資源簡介

超強圓錐曲線結論總結
結論 1：過圓 x2 + y2 = 2a2上任意點 P 作圓 x2 + y2 = a2的兩條切線,則兩條切線垂直.
x2 y2
結論 2：過圓 x2 + y2 = a2 + b2 上任意點 P 作橢圓 + = 1(a > b > 0)的兩條切線,
a2 b2
則兩條切線垂直.
x2 y2
結論 3：過圓 x2 + y2 = a2 b2(a > b > 0)上任意點 P 作雙曲線 = 1的兩條切線,
a2 b2
則兩條切線垂直.
結論 4：過圓 x2 + y2 = a2 上任意不同兩點 A,B 作圓的切線,如果切線垂直且相交于 P ,
則動點 P 的軌跡為圓：x2 + y2 = 2a2 .
x2 y2
結論 5：過橢圓 + = 1(a > b > 0)上任意不同兩點 A,B 作橢圓的切線,如果切線垂
a2 b2
直且相交于 P ,則動點 P 的軌跡為圓 x2 + y2 = a2 + b2 .
x2 2
結論 6：過雙曲線 y = 1(a > b > 0)上任意不同兩點 A,B 作雙曲線的切線,如果切
a2 b2
線垂直.且相交于 P ,則動點 P 的軌跡為圓 x2 + y2 = a2 b2 .
x2 y2
結論 7：點 M (x0, y0) 在橢圓 + = 1(a > b > 0) 上, 過點 M 作橢圓的切線方程為
a2 b2
x0x y0y
+ = 1 .
a2 b2
x2 y2
結論 8：點M (x0, y0)在橢圓 + = 1外,過點M 作橢圓的兩條切線,切點分別為A,B
a2 b2
x x y y
則切點弦 AB 的直線方程為 0 0+ = 1 .
a2 b2
x2 y2
結論 8：(補充)點M (x0, y0)在橢圓 + = 1內,過點M 作橢圓的弦 AB (不過橢圓中
a2 b2
x x y y
心),分別過 A,B 作橢圓的切線,則兩條切線的交點 P 的軌跡方程為直線： 0 0+ = 1 .
a2 b2
x2 y2
結論 9：點M (x0, y0)在雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)上,過點M 作雙曲線的切線方
a2 b2
x0x程為 y0y = 1 .
a2 b2
x2 y2
結論 10：點M (x0, y0)在雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)外,過點M 作雙曲線的兩條切
a2 b2
x x y y
線,切點分別為 A,B 則切點弦 0 0AB 的直線方程為 = 1 .
a2 b2
x2 2
結論 10：(補充)點M (x0, y0)在雙曲線
y
= 1(a > 0, b > 0)內,過點M 作雙曲線的
a2 b2
弦 AB (不過雙曲線中心),分別過 A,B作雙曲線的切線,則兩條切線的交點 P 的軌跡方程為直
x
線： 0
x y0y = 1 .
a2 b2
結論 11：點 M (x0, y0) 在拋物線 y2 = 2px(p > 0) 上, 過點 M 作拋物線的切線方程為
y0y = p (x+ x0) .
結論 12：點M (x0, y0)在拋物線 y2 = 2px(p > 0)外,過點M 作拋物線的兩條切線,切點
分別為 A,B 則切點弦 AB 的直線方程為 y0y = p (x+ x0) .
結論 12：(補充)點 M (x0, y0)在拋物線 y2 = 2px(p > 0)內,過點 M 作拋物線的弦 AB ,
分別過 A,B 作拋物線的切線,則兩條切線的交點 P 的軌跡方程為直線：y0y = p (x+ x0) .
(x m)2 (y n)2
結論 13：點M (x0, y0)在橢圓 + = 1上,過點M 作橢圓的切線方程為
a2 b2
(x0 m) (x m) (y0 n) (y n)
+ = 1 .
a2 b2
(x m)2 (y n)
2
結論 14：點M (x0, y0)在雙曲線 = 1上,過點M 作雙曲線的切線方
a2 b2
(x0 m) (x m) (y0 n) (y n)程為 = 1 .
a2 b2
結論 15：點M (x , y )在拋物線 (y n)20 0 = 2p(x m)上,過點M 作拋物線的切線方程為
(y0 n) (y n) = p (x+ x0 2m) .
(x m)2 (y n)2
結論 16：點M (x0, y0)在橢圓 + = 1外,過點M 作橢圓的兩條切線,切
a2 b2
(x0 m) (x m) (y0 n) (y n)點分別為 A,B 則切點弦 AB 的直線方程為 + = 1 .
a2 b2
(x m)2 (y n)2
結論 17：點M (x0, y0)在雙曲線 = 1外,過點M 作雙曲線的兩條切
a2 b2
(x m) (x m) (y n) (y n)
線,切點分別為 A,B ,則切點弦 AB 的直線方程為 0 0 = 1. .
a2 b2
結論 18：點M (x0, y0)在拋物線 (y n)2 = 2p(x m)外,過點M 作拋物線的兩條切線,
切點分別為 A,B 則切點弦 AB 的直線方程為 (y0 n) (y n) = p (x+ x0 2m) .
(x m)2 (y n)2
結論 16：(補充) 點 M (x0, y0) 在橢圓 + = 1 內, 過點 M 作橢圓的
a2 b2
弦 AB (不過橢圓中心), 分別過 A,B 作橢圓的切線, 則兩條切線的交點 P 的軌跡方程為直線：
(x0 m) (x m) (y0 n) (y n)
+ = 1 .
a2 b2
(x m)2 (y n)
2
結論 17：(補充)點M (x0, y0)在雙曲線 = 1內,過點M 作雙曲線的
a2 b2
弦 AB (不過雙曲線中心),分別過 A,B作雙曲線的切線,則兩條切線的交點 P 的軌跡方程為直
(x0 m) (x m) (y線： 0 n) (y n) = 1 .
a2 b2
結論 18：(補充)點M (x0, y0)在拋物線 (y n)2 = 2p(x m)內,過點M 作拋物線的弦AB
, 分別過 A,B 作拋物線的切線, 則兩條切線的交點 P 的軌跡方程為直線：(y0 n) (y n) =
p (x+ x0 2m) .
結論 19：過橢圓準線上一點M 作橢圓的兩條切線,切點分別為 A,B ,則切點弦 AB 的直
線必過相應的焦點 F ,且MF 垂直切點弦 AB .
