資源簡介

18 基本不等式歸類
【題型一】基礎(chǔ)型
【典例分析】
在下列函數(shù)中,最小值是2的是
A. B. C. D.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.基本公式
2.一正二定三相等。是均值成立的前提條件。
【變式演練】
1.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則的最小值是______．
2.若都是正數(shù)，則的最小值為( ).
A.5 B.7 C.9 D.13
3.在區(qū)間[﹣2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，使 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【題型二】 “1”的代換型
【典例分析】
已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則x+3y的最小值為__________
【提分秘籍】
基本規(guī)律
“1”代換是基本型，要注意
1.一正二定三相等
2.見分子想分母，見分子想分子。
【變式演練】
1.已知，，，則的最小值為（　?。?br/>A．20 B．24 C．25 D．28
2.已知，，，則的最小值為（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
3.已知正實(shí)數(shù)，b滿足＋b＝1，則的最小值為_____
【題型三】 “和”與“積”互消型
【典例分析】
已知x、y都是正數(shù)，且滿足，則的最大值為_________．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.有“和”、“積”無常數(shù)，可以同除，化回到“1”的代換型。如變式1
2.有“和”、“積”有常數(shù)求積型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如典例分析
3..有“和”、“積”有常數(shù)求和型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如變式2
授課時(shí)，注意這類求和時(shí)，基本所求和與原式和系數(shù)“一致”，不一致，則可以用反解代入消參等方法
【變式演練】
1.已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2.已知，且，則的最小值為___________．
3.已知，，，則（ 多選題 ）
A．的最大值為2 B．的最小值為4
C．的最小值為3 D．的最小值為
【題型四】 以分母為主元構(gòu)造型
【典例分析】
已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．10 D．16
【提分秘籍】
基本規(guī)律
構(gòu)造分母型：
1.以分母為主元構(gòu)造，對(duì)于普通學(xué)生，也可以直接分母換元，變化后為“1”的代換，如典例分析
2.構(gòu)造過程中，分子會(huì)有分母參數(shù)的變化，可以分離常數(shù)后再構(gòu)造分母，如變式2
3.變式3是三項(xiàng)構(gòu)造，且無條件等式。
【變式演練】
1.已知，且，則的最小值為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
2.已知正數(shù)、滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3.設(shè)，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．
【題型五】 構(gòu)造分母：待定系數(shù)
【典例分析】
已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
特征：條件等式和所求式子之間變量系數(shù)“不一致”
方法：直觀湊配或者分母換元
【變式演練】
1.知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2.已知，，，則取到最小值為 ．
【題型六】 分子含參型：分離分子型
【典例分析】
若，則的最小值為___________.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.分離分子原理題，如典例分析
2.分子二次型換元分離，如變式2
3.分子二次型湊配構(gòu)造分離，如變式3
【變式演練】
1.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.若，且，則的最小值為_________
3.若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=2，則的最小值是_____．
【題型七】 反解代入型:消元法
【典例分析】
已知正數(shù)，滿足，則的最大值為______．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
條件等式和所求等式之間互化難以實(shí)現(xiàn)，可以借助反解代入消元，再重新構(gòu)造。
【變式演練】
1.已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2.若正數(shù)，滿足，則的最小值是______，此時(shí)______.
3.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.
【題型八】 因式分解型
【典例分析】
非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
【變式演練】
1.已知，且，則的最小值等于_______．
2.已知，且，則的最小值是___．
3.已知，且，則的最小值等于_______．
【題型九】 均值用兩次
【典例分析】
是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
兩次均值，逐次消去，取等條件一致
【變式演練】
1.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為 （ ）A． B． C． D．
2.已知，，則的最小值為___________.
3.已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為______.
【題型十】 換元型
【典例分析】
已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2+2x2y=0，則|x|+|y|的最大值為
A.2 B.4 C. D.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.二次配方型，可以三角換元
2.和前邊分母構(gòu)造換元型一樣，可以代數(shù)換元，如變式1
3.齊次分式同除型，可以代數(shù)換元，如變式3
【變式演練】
1.若，且，則的最小值為_____
2.已知，，則的最小值為____.
