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13 三角函數(shù)與解三角形大題歸類
目錄
一、熱點(diǎn)題型歸納 1
【題型一】圖像與性質(zhì)1:給圖求解析式和值域（最值） 1
【題型二】圖像與性質(zhì)2:二倍角降冪公式恒等變形 5
【題型三】圖像與性質(zhì)3:恒等變形（“打散”、重組、輔助角） 7
【題型四】圖像與性質(zhì)4:零點(diǎn)求參 10
【題型五】解三角形基礎(chǔ)1：正弦定理、角與對邊 13
【題型六】解三角形基礎(chǔ)2：余弦定理變形 14
【題型七】解三角形1：面積最值 17
【題型八】解三角形2：周長最值 19
【題型九】解三角形3：邊長最值 22
【題型十】解三角形4：不對稱最值 23
【題型十一】解三角形5：中線型 26
【題型十二】解三角形6：角平分線 28
【題型十三】三角形存在個數(shù)33
【題型十四】四邊形轉(zhuǎn)化為三角形 35
【題型十五】解三角形：四邊形求最值 38
【題型十六】三角形中證明題 43
【題型十七】解三角形綜合 47
【題型十八】建模應(yīng)用 50
二、最新模考題組練 54
【題型一】 圖像與性質(zhì)1:給圖求解析式和值域（最值）
【典例分析】
1．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求；
(2)將函數(shù)圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.
【答案】(1)。(2)
【分析】（1）由圖象可得、，則可得，再將點(diǎn)代入解析式中可求出的值，從而可求得函數(shù)的解析式；（2）先利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，再由的范圍得的范圍，可得答案.
(1)由最大值可確定，因?yàn)椋裕?br/>此時，代入最高點(diǎn)，可得：，
從而，結(jié)合，于是當(dāng)時，，所以.
(2)由題意，，
當(dāng)時，，則有，
所以在區(qū)間上的值域?yàn)?
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.注意正余弦“第一零點(diǎn)”和“第二零點(diǎn)”的區(qū)別和聯(lián)系。
2.對稱軸在最大值最小值處的區(qū)別和聯(lián)系
【變式演練】
1.已知函數(shù)的部分圖象如圖.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求值域.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據(jù)圖象由函數(shù)最值求得，由函數(shù)周期求得，由特殊點(diǎn)求得，即可求得解析式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得的解析式，再利用整體法求函數(shù)值域即可.
(1)由圖象可知，的最大值為，最小值為，又，故，周期，，，則，從而，代入點(diǎn)，得，則，，即，，又，則..
(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，故可得；
再將所得圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象。故可得；
，，，.
2.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式及對稱中心坐標(biāo)：
(2)先把的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時，求的值域．
【答案】(1)，()。(2)
【分析】（1）先根據(jù)圖象得到函數(shù)的最大值和最小值，由此列方程組求得的值，根據(jù)周期求得的值，根據(jù)求得的值，由此求得的解析式，進(jìn)而求出的對稱中心；
（2）根據(jù)三角變換法則求得函數(shù)的解析式，再換元即可求出的值域．
(1)由圖象可知：,解得：，又由于,可得：,所以
由圖像知,,又因?yàn)?br/>所以,.所以
令(),得：()所以的對稱中心的坐標(biāo)為()
(2)依題可得，因?yàn)椋?br/>令，所以，即的值域?yàn)椋?br/>3.已知函數(shù)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)首先將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，然后將所得函數(shù)圖象向右平移個單位，最后再向上平移個單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在內(nèi)的值域.
【答案】(1)。(2)
【分析】（1）依題意可得，，即可求出，再根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)，即可求出，從而求出函數(shù)解析式；
（2）首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到的解析式，再由的取值范圍求出的取值范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
(1)解：由圖象得，，所以，由，所以，
，，
解：將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，再將向右平移個單位得到，最后再向上平移個單位得到，即
當(dāng)時，所以，所以，
【題型二】 圖像與性質(zhì)2:二倍角降冪公式恒等變形
【典例分析】
已知函數(shù)的最小正周期是π.
(1)求ω值；
(2)求f（x）的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)將f（x）的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求若，|g（x）﹣m|<2恒成立，求m的取值范圍.
【答案】(1)2(2)對稱中心為，單調(diào)遞增區(qū)間為：(3)0≤m≤2
【分析】（1）先將解析式進(jìn)行化簡，根據(jù)最小正周期可求得ω；
（2）根據(jù)解析式可求得對稱中心和單調(diào)區(qū)間；
（3）先求出g（x）解析式，再求出在給定區(qū)間的取值范圍，可得m的范圍.
(1)
因?yàn)樽钚≌芷跒棣校剩?br/>(2)由（1）知：，令，解得：，
所以對稱中心為，令，
解得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為：.
(3)將f（x）的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，
得到，
當(dāng)時，，所以0≤g（x）≤2，若|g（x）﹣m|<2恒成立，
則m﹣2【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.對于文科學(xué)生而言，所謂“見平方就降冪”。要注意最終目標(biāo)是角度一致
2.二倍角、降冪目的都是“化一”，最終是輔助角
【變式演練】
1.已知函數(shù)，在中，角、、所對的邊分別為、、，
(1)求函數(shù)的最大值，并求出此時的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)的最大值為，此時；(2).
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡得出，由角的取值范圍以及正弦函數(shù)的有界性可求得的最大值及其對應(yīng)的的值；
（2）由已知條件結(jié)合角的取值范圍可求得，利用正弦定理可得出關(guān)于的等式，結(jié)合角為銳角可求得的值.
(1)解：，
，則，當(dāng)時，即當(dāng)時，取得最大值.
(2)解：，所以，，
，則，則，可得，
因?yàn)椋瑒t，即，所以，，
因?yàn)闉殇J角，則，解得.
2.已知，其中0＜＜4，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．
(1)求的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＝2，c＝，求△ABC面積的最大值．
【答案】(1)；(2).
【分析】
（1）利用三角恒等變換化簡，根據(jù)題意求得，再求其最小正周期即可；
（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合題意求得，再利用余弦定理和基本不等式，即可求得結(jié)果.
(1)因?yàn)椋?br/>又函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則，即，
又0＜＜4，故可得，則，則的最小正周期.
(2)因?yàn)椋士傻茫?br/>則或，解得或，又，故.
又c＝，由余弦定理則，則，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；則.
故△ABC面積的最大值為.
【題型三】 圖像與性質(zhì)3:恒等變形（“打散”-重組-輔助角）
【典例分析】
已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，試判斷的形狀．
【答案】(1).(2)是正三角形.
【分析】（1）運(yùn)用三角恒等變換公式化簡函數(shù)，利用正弦函數(shù)的周期公式可求得答案；
（2）由（1）求得，再運(yùn)用余弦定理求得，由此可判斷的形狀．
(1)解：函數(shù)
，．∴函數(shù)的最小正周期為．
(2)解：，，所以解得．又，
，即．是正三角形．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.“打散”：角度不一致，可以拆開
2. “重組”：系數(shù)次冪一致，合并為正弦余弦，便于使用輔助角“化一”
【變式演練】
1.已知函數(shù)．在下列條件①、條件②、條件③這三個條件中，選擇可以確定和值的兩個條件作為已知．(1)求的值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值．
條件①：的最小正周期為；
條件②：的最大值與最小值之和為0；
條件③：．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）先對函數(shù)化簡得，若選擇①和②，則，，求出的值，從而可得的解析式，從而可求出，若選擇①和③，則，求出的值，從而可得的解析式，從而可求出，若選擇②和③時，不存在，
（2）由（1）得到的解析式，求出函數(shù)的增區(qū)間，再根據(jù)題意可求出的最大值
(1)
（1）若選擇①和②，則，，解得，所以
所以，
若選擇①和③，則，解得，所以，
所以，
若選擇②和③，則
，且，這樣的不存在，
(2)由（1）可知，若選擇①和②，，由，得
，所以的增區(qū)間為，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以實(shí)數(shù)的最大值為，
若選擇①和③，則，
由，得，
所以的增區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以實(shí)數(shù)的最大值為，
2.已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期，及對稱軸方程.
(2)先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.
【答案】(1)最小正周期為，對稱軸為(2)
【分析】（1）化簡解析式，由此求得的最小正周期，利用整體代入法求得的對稱軸.
（2）先利用三角恒等變換求得的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)值域的求法求得在區(qū)間上的值域.
(1)
所以函數(shù)的最小正周期.
令得對稱軸方程為.
(2)向右平移個單位得到，
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到.
，所以.
3.已知，設(shè)函數(shù)．
(1)若f(x)是偶函數(shù)，求的取值集合；
(2)若方程有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)用二倍角的正弦公式變形函數(shù)式，再利用偶函數(shù)的定義結(jié)合和差角的正弦化簡即可求解作答.
(2)由(1)及已知，利用三角恒等變換公式化簡變形，求出的范圍，再把用表示出求解作答.
(1)因函數(shù)是偶函數(shù)，即，成立，
則，化簡整理得：，
而不恒為0，于是得，解得，即，
所以的取值集合
(2)由(1)及已知得：，
即，化簡整理得：，
顯然，則，
依題意，原方程有實(shí)數(shù)解等價(jià)于，解得，
，解得，所以的取值范圍是.
【題型四】 圖像與性質(zhì)4:零點(diǎn)求參
【典例分析】
已知.(1)求函數(shù)的對稱中心和單調(diào)增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)___________得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時，方程有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
在以下① ②中選擇一個，補(bǔ)在（2）的橫線上，并加以解答，如果① ②都做，則按①給分.
