資源簡介

專題20 平面向量共線定理
【高考地位】
隨著向量在科學研究中的工具性應用，與它在社會生產生活中所起的巨大作用，所以近年來數學高考題中，命入了共線向量內容考題.在今后的高考試題中，共線向量必將增長態勢.其在高考題型多以選擇題、填空題出現，其試題難度屬低中檔題.
方法一 共線定理的代數運算
萬能模板 內 容
使用場景 共線條件求向量或條件
解題模板 第一步 表示共線； 第二步 列出等式； 第三步 得出結論.
例1、（1）2．已知向量，滿足，，若與共線，則（ ）
A．2 B．4 C． D．22
【來源】湖南省2021屆高三數學模擬試題（黑卷）
【答案】A
【分析】
先根據向量共線求解出的值，然后根據向量的模長以及數量積采用先平方再開根號的方法求解出的大小.
【詳解】
因為與共線，所以，.
又，，所以
.
故選：A.
（2）在中，，D是上的點，若，則實數x的值為（ ）
A． B． C． D．
【來源】全國卷地區“超級全能生”（丙卷）2021屆高三5月聯考數學（理）試題
【答案】D
【分析】
由得到，然后帶入，進而得到，然后根據B，D，E三點共線，即可求出結果.
【詳解】
解：∵，∴，
∵，
∴，
∵B，D，E三點共線，∴，∴．
故選：D．
【變式演練1】已知向量滿足，，，則（ ）
A．或 B． C． D．或
【來源】安徽省合肥市第六中學2021屆高三下學期高考考前診斷暨預測卷理科數學試題
【答案】D
【分析】
由共線向量定義可知，分別在和時求得結果即可.
【詳解】
，又，，，
當時，；當時，；
或.
故選：D.
【變式演練2】【湖北省武漢市武昌區2020屆高三下學期六月適應性考試】如圖在中，，P為CD上一點，且滿足，則實數m的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據平面向量共線基本定理,可設,結合向量的加法與減法運算,化簡后由,即可求得參數的值.
【詳解】
因為為上一點,設
因為
所以
則由向量的加法與減法運算可得
因為
所以,解得
故選：B
【點睛】
本題考查了平面向量共線定理的應用,平面向量基本定理的應用,向量的加法與減法的線性運算,屬于中檔題.
方法二 建系設坐標處理共線問題
萬能模板 內 容
使用場景 共線，用已知向量表示未知向量
解題模板 第一步 根據條件建立合適的坐標系； 第二步 用坐標合理的表示各個向量以及關系； 第三步 得出結論.
例2 【黑龍江省大慶一中2020屆高三高考數學（文科）三模】“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據記載，西周時期的數學家商高曾經和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達哥拉斯發現勾股定理早了500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點，.若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
第一步：由題意建立如圖所示的直角坐標系，
因為，，則，，.
第二步：設，則，，
因為，所以，解得，
第三步：由，得，
所以
解得，
所以.
故選：C.
【點睛】
本題主要考查向量的坐標表示，考查向量垂直的坐標表示，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
【變式演練3】如圖，在四邊形中，，，且，則實數的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．
【來源】文科數學-2021年高考考前20天終極沖刺攻略（一）（課標全國卷）
【答案】
【分析】
可得，利用平面向量數量積的定義求得的值，然后以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設點，則點（其中），得出關于的函數表達式，利用二次函數的基本性質求得的最小值.
【詳解】
，，，
，
解得，
以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
,
∵，∴的坐標為,
∵又∵,則，設，則（其中），
，，
，
所以，當時，取得最小值.
故答案為：；.
【點睛】
本題考查平面向量數量積的計算，考查平面向量數量積的定義與坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.
方法三 幾何法
萬能模板 內 容
使用場景 平面幾何證明、求值等問題中的應用
解題模板 第一步 將已知條件進行向量處理； 第二步 利用平面向量的運算法則和線性運算等性質進行求解； 第三步 得出結論.
例3 平面內有一個和一點，線段的中點分別為的中點分別為，設.
（1）試用表示向量；
（2）證明線段交于一點且互相平分.
【答案】（1），，；（2）證明見解析.