3.已知為正實(shí)數(shù)，則的最小值為_________.
【題型十一】 “和”與所求和系數(shù)不一致型
【典例分析】
1、已知，，且，則的最小值為
A． B． C．5 D．9
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.可以簡單的反解代入消去，如典例分析
2.可以整體配湊構(gòu)造（換元），如變式1
3.可以“無中生有”構(gòu)造消去，如變式2
4.也可以因式分解，參考專題八
【變式演練】
1.若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是__________．
2.
3.
【題型十二】 “均值裂項(xiàng)”湊配型
【典例分析】
已知實(shí)數(shù)，，不全為，則的最小值是___，最大值是___．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
利用輪換和對(duì)稱特征，適當(dāng)?shù)牧秧?xiàng)構(gòu)造均值。
【變式演練】
1.不等式對(duì)任意正數(shù)x，y，z恒成立，則a的最大值是__________．
2.已知實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
3.已知，，，且，則的最小值為___________．
【題型十三】 整體化同乘方程型
【典例分析】
已知實(shí)數(shù)，滿足，且.則的最大值為_____．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
求誰設(shè)誰，構(gòu)造方程用均值
【變式演練】
1.已知正數(shù)滿足，則的最大值為________．
已知為正數(shù)，且，則的最大值為 ．
【題型十四】 三元最值型
【典例分析】
已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【變式演練】
1.若實(shí)數(shù)、、，且，則的最小值為
A． B． C． D．
2.已知，且，則的最大值是_______，的最大值是________．
3.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________.
【題型十五】 恒成立求參數(shù)型
【典例分析】
對(duì)任意正實(shí)數(shù)不等式恒成立，則（ ）
A．實(shí)數(shù)有最小值1 B．實(shí)數(shù)有最大值1
C．實(shí)數(shù)有最小值 D．實(shí)數(shù)有最大值
【變式演練】
1.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為 （ ）
A． B． C． D．
2.正數(shù)滿足若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3.設(shè)都是正數(shù)，且使，求實(shí)數(shù)的最大值.
【題型十六】 超難壓軸小題
【典例分析】
設(shè)為正實(shí)數(shù)，若則的取值范圍是__________．
【變式演練】
1.若，均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為_______.
2.已知，則的最小值為________．
3.已知，則的最小值為__________．
模擬題
1.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
2.已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3.已知，且，則的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．7 D．6
4.、設(shè)，且，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.若實(shí)數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且＋＝1，則x＋y的最小值為______．
6.已知的最小值為 。
7.已知正數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
8.若實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值是_______________.
9.已知，則的 (　　)
A． 最大值為 B． 最小值為 C． 最大值為 D． 最小值為
10.知，，，則＋的最小值為____．
11.若，則的最小值為____________．
12.已知實(shí)數(shù)x,y滿足，則的取值范圍是__ _
13.已知，且滿足，則的最小值為
14.已如，則的最小值為______.
15.若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________.18 基本不等式歸類
目錄
一、熱點(diǎn)題型歸納 1
【題型一】 基礎(chǔ)型 1
【題型二】 “1”的代換型 2
【題型三】 “和”與“積”互消型 3
【題型四】 以分母為主元構(gòu)造型 5
【題型五】 構(gòu)造分母：待定稀釋型 6
【題型六】 分離分子型 8
【題型七】 反解代入型消元法 9
【題型八】 因式分解 10
【題型九】 均值用兩次 11
【題型十】 換元型題 13
【題型十一】“和”與索取和系數(shù)不一致型 14
【題型十二】“均值裂項(xiàng)”湊配型 15
【題型十三】整體化同乘方程型 17
【題型十四】三元最值型 18
【題型十五】恒成立求參數(shù)型 19
【題型十六】超難壓軸小題 20
二、最新模考題組練 22
【題型一】基礎(chǔ)型
【典例分析】
在下列函數(shù)中,最小值是2的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.,當(dāng)時(shí),不符合題意;
B.===,當(dāng)時(shí)取等號(hào),不符合題意;
C.==,∵,∴,∴,∴不符合題意;
D.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),符合題意.故選D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.基本公式
2.一正二定三相等。是均值成立的前提條件。
【變式演練】
1.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則的最小值是______．
【答案】
【詳解】由于，故一元二次方程的判別式：，
由韋達(dá)定理有：，則：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上可得：的最小值是.
