資源簡(jiǎn)介

14 向量小題歸類
【題型一】 向量基礎(chǔ)：“繞三角形”（基底拆分）
【典例分析】
我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙夾在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
基礎(chǔ)拆分的倆個(gè)公式，與位置無(wú)關(guān)。
（1）.
（2）
【變式演練】
1.如圖，在中，為中點(diǎn)，在線段上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
2.如圖，在直角梯形中，，為邊上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則＝（ ）
A． B．
C． D．
山東省淄博市桓臺(tái)第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題
3.，，為所在平面內(nèi)三點(diǎn)，且，，，則（ ）．
A． B．
C． D．
【題型二】 系數(shù)未知型“繞三角形”
【典例分析】
如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為( )
A． B． C．1 D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
平面向量基本定理(平面內(nèi)三個(gè)向量之間關(guān)系)：若、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使.
（1）選定基底，則、，是唯一的
（2）處理技巧：可“繞三角形”，可待定系數(shù)，可建系 。
【變式演練】
1.如圖，正方形中，分別是的中點(diǎn)，若則（　　）
A． B． C． D．
2.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足，．若，則實(shí)數(shù)＋的值為（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，中，與交于，設(shè)，，，則為
A． B． C． D．
【題型三】 求最值型“繞三角形”
【典例分析】
在中，點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.基底拆分，可得系數(shù)和定值（實(shí)質(zhì)是“等和線”）
2.也可用均值不等式，或者建系設(shè)點(diǎn)三角換元
【變式演練】
1.已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2.在中，，M為線段EF的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3.中， 為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．6 D．8
【題型四】 數(shù)量積
【典例分析】
已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠B＝，點(diǎn)P滿足＝λ，λ∈R，若·＝－3，則λ的值為(　　)
A． B．－ C． D．－
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.求解數(shù)量積，可以選擇有長(zhǎng)度或者角度關(guān)系的向量作為基底求解。
2..已知向量a，b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解．
設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2.
通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式計(jì)算.
【變式演練】
1.如圖，在等腰直角中，，C為靠近點(diǎn)A的線段AB的四等分點(diǎn)，過(guò)C作AB的垂線l，P為垂線l上任意一點(diǎn)，則的值是　　
A． B． C． D．2
2.在中， ，點(diǎn)在上，，是的中點(diǎn)，，，則
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知是邊長(zhǎng)為3的正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，則（ ）.
A． B． C． D．
【題型五】 數(shù)量積最值型
【典例分析】
在中，，，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式演練】
1.已知四邊形中，，，，點(diǎn)在四邊形上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.如圖，在平行四邊形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且AD=DM，N是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作AM的垂線，垂足為H，當(dāng)最小時(shí)，（ ）
A． B．
C． D．
在中，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，若最小值為，則的面積為_(kāi)__________.
【題型六】 向量模
【典例分析】
若向量，，，且，則的最小值為_(kāi)________．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.向量的模是線段的長(zhǎng)度
2.可以借助幾何意義，也可以建系設(shè)點(diǎn)
【變式演練】
1.已知是平面上的單位向量，則的最大值是__________.
2.已知向量滿足，且，則______.
3.設(shè)，為單位向量，則的最大值是________
【題型七】 投影向量
【典例分析】
已知平面向量和滿足，則在方向上的投影的最小值為_(kāi)__________.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.向量在方向上的投影：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影.
2.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量.當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為.
3.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上投影的乘積.
【變式演練】
1.已知點(diǎn)、、、,則向量在方向上的投影為 （　　）
A． B． C． D．
2.已知向量滿足則在上的投影的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型八】 向量技巧1：極化恒等式
【典例分析】
如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，， ，則的值是________.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
基礎(chǔ)知識(shí)：
在△中，是邊的中點(diǎn)，則.
【變式演練】
1.已知△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
2.已知圓的方程為，點(diǎn)在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為
A．2 B． C．3 D．
3、已知球的半徑為1， 是球面上的兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)是球面上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．
【題型九】 向量技巧2：等和線
【典例分析】
在中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若，，則＝
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
等和線原理：
【變式演練】
1.如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，若（，），且點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（含邊界），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2.如圖， 中， 是斜邊上一點(diǎn)，且滿足： ,點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)的直線上，若,,則的最小值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
3.如圖，，圓M與AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E，，點(diǎn)P是圓M及其內(nèi)部任意一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型十】 向量技巧3：奔馳定理與面積
【典例分析】
設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足273，則△ABC的面積與△BOC的面積的比值為
A．6 B． C． D．4
【提分秘籍】
基本規(guī)律
為內(nèi)一點(diǎn)，，則.
