資源簡介

向量
一、選擇題
1．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知向量a，b滿足，，，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：，，，．
，
因此，．
故選：D．
2．(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)已知，，，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，∴,∴，解得，
即，則．
3．(2019年高考數學課標全國Ⅰ卷理科)已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：，所以，
所以．
4．(2019年高考數學課標全國Ⅰ卷理科)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比為
(，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美
人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金
分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是 (　　)
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
【答案】B
解析：如圖，，
，則，，，
所以身高，
又，所以，身高，
故，故選B．
5．(2018年高考數學課標Ⅱ卷（理）)已知向量，滿足，，則 (　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
解析：，故選B．
6．(2018年高考數學課標卷Ⅰ（理）)在中,為邊上的中線，為的中點，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：在中，為邊上的中線，為的中點，，故選A．
7．(2017年高考數學課標Ⅲ卷理科)在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如下圖
則，，，，連結，過點作于點
在中，有
即
所以圓的方程為
可設
由可得
所以，所以
其中，
所以的最大值為，故選A．
法二：通過點作于點，由，，可求得
又由，可求得
由等和線定理可知，當點的切線（即）與平行時，取得最大值
又點到的距離與點到直線的距離相等，均為
而此時點到直線的距離為
所以，所以的最大值為，故選A．
另一種表達：如圖，由“等和線”相關知識知，當點在如圖所示位置時，最大，且此時若，則有，由三角形全等可得，知，所以選A．
法三：如圖，建立平面直角坐標系
設
根據等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是
，若滿足
即 ， ，所以，設 ，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故選A．
法四：由題意，畫出右圖．
設與切于點，連接．以為原點，為軸正半軸，為軸正半軸建立直角坐標系
則點坐標為．∵，．∴．切于點．
∴⊥．∴是中斜邊上的高．
即的半徑為．∵在上．∴點的軌跡方程為．
設點坐標，可以設出點坐標滿足的參數方程如下：
而，，．
∵
∴，．
兩式相加得：
(其中，)
當且僅當，時，取得最大值3．
8．(2017年高考數學課標Ⅱ卷理科)已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【命題意圖】本題主要考查等邊三角形的性質及平面向量的線性運算﹑數量積，意在考查考生
轉化與化歸思想和運算求解能力
【解析】解法一：建系法
連接，，，．，∴∴∴，∴ ∴最小值為
解法二：均值法
∵，∴
由上圖可知：；兩邊平方可得
∵ ，∴
∴ ，∴最小值為
解法三：配湊法
∵
∴
∴最小值為
9．(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)已知向量,,則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意,得,所以,故選A.
10．(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)已知向量，且，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得：，所以，又
所以，所以，故選D．
11．(2015高考數學新課標1理科)設D為ABC所在平面內一點，則 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
解析：由題知=，故選A．
考點：平面向量的線性運算
12．(2014高考數學課標2理科)設向量a,b滿足|a+b|=，|a-b|=，則ab= (　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
解析：因為
兩式相加得：所以，故選A．
二、填空題
13．(2021年高考全國甲卷理科)已知向量．若，則________．
【答案】．
解析：,
，解得,
故答案為：．
14．(2021年高考全國乙卷理科)已知向量，若，則__________．
【答案】
解析：因為，所以由可得，
，解得．
故答案為：．
15．(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)設為單位向量，且，則______________．
【答案】
【解析】因為為單位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案為：
16．(2020年高考數學課標Ⅱ卷理科)已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________．
【答案】
解析：由題意可得：，
由向量垂直的充分必要條件可得：，
即：，解得：．
故答案為：．
17．(2019年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知，為單位向量，且，若，則___________．
【答案】．
【解析】因為，，所以，
，所以，所以．
18．(2018年高考數學課標Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，則．
【答案】
解析：依題意可得，又，
所以，解得．
19．(2017年高考數學新課標Ⅰ卷理科)已知向量,的夾角為,,,則__________．
【答案】
【解析】法一:
所以．
法二(秒殺解法):利用如下圖形,可以判斷出的模長是以為邊長的菱形對角線的長度,則為．
法三:坐標法
依題意,可設,,所以
所以．
20．(2016高考數學課標Ⅰ卷理科)設向量，，且，則 ．
【答案】
【解析】由已知得：
∴，解得．
21．(2015高考數學新課標2理科)設向量，不平行，向量與平行，則實數_________．
【答案】
解析：因為向量與平行，所以，則所以．
22．(2014高考數學課標1理科)已知A,B,C是圓O上的三點,若,則與的夾角為______．
【答案】
解析:∵,∴O為線段BC中點,故BC為的直徑,
∴,∴與的夾角為．
23．(2013高考數學新課標2理科)已知正方形的邊長為2，為的中點，則＝________．
【答案】2
解析：由題意知：
24．(2013高考數學新課標1理科)已知兩個單位向量的夾角為60°，，若，則t=_____．
【答案】　2
解析：=====0，解得=．
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- 1 -解三角形
1．(2020年高考數學課標Ⅱ卷理科)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求周長的最大值．
【答案】（1）；（2）．
解析：（1）由正弦定理可得：，
，
，
（2）由余弦定理得：，
即．
（當且僅當時取等號），
，
解得：（當且僅當時取等號），
周長，周長的最大值為．
2．(2019年高考數學課標Ⅲ卷理科)的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1);(2)．
【官方解析】
(1)由題設及正弦定理得，
因為，所以．
由，可得，故．
因為，故，因此．
(2)由題設及(1)知的面積．
由正弦定理得．
由于為銳角三角形，故，．由(1)知，
所以，故，從而．
因此面積的取值范圍是．
3．(2019年高考數學課標全國Ⅰ卷理科)的內角的對邊分別為．設．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】解析：（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．因為，所以．
（2）由（1）知，由題設及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
4．(2018年高考數學課標卷Ⅰ（理）)(12分)在平面四邊形中，，， ,．
(1)求; (2)若,求．
【答案】解析：（1）在中，由正弦定理得．
由題設知，，所以．
由題設知，，所以．
（2）由題設及（1）知，．
在中，由余弦定理得
．
所以．
5．(2017年高考數學新課標Ⅰ卷理科)的內角的對邊分別為,已知的面積為．
(1)求; (2)若,,求的周長．
【答案】(1);(2)的周長為．
【分析】(1)由三角形面積公式建立等式,再利用正弦定理將邊化成角,從而得出的值;(2)由和,計算出,從而求出角,根據題設和余弦定理可以求出和的值,從而可求出的周長．
【解析】(1)由題設得,即．
由正弦定理得．
故．
(2)由題設及(1)得,即．
所以,故．
由題設得,即．
由余弦定理得,即,得．
故的周長為．
6．(2017年高考數學課標Ⅲ卷理科)(12分)的內角的對邊分別為．已知，，．
(1)求；
(2)設為邊上一點，且，求的面積．
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)由可得,因為,故．
由余弦定理可知:即
整理可得,解得(舍去)或．
(2)法一:設,則在中,由勾股定理可得
在中,有
由余弦定理可得
即即
所以,解得
所以．
法二:依題意易知
又因為,
所以
所以．
法三:∵,
由余弦定理．
∵,即為直角三角形,
則,得．
由勾股定理．
又,則,
．
7．(2017年高考數學課標Ⅱ卷理科)(12分)的內角的對邊分別為 ,已知．
(1)求
(2)若 , 面積為2,求
【答案】(1)；(2)．
（Ⅰ）
【基本解法1】
由題設及，故
上式兩邊平方，整理得
解得
【基本解法2】
由題設及，所以，又，所以，
（Ⅱ）由，故
又
由余弦定理及得
所以b=2
8．(2016高考數學課標Ⅰ卷理科)(本題滿分為12分)的內角的對邊分別為，已知
(I)求；
(II)若，的面積為，求的周長．
【答案】 (I)；(II)
【官方解答】(I)由已知及正弦定理得：
即 故 ∴
可得 ∴
(II) 由已知得，又所以
由已知及余定理得：，，從而
∴周長為．
【民間解答】(I)
由正弦定理得：
∵， ∴
∴， ∵ ∴
(II) 由余弦定理得：，，
∴ ∴ ，
∴周長為
9．(2015高考數學新課標2理科)(本題滿分12分)中，是上的點，平分，面積是面積的2倍．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，，求和的長．
【答案】
解析：（Ⅰ），，因為，，所以．由正弦定理可得．
（Ⅱ）因為，所以．在和中，由余弦定理得
，．
．由（Ⅰ）知，所以．
考點：1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理．
10．(2013高考數學新課標2理科)中內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】（1）；（2）
解析：（1）由已知及正弦定理得
又
由，可得
又
（2）的面積．
由已知及余弦定理得
又，故，
當且僅當時，等號成立．
因此的面積的最大值為
11．(2013高考數學新課標1理科)如圖，在中，，，P為內一點，
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】（1）　　（2）
解析：（Ⅰ）由已知得，，∴，在中，由余弦定理得==，∴PA=；
（Ⅱ）設，由已知得,，在中，由正弦定理得，，化簡得，，
∴=，∴=．
12．(2012高考數學新課標理科)已知分別為三個內角的對邊，
(1)求 (2)若，的面積為，求．
【答案】(1) (2)=2．
解析：由及正弦定理得
∵，∴
∴，
又，
∴．
(Ⅱ)的面積==,故=4，
而 故=8，解得=2．
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- 1 -三角恒等變換與三角函數
一、選擇題
1．(2021年高考全國甲卷理科)若，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：
，
，，，解得，
，．
故選：A．
【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出．
2．(2021年高考全國乙卷理科)魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是關測量的數學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高 (　　)
(　　)
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
解析：如圖所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故選：A．
【點睛】本題解題關鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標進行轉化即可解出．
3．(2021年高考全國乙卷理科)把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（）
