
例19【2011新課標全國理】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果當(dāng)，且時，，求的取值范圍。
練習(xí)：1.設(shè)函數(shù).
求的單調(diào)區(qū)間；
若當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
若關(guān)于x的方程在區(qū)間【0,2】上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)a的取值范圍.
2.設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）證明：的導(dǎo)數(shù)；
（Ⅱ）若對所有都有，求的取值范圍．
例20已知函數(shù).
若函數(shù)的圖像在處的切線的傾斜角為，求a；
設(shè)的導(dǎo)函數(shù)是，在（1）的條件下，若，求的最小值；
若存在，使，求a的取值范圍.
練習(xí)：設(shè)函數(shù).
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
已知對任意的成立，求實數(shù)a的取值范圍.
9利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
例21 求證下列不等式（1）
練習(xí)：【2010年安徽理】 設(shè)為實數(shù)，函數(shù)。
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間與極值；
(Ⅱ)求證：當(dāng)且時，
例22【2007年安徽理】設(shè)
令，討論在上的單調(diào)性并求極值；
求證：當(dāng)時，恒有.
練習(xí)：1.（2010遼寧理）已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè).如果對任意，，求的取值范圍.
2.【2009年遼寧理】已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有.
3．已知為實數(shù)，函數(shù)
（1）若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍
（2）若，
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）證明對任意的，不等式恒成立.

第五講 三角函數(shù)
一 【考點提示】
角的基本概念：
象限角的表示：_____________________________________________________;
終邊相同的角的表示：_______________________________________________;
弧度與角度：_______________________________________________________;
扇形弧長公式：_____________________________________________________;
扇形面積公式：_____________________________________________________;
2.任意角的三角函數(shù)：
（1）定義：_____________________________________________________;
（2）三角函數(shù)線：_____________________________________________________;
3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：
_____________________________________________________;
4.誘導(dǎo)公式：
_____________________________________________________;
三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：
“五點法做圖”：
_______________________________________________________________________;
三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：
_______________________________________________________________________;
的圖像與性質(zhì)：
_______________________________________________________________________;
圖像平移與申縮：
_______________________________________________________________________.
三角恒等變換：
（1）和角公式：_____________________________________________________;
（2）差角公式：_____________________________________________________;
（3）倍角公式：_____________________________________________________;
（4）萬能公式：_____________________________________________________;
（5）降次公式：_____________________________________________________;
（6）輔助角公式：_____________________________________________________.
7.解三角形：
（1）三角形內(nèi)角的關(guān)系：_________________________________________________;
（2）正弦定理：_________________________________________________________;
（3）余弦定理：_________________________________________________________;
（4）面積公式：________________________________________________________.
二 【典例分析】
終邊相同的角的集合表示與象限角
例1 ，則（ ）
例2 若是第二象限角，是第_____象限角；的取值范圍是_______________.
弧長與扇形面積公式的計算
例3 扇形OAB的圓心角則（ ）
三角函數(shù)定義題
例4【2011年新課標理，5】已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=（ ）
A B C D
三角函數(shù)線
例5 （1）為任意角，求證：；
，比較的大小.
例6 ，則（ ）
例7【2008年四川理，3】 （ ）
例8【2011年湖北理，3】3.已知函數(shù)，若，則x的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
象限符號與坐標軸角的三角函數(shù)
例9【2009年江蘇】點在第三象限，則角的終邊在第_____象限.
例10函數(shù)的值域為__________.
同角求值
例11 已知，求______________；
______________.
例12 已知是方程的兩根.
m=_______________；
=______________.
誘導(dǎo)求值與變形
例13 【2010年全國1理，2】記,那么[來源:學(xué)&科&網(wǎng)]
B. - C. D. -[來
源:學(xué)*8科*網(wǎng)Z*X
已知解析式確定函數(shù)性質(zhì)（奇偶性，周期性，單調(diào)性，對稱軸，對稱中心）
例14 【2008年四川理，10】設(shè)其中，則是偶函數(shù)的充要條件是
　　　（B）　　（C）　　（D）
例15 【2007年山東理，5】函數(shù)的最小正周期和最大值分別為（ ）
， B．， C．， D．，
例16 設(shè)函數(shù)，則為（ ）
周期函數(shù)，最小正周期為
周期函數(shù)，最小正周期為
周期函數(shù)，最小正周期為
非周期函數(shù)
例17【2008年山東理，17】已知函數(shù)f(x)＝為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
例18【2011年安徽文，15】設(shè)=，其中a，bR，ab0，若
對一切則恒成立，則
①[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
②＜
③既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
④的單調(diào)遞增區(qū)間是
⑤存在經(jīng)過點（a，b）的直線與函數(shù)的圖像不相交
以上結(jié)論正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）.
例19 【2009年遼寧大連】函數(shù)的最大值為__________.
例20 為不等式在內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍______.
例21【2009年全國1理，16】若,則函數(shù)的最大值為 .
根據(jù)條件確定解析式
例22 【2011年遼寧理，16】已知函數(shù)，的部分圖像如下圖，則=____________.
例23 若對任意，且，則m=____.
例24 【2008年遼寧理，16】 已知，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則＝__________.
例25 【2010年福建理，14】已知函數(shù)和的圖象的對稱軸完全相同.若，則的取值范圍是 .
三角函數(shù)圖像變換
例26 【2010年山東理，17】
已知函數(shù)，其圖象過點（,）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在[0, ]上的最大值和最小值．
兩角和與差公式
例27 【2010年四川理，19】
（Ⅰ）證明兩角和的余弦公式；
由推導(dǎo)兩角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知△ABC的面積，且，求.
12 化簡求值
思路：（1）化同角同函；（2）溝通已知角和未知角的聯(lián)系
例28 已知，則的值___________.
例29【2007年江蘇，11】若，，則_____．
例30【2006年重慶，13】已知，sin()=－ sin則cos=________.
例31【2008年山東理，5】已知，則的值為（ ）
（A）-　　　　（B） (C)- (D)
例32 若，則_________________.
例33 【2011年重慶理，14】已知，且，則的值為__________
例34 【2006年全國2理，10】若則
（A）　　　　（B）
（C）　　　　（D）

13 正弦定理的應(yīng)用
例35 【2010年全國2理，17】中，為邊上的一點，，，，求．
例36 【2010年山東理，15】在中，角所對的邊分別為a，b，c，若，，，則角的大小為 ．
學(xué)科網(wǎng)][
例37 【2011年新課標全國理，16】在中，，則的最大值為__________.
例38 在中，，，則內(nèi)角的度數(shù)依次是_________.
例39 在中，若,則的取值范圍_______________.
例40 【2011年湖南理，17】設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.
求角C的大小；
求的最大值，并求取得最大值時角的大小.
例41 設(shè)銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范圍.
余弦定理的應(yīng)用
例42 在中，角所對邊為.
求；
，求的最大值.
例43【2007年廣東文，16】已知ΔABC三個頂點的直角坐標分別為A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．
(1)若，求sin∠A的值；
(2)若A為鈍角，求的取值范圍.
例44【2008年江蘇，13】若，則的最大值
利用正弦，余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化
例45 在中，角所對邊為，且.
求A的值；
（2）求的最大值.
例46 在銳角三角形中，角所對邊為，若，則
=____________________.
判斷三角形的形狀
例47 已知函數(shù)，
求的最小正周期和值域；
在中，角所對邊為，若，試判斷的形狀.
三 【2012年高考題選講】
1.【2012高考真題浙江理4】把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移 1個單位長度，得到的圖像是
2.【2012高考真題新課標理9】已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是（ ）