重要結(jié)論：，，.
結(jié)論1：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若、、的面積分別為、、，則：
.
即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.
結(jié)論2：對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在的外部，并且在的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時(shí)，則有.
結(jié)論3：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若，則、、的面積之比為.
即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.
結(jié)論4：對(duì)于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)，，則、、的面積分別為.
【變式演練】
1.設(shè)，過(guò)作直線分別交（不與端點(diǎn)重合）于，若，，若與的面積之比為，則
A． B． C． D．
2.為三角形內(nèi)部一點(diǎn)， 均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足，若 分別表示 的面積，則為（ ）
A． B． C． D．
3.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比為（ ）
A． B． C．3 D．
【題型十一】 解析幾何中的向量
【典例分析】
已知點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式演練】
1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)滿足，則
A. B. C. D.
2.如圖所示，已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，分別延長(zhǎng)到，使得，，是橢圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)到，若，則（ ）
A．10 B．5 C．6 D．3
【題型十二】 向量四心
【典例分析】
已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，則點(diǎn)O，N，P依次是的 （ ）
A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 內(nèi)心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 內(nèi)心
【提分秘籍】
基本規(guī)律
在中：
1.重心：
2.外心：
3.內(nèi)心：向量()所在直線過(guò)內(nèi)心(是角平分線所在直線)
4.垂心：
【變式演練】
1.已知外接圓的圓心為，，，為鈍角，是邊的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
2.已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足,, 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心
3.已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足, , 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心
【題型十三】 綜合應(yīng)用
【典例分析】
已知，是半徑為的圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段是圓的直徑，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式演練】
1.．已知向量滿足，且，則的最小值為（ ）
A． B．4 C．2 D．
2.設(shè)，，為非零不共線向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
3.已知平面向量滿足：，且，則的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
【題型十四】 超難小題
【典例分析】
已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x y.現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【變式演練】
1.已知平面向量的夾角為，滿足．平面向量在上的投影之和為2，則的最小值是___．
2.已知平面向量，，滿足：，，則的最小值是_________.
3.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊作等邊，使得點(diǎn)A，P位于直線MN的兩側(cè)，則的最小值為_(kāi)_____．
模擬題
1.如圖所示，在中，設(shè)，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)恰為，則（）
A． B． C． D．
2.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段CD上，且，AE與BF交于點(diǎn)P，若，則（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，直角梯形 中，已知，，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
4.邊長(zhǎng)為6的正三角形中，為中點(diǎn)，在線段上且，若與交于，則（ ）
A．-12 B．-9 C． D．
5.如圖梯形，且，，在線段上，，則的最小值為
A． B． C． D．
6. 如圖，在平面四邊形中，為的中點(diǎn)，且，．若， 則的值是 ．
7.已知點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則，，的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
8.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若(其中P為平面上任意一點(diǎn)), 則O點(diǎn)是△ABC的( )
A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心
9. 在中，邊上的高線為，點(diǎn)位于線段上，若，則向量在向量上的投影為（ ）
A． B．1 C．1或 D．或
10.是邊長(zhǎng)為6的正三角形，點(diǎn)C滿足，且，，，則的取值范圍是__________．
11.已知平面向量滿足，，向量滿足，當(dāng)與的夾角余弦值取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___________.
12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線C:y2=2px()的焦點(diǎn)為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，｜AF|=4，圓E為的外接圓，直線OM與圓E切于點(diǎn)M，點(diǎn)N在圓E上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．14 向量小題歸類
目錄
一、熱點(diǎn)題型歸納 1
【題型一】 向量基礎(chǔ)：“繞三角形”（基底拆分） 1
【題型二】 系數(shù)未知型“繞三角形” 3
【題型三】 求最值型“繞三角形” 6
【題型四】 數(shù)量積 8
【題型五】 非數(shù)量積最值型 10
【題型六】 向良模 12
【題型七】 投影向量 14
【題型八】 向量機(jī)巧1：極化恒等式 16
【題型九】 向量機(jī)巧2：等和線 17
【題型十】 向量機(jī)巧3：奔馳定理與面積 19
【題型十一】解析幾何中的向量 22
【題型十二】向量四心 24
【題型十三】綜合以應(yīng)用 25
【題型十四】超難小題 28
二、最新模考題組練 33
【題型一】 向量基礎(chǔ)：“繞三角形”（基底拆分）
【典例分析】
我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙夾在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量的加法法則和數(shù)乘向量求解.