A． B． C． D．
4．(2021年高考全國甲卷理科)2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848．86(單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A．B．C三點，且A．B．C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A．C兩點到水平面的高度差約為() (　　)
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
解析：
過作，過作，
故，
由題，易知為等腰直角三角形，所以．
所以．
因為，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以，
所以．
故選：B．
【點睛】本題關鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉化為．
5．(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)設函數在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為 (　　)
(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圖可得：函數圖象過點，
將它代入函數可得：
又是函數圖象與軸負半軸的第一個交點，
所以，解得：
所以函數的最小正周期為
故選：C
【點睛】本題主要考查了三角函數的性質及轉化能力，還考查了三角函數周期公式，屬于中檔題．
6．(2020年高考數學課標Ⅱ卷理科)若α為第四象限角，則 (　　)
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
解析：方法一：由α為第四象限角，可得，
所以
此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以
故選：D．
方法二：當時，，選項B錯誤；
當時，，選項A錯誤；
由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；
故選：D．
7．(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)已知，且，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又．
故選：A．
8．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ= (　　)
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
解析：，，
令，則，整理得，解得，即．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題．
9．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB= (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：在中，，，
根據余弦定理：
可得，即
由
故．
故選：A．
10．(2019年高考數學課標Ⅲ卷理科)設函數(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論：
①在有且僅有3個極大值點②在有且僅有2個極小值點
③在單調遞增④的取值范圍是
其中所有正確結論的編號是 (　　)
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】在有且僅有3個極大值點，分別對應，故①正確．
在有2個或3個極小值點，分別對應和，故②不正確．
因為當時，，由在有且僅有5個零點．則，解得，故④正確．
由，得，，所以在單調遞增，故③正確．
綜上所述，本題選D．
11．(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)已知，，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴.,∴，，
∴，又，∴，，又，∴，故選B．
12．(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)下列函數中，以為周期且在區間單調遞增的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為圖象如下圖，知其不是周期函數，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區間單調遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區間單調遞減，排除B，故選A.
【點評】本題主要考查三角函數圖象與性質，滲透直觀想象、邏輯推理等數學素養．畫出各函數圖象，即可做出選擇．利用二級結論：①函數的周期是函數周期的一半；②不是周期函數；③函數，再利用降冪公式及三角函數公式法求三角函數的周期，例如，，所以周期.
13．(2019年高考數學課標全國Ⅰ卷理科)關于函數有下述四個結論：
①是偶函數②在區間單調遞增
③在有4個零點④的最大值為2
其中所有正確結論的編號是 (　　)
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
解析：作出函數的圖象如圖所示，
由圖可知，是偶函數，①正確，在區間單調遞減，②錯誤，
在有3個零點，③錯誤；的最大值為2，④正確，故選C．
14．(2018年高考數學課標Ⅲ卷（理）)的內角的對邊分別為，若的面積為，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由余弦定理可得，
所以由
所以，而，所以，故選C．
15．(2018年高考數學課標Ⅲ卷（理）)若，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：，故選B．
16．(2018年高考數學課標Ⅱ卷（理）)若在是減函數，則的最大值是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：由已知，得，即，解得，即，所以，得，
所以的最大值是，故選A．
17．(2018年高考數學課標Ⅱ卷（理）)在中，，，，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：因為，
所以，所以，故選A．
18．(2017年高考數學新課標Ⅰ卷理科)已知曲線,,則下面結論正確的是 (　　)
A．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線
B．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線
C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線
D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線
【答案】D
【解析】因為函數名不同,所以先將利用誘導公式轉化成與相同的函數名,則,則由上各點的橫坐標縮短到原來的倍變為,再將曲線向左平移個單位得到,故選D．
19．(2017年高考數學課標Ⅲ卷理科)設函數，則下列結論錯誤的是 (　　)
A．的一個周期為 B．的圖像關于直線對稱
C．的一個零點為 D．在單調遞減
【答案】D
【解析】函數的周期為，，故A正確；又函數的對稱軸為，即，，當時，得，故B正確；由，所以函數的零點為，當時，，故C正確；由，解得，所以函數的單調遞減區間為，而，故D錯誤．
【考點】函數的性質
20．(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)在△ABC中,,邊上的高等于,則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設邊上的高線為,則,所以,.由余弦定理,知,故選C.
21．(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)若,則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由,得,或,
所以,故選A.
22．(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)若，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，故選D．
23．(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)若將函數的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
24．(2016高考數學課標Ⅰ卷理科)已知函數為的零點，為圖像的對稱軸，且在單調，則的最大值為 (　　)
(A)11(B)9(C)7(D)5
【答案】B 【解析】由題意知：，則，其中
在單調，
接下來用排除法：若，此時
在遞增，在遞減，不滿足在單調
若，此時，滿足在單調遞減
故選B．
25．(2015高考數學新課標1理科)函數=的部分圖像如圖所示，則的單調遞減區間為 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
解析：由五點作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調減區間為（，），，故選D．
考點：三角函數圖像與性質
26．(2015高考數學新課標1理科) (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：原式= ==，故選D．
考點：本題主要考查誘導公式與兩角和與差的正余弦公式．
27．(2014高考數學課標2理科)設函數．若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
28．(2014高考數學課標2理科)鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=，則AC= (　　)
A．5 B． C．2 D．1
【答案】B
解析：有面積公式得：，解得，因為鈍角三角形，所以，
由余弦定理得：，所以，選B。
29．(2014高考數學課標1理科)設,,且,則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析:∵,∴
,
∴,即,選B
30．(2012高考數學新課標理科)已知，函數在上單調遞減。則的取值范圍是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：∵y=sinx在上單調遞減
∴
∴
而函數在上單調遞減
∴
即得且，根據答案特征只能是k=0，
二、填空題
31．(2021年高考全國甲卷理科)已知函數的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數x為________．
【答案】2
解析：由圖可知，即，所以；
由五點法可得，即；
所以．
因為，；
所以由可得或；
因為，所以，
方法一：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整數為2．
方法二：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數為2．
故答案為：2．
32．(2021年高考全國乙卷理科)記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．
【答案】
解析：由題意，，
所以，
所以，解得（負值舍去）．
故答案為：．
33．(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________．
【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得．
故答案為：．
34．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)關于函數f(x)=有如下四個命題：
①f(x)的圖像關于y軸對稱．
②f(x)的圖像關于原點對稱．
③f(x)的圖像關于直線x=對稱．
④f(x)的最小值為2．
其中所有真命題的序號是__________．
【答案】②③
解析：對于命題①，，，則，
所以，函數的圖象不關于軸對稱，命題①錯誤；
對于命題②，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，
，
所以，函數的圖象關于原點對稱，命題②正確；
對于命題③，，
，則，
所以，函數的圖象關于直線對稱，命題③正確；
對于命題④，當時，，則，
命題④錯誤．
故答案為：②③．
35．(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)的內角，，的對邊分別為，，.若，，，則的面積為　　．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），所以，
36．(2018年高考數學課標Ⅲ卷（理）)函數在的零點個數為．
【答案】
解析：由，，解得，
由即
由，可得，故函數在的零點個數為．
37．(2018年高考數學課標Ⅱ卷（理）)已知，，則__________．
【答案】
解析：因為，
所以，，
相加得，所以．
38．(2017年高考數學課標Ⅱ卷理科)函數()的最大值是 ．
【解析】解法一：換元法
∵ ，
∴
設，，∴
函數對稱軸為，∴
39．(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)函數的圖像可由函數的圖像至少向右平移_____________個單位長度得到.
【答案】
【解析】因為
，，所以函數的圖像可由函數的圖像至少向右平移個單位長度得到.