3.【2012高考真題四川理4】如圖，正方形的邊長為，延長至，使，連接、則（ ）
A、 B、 C、 D、

4.【2012高考真題陜西理9】在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
5.【2012高考真題湖南理6】函數(shù)的值域為
A． [ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[- , ]
6.【2012高考真題上海理16】在中，若，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不能確定
7.【2012高考真題天津理6】在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是，已知，則=
（A） （B） （C） （D）
8.【2012高考真題湖北理11】設(shè)△的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，. 若，則角 ．
9.【2012高考真題安徽理15】設(shè)的內(nèi)角所對的邊為；則下列命題正確的是
①若；則 ②若；則
③若；則 ④若；則
⑤若；則
【2012高考真題福建理13】已知△ABC得三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_________.
【2012高考江蘇11】設(shè)為銳角，若，則的值為 ．
12.【2012高考真題新課標理17】
已知分別為三個內(nèi)角的對邊，
（1）求 （2）若，的面積為；求.
13.【2012高考真題湖北理17】（本小題滿分12分）
已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其中，為常數(shù)，且.
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）若的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.
函數(shù)的取值范圍
14.【2012高考真題安徽理16】
設(shè)函數(shù).
（I）求函數(shù)的最小正周期；
（II）設(shè)函數(shù)對任意，有，且當(dāng)時， ，求函數(shù)在上的解析式.
15.【2012高考真題四川理18】(本小題滿分12分)
函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，為圖象的最高點，、為圖象與軸的交點，且為正三角形.
（Ⅰ）求的值及函數(shù)的值域；
（Ⅱ）若，且，求的值.
16.【2012高考真題廣東理16】（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期為.
（1）求ω的值；
（2）設(shè)，，，求的值．
17.【2012高考全國文3】若函數(shù)是偶函數(shù)，則
（A） （B） （C） （D）
18.【2012高考上海文17】在△中，若，則△的形狀是（ ）
A、鈍角三角形 B、直角三角形 C、銳角三角形 D、不能確定
19.【2012高考江西文9】已知若a=f（lg5），則
A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1

20.【2012高考廣東文16】（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，，且
（1）求的值；
（2）設(shè)，，，求的值.
四【參考答案】
【典例分析】
A
一，二，四；
C
B
（2）
B
C
B
二
；
B
D
A
B
①③
5
-8
1或3
省略
C
C
25
30°
45°，30°，105°
（1,2）
4
【-2,2】；等邊三角形
【2012年高考題選講】
1.A
2.A
3.B
4.C
5.B
6.C
7.A.
8.
9.①②③
10.．解三角形，等比數(shù)列
11.。
12.（1）由正弦定理得：

（2）

13.（Ⅰ）所以，故.
所以的最小正周期是.
（Ⅱ）.
14.
，
（I）函數(shù)的最小正周期
（2）。
15.
16.
17 C

18A
19C
20（1），解得。
（2），即，
，即。
因為，所以，，
所以。


第八講 立體幾何（一）
一 【考點提示】
（一）直線和平面的位置關(guān)系
1. 直線和直線的位置關(guān)系劃分為_________________________
2. 平面和平面的位置關(guān)系劃分為_________________________
3. 直線和平面的位置關(guān)系劃分為_________________________
直線和平面平行垂直的基本判定：
線線平行___________ 面面平行___________
線線垂直___________ 面面垂直___________
總結(jié)：__________________________________________________________
5. 直線平面平行垂直的判定與性質(zhì)：
線面平行：______________________________________________________
面面平行：______________________________________________________
線面垂直：______________________________________________________
面面垂直：______________________________________________________
三垂線定理:______________________________________________________
逆定理__________________________________________________________
（二）簡單的幾何體
1. 柏拉圖立體共有___種， 它們分別是_______________________________
它們分別是由____________________________________________構(gòu)成的
正四面體的棱長為a，高線為______，外接球半徑_______，內(nèi)切球半徑_______,
對棱距_______，體內(nèi)一點到各面距離之和_____________
3. 直角四面體的特點是__________________
直角四面體的棱長為a, b, c , 斜面的面積___________斜面上的高
____________外接球半徑__________內(nèi)切球半徑_____________
正方體棱長為a，對角線長_________，內(nèi)切球半徑________，外接球半徑
________用平面去截正方體，可以形成的截面有______________________________
___________________________________
5. 正八面體棱長為a，對頂點距離______，內(nèi)切球半徑______，外接球__________
球的體積公式__________________，球的表面積公式_________________
球冠的表面積公式______________，球面距離的定義
____________________________
求法（1）______________（2）______________（3）_________________
經(jīng)線是_______________________ 經(jīng)度差是__________________________
緯線是_______________________ 緯度差是__________________________
球心到球的一個截面的距離的求法：____________________________________
柱體的體積公式_________________
錐體的體積公式_______________________
（三）特殊定理
1. 平面勾股定理______________________________________________________
空間勾股定理______________________________________________________
直角三角形斜邊高線的性質(zhì)列表______________________________________
2. 射影定理的數(shù)值描述_______________________________________________
和射影定理相關(guān)的結(jié)論（1）__________________________________________
（2）________________________________________
二【典例分析】
直線與平面的位置關(guān)系
例1 （2006年重慶理）對于任意的直線與平面，在平面內(nèi)必有直線，使與（ ）
平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互為異面直線
例2（2006年陜西理）已知平面外不共線的三點到的距離都相等，則正確的結(jié)論是
（A）平面ABC必不垂直于
（B）平面ABC必平行于
（C）平面ABC必與相交
（D）存在的一條中位線平行于或在內(nèi)
例3 設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若，∥，則；
②若，則∥；
③若∥，∥，則∥；
④若∥，∥，，則.
其中正確命題的序號是（ ）
①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④
例4 設(shè)為兩個平面，為兩條直線，且，有如下兩個命題：
①若∥，則∥；②若，則，那么（ ）
①是真命題，②是假命題
①是假命題，②是真命題
①，②都是真命題
①，②都是假命題
例5 已知設(shè)為兩個不同平面，為兩條不同直線，下列命題中的假命題是（ ）
若∥，，則
若∥，，則∥
若，，則∥
若，，則
2. 正四面體
例 6 棱長為的正四面體內(nèi)一點到該四面體的三個面的距離分別是1,2,3，則點到第四個面的距離為______

例7 正四面體中，分別是的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是
A.平面 B.
C. D.
例8 將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
例9 棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球心的一個截面如圖所示，則圖中三角形的面積是( )
A. B. C. D.
3. 直角四面體
例10三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，其長分別為，過此三棱錐的四個頂點的球的體積為________

例11已知是以O(shè)為球心的球面上的四個點，兩兩垂直，，則球的半徑是_______,球心到平面ABC的距離是_______

例12在三棱錐中，三條棱兩兩相互垂直，且,M是邊AB的中點，則OM與平面ABC所成角的正弦值是________
例13 (2010遼寧理12)有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊成一個三棱錐形的鐵架，則的取值范圍是
A. B. C. D.
4. 正方體和長方體
例14 若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_________
例15 已知正方體的外接球的體積為，那么正方體的棱長等于
A. B. C. D.
例16 一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為，則該正方體的表面積為______

例17甲球與某立方體的各個面都相切，乙球與這個正方體的各條棱都相切，丙球過這個正方體的所有頂點，則甲乙丙三球的半徑之比為
A. B. C. D.
例18 下列四個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點分別是所在棱的中點，能得出⊥面MNP的圖形的序號是

A. B. C. D.
例19 在正方體中，過對角線的一個平面交于E，交于F，則：
①四邊形一定是平行四邊形
②四邊形可能是正方形
③四邊形在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形
④四邊形有可能垂直于平面
以上結(jié)論正確的是_____________________
5. 正八面體
例20 表面積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為
A. B. C. D.
例21 水平桌面上放有4個半徑均為2R的球，且相鄰的球都相切（球心的連線構(gòu)成正方形）在這4個球的上面放一個半徑為R的小球，它和下面的4個球恰好相切，則小球的球心到水平桌面的距離是________
6. 球體
例22 設(shè)地球的半徑為R，若甲地位于北緯35°東經(jīng)110°，乙地位于南緯85°東經(jīng)110°，則甲、乙兩地的球面距離為
A. B. C. D.
例23設(shè)地球的半徑為R，若甲地位于北緯45°東經(jīng)120°，乙地位于南緯75°東經(jīng)120°，則甲、乙兩地的球面距離為
A. B. C. D.
例24 如圖，O是半徑為1的球心，點A,B,C在球面上，OA,OB,OC兩兩垂直，E,F分別是大圓弧AB與AC的中點，則點E,F在該球面上的球面距離是
A. B. C. D.
例25 過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與
球的表面積之比為
A. B. C. D.
例26 湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為12cm，深2cm的空穴，則該球的半徑是________, 表面積是_______
例27 一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為
A. B. C. D.
例28 已知球O的半徑為1，三點都在球面上，且每兩點間的球面距離了均為，則球心O到平面ABC的距離為
A. B. C. D.
例29 已知三點在球心為O,半徑為R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，那么A,B兩點的球面距離為______，球心到平面ABC的距離為_______