【詳解】
由題得
即，解得，即，
故選：B
【提分秘籍】
基本規(guī)律
基礎(chǔ)拆分的倆個(gè)公式，與位置無(wú)關(guān)。
（1）.
（2）
【變式演練】
1.如圖，在中，為中點(diǎn)，在線段上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
求得關(guān)于、的表達(dá)式，利用平面向量的減法法則可得出關(guān)于、的表達(dá)式.
【詳解】
為的中點(diǎn)，則，
，，
.
故選：B.
2.如圖，在直角梯形中，，為邊上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)平面向量的三角形法則和共線定理即可得答案.
【詳解】
解：
故選：C.
3.，，為所在平面內(nèi)三點(diǎn)，且，，，則（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
畫出圖形，根據(jù)向量線性運(yùn)算求解即可.
解：由題知，為中點(diǎn)，為三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)，為中點(diǎn)，如圖，
所以．故選：D.
【題型二】 系數(shù)未知型“繞三角形”
【典例分析】
如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為( )
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
因?yàn)椋O(shè)，而，所以且，故，應(yīng)選答案A．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
平面向量基本定理(平面內(nèi)三個(gè)向量之間關(guān)系)：若、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使.
（1）選定基底，則、，是唯一的
（2）處理技巧：可“繞三角形”，可待定系數(shù)，可建系 。
【變式演練】
1.如圖，正方形中，分別是的中點(diǎn)，若則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
試題分析：取向量作為一組基底，則有，所以
又，所以，即.
2.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足，．若，則實(shí)數(shù)＋的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
設(shè)，由，，得到，結(jié)合平面向量的基本定理，化簡(jiǎn)得到，即可求解.
【詳解】
由題意，設(shè)，則在平行四邊形ABCD中，
因?yàn)椋渣c(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DC上，且，
所以，
又因?yàn)椋遥?br/>所以，
所以，解得，所以。故選：B.
3.如圖，中，與交于，設(shè)，，，則為
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由于與交于，可知：點(diǎn)是的重心，利用三角形重心的性質(zhì)和向量的平行四邊形法則即可得到答案．
【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)；
與交于，點(diǎn)是的重心，，，
又
，則為；故答案選A
【題型三】 求最值型“繞三角形”
【典例分析】
在中，點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線與、所在的直線分別交于點(diǎn)、，若，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意得出，再由，，可得出，由三點(diǎn)共線得出，將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求出的最小值.
【詳解】如下圖所示：
，即，，
，，，，
，、、三點(diǎn)共線，則.
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選：B.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.基底拆分，可得系數(shù)和定值（實(shí)質(zhì)是“等和線”）
2.也可用均值不等式，或者建系設(shè)點(diǎn)三角換元
【變式演練】
1.已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)可知O為的重心；根據(jù)點(diǎn)M在內(nèi)，判斷出當(dāng)M與O重合時(shí)，最小；當(dāng)M與C重合時(shí)，的值最大，因不含邊界，所以取開(kāi)區(qū)間即可．
【詳解】因?yàn)槭莾?nèi)一點(diǎn)，且所以O(shè)為的重心
在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時(shí)，最小，此時(shí)
所以，即
當(dāng)M與C重合時(shí)，最大，此時(shí) 所以，即
因?yàn)樵趦?nèi)且不含邊界所以取開(kāi)區(qū)間，即所以選B
2.在中，，M為線段EF的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化簡(jiǎn)得到，根據(jù)得到，得到的最大值.
【詳解】
，
故
故，故.
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：.