第一步，將已知條件進行向量處理；
第二步，利用平面向量的運算法則和線性運算等性質進行求解；
第三步，得出結論.
【變式演練4】已知正六邊形， 分別是對角線 上的點，使得，當___________時， 三點共線.
【來源】上海市南模中學2021屆高三三模數學試題
【答案】
【分析】
連結AD，交EC于G點，根據正六邊形的性質，表示出，然后根據，表示成，由共線定理求得參數r的值.
【詳解】
連結AD，交EC于G點，設正六邊形邊長為a，由正六邊形的性質知，，，G點為EC的中點，且，
則，
又，（），則，，
故，即
若B、M、N三點共線，由共線定理知，
，解得或（舍）
故答案為：
【點睛】
關鍵點點睛：本題的解題關鍵在于用向量表示，從而根據，把向量表示成，若B、M、N三點共線，由共線定理可以求得參數.
【變式演練5】【2020屆甘肅省高三第二次高考診斷考試】如圖，在中，是的中點，在邊上，且，與交于點，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
先根據平面幾何的關系求解與的等量關系，再根據平面向量的線性運算可將用以為基底向量的向量表達，再化簡即可.
【詳解】
過作交于.
因為M是AC的中點，故是的中點，
故是的中位線，故且.
又，故，故且.
故，故，，故.
又，故，
即.
化簡得，所以.
故選：A.
【點睛】
本題主要考查了平面向量的線性運算以及基底向量的用法，需要根據題意確定基底向量，再根據線性運算將已知向量轉化為已知的基底向量表達，屬于中檔題.
【高考再現】
1.【2017北京理，6】設m,n為非零向量，則“存在負數，使得”是“”的
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
【答案】A
【2017全國Ⅲ卷理，12】在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓
上．若，則的最大值為（）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由題意，畫出右圖．
設與切于點，連接．
以為原點，為軸正半軸，
為軸正半軸建立直角坐標系，
則點坐標為．
∵，．
∴．
∵切于點．
∴⊥．
∴是中斜邊上的高．
即的半徑為．
∵在上．
∴點的軌跡方程為．
設點坐標，可以設出點坐標滿足的參數方程如下：
而，，．
∵[]
∴，．
兩式相加得：
(其中，)
當且僅當，時，取得最大值3．
3.【2015高考新課標1，理7】設為所在平面內一點，則（ ）
（A） (B)
（C） (D)
【答案】A
基礎題，解答本題的關鍵是結合圖形會利用向量加法將向量表示為，再用已知條件和向量減法將用表示出來.
4.【2017山東文，11】已知向量a=（2,6）,b= ,若a||b,則 .
【答案】
【2017江蘇，12】如圖,在同一個平面內，向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為,
且tan=7,與的夾角為45°.若, 則 ▲ .
(
A
C
B
O
(第12題)
)
【答案】3
【解析】由可得，，根據向量的分解，
易得，即，即，即得，
所以.
6.【2015高考北京，理13】在中，點，滿足，．若，
則 ； ．
【答案】
【考點定位】本題考點為平面向量有關知識與計算，利用向量相等解題.
【名師點睛】本題考查平面向量的有關知識及及向量運算，利用向量相等條件求值，本題屬于基礎題.利用坐標運算要建立適當的之間坐標系，準確寫出相關點的坐標、向量的坐標，利用向量相等，列方程組，解出未知數的值.
7.【2015高考新課標2，理13】設向量，不平行，向量與平行，則實數_________．
【答案】
【解析】因為向量與平行，所以，則所以．
【考點定位】向量共線．
【名師點睛】本題考查向量共線，明確平面向量共線定理，利用待定系數法得參數的關系是解題關鍵，屬于基礎題．
8．【2020年高考江蘇卷13】在中，，，，在邊上，延長到，使得，若（為常數），則的長度是 ．
【答案】
【解析】由向量系數為常數，結合等和線性質可知，
故，，故，故．
在中，；在中，由正弦定理得，
即．
【專家解讀】本題的特點是注重向量的應用，本題考查了平面向量數量積的計算，考查平面向量數量積的定義與坐標運算，考查數形結合思想，考查數學運算、直觀想象、數學建模等學科素養．解題關鍵是理解平面向量數量積的定義．
9.【2017江蘇，16】 已知向量
（1）若a∥b,求x的值；
（2）記,求的最大值和最小值以及對應的的值.