①向左平移個單位，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的一半；②縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的一半，再向右平移個單位.
【答案】(1)對稱中心是，單調(diào)增區(qū)間為，
(2)選①②答案相同，均為
【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積定義計(jì)算出，再求解對稱中心和遞增區(qū)間；（2）根據(jù)伸縮變換和平移變換得到的解析式，再求解的值域，進(jìn)而求出數(shù)a的取值范圍.
(1)∵，
故函數(shù)的對稱中心是，；
單調(diào)增區(qū)間為，.
(2)選①，則可得的圖象.
當(dāng)時，，，則，若方程有解，則.
選②，則可得的圖象，
當(dāng)時，，，則，若方程有解，則.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.可以直接求解：五點(diǎn)畫圖法思維
2,可以換元求解
【變式演練】
1.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若關(guān)于的方程在上恰有兩個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)。(2)
【分析】（1）利用輔助角公式結(jié)合圖象的變換得出，再根據(jù)對稱性得出，從而得出函數(shù)的解析式；
（2）由得出，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合方程在上恰有兩個實(shí)數(shù)根，得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)解：將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得函數(shù)為
∴。∴
又∴∴.
(2)∵∴當(dāng)，即時，單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，單調(diào)遞減.且，.
∵方程在上恰有兩個實(shí)數(shù)根.∴
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
2.已知函數(shù)，其中常數(shù)．
(1)若，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到的函數(shù)的圖象，求；
(2)若在，上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)對（1）中的，區(qū)間，，且滿足：在，上至少含有30個零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的，中，求的最小值．
【答案】(1)。(2)，。(3)
【分析】（1）由向左平移個單位可得，化簡即可；
（2）由題意可得，從而求出的取值范圍；
（3）令，得，可得相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離為，可知，可求出的最小值.
(1)若，由題意得，向左平移個單位，得到的函數(shù)
．故．
(2)∵,當(dāng)，時， 又∵在，單調(diào)遞增，
∴ ，解得，∴的取值范圍為，．
(3)由函數(shù)可知，令，得，即．
∴相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離為，且周期，
則要使在，上至少含有30個零點(diǎn)，至少包含14.5個周期．
即．故的最小值為.
3.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為．
(1)求的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個不同的根，求m的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)：先利用輔助角公式化簡，然后利用偶函數(shù)的性質(zhì)，和兩對稱軸的距離可求出，便可寫出；
(2)：將圖像平移得到，求其在定義域內(nèi)的兩根轉(zhuǎn)為兩個函數(shù)由兩個交點(diǎn)，便可求出m的取值范圍.
(1)函數(shù)為偶函數(shù)
令，可得
圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為
(2)將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，可得的圖像，再將橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像。若在上有兩個不同的根，則在上有兩個不同的根，即函數(shù)的圖像與直線在上有兩個不同的交點(diǎn).
，，，求得
故的取值范圍為．
【題型五】 解三角形基礎(chǔ)：正弦定理、角與對邊
【典例分析】
已知中，角所對的邊分別為．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的值．
【答案】(1)。(2)
【分析】
（1）由正弦定理和正弦的二倍角公式得到，進(jìn)而求解出；（2）利用面積公式得到，結(jié)合，求出的值.
(1)由已知得：．由正弦定理得：．
因?yàn)椋浴Ｋ缘茫?br/>因?yàn)椋Ｋ运裕郑裕矗?br/>(2)由已知得：．得：．又因?yàn)椋裕?br/>【提分秘籍】
基本規(guī)律
一般大題規(guī)律：第一問正余弦定理求出角度，第二問借助角所對應(yīng)邊長。多用余弦定理。此類題，特別是文科若考察解三角形，應(yīng)用較多。
【變式演練】
1.在中，角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的值
【答案】(1)(2)
【分析】（1）將由正弦定理轉(zhuǎn)化為，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形，可求出的值，
（2）先求出，再利用三角函數(shù)恒等變換公式可求出的值
(1)因?yàn)椋?br/>所以由正弦定理得，
所以，
因?yàn)樵谥校裕?br/>所以，又，所以
(2)因?yàn)樵谥校裕?br/>因?yàn)樵谥校?br/>2.的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，的面積為，求的周長．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）由已知及正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和關(guān)系化簡已知可得，由，可求，結(jié)合角的范圍即可得解；
（2）由三角形面積公式可求，利用余弦定理即可得解的值，從而可得答案.
(1)解：因?yàn)椋裕?br/>整理得：，，，，
又，；
(2)解：由余弦定理得，，，
，，，的周長為．
3.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)求角C；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）對已知式子化簡后利用正弦定理得，再利用余弦定理可求出角C，
（2）由，可得，再由正弦定理得，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果
(1)由，，
得，得，
由正弦定理，得.由余弦定理，得..
(2)由，得，
得，得，由正弦定理，得.又.
的面積.
【題型六】 解三角形基礎(chǔ)2：余弦定理變形
【典例分析】
在中，角，，的對邊分別為，，，的面積為，且.
（1）求角；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>解得，又，故.
（2）設(shè)則所以.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.若式子含有的2次齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”
2.面積和2次齊次式，可構(gòu)造余弦定理
【變式演練】
1.已知中，角，，所對的邊分別為，，，，且滿足.
（1）求的面積；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）（2）
解：（1）在中，，∴∵
∴∵，∴∴
（2）∵∴∴
∴∴當(dāng)時，取最大值.
2.已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若同時滿足以下四個條件中的三個：①，②，③，④.
（1）條件①②能否同時滿足，請說明理由；
（2）以上四個條件，請?jiān)跐M足三角形有解的所有組合中任選一組，并求出對應(yīng)的面積.
【答案】（1）不能同時滿足①② （2）若滿足①③④時,則的面積為，若滿足②③④時，則的面積為.
【詳解】（1）由①得：由余弦定理.
由②及正弦定理，得：，即，因?yàn)椋?∴，，∴，∵，∴.
因?yàn)榍遥?所以，矛盾.所以不能同時滿足①②.
（2）由（1）知，滿足①③④或②③④若滿足①③④因?yàn)?br/>所以，即，解得或（舍去）.
∴的面積另：若滿足②③④
，即，則，所以，所以，
所以的面積.
3.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.
（1）求；
（2）若角的平分線與交于點(diǎn)，且，求的值.
【答案】(1)；(2).
解析：（1）方法一：由及余弦定理得，
整理得，所以.
方法二：由及正弦定理得，
又，所以.
（2）由（1）可知，且，所以，
同理可得，設(shè)的面積分別為，
則，
，，
由得，所以.
【題型七】 解三角形1：面積最值
【典例分析】
如圖，在△中，D為BC邊上的點(diǎn)，連接AD，且滿足.
(1)求證：；
(2)若，，求△的面積的最小值.
【答案】(1)證明見解析。(2)
【分析】
（1）分別在△和△中運(yùn)用正弦定理并結(jié)合已知條件即可證得；
（2）利用，列出等式，利用基本不等式即可求出△的面積的最小值.
(1)在△中，利用正弦定理可知，即，
同理，在△中，利用正弦定理可知，
即，
由已知條件，可得，
即 。，∴；
(2)設(shè)，, ,
∴，，，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）
∴，即的最小值為.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
面積最值，一般符合“齊次對稱結(jié)構(gòu)”，可以直接用余弦定理加均值不等式。
【變式演練】
1.三個內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，且，．
(1)若，求C；
(2)求的面積S的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)根據(jù)正弦定理由即可求出C；
(2)方法一：由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解；方法二：正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)最值求解即可.
(1)，得，∵，∴．
又，∴，∴，解得．
(2)(方法一)∵，∴，化簡得．
又，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
∴△ABC的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即△ABC的面積S的取值范圍為．
(方法二)∵，∴由正弦定理得：，
∴，∴△ABC的面積．
又∵，∴，∴，
即△ABC的面積S的取值范圍為．
2.在三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.
(1)求角A；
(2)若，求三角形面積的最大值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用正弦定理，將已知條件中的邊化角，求得，即可求得；
（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，求得的最大值，即可求得面積的最大值.
(1)由，結(jié)合正弦定理，得，
所以，又因?yàn)椋?br/>(2)由余弦定理，得
即（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br/>所以，
即當(dāng)時，三角形面積的最大值為.
3.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.
(1)求角C；
(2)若的外接圓半徑為2，求面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理得到，從而得到；（2）利用正弦定理得到，根據(jù)余弦定理和基本不等式求出，進(jìn)而求出面積的最大值.
(1)
因?yàn)椋裕烧叶ɡ淼茫海驗(yàn)椋裕剩驗(yàn)椋?br/>(2)根據(jù)正弦定理得：，解得：，
根據(jù)余弦定理得：，由基本不等式得：，即，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，所以面積的最大值為
【題型八】 解三角形2：周長最值
【典例分析】
在①是和的等差中項(xiàng)；②；③．這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．
在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足條件 （填寫所選條件的序號）．
(1)求角；
(2)若，求銳角的周長的取值范圍．
【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).
【分析】
（1）選①，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
選②，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
選③，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、正弦定理以及余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）求出角的取值范圍，利用正弦定理以及三角恒等變換可得出關(guān)于的三角函數(shù)關(guān)系式，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.