例30 球面上有三點，，，球的半徑是13cm，則球心到平面ABC的距離為______
7. 棱柱
例31 一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為______

8.特殊定理
例32 是從點引出的三條射線，每兩條射線的夾角都是60°，則直線PC和平面APB所成角的余弦值為______
例33 在平面幾何里，有勾股定理：設(shè)三角形ABC的兩邊AB,AC互相垂直，則
,拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積和底面面積之間的關(guān)系，可以得出的結(jié)論是：設(shè)三棱錐的三個側(cè)面
兩兩互相垂直，則_____________________________
9.三視圖問題
例34 （2010天津文）（12）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 .
例35（2010天津理）（12）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為
例36. 一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ).
A. B.
C. D.
例37.一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：c）為
（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24
例38 設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）。
則該幾何體的體積為

例39 （2008山東）下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是
A.9π　　　　　 B.10π
C.11π D．12π
判斷類型題
例40（2010重慶文）（9）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點
（A）只有1個 （B）恰有3個
（C）恰有4個 （D）有無窮多個
例41.（2010北京文）（8）如圖，正方體的棱長為2，動點E、F在棱上。點Q是CD的中點，動點P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的體積：
與x，y都有關(guān)；
（B）與x，y都無關(guān)；
（C）與x有關(guān)，與y無關(guān)；
（D）與y有關(guān)，與x無關(guān)；
例42（2008海南、寧夏理）某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，
這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
三 【2012年高考題選講】
1.【2012高考真題浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=。將△沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中。
A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直.
B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直.
C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.
D.對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直
2.【2012高考真題新課標理11】已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ）

3.【2012高考真題四川理6】下列命題正確的是（ ）
A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行
B、若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行
C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行
D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行
4.【2012高考真題四川理10】如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi)，過點作平面的垂線交半球面于點，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點為，該交線上的一點滿足，則、兩點間的球面距離為（ ）
B、 C、 D、
5.【2012高考真題陜西理5】如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
6.【2012高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為
A．12π B.45π C.57π D.81π
7.【2012高考真題福建理4】一個幾何體的三視圖形狀都.相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是
A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圓柱
8.【2012高考真題重慶理9】設(shè)四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是
（A） （B） （C） （D）
9.【2012高考真題北京理7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ）
A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12
10.【2012高考真題全國卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為
A 2 B C D 1
11.【2012高考真題四川理14】如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是____________。

12.【2012高考真題遼寧理13】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為______________。
13.【2012高考真題山東理14】如圖，正方體的棱長為1，分別為線段上的點，則三棱錐的體積為____________.
14【2012高考真題遼寧理16】已知正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為________。
15.【2012高考真題上海理14】如圖，與是四面體中互相垂直的棱，，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最
大值是 .
【2012高考真題天津理10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_________m3.
17.【2012高考真題全國卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等， BAA1=CAA1=60°則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為____________.
18.【2012高考陜西文8】將正方形（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為 （ ）
19.【2012高考浙江文5】 設(shè)是直線，是兩個不同的平面
A. 若∥，∥，則∥ B. 若∥，⊥，則⊥
C. 若⊥，⊥，則⊥ D. 若⊥, ∥，則⊥
20.【2012高考遼寧文16】已知點P，A，B，C，D是球O表面上的點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2正方形。若PA=2,則△OAB的面積為______________.
21.【2012高考安徽文15】若四面體的三組對棱分別相等，即，，，則______(寫出所有正確結(jié)論編號)。
①四面體每組對棱相互垂直
②四面體每個面的面積相等
③從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于而小于
④連接四面體每組對棱中點的線段互垂直平分
⑤從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長
22【2012高考全國文16】已知正方體中，、分別為的中點，那么異面直線與所成角的余弦值為____________.
三【參考答案】
【典例分析】
C
D
D
D
B
4
C
C
C
A
D
24
B
B
①③④
A
A
D
B
A
B
B
12cm
3
C
A
4
D
D
C
C
【2012年高考題選講】
C
A
C
A
A
C
D
A
B
D
38
B
B
②④⑤

立體幾何大題
一 證明方法匯總
二 同步練習(xí)匯總：
1、已知四邊形是空間四邊形，分別是邊的中點
求證：EFGH是平行四邊形
若BD=，AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。



2．如圖，四面體ABCD中，，E、F分別為AD、AC的中點，．
求證：（1） （2）．
（簡單題），以線面平行的性質(zhì)定理去找平行線，用判定定理證明！！！！
3. 如圖，為所在平面外一點，平面，，于，于
求證：（1）平面；
（2）平面；
（3）平面．
線面垂直的經(jīng)典例題！！！！！！！！

4、如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求證：AC⊥平面B1D1DB;
（2）求證：BD1⊥平面ACB1
（3）求三棱錐B-ACB1體積．

5、已知正方體，是底對角線的交點.
求證：（１） C1O∥面
（2 ）面．
6、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中點
求證：（1）PA∥平面BDE
（2）平面PAC平面BDE
（3）若棱錐的棱長都為2，求棱錐的體積。
7.如圖，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC 求證：AB⊥BC

8.如圖，在三棱錐S-ABC中，,
（Ⅰ）證明SC⊥BC；
（Ⅱ）
求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小。
9.在長方體中，已知，
求異面直線與所成角的余弦值　。.
（異面直線的夾角問題）
10.如圖，在三棱柱中，每個側(cè)面均為正方形，為底邊的中點，為側(cè)棱的中點，與的交點為.
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面.
11.三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，， 分別是，的中點．
（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
計算引入垂直的證明（勾股定理）
12． 如圖：平面，四邊形ABCD為直角梯形，//，，，,．
(Ⅰ) 求證：//平面；
（Ⅱ) 求證：平面平面；
(Ⅲ) 求二面角的余弦值．
計算引入垂直的證明（勾股定理）
13.如圖，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，，E是棱CC1上動點，F(xiàn)是AB中點，
（1）求證：；
（2）當(dāng)E是棱CC1中點時，求證：CF//平面AEB1；
（3）在棱CC1上是否存在點E，使得二面角
A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE
的長，若不存在，請說明理由。
計算引入垂直的證明（勾股定理）
14．在四棱錐中，側(cè)面底面，，為中點，底面是直角梯形，，=90°,，.
（I）求證：平面；
（II）求證：平面；
（III）設(shè)為側(cè)棱上一點，，試確定的值，使得二面角為45°.
計算引入垂直的證明（勾股定理）
15直三棱柱ABC－A1B1C1中，，E是A1C的中點，且交AC于D，。
（I）證明：平面；
（II）證明：平面；
（III）求平面與平面EDB所成的二面角的大小（僅考慮平面角為銳角的情況）。
計算引入垂直的證明（勾股定理）
16、如圖，已知空間四邊形中，，是的中點。
求證：（1）平面CDE;
（2）平面平面。
17、已知中,面,,求證：面．
（同步）

18、已知正方體，是底對角線的交點.
求證：(１) C1O∥面；(2)面．
19、如圖是所在平面外一點，平面，是的中點，是上的點，
（1）求證：；
（2）當(dāng)，時，求的長。
（等腰三角形）

20、如圖，在正方體中，、、分別是、、的中點.求證：平面∥平面.
（同步）
21、如圖，在正方體中，是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.
（面面垂直）
22、已知是矩形，平面，，，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成的角．
（計算垂直）
23、如圖，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面是等邊三角形，且平面垂直于底面．
（1）若為的中點，求證：平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的大小．
24、如圖1,在正方體中，為 的中點，AC交BD于點O，求證：平面MBD．（同步）
（
25、如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求證：平面ABC⊥平面BSC．
（面面垂直）
26、如圖，在中，是上的高，沿把折起，使 。證明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；
27如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四
邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)證明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
28、如圖，四棱錐的底面是正方形，，點E在棱PB上.
（Ⅰ）求證：平面；
29、如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，，的中點，，．
（I）設(shè)是的中點，證明：平面；
30、如圖，在長方體中，，，、分別為、的中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面．
31、（如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，底面ABCD，E為PC的中點。PA＝AD＝AB＝1。
（1）證明：（平行）
（2）證明：
（3）平面PDC平面PAD；
（4）求三棱錐B-PDC的體積V。
31'.（07韶關(guān)）如圖所示，在棱長為2的正方體中，、分別為、的中點．
（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求三棱錐的體積．
（計算）
32、如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點
求證：（1）直線EF‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
33、如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上，，，OAB，△OAC△ODE，△ODF
都是正三角形。
（Ⅰ）證明直線；
（Ⅱ）求棱錐的體積.
34、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB。
求證：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積
35、如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點．
（I）證明：
（II）求直線和平面所成角的正弦值．
36、如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）證明：PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱錐Q—ABCD的的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值．
37、如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，為中點，平面，，為中點．
（Ⅰ）證明：//平面；
（Ⅱ）證明：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正切值．
38、如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面ABCD．
（I）證明：；
（II）設(shè)PD=AD=1，求棱錐D-PBC的高．