【答案】（1）（2）時，取得最大值，為3； 時，取得最小值，為.
【解析】解：（1）因為，，a∥b，
（2）.
因為，所以，
從而.
于是，當，即時，取到最大值3；
當，即時，取到最小值.
【考點】向量共線，數量積
【反饋練習】
1.【湖南省益陽市2020屆高三下學期5月高考模擬理科】已知向量與向量共線，則實數x的值為（ ）
A．﹣ B．或﹣ C． D．或0
【答案】B
【解析】
【分析】
根據向量共線的坐標表示可得，然后簡單計算可得結果.
【詳解】
由題可知：向量與向量共線
所以
則，所以或
故選：B
【點睛】
本題考查根據向量共線求參數，重在考查計算，屬基礎題.
2．【湖南省衡陽市第八中學2020屆高三下學期高考適應性考試】在中，D，E分別為，上的點，且，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量的三角形法則和共線定理，可得，即可求出值，進而求出結果.
【詳解】
由題意，作出草圖，如下圖所示：
由平面向量的三角形法則和共線定理，可知
，
所以，，故.
故選：A.
【點睛】
本題主要考查了平面向量的加法運算、共線定理和平面向量基本定理的應用，屬于基礎題.
3．【陜西省西安市八校2020屆高三（6月份)高考數學（理科)聯考】設是平面內兩個不共線的向量，（a＞0，b＞0），若A，B，C三點共線，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根據三點共線，設，得，根據平面向量基本定理可知，得到，之后根據已知兩個正數的整式形式和為定值，求其分式形式和的最值的求解方法，利用基本不等式求得結果.
【詳解】
因為，若三點共線，設，
即,
因為是平面內兩個不共線向量，
所以，解得，
即，
則
，
當且僅當，即，即時取等號，
故最小值為4，
故選：B.
【點睛】
該題考查的是有關向量與不等式的綜合題，涉及到的知識點有平面向量共線的條件，利用基本不等式求最值，屬于簡單題目.
4．【遼寧省盤錦市遼河油田第三高級中學2020屆高三下學期三模】在中，點在線段上，且，為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的線性運算、加法、減法即可求解.
【詳解】
由題意可得，
因為為的中點，所以，
故.
故選：A
【點睛】
本題考查平面向量的加法、減法以及線性運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.
5．【2020屆百校聯盟TOP300八月尖子生聯考（全國II卷)】在等腰梯形中，，，，為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量的線性運算可表示為，，兩式相加后化簡，即可由表示.
【詳解】
依題意得，，
所以，
，
所以.
故選：A.
【點睛】
本題考查了平面向量在幾何中的簡單應用，平面向量加法的線性運算，屬于基礎題.
6．【河南省鄭州市第一中學2020屆高三名校聯考】設，分別為等差數列，的前n項和，且.設點A是直線外一點，點P是直線上一點，且，則實數的取值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，結合數列的與的關系，分別求得，的通項公式，進而得到的值，再結合向量的共線定理，即可求解.
【詳解】
由題意，，分別為等差數列，的前n項和，且，
不妨取，，
當時，，
當時，，
驗證得當時上式成立，綜上數列的通項公式為，
同理可得，數列的通項公式為，
則，
又由點P在直線上，設，，即，.
故選：B.
【點睛】
本題主要考查了等差數的通項公式及前項和公式的應用，以及向量共線定理的應用，其中解答中熟記數列中與的關系，求得數列的通項公式，以及共線向量的定理是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.
7．【湖北省部分重點中學2019-2020學年高三上學期第一次聯考】點是所在平面上一點，若，則與的面積之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的線性運算可得，即點在線段上，且,由三角形面積公式可得，得解.
【詳解】
解：因為點是所在平面上一點，又，
所以,即,即，
則點在線段上，且,
又，,
又，即，
所以點在線段上，且,
，
故選：C.
【點睛】
本題考查了向量的線性運算及三角形的面積公式，重點考查了運算能力，屬中檔題.