(1)解：選①，由已知可得，
所以，，
、，則，，可得，
，故；
選②，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>所以，，
因?yàn)椋瑒t，可得，
，故.
選③，，
則，即，
由正弦定理可得，由余弦定理可得，
，故；
(2)解：因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，
由正弦定理可得，則，，
所以，
，
因?yàn)椋瑒t，則，
故.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
“齊次對稱結(jié)構(gòu)”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，計(jì)算量稍大
【變式演練】
1.在中，角的對邊分別為，其中，且.
(1)求角的大小；
(2)求周長的取值范圍。
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；
利用余弦定理及基本不等式得到，再根據(jù)求出的取值范圍，即可得
(1)解：因?yàn)椋矗裕矗裕郑裕裕驗(yàn)椋裕?br/>(2)
解：因?yàn)椤ⅲ捎嘞叶ɡ恚矗串?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周長的取值范圍為
2.在中，角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)若的面積，求周長的最小值.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再結(jié)合同角公式計(jì)算作答.
(2)由(1)結(jié)合三角形面積定理求出bc，再由余弦定理結(jié)合均值不等式計(jì)算作答.
(1)在中，由正弦定理及得：，
而，即，則，即，
因此，，又，即，
于是得，解得，所以.
(2)由(1)及三角形面積定理得：，，
由余弦定理得：，
則周長，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
所以周長的最小值為.
3.在①，②向量與，且， ③，三個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并加以解析. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知______.
(1)求角的大小;
(2)若的面積為，求周長的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）若選條件①或③，需要使用正弦定理進(jìn)行邊化角來處理，選擇條件②用余弦定理即可；（2）先由面積的條件算出，此后利用余弦定理和基本不等式解決.
(1)
若選條件①，根據(jù)正弦定理得, ，整理得，，即
，也即，由于是三角形內(nèi)角，只可能是，即，；
若選條件②，則有，整理得，由余弦定理得，又，則；
若選條件③，由正弦定理，，即，又，則.
(2)
，故，由三角形三邊關(guān)系，，故周長，另一方面，根據(jù)余弦定理，，即，由基本不等式可得，
，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)
取得等號，故周長，綜上可得，周長的取值范圍是：.
【題型九】 解三角形3：邊長最值
【典例分析】
在①；②；③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在中，內(nèi)角的對邊分別為，且__________.
(1)求角；
(2)若是銳角三角形，且，求的取值范圍.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
【答案】(1)答案見解析(2)
【分析】（1）選擇①，運(yùn)用正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇②，運(yùn)用面積公式及同角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇③運(yùn)用正切兩角和公式及誘導(dǎo)公式求解.
（2）根據(jù)正弦定理及正切函數(shù)的單調(diào)性求解
(1)選擇①：條件即，由正弦定理可知，，
在中，，所以，
所以，且，即，所以；
選擇②：條件即，即，
在中，，所以，則，所以，所以.
選擇③：條件即，
所以，在中，，所以.
(2)由（1）知，，所以，
由正弦定理可知，，
由是銳角三角形得，所以.
所以，所以，故的取值范圍為.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
用正線定理，要注意角度的范圍。
【變式演練】
1.在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且.
(1)求角C；
(2)若，求c的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將邊化角，利用三角恒等變換以及三角形內(nèi)角關(guān)系，即可求出結(jié)果；
（2）利用余弦定理以及已知條件，即可求出的取值范圍.
(1)由正弦定理得，即，
，因?yàn)椋裕裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>(2)由得，且
由（1）知：，由余弦定理得：
當(dāng)時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知：
的值域?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，
此時，所以，即所以c的取值范圍為.
2.在中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，.
(1)求證：；
(2)若，為銳角，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理將邊化為角，即可證明.
（2）由整理出，確定b的取值范圍再利用余弦定理確定c的取值范圍.
(1)由得： ,即 ,
所以 ,
所以 ，故
(2)由余弦定理得： ，
由可知： ，因?yàn)闉殇J角，所以 ，
所以 ，而函數(shù) 在上單調(diào)遞減，
故 ，故的取值范圍是 .
3.設(shè)函數(shù) .
(1)求的最大值，并寫出使取最大值時的集合；
(2)已知中，角的對邊分別為，若， ，求的最小值.
【答案】(1)2；；(2).
【分析】(1)利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算作答.
(2)由(1)的信息結(jié)合已知求出角A，再利用余弦定理結(jié)合均值不等式即可計(jì)算作答.
(1)依題意，，
因，則當(dāng)，即，時，
所以的最大值為2，此時的集合為.
(2)
依題意，，則，
而，即有，因此，，解得，
在中， ， ，由余弦定理得：
，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
所以的最小值為.
【題型十】 解三角形4：不對稱型最值
【典例分析】
在中，分別是角所對的邊，滿足．
(1)求角B大小；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角公式整理計(jì)算即可得答案；
（2）利用消去中的，再利用三角公式變形，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求范圍.
(1)，由正弦定理知：．
即：
，又；
(2)，且．
，
故的取值范圍是.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
“非齊次或者不對稱結(jié)構(gòu)”，用正弦定理消角化一，角度范圍是否受限，是關(guān)鍵計(jì)算點(diǎn)
【變式演練】
1.在①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.
問題：已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，____________，求的最大值.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
【答案】
【分析】
若選①，由已知條件三角恒等變換可求∠C，再利用正弦定理邊化角求a＋2b最大值；
若選②，由已知條件三角恒等變換可求∠C，再利用正弦定理邊化角求a＋2b最大值；
若選③，由已知條件、正弦定理、余弦定理可求∠C，再利用正弦定理邊化角求a＋2b最大值.
【詳解】若選①，∵A＋B＋C＝π，∴由已知條件得，
由，得，由，得，∵，∴，，
由正弦定理，有，∴，，
∴
，(其中，)
∵，∴存在A，使得，此時取得最大值為.
若選②：，∵A＋B＋C＝π，
∴，，
化簡得，由，得，∵，∴.
下同①；
若選③：，，
由正弦定理得，∴由余弦定理得，∵，∴.
下同①.
2.在①，②， ③，在三個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并加以解析. 已知在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______.
(1)求角B
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1).(2)
【分析】（1）若選擇①，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合正弦定理，可得，根據(jù)余弦定理及角B的范圍，可求得角B；
若選條件②，正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的余弦公式、正弦公式，化簡整理，可得，結(jié)合角B的范圍，可求得角B；
若選條件③，根據(jù)余弦定理結(jié)合角B的范圍，可得角B.
（2）根據(jù)正弦定理，代入所求，結(jié)合兩角差的正弦公式、輔助角公式，化簡可得，根據(jù)角A的范圍，結(jié)合正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.
(1)若選條件①，則有，
根據(jù)正弦定理得，所以， 因?yàn)椋?
若選條件②，根據(jù)正弦定理得，
所以，所以，
因?yàn)椋裕裕獾茫?br/>因?yàn)椋?
若選條件③，則有，
所以， 則，因?yàn)椋?
(2)由正弦定理知，
所以
，
因?yàn)椋裕裕?則，
所以的取值范圍為.
3.中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理求得，進(jìn)而得到；（2）利用三角恒等變換得到，結(jié)合求出取值范圍.
(1)
由正弦定理得：，從而，因?yàn)椋裕?br/>(2)由得：，所以，，因?yàn)椋裕Y(jié)合正弦函數(shù)圖象可得：，，所以的取值范圍為.
【題型十一】 解三角形5：中線
【典例分析】
在中，，且邊上的中線長為，
(1)求角的大小；
(2)求的面積.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】(1)本題可根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)公式將化簡為，然后根據(jù)即可求出角的大小；
(2)本題首先可設(shè)的中點(diǎn)為，然后根據(jù)向量的平行四邊形法則得到，再然后通過化簡計(jì)算即可求得，最后通過三角形面積公式即可得出結(jié)果．
【詳解】(1)由正弦定理邊角互換可得，
所以.因?yàn)椋?br/>所以，即，
即，整理得.因?yàn)椋裕?br/>所以，即，所以.
因?yàn)椋裕矗?br/>(2)設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)向量的平行四邊形法則可知
所以，即，
因?yàn)椋裕獾茫ㄘ?fù)值舍去）.
所以．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.可以利用向量法
2.中線可延長，補(bǔ)成對稱圖形
3.中線可借助補(bǔ)角。
【變式演練】
1.在①；②,這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并作答.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c， .
(1)判斷△ABC的形狀；
(2)在（1）的條件下，若，b＝10，AD為BC邊上的中線，求AD的長.
【答案】(1)選①，等腰三角形；選②，等腰三角形或直角三角形；(2)選①，；選②，或；
【分析】（1）選①，由正弦定理變形后可得；選②，由正弦定理及同角關(guān)系變形后，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得三角形為等腰三角形或直角三角形；
（2）選①，由等腰三角形性質(zhì)求得底邊長，然后由余弦定理求得；
選②，三角形為等腰三角形時同選①，三角形為直角三角形時，由求得，然后求得，用勾股定理求得．
(1)選①，，由正弦定理理，即，又是三角形內(nèi)角，所以，△ABC是等腰三角形；
選②，，由正弦定理得，所以，
，又是銳角三角形內(nèi)角，所以或，
所以或，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；
(2)選①，，則，，，
中，由余弦定理得：
，；
選②，時同選①得，
時，，則，，所以，，
所以．
2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD為BC邊上中線，，求△ABC的面積.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用正弦定理邊化角，再用三角恒等變換即可求解；
（2）利用，分別在△和△運(yùn)用余弦定理可得
，再在△運(yùn)用余弦定理得，兩式聯(lián)立即可求得，最后直接用三角形面積公式即可求解.