3.中， 為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【解析】，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取等號(hào)，故有最小值8，故選D．
【題型四】 數(shù)量積
【典例分析】
已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠B＝，點(diǎn)P滿足＝λ，λ∈R，若·＝－3，則λ的值為(　　)
A． B．－ C． D．－
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的基本定理，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算公式，建立方程即可得到結(jié)論．
【詳解】法一：由題意可得·＝2×2cos＝2，
·＝(＋)·(－)＝(＋)·[(－)－]＝(＋)·[(λ－1)·－]
＝(1－λ) 2－·＋(1－λ)··－2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝，故選A.
法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．
令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.
∵＝λ，∴λ＝.故選A.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.求解數(shù)量積，可以選擇有長(zhǎng)度或者角度關(guān)系的向量作為基底求解。
2..已知向量a，b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解．
設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2.
通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式計(jì)算.
【變式演練】
1.如圖，在等腰直角中，，C為靠近點(diǎn)A的線段AB的四等分點(diǎn)，過(guò)C作AB的垂線l，P為垂線l上任意一點(diǎn)，則的值是　　
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意，直接利用向量共線和向量的線性運(yùn)算及夾角公式求出結(jié)果．
【詳解】
在等腰直角中，，C為靠近點(diǎn)A的線段AB的四等分點(diǎn)，
過(guò)C作AB的垂線l，P為垂線l上任意一點(diǎn)，
則：，
所以：，，
，．故選B．
2.在中， ，點(diǎn)在上，，是的中點(diǎn)，，，則
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】,
在和中，由正弦定理可得,
.
3.已知是邊長(zhǎng)為3的正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
用分別表示出和，然后根據(jù)向量的數(shù)量積計(jì)算公式求解出的結(jié)果.
【詳解】如下圖所示：
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，故選：D.
【題型五】 數(shù)量積最值型
【典例分析】
在中，，，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，可以得到，利用平面向量加法的幾何意義，可以構(gòu)造平行四邊形，根據(jù)，可知平行四邊形是菱形，這樣在中，可以求出菱形的邊長(zhǎng)，求出的表達(dá)式，利用，構(gòu)造函數(shù)，最后求出的取值范圍.
【詳解】
，以為鄰邊作平行四邊形，如下圖：
所以，因此,所以平行四邊形是菱形，設(shè)，，所以，在中，
，
設(shè)，所以當(dāng) 時(shí)，，是增函數(shù)，故，因此本題選D.
【變式演練】
1.已知四邊形中，，，，點(diǎn)在四邊形上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意分析可知四線性關(guān)于直線對(duì)稱，且，只需考慮點(diǎn)在邊上的運(yùn)動(dòng)情況即可，然后分類討論求出的最小值.
【詳解】
如圖所示，因?yàn)椋遥源怪鼻移椒郑瑒t△為等腰三角形，又，所以△為等邊三角形.
則四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，故點(diǎn)在四邊形上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只需考慮點(diǎn)在邊上的運(yùn)動(dòng)情況即可，
因?yàn)椋字矗瑒t，
①當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則，
∴，當(dāng)時(shí)，的最小值為；
②當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則，
∴，當(dāng)時(shí)，的最小值為；
綜上，的最小值為；故選：C .
2.如圖，在平行四邊形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且AD=DM，N是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作AM的垂線，垂足為H，當(dāng)最小時(shí)，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分析得出點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的模最大，即最小，進(jìn)而得解．
【詳解】，由圖易知，向量所成的角為鈍角，
所以，，，當(dāng)最小時(shí)，的模最大，
數(shù)形結(jié)合易知點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的模最大，即最小，，，
是的中點(diǎn)，則．
故選：．
3.在中，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，若最小值為，則的面積為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】
由題，設(shè)，由余弦定理可求得AB的長(zhǎng)，再設(shè)，利用向量基本定理表示出，求得其數(shù)量積整理是關(guān)于n的二次函數(shù)，再求其最小值等于，可求得m的值，可求得面積.
【詳解】
由題，設(shè)，在三角形ABC中，由余弦定理變形可得：
因?yàn)辄c(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，再設(shè)，此時(shí)
即
因?yàn)?br/>所以
令關(guān)于n的二次函數(shù)
所以其最小值為： 解得
所以
三角形ABC的面積： 故答案為
【題型六】 向量模
【典例分析】
若向量，，，且，則的最小值為_(kāi)________．
【答案】
【分析】應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示可得，再由向量模的坐標(biāo)表示可得將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)到直線的距離即可.
