資源簡介

15 數列求和15種類型歸納
目錄
一、熱點題型歸納 1
【題型一】 求和思維基礎：sn和an的關系 1
【題型二】 錯位相消法求和的三種思維方法 2
【題型三】 分組求和 5
【題型四】 求和難點1：裂項相消基礎思維 6
【題型五】 求和難點2：形如函數型裂項相消 9
【題型六】 求和難點3：指數型裂項相消求和 10
【題型七】 求和難點4：指數等差型裂項相消求和 12
【題型八】 求和難點5：奇偶正負型裂項相消求和 14
【題型九】 求和難點6：裂項為“和”型以相消求和 16
【題型十】 求和難點7：指數型裂項為“和”以相消求和 17
【題型十一】求和難點8：無理根式型裂項相消 19
【題型十二】求和難點9：三項積式裂項相消求和 21
【題型十三】求和難點10：先放縮后裂項求和 22
【題型十四】求和難點11：利用組合數公式裂項求和（理科） 24
【題型十五】求和難點12：分段數列求和 24
二、最新模考題組練 27
【題型一】 求和思維基礎：由sn求an的關系
【典例分析】
已知數列{an}的前n項和．
（1）求{an}的通項公式；
（2）記，求{bn}的前n項和Tn．
【答案】（1）an＝2n；（2）Tn＝3﹣（n+3） （）n
【詳解】（1）數列{an}的前n項和，可得a1＝S1＝2，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n，（n≥2），適合.
綜上可得an＝2n；
【提分秘籍】
基本規律
對于公式
（1）當時，用替換中的得到一個新的關系，利用 便可求出當時的表達式；
（2）當時， 求出；
（3）對時的結果進行檢驗，看是否符合時的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分與兩段來寫．
【變式演練】
1.數列的前n項和為（），求
【詳解】因為，
所以，
當時，，
適合上式，故，
2.已知數列的前項和為，且滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）當時，，
當且時，，
當時，適合上式，所以數列的通項公式.
【題型二】 錯位相消法三種思維求法
【典例分析】
（2020年新課標1理數17題）設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數列的前項和．
解：（1）設的公比為，由題設得 即.
所以 解得（舍去），.故的公比為.
（2）設為的前n項和.由（1）及題設可得，.所以
，
.
可得
所以.
【提分秘籍】
基本規律
以下三種思維，但還是建議練熟第一種。如果第一種都掌握不了的學生，基本上也記不住第二和第三種方法。
1.思維結構結構圖示如下
2.公式型記憶：
3.可可裂項為如下
【變式演練】
1.已知數列中，，，前項和為，若（，且）.
（1）求數列的通項公式；
（2）記，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先求出，再求出即得解；
（2）求出，再利用錯位相減法求數列的前項和.
【詳解】
（1）數列中，（，且）①，
又（，且）②，
可得：，
則數列是以為首項，公差為1的等差數列，
則，則，
當時，，也符合該式，
則.
（2）由（1）的結論得，，則；則，
∴，
兩式錯位相減可得：
，∴.
2.（系數為負的，增加了計算難度）已知數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和.
【答案】(1) (2)
解：（1）因為，所以當時，，.
當時，因為，所以當，所以，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，故.
（2）因為，所以，
，
，
相減得，
，
所以.
【題型三】 分組求和法
【典例分析】
已知數列的前項和，數列滿足.
（1）求數列、的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根據當時，可以求出數列的通項公式，再驗證當時，首項是否適合；再根據，結合對數與指數互化公式進行求解即可；
（2）化簡數列的通項公式，利用分組求和的方法，結合等比數列前項和、裂項相消法進行求解即可.
【詳解】（1）由，當時，，
時，對上式也成立，∴；
又，，.
（2），
.
【提分秘籍】
基本規律
，其中bn和cn都是容易求和的數列
【變式演練】
1.設數列滿足，；
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）用累加法求通項公式；
（2）用分組求和法求．
【詳解】（1），∴；；
…
，∴，
∴，也適合此式，∴，．
（2）由（1）得，
∴.