第六講 平面向量
一 【考點提示】
1.向量的基本概念：
向量定義：_______________________________________________________
向量的大小（模）：________________________________________________
零向量：_________________________________________________________
單位向量：_______________________________________________________
相等向量：_______________________________________________________
平行（共線）向量：_______________________________________________
向量的線性運算：
向量的加法
向量的減法
向量的數(shù)乘
重要定理和性質(zhì)
共線向量基本定理：
_______________________________________________________
平面向量基本定理：
_______________________________________________________
線段定比分點的向量表達式：
_______________________________________________________
三點共線定理：
_______________________________________________________
直線定理及推論：
_______________________________________________________
平面向量的坐標表示與坐標運算
,則=__________________________
，則=_________________________
=_________________________
向量的平行和垂直
平行：_____________________________________________________
垂直：_____________________________________________________
向量的數(shù)量積
_____________________________________________________
_____________________________________________________
向量的投影
_____________________________________________________
平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
平面向量數(shù)量積滿足的運算律
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
三角形四心問題
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
【典例分析】
向量的基本概念
例1 判斷下列命題的真假:
（1）向量的長度和向量的長度相等.
（2）向量與平行,則與方向相同.
（3）向量與平行,則與方向相反.
（4）兩個有共同起點而長度相等的向量,它們的終點必相同.
（5）若與平行同向,且＞，則＞
（6）由于方向不確定，故不能與任意向量平行。
（7）如果=，則與長度相等。
（8）如果=，則與與的方向相同。
（9）若=，則與的方向相反。
（10）若=，則與與的方向沒有關(guān)系。
例2 給出下列命題：
①若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；
②若，則；
③的充要條件是且∥；
④若與均為非零向量，則與一定相等．
其中正確命題的序號是________．
共線向量基本定理及應(yīng)用
例3 【2008年海南、寧夏文，8】平面向量，共線的充要條件是（ ）
，方向相同 B. ，兩向量中至少有一個為零向量 C. ， D. 存在不全為零的實數(shù)，，
例4 設(shè)，是兩個不共線向量，，若A、B、D三點共線，則實數(shù)p的值是________．
中線向量定理及推論在向量線性表示（運算）中的應(yīng)用
例5【2010年四川】設(shè)點是線段的中點，點在直線外，，，則
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
例6【2009年山東】設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，，則（　　）
B. C. D.
例7【2008年湖南】.設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且則與
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

例8 【2008年，全國1理，3】在中，，．若點滿足，則（ ）
B． C． D．
例9【2009年，廣東理，8】在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，，則
A. B． C. D.
例10【2007年，天津理】如圖，在中，，是邊上一點，，則　　　　　．

例11【2010年，天津理】如圖，在中，，，則= 。

例12 【2011年，湖南理，14】在邊長為1的正三角形ABC中, 設(shè)則 =__________________.
4 用已知向量表示未知向量
（1）抓住題中等量關(guān)系
例13【2010年全國2】△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB，若，則=
例14【2008年廣東】在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，，則
例15 平行四邊形ABCD對角線交點C，＝，＝，，用表示、、.
向量平移措施
例16 已知四邊形ABCD 中，，E，F(xiàn)是AC，BD的中點，請用表示.
利用方程的思想和向量共線的特點
例17 在△ABC中，E、F分別為AC，AB的中點，BE與CF相交于G點，設(shè)，試用表示.

例18在△OAB中，＝，＝，AD與BC交于點M，設(shè)，以為基底表示.
5. 平面向量基本定理的應(yīng)用
例19 如右圖，在△ABC中，點O是BC的中點．過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若＝m，＝n，則m＋n的值為________．
例20如圖所示，在△ABC中交于點I. 如果，求實數(shù)的值.

例21 設(shè)平面上不在一條直線上的三個點O,A,B，證明：當(dāng)實數(shù)p，q滿足時，連接兩個向量終點的直線通過一個定點.
例22【2007年陜西】如圖，平面內(nèi)有三個向量、、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且＝＝1，＝.若＝的值為 .
向量與三角形的四心
（1）重心



（2）垂心
為的垂心；
是的邊BC的高AD上的任意向量，過垂心.
外心
（4）內(nèi)心
例23 【2003?天津】O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則P的軌跡一定通過△ABC的（　　）
外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心
例24 已知O為所在平面內(nèi)一點，且滿足：
.求證：
例25 O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足
，
則P的軌跡一定通過的___________.
例26 【2006年陜西高考】已知非零向量與滿足(+)·=0且·= , 則△ABC為( )
A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形
7. 平面向量的坐標表示
例27 【2011年廣東】 已知向量，若為實數(shù)，（），則=
A. B. C.1 D.2
例28 【2010新課標全國】為平面向量，已知，則的夾角的余弦值等于

例29【2009年廣東】 若平面向量滿足，平行于軸，，則= ．
例30【2007年天津】設(shè)兩個向量和，其中為實數(shù)．若，則的取值范圍是 （　　）
Ａ．[-6，1] Ｂ． Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]
平面向量的數(shù)量積
例31【2010年，湖南理，4】在中，，，則等于
A． B． C．8 D．16
例32【2009年，陜西理，8】在中,M是BC的中點，AM=1,點P在AM上且滿足,則等于
（A） （B） （C） (D)
例33【2008年，寧夏】已知向量滿足，則=_________________.
例34【2006年，浙江文，13】已知向量滿足，則=_________________.
例35【2006年，浙江理，13】已知向量滿足，若則=_________________.
例36 【2009年，全國1理，6】設(shè)是單位向量，且，則的最小值為學(xué)科網(wǎng)
A. B C D 學(xué)科網(wǎng)
例37【2008年，浙江理，9】已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是
A 1 B 2 C D
平面向量的夾角
例38 已知是非零向量且滿足，則與的夾角是_________.
例39 【2011年，浙江理，14】若平面向量滿足，且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為，則的夾角的取值范圍是 .
例40 【2011年，新課標全國理，10】已知與均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題
其中的真命題是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10.平面向量的模長
例41 已知向量滿足，則=_______________.
例42 已知向量的夾角為，，則等于_________.
例43 【2011年，遼寧理，10】已知均為單位向量，若,則的最大值是
A B 1 C D 2
例44【2011年，天津理，14】已知直角梯形中，
//,,,是腰上的動點，則的最小值為____________
三【2012年高考題選講】
1.【2012高考真題重慶理6】設(shè)R，向量且，則
（A） （B） （C） （D）10
2.【2012高考真題浙江理5】設(shè)是兩個非零向量。
A.若，則
B.若，則
C.若，則存在實數(shù)λ，使得
D.若存在實數(shù)λ，使得，則
3.【2012高考真題四川理7】設(shè)、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（ ）
A、 B、 C、 D、且

4.【2012高考真題江西理7】在直角三角形中，點是斜邊的中點，點為線段的中點，則=
A．2 B．4 C．5 D．10
5.【2012高考真題湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1則.
A. B. C. D.
6.【2012高考真題廣東理8】對任意兩個非零的平面向量和，定義．若平面向量滿足，的夾角，且和都在集合中，則=
A． B.1 C. D.
7.【2012高考真題安徽理8】在平面直角坐標系中，，將向量按逆時針旋轉(zhuǎn)后，得向量，則點的坐標是（ ）


8.【2012高考真題天津理7】已知為等邊三角形，AB=2，設(shè)點P，Q滿足，，，若，則=
（A） （B）
（C） （D）
9.【2012高考真題新課標理13】已知向量夾角為 ，且；則
10.【2012高考真題浙江理15】在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則=________.
11.【2012高考真題上海理12】在平行四邊形中，，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點，且滿足，則的取值范圍是 。
12.【2012高考真題山東理16】如圖，在平面直角坐標系中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時圓上一點的位置在，圓在軸上沿正向滾動。當(dāng)圓滾動到圓心位于時，的坐標為______________.
13.【2012高考真題北京理13】已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為________，的最大值為______。
14.【2012高考真題安徽理14】若平面向量滿足：，則的最小值是。
15.【2012高考江蘇9】（5分）如圖，在矩形中，點為的中點，點在邊上，若，則的值是 ．
16.【2012高考全國文9】中，邊的高為，若，，，，，則
（A） （B） （C） （D）
17.【2012高考安徽文11】設(shè)向量，，，若，則______.[
18.【2012高考湖南文15】如圖4，在平行四邊形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足為P，且= .
19.【2012高考上海文12】在矩形中，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點，且滿足，則的取值范圍是

第十三講 數(shù)列與不等式的綜合問題
及（C為常數(shù)）型不等式證明：
例1 若，證明：.
例2若，，是前n項和，求證.
例3 證明：
例4 證明：
例5若，證明：.
及（C為常數(shù)）型不等式證明：
例1 .
例2 證明：
例3 若，，證明：.
例4 證明：
例5 已知，證明：.