結論 20：過雙曲線準線上一點 M 作雙曲線的兩條切線, 切點分別為 A,B 則切點弦 AB
的直線必過相應的焦點 F ,且MF 垂直切點弦 AB .
結論 21：過拋物線準線上一點M 作拋物線的兩條切線,切點分別為 A,B ,則切點弦 AB
的直線必過焦點 F ,且MF 垂直切點弦 AB .
結論 22：AB 為橢圓的焦點弦,則過 A,B 的切線的交點M 必在相應的準線上.
結論 23：AB 為雙曲線的焦點弦,則過 A,B 的切線的交點M 必在相應的準線上.
結論 24：AB 為拋物線的焦點弦,則過 A,B 的切線的交點M 必在準線上.
結論 25：點M 是橢圓準線與長軸的交點,過點M 作橢圓的兩條切線,切點分別為 A,B ,
則切點弦 AB 就是通徑.
結論 26：點 M 是雙曲線準線與實軸的交點, 過點 M 作雙曲線的兩條切線, 切點分別為
2
A,B ,則切點弦 AB 就是通徑.
結論 27：M 為拋物線的準線與其對稱軸的交點,過點M 作拋物線的兩條切線,切點分別
為 A,B ,則切點弦 AB 就是其通徑.
結論 28：過拋物線 y2 = 2px(p > 0)的對稱軸上任意一點M( m, 0)(m > 0)作拋物線的
兩條切線,切點分別為 A,B 則切點弦 AB 所在的直線必過點 N(m, 0) .
x2 y2
結論 29：過橢圓 + = 1(a > 0, b > 0)的對稱軸上任意一點M(m,n)作橢圓的兩條
a2 b2
切線,切點分別為 A,B . ( )
a2
(1)當 n = 0, |m|> a時,則切點弦 AB 所在的直線必過點 P( , 0 ;m )
b2
(2)當m = 0, |n|> b時,則切點弦 AB 所在的直線必過點 Q 0, .
n
x2 y2
結論 30：過雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的實軸上任意一點M(m, 0()(|m|<)a)作雙曲a2 b2
a2
線 (單支)的兩條切線,切點分別為 A,B ,則切點弦 AB 所在的直線必過點 P , 0 .
m
結論 31：過拋物線 y2 = 2px(p > 0)外任意一點M 作拋物線的兩條切線,切點分別為A,B
,弦 AB 的中點為 N ,則直線MN 必與其對稱軸平行.
x2 y2 x2 y2
結論 32：若橢圓 + = 1(a > b > 0)與雙曲線 = 1(m > 0, n > 0)共焦點,
a2 b2 m2 n2
則在它們交點處的切線相互垂直.
結論 33：過橢圓外一定點 P 作其一條割線,交點為 A,B ,則滿足 |AP |·|BQ|= |AQ|·|BP |
的動點 Q的軌跡就是過 P 作橢圓兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上.
結論 34：過雙曲線外一定點 P 作其一條割線,交點為A,B則滿足 |AP |·|BQ|= |AQ|·|BP |
的動點 Q的軌跡就是過 P 作雙曲線兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上.
結論 35：過拋物線外一定點 P 作其一條割線,交點為A,B則滿足 |AP |·|BQ|= |AQ|·|BP |
的動點 Q的軌跡就是過 P 作拋物線兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上.
結論 36：過雙曲線外一點 P 作其一條割線,交點為 A,B ,過 A,B分別作雙曲線的切線相
交于點 Q ,則動點 Q的軌跡就是過 P 作雙曲線兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上.
結論 37：過橢圓外一點 P 作其一條割線,交點為 A,B 過 A,B 分別作橢圓的切線相交于
點 Q ,則動點 Q的軌跡就是過 P 作橢圓兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上.
結論 38：過拋物線外一點 P 作其一條割線,交點為 A,B ,過 A,B分別作拋物線的切線相
交于點 Q ,則動點 Q的軌跡就是過 P 作拋物線兩條切線形成的切點弦所在的直線方程上.
x2 y2
結論 39：從橢圓 + = 1(a > b > 0)的右焦點向橢圓的動切線引垂線,則垂足的軌跡
a2 b2
為圓：x2 + y2 = a2 .
x2 y
2
結論 40：從雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的右焦點向雙曲線的動切線引垂線,則垂足
a2 b2
的軌跡為圓：x2 + y2 = a2 .
x2 y2
結論 41：F 是橢圓 + = 1(a > b > 0)的一個焦點, M 是橢圓上任意一點,則焦半徑
a2 b2
MF ∈ [a c, a+ c] .
x2 y2
結論 42：F 是雙曲線 = 1(a > b > 0)的右焦點, M 是雙曲線上任意一點.
a2 b2
3
(1)當點M 在雙曲線右支上,則焦半徑MF ≥ c a ;.
(2)當點M 在雙曲線左支上,則焦半徑MF ≥ c+ a .
結論 43：F 是拋物線 y2 = 2px(p > 0)的焦點, M 是拋物線上任意一點,則焦半徑MF =
p p
x0 + ≥ .
2 2
結論 44：橢圓上任一點 M 處的法線平分過該點的兩條焦半徑的夾角 (或者說 M 處的切
線平分過該點的兩條焦半徑的夾角的外角),亦即橢圓的光學性質.
結論 45：雙曲線上任一點 M 處的切線平分過該點的兩條焦半徑的夾角 (或者說 M 處的
法線平分過該點的兩條焦半徑的夾角的外角),亦即雙曲線的光學性質.
結論 46：拋物線上任一點 M 處的切線平分該點的焦半徑與該點向準線所作的垂線的夾
角,亦即拋物線的光學性質.
結論 47：橢圓的準線上任一點M 處的切點弦 PQ過其相應的焦點 F ,且MF⊥PQ .
結論 48：雙曲線的準線上任一點M 處的切點弦 PQ過其相應的焦點 F ,且MF⊥PQ .
結論 49：拋物線的準線上任一點M 處的切點弦 PQ過其焦點 F ,且MF⊥PQ .
結論 50：橢圓上任一點 P 處的切線交準線于M,P 與相應的焦點 F 的連線交橢圓于 Q ,
則MQ必與該橢圓相切,且MF⊥PQ .
結論 51：雙曲線上任一點 P 處的切線交準線于M,P 與相應的焦點 F 的連線交雙曲線于
Q ,則MQ必與該雙曲線相切,且MF⊥PQ .
結論 52：拋物線上任一點 P 處的切線交準線于M,P 與焦點 F 的連線交拋物線于 Q ,則
MQ必與該拋物線相切,且MF⊥PQ .