2.已知數列的前項和為，，且-3，，成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和.
（1）；（2）.
【分析】（1）根據可得是等比數列，且，再根據-3，，成等差數列可求出，即可寫出通項公式；
（2）利用分組求和法和裂項相消法即可求出.
【詳解】（1）由，得數列為等比數列，且公比，
∵-3，，成等差數列，∴，
從而有，解得，∴；
（2），
所以
.
【題型四】 求和難點1：裂項相消基礎思維
【典例分析】
設數列滿足：，且（），.
（1）求的通項公式：
（2）求數列的前項和.
【答案】（1）（）（2）
【分析】(1)先根據等差中項判別法判斷出數列是等差數列,然后根據已知條件列式求出公差,即可得到數列的通項公式;
(2)由(1)求出數列的通項公式,然后運用裂項相消法求出前項和.
【詳解】(1)由()可知數列是等差數列,設公差為,
因為,所以,解得,
所以的通項公式為:();
(2)由(1)知,所以數列的前項和:
.
【提分秘籍】
基本規律
【變式演練】
1.數列中，，，數列滿足．
（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
【答案】（1）見解析，（2）
【分析】
（1）由條件得，代入，可得數列是等差數列，則可求出數列的通項公式，進而可得數列的通項公式；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法可求和.
【詳解】
（1）由，即.而，，
即.又，數列是首項和公差均為1的等差數列.
于是，.
（2），.
.
2.在等差數列中，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，為數列的前n項和，若，求n的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等差數列的通項公式即可求解.
（2）利用裂項求和法即可求解.
【詳解】（1）設等差數列的公差是d，由，
得：，解得，所以；
（2）由（1）知，，
所以，由，解得．
3.已知 是公差不為零的等差數列， ，且成等比數列．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列 的前 項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據題意，用等差數列的基本量轉化條件，求得首項和公差，則問題得解；
（2）根據（1）中所求，用裂項求和法即可求得結果.
【詳解】
（1）設的公差為，因為， ，成等比數列
，可得，
，，所以，
又,解得，，
；
（2）
【題型五】 求和難點2：形如函數型裂項相消
【典例分析】
等差數列滿足，，，成等比數列，數列滿足，.
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）數列的前項和為，證明.
【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）證明見解析.
【詳解】（Ⅰ）由題意得（不符）或，
所以.則當時
.當時符合，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
.
【提分秘籍】
基本規律
對于
f（n）是p、q差型；
（2）f（n）是分離常數型；
【變式演練】
1.數列滿足，且.
（1）設，證明：數列是等差數列；
（2）設，求數列的前項和為.
【答案】（1）證明見詳解；（2）.
【詳解】（1）由得，則，即，因為，所以，
即數列是以為公差的等差數列；
（2）因為，，所以；由（1）得，，即，
則，所以，，…，，
以上各式相乘可得，，所以；
因此，
因此數列的前項和為
.
2、已知各項均為正數的數列前項和為，且 .
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列的前項和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【詳解】（Ⅰ）因為且，
所以， 即，
又因為各項均為正數的數列前項和為，所以，所以，
又由，所以，所以數列表示首項為1，公差為1的等差數列，
所以，所以，當時，，
當時也滿足， 綜上可得，數列的通項公式為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
所以數列的前項和.
【題型六】 求和難點3：指數型裂項相消
【典例分析】
設數列的前n項和為，已知，，.
（1）求通項公式；
（2）設，數列的前n項和為，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
解：（1）因為，，，所以當時，，
以上兩式做差得：，即，，由于，所以， ，
所以數列是等比數列，公比為，首項為，所以 .
（2）結合（1）得，
所以數列的前n項和為：
，
由于，所以，所以
【提分秘籍】
基本規律
形如
【變式演練】
1.已知數列的前項和為,且對一切正整數恒成立.
（1）求當為何值時,數列是等比數列,并求出它的通項公式；
（2）在（1）的條件下，記數列的前項和為，求.