【詳解】由題設(shè)，，，又，
∴，則，
又，則，
∴要求的最小值，即求定點(diǎn)到直線的距離，
∴.故答案為：
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.向量的模是線段的長(zhǎng)度
2.可以借助幾何意義，也可以建系設(shè)點(diǎn)
【變式演練】
1.已知是平面上的單位向量，則的最大值是__________.
【答案】
【分析】
先設(shè)，且，再根據(jù)向量模化簡(jiǎn)，最后化簡(jiǎn)整理結(jié)合柯西不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，且，而，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，
故答案為：.
2.已知向量滿足，且，則______.
【答案】
【分析】設(shè)，由已知條件求出，所以，可直接求出.
【詳解】設(shè)，∵向量滿足，且，
∴∴，即，解得：，
又∵，即所以故答案為：
3.設(shè)，為單位向量，則的最大值是________
【答案】
【分析】
用坐標(biāo)表示，，化簡(jiǎn)，利用柯西不等式求得最大值.
【詳解】
依題意，為單位向量，設(shè)，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：
【題型七】 投影向量
【典例分析】
已知平面向量和滿足，則在方向上的投影的最小值為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，結(jié)合題設(shè)作出，，且，進(jìn)而判斷終點(diǎn)的軌跡，即可求在方向上的投影的最小值.
【詳解】如下圖，若，，且，
∴，即點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，
∴要使在方向上的投影的最小，即最大，此時(shí)，則，
∴在方向上的投影的最小值為.
故答案為：.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.向量在方向上的投影：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影.
2.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量.當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為.
3.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上投影的乘積.
【變式演練】
1.已知點(diǎn)、、、,則向量在方向上的投影為 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
本題考查向量的投影以及數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算。因?yàn)?所以，。向量在方向上的投影為，選A.
2.已知向量滿足則在上的投影的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C因?yàn)椋裕郑裕O(shè)在的夾角為，則，即，所以，故選C．
3.已知向量，的夾角為，且，，則向量在向量方向上的投影為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D向量，的夾角為，且，，所以，．又，所以，則，所以向量在向量方向上的投影為，故選：D．
【題型八】 向量技巧1：極化恒等式
【典例分析】
如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，， ，則的值是________.
【答案】【解析】解法一：基底法
令，則，則
，
則
由，可得，因此，
因此.
解法二：極化恒等式
，
解得：所以.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
基礎(chǔ)知識(shí)：
在△中，是邊的中點(diǎn)，則.
【變式演練】
1.已知△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
解析：取的中點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)，連接，
由△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為中線的中點(diǎn)，
則 ，
所以 .
2.已知圓的方程為，點(diǎn)在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【詳解】.故選B.
3、已知球的半徑為1， 是球面上的兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)是球面上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由球的半徑為1， 是球面上的兩點(diǎn)，且，可得 ，
,故選B.
【題型九】 向量技巧2：等和線
【典例分析】
在中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若，，則＝
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)锳,D，B三點(diǎn)共線，所以。選D.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
等和線原理：
【變式演練】
1.如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，若（，），且點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（含邊界），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C詳解：由題意，當(dāng)在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，∴當(dāng)在四邊形內(nèi)（含邊界）時(shí)，（＊），又，作出不等式組（＊）表示的可行域，如圖，
表示可行域內(nèi)點(diǎn)與連線的斜率，由圖形知，，即，∴，，故選C.
2.如圖， 中， 是斜邊上一點(diǎn)，且滿足： ,點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)的直線上，若,,則的最小值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，因此，選B.
3.如圖，，圓M與AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E，，點(diǎn)P是圓M及其內(nèi)部任意一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
連接并延長(zhǎng)分別交圓于，連接，與交于，顯然，此時(shí)，分別過(guò)作的平行線，由于 ，則，則， ，
，此時(shí) ，同理可得：，，選.
【題型十】 向量技巧3：奔馳定理與面積
【典例分析】
設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足273，則△ABC的面積與△BOC的面積的比值為
A．6 B． C． D．4
【答案】D
【分析】先設(shè)，于是得到點(diǎn)O是△A1B1C1的重心，則k，再結(jié)合三角形面積公式即可求出△ABC的面積與△BOC的面積，進(jìn)而得到答案.