結論 53：焦點在 x軸上的橢圓 (或焦點在 y軸)上三點 P,Q,M 的焦半徑成等差數列的充
要條件為 P,Q,M 的橫坐標 (縱坐標)成等差數列.
結論 54：焦點在 x軸上的雙曲線 (或焦點在 y軸)上三點 P,Q,M 的焦半徑成等差數列的
充要條件為 P,Q,M 的橫坐標 (縱坐標)成等差數列.
結論 55：焦點在 x軸上的拋物線 (或焦點在 y軸)上三點 P,Q,M 的焦半徑成等差數列的
充要條件為 P,Q,M 的橫坐標 (縱坐標)成等差數列.
結論 56：橢圓上一個焦點 F2 關于橢圓上任一點 P 處的切線的對稱點為 Q , 則直線 PQ
必過該橢圓的另一個焦點 F1 .
結論 57：雙曲線上一個焦點 F2 關于雙曲線上任一點 P 處的切線的對稱點為 Q ,則直線
PQ必過該雙曲線的另一個焦點 F1 .
結論 58：橢圓上任一點 P (非頂點), 過 P 的切線和法線分別與短軸相交于 Q,S 則有
P,Q, S 及兩個焦點共于一圓上.
結論 59：雙曲線上任一點 P (非頂點),過 P 的切線和法線分別與短軸相交于 Q,S ,則有
P,Q, S 及兩個焦點共于一圓上.
結論 60：橢圓上任一點P (非頂點)處的切線與過長軸兩個頂點A,A′的切線相交于M,M ′
,則必得到以MM ′為直徑的圓經過該橢圓的兩個焦點.
結論 61：雙曲線上任一點 P (非頂點) 處的切線與過實軸兩個頂點 A,A′ 的切線相交于
M,M ′ ,則必得到以MM ′為直徑的圓經過該雙曲線的兩個焦點.
4
結論 62：以橢圓的任一焦半徑為直徑的圓內切于以長軸為直徑的圓.
結論 63：以雙曲線的任一焦半徑為直徑的圓外切于以實軸為直徑的圓.
結論 64：以拋物線的任一焦半徑為直徑的圓與非對稱軸的軸相切.
結論 65：焦點在 x軸上的橢圓 (或焦點在 y 軸上)上任一點M (非短軸頂點)與短軸的兩
個頂點 B,B′的連線分別交 x軸 (或 y軸)于 P,Q ,則 xPxQ = a2 (或 yPyQ = a2 ).
結論 66：焦點在 x軸上的雙曲線 (或焦點在 y 軸上)上任一點M (非頂點)與實軸的兩個
頂點 B,B′的連線分別交 y軸 (或 x軸)于 P,Q ,則 y y = b2P Q 或 ( xPxQ = b2 ).
結論 67：P 為焦點在 x軸上的橢圓上任一點 (非長軸頂點),則 PF1F2與邊 PF2 (或 PF1
)相切的旁切圓與 x軸相切于右頂點 A (或左頂點 A′ ).
結論 68：P 為焦點在 x軸上的雙曲線右支 (或左支)上任一點,則 PF1F2 的內切圓與 x
軸相切于右頂點 A (或左頂點 A ’).
x2 y2
結論 69：AB 是過橢圓 + = 1(a > b > 0)的焦點 F 的一條弦 (非通徑 ) ,弦 AB 的
a2 b2
|AB| 2
中垂線交 x軸于 N ,則 = .
|NF | e
x2 y2
結論 70：AB 是過雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的焦點 F 的一條弦 (非通徑,且為單
a2 b2
|AB| 2
支弦),弦 AB 的中垂線交 x軸于M ,則 = .
|MF | e
結論 71：AB是過拋物線 y2 = 2px(p > 0)的焦點 F 的一條弦 (非通徑 ) ,弦 AB的中垂線
|AB|
交 x軸于M ,則 = 2 .
|MF |
結論 72：AB 為拋物線的焦點弦, 分別過 A,B 作拋物線的切線, 則兩條切線的交點 P 在
其準線上.
結論 73：AB 為橢圓的焦點弦, 分別過 A,B 作橢圓的切線, 則兩條切線的交點 P 在其相
應的準線上.
結論 74：AB 為雙曲線的焦點弦, 分別過 A,B 作雙曲線的切線, 則兩條切線的交點 P 在
其相應的準線上.
結論 75：AB 為過拋物線焦點 F 的焦點弦,以 AB 為直徑的圓必與其準線相切.
結論 76：AB為過橢圓焦點 F 的焦點弦,以 AB為直徑的圓必與其相應的準線相離 (當然
與另一條準線更相離).
結論 77：AB為過雙曲線焦點 F 的焦點弦,以 AB為直徑的圓必與其相應的準線相交,截
1
得的圓弧度數為定值,且為 2arccos .
e
結論 78：以圓錐曲線的焦點弦 AB 為直徑作圓,若該圓與其相應的準線相切,則該曲線必
為拋物線.
結論 79：以圓雉曲線的焦點弦 AB 為直徑作圓,若該圓與其相應的準線相離,則該曲線必
為橢圓.
結論 80：以圓錐曲線的焦點弦 AB 為直徑作圓,若該圓與其相應的準線相交,則該曲線必
1
為雙曲線,此時截得的圓弧度數為定值,且為 2arccos .
e
結論 81：AB 為過拋物線 y2 = 2px(p > 0) 焦點 F 的焦點弦, A (x1, y1) , B (x2, y2) , 則
5
|AB|= x1 + x2 + p .
x2 y2
結論 82：AB為過橢圓 + = 1(a > b > 0)焦點 F 的焦點弦, A (x1, y1) , B (x2, y2) ,則
a2 b2
| AB|= 2a e |x1 + x2| .
x2 y2
結論 83：AB為過雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)焦點 F 的焦點弦, A (x1, y1) , B (x2, y )
a2 b2
2
.若 AB 為單支弦,則 |AB|= e |x1 + x2| 2a ;若 AB 為雙支弦,則 | AB|= e|x1 + x2|+2a .
結論 84：F 為拋物線的焦點, A,B是拋物線上不同的兩點,直線 AB交其準線 l于M ,則
FM 平分 AFB 的外角.
結論 85：F 為橢圓的一個焦點, A,B 是橢圓上不同的兩點,直線 AB交其相應的準線 l于
M ,則 FM 平分 AFB 的外角.
結論 86：F 為雙曲線的一個焦點, A,B是雙曲線上不同的兩點 (同一支上),直線 AB交其
相應的準線 l于M ,則 FM 平分 AFB 的外角.