【答案】（1）；（2）
試題解析：（1）由得：當時，，兩式相減得：，
因為數列是等比數列，所以，又因為，所以解得：,得：
（2）
2、已知等比數列的前項和為，且，，的等差中項為10.
（1）求數列的通項公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1），的等差中項為10,,，
解得，,;
（2）由（1）可知，，
【題型七】 求和難點4：指數等差型裂項相消
【典例分析】
已知數列的前項和為，且，數列滿足：，且．（1）求證：數列是等比數列；
【答案】（1）見解析；（2），，；（3）見解析
【詳解】（1）因為，即，又，
故數列是以為首項，為公比的等比數列．
（2）因為當，當時，
，
當時，滿足上式，所以，
當時，，當時，，所以．
（3）因為
所以，
綜上．
【提分秘籍】
基本規律
形如，注意湊配“同構”形式以裂項達到相消的目的
【變式演練】
1.已知數列滿足：，；數列是等比數列，并滿足，且，，成等差數列.
（1）求數列，的通項公式；
（2）若數列的前項和是，數列滿足，求證：.
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【詳解】（1）由已知，，所以是常數列，，故
設的公比是，由已知得，所以所以，故
（2）
累加得：
所以，得證.
3、設是等差數列，是等比數列，公比大于0．已知，，，．
（Ⅰ）求數列，的通項公式；（Ⅱ）設，．
（ⅰ）求；（ⅱ）證明．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）(ⅰ) ；(ⅱ)證明見解析.
解：（Ⅰ）設數列的首項為，公差為，數列的公比為，已知，，，
，，，．由，．解得：．，
，．
（Ⅱ）設，則：（ⅰ），，．
（ⅱ）證明：由于：，，，
故．
【題型八】 求和難點5：奇偶正負型裂項相消
【典例分析】
已知正項等差數列滿足：，其中是數列的前項和.
（1）求數列的通項公式；
（2）令，證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析；
解：（1）因為時，；時，，
聯立得：即解得，所以公差所以；
（2）
所以
.
【提分秘籍】
基本規律
形如，可類比前邊規律裂項相消
【變式演練】
1.設數列的前項和為，且.（1）求、、的值；
（2）求出及數列的通項公式；
（3）設，求數列的前項和為.
【答案】（1），，；（2），；
（3）當為奇數，；當為偶數，.
【詳解】(1)，時，，
時，，解得，
時，，解得，同理可得：，
（2）由（1）可得：，，化為，猜想，時，代入，左邊；右邊,所以左邊=右邊，猜想成立，時也成立，
時，，時，也成立，；
當時，，又，
數列的通項公式為.
（3），
為偶數時，數列的前項和為：
.
為奇數時，數列的前項和為：
.
綜上所述，當為奇數，；當為偶數，.
2、已知數列滿足，，.（1）求數列的通項公式；
（2）若，記數列的前項和，求.
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）∵，∴.
∴，則，令，，則.
∴，∴，∴.
（2）∵，
∴.
【題型九】 求和難點6：裂項為“和”型以相消
【典例分析】
已知數列中，，，前項和為，且.（1）求證：數列是等差數列；（2）設，求數列的前項和.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
解：（1）證明：①令得，
②，②①得③，
， 在③中可約去得，
即，
又，是以首項為1，公差為1的等差數列．
（2）易得，，
．
【提分秘籍】
基本規律
可通過分離常數，或者公式，裂項為“和”，借助系數的正負相間，達到裂項相消的目的
【變式演練】
1.已知正項數列的前項和為，且.（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
解：（1）正項數列的前項和為，且.①當時，，解得.
當時，②，①②得，由于，
所以（常數）.所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列.所以.
（2）數列滿足.
所以.
2、已知遞增的等差數列的前項和為，，，，成等比數列.
（1）求數列的通項公式；（2）已知，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由知等差數列首項為1，所以由，，成等比數列可得所以解得或由遞增的等差數列知，所以
所以
（2）因為
所以
．
【題型十】 求和難點7：指數型裂項為“和”以相消
【典例分析】
已知數列滿足，且.