(1)由正弦定理得，∴，
∴,∴，
∵，∴，又∵, ∴,
(2)由已知得，，在△中，由余弦定理得，
在△中，由余弦定理得，
又∵,∴，
在△中，由余弦定理得，
以上兩式消去得, 解得或（舍去），
則.
3.在中，角所對的邊分別為，且滿足
（1）求角;
（2）若外接圓的半徑為，且邊上的中線長為，求的面積
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式即可得解；
（2）由正弦定理得，利用D為中點(diǎn)，結(jié)合向量的加法法則得，從而得到，再結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而求得三角形面積.
【詳解】（1）由，得.利用正弦定理得：，
即，化簡得.，，.
又，.
（2）由正弦定理得.設(shè)為邊上的中點(diǎn)，則，
利用向量加法法則得：
兩邊平方得：，即
由余弦定理，即，
兩式相減得，即.
由三角形面積公式得：.
【題型十二】 解三角形6：角平分線
【典例分析】
在中，已知D是BC上的點(diǎn)，AD平分，且.
(1)若，求的面積；
(2)若，求.
【答案】(1)6；(2)3.
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知求，進(jìn)而可得，由三角形面積公式求面積即可.（2）令、結(jié)合已知得到與的關(guān)系，過作交延長線于，有，，由即可得的線性關(guān)系式，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求的模即可.
(1)在中，由角平分線性質(zhì)：，而，∴，
∴，，，易知：，∴.
(2)令、，又，
如圖過作交延長線于，則且，，
又，即，∴，
兩邊平方，，∴.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
角平分線，多借助面積和
【變式演練】
1.已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，分別是角的對邊，，若為上一點(diǎn)，且滿足____________，求的面積.
請從①；②為的中線，且；③為的角平分線，且.這三個條件中任意選一個補(bǔ)充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分）
【答案】(1)，(2)答案見解析
【分析】（1）先對解析式進(jìn)行化簡，再對正弦型三角函數(shù)求單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（2）由題干可知，.選①時，的面積由計(jì)算；選②③時的面積由計(jì)算.
(1)，
由，得，，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
(2)由，得，
又中，，可知；
若選①：由，可知，可化為，
又，則，又中，故，所以，
則，故；
若選②：為的中線，且在中，，，則有，
在中，，在中，，
又，
則
則，又知，故；故；
若選③：為的角平分線，且.由題意知，，
即，整理得
又在中，，，則有，
故解之得，，故.
2.已知的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，且．
(1)求；
(2)若的面積為，角的平分線交于，且，求．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）利用正弦定理化角為邊，得到，進(jìn)而求出；（2）利用三角形面積公式得到，由面積公式得到，進(jìn)而利用余弦定理求出.
(1)
由正弦定理及，得，
所以．因?yàn)椋裕?br/>(2)
因?yàn)椋?br/>所以，即．又，所以．
易知方程組有解且，均大于0，
由余弦定理得：，所以．
3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.且滿足（a+2b）cosC+ccosA=0.
(1)求角C的大小；
(2)設(shè)AB邊上的角平分線CD長為2，求△ABC的面積的最小值.
【答案】(1)；(2).
【分析】
（1）先通過正弦定理進(jìn)行邊化角，進(jìn)而結(jié)合兩角和與差的正弦公式將式子化簡，然后求得答案；
（2）在和中，分別運(yùn)用正弦定理，進(jìn)而求出，然后在中再次運(yùn)用正弦定理得到，最后通過三角形面積公式結(jié)合基本不等式求得答案.
(1)根據(jù)題意，由正弦定理可知：，則，因?yàn)椋裕瑒t，而，于是.
(2)由（1）可知，，在中，設(shè)，則，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
所以.
在中，由正弦定理得：，
所以.
由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.
于是，.即△ABC的面積的最小值為.
【題型十三】 三角形存在個數(shù)
【典例分析】
設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為．
(1)求；
(2)從以下三個條件：①；②；③邊上的高中選擇一個作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求的面積．
【答案】(1)。(2)選第②個條件；
【分析】（1）利用余弦定理即可求出A；
（2）選第①個條件，這樣的三角形不存在；
選第②個條件，先利用正弦定理，余弦定理求出邊長c，即可求出；
選第③個條件：先求出邊長，代入判斷出這樣的三角形有兩個.
(1)因?yàn)椋裕?br/>所以，所以．又，所以．
(2)選第①個條件：．由可得：，
因?yàn)椋詿o解，這樣的三角形不存在.
選第②個條件：．由正弦定理，得，所以．
由，得．
解得，或（舍去）．
因此．
選第③個條件：邊上的高．
在中，由，所以，即，
代入得：，解得：或，這樣的三角形有兩個.
【變式演練】
1.在中，.
(1)求；
(2)若，從條件①、條件②、條件③中任選一個作為已知，使存在并唯一確定，并求的值.
條件①：
條件②：
條件③：
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．
【答案】(1)(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)正弦定理，邊化為角，可求答案；
（2）選條件①，答案不唯一，不符合題意；選條件②，利用正弦定理可求得 , 再用正弦定理求得答案； 選條件③，可先求 ,再求,最后用正弦定理求c.
(1)由正弦定理得,
即,因?yàn)?， ,所以;
(2)選條件①,則，,故 或，存在但不唯一確定，故不符合題意；
選條件②由正弦定理得：,,存在并唯一確定，
故,所以，
選條件③，存在并唯一確定，
所以，
故.
2.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，記的面積為S.
(1)求a；
(2)請從下面的三個條件中任選一個，探究滿足條件的的個數(shù)，并說明理由.
條件：①，②，③.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
【答案】(1)(2)選①，滿足條件的的個數(shù)為2；選②，滿足條件的的個數(shù)為1；選③，不存在滿足條件的三角形；理由見解析
【分析】（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此求得.
（2）選①，利用三角形的面積公式化簡已知條件，求得，進(jìn)而求得，利用正弦定理求得有兩個解，從而得出結(jié)論.選②利用正弦定理化簡已知條件，求得，利用正弦定理求得有一個解，從而得出結(jié)論.選③，結(jié)合三角恒等變換求得，利用正弦定理求得，無解，從而得出結(jié)論.
(1)因?yàn)椋裕?br/>解得，所以.
(2)選擇①，
因?yàn)椋裕?br/>所以，化簡得.又，故.
由，得.
因?yàn)椋曰颍蕽M足條件的的個數(shù)為2.
選擇②，
因?yàn)椋裕矗?br/>化簡得，因?yàn)椋裕獾?
由，得，所以，故滿足條件的的個數(shù)為1.
選擇③，
因?yàn)椋?又，所以，
所以，化簡得.又，故.
由，得，無解，不存在滿足條件的三角形.
3.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，，．
(1)當(dāng)時．求；
(2)是否存在正整數(shù)，使得角C為鈍角？如果存在，求出的值，并求此時的面積；如果不存在．說明理由．
【答案】(1)；(2)存在，使得角C為鈍角.此時.
(1)解：當(dāng)時，，，，所以.
(2)解：當(dāng)角C為鈍角時，,所以，
因?yàn)?
當(dāng)時，，，，是鈍角.
故存在，使得角C為鈍角.此時.
所以.
【題型十四】 四邊形轉(zhuǎn)化為解三角形
【典例分析】
如圖，在四邊形中，.
(1)求證：；
(2)若，求的長.
【答案】(1)證明見解析.(2).
【分析】
（1）由平行線的性質(zhì)得，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，分別在、中，運(yùn)用正弦定理得可得證；
（2）由已知得， ，再在中，運(yùn)用余弦定理求得即可.
(1)解：因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕裕?br/>在中，由正弦定理得，即，
同理在中，由正弦定理得，即，
所以，
所以，所以；
(2)解：因?yàn)椋裕?br/>所以，又，所以，
所以在中，，即，
解得（舍去），所以.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
四邊形，一般適當(dāng)?shù)倪B接對角線，分解為有公共邊倆三角形。如果是有外接圓，則要充分運(yùn)用對角互補(bǔ)這個隱形條件
【變式演練】
1.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．
(1)求的正弦值；
(2)求AB的長及的面積．
【答案】(1)(2)3，
【分析】（1）先由余弦定理求出BD，再由正弦定理求出的正弦值；
（2）先由余弦定理求出AB，再利用三角形面積公式求出面積.
(1)在中，由余弦定理可知：
在中，由正弦定理可知：，
即：
(2)在中，由余弦定理可知：
即
解得或（舍去）
的面積
2.如圖，在中，對邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，且，求四邊形的面積.
【答案】(1).(2).
【分析】（1）由正弦定理進(jìn)行邊角互化得，再由輔助角公式可求得答案；
（2）設(shè)，在三角形中，由余弦定理可求得，再由三角形的面積公式可求得答案.
(1)解：由正弦定理及已知，得，
，，，，
又，所以，即；
(2)解：由A B C D四點(diǎn)共圓得，
設(shè)，在三角形中，由余弦定理得
所以，而，
，
，因此.