40．(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)的內角的對邊分別為，若，，，則．
【答案】
【解析】由平方關系可得：
所以
再由正弦定理得：．
41．(2015高考數學新課標1理科)在平面四邊形中，，B，則的取值范圍是 ．
【答案】（，）
解析：如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當A與D重合與E點時，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，當D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）．
42．(2014高考數學課標2理科)函數的最大值為_________．
【答案】1
解析：
所以最大值為1
43．(2014高考數學課標1理科)已知分別為的三個內角的對邊,=2,且,則面積的最大值為__________．
【答案】
解析:由且 ,
即,由及正弦定理得:
∴,故,∴,∴
,∴,
44．(2013高考數學新課標2理科)設為第二象限角，若，則＝________．
【答案】
解析：由得到，解得，所以
45．(2013高考數學新課標1理科)設當時，函數取得最大值，則 =______．
【答案】
解析：∵==
令=，，則==，
當=，即=時，取最大值，此時=，∴===．
PAGE
- 1 -導數大題
一、解答題
1．(2021年高考全國甲卷理科)已知且，函數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．
【答案】（1）上單調遞增；上單調遞減；（2）．
解析：（1）當時，,
令得,當時，,當時，,
∴函數在上單調遞增；上單調遞減；
（2）,設函數,
則,令，得,
在內,單調遞增；
在上,單調遞減；
,
又，當趨近于時，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,
所以的取值范圍是．
【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，根據曲線和直線的交點個數求參數的取值范圍問題，屬較難試題，關鍵是將問題進行等價轉化，分離參數，構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值，圖象，利用數形結合思想求解．
2．(2021年高考全國乙卷理科)設函數，已知是函數的極值點．
(1)求a；
(2)設函數．證明:．
【答案】；證明見詳解
解析：（1）由，，
又是函數的極值點，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
當時，要證，，，即證，化簡得；
同理，當時，要證，，，即證，化簡得；
令，再令，則，，
令，，
當時，，單減，假設能取到，則，故；
當時，，單增，假設能取到，則，故；
綜上所述，在恒成立
【點睛】本題為難題，根據極值點處導數為0可求參數，第二問解法并不唯一，分類討論對函數進行等價轉化的過程，一定要注意轉化前后的等價性問題，構造函數和換元法也常常用于解決復雜函數的最值與恒成立問題．
3．(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)已知函數．
(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；
(2)當x≥0時，f(x)≥x3+1，求a的取值范圍．
【答案】（1）當時，單調遞減，當時，單調遞增．（2）
【解析】(1)當時，，，
由于，故單調遞增，注意到，故：
當時，單調遞減，
當時，單調遞增．
(2)由得，，其中，
①．當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；
②．當時，分離參數a得，，
記，，
令，
則，，
故單調遞增，，
故函數單調遞增，，
由可得：恒成立，
故當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
因此，,
綜上可得，實數a的取值范圍是．
【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系． (2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數． (3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題． (4)考查數形結合思想的應用．
4．(2020年高考數學課標Ⅱ卷理科)已知函數f(x)=sin2xsin2x．
(1)討論f(x)在區間(0，π)的單調性；
(2)證明：；
(3)設n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
【答案】（1）當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增．（2）證明見解析；（3）證明見解析．
解析：(1)由函數的解析式可得：，則：
，
在上的根為：，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增
(2)注意到，
故函數是周期為的函數，
結合(1)的結論，計算可得：，
，，
據此可得：，，
即．
(3)結合(2)的結論有：
．
【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系． (2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數． (3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題． (4)考查數形結合思想的應用．
5．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)設函數，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．
(1)求b．
(2)若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．
【答案】（1）；（2）證明見解析
解析：（1）因為，
由題意，，即
則；
（2）由（1）可得，
，
令，得或；令，得，
所以在上單調遞減，在，上單調遞增，
且，
若所有零點中存在一個絕對值大于1零點，則或，
即或．
當時，，
又，
由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，
即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，
此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；
當時，，
又，
由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，
即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，
此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；
綜上，所有零點的絕對值都不大于1．
【點晴】本題主要考查利用導數研究函數的零點，涉及到導數的幾何意義，反證法，考查學生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題．
6．(2019年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)是否存在，使得在區間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)見詳解；(2)或．
【官方解析】
(1)．
令，得或．
若，則當時，；當時，．故 在單調遞增，在單調遞減；
若時，在單調遞增；
若，則當時，；當時，．故 在單調遞增，在單調遞減．
(2)滿足題設條件的存在．
(ⅰ)當時，由(1)知，在單調遞增，所以在區間的最小值為，最大值為．此時滿足題設條件當且僅當，即．
(ⅱ)當時，由(1)知，在單調遞減，所以在區間的最大值為，最小值為．此時滿足題設條件當且僅當，即．
(ⅲ)當時，由(1)知，在的最小值為，最大值為或．
若，則，與矛盾．
若，則或或，與矛盾．
綜上，當且僅當或，在最小值為，最大值為1．
【點評】這是一道常規的函數導數不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數單調性，最大值最小值這種基本概念的計算．思考量不大，計算量略大．
7．(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)已知函數．
討論的單調性，并證明有且僅有兩個零點；
設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線．
【答案】函數在和上是單調增函數，證明見解析；證明見解析.
【官方解析】
的定義域為.
因為，所以在和上是單調遞增.
因為，，
所以在有唯一零點，即．
又，，故在有唯一零點．
綜上，有且僅有兩個零點．
因為，故點在曲線上．
由題設知，即，
故直線的斜率．
曲線在點處切線的斜率是，曲線在點處切線的斜率也是，所以曲線在點處的切線也是曲線的切線．
【分析】對函數求導，結合定義域，判斷函數的單調性；
先求出曲線在處的切線，然后求出當曲線切線的斜率與斜率相等時，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.
【解析】函數的定義域為，，因為函數的定義域為，所以，因此函數在和上是單調增函數；
當，時，，而，顯然當，函數有零點，而函數在上單調遞增，故當時，函數有唯一的零點；
當時，，
因為，所以函數在必有一零點，而函數在上是單調遞增，故當時，函數有唯一的零點
綜上所述，函數的定義域內有2個零點；
因為是的一個零點，所以
，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.設曲線的切點為，過切點為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為，
當切線的斜率等于直線的斜率時，即，
切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線.
【點評】本題考查了利用導數求已知函數的單調性、考查了曲線的切線方程，考查了數學運算能力.
8．(2019年高考數學課標全國Ⅰ卷理科)已知函數，為的導數．證明：
(1)在區間存在唯一極大值點；
(2)有且僅有2個零點．
【答案】解：（1）設，則，．當時，單調遞減，而，可得在有唯一零點，設為．
則當時，；當時，．
所以在單調遞增，在單調遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點．