（1）證明：數列為等比數列；
（2）設，記數列的前項和為，若對任意的，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）詳見解析；（2）.
【詳解】（1）證明：因為，所以即，則
從而數列是以6為首項，2為公比的等比數列
（2）解：由（1）知，即
所以
當為偶數時，
當為奇數時，
當為偶數時，是遞減的，此時當時，取最大值，則；
當為奇數時，是遞增的，此時，則.
綜上，的取值范圍是.
【提分秘籍】
基本規律
授課時，注意講清楚裂項湊配的原理。如果學生接受難度大，可以逆向思維：反解代入
【變式演練】
1.已知數列滿足.
（1）設，求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和；
（3）記，求數列的前項和.
【答案】（1）（2）（3）
【詳解】（1）由得，得；
（2）易得，
錯位相減得所以其前項和；
（3）
，
或寫成.
【題型十一】求和難點8：無理根式型裂項
【典例分析】
已知數列的前項和滿足，且.
（1）求證：數列是常數數列；
（2）設，為數列的前項和，求使成立的最小正整數的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）50.
【詳解】（1），（2），兩式相減：，
即，.時，，
所以數列是常數數列.
（2）由（1）得，時，，所以：，，
而時，，解得滿足，所以，
∴，
∴，，又，∴.所以的最小值為50
【提分秘籍】
基本規律
【變式演練】
1.如圖所示，在的圖像下有一系列正三角形，記的邊長為，.
（1）求數列，的通項公式；
（2）若數列滿足，證明：.
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【詳解】（1）解：設，則.
由題意可知：，.
兩式相減：.
易知，故數列是以為首項，為公差的等差數列.故，.
（2）證明：由題意可知：
.
故.
2、在①，，成等差數列；②，，成等差數列；③中任選一個，補充在下列問題中，并解答.在各項均為正數等比數列中，前項和為，已知，且______.
（1）求數列通項公式；
（2）數列的通項公式，，求數列的前項和.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
解：設等比數列的公比為，（1）選①：因為，，成等差數列，所以，
因為，所以，，，
所以，即.又，解得，所以.
選②：因為，，成等差數列，所以，即,化簡得，所以，即，又，解得，所以.
選③：因為，所以，則，所以.
，，經驗證符合.
（2）因為，
則
.
【題型十二】 求和難點9：三項積式裂項相消
【典例分析】
已知數列滿足，，.（1）若.①求數列的通項公式；
②證明：對， .
【答案】（1）①；②證明見解析；（2）證明見解析
解：（1）①當時，，∵，∴，依此類推，
∴，∴，∴數列是首項為2，公差為1的等差數列，∴，即，
②證明：由①知，故對，
∴＝
＝，
【提分秘籍】
基本規律
屬于比較難的題型，做復習參考。一般情況下，可如下公式裂項：
【題型十三】 求和難點10：先放縮后裂項
【典例分析】
已知數列的前n項和為，，且對任意正整數n，都有，數列滿足．（1）求數列，的通項公式；（2）求證：．
【答案】（1）；；（2）證明見解析.
【詳解】（1）數列的前n項和為，，且對任意正整數n，都有，
則當時，，整理得：，即（常數），當時，
則，所以．由于數列滿足，所以．
（2）證明：由于，所以，
則
．故．
【提分秘籍】
基本規律
先放縮后裂項，屬于2010年課改之前題型，2010新課標逐漸淘汰。2019年新高考實行后，結合2021年新課標乙卷數列大題的位置后移，難度增加，所以今年開始二輪復習備考，適當的增加這方面題型的擴展了解。授課時，要講清楚，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標。
【變式演練】
1.已知數列的前n項和為，，且當時，.（1）求數列的通項公式；（2）若，證明：.