2.若都是正數(shù)，則的最小值為( ).
A.5 B.7 C.9 D.13
【答案】C
【詳解】因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故本題選C.
3.在區(qū)間[﹣2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，使 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】恒成立，即，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以問題轉(zhuǎn)化為，即，所以在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)時(shí)，使恒成立的概率是，故選擇A.
【題型二】 “1”的代換型
【典例分析】
已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則x+3y的最小值為__________
【詳解】x，y均為正實(shí)數(shù),, 當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：2.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
“1”代換是基本型，要注意
1.一正二定三相等
2.見分子想分母，見分子想分子。
【變式演練】
1.已知，，，則的最小值為（　?。?br/>A．20 B．24 C．25 D．28
【答案】C
【分析】湊配出積為定值后用基本不等式求最小值．
【詳解】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：C．
2.已知，，，則的最小值為（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，b＝6時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為27。故選：D
3.已知正實(shí)數(shù)，b滿足＋b＝1，則的最小值為_____
【詳解】因?yàn)椋叶际钦龑?shí)數(shù).所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為
【題型三】 “和”與“積”互消型
【典例分析】
已知x、y都是正數(shù)，且滿足，則的最大值為_________．
【答案】18.
【分析】
根據(jù)基本不等式，得到關(guān)于的不等式，解得的范圍，從而得到的范圍，求出答案.
【詳解】因?yàn)?，且，所以，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）
即，解得，所以得，
所以的最大值是.此時(shí)，.故答案為：18.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.有“和”、“積”無常數(shù)，可以同除，化回到“1”的代換型。如變式1
2.有“和”、“積”有常數(shù)求積型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如典例分析
3..有“和”、“積”有常數(shù)求和型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如變式2
授課時(shí)，注意這類求和時(shí)，基本所求和與原式和系數(shù)“一致”，不一致，則可以用反解代入消參等方法
【變式演練】
1.已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意得，，再根據(jù)基本不等式乘“”法即可得最小值.
【詳解】由題可知，乘“”得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，則的最小值為.故選：A
2.已知，且，則的最小值為___________．
【答案】6
【分析】利用基本不等式有，再利用一元二次不等式的解法，由求解.【詳解】
由，得，又，，
，即，解得：或，
又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故答案為：6．
3.已知，，，則（ 多選題 ）
A．的最大值為2 B．的最小值為4
C．的最小值為3 D．的最小值為
【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：由均值不等式得，則，
令，，解得，即，，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：由均值不等式得，又，
∴，解得，（舍），
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；
對(duì)于C，D選項(xiàng)：令，，則，
則可化為，整理，
∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD.
【題型四】 以分母為主元構(gòu)造型
【典例分析】
已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．10 D．16
【答案】B
【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合“1”的妙用即可得解.
【詳解】由，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故選：B
【提分秘籍】
基本規(guī)律
構(gòu)造分母型：
1.以分母為主元構(gòu)造，對(duì)于普通學(xué)生，也可以直接分母換元，變化后為“1”的代換，如典例分析
2.構(gòu)造過程中，分子會(huì)有分母參數(shù)的變化，可以分離常數(shù)后再構(gòu)造分母，如變式2
3.變式3是三項(xiàng)構(gòu)造，且無條件等式。
【變式演練】
1.已知，且，則的最小值為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】A
【詳解】，，又，且，，
當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9．故選：A．
2.已知正數(shù)、滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】已知正數(shù)、滿足，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.故選：C.