（2）的定義域為．
（i）當時，由（1）知，在單調遞增，而，所以當時，，故在單調遞減，又，從而是在的唯一零點．
（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，而，，所以存在，使得，且當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減．
又，，所以當時，．從而在沒有零點．
（iii）當時，，所以在單調遞減．而，，所以在有唯一零點．
（iv）當時，，所以<0，從而在沒有零點．
綜上，有且僅有2個零點．
9．(2018年高考數學課標Ⅲ卷（理）)已知函數．
(1)若，證明：當時，，當時，；
(2)若是的極大值點，求．
【答案】【官方解析】當時，，
設函數，則
當時，；當時，，故當時，
所以在上單調遞增
又，故當時，；當時，．
（2）（i）若，由（1）知，當時，
這與是的極大值點矛盾
（ii）若，設函數
由于當時，，故與符號相同
又，故是的極大值點，當且僅當是的極大值點
如果，則當，且時，，故不是的極大值點
如果，則存在根，故當，且時，，所以不是的極大值點
如果，則
則當時，；當時，
所以是的極大值點，從而是的極大值點
綜上．
【民間解析】（1）法一：當時，
函數的定義域為，此時
記
則
所以函數在上單調遞增，而
所以當時，，此時
當時，，此時
法二：當時，，
則，
①當時，，此時單調遞減
所以時，，故函數在上單調遞增
所以時，
②當時，，此時單調遞增
所以時，，所以函數在上單調遞增
所以當時，
綜上所述若，證明：當時，，當時，．
（2）法一：由
可得
所以
因為是的極大值點
所以，當時，；當時，
又
設，則，
所以在上單調遞增，所以當時，；當時，
所以當時，
設，則
當時，；當時，
所以函數在上單調遞減；在上單調遞增
所以任意時，
所以若時，，此時不存在極值，故
由（1）知，當時，；當時，
顯然，當時，
①當時，則
若，則，使得當時，，此時不滿足題意，故，即
②當時，則
若，則，使得當時，，此時，不滿足題意，故，即
綜上，，所以．
法二：
記，
當，時，
所以在上單調遞增，所以當時，即
所以在上單調遞增，與是的極大值點不符合；
當時，，顯然可知遞減
①，解得，則有，，遞增；
時，，遞減，所以，故遞減，又
則，，，遞增；，，，遞減
此時為的極大值點，符合題意
②當時，有，
所以在有唯一零點，記為，則，，遞增
則，遞增，所以，即，遞增，不符合題意；
③當時，有，
所以在有唯一零點，記為，則，，遞減
則，遞減，所以，即，遞減，不符合題意
綜上可知．
法三：（2）嘗試一：（極大值點的第二充要條件：已知函數在處各階導數都存在且連續，是函數的極大值點的一個充要條件為前階導數等于0，第階導數小于0。）
，
，
，由得
下證：當時，是的極大值點，
，所以在單增，在單減
進而有，從而在單減，
當時，，當時，
從而在單增，在單減，所以是的極大值點。
點評：計算量很大，但不失為一種基本方法，激勵熱愛數學的學生不拘泥于老師所教，就著自己的興趣，不斷學習，學而致知。基于此，還可以從大學的角度給出一種解法。通過在階的帕德逼近可得，且兩個函數在處兩個函數可以無限制逼近，估計這也是考試中心構造這個函數的方法。由此可以迅速得到，我們也可以根據帕德逼近把此題的對數函數改為指數函數和三角函數，構造出相應的題目。嘗試一難點在于的各階導數太復雜，由帕德逼近優化其解法。
法四：引理1：若與在處函數值和導數值都相同，則在處導數為．
證明：，
因為，且，代入化簡即證：
引理2：已知函數在處各階導數都存在且連續，是函數的極大值點的一個充要條件為前階導數等于0，第階導數小于0。
，
令，
則易得，，，
由引理1知，等價于，從而迅速求得。
當時，
嘗試二：若是的極大值點，注意到，
則存在充分接近于的，使得當時，，當時，
得到一個恒成立問題，其基本方法之一有分離參數法。
對任意的，都有，進而有
①當時，，
當時，
②當時，，
當時，
綜上：．
10．(2018年高考數學課標Ⅱ卷（理）)(12分)
已知函數．
(1)若，證明：當時，；
(2)若在只有一個零點，求．
【答案】解析：（1）當時，等價于．
設函數，則．
當時，，所以在單調遞減．而，故當時，，即．
（2）設函數．
在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．
（i）當時，，沒有零點．
（ii）當時，．
當時，；當時，．
所以在單調遞減，在單調遞增．
故是在的最小值．
①若，即，在沒有零點；
②若，即，在只有一個零點；
③若，即，由于，所以在有一個零點．
由（1）知，當時，，所以．
故在有一個零點．因此在有兩個零點．
綜上，在只有一個零點時，．
11．(2018年高考數學課標卷Ⅰ（理）)(12分)已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若存在兩個極值點，證明：．
【答案】解:（1）的定義域為，．
（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調遞減．
（ii）若，令得，或．
當時，；
當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．
（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當．
由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，則．由于
，
所以等價于．
設函數，由（1）知，在單調遞減，又，從而當時，．
所以，即．
12．(2017年高考數學新課標Ⅰ卷理科)已知函數．
(1)討論的單調性;
(2)若有兩個零點,求的取值范圍．
【答案】(1)詳見解析;(2)．
【分析】(1)討論的單調性,首先進行求導,發現式子特點后要及時進行因式分解,再對按、進行討論,寫出函數的單調區間;(2)根據第(1)問,若,至多有一個零點,若,當時,取得最小值,求出最小值,根據,進行討論,可知當有個零點,設正整數滿足,則,由于,因此在有一個零點,所以的取值范圍為．
【解析】(1)的定義域為,
(ⅰ)若,則,所以在單調遞減．
(ⅱ)若,則由得．
當時,;當時,
所以在單調遞減,在單調遞增．
(2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一個零點．
(ⅱ)若,由(1)知,當時,取得最小值,最小值為．
①當時,由于,故只有一個零點;
②當時,由于,即,故沒有零點;
③當時,,即．
又,故在有一個零點．
設正整數滿足,則．
由于,因此在有一個零點．
綜上,的取值范圍為．
【民間解析】:(1)函數的定義域為,且
注意到
當時,,所以恒成立
此時函數在上單調遞減
當,由,由
所以函數在上單調遞減,在上單調遞增
綜上可知
①時,在上單調遞減;
②時,函數在上單調遞減,在上單調遞增
(2)由(1)可知,時,在上單調遞減
此時至多一個零點,不符合題意
當時,函數在上單調遞減,在上單調遞增
此時函數的最小值為
要使有兩個零點,首先必須有即
令,則有,故在上單調遞增,而
所以
另一方面取
而,在單調遞增
所以函數在上有唯一一個零點,在沒有零點
此時當時,
所以,而在上單調遞減
所以函數在上沒有零點,在上有唯一零點
綜上可知當時,函數有兩個零點．
【考點】含參函數的單調性,利用函數零點求參數的取值范圍．
【點評】研究函數零點問題常常與研究對應方程的實根問題相互轉化．已知函數有個零點求參數的取值范圍,第一種方法是分離參數,構造不含參數的函數,研究其單調性、極值、最值,判斷與其交點的個數,從而求出的范圍;第二種方法是直接對含參函數進行研究,研究其單調性、極值、最值,注意點是:若有個零點,且函數先減后增,則只需其最小值小于,且后面還需驗證有最小值的兩邊存在大于的點．
13．(2017年高考數學課標Ⅲ卷理科)(12分)已知函數．
(1)若，求的值；
(2)設為整數，且對于任意正整數，，求的最小值．
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ),
則,且
當時,,在上單調增,所以時,,不滿足題意;
當時,
當時,,則在上單調遞減;
當時,,則在上單調遞增．
①若,在上單調遞增∴當時矛盾
②若,在上單調遞減∴當時矛盾
③若,在上單調遞減,在上單調遞增∴滿足題意
綜上所述．
(Ⅱ)當時即
則有當且僅當時等號成立
∴,
一方面:,
即．
另一方面:
當時,
∵,,
∴的最小值為．
【考點】導數研究函數的單調性;導數研究函數的最值;利用導數證明不等式
【點評】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具,而函數是高中數學中重要的知識點,所以在歷屆高考中,對導數的應用的考查都非常突出 ,本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看,對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行: (1)考查導數的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯系． (2)利用導數求函數的單調區間,判斷單調性;已知單調性,求參數． (3)利用導數求函數的最值(極值),解決生活中的優化問題． (4)考查數形結合思想的應用．
14．(2017年高考數學課標Ⅱ卷理科)(12分)已知函數且．
(1)求 ；
(2)證明：存在唯一的極大值點，且．
【答案】(1)；(2)證明略．
【命題意圖】本題考查函數的極值，導數的應用．
【基本解法】(1)法一．
由題知：，且 ，
所以：．
即當時，；當時，；
當時，成立．
令，，當時，，
遞減，，所以：，即：．所以：；
當時，，
遞增，，所以：，即：．所以：；
綜上：．
法二．洛必達法則
由題知：，且 ，
所以：．
即當時，；當時，；
當時，成立．
令，．
令，．
當時，,遞增，；
所以，遞減，．
所以：；
當時，,遞減，；
所以，遞減，．
所以：；
故．
由(1)知：，．
設，則．
當時，；當時，．
所以在遞減，在遞增．
又，，，所以在有唯一零點，在有唯一零點1，且當時，；當時，；
當時，．
又，所以是的唯一極大值點．
由得，故．
由得．
因為是在的唯一極大值點，由，得
所以．
15．(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)設函數,其中,記的最大值為.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)證明.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)見解析.
【解析】(Ⅰ).
(Ⅱ)當時,
因此,.
當時,將變形為.
令,則是在上的最大值
,
且當 時,取得極小值,極小值為.
令,解得(舍去),.
(i)當時,在內無極值點,,,
所以.
(ii)當時,由,知.
又,所以.
綜上,.
(Ⅲ)由(Ⅰ)得.
當時,.
當時,,所以.
當時,,所以.