3.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，點(diǎn)E在AB上且AE=2BE，．
(1)求的值；
(2)求的周長．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）在中利用正弦定理求解即可，
（2）在中利用銳角三角函數(shù)的定義求出，在中利用余弦定理求出的長，從而可求出的周長
(1)由題知，，在中，由正弦定理得，
因?yàn)椋裕?br/>(2)因?yàn)?所以，
所以，所以，
在中，因?yàn)椋裕?br/>在中，由余弦定理得，
所以的周長為．
【題型十五】 解三角形：四邊形求最值
【典例分析】
如圖，在凸四邊形中，為定點(diǎn)，,為動點(diǎn)，滿足．
（1）寫出與的關(guān)系式；
（2）設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．
【答案】（1）；（2）的最大值.
【詳解】試題分析：（1）在三角形中處理邊角關(guān)系時，一般全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，或全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理，應(yīng)用正弦、余弦定理時，注意公式變形的應(yīng)用，解決三角形問題時，注意角的限制范圍;（2）在三角形中，注意隱含條件（3）解決三角形問題時，根據(jù)邊角關(guān)系靈活的選用定理和公式；（4）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意角的取值范圍.
試題解析：（1）由余弦定理，在中，
在中，
所以，即 4分
（2）, 6分
所以
10分
由題意易知，,所以
當(dāng)時，有最大值． 12分
【變式演練】
1.在平面四邊形中，，，，
（1）求的長；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）在三角形ABD中，利用余弦定理求出的長；
（2）先推出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，然后求出，問題歸結(jié)為求的最大值.，顯然當(dāng)為外接圓的直徑時最大，再用正弦定理求出外接圓直徑即可.
【詳解】（1）∵在中，，，
∴利用余弦定理得：
∵∴
（2）∵，∴∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓
如圖所示：在AC上取點(diǎn)E，使得∠CBE=∠DBA，
又∵∠BCE=∠BDA∴∴ ，即①
同理可得：∴，即②
①+②得：
由（1）可知，∴∴求的最大值即求的最大值.
當(dāng)AC為圓的直徑時，最大
由正弦定理得：
∴最大值為，此時
的最大值為
2.在①，②，③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.
在中，角，，的對邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，， 求的取值范圍.
【答案】.
【分析】根據(jù)題意，選擇①②③求得，設(shè)，則，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，結(jié)合和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】
若選①：由，根據(jù)正弦定理可得，即，
即，可得，因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，則，在中，由正弦定理得，
可得，在中，由正弦定理得，
可得
，因?yàn)椋傻茫?br/>當(dāng)時，即，可得，
當(dāng)時，即，可得，
所以的取值范圍是.
選②：由，根據(jù)正弦定理可得，可得，即，
又由余弦定理，可得，因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，則，在中，由正弦定理得，
可得，在中，由正弦定理得，
可得
，
因?yàn)椋傻茫?br/>當(dāng)時，即，可得，
當(dāng)時，即，可得，所以的取值范圍是.
若選③：由，可得，
即，可得，因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，則，在中，由正弦定理得，
可得，在中，由正弦定理得，
可得
，
因?yàn)椋傻茫?br/>當(dāng)時，即，可得，
當(dāng)時，即，可得，所以的取值范圍是.
3.如圖，在四邊形中，，，.
（1）求；
（2）若，求周長的最大值.
【答案】（1）；（2）12
【分析】
（1）在中，利用正弦定理可求得結(jié)果；
（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，設(shè)，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，進(jìn)而求出周長的最大值.
【詳解】
（1）在中，，
利用正弦定理得：，
又為鈍角，為銳角，
（2）在中，由余弦定理得
解得：或（舍去）
在中，，設(shè)
由余弦定理得，即
整理得：，又
利用基本不等式得：，即，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，
所以
所以周長的最大值為12
【題型十六】 三角形中證明題
【典例分析】
在平面四邊形中，已知，，.
（1）若，，，求的長；
（2）若，求證：.
【答案】（1），；（2）見解析
【解析】
（1）根據(jù)題意，得出，，再利用正弦定理求得，結(jié)合已知條件，即可求出的長；
（2）利用余弦定理以及三角形的內(nèi)角和，得出，通過判斷三角形中邊角關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）由已知得，，所以.
因?yàn)椋裕?
所以.
在中，由正弦定理得，所以，
所以.
又，所以，.
（2）在中，由余弦定理得.
在中，由余弦定理得
.
因?yàn)椋?br/>所以，
即.
又，，所以，
所以.
【變式演練】
1.在非直角三角形ABC中，角的對邊分別為，
（1）若，求角B的最大值；
（2）若，
（i）證明：；
（可能運(yùn)用的公式有）
（ii）是否存在函數(shù)，使得對于一切滿足條件的m，代數(shù)式恒為定值？若存在，請給出一個滿足條件的，并證明之；若不存在，請給出一個理由.
【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）存在，，證明見解析.
【解析】
(1)由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，從而可求出角B的最大值.
(2)(i)由正弦定理邊角互換可得，結(jié)合和差化積公式和誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合兩叫和、差的余弦公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得所證式子.
(ii)結(jié)合已知條件和半角正切公式可得，通過整理變形可得，從而可求出.
【詳解】
解：（1）因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻茫?br/>（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
又，，所以角B的最大值為.
（2）（i）由及正弦定理得，
所以，因?yàn)椋?br/>所以，
有，由兩角和、差的余弦公式可得
整理得，故．
（ii）由及半角正切公式可得
，
，展開整理得，
即，即，
即，與原三角式作比較可知存在且．
2.在中，A為定角且，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】
根據(jù)分析法先從要證結(jié)論著手，把要證等式變形為，
結(jié)合余弦定理得到所證即為.然后用綜合法從已知條件出發(fā)結(jié)合正弦定理及和差公式證明即可.
【詳解】所證等式可變形為．
即，即，因此只需證．
下面改為順推法：
由正弦定理，可得，于是，結(jié)合條件，即，
所以，即，即，
因?yàn)椋约矗啵?br/>∵A為定角，上式左邊有最大值（定值），這個最大值應(yīng)為1．
∴，∴．所以成立.
3.在中，為上一點(diǎn)，，，是線段的延長線上一點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若，，求．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）先利用誘導(dǎo)公式及正弦定理得，再由得，面積的關(guān)系，即可得，的關(guān)系，即可得證；
（2）先由余弦定理求出的余弦值，即可求出的余弦值，再利用余弦定理即可求出．
【詳解】
解：（1）在中，由正弦定理，
∵，∴，
又，∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴．
（2）∵，∴，∵，∴由（1）知，，
在中，由余弦定理知，，
∴，
∴，
∴．
【題型十七】 解三角形綜合
【典例分析】
D為邊上一點(diǎn)，滿足，，記，．
(1)當(dāng)時，且，求CD的值；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）設(shè)CD長為x，可知，，再利用正切的二倍角公式可求解；
（2）利用正弦定理得，，再利用三角形面積公式結(jié)合兩角差的正弦公式及輔助角公式可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
(1)設(shè)CD長為x，當(dāng)時，，，則，
因?yàn)椋裕?br/>所以，得，所以，所以為
(2)在中，，則，由正弦定理得，又，
所以，，
則的面積，
又，所以
因?yàn)椋裕?br/>所以當(dāng)，即時，S有最大值
又的面積等于，故的面積的最大值為
【變式演練】
1.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，.
(1)求的大小；
(2)若，，求|AB|.
【答案】(1)；(2)﹒
【分析】(1)結(jié)合與正弦定理邊化角即可求解；
(2)根據(jù)幾何關(guān)系，在△ABD內(nèi)求|AB|﹒
(1)∵，∴由正弦定理得，
∵，∴；
(2)
∵，，∴，
又，
又
又
∴．
2.如圖，在中，，，D，E分別在邊BC，AC上，，且．
(1)求；
(2)求的面積．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）根據(jù)題意，先得出，進(jìn)而在中運(yùn)用正弦定理得到的另外一個等式，然后解出答案；
（2）由（1）求出，進(jìn)而確定，然后求出，最后結(jié)合三角形面積公式解得答案.
(1)
由，，得…①，
在中，，
由正弦定理得，
即…②，
將①代入②得，故．
(2)
由，，得到，
在中，，
，
由，易知A為銳角，則，
∴．
∵，
∴，∴的面積是．
3.如圖，在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，.
（1）若，求；
（2）若，求的面積.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出，，中由余弦定理即可求得；
（2）設(shè)，利用正弦定理表示出，求得，利用面積公式即可得解.
【詳解】
（1）在中，，
為內(nèi)一點(diǎn)，，，所以，
中，由余弦定理得：
所以中，由余弦定理得：
；
（2），設(shè)，
在中，，在中，由正弦定理，
即，，所以，
的面積.
【題型十八】 建模應(yīng)用
【典例分析】
北京2022年冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家口開幕，運(yùn)動員休息區(qū)本著環(huán)保，舒適，溫馨這一出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，如圖，在四邊形休閑區(qū)域，四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保電動步道，且.
(1)求氫能源環(huán)保電動步道的長；
(2)若，求花卉種植區(qū)域總面積（電動步道的面積忽略不計(jì)）.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知可得，從而由余弦定理即可求出AC的長；
（2）利用余弦定理求出，利用面積公式求出和，進(jìn)而可得花卉種植區(qū)域總面積.
(1)解：因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼茫?br/>因?yàn)椋裕?br/>(2)解：因?yàn)椋?br/>所以在ABC中，由余弦定理得，解得或（舍去），
因?yàn)椋裕裕?br/>因?yàn)椋裕剩?br/>所以花卉種植區(qū)域總面積為.