第十三講 數(shù)列壓軸題選講
1.【2012年安徽高考理科】（21）（本小題滿分13分）
數(shù)列滿足：
（I）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是
（II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.
2.【2009年安徽高考理科】（21）（本小題滿分13分）
首項為正數(shù)的數(shù)列滿足
（I）證明：若為奇數(shù)，則對一切都是奇數(shù)；
（II）若對一切都有，求的取值范圍.
3.【2008年安徽高考理科】（21）（本小題滿分13分）
設(shè)數(shù)列滿足為實數(shù)。
（Ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是；
（Ⅱ）設(shè)，證明：；
（Ⅲ）設(shè)，證明：。
4.【2012高考真題全國卷理22】（本小題滿分12分）（注意：在試卷上作答無效）
函數(shù)，定義數(shù)列如下：，是過兩點的直線與x軸交點的橫坐標.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式.

第十二講 數(shù)列大題講解
一 【考點提示】
數(shù)列的通項和前n項和公式：
(1)___________________________________________________________________________________________________________________
(2)___________________________________________________________________________________________________________________
2.數(shù)列與方程、函數(shù)、不等式的交匯問題。著重考查放縮法、綜合法與分析法的應(yīng)用：
________________________________________________________________________________________________________________________________.
數(shù)列與平面向量的交匯等問題：
________________________________________________________________________________________________________________________________.
二【典例分析】
等差、等比數(shù)列的基本運算
例1（2012山東高考)已知等差數(shù)列{an}的前5項和為105，且a10＝2a5.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中不大于72m的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.
例2 (2012·重慶高考)已知{an}為等差數(shù)列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通項公式；
(2)記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．
2.等差、等比數(shù)列的判定與證明
例3（2012·陜西高考)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5，a3，a4成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的公比；
(2)證明：對任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．
例4 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求數(shù)列{bn}的通項公式．
例5 (2012·廣東高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
數(shù)列的有關(guān)范圍問題
例6 已知等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.
(1)求an與bn；
(2)設(shè)cn＝3bn－λ·2，若數(shù)列{cn}是遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．
例7 (2012年廣州兩校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
(2)求證：{an－3n}是等比數(shù)列并求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)設(shè)3nbn＝n(3n－an)，且|b1|＋|b2|＋…＋|bn|例8 (2012·日照一模)已知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項和S4＝14，a3是a1，a7的等比中項．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)Tn為數(shù)列的前n項和，若Tn≤an＋1對一切n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的最大值．
4.數(shù)列求和問題
例9 (2012·天津高考)已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)記Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，證明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)．
例10 已知，，(x≥0)成等差數(shù)列．又數(shù)列{an}(an>0)中，a1＝3，此數(shù)列的前n項和為Sn，對于所有大于1的正整數(shù)n都有Sn＝f(Sn－1)．
(1)求數(shù)列{an}的第n＋1項；
(2)若是，的等比中項，且Tn為{bn}的前n項和，求Tn.
例11 （2012·湖北高考)已知等差數(shù)列{an}前三項的和為－3，前三項的積為8.
(1)求等差數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和．
5.數(shù)列與不等式
例12 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2－bn，
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝a·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，cn＋1例13 (2011廣東)設(shè)b＞0，數(shù)列{an}滿足a1＝b，an＝(n≥2)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)證明：對于一切正整數(shù)n,2an≤bn＋1＋1.
例14 (2012年高考廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列．
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<.

第十二講 數(shù)列大題講解（2）
數(shù)列放縮法的應(yīng)用
例1 設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意，都有，且滿足.
數(shù)列的通項公式；
當(dāng)時，設(shè)，數(shù)列的前項和，求證：.
例2 數(shù)列滿足，當(dāng)時，.
證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
試比較與的大小，并說明理由.
例3 已知數(shù)列是等差數(shù)列，且.
求數(shù)列的通項公式；
設(shè)數(shù)列的通項，記是數(shù)列的前項和.證明：（其中）.
例4 已知數(shù)列的前項和，數(shù)列中.
求數(shù)列前項和；
猜測與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
例5 已知等差數(shù)列的前項和為，公差，，且成等比數(shù)列.
求的前項和為；
（2）設(shè)，且，數(shù)列的前項和為，求證：.
2. 數(shù)列新型題
例1 已知等差數(shù)列（）中，.
求數(shù)列的通項公式；
若將數(shù)列中的項重新組合，得到新數(shù)列，具體方法如下：依次類推，第項是中相應(yīng)的項的和，求數(shù)列的前項和.
奇偶分類數(shù)列
例1 已知數(shù)列滿足：

數(shù)列是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列？說明理由；
求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；
設(shè)，求數(shù)列的前項和.
例2 .已知數(shù)列，且， ， 其中k=1,2,3,…….
（1）求；
（2）求的通項公式.
例3【2011年合肥一模文】已知以1為首項的數(shù)列滿足：
寫出，并求出的通項公式；
設(shè)數(shù)列前n項和，求數(shù)列前n項和.
例4【2012年合肥六中最后一卷理】已知數(shù)列滿足，前n項和為，

若滿足，求前n項和；
若等比數(shù)列滿足，求p的值；
當(dāng)時，問是否存在，使得，若存在，求出所有的n的值；若不存在，請說明理由.
4.數(shù)列綜合題
21.（本小題滿分14分）已知曲線 ，過上一點作一斜率的直線交曲線C于另一點，其中
（1）求與之間的關(guān)系式；
（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）求證：
21.解：（1）直線方程為，
．
……………………4分
（2）設(shè)由（1）得
又是等比數(shù)列； ……………………8分
（3）由（2）得
……………………10分
當(dāng)n為偶數(shù)時，則
； ………12分
當(dāng)n為奇數(shù)時，則
而
綜上所述，當(dāng)時，成立． ………14分
21. （本小題滿分14分）
已知數(shù)列滿足：（其中常數(shù)）．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時，數(shù)列中的任何三項都不可能成等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項和．求證：若任意，
21．解：（Ⅰ）當(dāng)n＝1時，a1＝3．
當(dāng)n≥2時，因為a1＋＋＋…＋＝n2＋2n， ①
所以a1＋＋ ＋…＋＝(n－1)2＋2(n－1)． ②
－②得＝2n＋1，所以an＝(2n＋1)·λn－1（n≥2，n∈N*）．……………… 3分
又 a1＝3也適合上式，
所以an＝(2n＋1)·λn－1 (n∈N*)． …………………… 4分
（Ⅱ）當(dāng)λ＝4時，an＝(2n＋1)·4n－1．
（反證法）假設(shè)存在ar，as，at成等比數(shù)列，
則[(2r＋1) ·4r－1]· [(2t＋1) ·4t－1]＝(2s＋1)2 ·42s－2．
整理得(2r＋1) (2t＋1) 4 r＋t －2s＝(2s＋1)2．
由奇偶性知r＋t－2s＝0．
所以(2r＋1) (2t＋1)＝(r＋t＋1)2，即(r－t)2＝0．這與r≠t矛盾，
故不存在這樣的正整數(shù)r，s，t，使得ar，as，at成等比數(shù)列． ……… 8分
（Ⅲ）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1．
當(dāng)λ＝1時，Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n． ………… 10分
當(dāng)λ≠1時，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1，
λSn＝ 3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)λn．
(1－λ)Sn＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1)－(2n＋1)λn＝3＋2× －(2n＋1)λn．
①當(dāng)λ＝1時，左＝(1－λ)Sn＋λan＝an＝2n＋1≥3，結(jié)論顯然成立；
②當(dāng)λ≠1時，左＝(1－λ)Sn＋λan＝3＋2× －(2n＋1)λn＋λan
＝3＋2×
而，和同號，故≥0
∴ 對任意都成立 ………… 14分
20（本小題滿分13分）
已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和滿足：
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列為數(shù)列的前n項和，
求證：
解：（1）當(dāng)n=1時，有
解得 1分
當(dāng)時，有兩式相減得
3分
由題設(shè)
故數(shù)列是首項為2，公差為3的等差數(shù)列 6分
（2）由 7分
而
9分
令
則
而是單調(diào)遞減數(shù)列． 11分
所以，
從而成立．
【蚌埠二中最后一卷】21、（本小題滿分14分）
已知，，數(shù)列{}滿足＝2，＝0，
（1）求證：數(shù)列{－1}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)n取何值時，取最大值，并求出最大值；
（3）若＜對任意恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。
21.（本小題14分）
已知函數(shù)的圖象經(jīng)過及，其中為數(shù)列的前項和，.
（Ⅰ）求的通項公式及前項和；
（Ⅱ）若中，，求數(shù)列的前項和；
（Ⅲ）試比較（Ⅱ）中的與的大小并說明理由．
21.（本小題14分）
【解】：（Ⅰ）由的圖象經(jīng)過兩點
，又在的圖象上
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令，由錯位相減法可求得，
又
故
（Ⅲ）由
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
下證時，，即證時，
時，
成立
時，成立
綜上所述：時，；
時，；
時，.