16．(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)(本小題滿分12分)(I)討論函數 的單調性，并證明當時，；
(II)證明：當 時，函數 有最小值．設的最小值為，求函數的值域．
【答案】（1）略；（2）．
分析：（Ⅰ）先求定義域，用導數法求函數的單調性，當時，證明結論；
（Ⅱ）用導數法求函數的最值，在構造新函數，又用導數法求解．
【解析】（Ⅰ）的定義域為．
且僅當時，，所以在單調遞增，
因此當時，
所以
（II）
由（I）知，單調遞增，對任意
因此，存在唯一使得即，
當時，單調遞減；
當時，單調遞增．
因此在處取得最小值，最小值為
于是，由單調遞增
所以，由得
因為單調遞增，對任意存在唯一的
使得所以的值域是
綜上，當時，有最小值，的值域是．
17．(2016高考數學課標Ⅰ卷理科)(本小題滿分12分)已知函數有兩個零點．
(I)求a的取值范圍；
(II)設是的兩個零點，證明：．
【答案】(I)； (II)見解析
【官方解答】(I)由已知得：
①若，那么，只有唯一的零點，不合題意；
②若，則當時，；當時，．
所以在單調遞減，在單調遞增．
又，，取b滿足且，則
，
故存在兩個零點．
③設，由得或．
若，則，故當時，，因此在單調遞增．
又當時，，所以不存在兩個零點．
若，則，故當時
；當時，
因此在單調遞減，在單調遞增．
又當時，，所以不存在兩個零點．
綜上的取值范圍為．
(II)不妨設．由(I)知
在單調遞減
所以，即．
由于，而
所以
設，則
所以當時，，則，故當時，
從而，故．
【民間解答】(I)由已知得：
①若，那么，只有唯一的零點，不合題意；
②若，那么，
所以當時，，單調遞增
當時，，單調遞減
即：
↓ 極小值 ↑
故在上至多一個零點，在上至多一個零點
由于，，則，
根據零點存在性定理，在上有且僅有一個零點．
而當時，，，
故
則的兩根，，
因為，故當或時，
因此，當且時，
又，根據零點存在性定理，在有且只有一個零點．
此時，在上有且只有兩個零點，滿足題意．
③若，則，
當時，，，
即，單調遞增；
當時，，
即，單調遞減；
當時，，，即，單調遞增．
即：
0 0 +
↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑
而極大值
故當時，在處取到最大值
那么恒成立，即無解
而當時，單調遞增，至多一個零點
此時在上至多一個零點，不合題意．
④若，那么
當時，，，即，
單調遞增
當時，，，即，單調遞增
又在處有意義，故在上單調遞增，此時至多一個零點，不合題意．
⑤若，則
當時，，，即，單調遞增
當時，，，即，單調遞減
當時，，，即，單調遞增
即：
0 0
↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑
故當時，在處取到最大值
那么恒成立，即無解
當時，單調遞增，至多一個零點
此時在上至多一個零點，不合題意．
綜上所述，當且僅當時符合題意，即的取值范圍為．
(II) 由已知得：，不難發現，，
故可整理得：
設，則
那么
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
設，構造代數式：
設，
則，故單調遞增，有．
因此，對于任意的，．
由可知、不可能在的同一個單調區間上，不妨設，則必有
令，則有
而，，在上單調遞增，因此：
整理得：．
18．(2015高考數學新課標2理科)(本題滿分12分)設函數．
(Ⅰ)證明：在單調遞減，在單調遞增；
(Ⅱ)若對于任意，都有，求的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．
解析：（Ⅰ）．
若，則當時，，；當時，，．
若，則當時，，；當時，，．
所以，在單調遞減，在單調遞增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意的，在單調遞減，在單調遞增，故在處取得最小值．所以對于任意，的充要條件是：即①，設函數，則．當時，；當時，．故在單調遞減，在單調遞增．又，，故當時，．當時，，，即①式成立．當時，由的單調性，，即；當時，，即．綜上，的取值范圍是．
考點：導數的綜合應用．
19．(2015高考數學新課標1理科)(本小題滿分12分)
已知函數
(Ⅰ)當為何值時，軸為曲線 的切線；
(Ⅱ)用 表示中的最小值，設函數 ，討論零點的個數．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點．
分析：（Ⅰ）先利用導數的幾何意義列出關于切點的方程組，解出切點坐標與對應的值；（Ⅱ）根據對數函數的圖像與性質將分為研究的零點個數，若零點不容易求解，則對再分類討論．
解析：（Ⅰ）設曲線與軸相切于點，則，，即，解得．
因此，當時，軸是曲線的切線．
（Ⅱ）當時，，從而，
∴在（1，+∞）無零點．
當=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點．
當時，，所以只需考慮在（0,1）的零點個數．
（ⅰ）若或，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調，而，，所以當時，在（0，1）有一個零點；當0時，在（0，1）無零點．
（ⅱ）若，則在（0，）單調遞減，在（，1）單調遞增，故當=時，取的最小值，最小值為=．
①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點．
②若=0，即，則在（0,1）有唯一零點；
③若＜0，即，由于，，所以當時，在（0,1）有兩個零點；當時，在（0,1）有一個零點．…10分
綜上，當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點．
考點：利用導數研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數的零點；分類整合思想
20．(2014高考數學課標2理科)(本小題滿分12分)
已知函數=．
(Ⅰ)討論的單調性；
(Ⅱ)設，當時，, 求的最大值；
(Ⅲ)已知，估計ln2的近似值(精確到0．001)
【答案】解析：
（Ⅰ），等號僅當時成立
所以在上單調遞增．
（Ⅱ）
當時，，等號僅當時成立，所以在上單調遞增，而，故．
當時，若滿足，即時，，而，故，．
綜上的最大值為2．
（Ⅲ）由（2）知，
當時，，得
當時，
，得
所以
考點：（1）利用導數判斷函數的單調性；（2）利用導數研究不等式問題；（3）最值問題
難度：D
備注：高頻考點
21．(2014高考數學課標1理科)設函數,曲線在點處的切線．
(1)求;
(2)證明:．
【答案】解析:(1)函數的定義域為,
由題意可得,故．
(2)由(1)知,從而等價于
設函數,則,所以當時,,當時,,故在單調遞減,在上單調遞增,從而在上的最小值為 ．
設函數,則,所以當時,,當時,故在上單調遞增,在單調遞減,從而在的最小值為
．
綜上:當時,,即．
考點:(1)利用導數的定義求函數的導數;(2)導數的幾何意義(切線方程問題);(3)利用導數研究不等式問題;(4)等價轉換思想
難度:D
備注:高頻考點
22．(2013高考數學新課標2理科)已知函數．
(1)設是的極值點，求，并討論的單調性；
(2)當時，證明．
【答案】（1）（2） 見解析；
解析：（1）
所以，
，
顯然在(－1,0]上單調遞減，在[0，＋∞)上單調遞增．
（2）證明　令，
則．
，
所以是增函數，至多只有一個實數根，
又，
所以的唯一實根在區間內，
設的根為t，則有，
所以，，
當時，單調遞減；
當時，單調遞增；
所以，
當 時，有，
所以．
考點：（1）3．2．4導數與函數最值；（2）3．2．7導數與函數放縮
難度： D
備注：高頻考點，典型題
23．(2013高考數學新課標1理科)已知函數＝，＝，若曲線和曲線都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線
(Ⅰ)求，，，的值
(Ⅱ)若≥－2時，≤，求的取值范圍。
【答案】（1）=4，=2，=2，=2　　（2）[1,]．
解析：（Ⅰ）由已知得，
而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
設函數==（），
==，
有題設可得≥0，即，
令=0得，=，=－2，
（1）若，則－2＜≤0，∴當時，＜0，當時，＞0，即在單調遞減，在單調遞增，故在=取最小值，而==≥0，
∴當≥－2時，≥0，即≤恒成立，
(2)若，則=，
∴當≥－2時，≥0，∴在(－2,+∞)單調遞增，而=0，
∴當≥－2時，≥0，即≤恒成立，
(3)若，則==＜0，
∴當≥－2時，≤不可能恒成立，
綜上所述，的取值范圍為[1,]．
考點：（1）3．1．3導數的幾何意義；（2）3．2．4導數與函數最值；（3）3．3．1利用導數研究“恒能恰”成立及參數求解問題．
難度：Ｃ
備注：高頻考點
24．(2012高考數學新課標理科)已知函數滿足滿足．
(1)求的解析式及單調區間；
(2)若，求的最大值．
【答案】（１）增區間為,減區間為　（２）
解析: (Ⅰ),令得,,
再由,令得．
所以的解析式為．
,易知是上的增函數,且．
所以
所以函數的增區間為,減區間為．
(Ⅱ)若恒成立,
即恒成立，
,
(1)當時,恒成立, 為上的增函數,且當時, ,不合題意;
(2)當時,恒成立, 則,;
(3)當時, 為增函數,由得,
故
當時, 取最小值．
依題意有,
即,
,,
令,則,
,
所以當時, 取最大值．
故當時, 取最大值．
綜上, 若，則 的最大值為．
PAGE
- 1 -3.導數小題
一、選擇題
1．(2021年高考全國乙卷理科)設，若為函數的極大值點，則
AB．C．D．
【答案】D
解析：若，則為單調函數，無極值點，不符合題意，故．
有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的．依題意，為函數的極大值點，在左右附近都是小于零的．
當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：
由圖可知，，故．
當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：
由圖可知，，故．
綜上所述，成立．
故選：D
2．(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)函數的圖像在點處的切線方程為 (　　)
A． B． C． D．
【解析】，，，，
因此，所求切線的方程為，即．
故選：B．
3．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為 (　　)
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
解析：設直線在曲線上的切點為，則，
函數的導數為，則直線的斜率，
設直線的方程為，即，
由于直線與圓相切，則，
兩邊平方并整理得，解得，（舍），
則直線的方程為，即．
故選：D．
4．(2019年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知曲線在點處的切線方程為，則 (　　)
A． B． C． D．
【解析】由，根據導數的幾何意義易得，解得，從而得到切點坐標為，將其代入切線方程，得，解得，故選D．
5．(2018年高考數學課標卷Ⅰ（理）)設函數，若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為 (　　)
解析：函數，若為奇函數，可得，所以函數，可得，曲線在點處的切線的斜率為：1，則曲線在點處的切線方程為：，故選D．
6．(2017年高考數學課標Ⅱ卷理科)若是函數的極值點，則的極小值為 (　　)
A． B． C． D．1
∵ ∴ 導函數
∵ ∴
∴ 導函數
令，∴ ，
當變化時，，隨變化情況如下表：
+ 0 - 0 +
極大值 極小值
從上表可知：極小值為．
7．(2015高考數學新課標2理科)設函數是奇函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是 (　　)
A． B．
C． D．
解析：記函數，則，因為當時，，故當時，，所以在單調遞減；又因為函數是奇函數，故函數是偶函數，所以在單調遞減，且．當時，，則；當時，，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A．