【答案】（1）.（2）證明見解析
【詳解】(1),且當時,.兩邊同時取倒數可得:,即,且,數列是等差數列,其公差為2,首項為2,,可得,
時,,所以;
(2)時,,又時,,對于上式也成立.,
時,,
.
2、數列中，，，且.
令，將用表示，并求通項公式；
令，求證：.
【答案】；；證明見解析.
解：數列中，，，且.
.
時，.
，可得.時成立..
證明：時，.
.，時也成立.
綜上可得：.
【題型十四】 求和難點11：利用組合數公式裂項求和（理科）
【典例分析】
已知為數列的前項和，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，求證：.
【答案】（1）.（2）證明見解析
【詳解】（1）當時，，∵，∴，又∵，
∴，∴，整理得：，
∴數列從第二項開始是公比為2的等比數列.∴∴
又∵當時，滿足.∴.
（2）由（1）得，
∴，顯然當時，為單調遞增函數，且，∴成立.
【題型十五】 求和難點12：分段數列求和
【典例分析】
已知等差數列的前項和為，數列為正項等比數列，且，，，.
（1）求數列和的通項公式；
（2）若，設的前項和為，求.
【答案】（1），.（2）
【分析】
（1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出；
（2）由a1＝3，an＝2n+1得Sn＝n（n+2）．則n為奇數，cn．“分組求和”，利用“裂項求和”、等比數列的前n項和公式即可得出．
【詳解】
（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
∵，，，，∴
∴或，且是正項等比數列，
∴，，
∴，.
（2）由（1）知∴
∴
= =.
【提分秘籍】
基本規律
1.分奇偶各自新數列求和
2.要注意處理好奇偶數列對應的項：
（1）可構建新數列；（2）可“跳項”求和
【變式演練】
1.已知為等差數列，為等比數列，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數列的公差、公比，然后利用等差、等比數列的通項公式得到結果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結論首先求得數列前n項和，然后利用作差法證明即可；
(Ⅲ)分類討論n為奇數和偶數時數列的通項公式，然后分別利用指數型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據此進一步計算數列的前2n項和即可.
【詳解】(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為q.
由，，可得d=1.從而的通項公式為.由，
又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，
從而，所以.
(Ⅲ)當n為奇數時，，當n為偶數時，，
對任意的正整數n，有，和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：.因此，.
所以，數列的前2n項和為.
2.設是等差數列，是等比數列.已知，，，.
（1）求和的通項公式；
（2）數列滿足，設數列的前項和為，求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）設是公差為的等差數列，是公比為的等比數列，根據條件求出，，再代入通項公式即可；
（2）利用等差數列和等比數列的前項和公式求和，即可得答案；
【詳解】
（1）設是公差為的等差數列，是公比為的等比數列，
由，，，，
可得，，
解得，，
則，，；
（2）
.
模擬題
1.已知{an}是等差數列，{bn}是等比數列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（1）求{an}的通項公式；
（2）設cn=an+bn，求數列{cn}的前n項和.
（1）；（2）.
【分析】（1）將已知條件轉化為的形式，解方程組求得的值，由此求得數列的通項公式；
（2）利用分組求和法求的數列的前項和.
【詳解】（1）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，
因為b2=3，b3=9，可得，所以bn=b2qn-2=3·3n-2=3n-1，
又由a1=b1=1，a14=b4=27，所以，
所以數列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)×d=1+2(n-1)=2n-1；
（2）由題意知cn=an+bn=(2n-1)+3n-1，設數列{cn}的前n項和為，
則
.
2.已知等差數列中，，.
（1）求數列的通項公式；
（2）記數列的前項和為，證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）設數列的公差為，根據，，利用“”求解.
（2）由（1）得到，進而得到，然后利用裂項相消法求解.
【詳解】（1）設數列的公差為，由題意得，
解得，，故數列的通項公式為.
（2）由（1）知，所以，
所以，
所以.