8．【山東省煙臺市2020屆高三適應性練習】窗的運用是中式園林設計的重要組成部分，常常運用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境.從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等.如圖，在平面直角坐標系中，為正八邊形的中心，軸，現用如下方法等可能地確定點：點滿足（其中且，），則點（異于點）落在坐標軸上的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
寫出所有可能結果，結合條件找到滿足點（異于點）落在坐標軸上的結果，根據古典概率進行求解.
【詳解】
由題意可知所有可能結果有：
，共有28種；
點（異于點）落在坐標軸上的結果有：，
，共有8種；
所以點（異于點）落在坐標軸上的概率為.
故選：D.
【點睛】
本題主要考查古典概率的求解，求出所有基本事件及符合題意的基本事件是解題關鍵，側重考查數學建模的核心素養.
9．【黑龍江省哈爾濱市第三中學校2020屆高三第三次模擬】已知中，長為2的線段為邊上的高，滿足：，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分別在、上取點、，使得，連接、、，轉化條件得，由平面向量加法的平行四邊形法則可得，，結合平面幾何的知識可得、分別為、的中點，，再由余弦定理即可得解.
【詳解】分別在、上取點、，使得，連接、、，如圖所示：
線段為邊上的高，，，
，，，
由平面向量加法的平行四邊形法則可得，，
四邊形為菱形，平分角，，
，為的中點，、分別為、的中點，
，
又，點為的中點，即與點重合，
在中，,
.
故選：D.
【點睛】本題考查了平面向量數乘及加法的平行四邊形法則的應用，考查了余弦定理的應用與運算求解能力，屬于中檔題.
10．【黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學2020屆高三下學期第三次模擬】已知M為的邊的中點，N為內一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用向量的線性運算的應用和三角形的面積公式的應用求出結果.
【詳解】
因為，所以，
所以∥，又因為 M為邊的中點，
所以點到的距離等于點到的距離，
所以,
故選：B
【點睛】
本題考查向量的線性運算的應用，三角形的面積公式的運用，考查運算能力和轉換能力，屬于基礎題.
11．【福建省三明市2020屆高三畢業班質量檢查測試】早在公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算經》中曾有記載，大意為：“當直角三角形的兩條直角邊分別為（勾）和（股）時，徑隅（弦）則為”，故勾股定理也稱為商高定理.現有的三邊滿足“勾三股四弦五”，其中勾的長為，點在弦上的射影為點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作出圖形，計算出的值，然后利用平面向量數量積的定義可求得的值.
【詳解】
如下圖所示：
由題意可知，，，則，
，，所以，.
.
故選：B.
【點睛】
本題考查平面向量數量積的計算，考查平面數量積定義的的應用，考查計算能力，屬于基礎題.
12．【2020屆廣東省廣州市高三二模】如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中點，F是AE上一點，2，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用向量的三角形法則以及基本定理即可求得結論．
【詳解】
由梯形ABCD中，ABCD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中點，F是AE上一點，2，
則
；
故選：C
【點睛】
本題考查向量的三角法則、平面向量基本定理，屬于基礎題.
13．【新疆2020屆普通高考高三第二次適應性檢測】設M是所在平面上的一點，，D是的中點，，則實數t的值為（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
由D是的中點，可得，由于，從而得，所以，可求得t的值.
【詳解】
解：因為D是的中點，所以，
又因為，
所以，
所以，
因為，所以，
故選：B
【點睛】
此題考查了向量的平行四邊形法則、向量形式的中點坐標公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題.
14．【河南省濮陽市2020屆高三第二次模擬考試】已知中，點M在線段上，，且.若，則（ ）
A． B． C．27 D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
依題意，得，而A，B，M三點共線，所以.以C為原點，為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設，，根據條件可得，，再由，可建立關于的方程，可求出，從而得出答案.
【詳解】
依題意，得，而A，B，M三點共線，所以.
以C為原點，為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
設，，則，
由，則，
又，則.
由于，即，
所以解得所以，
所以.
故選：C
【點睛】
本題考查三點共線的充要條件、平面向量的基本定理、向量的坐標表示，考查直觀想象、數學建模的核心素養，屬于中檔題.