8．(2015高考數學新課標1理科)設函數,其中，若存在唯一的整數，使得0，則的取值范圍是 (　　)
A．B．C．D．
解析：設=，，由題知存在唯一的整數，使得在直線的下方．
因為，所以當時，＜0，當時，＞0，所以當時，=，
當時，=-1，，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D．
考點：本題主要通過利用導數研究函數的圖像與性質解決不等式成立問題
9．(2014高考數學課標2理科)設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因為，所以切線的斜率為，解得，選D
10．(2014高考數學課標1理科)已知函數=,若存在唯一的零點,且>0,則的取值范圍為 (　　)
A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)
解析1:由已知,,令,得或,
當時,;
且,有小于零的零點,不符合題意．
當時,
要使有唯一的零點且>0,只需,即,．選B
解析2:由已知,=有唯一的正零點,等價于
有唯一的正零根,令,則問題又等價于有唯一的正零根,即與有唯一的交點且交點在在y軸右側記,,由
,,,
,要使有唯一的正零根,只需,選B
11．(2013高考數學新課標2理科)已知函數，下列結論中錯誤的是 (　　)
A．
B．函數的圖象是中心對稱圖形
C．若是的極小值點，則在區間上單調遞減
D．若是的極值點，則
解析：由三次函數的圖象可知，若是的極小值點，則極大值點在的左側，所以函數在區間單調遞減是錯誤的，選C．
12．(2013高考數學新課標1理科)已知函數=，若||≥，則的取值范圍是 (　　)
A． B． C．[-2,1] D．[-2,0]
解析：∵||=，∴由||≥得，且，
由可得，則≥-2，排除Ａ，Ｂ，
當=1時，易證對恒成立，故=1不適合，排除C，故選D．
二、填空題
13．(2021年高考全國甲卷理科)曲線在點處的切線方程為__________．
【答案】
解析：由題，當時，，故點在曲線上．
求導得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
14．(2019年高考數學課標全國Ⅰ卷理科)曲線在點處的切線方程為．
解析：，
所以曲線在點處的切線方程為．
15．(2018年高考數學課標Ⅲ卷（理）)曲線在點處的切線的斜率為，則．
解析：記，則
依題意有，即，解得．
16．(2018年高考數學課標Ⅱ卷（理）)曲線在點處的切線方程為__________．
17．(2018年高考數學課標卷Ⅰ（理）)已知函數,則的最小值是．
【答案】
解法一：先求的最大值，設
，
即，
故根據奇函數知，
解法二：導數法+周期函數
當；；
解法三：均值不等式法
當且僅當時，
此時，
18．(2017年高考數學新課標Ⅰ卷理科)如圖,圓形紙片的圓心為,半徑為,該紙片上的等邊三角形的中心為為圓上的點,,,分別是以為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后,分別以為折痕折起,,,使得重合,得到三棱錐．當的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:)的最大值為__________．
【答案】
【解析】如下圖,設正三角形的邊長為x,則．
,
三棱錐的體積．
令,則,
令, ,,
．
19．(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)已知為偶函數,當時,,,則曲線在點處的切線方程是_______________.
【答案】
【解析】當時,,則.又因為是偶函數,所以,所以,則切線斜率為,所以切線方程為,即.
20．(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．
【答案】
【解析】設直線與曲線的切點為 ，與曲線的切點為 則 ，所以
所以，所以，所以．
PAGE
- 1 -2.函數性質與基本初等函數
一、選擇題
1．(2021年高考全國乙卷理科)設，，．則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：,
所以;
下面比較與的大小關系．
記,則,，
由于
所以當0所以在上單調遞增，
所以,即,即;
令,則,,
由于，在x>0時,,
所以,即函數在[0,+∞)上單調遞減，所以,即,即b綜上，,
故選：B．
【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數，利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的．
2．(2021年高考全國乙卷理科)設函數，則下列函數中為奇函數的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：由題意可得，
對于A，不是奇函數；
對于B，是奇函數；
對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數；
對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數．
故選：B
【點睛】本題主要考查奇函數定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題．
3．(2021年高考全國甲卷理科)設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：因為是奇函數，所以①；
因為是偶函數，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
思路二：從周期性入手
由兩個對稱性可知，函數的周期．
所以．
故選：D．
【點睛】在解決函數性質類問題的時候，我們通常可以借助一些二級結論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．
4．(2021年高考全國甲卷理科)青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4．9，則其視力的小數記錄法的數據為 (　　)()
A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6
【答案】C
解析：由，當時，，
則．
故選：C．
5．(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)若，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，則為增函數，因為
所以，
所以，所以．
，
當時，，此時，有
當時，，此時，有，所以C、D錯誤．
故選：B．
【點晴】本題主要考查函數與方程的綜合應用，涉及到構造函數，利用函數的單調性比較大小，是一道中檔題．
6．(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x(單位：°C)的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據得到下面的散點圖：
由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是 (　　)
AB．C．D．
【答案】D
【解析】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數函數的圖象附近，
因此，最適合作為發芽率和溫度的回歸方程類型的是．
故選：D．
【點睛】本題考查函數模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，屬于基礎題．
7．(2020年高考數學課標Ⅱ卷理科)若，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：由得：，
令，
為上的增函數，為上的減函數，為上的增函數，
，
，，，則A正確，B錯誤；
與的大小不確定，故CD無法確定．
故選：A．
【點睛】本題考查對數式的大小的判斷問題，解題關鍵是能夠通過構造函數的方式，利用函數的單調性得到的大小關系，考查了轉化與化歸的數學思想．
8．(2020年高考數學課標Ⅱ卷理科)設函數，則f(x) (　　)
A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減
C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減
【答案】D
解析：由得定義域為，關于坐標原點對稱，
又，
為定義域上的奇函數，可排除AC；
當時，，
在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增，排除B；
當時，，
在上單調遞減，在定義域內單調遞增，
根據復合函數單調性可知：在上單調遞減，D正確．
故選：D．
【點睛】本題考查函數奇偶性和單調性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關于原點對稱的前提下，根據與的關系得到結論；判斷單調性的關鍵是能夠根據自變量的范圍化簡函數，根據單調性的性質和復合函數“同增異減”性得到結論．
9．(2020年高考數學課標Ⅱ卷理科)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0．05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0．95，則至少需要志愿者 (　　)
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
解析：由題意，第二天新增訂單數為，設需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名．
故選：B
【點晴】本題主要考查函數模型的簡單應用，屬于基礎題．
10．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則 (　　)
Aa【答案】A
解析：由題意可知、、，
，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得．
綜上所述，．
故選：A．
【點睛】本題考查對數式的大小比較，涉及基本不等式、對數式與指數式的互化以及指數函數單調性的應用，考查推理能力，屬于中等題．
11．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領城．有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數．當I()=0．95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為 (　　)(ln19≈3)
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
解析：，所以，則，
所以，，解得．
故選：C．
【點睛】本題考查對數的運算，考查指數與對數的互化，考查計算能力，屬于中等題．
12．(2019年高考數學課標Ⅲ卷理科)設是定義域為的偶函數，且在單調遞減，則 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】是上的偶函數，．
，又在(0，+∞)單調遞減，，
，故選C．
【點評】本題主要考查函數的奇偶性、單調性，考查學生轉化與化歸及分析問題解決問題的能力．由已知函數為偶函數，把，轉化為同一個單調區間上，再比較大小是解決本題的關鍵．
13．(2019年高考數學課標Ⅲ卷理科)函數在的圖像大致為 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設，則，所以是奇函數，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C．又，排除選項A、D，故選B．
【點評】本題通過判斷函數的奇偶性，縮小選項范圍，通過計算特殊函數值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．在解決圖象類問題時，我們時常關注的是對稱性、奇偶性，特殊值，求導判斷函數單調性，極限思想等方法。