3.正項數列的前n項和Sn滿足： (1)求數列的通項公式；
(2)令，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
【答案】（1）（2）見解析
【詳解】（1）因為數列的前項和滿足：，
所以當時，，即解得或，因為數列都是正項，
所以，因為，所以，解得或，
因為數列都是正項，所以，當時，有，所以，
解得，當時，，符合所以數列的通項公式，;
（2）因為，所以，
所以數列的前項和為：
，當時，有，
所以，所以對于任意，數列的前項和.
4.已知等比數列的前n項和為（），滿足，，成等差數列，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和.
【答案】（1）.（2）
【詳解】（1）設數列的公比為q，依題意得，所以即，因為，所以，解得或，
因為，所以， 又因為，所以即，所以；
（2）題意可得，
則 .
5.已知正項數列滿足：，，其中是數列的前項和．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【詳解】（1）由，又有，，
兩式相減得，因為，所以，又，時，，解得，滿足，因此數列是等差數列，首項為1，公差為1，所以．
（2）所以．
6.已知等差數列的公差為2，前項和為，且成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前項和．
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）∵等差數列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1、S2、S4成等比數列．
∴Sn＝na1+n（n﹣1）（2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴an＝2n﹣1；
（2）∵由（1）可得，
當n為偶數時，Tn＝
．
當n為奇數時，
．．
7.已知是各項都為正數的數列，其前項和為，且為與的等差中項．
（1）求證：數列為等差數列；
（2）設，求的前100項和．
【答案】（1），； （2）.
解：（1）由題意知，即，①當時，由①式可得；
又時，有，代入①式得，
整理得，∴是首項為1，公差為1的等差數列．
（2）由（1）可得，∵是各項都為正數，∴，
∴，又，∴，
則，，
即：.∴的前100項和．
8.已知是公比的等比數列，且滿足，，數列滿足：.
（1）求數列和的通項公式；
（2）令，求證：.
【答案】（1）；；（2）證明見解析.
解：（1）因為是公比的等比數列，所以因為，，所以，，
所以當時，，
當時①②
將②乘2得到③
①－③，得，所以
因為當時，，所以
（2）因為而，
所以
因此
9.已知數列是首項為，公比為q的等比數列．
（1）求和：，；
（2）由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明；
（3）設，是等比數列的前n項和，求：．
【答案】（1），；
（2）若是首項為，公比為q的等比數列，則，．證明見解析；（3）
【分析】
（1）根據等比數列公式結合組合公式計算得到答案.
（2）根據等比數列公式結合二項式定理計算得到證明.
（3），代入化簡，根據和二項式定理得到答案.
【詳解】
（1），
.
（2）結論為：若是首項為，公比為q的等比數列，
則，．
證明如下：.
（3）∵，∴.
10.已知正項等比數列滿足，，數列的前項和為，
（Ⅰ）求與的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列的前項和．
【答案】（Ⅰ）an＝2n，n∈N*；bn＝2n﹣2，n∈N*；（Ⅱ）T2n＝ 22n+1+2n2．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）設設正項等比數列的公比為，然后根據等比中項的性質得，結合進一步計算可得公比的值，即可得到數列的通項公式，然后利用公式可計算出數列的通項公式；
（Ⅱ）按數列求和的定義得，結合分組求和的思想，可求.
【詳解】
解：（Ⅰ）由題意，設正項等比數列的公比為，由題意知，，
則，解得或（舍去），則 ；
當時， ，
當時，，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當 為奇數時，，當 為偶數時，，則
.15 數列求和
【題型一】 求和思維基礎：由sn求an的關系
【典例分析】
已知數列{an}的前n項和．
（1）求{an}的通項公式；
（2）記，求{bn}的前n項和Tn．
【提分秘籍】
基本規律
對于公式
（1）當時，用替換中的得到一個新的關系，利用 便可求出當時的表達式；
（2）當時， 求出；
（3）對時的結果進行檢驗，看是否符合時的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分與兩段來寫．
【變式演練】
1.數列的前n項和為（），求
2.已知數列的前項和為，且滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，求數列的前項和.