結論 87：F 為雙曲線的一個焦點, A,B 是雙曲線上不同的兩點 (左右支各一點),直線 AB
交其相應的準線 l于M ,則 FM 平分 AFB .
x2 y2
結論 88：AB 是橢圓 + = 1(a > b > 0)過焦點 F 的弦,點 P 是橢圓上異于 A,B 的
a2 b2
任一點,直線 PAPB 分別交相應于焦點 F 的準線 l于MN ,則點M 與點 N 的縱坐標之積為
b4
定值,且為 .
c2
x2 y2
結論 89：AB 是雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)過焦點 F 的弦,點 P 是雙曲線上異于
a2 b2
A,B任一點,直線 PA、PB分別交相應于焦點 F 的準線 l于MN ,則點M 與點 N 的縱坐標
b4
之積為定值,且為 .
c2
結論 90：AB 是拋物線 y2 = 2px(p > 0)過焦點 F 的弦,點 P 是拋物線上異于 A,B 的任
一點,直線 PAPB 分別交準線 l于MN ,則點M 與點 N 的縱坐標之積為定值,且為 p2 .
x2 y2
結論 91：A,B 為橢圓 + = 1(a > b > 0) 的長軸頂點, P 為橢圓任一點 (非長軸
a2 b2
a2
頂點), 若直線 PAPB 分別交直線 x = (0 < m < a) 于 MN , 則 yM · yN 為定值, 且有
m
b2 (m2 a2)
yM · yN = .
m2
x2 y2
結論 92：A,B 為橢圓 + = 1(a > b > 0)的長軸頂點, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 為橢圓任一點 (非長軸頂點), 若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于 MN , 則 EM · FN
m
→ → (a2 2· m ) (a
2 +m2 b2)
為定值,且有 EM FN = .
m2
x2 y2
結論 93：A,B 為橢圓 + = 1(a > b > 0)的長軸頂點, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 為橢圓上任一點 (非長軸頂點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 EN ·FM
m
→ → (a2 m2) (a2 +m2 b2)
為定值,且有 EN · FM = .
m2
x2 y2
結論 94：A,B 為橢圓 + = 1(a > b > 0)的長軸頂點, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 為橢圓任一點 (非長軸頂點), 若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于 MN , 則 FM · FN
m
6
→ → 2 2 2 2 2
· (a m ) (a +m b )為定值,且有 FM FN = .
m2
x2 y2
結論 95：A,B 為橢圓 + = 1(a > b > 0)的長軸頂點, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 為橢圓任一點 (非長軸頂點 ) ,若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 EM · EN
m
→ → 2
· (a
2 +m2) b2 (a2 m2)
為定值,且有 EM EN = .
m2
x2 y2
結論 96：A,B 為橢圓 + = 1(a > b > 0)的長軸頂點, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 為橢圓任一點 (非長軸頂點 ) ,若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 BM · FN
m
→ → (a2· m
2) (a2 + am b2)
為定值,且有 BM FN = .
m2
x2 y2
結論 97：A,B 為橢圓 + = 1(a > b > 0)的長軸頂點, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 為橢圓任一點 (非長軸頂點), 若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于 MN , 則 AM · FN
m
→ →
· (a
2 m2) (a2 am b2)
為定值,且有 AM FN = .
m2
x2 y2
結論 98：A,B 為橢圓 + = 1(a > b > 0)的長軸頂點, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2 → →
a), P 為橢圓任一點 (非長軸頂點), 若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于 MN , 則 AM · BN
m
→ → (a2 m2· ) (a
2 b2)
為定值,且有 AM BN = .
m2
x2 y2
結論 99：A,B 為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, E( m, 0), F (m, 0), (0 < m <
a2 b2
a2
a), P 為雙曲線上任一點 (非實軸頂點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 yM · yN
m
b2 (m2 a2)
為定值,且有 yM · yN = .
m2
x2 y2
結論 100：A,B為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
為雙曲線上任一點 (非實軸頂點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 EM · FN 為
m
→ → (a2 m2) (a2 + b2 +m2)
定值,且有 EM · FN = .
m2
x2 y2
結論 101：A,B為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
為雙曲線上任一點 (非實軸頂點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 EN · FM 為
m
→ → (a2 m2) (a2 + b2 +m2)
定值,且有 EN · FM = .
m2
x2 y2
結論 102：A,B為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
為雙曲線上任一點 (非實軸頂點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 FM · FN 為
m
→ →
· (a
2 m2) (a2 + b2 m2)
定值,且有 FM FN = .
m2
x2 y2
結論 103：A,B為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
7
a2 → →
為雙曲線上任一點 (非實軸頂點,若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 EM · EN 為
m
→ → 2 2 2
· (a +m ) + b
2 (a2 m2)
定值,且有 EM EN = .
m2
x2 y2
結論 104：A,B為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
為雙曲線上任一點 (非實軸頂點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 BM · FN 為
m
→ → (a2 m2) (a2 + b2 + am)
定值,且有 BM · FN = .
m2
x2 y2
結論 105：A,B為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
為雙曲線上任一點 (非實軸頂點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 AM · FN 為
m
→ → 2
· (a m
2) (a2 + b2 am)
定值,且有 AM FN = .
m2
x2 y2
結論 106：A,B為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2 → →
為雙曲線上任一點 (非實軸頂點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 AM ·BN 為
m
→ → (a2 m2) (a2 + b2)
定值,且有 AM · BN = .
m2
x2 y2
結論 107：A,B 為橢圓 + = 1(a > b > 0) 的長軸頂點, P 為橢圓任一點 (非長軸
a2 b2
a2
頂點), 若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于 MN , 則 kAP · kBP 為定值, 且有 kAP · kBP =
m
2
k 2AM · kBN = e
b
1 = .
a2
x2 y2
結論 108：A,B為橢圓 + = 1(a > b > 0)長軸頂點, P 為橢圓任一點 (非長軸頂點),若
a2 b2
a2 2
直線AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 kAN ·kBM 為定值,且有 k 2AN ·kBM = e 1 =
b
m a2
.
x2 y2
結論 109：A,B 為橢圓 + = 1(a > b > 0) 的長軸頂點, P 為橢圓任一點 (非長軸
a2 b2
a2
頂點), 若( 直線)AP,BP 分別交直線 x = 于 MN , 則 kAM · kAN 為定值, 且有 kAM · kAN =ma+m
e2 1 .