15．已知向量和不共線，向量，，，若 三點共線，則（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【來源】百師聯盟2021屆高三沖刺卷（二）新高考卷數學試題
【答案】A
【分析】
根據A、B、D共線的條件得到，進而得到，根據平面向量基本定理中的分解唯一性，得到關于的方程組，求解即得.
【詳解】
因為 三點共線，
所以存在實數λ，使得，
，
所以，
∴，解得.
故選：A.
16．設，是兩個不共線的平面向量，若，，且與共線，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【來源】江蘇省鹽城中學2021屆高三下學期仿真模擬數學試題
【答案】C
【分析】
由向量共線列方程，求出k.
【詳解】
由與共線，即，
所以有=，
所以，消去
可得，則．
故選：C．
17．已知，是兩個不共線的非零向量，若，則實數（ ）
A． B． C． D．
【來源】四川省成都市蓉城名校聯盟2021屆高三第三次聯考理科數學試題
【答案】A
【分析】
根據向量共線定理可求出結果.
【詳解】
因為，所以存在，使得，
所以，
又因為是兩個不共線的非零向量，
所以，解得
故選：A
18．在四邊形中，，設(，).若，則（ ）
A． B． C． D．
【來源】陜西省西安中學2021屆高三高考模擬數學（文）試題（三）
【答案】C
【分析】
根據共線向量的性質，結合平面向量加法的運算法則進行求解即可.
【詳解】
解：∵，
∴設，則，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
即，
故選：C.
19．在中，，是上一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【來源】天一大聯考2020-2021學年高中畢業班階段性測試（五）數學試卷（新高考版A卷）試題
【答案】C
【分析】
由平面向量的線性運算法則和向量的基本定理，化簡得，根據，，三點共線，列出方程，即可求解．
【詳解】
由平面向量的線性運算法則和向量的基本定理，
可得：，
因為，，三點共線，所以，解得．
故選：C.
20.在三角形ABC中，E F分別為AC AB上的點，BE與CF交于點Q且，，AQ交BC于點D，，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【來源】陜西省寶雞市千陽中學2021屆高三下學期5月預測題數學（理）試題
【答案】C
【分析】
由題得，，求出的值，再根據，共線，得解.
【詳解】
因為三點共線，所以,
因為三點共線，所以,
所以
所以
所以，
因為共線，
所以.
故選：C
【點睛】
結論點睛：如果三點共線，則，要根據已知條件靈活運用這個結論解題.
21.（多選）如圖，已知點是上三個不同定點，Q為弦的中點，是劣弧上異于的一系列動點，連接交于，點滿足，其中數列是首項為1的正項數列，是數列的前n項和，則下列結論正確的是（ ）
A．數列是等比數列 B．
C． D．
【來源】山東省濟寧市任城區任興高中聯盟2020-2021學年高三上學期1月聯考數學試題
【答案】AB
【分析】
由平面向量線性運算和向量共線可得到，由此可確定遞推關系式，得到，進而得數列是等比數列可判斷A選項；利用等比數列通項公式求得，可確定BC正誤；利用分組求和法，結合等比數列求和公式可求得，知D錯誤.
【詳解】
解：因為Q為弦的中點，
所以，所以，
因為三點共線，所以，
又因為，
所以，
所以，消去得，
所以，即，
所以數列是等比數列，公比為，首項為，故A選項正確；
所以，故，所以，故B選項正確，C選項錯誤；
此時數列的前n項和，故D選項錯誤.
故選：AB
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查數列與向量的綜合應用問題，解題關鍵是能夠根據平面向量的線性運算和向量共線的性質推導得到數列的遞推關系式，由此構造出所需的等比數列進行求解.
22．【江蘇省2020屆高三下學期6月高考押題】如圖，在平行四邊形中， 分別為的中點，與交于點.若，則的余弦值為____________.
【答案】
【解析】
【分析】
設，，確定點位置，又，將其它向量全部用基底表示出來，再化簡可得答案.
【詳解】設，，
則，，得，，
又，得，則，
得，得，，
設則，由，
有
得，得.
故答案為：
【點睛】本題考查了平面向量的基本定理，向量共線的應用，平面向量數量積的運算，考查了學生分析能力，運算能力，難度較大.