14．(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)設函數的定義域為，滿足，且當時，．若對任意，都有，則的取值范圍是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵時，，，∴，即右移個單位，圖像變為原來的倍．
如圖所示：當時，，令，整理得：，∴（舍），∴，，∴時，成立，即，∴，故選B ．
(說明：以上圖形是來自@正確云)
【點評】本題為選擇壓軸題，考查函數平移伸縮，恒成立問題，需準確求出函數每一段解析式，分析出臨界點位置，精準運算得到解決．
易錯警示：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側擴大到2倍，導致題目出錯，需加深對抽象函數表達式的理解，平時應加強這方面練習，提高抽象概括、數學建模能力．
15．(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)年月日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就．實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為，月球質量為，地月距離為，點到月球的距離為，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，滿足方程：．設．由于的值很小，因此在近似計算中，則的近似值為 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得．將其代入到中，可得，所以，故．
【點評】本題在正確理解題意的基礎上，將有關式子代入給定公式，建立的方程，解方程、近似計算．題目所處位置應是“解答題”，但由于題干較長，易使考生“望而生畏”，注重了閱讀理解、數學式子的變形及運算求解能力的考查．由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復雜式子的變形出錯．
16．(2019年高考數學課標全國Ⅰ卷理科)函數在的圖象大致為 (　　)
【答案】D
解析：顯然為奇函數，故排除A，當在軸右側開始取值時，，排除C，
又，故選D．
17．(2018年高考數學課標Ⅲ卷（理）)函數的圖象大致為 (　　)
【答案】D
解析：易知函數為偶函數，而，所以當時，；當時，，所以函數在、上單調遞增，在、上單調遞減，故選D．
18．(2018年高考數學課標Ⅱ卷（理）)已知是定義域為的奇函數，滿足．若，則 (　　)
A． B．0 C．2 D．50
【答案】C
解析：因為是定義域為的奇函數，且滿足，
所以，即，所以，，因此是周期函數且．
又，
且，所以，
所以，故選C．
19．(2018年高考數學課標Ⅱ卷（理）)函數的圖象大致為 (　　)
【答案】B
解析：因為，，所以為奇函數，排除A；，排除D；
因為，當時，，函數單調遞增，排除C．故選B．
20．(2018年高考數學課標卷Ⅰ（理）)已知函數，．若存在個零點，則的取值范圍是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由得，作出函數和的圖象如圖
當直線的截距，即時，兩個函數的圖象都有2個交點，即函數存在2個零點，故實數的取值范圍是，故選C．
21．(2017年高考數學新課標Ⅰ卷理科)設為正數,且,則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令,則,,
∴,則
,則,故選D．
【考點】指、對數運算性質
【點評】對于連等問題,常規的方法是令該連等為同一個常數,在用這個常數表示出對應的,通過作差或作商進行比較大小．對數運算要記住對數運算中常見的運算法則,尤其是換底公式和與的對數表示．
22．(2017年高考數學新課標Ⅰ卷理科)函數在單調遞減,且為奇函數．若,則滿足的的取值范圍是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為為奇函數且在上單調遞減,要使成立,則滿足,所以由得,即使成立的滿足,選D．
【考點】函數的奇偶性、單調性
【點評】奇偶性與單調性的綜合問題,要重視利用奇、偶函數與單調性解決不等式和比較大小問題,若在上為單調遞增的奇函數,且,則,反之亦成立．
23．(2017年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知函數有唯一零點，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：，設，
當時，，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，當時，函數取得最小值，設，當時，函數取得最小值，若，函數和沒有交點，當時，時，函數和有一個交點，即，所以，故選C．
法二：由條件，，得：
所以，即為的對稱軸
由題意，有唯一零點，∴的零點只能為即
解得．
【考點】函數的零點;導函數研究函數的單調性,分類討論的數學思想
【點評】函數零點的應用主要表現在利用零點求參數范圍,若方程可解,通過解方程即可得出參數的范圍,若方程不易解或不可解,則將問題轉化為構造兩個函數,利用兩個函數圖象的關系求解,這樣會使得問題變得直觀、簡單,這也體現了數形結合思想的應用．
24．(2017年高考數學課標Ⅲ卷理科)某城市為了解游客人數的變化規律,提高旅游服務質量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數據,繪制了下面的折線圖．
根據該折線圖,下列結論錯誤的是 (　　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月,波動性更小,變化比較平穩
【答案】A
【解析】觀察折線圖,每年7月到8月折線圖呈下降趨勢,月接待游客量減少,故選項A說法錯誤;
折線圖整體呈現出增長的趨勢,年接待游客量逐年增加,故選項B說法正確;
每年的接待游客量七、八月份達到最高點,即各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故選項C說法正確;
每年1月至6月的折線圖比較平穩,月接待游客量波動性較小,而每年7月至12月的折線圖不平穩,波動性較大,故選項D說法正確．
故選A．
【考點】折線圖
【點評】將頻率分布直方圖中相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結起來,就得到一條折線,我們稱這條折線為本組數據的頻率折線圖,頻率分布折線圖的的首、尾兩端取值區間兩端點須分別向外延伸半個組距,即折線圖是頻率分布直方圖的近似,他們比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規律．
25．(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)已知,,,則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為,,故選A.
26．(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為C．B點表示四月的平均最低氣溫約為C．下面敘述不正確的是 (　　)
A．各月的平均最低氣溫都在C以上 B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大
C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D．平均最高氣溫高于C的月份有5個
【答案】D
【解析】由圖可知C均在陰影框內,所以各月的平均最低氣溫都在C以上,A正確;由圖可知在七月的平均溫差大于C,而一月的平均溫差小于C,所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大,B正確;由圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都大約在C,基本相同,C正確;由圖可知平均最高氣溫高于C的月份有3個或2個,所以D不正確.故選D.
27．(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)已知函數滿足，若函數與圖像的交點為，則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的圖像的對稱中心為
又函數滿足，所以圖像的對稱中心為：
所以，故選Ｂ
【點評】零點代數和問題系屬研究對稱性，確定交點的個數即可獲解．
28．(2016高考數學課標Ⅰ卷理科)若，則 (　　)
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】對A： 由于，∴函數在上單調遞增，因此，A錯誤；對B： 由于，∴函數在上單調遞減，
∴，B錯誤；對C： 要比較和，只需比較和，只需比較和，只需和
構造函數，則，在上單調遞增，因此
又由得，∴，C正確
對D： 要比較和，只需比較和
而函數在上單調遞增，故
又由得，∴，D錯誤
故選C．
29．(2016高考數學課標Ⅰ卷理科)函數在[–2,2]的圖像大致為 (　　)
【答案】D
【解析1】函數在[–2,2]上是偶函數，其圖象關于軸對稱，因為，所以排除選項；當時，有一零點，設為，當時，為減函數，當時，為增函數．故選D．
【解析2】，排除A
，排除B
時，，當時，
因此在單調遞減，排除C 故選D．
30．(2015高考數學新課標2理科)如圖，長方形的邊，，是的中點，點沿著邊，與運動，記．將動到、兩點距離之和表示為的函數，則的圖像大致為 (　　)
(　　)
【答案】B
解析：由已知得，當點在邊上運動時，即時，；當點在邊上運動時，即時，，當時，；當點在邊上運動時，即時，，從點的運動過程可以看出，軌跡關于直線對稱，且，且軌跡非線型，故選B．
考點：函數的圖象和性質．
31．(2015高考數學新課標2理科)設函數, (　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
解析：由已知得，又，所以，故，故選C．
考點：分段函數．
32．(2014高考數學課標1理科)如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點,角的始邊為射線,終邊為射線,過點作直線的垂線,垂足為,將點到直線的距離表示為的函數,則=在[0,]上的圖像大致為 (　　)
AB
(　　)
CD
【答案】B
解析:如圖:過M作MD⊥OP于D,則 PM=,OM=,在中,MD=
,∴,選B．
．
考點:(1)函數圖像的應用 (2)倍角公式的應用 (3)數形結合思想
難度:B
備注:高頻考點
33．(2014高考數學課標1理科)設函數,的定義域都為R,且是奇函數,是偶函數,則下列結論正確的是 (　　)
A．是偶函數 B．||是奇函數
C．||是奇函數 D．||是奇函數
【答案】C
解析:設,則,∵是奇函數,是偶函數,∴,為奇函數,選C．
考點:(1)函數奇偶性的判斷(2)函數與方程的思想
難度:A
備注:概念題
34．(2013高考數學新課標2理科)設則 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析： ,顯然
考點：（1）2．5．1對數式的化簡與求值；（2）2．5．2對數函數的圖象與性質
難度： B
備注：高頻考點
35．(2012高考數學新課標理科)設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：由反函數的概念可知：函數與函數互為反函數，圖象關于對稱
而函數上的點到直線的距離為
設函數，則，令解得
初判斷知：在處取得最小值
∴
∴
由圖象關于對稱得：最小值為．
考點：（1）2．5．4反函數及應用；（2）8．2．3距離公式的應用；（3）3．2．4導數與函數最值．
難度：C
備注：高頻考點
36．(2012高考數學新課標理科)已知函數，則的圖象大致為 (　　)
【答案】B
解析：設g(x)=ln(1+x)-x
則
∴g（x）在（-1，0）上為增函數，在（0，+∞）上為減函數
∴g（x）＜g（0）=0
∴f（x）=
得：x＞0或-1＜x＜0均有f（x）＜0
排除A，C，D
故選 B
考點：（1）3．2．2導數與函數單調性；（2）3．2．4導數與函數最值
難度：B
備注：高頻考點
二、填空題
37．(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)已知是奇函數，且當時，．若，則　 　．
【答案】.