a m
x2 y2
結論 110：A,B 為橢圓 + = 1(a > b > 0) 的長軸頂點, P 為橢圓任一點 (非長軸
a2 b2
a2
頂點), 若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于 MN , 則 kBM · kBN 為定值, 且有 kBM · kBN =
m
a m ( )
e2 1 .
a+m
x2 y2
結論 111：A,B為橢圓 + = 1(a > b > 0)的長軸頂點, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2
為橢圓任一點 (非長軸頂點), 若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于 MN , 則 kEM · kFN 為定
m
b2
值,且有 kEM · kFN = .
a2 +m2
8
x2 y2
結論 112：A,B為橢圓 + = 1(a > b > 0)的長軸頂點, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2
為橢圓任一點 (非長軸頂點), 若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于 MN , 則 kEN · kFM 為定
m
值, .
x2 y2
結論 113：A , B為橢圓 + = 1(a > b > 0)的任一直徑 (中心弦 ), P 為橢圓上任一點
a2 b2
b2
(不與 A,B 點重合 ) ,則 kPA · kPB 為定值,且有 k · k = = e2PA PB 1 .
a2
x2 y2
結論 114：A,B為橢圓 + = 1(a > b > 0)的任一弦 (不過原點且不與對稱軸平行 ),M
a2 b2
b2
為弦 AB的中點,若 kOM 與 kAB 均存在,則 kOM · kAB 為定值,且有 kOM · kAB = = e2 1 .
a2
x2 y2
結論 115：AB 為橢圓 + = 1(a > b > 0)的任一弦 (不與對稱軸平行 ) , 若平行于
a2 b2
b2
AB 的弦的中點的軌跡為直線 PQ ,則有 k 2PQ · kAB = = e 1 .
a2
x2 y2
結論 116：過橢圓 + = 1(a > b > 0)上任意一點 P (不是其頂點 )作橢圓的切線 PA
a2 b2
b2
,則有 kPA · kOP = = e2 1 .
a2
x2 y2
結論 117：橢圓 + = 1(a > b > 0)及定點 F (m, 0), ( a < m < a) ,過 F 的弦的端點
a2 b2
a2 a2
為 A,B ,過點 A,B 分別作直線 x = 的垂線,垂足分別為 D,C ,直線 x = 與 x軸相交于
m m
E ,則直線 AC 與 BD恒過 EF 的中點,且有 kAE + kBE = 0 .
x2 y2
結論 118：橢圓 + = 1(a > b > 0)及定點F (m, 0), (m = ±c) ,過F 任作一條弦AB,E
a2 b2
a2
為橢圓上任一點,連接 AE,BE ,且分別與準線 x = 相交于 P,Q ,則有 kFP · kFQ = 1 .
m
x2 y2
結論 119：橢圓 + = 1(a > b > 0) 及定點 F (m, 0), ( a < m < a,m = 0) , 過 F
a2 b2
a2
任作一條弦 AB,E 為橢圓上任一點, 連接 AEBE , 且分別與直線 x = 相交于 P,Q , 則有
m
b2
kFP · kFQ = .
m2 a2
x2 y2
結論 120A,B 為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, P 為雙曲線上任一點 (非實軸
a2 b2
a2
頂點), 若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于 MN , 則 kAP · kBP 為定值, 且有 kAP · kBP =
m
b2
k 2AM · kBN = e 1 = .
a2
x2 y2
結論 121：A,B為雙曲線 + = 1(a > b > 0)的頂點, P 為雙曲線上任一點 (非實軸頂
a2 b2
a2
點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 kAN · kBM 為定值,且有 k 2AN · kBM = e 1
m
.
x2 y2
結論 122：A,B 雙曲線 + = 1(a > b > 0) 的頂點, P 為雙曲線上任一點 (非實軸
a2 b2
a2
頂點), 若( 直線)AP,BP 分別交直線 x = 于 MN , 則 kAM · kAN 為定值, 且有 kAM · kAN =ma+m
e2 1 .
a m
9
x2 y2
結論 123：A,B 為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, P 為雙曲線上任一點 (非實
a2 b2
a2
軸頂點(),若直線) APBP 分別交直線 x = 于MN ,則 kBM · kBN 為定值,且有 kBM · kBN = ma m
e2 1 .
a+m
x2 y2
結論 124：A,B為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2
為雙曲線上任一點 (非實軸頂點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 kEM · kFN 為
m
2
定值,且有 kEM ·
b
kFN = .
a2 +m2
x2 y2
結論 125：A,B為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的頂點, E( m, 0), F (m, 0), (m > a), P
a2 b2
a2
為雙曲線上任一點 (非長軸頂點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于MN ,則 kEN · kFM 為
m
b2
定值,且有 kEN · kFM = .
a2 +m2
x2 y2
結論 126：AB 為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的任一直徑, P 為雙曲線上任一點 (不
a2 b2
b2
與 A,B 點重合 ) ,則 kPA · kPB 為定值,且有 kPA · k = = e2PB 1 .
a2
x2 y2
結論 127：AB 為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的任一弦 (不過原點且不與對稱軸平
a2 b2
b2
行 ),M 為弦 AB 的中點,若 kOM 與 kAB 均存在,則 kAB · kOM 為定值,且有 kAB · kOM = .
a2
x2 y2
結論 128：AB 為雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)的任一弦 (不與對稱軸平行 ) ,若平行
a2 b2
b2
于 AB 的弦的中點的軌跡為直線 PQ ,則有 kAB · kPQ = = e2 1 .
a2
x2 2
結論 129：過雙曲線 y = 1(a > 0, b > 0)上任意一點 P (不是其頂點)作雙曲線的切
a2 b2
b2
線 PA ,則有 kPA · k 2OP = = e 1 .
a2
x2 y2
結論 130：雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)及定點 F (m, 0), (m > a或 m < a) ,過 F
a2 b2
a2 a2
的弦的 山端點為 A,B ,過 A,B 分別作直線 x = 的垂線,垂足分別為 D,C ,直線 x =
m m
與 x軸相交于 E ,則直線 AC 與 BD恒過 EF 的中點,且有 kAE + kBE = 0 .
x2 y2
結論 131：雙曲線 = 1(a > 0, b > 0) 及定點 F (m, 0), (m = ±c) , 過 F 任作
a2 b2
a2
一條弦 AB,E 為雙曲線上任一點, 連接 AE,BE , 且分別與準線 x = 相交于 P,Q , 則有
m
kFP · kFQ = 1 .
x2 y2
結論 132：雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)及定點 F (m, 0), (m > a或 m < a) ,過 F
a2 b2
a2
任作一條弦 AB,E 為雙曲線上任一點,連接 AE,BE ,且分別與直線 x = 相交于 P,Q ,則
m
b2
有 kFP · kFQ = .
a2 m2
結論 133：拋物線 y2 = 2px(p > 0)及定點 F (m, 0), (m > 0) ,過 F 的弦的端點為 A,B 過
10
A,B 分別作直線 x = m的垂線,垂足分別為 D,C ,直線 x = m與 x軸相交于 E ,則直線
AC 與 BD恒過 EF 的中點,且有 kAE + kBE = 0 . ( p)
結論 134：拋物線 y2 = 2px(p > 0)及定點 F (m, 0), m = ,過 F 任作一條弦 AB,E 為
2
拋物線上任一點,連接 AEBE ,分別與準線 x = m相交 P,Q ,則 kFP · kFQ = 1 .