【詳解】
不妨設(shè)，如圖所示，
根據(jù)題意則，即點(diǎn)O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因?yàn)椋?br/>那么，，
故△ABC的面積與△BOC的面積的比值為.故選：D
【提分秘籍】
基本規(guī)律
為內(nèi)一點(diǎn)，，則.
重要結(jié)論：，，.
結(jié)論1：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若、、的面積分別為、、，則：
.
即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.
結(jié)論2：對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在的外部，并且在的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時(shí)，則有.
結(jié)論3：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若，則、、的面積之比為.
即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.
結(jié)論4：對(duì)于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)，，則、、的面積分別為.
【變式演練】
1.設(shè)，過(guò)作直線分別交（不與端點(diǎn)重合）于，若，，若與的面積之比為，則
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)面積比得出，的關(guān)系，根據(jù)，從而可以，表示出，利用共線原理列方程，解出即可得到答案
【詳解】連接并延長(zhǎng)，則通過(guò)的中點(diǎn)，過(guò)，分別向所在直線作垂線，垂足分別為，，如圖所示與的面積之比為
根據(jù)三角形相似可知，則
即由平行四邊形法則得
根據(jù)待定系數(shù)法有，則故選
2.為三角形內(nèi)部一點(diǎn)， 均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足，若 分別表示 的面積，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知條件，結(jié)合三角形的面積的比，轉(zhuǎn)化求解即可．
解：由，
如圖設(shè)，即是的重心
同理可得，
所以．故選：．
3.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】延長(zhǎng)交于，利用三點(diǎn)共線可設(shè)，再利用三點(diǎn)共線可設(shè)，利用題設(shè)條件可計(jì)算的值，從而可計(jì)算所求面積之比.
【詳解】
如圖，延長(zhǎng)交于，則，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以即，
所以，則，故且，
又，故，所以，
所以，所以，故選C.
【題型十一】 解析幾何中的向量
【典例分析】
已知點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C設(shè)，則，由題意有，所以
所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值，故選C.
【變式演練】
1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)滿足，則
A. B. C. D.
【答案】D由題意可得，設(shè)＜＞＝θ，θ∈[0，π]
則∵
兩邊同時(shí)平方可得，即
∴cosθ= ∵∴且＞0∴
設(shè)圓心O到直線x+y-2=0的距離為d，則，即
2.如圖所示，已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，分別延長(zhǎng)到，使得，，是橢圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)到，若，則（ ）
A．10 B．5 C．6 D．3
【答案】A根據(jù)橢圓的定義和比例，有.
3.已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的某一條漸近線的垂線，垂足為，則的值為 。
【答案】.設(shè)點(diǎn)，則，直線為；由題意得，解得點(diǎn)；從而，，所以.
故答案為：.
【題型十二】 向量四心
【典例分析】
已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，則點(diǎn)O，N，P依次是的 （ ）
A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 內(nèi)心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 內(nèi)心
【答案】C由題：即O點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等，為外心.
，由向量加法得：N為中線的交點(diǎn)，為重心.
，得：同理可得：P點(diǎn)為垂心.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
在中：
1.重心：
2.外心：
3.內(nèi)心：向量()所在直線過(guò)內(nèi)心(是角平分線所在直線)
4.垂心：
【變式演練】
1.已知外接圓的圓心為，，，為鈍角，是邊的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C在三角形中，，
是圓心，，因?yàn)椋裕砜傻茫蔬xD．
2.已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足,, 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心
解：由已知得，∴
== 0，
∴AP⊥BC，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡通過(guò)△ABC的垂心，選B.
3.已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足, , 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心
解：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則，則由已知得，
∴== 0，∴DP⊥BC，P點(diǎn)在BC的垂直平分線上，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡通過(guò)△ABC的外心. 選C .
【題型十三】 綜合應(yīng)用
【典例分析】
已知，是半徑為的圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段是圓的直徑，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出坐標(biāo)，求出，然后化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)知識(shí)即可求解出它的范圍.
【詳解】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)，，則，.
，其中，，從而.
的最大值為：，最小值為：.
當(dāng)時(shí)，取最大值.
，當(dāng)時(shí)，取最小值.
故的取值范圍是為.
故選：.