【變式演練】
1.某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，、為直線岸線，米，米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點(diǎn)按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知.
(1)求岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離；
(2)如果線段上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）
【答案】(1)米(2)55076元
【分析】（1）由余弦定理計(jì)算即可；
（2）先由正弦定理計(jì)算出相關(guān)長度，再計(jì)算收益表達(dá)式，最后由輔助角公式求最值.
(1)
，
岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離為米.
(2)△中，，，，（），
設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益為元，則
，
當(dāng)，即時， （元）
所以兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高約為55076元.
2.如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝，.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝θ.
（1）當(dāng)θ＝時，求∠OPQ的大小；
（2）當(dāng)∠OPQ越大時，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時，角θ的正弦值．
【答案】（1）.（2）.
（1）設(shè)∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的關(guān)系式，將其展開化簡并整理后得tanα＝，將θ＝代入得答案；
（2）令f(θ)＝并利用導(dǎo)數(shù)求得f(θ)的最大值，即此時的，由（1）可知tanα＝，得答案.
【詳解】（1）設(shè)∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的關(guān)系式．
因?yàn)椤螦QC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以O(shè)Q＝
在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，設(shè)∠OPQ＝α，則∠PQO＝－α＋θ.
由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)．
展開并整理，得tanα＝，其中θ∈.
此時當(dāng)θ＝時，tanα＝.因?yàn)棣痢?0，π)，所以α＝.故當(dāng)θ＝時，∠OPQ＝.
（2）設(shè)f(θ)＝，θ∈.則f′(θ)＝＝.
令f′(θ)＝0，得sinθ＝，記銳角θ0滿足，
則，即
列表如下：
θ (0，θ0) θ0
f′(θ) ＋ 0 －
f(θ) 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減
由上表可知，f(θ0)＝是極大值，也是最大值．
由（1）可知tanα＝f(θ)>0，則， tanα單調(diào)遞增
則當(dāng)tanα取最大值時，α也取得最大值．故游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時，sinθ＝.
3.某沿海特區(qū)為了緩解建設(shè)用地不足的矛盾，決定進(jìn)行圍海造陸以增加陸地面積.如圖，兩海岸線，所成角為，現(xiàn)欲在海岸線，上分別取點(diǎn)，修建海堤，以便圍成三角形陸地，已知海堤長為6千米.
（1）如何選擇，的位置，使得的面積最大；
（2）若需要進(jìn)一步擴(kuò)大圍海造陸工程，在海堤的另一側(cè)選取點(diǎn)，修建海堤，圍成四邊形陸地.當(dāng)海堤與的長度之和為10千米時，求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）當(dāng)，兩點(diǎn)距離點(diǎn)都為千米時，最大面積為（平方千米）；
（2）四邊形面積的最大值為（平方千米）.
【分析】
（1）設(shè)，，由余弦定理得：，
因?yàn)椋矗?dāng)且僅當(dāng)時取得等號；
（2）要求四邊形面積的最大值，只需求面積的最大值.在中，，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長10的橢圓（夾在兩海岸線，區(qū)域內(nèi)的曲線），根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出點(diǎn)到距離的最大值即可得到最大面積.
【詳解】（1）設(shè)，，（單位：千米）
在中，由余弦定理得：，
因?yàn)椋裕?br/>故，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，此時，（平方千米）.
所以，當(dāng)，兩點(diǎn)距離點(diǎn)都為千米時，的面積最大，最大面積為（平方千米）.
（2）由（1）知，要求四邊形面積的最大值，只需求面積的最大值.
在中，，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長10的橢圓（夾在兩海岸線，區(qū)域內(nèi)的曲線），
以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)所在的橢圓方程為，焦距為，
由，得：，所以點(diǎn)所在的橢圓方程為.
設(shè)，則，因?yàn)椋?br/>所以（平方千米），當(dāng)且僅當(dāng)（千米）時取得等號.
所以，四邊形面積的最大值為（平方千米）.
模擬題
1.函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向右平移個單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】(1)。(2)和
【分析】（1）根據(jù)圖像計(jì)算周期，代入點(diǎn)解得，得到函數(shù)解析式.
（2）根據(jù)函數(shù)平移得到，取，解得答案.
(1)由函數(shù)圖象知，，，，
，，，又，，．
(2)，故，
由，，得，．
，的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
2.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求的解析式及對稱中心坐標(biāo)：
(2)先把的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高點(diǎn)可求得的值，即可得的解析式，由正弦函數(shù)的對稱中心可得對稱中心；
（2）由圖象的平移變換求得的解析式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的值域，令的取值為的值域，解不等式即可求解.
(1)由題意可得：，可得，所以，
因?yàn)椋裕傻茫裕?br/>由可得，因?yàn)椋裕?
令可得，所以對稱中心為.
(2)由題意可得：，
當(dāng)時，，，
若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則有實(shí)根，所以，可得：.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
3.函數(shù)，．
(1)把的解析式改寫為(，)的形式；
(2)求的最小正周期并求在區(qū)間上的最大值和最小值；
(3)把圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)的圖象，再把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上至少有個零點(diǎn)，求的最小值．
【答案】(1)(2)最小正周期為；最小值為，最大值為(3)
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換得到，得到答案.
（2）利用公式得到周期，計(jì)算，得到最值.
（3）根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮變換得到，令，解得答案.
(1)函數(shù)．即的解析式為．
(2)，所以函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)椋瑒t，
所以當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值，最小值為；
當(dāng)，即時，函數(shù)取得最大值，最大值為，
即函數(shù)的最小值為，最大值為．
(3)把圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)，
再把函數(shù)圖像上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，可得，
則函數(shù)，令，即，即，
解得或，要使得函數(shù)區(qū)間上至少有個零點(diǎn)，則只需，即實(shí)數(shù)的最小值為．
4.已知函數(shù)的最小正周期是π.
(1)求f（x）的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將f（x）的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求若，|g（x）﹣m|<2恒成立，求m的取值范圍.
【答案】(1)對稱中心為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)0【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及化一公式可得到函數(shù)解析式，再由正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得到函數(shù)的對稱中心和單調(diào)區(qū)間；（2）通過平移伸縮得到函數(shù)解析式為，函數(shù)值域?yàn)椋?等價(jià)于m﹣2(1)
因?yàn)樽钚≌芷跒棣校剩睿?br/>解得：，所以對稱中心為，
令，解得：，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為：.
(2)將f（x）的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到，當(dāng)時，，所以，
若恒成立，則m﹣25.從以下條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題的橫線中，并作答.①；②；③且為銳角.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，若， ______，.
(1)求角；
(2)求的周長.
注：如果選多個條件分別作答，則按第一個解答記分.
【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析
【分析】（1）選條件①②③分別利用正弦定理或面積公式求出的三角函數(shù)值；
（2）選條件①②③，分別利用正弦定理和余弦定理求出的值，即可求得周長；
(1)選條件①∵，∴，又，
∴，故
選條件②∵，由正弦定理得：，又，
∴，即，又，故.
選條件③∵且，∴，即，
又為銳角，故.
(2)根據(jù)（1）的結(jié)果可得：∵且，
∴由正弦定理得：，①又由余弦定理有：，
即，∴，②由①②解得：，
故的周長.
6.在中，角、、所對的邊分別為、、，向量，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由向量共線的坐標(biāo)表示得到，利用正弦定理和余弦定理可得答案；
（2）由利用基本不等式可得的范圍，再由面積公式可得答案.
(1)∵，∴，由正弦定理得
即，由余弦定理得∴，∴．
(2)∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br/>∴，∴面積的最大值為．
7.已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求外接圓面積的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）利用二倍角公式將已知轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，解一元二次方程可得；
（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圓半徑的最小值，然后可解.
(1)因?yàn)椋裕?br/>解得或（舍去），又為銳角三角形，所以.
(2)因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以.
外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為.
8.在①，②， ③向量與，且，三個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并加以解析. 在中，分別是內(nèi)角所對的邊，且___________.
(1)求角的大小;
(2)若是鈍角三角形，且，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）選擇第一個條件利用角化邊，利用余弦定理解決，選擇后兩個條件都會邊化角，用正弦定理解決；（2）利用正弦定理，將用只含有一個角的三角函數(shù)表示即可.
(1)若選條件①，根據(jù)正弦定理得，， 由余弦定理可得， ，又，則；
若選條件②，由正弦定理得，，則 ，化簡得，，則，于是，則，結(jié)合可得；
若選條件③，，則，由正弦定理得，，，則，于是，則，結(jié)合可得.
(2)由正弦定理，，則，又是鈍角三角形，不妨設(shè)是鈍角，又，于是，則有，，于是
即.
9.在①，②， ③，三個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并加以解析. 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知___________.
(1)求角A的大小;
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）利用正弦定理邊化角，然后利用三角公式計(jì)算即可；
（2）利用正弦定理邊化角，求出角，進(jìn)而可得三角形三邊的比，則目標(biāo)式可求.
(1)若選條件①，
則有，∴， ∴，又∵，∴.
若選條件②，根據(jù)正弦定理可得，
∴，∴，又∵，∴.
若選條件③，根據(jù)余弦定理得， 化簡得，
∴，又∵，∴.
(2)∵∴由正弦定理可得，
∵，∴，化簡可得， ∴.又∵，
∴，∴， ∴為等腰三角形，且，
設(shè)∴.