【解析】因為是奇函數，且當時，．又因為，，
所以，兩邊取以為底的對數得，所以，即．
【點評】本題主要考查函數奇偶性，對數的計算．滲透了數學運算、直觀想象素養．使用轉化思想得出答案．
38．(2017年高考數學課標Ⅲ卷理科)設函數，則滿足的的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】法一：因為
當時，；
當時，；
當時，由，可解得
綜上可知滿足的的取值范圍是．
法二：，，即
由圖象變換可畫出與的圖象如下：
由圖可知，滿足的解為．
法三：當且時，由得，得，又因為是上的增函數，所以當增大時，增大，所以滿足的的取值范圍是．
【考點】分段函數；分類討論的思想
【點評】（1）求分段函數的函數值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區間，然后代入該段的解析式求值，當出現的形式時，應從內到外依次求值．
（2）當給出函數值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍．
39．(2015高考數學新課標1理科)若函數為偶函數，則
【答案】1
解析：由題知是奇函數，所以 =，解得=1．
考點：函數的奇偶性
40．(2014高考數學課標2理科)已知偶函數在單調遞減，．若，則的取值范圍是__________．
【答案】
解析：因為是偶函數，所以不等式，因為在上單調遞減，所以，解得
考點：（1）函數單調性的應用；（2）函數奇偶性的應用；（3）絕對值不等式的解法
難度：C
備注：典型題
41．(2013高考數學新課標1理科)若函數=的圖像關于直線=－2對稱，則的最大值是______．
【答案】16
解析：由圖像關于直線=－2對稱，則
0==，
0==，解得=8，=15，
∴=，
∴==
=
當∈(－∞,)∪(－2, )時，＞0，
當∈(,－2)∪(,+∞)時，＜0，
∴在（－∞，）單調遞增，在（，－2）單調遞減，在（－2，）單調遞增，在（，+∞）單調遞減，故當=和=時取極大值，==16．
考點:（1）2．3．4函數的對稱性；（2）3．2．4導數與函數最值．
難度：Ｃ
備注：高頻考點
C
B
A
D
PAGE
- 1 -1.集合
1．(2021年高考全國乙卷理科)已知集合，，則 (　　)
A． B． C． D．
2．(2021年高考全國甲卷理科)設集合，則 (　　)
A． B． C． D．
3．(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)設集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a= (　　)
A．–4 B．–2 C．2 D．4
4．(2020年高考數學課標Ⅱ卷理科)已知集合U={ 2， 1，0，1，2，3}，A={ 1，0，1}，B={1，2}，則 (　　)
A．{ 2，3} B．{ 2，2，3} C．{ 2， 1，0，3} D．{ 2， 1，0，2，3}
5．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知集合，，則中元素的個數為 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解，是一道容易題．
6．(2019年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知集合，，則 (　　)
A． B． C． D．
7．(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)設集合，，則 (　　)
A． B． C． D．
8．(2019年高考數學課標全國Ⅰ卷理科)已知集合，，則 (　　)
A． B． C． D．
9．(2018年高考數學課標Ⅲ卷（理）)已知集合，，則 (　　)
A． B． C． D．
10．(2018年高考數學課標Ⅱ卷（理）)已知集合，則中元素的個數為 (　　)
A．9 B．8 C．5 D．4
11．(2018年高考數學課標卷Ⅰ（理）)己知集合,則 (　　)
A． B．
C． D．
12．(2017年高考數學新課標Ⅰ卷理科)已知集合,,則 (　　)
A． B． C． D．
13．(2017年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知集合A=,B=,則AB中元素的個數為 (　　)．
A．3 B．2 C．1 D．0
14．(2017年高考數學課標Ⅱ卷理科)設集合，．若，則 (　　)
A． B． C． D．
14.【答案】C
【命題意圖】本題主要考查一元二次方程的解法及集合的基本運算，以考查考生的運算能力為目
的．
【解析】解法一：常規解法
∵ ∴ 1是方程的一個根，即，∴
故
解法二：韋達定理法
∵ ∴ 1是方程的一個根，∴ 利用偉大定理可知：，解得：
，故
解法三：排除法
∵集合中的元素必是方程方程的根，∴ ，從四個選項A﹑B﹑C﹑D
看只有C選項滿足題意．
【知識拓展】集合屬于新課標必考點，屬于函數范疇，常與解方程﹑求定義域和值域﹑數集意義
相結合，集合考點有二：1．集合間的基本關系；2．集合的基本運算．
15．(2016高考數學課標Ⅲ卷理科)設集合,,則 (　　)
A． B． C． D．
15.【答案】D
【解析】由解得或,所以,所以,故選D.
16．(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)已知集合，，則 (　　)
A． B． C． D．
17．(2016高考數學課標Ⅰ卷理科)設集合，，則 (　　)
(A)(B)(C)(D)
18．(2015高考數學新課標2理科)已知集合，,則 (　　)
A． B． C． D．
19．(2014高考數學課標2理科)設集合，，則 (　　)
A． B．｛2｝ C．｛0，1｝ D．｛1，2｝
20．(2014高考數學課標1理科)已知集合A={|},B=,則= (　　)
A．[-2,-1] B．[-1,2) C．[-1,1] D．[1,2)
備注:高頻考點
21．(2013高考數學新課標2理科)已知集合，則 (　　)
A． B． C． D．
22．(2013高考數學新課標1理科)已知集合A=，B=，則 (　　)
A． B． C． D．
23．(2012高考數學新課標理科)已知集合；,則中所含元素的個數為 (　　)
A．3 B．6 C．8 D．10
答案
1.【答案】C
解析：任取，則，其中，所以，，故，
因此，．
故選：C．
2.【答案】B
解析：因為，所以,
故選：B．
【點睛】本題考查集合的運算，屬基礎題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補的基本概念即可求解．
3.【答案】B
【解析】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：．
由于，故：，解得：．
故選：B．
【點睛】本題主要考查交集的運算，不等式的解法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力．
4.【答案】A
解析：由題意可得：，則．
故選：A
【點睛】本題主要考查并集、補集的定義與應用，屬于基礎題．
5.【答案】C
解析：由題意，中的元素滿足，且，
由，得，
所以滿足的有，
故中元素的個數為4．
故選：C．
6.【答案】A
【解析】因為，，所以，故選A．
【點評】本題考查了集合交集的求法，是基礎題．
7.【答案】A
【解析】或，，
故，故選A．
【點評】本題主要考查一元二次不等式，一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎題．
本題考點為集合的運算，為基礎題目，難度偏易．不能領會交集的含義易致誤，區分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
8.【答案】C
解析：
．
9.【答案】C
解析：，，故，故選C．
10.【答案】A
解析：，故選A．
11.【答案】B
解析：集合，可得，則，故選：B．
12.【答案】A
【解析】由得,所以,故,故選A．
【考點】集合的運算,指數運算性質．
【點評】集合的交、并、補運算問題,應先把集合化簡再計算,常常借助數軸或韋恩圖進行處理．
13.【答案】B
【解析】法1:集合中的元素為點集,由題意,結合表示以為圓心,1為半徑的單位圓上所有點組成的集合,集合表示直線上所有點組成的集合,聯立圓與直線的方程,可得圓與直線相交于兩點,,所以中有兩個元素．
法2:結合圖形,易知交點個數為2,即的元素個數為2．
故選B
【考點】交集運算;集合中的表示方法．
【點評】求集合的基本運算時,要認清集合元素的屬性(是點集、數集或其他情形)和化簡集合,這是正確求解集合運算的兩個先決條件．集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大,特別是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性．
16.【答案】C
【解析】，又，所以，故選C．
17.【答案】D
【解析】，．
故．故選D．
18.【答案】A
解析：由已知得，故，故選A．
考點：集合的運算．
19.【答案】D
解析：因為 ，所以，故選D．
考點：（1）集合的基本運算；（2）一元二次不等式的解法，
難度：B
備注：常考題
20.【答案】A
解析:∵A={|}=,B=,
∴=,選A．
考點:(1)集合間的基本運算;(2)一元二次不等式的解法;(3)數形結合思想
難度:A
21.【答案】A
解析：化簡集合得，則．
考點：（1）7．2．1一元二次不等式的解法；（2）1．1．3集合的基本運算．
難度：A
備注：高頻考點
22.【答案】D
解析:,故選B．
考點: （1）1．1．3集合的基本運算；（2）7．2．1一元二次不等式的解法．
難度：Ａ
備注：高頻考點
23.【答案】D
解析：以x為標準進行分類：
當x=5時，滿足的y的可能取值為1,2,3,4，共有4個，（確定y的個數）
當x=4時，滿足的y的可能取值為1,2,3，共有3個，（確定y的個數）
當x=3時，滿足的y的可能取值為1,2，共有2個，（確定y的個數）
當x=2時，滿足的y的可能取值為1，共有1個，（確定y的個數）
得中所含元素（x，y）的個數為4+3+2+1=10個。（確定中元素的個數）
考點：1．1．1集合的基本概念．
難度：A
備注：高頻考點．
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