【題型二】 錯位相消法三種思維求法
【典例分析】
（2020年新課標1理數17題）設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數列的前項和．
【提分秘籍】
基本規律
以下三種思維，但還是建議練熟第一種。如果第一種都掌握不了的學生，基本上也記不住第二和第三種方法。
1.思維結構結構圖示如下
2.公式型記憶：
3.可可裂項為如下
【變式演練】
1.已知數列中，，，前項和為，若（，且）.
（1）求數列的通項公式；
（2）記，求數列的前項和.
2.（系數為負的，增加了計算難度）已知數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和.
【題型三】 分組求和法
【典例分析】
已知數列的前項和，數列滿足.
（1）求數列、的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
【提分秘籍】
基本規律
，其中bn和cn都是容易求和的數列
【變式演練】
1.設數列滿足，；
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前項和.
2.已知數列的前項和為，，且-3，，成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和.
【題型四】 求和難點1：裂項相消基礎思維
【典例分析】
設數列滿足：，且（），.
（1）求的通項公式：
（2）求數列的前項和.
【提分秘籍】
基本規律
【變式演練】
1.數列中，，，數列滿足．
（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
2.在等差數列中，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，為數列的前n項和，若，求n的值．
3.已知 是公差不為零的等差數列， ，且成等比數列．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列 的前 項和.
【題型五】 求和難點2：形如函數型裂項相消
【典例分析】
等差數列滿足，，，成等比數列，數列滿足，.
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）數列的前項和為，證明.
【提分秘籍】
基本規律
對于
f（n）是p、q差型；
（2）f（n）是分離常數型；
【變式演練】
1.數列滿足，且.
（1）設，證明：數列是等差數列；
（2）設，求數列的前項和為.
2、已知各項均為正數的數列前項和為，且 .
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列的前項和.
【題型六】 求和難點3：指數型裂項相消
【典例分析】
設數列的前n項和為，已知，，.（1）求通項公式；
（2）設，數列的前n項和為，求證：.
【提分秘籍】
基本規律
形如
【變式演練】
1.已知數列的前項和為,且對一切正整數恒成立.
（1）求當為何值時,數列是等比數列,并求出它的通項公式；
（2）在（1）的條件下，記數列的前項和為，求.
2、已知等比數列的前項和為，且，，的等差中項為10.
（1）求數列的通項公式；
（2）求.
【題型七】 求和難點4：指數等差型裂項相消
【典例分析】
已知數列的前項和為，且，數列滿足：，且．（1）求證：數列是等比數列；
【提分秘籍】
基本規律
形如，注意湊配“同構”形式以裂項達到相消的目的
【變式演練】
1.已知數列滿足：，；數列是等比數列，并滿足，且，，成等差數列.（1）求數列，的通項公式；
（2）若數列的前項和是，數列滿足，求證：.
3、設是等差數列，是等比數列，公比大于0．已知，，，．
（Ⅰ）求數列，的通項公式；（Ⅱ）設，．
（ⅰ）求；（ⅱ）證明．
【題型八】 求和難點5：奇偶正負型裂項相消
【典例分析】
已知正項等差數列滿足：，其中是數列的前項和.
（1）求數列的通項公式；
（2）令，證明：.
【提分秘籍】
基本規律
形如，可類比前邊規律裂項相消
【變式演練】
1.設數列的前項和為，且.（1）求、、的值；
（2）求出及數列的通項公式；
（3）設，求數列的前項和為.
2、已知數列滿足，，.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，記數列的前項和，求.
【題型九】 求和難點6：裂項為“和”型以相消
【典例分析】
已知數列中，，，前項和為，且.
（1）求證：數列是等差數列；
（2）設，求數列的前項和.
【提分秘籍】
基本規律
可通過分離常數，或者公式，裂項為“和”，借助系數的正負相間，達到裂項相消的目的
【變式演練】
1.已知正項數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，求數列的前項和.
2、已知遞增的等差數列的前項和為，，，，成等比數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）已知，求數列的前項和.