3.設(shè)，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】原式可變形為，然后根據(jù)基本不等式即可求解
【詳解】，，
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)取等號(hào)故選：A
【題型五】 構(gòu)造分母：待定系數(shù)
【典例分析】
已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
將4x+3y=4變形為含2x+1和3y+2的等式,即2(2x+1)+(3y+2)=8,再將式子換元,由基本不等式換“1”法求解即可
【詳解】
由正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8.
所求
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以答案為.故選:A.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
特征：條件等式和所求式子之間變量系數(shù)“不一致”
方法：直觀湊配或者分母換元
【變式演練】
1.知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用待定系數(shù)法可得出，與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】
設(shè)，可得，解得，
所以，
.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，的最小值為.故選：A.
2.已知，，，則取到最小值為 ．
【答案】．
【解析】試題分析：令，∴，∴
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即的最小值是．
【題型六】 分子含參型：分離分子型
【典例分析】
若，則的最小值為___________.
【答案】
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，的最小值為.故答案為：.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.分離分子原理題，如典例分析
2.分子二次型換元分離，如變式2
3.分子二次型湊配構(gòu)造分離，如變式3
【變式演練】
1.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知等式把代數(shù)式進(jìn)行變形為，再結(jié)合已知等式，利用基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，因?yàn)椋?br/>所以，因?yàn)椋裕?br/>因此，
因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)），故選：A
2.若，且，則的最小值為_________
【答案】
【分析】令，可得，化簡可得，再結(jié)合基本不等式可求解.
【詳解】令，則，則，即，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為.故答案為：.
3.若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=2，則的最小值是_____．
【答案】
【題型七】 反解代入型:消元法
【典例分析】
已知正數(shù)，滿足，則的最大值為______．
【答案】
【詳解】由，得，由，得，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，、
所以的最大值為.故答案為：.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
條件等式和所求等式之間互化難以實(shí)現(xiàn)，可以借助反解代入消元，再重新構(gòu)造。
【變式演練】
1.已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知得，所以，記，可得，然后利用基本不等式可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，得?br/>所以，記，所以，
所以，且，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，此時(shí) ， .
2.若正數(shù)，滿足，則的最小值是______，此時(shí)______.
【答案】2 2
【分析】先由求出，再根據(jù)基本不等式求解即可．
解：，，，因?yàn)?、，所以，?br/>，
即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：2；2．
3.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.
【答案】
【詳解】由且知：，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：
【題型八】 因式分解型
【典例分析】
非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意化簡得,結(jié)合基本不等式求得，即可求得的最小值.
【詳解】由題意，非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，可得,
又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，即，所以或，所以，
即時(shí)，的最小值為.故答案為：.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
【變式演練】
1.已知，且，則的最小值等于_______．
【答案】
【詳解】，且，即有 ，
即 ，可得 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式取得等號(hào)，即有的最小值為.故答案為：
2.已知，且，則的最小值是___．
【答案】
【解析】原式可變形為，兩邊同時(shí)乘以2，得，所以，即x+2y，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。填
3.已知，且，則的最小值等于_______．
【答案】
【詳解】，且，即有 ，
即 ，可得 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式取得等號(hào)，即有的最小值為.故答案為：
【題型九】 均值用兩次
【典例分析】
是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】對(duì)原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.
【詳解】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，且取等，即取等號(hào)，
即則的最大值為，故選：A．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
兩次均值，逐次消去，取等條件一致
【變式演練】
1.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為 （ ）A． B． C． D．
【詳解】．A
設(shè)，則
所以
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值是，則的最大值為.故選A
2.已知，，則的最小值為___________.
【答案】2
【分析】由可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?，?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為2.故答案為：2.
3.已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為______.
【答案】
【詳解】因?yàn)?，即，所?br/>，上述兩個(gè)不等式均是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：．
【題型十】 換元型
【典例分析】
已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2+2x2y=0，則|x|+|y|的最大值為
A.2 B.4 C. D.