【變式演練】
1.．已知向量滿足，且，則的最小值為（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】
由題意知，可設(shè)，，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，，可轉(zhuǎn)為在直線上取一點(diǎn)B，使得最小，利用化曲為直的思想即可得到答案.
【詳解】由題意知，可設(shè),因?yàn)椋瑒t點(diǎn)B在直線上，如圖，,則,,,則的最小值,可轉(zhuǎn)化為在直線上取一點(diǎn)B，使得最小，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),則的最小值即為,設(shè)點(diǎn)，則，解得，
則,即最小值為，
故選：D
2.設(shè)，，為非零不共線向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，所以把不等式整理成關(guān)于t一元二次不等式，根據(jù)二次不等式恒成立，等價(jià)轉(zhuǎn)化即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋瑸榉橇悴还簿€向量，若，
則，∴，
化簡(jiǎn)得，，
即，
∴，∴.故選：D.
3.已知平面向量滿足：，且，則的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】
設(shè)，且，構(gòu)造圖形如圖所示，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，且，如圖所示：
則，且等號(hào)可以取到.
故選：C.
【題型十四】 超難小題
【典例分析】
已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x y.現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】C
【分析】
①根據(jù)及與的夾角為求出，假設(shè)成立，求出與，代入后發(fā)現(xiàn)等式不成立，故①錯(cuò)誤；②利用向量共線定理可知，點(diǎn)C在線段AB上，再結(jié)合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面積公式和基本不等式求出最大值為1，進(jìn)而求出的最大值.
【詳解】由，解得：，當(dāng)時(shí)，，由得：，即，由得：，因?yàn)椋僭O(shè)，則可求出，，代入中，等號(hào)不成立，故①錯(cuò)誤；
設(shè)，，，因?yàn)椋上蛄抗簿€定理可知，點(diǎn)C在線段AB上，如圖，設(shè)，則，因?yàn)椋裕矗试诜较虻耐队暗扔谠诜较虻耐队跋嗟龋庶c(diǎn)C滿足，又，，所以
，其中，而要想保證最大，只需最小，由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值為，所以最大值為，故的最大值為，②正確.
故選：C
【變式演練】
1.已知平面向量的夾角為，滿足．平面向量在上的投影之和為2，則的最小值是___．
【答案】
【分析】
設(shè)向量，的單位方向向量，用所設(shè)的單位向量作為基底，表示出已知條件，進(jìn)而表示出，繼而求得答案.
【詳解】設(shè)與 方向相同的單位向量是 ，且 ，
設(shè)與 方向相同的單位向量是 ，且 ，
又. 注意到.
，
，
∵，
∴
設(shè)
(1)與(2)聯(lián)立得： (7)
(3)與(4)聯(lián)立得： (8)
將(8)代入(5)中得：，
∴，與聯(lián)立得：，
對(duì)應(yīng)，故,
故答案為：
2.已知平面向量，，滿足：，，則的最小值是_________.
【答案】##
【分析】
建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出終點(diǎn)的軌跡方程，由此即可求解.
【詳解】
如圖在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，∵，∴A的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，設(shè)，由可知，設(shè)，
則，，
設(shè)，則
，
，
∴ ①
②
①＋②得：，
則B的軌跡是以G(－1，)為圓心，1為半徑的圓，
則.故答案為：.
3.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊作等邊，使得點(diǎn)A，P位于直線MN的兩側(cè)，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】
設(shè)出邊長(zhǎng)，通過(guò)做輔助線，將轉(zhuǎn)化為，然后利用解三角形的知識(shí)，把和表示出來(lái)，建立函數(shù)關(guān)系求解最值即可.
【詳解】如圖，連接BN，設(shè)BN，MN中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接PE，PF，EF．
設(shè)，，
，
在中，由勾股定理得，則，
BN，MN中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則EF為的中位線，
∴且，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在等邊中，F(xiàn)為MN中點(diǎn)，則，，
，
在中，由余弦定理得
，
當(dāng)N與C重合時(shí)，，，不存在，但可驗(yàn)證上述等式依然成立，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
∵關(guān)于b的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：．
模擬題
1.如圖所示，在中，設(shè)，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)恰為，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由向量的三角形法則以及向量中點(diǎn)關(guān)系結(jié)合向量的基本定理可表示出．
【詳解】如圖，連接，則，①.②
①②，得.③又，④
將④代入③，得，解得.故選C.