【題型十】 求和難點7：指數型裂項為“和”以相消
【典例分析】
已知數列滿足，且.
（1）證明：數列為等比數列；
（2）設，記數列的前項和為，若對任意的，恒成立，求的取值范圍.
【提分秘籍】
基本規律
授課時，注意講清楚裂項湊配的原理。如果學生接受難度大，可以逆向思維：反解代入
【變式演練】
1.已知數列滿足.
（1）設，求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和；
（3）記，求數列的前項和.
【題型十一】求和難點8：無理根式型裂項
【典例分析】
已知數列的前項和滿足，且.
（1）求證：數列是常數數列；
（2）設，為數列的前項和，求使成立的最小正整數的值.
【提分秘籍】
基本規律
【變式演練】
1.如圖所示，在的圖像下有一系列正三角形，記的邊長為，.
（1）求數列，的通項公式；
（2）若數列滿足，證明：.
2、在①，，成等差數列；②，，成等差數列；③中任選一個，補充在下列問題中，并解答.在各項均為正數等比數列中，前項和為，已知，且______.
（1）求數列通項公式；
（2）數列的通項公式，，求數列的前項和.
【題型十二】 求和難點9：三項積式裂項相消
【典例分析】
已知數列滿足，，.
（1）若.①求數列的通項公式；
②證明：對， .
【提分秘籍】
基本規律
屬于比較難的題型，做復習參考。一般情況下，可如下公式裂項：
【題型十三】 求和難點10：先放縮后裂項
【典例分析】
已知數列的前n項和為，，且對任意正整數n，都有，數列滿足．
（1）求數列，的通項公式；
（2）求證：．
【提分秘籍】
基本規律
先放縮后裂項，屬于2010年課改之前題型，2010新課標逐漸淘汰。2019年新高考實行后，結合2021年新課標乙卷數列大題的位置后移，難度增加，所以今年開始二輪復習備考，適當的增加這方面題型的擴展了解。授課時，要講清楚，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標。
【變式演練】
1.已知數列的前n項和為，，且當時，.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，證明：.
2、數列中，，，且.
令，將用表示，并求通項公式；
令，求證：.
【題型十四】 求和難點11：利用組合數公式裂項求和（理科）
【典例分析】
已知為數列的前項和，，.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，求證：.
【題型十五】 求和難點12：分段數列求和
【典例分析】
已知等差數列的前項和為，數列為正項等比數列，且，，，.
（1）求數列和的通項公式；
（2）若，設的前項和為，求.
【提分秘籍】
基本規律
1.分奇偶各自新數列求和
2.要注意處理好奇偶數列對應的項：
（1）可構建新數列；（2）可“跳項”求和
【變式演練】
1.已知為等差數列，為等比數列，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．
2.設是等差數列，是等比數列.已知，，，.
（1）求和的通項公式；
（2）數列滿足，設數列的前項和為，求.
模擬題
1.已知{an}是等差數列，{bn}是等比數列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（1）求{an}的通項公式；
（2）設cn=an+bn，求數列{cn}的前n項和.
2.已知等差數列中，，.
（1）求數列的通項公式；
（2）記數列的前項和為，證明：.
3.正項數列的前n項和Sn滿足： (1)求數列的通項公式；
(2)令，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
4.已知等比數列的前n項和為（），滿足，，成等差數列，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和.
5.已知正項數列滿足：，，其中是數列的前項和．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，證明：．
6.已知等差數列的公差為2，前項和為，且成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前項和．
7.已知是各項都為正數的數列，其前項和為，且為與的等差中項．
（1）求證：數列為等差數列；
（2）設，求的前100項和．
8.已知是公比的等比數列，且滿足，，數列滿足：.
（1）求數列和的通項公式；
（2）令，求證：.
9.已知數列是首項為，公比為q的等比數列．
（1）求和：，；
（2）由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明；
（3）設，是等比數列的前n項和，求：．
10.已知正項等比數列滿足，，數列的前項和為，
（Ⅰ）求與的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列的前項和．

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