【答案】B詳解：將化為，令，
則，
又，所以，即．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.二次配方型，可以三角換元
2.和前邊分母構(gòu)造換元型一樣，可以代數(shù)換元，如變式1
3.齊次分式同除型，可以代數(shù)換元，如變式3
【變式演練】
1.若，且，則的最小值為_____
【詳解】由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，則xy＝1且a，b，
所以a2+b2＝（）2+（）2，當(dāng)且僅當(dāng)x2，y2時(shí)取等．故答案為．
2.已知，，則的最小值為____.
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以令?br/>解得，所以
.因?yàn)椋缘淖钚≈禐?
3.已知為正實(shí)數(shù)，則的最小值為_________.
【答案】
【詳解】原式，令，則上式變?yōu)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最小值為.
【題型十一】 “和”與所求和系數(shù)不一致型
【典例分析】
1、已知，，且，則的最小值為
A． B． C．5 D．9
【詳解】由得，解得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故本小題選A.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.可以簡單的反解代入消去，如典例分析
2.可以整體配湊構(gòu)造（換元），如變式1
3.可以“無中生有”構(gòu)造消去，如變式2
4.也可以因式分解，參考專題八
【變式演練】
1.若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是__________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，若，則
；又由，則有，則；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
即的最小值是，故答案為.
2.
3.
【題型十二】 “均值裂項(xiàng)”湊配型
【典例分析】
已知實(shí)數(shù)，，不全為，則的最小值是___，最大值是___．
【答案】
【分析】根據(jù)不等式求最值.
【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
又，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：，.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
利用輪換和對(duì)稱特征，適當(dāng)?shù)牧秧?xiàng)構(gòu)造均值。
【變式演練】
1.不等式對(duì)任意正數(shù)x，y，z恒成立，則a的最大值是__________．
【答案】1
【分析】由條件轉(zhuǎn)化為求的最大值，再解不等式，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)取等號(hào)，所以
的最大值是，即，
解得，所以a的最大值是1．
故答案為：
2.已知實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】
【分析】由題設(shè)條件，化簡得，，再利用，得到不等式，即可求解．
【詳解】由題意，實(shí)數(shù)滿足，可得，
由，可得，
所以，
又由，得，
即，解得．
故答案為：．
3.已知，，，且，則的最小值為___________．
【答案】
由，先將變形為，運(yùn)用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.
【詳解】解：因?yàn)椋?，，且?br/>所以
因?yàn)?，所以?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以
。令，則，
令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以所以
則所求最小值為故答案為：
【題型十三】 整體化同乘方程型
【典例分析】
已知實(shí)數(shù)，滿足，且.則的最大值為_____．
【答案】9
【分析】將已知等式變形為 ，對(duì)等式兩邊同乘，構(gòu)造關(guān)于所求式子的不等式，進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，得 ，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)成立，令，則有，
解得，故的最大值為.故答案為9.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
求誰設(shè)誰，構(gòu)造方程用均值
【變式演練】
1.已知正數(shù)滿足，則的最大值為________．
【答案】
【詳解】試題分析：由已知得，，變形為，
因?yàn)?，由基本不等式得，，故，解?
2.已知為正數(shù)，且，則的最大值為 ．
【答案】
試題分析：因?yàn)?，所以，所以，即，令，則
，而，所以，即，故應(yīng)填．
【題型十四】 三元最值型
【典例分析】
已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】試題分析：
即，
由，，，
所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
綜上所述，的取值范圍是.
故答案選
【變式演練】
1.若實(shí)數(shù)、、，且，則的最小值為
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋?，所以=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 故選D.
點(diǎn)睛：本題主要考查均值不等式的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)已知等式分解為.
2.已知，且，則的最大值是_______，的最大值是________．
【答案】 10
【分析】直接利用均值不等式得到答案；變換得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.
【詳解】根據(jù)均值不等式：，，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
又因?yàn)椋?br/>，
令，即，
故此時(shí)有，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
故答案為：10；.
3.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________.
【答案】
由題設(shè)，由結(jié)合基本不等式可得，從而可得的最大值.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>而，故，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最大值為.
故答案為：.