第十三講 三角函數(shù)難題透析
已知且，則的值為________.
2.設(shè)=，其中a，bR，ab0，若
對一切則xR恒成立，則
①
②＜
③既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
④的單調(diào)遞增區(qū)間是
⑤存在經(jīng)過點（a，b）的直線與函數(shù)的圖像不相交
以上結(jié)論正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）.
在中，，則三角形的形狀是__________.
在中，分別為內(nèi)角的對邊，且.
求的大小；
求的取值范圍.
銳角三角形的三內(nèi)角所對邊的長分別為，設(shè)向量，且∥.
求角B的大小；
若，求的取值范圍.
銳角三角形的三內(nèi)角所對邊的長分別為，設(shè)向量，且⊥.
求角C的大小；
當(dāng)時，求的取值范圍.
7.在中，角所對的邊分別為a,b,c.
已知且.
（Ⅰ）當(dāng)時，求的值；
(Ⅱ)若角為銳角，求p的取值范圍.

第十講 圓錐曲線一（橢圓）
一 【考點提示】
（一）定義：
1. 第一定義：_________________________________________________
_________________________________________________
2. 第二定義：_________________________________________________
_________________________________________________
方程：
標準方程：_________________________________________________
_________________________________________________
參數(shù)方程：_________________________________________________
_________________________________________________
性質(zhì)：
1. 范圍： ________________________________________________
2. 離心率： _________________________________________________
_________________________________________________
3. 準線： _________________________________________________
4. 焦半徑： _________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
5. 通徑： _________________________________________________
6. 焦準距： _______________________________________________
7. 切線方程：________________________________________________
8. 弦長公式：________________________________________________
（四）點與橢圓的位置關(guān)系：
_________________________________________________

_________________________________________________
_________________________________________________
焦點三角形：
1.頂角： _________________________________________________
2.焦點三角形面積：_________________________________________
3.向量，模長：_____________________________________________
________________________________________________
常見做法和結(jié)論：
1.知道求橢圓中的量，橢圓標準方程：
_________________________________________________
橢圓焦點位置不確定，如何設(shè)方程：
_________________________________________________
與共焦點的橢圓：
_________________________________________________
與有相同離心率的橢圓：
_________________________________________________
橢圓中所構(gòu)成的菱形的內(nèi)角與橢圓的離心率之間的關(guān)系：
_________________________________________________
焦點三角形頂角的范圍：
_________________________________________________
橢圓長軸端點為，是否存在，使最大，最小？這點位置在哪里？最大，小角如何求？
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
8.橢圓短軸端點為，是否存在，使最大，最小？這點位置在哪里？最大，小角如何求？
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
直線與橢圓的位置關(guān)系？
代數(shù)方法：
_________________________________________________
幾何方法：
_________________________________________________
10.直線交曲線于兩點，中點為，
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
二【典例分析】
橢圓定義的運用
例1 平面一動點，且滿足，則P點軌跡是______________.
例2已知橢圓，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左右焦點，點A（1，1）為橢圓內(nèi)一點，點P為橢圓上一點：求|PA|+|PF1|的最大值和最小值； 求|PA|+|PF2|的最小值。
例3（2008?浙江）如圖，AB是平面a的斜線段，A為斜足，若點P在平面a內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（　　）
圓 B、橢圓
C、一條直線 D、兩條平行直線

例4 如圖所示，在正方體的側(cè)面內(nèi)有一動點P到直線的距離是點P到直線BC的距離的2倍，則動點P的軌跡為（　　）
圓弧 B、橢圓的一部分
C、雙曲線的一部分 D、拋物線的一部分
例5 方程 ，化簡的結(jié)果是（　　）
A、 B、 C、 D、
橢圓方程的應(yīng)用
例6 已知方程表示橢圓，則的取值范圍為____
例7 設(shè)θ是△ABC的一個內(nèi)角，且，則表示（　　）
焦點在x軸上的橢圓 B、焦點在y軸上的橢圓
C、焦點在x軸上的雙曲線 D、焦點在y軸上的雙曲線
例8 已知方程,討論方程表示的曲線的形狀
例9 若，且，則的最大值是___，的最小值是
例10已知實數(shù)滿足,求的最大值與最小值
例11求橢圓上的點到直線的最短距離.
例12（2010?福建）若點O和點F分別為橢圓 的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則 的最大值為（　　）
A、2 B、3 C、6 D、8
例13設(shè)橢圓 和x軸正方向的交點為A，和y軸的正方向的交點為B，P為第一象限內(nèi)橢圓上的點，使四邊形OAPB面積最大（O為原點），那么四邊形OAPB面積最大值為（　　）
A、 B、 C、 D、2ab
離心率的值及取值范圍
例14 橢圓的兩焦點為，橢圓上存在點使，則橢圓離心率的取值范圍為__________.

例15 橢圓的兩焦點為，若為其上一點，且，則此橢圓離心率的取值范圍為___________.
例16 橢圓的左右焦點為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍是_________.
例17 過橢圓的左頂點的斜率為的直線交橢圓于另一點，且點在軸的射影恰好為右焦點，若，則橢圓離心率的取值范圍是____________.
例18.橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點，是一個含60°角的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為__________.
例19【2007年湖南理9】設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準線上存在使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例20已知橢圓（），其長軸兩端點是，若橢圓上存在點，使，求橢圓離心率的變化范圍.
例21已知橢圓（），其長軸兩端點是，若橢圓上存在點，使，求橢圓離心率的變化范圍.
例22已知橢圓（），其短軸兩端點是，若橢圓上存在點，使，求橢圓離心率的變化范圍.
例23過橢圓的一個焦點做直線交橢圓于兩點，若直線與橢圓長軸夾角為，并且是的一個三等分點.則橢圓的離心率為__________.
例24（2010?四川）橢圓的右焦點為F，其右準線與x軸的交點為A．在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）
B、 C、 D、
例25（2009?浙江）已知橢圓 的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P．若 ，則橢圓的離心率是（　　）
B、 C、 D、
例26如圖，點P在橢圓上，分別是橢圓的左、右焦點，過點P作橢圓右準線的垂線，垂足為M，若四邊形為菱形，則橢圓的離心率是（　　）
B、
C、 D、
例27.(2010年遼寧理20)（本小題滿分12分）
設(shè)橢圓C：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,.求橢圓C的離心率；
例28 （2010年全國2，12）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F且斜率k（k＞0）的直線與C相于A、B亮點，若=3，則k=
（A）1 （B） （C） （D）2
焦點三角形
例29 已知是的兩個焦點，為橢圓上一點，且，求的面積.
例30 已知橢圓的左，右焦點分別為，為橢圓上的一動點.
求的取值范圍；
求的取值范圍.
例31 設(shè)是橢圓上一動點，分別是左右兩個焦點，則的最小值為_________.
其他類型
例32.已知橢圓的焦距是4，則這個橢圓的焦點在______軸上，坐標是_________.
例33.已知橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，若是一個直角三角形的三個頂點，則點到軸的距離為___________.
例34是過橢圓的左焦點的弦，且兩端的橫坐標之和為，則=________.
例35橢圓的弦的中點為，則直線的方程是____________.
三【參考答案】
以為焦點的橢圓或線段
①；②.
B; 4.B; 5.D
B

當(dāng)時，方程表示焦點在 y 軸上的橢圓；
當(dāng)時,方程表示圓心在原點，半徑為的圓；
當(dāng)時，方程表示焦點在 x 軸上的橢圓;
當(dāng) 時，方程 表示兩條平行直線;
當(dāng) 時，方程表示焦點在 x 軸上的雙曲線
C；13.B

或
D; 20.； 21.； 22.；23.
D 25.D； 26.D; 27. 28.B
29. 6
（1）【3,4】；（2）【2,3】
； 34. 8； 35.