結論 135：拋物線 y2 = 2px(p > 0)及定點 F (m, 0), (m > 0) ,過 F 任作一條弦 AB,E 為
p
拋物線上任一點,連接 AEBE 分別與直線 x = m(相交)P,Q ,則 kFP · kFQ = .2mp
結論 136：過拋物線 y2 = 2px(p > 0)的焦點 F , 0 的弦 (焦點弦)與拋物線相交于A,B
2
,過 B 作直線 BC 與 x軸平行,且交準線于 C ,則直線 AC 必過原點 (即其準線與 x軸交點 E
與焦點 F 的線段的中點).
x2 y2
結論 137：AB 為橢圓 + = 1(a > b > 0)的焦點 F 的弦,其相應的準線與 x軸交點
a2 b2
為 E ,過 A,B 作 x軸的平行線與其相應的準線分別相交于M,N ,則直線 AN,BM 均過線段
EF 的中點.
x2 2
結論 138：AB 為雙曲線 y = 1(a > 0, b > 0)的焦點 F 的弦,其相應的準線與 x軸
a2 b2
交點為 E ,過 A,B 作 x軸的平行線與其相應的準線分別相交于M,N ,則直線 AN,BM 均過
線段 EF 的中點.
結論 139：過圓錐物線 (可以是非標準狀態下)焦點弦的一個 山端點向其相應的準線作
垂線,垂足與另一個弦的端點的連線必經過焦點到相應的準線的垂線段的中點.
x2 y2
結論 140：AB 為垂直于橢圓 + = 1(a > 0, b > 0, a = b)長軸上的動弦,其準線與 x
a2 b2
軸相交于 Q ,則直線 AF 與 BQ (或直線 BF 與 AQ )的交點M 必在該橢圓上.
x2 y
2
結論 141：AB 為垂直于雙曲線 = λ(λ = 0)實軸的動弦,其準線與 x軸相交于 Q
a2 b2
,則直線 AF 與 BQ (或直線 BF 與 AQ )的交點(M 必在)該雙曲線上.
結論 142：AB為垂直于拋物線 y2 = tx或 x2 = ty (t = 0)對稱軸的動弦,其準線與 x軸
相交于 Q ,則直線 AF 與 BQ (或直線 BF 與 AQ )的交點M 必在該拋物線上.
結論 143：AB為垂直于圓錐曲線的長軸 (橢圓)(或實軸 (雙曲線)或對稱軸 (拋物線))的動
弦,其準線與 x軸相交于 Q ,則直線 AF 與 BQ (或直線 BF 與 AQ )的交點M 必在該圓錐曲
線上.
結論 144：圓錐曲線的焦點弦 AM (不為通徑, 若雙曲線則為單支弦), 則在 x軸上有且只
有一點 Q使 AQF = MQF .
結論 145：過 F 任作圓錐曲線的一條弦 AB (若是雙曲線則為單支弦),分別過 A,B作準線
l的垂線 (Q 是其相應準線與 x軸的交點),垂足為 A1B1 ,則直線 AB1與直線 A1B 都經過 QF
的中點 K ,即 A、KB1及 BKA1三點共線.
結論 146：若 AMBM 是圓錐曲線過點 F 且關于長軸 (橢圓)對稱的兩條動弦 (或實軸 (
雙曲線)或對稱軸 (拋物線)),則四線 AM1BN1NB1MA1共點于 K .
x2 y2
結論 147：A,B分別為橢圓 + = 1(a > b > 0)的右頂點和左頂點,P 為橢圓任一點 (非
a2 b2
a2
長軸頂點),若直線 AP,BP 分別交直線 x = 于M,N ,則以線段MN 為直徑的圓必過兩個
m
11
( √ ) ) ( √ ) )
a2 + b a2 m2 a2 b a2 m2
定點,且橢圓外定點為 Q , 0 及橢圓內定點為 R , 0 .
m m
x2 2
結論 148：A,B 分別為雙曲線 y = 1(a > 0, b > 0) 的右頂點和左頂點, P 為雙曲
a2 b2
a2
線上任一點 (非實軸頂點), 若直線 AP,BP 分別交直(線 x = (m > a)) 于)M,N , 則以線段m√
a2 + b a2 m2
MN 為(直徑的圓必過兩個) 定)點,且雙曲線內定點為Q , 0 及雙曲線外定點m√
a2 b a2 m2
為 R , 0 .
m
x2 y2
結論 149：過直線 x = m(m = 0)上但在橢圓 (+ =)1(a > b > 0)外一點M 向橢圓引a2 b2
a2 b2m2
兩條切線,切點分別為 A,B ,則直線 AB必過定點 N , 0 ,且有 kAB · kMN =
m a2 (a2 m2)
.
x2 y2
結論 150：過直線 x = m(m = 0) 上但在雙曲線 = 1 外 (即雙曲(線中心)所在區a2 b2
a2
域) 一點 M 向雙曲線引兩條切線, 切點分別為 A,B , 則直線 AB 必過定點 N , 0 , 且有
m
2 2
kAB ·
b m
kMN = .
a2 (m2 a2)
結論 151：過直線 x = m 上但在拋物線 y2 = 2px(p > 0) 外 (即拋物線準線所在區
域) 一點 M 向拋物線引兩條切線, 切點分別為 A,B , 則直線 AB 必過定點 N( m, 0) , 且有
· pkAB kMN = .