【題型十五】 恒成立求參數(shù)型
【典例分析】
對(duì)任意正實(shí)數(shù)不等式恒成立，則（ ）
A．實(shí)數(shù)有最小值1 B．實(shí)數(shù)有最大值1
C．實(shí)數(shù)有最小值 D．實(shí)數(shù)有最大值
【答案】C
【分析】化簡得到，考慮和兩種情況得到，根據(jù)均值不等式得到最值得到答案.
【詳解】，故，，
當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；
當(dāng)時(shí)，，
，時(shí)等號(hào)成立，，故，故.
故選：C.
【變式演練】
1.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)，求出的值，代入中化簡，利用基本不等式求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則
所以
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)
所以的最小值是，則的最大值為.故選A
2.正數(shù)滿足若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
因此不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，
令，則，即， 故選：C
3.設(shè)都是正數(shù)，且使，求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】.
【詳解】由題意得．，．，，
．．∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，k的最大值為.
【題型十六】 超難壓軸小題
【典例分析】
設(shè)為正實(shí)數(shù)，若則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)，可得，進(jìn)而，有，而，令，得到，再用導(dǎo)數(shù)法求解，
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>所以，所以，所以，
令，，所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
又，所以取值范圍是，
故答案為：
【變式演練】
1.若，均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為_______.
【答案】
【分析】將所求式子變?yōu)?，利用基本不等式可求得，則可知當(dāng)時(shí)，可求得最小值.
【詳解】當(dāng)，即時(shí)
取得最小值為：
本題正確結(jié)果：成立的條件.
2.已知，則的最小值為________．
【答案】
【詳解】試題分析：，，
令，則，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增減；所以，所以得最小值為．
3.已知，則的最小值為__________．
【答案】
【詳解】設(shè)，
則原式
，
以上兩個(gè)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)同時(shí)成立．
所以所求的最小值為6．答案：6
模擬題
1.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
【詳解】∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，即時(shí)取“”.
2.已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將變形為，再用基本不等式和解不等式即可.
【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，所以?br/>所以，即當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值．
故選：B.
3.已知，且，則的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】根據(jù)條件利用均值不等式構(gòu)造不等式，解二次不等式即可求解.
【詳解】,
,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
解得或（舍去），的最小值為6故選：D
4.、設(shè)，且，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【詳解】D因?yàn)椋啵钟?，所以?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，故選D.
5.若實(shí)數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且＋＝1，則x＋y的最小值為______．
【答案】25/3
6.已知的最小值為 。
【答案】3
【解析】
試題分析：根據(jù)題意，由于
則根據(jù)均值不等式可知，故可知答案為.
7.已知正數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】已知等式把代數(shù)式進(jìn)行變形為，再結(jié)合已知等式，利用基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，因?yàn)椋裕?br/>因此
，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)），所以.
故選：B.
8.若實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值是_______________.
【答案】4
解：，滿足，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值4．故答案為：4．
9.已知，則的 (　　)
A． 最大值為 B． 最小值為 C． 最大值為 D． 最小值為
【答案】A
【詳解】由題意知，則，又由，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以最大值為，故選A.
10.知，，，則＋的最小值為____．
【答案】
【分析】將原等式化為，從而可得，利用換元法和基本不等式可求最值.
【詳解】可化為，
因?yàn)椋?，故，故，所?
設(shè)，故且，故
又，
因?yàn)?，故即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為4，故的最小值為.故答案為：.
11.若，則的最小值為____________．
【答案】
【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.
12.已知實(shí)數(shù)x,y滿足，則的取值范圍是__ _
答案：
13.已知，且滿足，則的最小值為
【答案】試題分析：∵，且滿足，∴，
=，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為。
14.已如，則的最小值為______.
【答案】7
【分析】根據(jù)條件換元與放縮，再根據(jù)基本不等式求最值.
【詳解】設(shè)，則，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為
15.若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________.
【答案】
已知條件可化為，故可設(shè)，從而目標(biāo)代數(shù)式可化為，利用基本不等式可求其最大值.
【詳解】由，得，設(shè)，其中.
則，從而，
記，則，不妨設(shè)，則,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即最大值為.故答案為：.

展開更多......

收起↑