第十講 圓錐曲線三（綜合性問題1）
一 【考點提示】
（一）定值問題
1. 操作程序：變量--函數(shù)--定值
變量：_________________________________________________
函數(shù)：_________________________________________________
定值：_________________________________________________
方法：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值.
求最值的方法
幾何法（幾何特征）：
_________________________________________________
代數(shù)法（建立函數(shù)）：
_________________________________________________
求參數(shù)的取值范圍：
根據(jù)已知條件建立等式或不等式的函數(shù)關(guān)系，再求參數(shù)的范圍
二【典例分析】
平面向量在解析幾何中的應(yīng)用
利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)夾角問題（銳角、直角、鈍角）的問題
例1 （2005年天津理，21）拋物線C的方程為，過拋物線C上一點 作斜率為的兩條直線分別交拋物線C于，兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足.求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍.
例2（2010年浙江理）已知，直線，
橢圓，分別為橢圓的左、右焦點.
（Ⅰ）當(dāng)直線過右焦點時，求直線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點，，
的重心分別為.若原點在以線段
為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍.
例3 （2008年遼寧理，20）
在直角坐標系中，點到兩點的距離之和為4，設(shè)點的軌跡為，直線與交于兩點．
⑴ 寫出的方程；
⑵ 若，求的值.
例4 （2010年陜西理20）如圖，橢圓C：的頂點為焦點為,.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設(shè)n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A,B兩點的直線，，是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
利用向量的坐標表示解決共線問題
例5（2007年寧夏理，19）在平面直角坐標系中，經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和．
（I）求的取值范圍；
（II）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．
例6 （2008年四川理，21）
設(shè)橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線為，是上的兩個動點，。
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)取最小值時，與共線。
定點問題
技巧：三大圓錐曲線中的頂點直角三角形的斜邊所在的直線過定點.
例7 已知橢圓的左頂點為A，不過點A的直線l：與橢圓交于不同的兩點P,Q，當(dāng)時，求k和b的關(guān)系，并證明直線l過定點.
例8（2010年四川理，20） 已知定點，定直線，不在軸上的動點與點的距離是它到直線的距離的2倍.設(shè)點的軌跡為，過點的直線交于兩點，直線分別交于點
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）試判斷以線段為直徑的圓是否過點，并說明理由.
例9（2010，全國二理,21） 己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為．21世紀教育網(wǎng)
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)C的右頂點為A，右焦點為F，，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切．
定直線
技巧：三大圓錐曲線中，當(dāng)定點在曲線上，相應(yīng)的定直線均在定點處的切線.
例10 （2008年安徽理，22）設(shè)橢圓過點，且左焦點為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上.

第十講 圓錐曲線二（雙曲線）
一 【考點提示】
（一）定義：
1. 第一定義：_________________________________________________
_________________________________________________
2. 第二定義：_________________________________________________
_________________________________________________
方程：
標準方程：_________________________________________________
_________________________________________________
性質(zhì)：
1. 范圍： ________________________________________________
2. 離心率： _________________________________________________
_________________________________________________
3. 準線： _________________________________________________
4. 焦半徑： _________________________________________________
_________________________________________________
5. 通徑： _________________________________________________
6. 焦準距： _______________________________________________
7. 切線方程：________________________________________________
8. 弦長公式：________________________________________________
9. 特殊三角形：______________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
（四）點與雙曲線的位置關(guān)系：
_________________________________________________
_________________________________________________
焦點三角形：
1.頂角： _________________________________________________
2.焦點三角形面積：_________________________________________
共軛雙曲線：
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
等軸雙曲線
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
雙曲線的漸近線
1.雙曲線漸近線的求法
_________________________________________________
2.共漸近線雙曲線設(shè)法
_________________________________________________
3.漸近線與離心率的關(guān)系
_________________________________________________
常見做法和結(jié)論：
1.雙曲線焦點位置不確定，如何設(shè)方程：
_________________________________________________
2.與共焦點的雙曲線：
_________________________________________________
3.雙曲線的切線問題以及直線與雙曲線只有一個交點的判斷？
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
二【典例分析】
雙曲線定義的運用
例1雙曲線的兩焦點分別為，過的弦AB的長為4，則的周長為_________.
例2 【2007年湖北文，12】過雙曲線左焦點的直線交曲線的左支于兩點，為其右焦點，則的值為______．
例3 在中，已知，且三角形的內(nèi)心在直線上移動，求動點C的軌跡方程.
例4【2007年天津理，4】設(shè)雙曲線的離心率為，且它的一條準線與拋物線的準線重合，則此雙曲線的方程為（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
雙曲線方程的應(yīng)用
例5 若動圓M與圓外切，且與圓內(nèi)切，求動圓M的圓心M的軌跡方程.
例6【2008年重慶理，8】已知雙曲線的一條漸近線為，離心率，則雙曲線方程為
A．－=1 B．
C． D．
例7 已知點是雙曲線漸近線上的一點，E，F(xiàn)是左右兩個焦點，若，則雙曲線方程為_____________.
雙曲線的性質(zhì)
例8已知雙曲線的焦點為，點M在雙曲線上，且軸，則到直線的距離為
B. C. D.
例9 【2005年山東理，14】設(shè)雙曲線的右焦點為，右準線與兩條漸近線交于P、兩點，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率.
4.雙曲線的漸近線
例10 求漸近線方程為，且過點（6,3）的雙曲線方程_______.
例11【2006年全國2卷理，9】已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
例12 【2007年陜西理，7】已知雙曲線C：(a＞0,b＞0),以C的右焦點為圓心且與C的浙近線相切的圓的半徑是
A. B. C.a D.b
例13 【2009年四川理，7】已知雙曲線的左右焦點分別為，其一條漸近線方程為，點在該雙曲線上，則=
A. B. C .0 D. 4
例14設(shè)雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e∈[,2],則兩條漸近線夾角θ的取值范圍是________
例15過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率取值范圍為______
焦點三角形
例16【2007年遼寧理，11】設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ ）
B． C． D．
例17 雙曲線的兩個焦點為，點P在雙曲線上的面積為，則=________.
6.離心率
例18 【2011年課標全國卷理，7】設(shè)直線L過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，L與C交于A ,B兩點，為C的實軸長的2倍，則C的離心率為
（B） （C）2 （D）3
例19 【2008年陜西理，8】雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
例20【2009年江西理，6】過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為
A． B． C． D． 21世紀教育網(wǎng)
例21【2008年福建理，11】又曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為
(1,3) B. C.(3,+) D.
例22 【2009年重慶理，15】已知雙曲線的左、右焦點分別為，若雙曲線上存在一點使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 ．
例23 【2011年浙江理，11】已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C1恰好將線段AB三等分，則(　　)．
A．a(chǎn)2＝ B．a(chǎn)2＝13 C．b2＝ D．b2＝2
例24【2008年全國卷理，5】設(shè)，則雙曲線的離心率e的取值范
圍是
A． B. C. D.
7.其他類型
例25【2006年天津理，2】如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準線間的距離是（ ）
A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D．
例26 過點（3,0）的直線l與雙曲線只有一個公共點，直線l共有（ ）
A. 1條 B.2條 C.3條 D.4條
例27 雙曲線右支上一點P到右焦點距離為2，則P到左準線的距離為__________.
例28 P是以為焦點的雙曲線上一點，，則等于（ ）
A. 0.5 B.16.5 C.10.5 D.16.5或0.5
例29 已知雙曲線中心在原點，且一個焦點為，直線與其交于M，N兩點，MN中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是___________.
【參考答案】
20 2. 8
D
C
C 9.