2m
結論 152：設點M 是圓錐曲線的準線上一點 (不在雙曲線的漸近線上),過點M 向圓錐曲
線引兩條切線,切點分別為 A,B ,則直線 AB 必過準線對應的焦點 F ,且 FM⊥AB .
x2 y2
結論 153：過直線 mx + ny = 1上但在橢圓 + = 1(a > b > 0)外一點M 向橢圓引
a2( b2 )
兩條切線,切點分別為 A,B 則直線 AB 必過定點 N ma2, nb2 .
x2 y2
結論 154：過直線mx+ny = 1上但在雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)外 (即雙(曲線中心a2 b2 )
所在區域)一點M 向雙曲線引兩條切線,切點分別為 A,B ,則直線 AB必過定點N ma2, nb2
.
結論 155：過直線 mx + ny = 1上但在拋物線 y2 = 2px(p > 0)外 (即拋(物線準線所)在區
1 pn
域)一點M 向拋物線引兩條切線,切點分別為 A,B ,則直線 AB 必過定點 N , .
m m
x2 y2
結論 156：A,B ,是橢圓 + = 1(a > b > 0)的左右頂點,點 P 是直線 x = t(|t| = a, t =
a2 b2
0)上的一個動點 ( P 不(在橢圓)上 ) ,直線 PA及 PB 分別與橢圓相交于M,N ,則直線MN 必
a2
與 x軸相交于定點 Q , 0 .
t
x2 y2
結論 157：A,B 是在雙曲線 = 1(a > 0, b > 0) 的頂點, 點 P 是直線 x = t(|t| =
a2 b2
a, t = 0)上的一個動點 ( P 不在(雙曲線)上),直線 PA及 PB 分別與雙曲線相交于M,N ,則直
a2
線MN 必與 x軸相交于定點 Q , 0 .
t
12
結論 158：A,B 是拋物線 y2 = 2px(p > 0)上異于頂點 O的兩個動點,若直線 AB 過定點
N(2p, 0) ,則 OA⊥OB ,且 A,B 的橫坐標之積及縱坐標之積均為定值.
結論 159：A,B 是拋物線 y2 = 2px(p > 0)上異于頂點 O的兩個動點,若 OA⊥OB ,則直
線 AB 必過定點 N(2p, 0) ,且 A,B 的橫坐標之積及縱坐標之積均為定值.
結論 160：A,B 是拋物線 y2 = 2px(p > 0)上異于頂點 O的兩個動點,若 OA⊥OB ,過 O
作 OM⊥AB ,則動點M 的軌跡方程為 x2 + y2 2px = 0(x = 0) .
結論 161：A,B 是拋物線 y2 = 2px(p > 0) 上異于頂點 O 的兩個動點, 若 OA⊥OB , 則
(S AOB)min = 4p
2 .
結論 162：過拋物線 y2 = 2px(p > 0)上任一點M (x0, y0)作兩條弦MA,MB ,則MA⊥MB
的充要條件是直線 AB 過定點 N (x0 + 2p, y0) .
結論 163：過拋物線 y2 = 2px(p > 0) 上任一點( M (x0, y0) 作)兩條弦 MA,MB , 則
kMAkMB = λ(λ =
2p
0)的充要條件是直線 AB 過定點 N x0 , y0 .
λ
x2 y2
結論 164：過橢圓 + = 1(a > b >( 0) 上任一點 M (x0,)y0) 作兩條弦 MA,MB , 則a2 b2
a2 b2 b2 a2
MA⊥MB 的充要條件是直線 AB 過定點 N x0, y0 .
a2 + b2 a2 + b2
特別地, (1() 當 M 為左、右)頂點時, 即 x0 = ±a, y0 = 0 時, MA⊥MB 的充要條件是直線
±a (a2 b2)
AB 過定點 N , 0 .
( a2 + b2(2)當M 為上、下)頂點時,即 x0 = 0, y0 = ±b時, MA⊥MB 的充要條件是直線 AB 過定
±b (b2 a2)
點 N 0, .
b2 + a2
x2 y2
結論 165：過雙曲線 = 1(a > 0, b(> 0)上任一點M (x0,)y0)作兩條弦MA,MB ,a2 b2
⊥ a
2 + b2 b2 + a2
則MA MB 的充要條件是直線 AB 過定點 N x , y .
( ) a2
0
b2 b2 2 0a
特別地,當 M 為左、右頂點時,即 x0 = ±a, y0 = 0時, MA⊥MB 的充要條件是直線 AB
±a (a2 + b2)
過定點 N , 0 .
a2 b2
結論 166：過二次曲線：Ax2+By2+Cx+Dy = E(A,B,C,D,E為常(數,A+B = 0 )上任一 )
⊥ 2Ax0 + C 2By0 +D點M (x0, y0)作兩條弦MA,MB ,若MA MB ,則直線AB恒過定點N x0 , y0
A+B A+B
.
值得注意的是：在結論 166中.
(1)令 A = D = 0, B = 1, C = 2p, x0 = y0 = 0就是結論 159;.
(2)令 A = D = 0, B = 1, C = 2p就是結論 162;.
(3)令 A = a2, B = b2, C = D = 0就得到結論 164;.
(4)令 A = b2, B = a2, C = D = 0就得到結論 165.
x2 y2
結論 167：A,B 是橢圓 + = 1(a > b > 0) 上不同的兩個動點, 若 OA⊥OB , 則
a2 b2
1 1 a2 + b2
+ = .
|OA|2 |OB|2 a2b2
13
( ) x
2 y2
結論 168：A,B 是橢圓 ( + = 1(a)> b > 0√) 上不同的兩個動點, 若 OA⊥OB , 則有a2 b2
1 1 a+ b 1 1 2 (a2 + b2)
+ = , + = .
|OA| |OB| min ab |OA| |OB| max ab
x2 y2
結論 169：A,B 是雙曲線 = 1(b > a > 0)上不同的兩個動點 (在同一支上),若若
a2 b2
1 1 b2 a2
OA⊥OB ,則有 + = .
|OA|2 |OB|2 a2b2
結論 170：在拋物線 y2 = 2px(p > 0)的對稱軸上存在一個定點M(p, 0) ,使得過該點的任
1 1 1
意弦 AB 恒有 + = .
|MA|2 |MB|2 p2 ( √ )
x2 y2 a2 b2
結論 171：在橢圓 + = 1(a > b > 0)的長軸上存在定點M ±a , 0 ,使得
a2 b2 a2 + b2
1 1 a2 + b2
過該點的任意弦 AB 恒有 + = .