23.【山東省2020屆普通高等學校招生全國統一考試數學試題模擬卷】在中，，，，為邊上的高．若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據題意畫出圖象，根據條件求出，從而可得出，根據向量加法的幾何意義并進行向量的數乘運算得出，從而根據平面向量基本定理求出，的值，即可求得答案．
【詳解】
根據題意畫出圖象，如圖
為邊上的高
，
，，
則，
，
．
又，
，，
故．
故答案為：．
【點睛】
本題解題關鍵是掌握向量的線性表示，根據系數相等求參數的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題．
24．設向量不共線，向量與平行，則實數__________．
【來源】解密09 平面向量（講義）-【高頻考點解密】2021年高考數學（理）二輪復習講義 分層訓練
【答案】
【分析】
直接利用向量共線的條件列方程求值即可.
【詳解】
∵與平行向量不共線，
∴存在實數k使得=k（）=k+4k，
∴
故答案為：．
25．設是不共線的向量，若三點共線，則的值為__________．
【來源】【新東方】【2021.5.19】【SX】【高三下】【高中數學】【SX00159】
【答案】
【分析】
依題意可得可以作為平面內一組基底，根據三點共線，所以，即可求出參數的值；
【詳解】
解：因為是不共線的向量，所以可以作為平面內一組基底，因為，所以，因為三點共線，所以，所以，解得
故答案為：
26．如圖所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M為BD的中點，設P、Q分別為線段AB、CD上的動點，若P、M、Q三點共線，則的最大值為__.
【來源】考點33 平面向量的數量積-備戰2021年高考數學經典小題考前必刷（新高考地區專用）
【答案】
【分析】
建立直角坐標系，設，，由P、M、Q三點共線，設，求得，代入計算知，構造函數，，結合函數的單調性求得最值.
【詳解】
如圖所示，建立直角坐標系，則，，，，，
又Q是線段CD上的動點，設，
則，可得
設，，
由P、M、Q三點共線，設
利用向量相等消去可得：，
令，，則在上單調遞減，
故當時，取得最大值
故答案為：
【點睛】
方法點睛：本題考查向量的坐標運算，求解向量坐標運算問題的一般思路：
向量的坐標化：向量的坐標運算，使得向量的線性運算可用坐標進行，實現了向量坐標運算完全代數化，將數與形緊密的結合起來，建立直角坐標系，使幾何問題轉化為數數量運算，考查學生的邏輯思維與運算能力，屬于較難題.
27．已知向量，滿足，．若，且，則的最大值為______．
【來源】浙江省2021屆高三高考數學壓軸卷試題
【答案】
【分析】
令，，利用已知作出以為直徑作直角三角形的外接圓，令，連接．設，由已知點在直線上，
【詳解】
令，，則，故，又，所以．以為直徑作直角三角形的外接圓，進而得出當時，即取得最大值．
令，連接．設，因為，所以點在直線上，又，所以，即，所以．結合圖形可知，當時，即取得最大值，且．
故答案為：
28．已知的重心為G，過G點的直線與邊AB和AC的交點分別為M和N，若，則與的面積之比為________.
【來源】山西省太原市2021屆高三上學期期末數學（文）試題
【答案】
【分析】
利用重心的性質，把AG用AM、AN表示，再由M，G，N三點共線求出與的關系，再由三角形面積公式即可求解.
【詳解】
解：如圖所示：
設，
G為的重心，
，
又三點共線，
，
解得：，
故，
.
故答案為：.
29．如圖，在平行四邊形中， 分別為的中點，與交于點.若，則的余弦值為____________.
【來源】第18練 平面向量的基本定理及坐標表示-2021年高考數學（理）一輪復習小題必刷
【答案】
【分析】
設，，確定點位置，又，將其它向量全部用基底表示出來，再化簡可得答案.
【詳解】
設，，
則，，得，，
又，得，則，
得，得，，
設則，由，
有
得，得.
故答案為：
【點睛】
本題考查了平面向量的基本定理，向量共線的應用，平面向量數量積的運算，考查了學生分析能力，運算能力，難度較大.

展開更多......

收起↑