2.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段CD上，且，AE與BF交于點(diǎn)P，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)出，求得，再利用向量相等求解即可.
【詳解】連接AF，因?yàn)锽，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，
因?yàn)椋裕?
因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?br/>所以，則，解得.故選：A
3.如圖，直角梯形 中，已知，，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
設(shè)，可以用表示和，從而得到與的關(guān)系，再利用均值不等式求解.
【詳解】設(shè)因?yàn)?br/>所以
所以，所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等，此時(shí)，與重合，符合題意.故選：C.
4.邊長(zhǎng)為6的正三角形中，為中點(diǎn)，在線段上且，若與交于，則（ ）
A．-12 B．-9 C． D．
【答案】D
【分析】首先取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意易證為的中點(diǎn)，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為，軸，建立直角坐標(biāo)系，求出，的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式計(jì)算即可.
【詳解】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn).又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，即.
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn).以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為，軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)檎切蔚倪呴L(zhǎng)為，
所以，，，，
，，所以.故選：D
5.如圖梯形，且，，在線段上，，則的最小值為
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先建系解得坐標(biāo)，再設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積列函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值.
【詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，
因此，
因此，設(shè)
所以
當(dāng)時(shí)，最小值為選B.
6.如圖，在平面四邊形中，為的中點(diǎn)，且，．若， 則的值是 ．
【答案】9【解析】
7.已知點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則，，的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先將已知向量化為兩個(gè)向量共線的形式，再利用平行四邊形法則及向量的數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義、三角形面積公式確定面積比.
【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)PC至點(diǎn)E使得，連接BE，取BE的中點(diǎn)為F，連接PF交BC于點(diǎn)G，
延長(zhǎng)PB至點(diǎn)H使得，連接AH，取AH的中點(diǎn)為I，連接PI交AB于點(diǎn)J，
因?yàn)椋裕瑒tA、P、F三點(diǎn)共線，且，因?yàn)镕C為的中位線，所以，，則，所以，即，，
所以,，設(shè)、的高分別為、，，即.同理由可推出，
則，所以.故選：D
8.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若(其中P為平面上任意一點(diǎn)), 則O點(diǎn)是△ABC的( )
A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得，
∴，即，由上題的結(jié)論知O點(diǎn)是△ABC的重心. 故選C .
9.在中，邊上的高線為，點(diǎn)位于線段上，若，則向量在向量上的投影為（ ）
A． B．1 C．1或 D．或
【答案】D因?yàn)樗裕?因?yàn)椋运裕矗蔬x項(xiàng)為D.
10.是邊長(zhǎng)為6的正三角形，點(diǎn)C滿足，且，，，則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，再求向量，再根據(jù)已知，，得，，代入得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，∴ ，，，
∴ ，∴
∴，∵ ，，
∴ ，，∴，
∴ 由二次函數(shù)的性質(zhì)知，∴ 故答案為：.
11.已知平面向量滿足，，向量滿足，當(dāng)與的夾角余弦值取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___________.
【答案】
【詳解】由得，又，則
由，可知，即向量滿足，且?jiàn)A角為
取，，，分別是線段，的中點(diǎn)，
則,，
由可知，點(diǎn)在直線上.又與的夾角為
要使得最大，則取圓過(guò)點(diǎn)、且與直線相切于點(diǎn)，此時(shí)取得最大，由切割線定理得，又
，
則有，，解之得故答案為：
12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線C:y2=2px()的焦點(diǎn)為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，｜AF|=4，圓E為的外接圓，直線OM與圓E切于點(diǎn)M，點(diǎn)N在圓E上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知及拋物線的定義，可求，進(jìn)而得拋物線的方程，可求，，的坐標(biāo)，直線的方程，可得圓的半徑，求得圓心，設(shè)的坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，可得所求范圍．
【詳解】解：由題意，設(shè)，所以，解得，
所以拋物線的方程為，，，，
所以直線的方程為，
設(shè)圓心坐標(biāo)為，，所以，解得，即，
圓的方程為，
不妨設(shè)，設(shè)直線的方程為，則，
根據(jù)，解得，
由，解得，
設(shè)，所以，
因?yàn)椋?br/>所以．故選：B．

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