|MA|2 |MB|2 b4 ( √ )
x2 y2 a2 ± b
2
結論 172：在雙曲線 = 1的實軸上存在定點 M a , 0 , 使得過該點
a2 b2 a2 + b2
1 1 a2 b2
的任意弦 AB 恒有 + = .
|MA|2 |MB|2 b4
x2 y2
結論 173：過橢圓 + = 1(a > b > 0)的焦點 F 作一條直線與橢圓相交于M,N ,與
a2 b2
→ → → → 2a2
y軸相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,則 λ+ 為定值,且. λ+ = .
b2
x2 y2
結論 174：過雙曲線 = 1(a > 0, b > 0) 的焦點 F 作一條直線與雙曲線相交于
a2 b2
→ → → → 2a2
M,N ,與 y軸相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,則 λ+ 為定值,且 λ+ = .
b2
結論 175：過拋物線 y2 = 2px(p > 0)的焦點 F 作一條直線與橢圓相交于 M,N ,與 y 軸
→ → → →
相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,則 λ+ 為定值,且 λ+ = 1 .
x2 y2
結論 176：過橢圓 + = 1(a > b > 0)的焦點 F 作一條直線與橢圓相交于M,N ,與
a
2 2
→ b → → →
相應準線相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,則 λ+ 為定值,且 λ+ = 0 .
x2 y2
結論 177：過雙曲線 = 1(a > 0, b > 0) 的焦點 F 作一條直線與雙曲線相交于
a2 b2 → → → →
M,N ,與相應準線相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,則 λ+ 為定值,且 λ+ = 0 .
結論 178：過拋物線 y2 = 2px(p > 0)的焦點 F 作一條直線與拋物線相交于 M,N ,與準
→ → → →
線相交于 P ,若 PM = λMF, PN = NF ,則 λ+ 為定值,且 λ+ = 0 .
x2 y2
結論 179：MN 是垂直橢圓 + = 1(a > b > 0)長軸的動弦, P 是橢圓上異于頂點的
a2 b2 → → → →
動點, 直線 MP,NP 分別交 x 軸于 E,F , 若 PE = λEM,PF = FN , 則 λ + 為定值, 且
λ+ = 0 .
x2 y2
結論 180：MN 是垂直雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)實軸的動弦, P 是雙曲線上異于
a2 b2 → → → →
頂點的動點,直線 MP,NP 分別交 x軸于 E,F ,若 PE = λEM,PF = FN ,則 λ + 為定
值,且 λ+ = 0 .
結論 181：MN 是垂直拋物線 y2 = 2px(p > 0)對稱軸的動弦, P 是拋物線上異于頂點的
14
→ → → →
動點, 直線 MP,NP 分別交 x 軸于 E,F , 若 PE = λEM,PF = FN , 則 λ + 為定值, 且
λ+ = 0 .
x2 y2
結論 182：MN 是垂直橢圓 + = 1(a > b > 0)長軸的動弦, P 是橢圓上異于頂點的
a2 b2 → → → →
動點,直.線MP,NP 分別交 x軸于 E,F,A為長軸頂點,若 OE = λEA,OF = FA ,則 λ+
為定值,且 λ+ = 1 .
x2 y2
結論 183：MN 是垂直雙曲線 = 1(a > 0, b > 0)實軸的動弦, P 是橢雙曲線上異
a2 b2 → → → →
于頂點的動點,直線MP,NP 分別交 x軸于 E,F,A為長軸頂點,若 OE = λEA,OF = FA ,
則 λ+ 為定值,且 λ+ = 1 .
結論 184：MN 是垂直拋物線 y2 = 2px(p > 0)對稱軸的動弦, P 是拋物線上異于頂點的
→ → → →
動點,直線MP,NP 分別交 x軸于 E,F,A為長軸頂點,若 OE = λEA,OF = FA ,則 λ +
1 1
為定值,且 + = 2 .
λ
x2 y2
結論 185(補充)：點 P 是橢圓 + = 1(a > b > 0) 上任意一點, 弦 PAPB 分別過定
a2 b2 → → → →
點 M( m, 0) 、N(m, 0), (0 < m < a) , 且 PM = λMA,PN = NB , 則 λ + 為定值, 且
2 (a2 +m2)
λ+ = .
a2 m2
x2 y2
結論 186(補充)：點 P 是雙曲線 = 1(a > 0, b > 0) 上任意一點, 弦 PAPB 分別
a2 b2 → → → →
過定點 M( m, 0), N(m, 0), (0 < m < a) ,且 PM = λMA,PN = NB ,則 λ + 為定值,且
2 (a2 +m2)
λ+ = .
a2 m2
結論 187：(補充)：MP 是圓 Cx2 + y2 = r2(r > 0)上任意兩點,點M 關于 x軸對稱點為
N ,若直線 PMPN 分別交 x軸分別相交于點 A(m, 0)、B(n, 0) ,則mn為定值,且mn = r2 .
x2 y2
結論 188：(補充)：MP 是橢圓 C + = 1(a > b > 0) 上任意兩點, 點 M 關于 x 軸
a2 b2
對稱點為 N , 若直線 PM,PN 分別交 x 軸分別相交于點 A(m, 0)B(n, 0) , 則 mn 為定值, 且
mn = a2 .
x2 y2
結論 189：(補充)：MP 是雙曲線 C = 1(a > 0, b > 0)上任意兩點,點M 關于 x
a2 b2
軸對稱點為N ,若直線 PM,PN 分別交 x軸分別相交于點 A(m, 0), B(n, 0) ,則mn為定值,且
mn = a2 .
x2 y2
結論 190(補充)：A,B 是橢圓 C + = 1(a > b > 0)上關于 x軸對稱的任意兩個不同
a2 b2
的點,點 P (m, 0)是( x軸上)的定點,直線 PB 交橢圓 C 于另一點 E ,則直線 AE 恒過 x軸上的
a2
定點,且定點為 Q , 0 .
m
x2 y2
結論 191(補充)：A,B 是雙曲線 C = 1(a > 0, b > 0)上關于 x軸對稱的任意兩個
a2 b2
不同的點,點 P (m, 0)是 x(軸上)的定點,直線 PB 交雙曲線 C 于另一點 E ,則直線 AE 恒過 x
a2
軸上的定點,且定點為 Q , 0 .
m
結論 192 (補充)：A,B 是拋物線 Cy2 = 2px(p > 0)上關于 x軸對稱的任意兩個不同的點,
點 P (m, 0)是 x軸上的定點,直線 PB 交拋物線 C 于另一點 E ,則直線 AE 恒過 x軸上的定
點,且定點為 Q( m, 0) .
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