10.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．
(1)求證：B為鈍角；
(2)若△ABC同時滿足下列4個條件中的3個：①；②；③；④．請證明使得△ABC存在的這3個條件僅有一組，寫出這組條件并求b的值．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析，①③④，
【分析】（1）變形，整理可得，則可得答案；
（2）分析可得①②不可能都成立，則③④均成立，再根據(jù)條件利用余弦定理計(jì)算可得答案.
(1)∵，∴，
∴，即，∴B為鈍角；
(2)∵B為鈍角，∴，即A，C均為銳角，則，，
若①②均成立，則，，此時與B為鈍角矛盾，
∴①②不可能都成立，
∴③④均成立，∵，∴，只能選①③④．
在△ABC中，由余弦定理得由，解得．
11.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，∠B＝45°．
(1)求邊BC的長以及三角形ABC的面積；
(2)在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求tan∠DAC的值．
【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解，結(jié)合面積公式求得面積；
（2）在中，由正弦定理可以求出，再利用與互補(bǔ)可以求出，得出是鈍角，從而可得為銳角，即可求出和的值，利用展開代入數(shù)值即可求解，從而求解tan∠DAC的值．
(1)在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ恚?br/>得所以解得：或（舍）所以，
(2)在中，由正弦定理，得.所以
在中，因?yàn)椋詾殁g角.
而，所以為銳角故
因?yàn)椋裕?br/>，
由題可知∠DAC為銳角， 所以．
12.如圖，在平面四邊形ABCD中，若，，，，．
(1)求的值；(2)求AD的長度．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，再根據(jù)二倍角公式求解即可得；（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而在中，根據(jù)余弦定理得.
(1)解：在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ恚傻茫裕?br/>又由正弦定理可得，所以．
所以．
(2)解：由（1），因?yàn)闉殇J角，可得．
在中，根據(jù)余弦定理，可得
，所以．
13.在非直角中，角，，對應(yīng)的邊分別，，，滿足.
(1)判斷的形狀；
(2)若邊上的中線長為2，求周長的最大值.
【答案】(1)等腰三角形(2)
【分析】
（1）由正弦定理結(jié)合條件可得或，又為非直角，從而判斷三角形為等腰三角形；
（2）在△ABD和△ABC中，由余弦定理可得，設(shè)，，將周長的最大值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值問題，可求得結(jié)果．
(1)
，
，
可得．
即
根據(jù)正弦定理，得．代入式，化簡得．
即，為外接圓的半徑）
化簡得，
或，即或，又非直角，
因此是等腰三角形．
(2)在△ABD和△ABC中，由余弦定理可得，又，
所以，所以，設(shè)，，，
所以△ABC的周長2a+ c=，
所以當(dāng)時，2a+ c有最大值為,即△ABC周長的最大值為.
14.如圖：某公園改建一個三角形池塘，，百米，百米，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚供游客觀賞.
(1)若在內(nèi)部取一點(diǎn)，建造連廊供游客觀賞，如圖①，使得點(diǎn)是等腰三角形的頂點(diǎn)，且，求連廊的長（單位為百米）；
(2)若分別在，，上取點(diǎn)，，，并連建造連廊，使得變成池中池，放養(yǎng)更名貴的魚類供游客觀賞，如圖②，使得為正三角形，或者如圖③，使得平行，且垂直，則兩種方案的的最小面積分別設(shè)為，，則和哪一個更小？
【答案】(1)百米(2)答案見解析.
【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出即可求得連廊的長；
（2）分別表示出方案②和方案③的面積，利用三角函數(shù)求最值以及二次函數(shù)求最值即可.
(1)
解：點(diǎn)是等腰三角形的頂點(diǎn)，且，
且由余弦定理可得：解得：
又在中，，
在中，由余弦定理得解得，連廊的長為百米.
(2)解：設(shè)圖②中的正三角形的邊長為，，（）
則，，設(shè)，可得
在中，由正弦定理得：
，即即化簡得：
（其中，為銳角，且）
圖③中，設(shè)，
平行，且垂直，，
，
，
當(dāng)時，取得最大值，無最小值，即
即方案②面積的最小值大于方案③面積的最大值
方案③面積的最小值不存在，但是方案③的面積均小于方案②.13 三角函數(shù)與解三角形大題歸類
【題型一】 圖像與性質(zhì)1:給圖求解析式和值域（最值）
【典例分析】
1．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求；
(2)將函數(shù)圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.注意正余弦“第一零點(diǎn)”和“第二零點(diǎn)”的區(qū)別和聯(lián)系。
2.對稱軸在最大值最小值處的區(qū)別和聯(lián)系
【變式演練】
1.已知函數(shù)的部分圖象如圖.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求值域.
2.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式及對稱中心坐標(biāo)：
(2)先把的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時，求的值域．
3.已知函數(shù)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)首先將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，然后將所得函數(shù)圖象向右平移個單位，最后再向上平移個單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在內(nèi)的值域.
【題型二】 圖像與性質(zhì)2:二倍角降冪公式恒等變形
【典例分析】
已知函數(shù)的最小正周期是π.
(1)求ω值；
(2)求f（x）的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)將f（x）的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求若，|g（x）﹣m|<2恒成立，求m的取值范圍.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.對于文科學(xué)生而言，所謂“見平方就降冪”。要注意最終目標(biāo)是角度一致
2.二倍角、降冪目的都是“化一”，最終是輔助角
【變式演練】
1.已知函數(shù)，在中，角、、所對的邊分別為、、，
(1)求函數(shù)的最大值，并求出此時的值；
(2)若，且，求的值．
2.已知，其中0＜＜4，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．
(1)求的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＝2，c＝，求△ABC面積的最大值．
【題型三】 圖像與性質(zhì)3:恒等變形（“打散”-重組-輔助角）
【典例分析】
已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，試判斷的形狀．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.“打散”：角度不一致，可以拆開
2. “重組”：系數(shù)次冪一致，合并為正弦余弦，便于使用輔助角“化一”
【變式演練】
1.已知函數(shù)．在下列條件①、條件②、條件③這三個條件中，選擇可以確定和值的兩個條件作為已知．(1)求的值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值．
條件①：的最小正周期為；
條件②：的最大值與最小值之和為0；
條件③：．
2.已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期，及對稱軸方程.
(2)先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.
3.已知，設(shè)函數(shù)．
(1)若f(x)是偶函數(shù)，求的取值集合；
(2)若方程有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．
【題型四】 圖像與性質(zhì)4:零點(diǎn)求參
【典例分析】
已知.(1)求函數(shù)的對稱中心和單調(diào)增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)___________得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時，方程有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
在以下① ②中選擇一個，補(bǔ)在（2）的橫線上，并加以解答，如果① ②都做，則按①給分.
①向左平移個單位，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的一半；②縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的一半，再向右平移個單位.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.可以直接求解：五點(diǎn)畫圖法思維
2,可以換元求解
【變式演練】
1.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若關(guān)于的方程在上恰有兩個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2.已知函數(shù)，其中常數(shù)．
(1)若，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到的函數(shù)的圖象，求；
(2)若在，上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)對（1）中的，區(qū)間，，且滿足：在，上至少含有30個零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的，中，求的最小值．
3.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為．
(1)求的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個不同的根，求m的取值范圍．
【題型五】 解三角形基礎(chǔ)：正弦定理、角與對邊
【典例分析】
已知中，角所對的邊分別為．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的值．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
一般大題規(guī)律：第一問正余弦定理求出角度，第二問借助角所對應(yīng)邊長。多用余弦定理。此類題，特別是文科若考察解三角形，應(yīng)用較多。
【變式演練】
1.在中，角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的值
2.的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，的面積為，求的周長．
3.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)求角C；
(2)若，求的面積.
【題型六】 解三角形基礎(chǔ)2：余弦定理變形
【典例分析】
在中，角，，的對邊分別為，，，的面積為，且.
（1）求角；
（2）若，求.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.若式子含有的2次齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”
2.面積和2次齊次式，可構(gòu)造余弦定理
【變式演練】
1.已知中，角，，所對的邊分別為，，，，且滿足.
（1）求的面積；
（2）若，求的最大值.
2.已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若同時滿足以下四個條件中的三個：①，②，③，④.
（1）條件①②能否同時滿足，請說明理由；
（2）以上四個條件，請?jiān)跐M足三角形有解的所有組合中任選一組，并求出對應(yīng)的面積.
3.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.
（1）求；
（2）若角的平分線與交于點(diǎn)，且，求的值.
【題型七】 解三角形1：面積最值
【典例分析】
如圖，在△中，D為BC邊上的點(diǎn)，連接AD，且滿足.
(1)求證：；
(2)若，，求△的面積的最小值.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
面積最值，一般符合“齊次對稱結(jié)構(gòu)”，可以直接用余弦定理加均值不等式。
【變式演練】
1.三個內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，且，．
(1)若，求C；
(2)求的面積S的取值范圍．
2.在三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.
(1)求角A；
(2)若，求三角形面積的最大值.
3.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.
(1)求角C；
(2)若的外接圓半徑為2，求面積的最大值.
【題型八】 解三角形2：周長最值
【典例分析】
在①是和的等差中項(xiàng)；②；③．這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．
在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足條件 （填寫所選條件的序號）．
(1)求角；
(2)若，求銳角的周長的取值范圍．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
“齊次對稱結(jié)構(gòu)”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，計(jì)算量稍大
【變式演練】
1.在中，角的對邊分別為，其中，且.
(1)求角的大小；
(2)求周長的取值范圍。
2.在中，角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)若的面積，求周長的最小值.