A 12.D 13.C
14.（答 ：）；
15.（答 ：）；
16.B 17. 2
18.B 19. C
20.B 21. B
22.
23.C
24.B
25.C
26.C
27. 8
28.B
29.
補充大題：
1.【2012年合肥一模，理】已知向量，且（O為坐標原點）。
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點F（1，0）的直線與曲線C相 交于A、B兩點，并且曲線C存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAPB的面積；若不存在，說明理由.
2.【2012年合肥一模，文】已知橢圓，拋物線：直線過橢圓的右焦點F且與拋物線相切。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A，B為拋物線上兩個不同的點，分別與拋物線相切于A，B，相交于C點，弦AB的中點為D，求證：直線CD與x軸垂直。

第四講 數(shù)列（二）
一 【考點提示】
1.數(shù)列：_________________________________________________________________
2.等差數(shù)列：
（1）概念：_____________________________________________________________
（2）通項：_____________________________________________________________
（3）等差中項：_________________________________________________________
（4）等差數(shù)列前n項和：_________________________________________________
3.等比數(shù)列：
（1）概念：_____________________________________________________________
（2）通項：_____________________________________________________________
（3）等差中項：_________________________________________________________
（4）等差數(shù)列前n項和：_________________________________________________
4.等差數(shù)列的性質(zhì)：
（1）___________________________________________________________________
（2）___________________________________________________________________
（3）___________________________________________________________________
（4）___________________________________________________________________
5.等比數(shù)列的性質(zhì)：
（1）___________________________________________________________________
（2）___________________________________________________________________
（3）___________________________________________________________________
6.數(shù)列通項公式的求法：
（1）___________________________________________________________________
（2）___________________________________________________________________
（3）___________________________________________________________________
（4）___________________________________________________________________
（5）___________________________________________________________________
（6）___________________________________________________________________
（7）___________________________________________________________________
（8）___________________________________________________________________
（9）___________________________________________________________________
（10）___________________________________________________________________
（11）___________________________________________________________________
（12）___________________________________________________________________
（13）___________________________________________________________________
7.數(shù)列前n項和的求法：
（1）___________________________________________________________________
（2）___________________________________________________________________
（3）___________________________________________________________________
（4）___________________________________________________________________
（5）___________________________________________________________________
二 【典例分析】
等差、等比數(shù)列通項及基本量的求解
例1 已知等差數(shù)列的首項為31，若從第16項開始小于1，則此數(shù)列的公差d的取值范圍是（ ）

例2．【2007年重慶理，14】設(shè)為公比的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則______．
例3 已知的前n項和（a為非零實數(shù)），那么（ ）
一定是等差數(shù)列
B.一定是等比數(shù)列
C.或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列
D.既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列
等差、等比數(shù)列的求和
例4 【2006年北京理，7】設(shè)，則等于（ ）

例5 已知數(shù)列中，通項，求其前n項和.
例6 在等差數(shù)列中，，為其前n項和，
求使的最小正整數(shù)n；
求的表達式.
等差、等比數(shù)列的性質(zhì)
例7在等差數(shù)列中，若，則的值為（ ）
A. 20 B. 30 C.40 D.50
例8已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則
A. B. C. D.
例9已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例10 已知等差數(shù)列的前n項和為377，項數(shù)n為奇數(shù)，且奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為，求中項.
例11已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且對，都有，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

判斷和證明等差、等比數(shù)列
例12 在數(shù)列中，且.
設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

例13【2010年安徽理，20】設(shè)數(shù)列 中的每一項都不為0.
證明： 為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何 ，都有.

例14 【2008年遼寧文，20】在數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)．
（Ⅰ）數(shù)列是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列，的前項和分別為，．若，，求數(shù)列的前項和．
例15已知數(shù)列滿足: ；數(shù)列滿足：
(Ⅰ)求數(shù)列，的通項公式;
(Ⅱ)證明:數(shù)列中的任意三項不可能成等差數(shù)列.
例16 【2011年安徽高考理科】在數(shù)1和100之間插入個實數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記作，再 令.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項和.
例17【2012年安慶二模理科】已知數(shù)列中，，，且（）．
（1）求、的值；
（2）設(shè)(),試用表示并求的通項公式；
（3）設(shè)(),求數(shù)列的前n項和；
三【2012年高考題選講】
1.【2012高考全國文6】已知數(shù)列的前項和為，，，,則
（A） （B） （C） （D）
2.【2012高考四川文12】設(shè)函數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，則（ ）
A 0 B 7 C 14 D 21
3.【2102高考福建文11】數(shù)列的通項公式，其前n項和為，則S2012等于
A.1006 B.2012 C.503 D.0

4.【2102高考北京文6】已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論種正確的是
（A） （B） （C）若，則（D）若，則
【2012高考上海文14】已知，各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是
6.【2012高考真題浙江理7】設(shè)是公差為d（d≠0）的無窮等差數(shù)列﹛an﹜的前n項和，則下列命題錯誤的是
A.若d＜0，則數(shù)列有最大項
B.若數(shù)列有最大項，則d＜0
C.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對任意，均有
D. 若對任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列
7.【2012高考真題新課標理5】已知為等比數(shù)列，，，則（ ）

8.【2012高考真題上海理18】設(shè)，，在中，正數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
9.【2012高考真題四川理12】設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則（ ）
A B C、 D

10.【2012高考真題湖北理7】定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：
①； ②； ③； ④.
則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為
① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④
11.【2012高考真題安徽理4】公比為等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，則=（ ）

12.【2012高考真題四川理16】記為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，，，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，現(xiàn)有下列命題：
①當(dāng)時，數(shù)列的前3項依次為5,3,2；
②對數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時總有；
③當(dāng)時，；
④對某個正整數(shù)，若，則。
其中的真命題有____________。（寫出所有真命題的編號）
13.【2012高考真題新課標理16】數(shù)列滿足，則的前項和為
14.【2012高考真題遼寧理14】已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列的通項公式 =______________.
15.【2012高考安徽文21】（本小題滿分13分）
設(shè)函數(shù)=+的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)的前項和為，求。
16【2012高考江蘇20】（16分）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，，
（1）設(shè)，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)，，且是等比數(shù)列，求和的值．

17.【2012高考真題湖北理18】（本小題滿分12分）
已知等差數(shù)列前三項的和為，前三項的積為.
（Ⅰ）求等差數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
18.【2012高考真題廣東理19】（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列的前n項和為，滿足，n∈N﹡,且成等差數(shù)列．
求的值；
求數(shù)列的通項公式；
證明：對一切正整數(shù)n，有.
19.【2012高考真題陜西理17】（本小題滿分12分）
設(shè)的公比不為1的等比數(shù)列，其前項和為，且成等差數(shù)列。
（1）求數(shù)列的公比；
（2）證明：對任意，成等差數(shù)列。

20.【2012高考真題四川理20】(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項和為，且對一切正整數(shù)都成立。
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項和為，當(dāng)為何值時，最大？并求出的最大值。
21.【2012高考真題四川理22】(本小題滿分14分)
已知為正實數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點，設(shè)為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)時，比較與的大小，并說明理由。
22.【2012高考真題重慶理21】（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分.）
設(shè)數(shù)列的前項和滿足，其中.
（I）求證：是首項為1的等比數(shù)列；
（II）若，求證：，并給出等號成立的充要條件.
23.【2012高考真題江西理17】（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的前n項和，,且的最大值為8.
（1）確定常數(shù)k，求；
（2）求數(shù)列的前n項和.
24.【2012高考真題安徽理21】（本小題滿分13分）
數(shù)列滿足：
（I）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是；
（II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.
25.【2012高考真題天津理18】（本小題滿分13分）
已知是等差數(shù)列，其前n項和為，是等比數(shù)列，且，
.
（Ⅰ）求數(shù)列與的通項公式；
（Ⅱ）記，，證明（）.

26.【2012高考真題全國卷理22】（本小題滿分12分）（注意：在試卷上作答無效）
函數(shù)，定義數(shù)列如下：，是過兩點的直線與x軸交點的橫坐標.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式.

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