3.在①，②向量與，且， ③，三個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并加以解析. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知______.
(1)求角的大小;
(2)若的面積為，求周長的取值范圍.
【題型九】 解三角形3：邊長最值
【典例分析】
在①；②；③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在中，內(nèi)角的對邊分別為，且__________.
(1)求角；
(2)若是銳角三角形，且，求的取值范圍.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
用正線定理，要注意角度的范圍。
【變式演練】
1.在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且.
(1)求角C；
(2)若，求c的取值范圍.
2.在中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，.
(1)求證：；
(2)若，為銳角，求的取值范圍.
3.設(shè)函數(shù) .
(1)求的最大值，并寫出使取最大值時的集合；
(2)已知中，角的對邊分別為，若， ，求的最小值.
【題型十】 解三角形4：不對稱型最值
【典例分析】
在中，分別是角所對的邊，滿足．
(1)求角B大小；
(2)求的取值范圍．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
“非齊次或者不對稱結(jié)構(gòu)”，用正弦定理消角化一，角度范圍是否受限，是關(guān)鍵計(jì)算點(diǎn)
【變式演練】
1.在①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.
問題：已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，____________，求的最大值.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
2.在①，②， ③，在三個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并加以解析. 已知在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______.
(1)求角B
(2)若，求的取值范圍.
3.中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范圍.
【題型十一】 解三角形5：中線
【典例分析】
在中，，且邊上的中線長為，
(1)求角的大小；
(2)求的面積.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.可以利用向量法
2.中線可延長，補(bǔ)成對稱圖形
3.中線可借助補(bǔ)角。
【變式演練】
1.在①；②,這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并作答.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c， .
(1)判斷△ABC的形狀；
(2)在（1）的條件下，若，b＝10，AD為BC邊上的中線，求AD的長.
2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD為BC邊上中線，，求△ABC的面積.
3.在中，角所對的邊分別為，且滿足
（1）求角;
（2）若外接圓的半徑為，且邊上的中線長為，求的面積
【題型十二】 解三角形6：角平分線
【典例分析】
在中，已知D是BC上的點(diǎn)，AD平分，且.
(1)若，求的面積；
(2)若，求.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
角平分線，多借助面積和
【變式演練】
1.已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，分別是角的對邊，，若為上一點(diǎn)，且滿足____________，求的面積.
請從①；②為的中線，且；③為的角平分線，且.這三個條件中任意選一個補(bǔ)充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分）
2.已知的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，且．
(1)求；
(2)若的面積為，角的平分線交于，且，求．
3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.且滿足（a+2b）cosC+ccosA=0.
(1)求角C的大小；
(2)設(shè)AB邊上的角平分線CD長為2，求△ABC的面積的最小值.
【題型十三】 三角形存在個數(shù)
【典例分析】
設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為．
(1)求；
(2)從以下三個條件：①；②；③邊上的高中選擇一個作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求的面積．
【變式演練】
1.在中，.
(1)求；
(2)若，從條件①、條件②、條件③中任選一個作為已知，使存在并唯一確定，并求的值.
條件①：
條件②：
條件③：
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．
2.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，記的面積為S.
(1)求a；
(2)請從下面的三個條件中任選一個，探究滿足條件的的個數(shù)，并說明理由.
條件：①，②，③.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
3.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，，．
(1)當(dāng)時．求；
(2)是否存在正整數(shù)，使得角C為鈍角？如果存在，求出的值，并求此時的面積；如果不存在．說明理由．
【題型十四】 四邊形轉(zhuǎn)化為解三角形
【典例分析】
如圖，在四邊形中，.
(1)求證：；
(2)若，求的長.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
四邊形，一般適當(dāng)?shù)倪B接對角線，分解為有公共邊倆三角形。如果是有外接圓，則要充分運(yùn)用對角互補(bǔ)這個隱形條件
【變式演練】
1.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．
(1)求的正弦值；
(2)求AB的長及的面積．
2.如圖，在中，對邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，且，求四邊形的面積.
3.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，點(diǎn)E在AB上且AE=2BE，．
(1)求的值；
(2)求的周長．
【題型十五】 解三角形：四邊形求最值
【典例分析】
如圖，在凸四邊形中，為定點(diǎn)，,為動點(diǎn)，滿足．
（1）寫出與的關(guān)系式；
（2）設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．
【變式演練】
1.在平面四邊形中，，，，
（1）求的長；
（2）求的最大值．
2.在①，②，③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.
在中，角，，的對邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，， 求的取值范圍.
3.如圖，在四邊形中，，，.
（1）求；
（2）若，求周長的最大值.
【題型十六】 三角形中證明題
【典例分析】
在平面四邊形中，已知，，.
（1）若，，，求的長；
（2）若，求證：.
【變式演練】
1.在非直角三角形ABC中，角的對邊分別為，
（1）若，求角B的最大值；
（2）若，
（i）證明：；
（可能運(yùn)用的公式有）
（ii）是否存在函數(shù)，使得對于一切滿足條件的m，代數(shù)式恒為定值？若存在，請給出一個滿足條件的，并證明之；若不存在，請給出一個理由.
2.在中，A為定角且，求證：．
3.在中，為上一點(diǎn)，，，是線段的延長線上一點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若，，求．
【題型十七】 解三角形綜合
【典例分析】
D為邊上一點(diǎn)，滿足，，記，．
(1)當(dāng)時，且，求CD的值；
(2)若，求面積的最大值．
【變式演練】
1.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，.
(1)求的大小；
(2)若，，求|AB|.
2.如圖，在中，，，D，E分別在邊BC，AC上，，且．
(1)求；
(2)求的面積．
3.如圖，在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，.
（1）若，求；
（2）若，求的面積.
【題型十八】 建模應(yīng)用
【典例分析】
北京2022年冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家口開幕，運(yùn)動員休息區(qū)本著環(huán)保，舒適，溫馨這一出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，如圖，在四邊形休閑區(qū)域，四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保電動步道，且.
(1)求氫能源環(huán)保電動步道的長；
(2)若，求花卉種植區(qū)域總面積（電動步道的面積忽略不計(jì)）.
【變式演練】
1.某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，、為直線岸線，米，米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點(diǎn)按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知.
(1)求岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離；
(2)如果線段上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）
2.如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝，.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝θ.
（1）當(dāng)θ＝時，求∠OPQ的大小；
（2）當(dāng)∠OPQ越大時，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時，角θ的正弦值．
3.某沿海特區(qū)為了緩解建設(shè)用地不足的矛盾，決定進(jìn)行圍海造陸以增加陸地面積.如圖，兩海岸線，所成角為，現(xiàn)欲在海岸線，上分別取點(diǎn)，修建海堤，以便圍成三角形陸地，已知海堤長為6千米.
（1）如何選擇，的位置，使得的面積最大；
（2）若需要進(jìn)一步擴(kuò)大圍海造陸工程，在海堤的另一側(cè)選取點(diǎn)，修建海堤，圍成四邊形陸地.當(dāng)海堤與的長度之和為10千米時，求四邊形面積的最大值.
模擬題
1.函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向右平移個單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
2.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求的解析式及對稱中心坐標(biāo)：
(2)先把的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3.函數(shù)，．
(1)把的解析式改寫為(，)的形式；
(2)求的最小正周期并求在區(qū)間上的最大值和最小值；
(3)把圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)的圖象，再把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上至少有個零點(diǎn)，求的最小值．
4.已知函數(shù)的最小正周期是π.
(1)求f（x）的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將f（x）的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求若，|g（x）﹣m|<2恒成立，求m的取值范圍.
5.從以下條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題的橫線中，并作答.①；②；③且為銳角.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，若， ______，.
(1)求角；
(2)求的周長.
注：如果選多個條件分別作答，則按第一個解答記分.
6.在中，角、、所對的邊分別為、、，向量，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面積的最大值．
7.已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求外接圓面積的最小值.
8.在①，②， ③向量與，且，三個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并加以解析. 在中，分別是內(nèi)角所對的邊，且___________.
(1)求角的大小;
(2)若是鈍角三角形，且，求的取值范圍.
9.在①，②， ③，三個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并加以解析. 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知___________.
(1)求角A的大小;
(2)若，求的值.
10.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．
(1)求證：B為鈍角；
(2)若△ABC同時滿足下列4個條件中的3個：①；②；③；④．請證明使得△ABC存在的這3個條件僅有一組，寫出這組條件并求b的值．
11.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，∠B＝45°．
(1)求邊BC的長以及三角形ABC的面積；
(2)在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求tan∠DAC的值．
12.如圖，在平面四邊形ABCD中，若，，，，．
(1)求的值；(2)求AD的長度．
13.在非直角中，角，，對應(yīng)的邊分別，，，滿足.
(1)判斷的形狀；
(2)若邊上的中線長為2，求周長的最大值.
14.如圖：某公園改建一個三角形池塘，，百米，百米，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚供游客觀賞.
(1)若在內(nèi)部取一點(diǎn)，建造連廊供游客觀賞，如圖①，使得點(diǎn)是等腰三角形的頂點(diǎn)，且，求連廊的長（單位為百米）；
(2)若分別在，，上取點(diǎn)，，，并連建造連廊，使得變成池中池，放養(yǎng)更名貴的魚類供游客觀賞，如圖②，使得為正三角形，或者如圖③，使得平行，且垂直，則兩種方案的的最小面積分別設(shè)為，，則和哪一個更小？

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